连续型随机变量及其概率密度ok
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连续型随机变量的概率密度
解：⑴．P1 X 5 F (5) F (1)
(5 2) (1 2)
3
3
1
1 3
1 1 1
3
0.84134 0.62930 1
0.47064
⑵．PX 2 6 1 PX 2 6
1 P 6 X 2 6
x
令 u t
1
t2 x
e 2 dt
2
1
(2) (0) P( X 0) 1 2
() 1 ;() 0
引理：
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
FY
y
PY
y
P{ X
P{X y} 1
y}
y
e
t 2
2 2
dt
2
作变换
u
t
，du
dt
FY y
使用了s 小时，它总共能使用至少 s t
指数分布
若 X 表示某一元件的寿命，则 (*)式表明：已知元件 使用了s 小时，它总共能使用至少 s t 小时的条件 概率与从开始使用时算起它至少能使用 t小时的概 率相等，即元件对它使用过 s 小时没有记忆,具有这
一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.
设X ~ N ， 2 ，则 Y X ~ N ( 0, 1 )
(2)若X~N(,2),
P{X x} P{ X x }
( x )
(3) 若X~N(,2),对于任意区间(x1,x2]有
P( x1
X
x2 )
P
x1
X
x2
x2
x1
【例5】 设 随 机 变 量 X ~ N 2， 9 求 ： ⑴ P1 X 5；⑵ PX 2 6；⑶ PX 0．
连续型随机变量及其概率密度
由 F ( x) = ∫
x
−∞
f ( x)d x 得
0, x < 0, xx ∫ d x , 0 ≤ x < 3, 0 6 F ( x) = 3 x x d x + ( 2 − x ) d x , 3 ≤ x < 4, ∫3 2 ∫0 6 1, x ≥ 4.
x < 0, 0, 2 x , 0 ≤ x < 3, 12 即 F ( x) = x2 − 3 + 2 x − , 3 ≤ x < 4, 4 1, x ≥ 4.
P{ X > a} = 1 − P{ X ≤ a} = 1 − F (a )
= ∫− ∞ f ( x ) d x − ∫− ∞ f ( x ) d x
= ∫a f ( x ) d x .
+∞
+∞
a
(4) 若 f ( x ) 在点 x 处连续 , 则有 F ′( x ) = f ( x ).
物理意义： 物理意义：
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a < x < b, f ( x) = b − a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b ).
均匀分布概率密度函数演示 均匀分布概率密度函数演示
第三节
连续型随机变量及其概率 密度
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、概率密度的概念与性质
1.定义 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) , 若存在 定义
非负可积 函数f ( x ), 使对于任意实数 x 有 F ( x ) = ∫− ∞ f ( t ) d t , 则称 X 为连续型随机变量 , 其中 f ( x ) 称为 X 的概率 密度函数 , 简称概率密度 .
连续型随机变量及其概率密度函数
x
2 证明 因为 X ~ N (, ) ,
F ( x) P{ X x} P{
X x x x . } P{ X } ( )
x2 x1
所以
推论 若 X ~ N (, 2 ) ，则对于任意实数x1 x 2 ，有
1 e x , F ( x) 0 ,
x0 x0
图2.4
生活中，指数分布应用很广．像电子元件的使用寿命、电 话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述． 因此，指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的 应用． 3．正态分布 （1）正态分布的概念 定义2.11 若X的概率密度函数为 （2－23） 2 其中 和 为常数且 0，则称X服从参数为 , 的正态分布 2 X ~ N ( , )，正态分布也叫高 （Normal Distribution），记为 斯分布（Gauss）, 其分布函数为
f x ≥0； （1）（非负性） 对任意的实数 x ， （2）（规范性） f ( x)dx 1 （2—16） 反过来，若已知一个函数 f x 满足上述性质(1)和(2),则 f x 一定是某连续型随机变量X的概率密度函数． 另外，对连续型随机变量X的分布，还具有如下性质： x x , x F ( x ) F ( x ) P x X x x x 1.对于任意实数 1 2( 1 2), 1 = x f ( x)dx ； 2＝ 2.连续型随机变量X的分布函数F x 是连续的,但反之不真； 3.连续型随机变量X取任一确定值的概率为0；即对于任意 PX x = 0； 实数 x ， 事实上，由（2－12）和 F x 的连续性即知: PX x F x F x 0 0
连续型随机变量及其概率密度
问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x
连续型随机变量及其概率密度函数
f ( x ) e 0
x 100
当x 0 当x 0
e
x 100 150 50
(1) 的值. (2) 50 到 150 小时 (3) 少于100小时 概率统计
0.384
1 (3) P ( X 100) 0 100e dx 1 e 0.633
100
x 100
一般称:
若 X 具有概率密度:
1 x e f ( x ) 0
x0 x0
0
则 称 X 为服从参数 的 指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数 定义: 若定义在 (, ) 上的可积函数 f ( x ) 满足： (1). f ( x ) 0
概率统计
[证 ]: 证法1
1 X xk X x k n X x k n 1
让 “交” 往 xk 方 向 “挤”
0
xk
1 P ( X xk ) lim P ( X xk ) P ( X xk ) n n 1
第四节
连续型随机变量及其概率密度
一. 连续型随机变量的概率密度 1.定义 若对于随机变量 X 的分布函数,存在非负 函数 f(x)，使得对于任意实数 x 有:
F ( x)
x
f (t )dt ( P ( X x ))
则称 X 为连续型变量，f (x)为 X 的概率密度函数 注: ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别 离散型： P ( X x ) 0 k 连续型：P( X xk ) 0
概率统计
但要注意的是：密度函数 f (x)在某点处 a 的高度， 并不反映X 取值的概率. 但是，这个高度越大， 则 X 取 a 附近的值的概 率就越大. 也可以说， 在某点密度曲线的高度 反映了概率集中在该点 附近的程度.
x 100
当x 0 当x 0
e
x 100 150 50
(1) 的值. (2) 50 到 150 小时 (3) 少于100小时 概率统计
0.384
1 (3) P ( X 100) 0 100e dx 1 e 0.633
100
x 100
一般称:
若 X 具有概率密度:
1 x e f ( x ) 0
x0 x0
0
则 称 X 为服从参数 的 指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数 定义: 若定义在 (, ) 上的可积函数 f ( x ) 满足： (1). f ( x ) 0
概率统计
[证 ]: 证法1
1 X xk X x k n X x k n 1
让 “交” 往 xk 方 向 “挤”
0
xk
1 P ( X xk ) lim P ( X xk ) P ( X xk ) n n 1
第四节
连续型随机变量及其概率密度
一. 连续型随机变量的概率密度 1.定义 若对于随机变量 X 的分布函数,存在非负 函数 f(x)，使得对于任意实数 x 有:
F ( x)
x
f (t )dt ( P ( X x ))
则称 X 为连续型变量，f (x)为 X 的概率密度函数 注: ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别 离散型： P ( X x ) 0 k 连续型：P( X xk ) 0
概率统计
但要注意的是：密度函数 f (x)在某点处 a 的高度， 并不反映X 取值的概率. 但是，这个高度越大， 则 X 取 a 附近的值的概 率就越大. 也可以说， 在某点密度曲线的高度 反映了概率集中在该点 附近的程度.
连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量的概率密度一、概念介绍连续型随机变量是指取值范围为无限个数的随机变量，它的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）可以用来描述该随机变量在某个取值范围内的概率分布情况。
二、概率密度函数的定义对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下条件：1. f(x)≥0，即非负性；2. ∫f(x)dx=1，即归一性；3. 对于任意实数a和b（a<b），有P(a≤X≤b)=∫abf(x)dx。
三、常见的连续型分布及其概率密度函数1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内每一个点的概率相等的分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/(b-a)，a≤x≤b2. 正态分布正态分布是一种常见的连续型随机变量分布，也称为高斯分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。
3. 指数分布指数分布通常用来描述事件发生的时间间隔。
其概率密度函数为：f(x)=λe^(-λx)，x≥0其中，λ是事件发生率。
4. 伽马分布伽马分布是指一类连续型随机变量的分布，它经常用来描述风险事件的发生时间。
其概率密度函数为：f(x)=(1/Γ(α)β^α)x^(α-1)e^(-x/β)，x≥0其中，α和β是参数，Γ(α)是伽马函数。
四、概率密度函数的性质1. 概率密度函数f(x)的图像在x轴上方；2. 在任意一个区间内，概率密度函数f(x)所表示的面积即为该区间内随机变量X取值的概率；3. 对于任意实数a和b（a<b），有P(a<X≤b)=∫abf(x)dx；4. 对于任意实数c，有P(X=c)=0。
五、连续型随机变量的期望和方差1. 期望对于连续型随机变量X，其期望E(X)定义为：E(X)=∫xf(x)dx2. 方差对于连续型随机变量X，其方差Var(X)定义为：Var(X)=E((X-E(X))^2)=∫(x-E(X))^2f(x)dx六、总结连续型随机变量的概率密度函数是描述其概率分布情况的重要工具，常见的连续型分布包括均匀分布、正态分布、指数分布和伽马分布等。
连续型随机变量及其概率密度ok
0.1
-3
-2
-x -1
1
x
2
3
P (| X | a ) 2 ( a ) 1
对一般的正态分布 ：X ～N ( , 2)
其分布函数
作变量代换
F (x)
s t
1 2
x
(t ) 2
2
2
e
dt
x F (x)
P ( a X b ) F (b ) F ( a ) b P ( X a ) 1 F (a )
知A=3，即
3 e 3 x , f (x) 0,
x 0; x 0.
而 X 的分布函数为
F (x)
x
1 e 3 x , f ( t ) dt 0,
x 0; x 0.
例2 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上 任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正 比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的 距离，试求随机变量X的分布函数． 解: 若 x 0 , 则 ( X x )是不可能事件 , 于是
0 P ( X a ) P (a x X a )
a x
a
f ( x )d x
0 P ( X a ) lim
x 0 a x
a
f ( x )d x
0
P( X a) 0
命题: 连续型随机变量取任一常数的概率为零.
对于连续型随机变量X
1 2
(3) 在 x = ± 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有 拐点 (4) 曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线 (5) 曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状.
二维连续型随机变量ok
3 4 )
3 / 4 [ 0
1
x
3 xdy ]dx
y=x
=37/64
0
3/4 1
注意积分限
例4 设(X,Y)的概率密度是
3 y ( 2 x ), f ( x, y) 0 , 0 x 1, 0 y x 其它
1/2 1
解: (2) P ( X )
2
1
0
其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).
解 (1)由题意得:
f1 ( x )
x y 1
2 2
y
1 x
2
f ( x , y ) dy
其它
Y
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0 当|x|≤1时,
f1 ( x ) [
1/2
1 4
,Y
1 2
)
0
1/4
[ 3 xdy ]dx
0
x
=1/16
y=x
1/4 1
P(X Y ) 0
是平面上一条直线
0
x
下面我们介绍两个常见的二维分布： 设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
1 , ( x, y) G f ( x, y) A 0, 其它
F ( x , y ) y d dy FY ( y )
亦即 F X |Y ( x | y )
x
f ( u , y ) du fY ( y) ， 或写成 F X |Y ( x | y )
1
3 y
) 0
(1 e
3 / 4 [ 0
1
x
3 xdy ]dx
y=x
=37/64
0
3/4 1
注意积分限
例4 设(X,Y)的概率密度是
3 y ( 2 x ), f ( x, y) 0 , 0 x 1, 0 y x 其它
1/2 1
解: (2) P ( X )
2
1
0
其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).
解 (1)由题意得:
f1 ( x )
x y 1
2 2
y
1 x
2
f ( x , y ) dy
其它
Y
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0 当|x|≤1时,
f1 ( x ) [
1/2
1 4
,Y
1 2
)
0
1/4
[ 3 xdy ]dx
0
x
=1/16
y=x
1/4 1
P(X Y ) 0
是平面上一条直线
0
x
下面我们介绍两个常见的二维分布： 设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
1 , ( x, y) G f ( x, y) A 0, 其它
F ( x , y ) y d dy FY ( y )
亦即 F X |Y ( x | y )
x
f ( u , y ) du fY ( y) ， 或写成 F X |Y ( x | y )
1
3 y
) 0
(1 e
连续随机变量及其概率密度函数
连续随机变量及其概率密度函数在概率论与数理统计中，随机变量是指在一个概率空间中取值的变量。
其中，连续随机变量是指在一定区间内可以取到无穷多个不同值的随机变量。
连续随机变量的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述连续随机变量概率分布的函数。
1. 连续随机变量的定义连续随机变量通常用大写字母表示，如X。
与离散随机变量不同的是，连续随机变量的取值范围通常是无穷多个实数值。
例如，一个连续随机变量可以表示一个人的身高，其取值可以是任意的实数。
2. 连续随机变量的概率密度函数对于连续随机变量X，其概率密度函数f(x)定义了在X取值等于x时的概率密度，即X落在x附近的概率。
概率密度函数需要满足以下两个条件：- f(x) ≥ 0，对于任意的x∈R；- ∫f(x)dx = 1，即概率密度函数的积分等于1。
3. 连续随机变量的性质连续随机变量的概率可以通过求取积分来计算。
具体而言，如果要求X在区间[a, b]的概率，即P(a ≤ X ≤ b)，可以使用概率密度函数进行计算：- P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx。
4. 连续随机变量的期望和方差连续随机变量的期望和方差的计算方式与离散随机变量有所不同。
- 连续随机变量X的期望值E(X)可以通过积分的方式计算：E(X)= ∫xf(x)dx。
- 连续随机变量X的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X)= E((X-E(X))^2) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx。
5. 常见的连续分布函数在概率论与数理统计中，有许多常见的连续分布函数可用来描述实际问题中的连续随机变量。
以下是一些常见的连续分布函数： - 正态分布（Normal Distribution）- 均匀分布（Uniform Distribution）- 指数分布（Exponential Distribution）- 伽马分布（Gamma Distribution）- β分布（Beta Distribution）- 正太分布（Chi-Square Distribution）总结起来，连续随机变量是指在一定区间内可以取到无穷多个不同值的随机变量。
2.4 连续型随机变量及其概率密度 共44页
证明 2
1 F() f(x)dx.
3 P {x 1X x 2 } F (x 2)F (x 1)
x2 f(x)dx x1 f(x)dx
x2 f(x)dx.
x1
f (x)
S f(x)dx1
S1
x2 x1
f(x)dx
1
0 ,
900r11,00 其他.
故有
1050 1
P {95 R 010} 50
dr 0.5.
950 200
(二) 指数分布
若连续型随X机 的变 概量 率密度为
1 e x
,
x0,
f (x)
0 ,
其他,
其中 θ0为常,则 数 称 X服从参 的 数 指 为 数 .
连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关
注意
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不可
能事件，则有P {X a }0.
连
若 P {X a }0,
续 型
则不能{X 确 a定 }是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
离 散{Xຫໍສະໝຸດ a}是不可能事 件 P {X a } 0. 型
例1 设随机变X量 具有概率密度
解 (1) 所求概率为 P{X8}9 PX0.590809.590Φ890.590
Φ(2) 1Φ(2) 10.977 02.022.8
(2)按题意需 d满 求足 0.99P{X8}0 PX0.5d800.5d
1P X0 .5d800.5d 1Φ(800.5d)
记I et22dt,则有 I 2 e(t2u2)2dtdu
连续型随机变量与概率密度函数
不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。
同样：
必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。
01
若X是连续型随机变量，
02
{ X=a }是不可能事件，则有
03
若 X 为离散型随机变量,
04
注意
05
连
06
续
07Байду номын сангаас
型
08
离
09
散
10
型
STEP4
STEP3
STEP2
由
得
解得
于是
的概率密度为
设随机变量
具有概率密度
(1)
确定常数
【练习】
解
由
得
解得
于是
的概率密度为
其它
.
设随机变量
具有概率密度
求
的分布函数
【练习】
解
设随机变量
01
具有概率密度
02
03
求
04
解
05
或
06
【练习】
07
例4 设随机变量 K 的概率密度为
于是, 所求的概率为
06
可见
04
试求方程 有实根的概率.
(1) P{ x1＜X ≤x2} = P{ x1≤X ≤x2} = P{ x1＜X ＜x2} = P{ x1≤X ＜x2} = F(x2) －F(x1) =
(2)
点概为零的重要启示
若 A 为不可能事件，则 P (A) = 0 ； 然而 P (A) = 0 时， A 却不尽为不可能事件 .
那么就称该随机变量 X 服从均匀分布，也称 X为均匀分布变量（简称均匀量），并记为
同样：
必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。
01
若X是连续型随机变量，
02
{ X=a }是不可能事件，则有
03
若 X 为离散型随机变量,
04
注意
05
连
06
续
07Байду номын сангаас
型
08
离
09
散
10
型
STEP4
STEP3
STEP2
由
得
解得
于是
的概率密度为
设随机变量
具有概率密度
(1)
确定常数
【练习】
解
由
得
解得
于是
的概率密度为
其它
.
设随机变量
具有概率密度
求
的分布函数
【练习】
解
设随机变量
01
具有概率密度
02
03
求
04
解
05
或
06
【练习】
07
例4 设随机变量 K 的概率密度为
于是, 所求的概率为
06
可见
04
试求方程 有实根的概率.
(1) P{ x1＜X ≤x2} = P{ x1≤X ≤x2} = P{ x1＜X ＜x2} = P{ x1≤X ＜x2} = F(x2) －F(x1) =
(2)
点概为零的重要启示
若 A 为不可能事件，则 P (A) = 0 ； 然而 P (A) = 0 时， A 却不尽为不可能事件 .
那么就称该随机变量 X 服从均匀分布，也称 X为均匀分布变量（简称均匀量），并记为
2.4 连续型随机变量及其概率密度
分布函数为
F( x)
1
x
e
(
t u )2 2 2
dt
2π
当 0 , 1时称 X 服从标准正态分布.
其概率密度和分布函数分别用 ( x),Φ( x)表示 ,
即有
易知
(x) Φ( x)
1 et2 2 , 2π
1 ex t2 2dt .
2π
Φ( x) 1 Φ( x)
正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布, 例如测
2. 常见连续型随机变量的分布
均匀分布
正态分布(或高斯分布)
指数分布
3. 正态分布是概率论中最重要的分布
正态分布有极其广泛的实际背景, 是自然界 和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如 果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那 么这个变量一般是一个正态随机变量.
二项分布、泊松分布等的极限分布是正态分 布．所以，无论在实践中，还是在理论上，正态 分布是概率论中最重要的一种分布.
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a xb, 其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U (a,b) .
概率密度函数图形
f (x)
均匀分布概率密度函数演示
•
a
o
•
bx
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的.
P{X s t X s} P{X t} .
事实上
P{X s t X s} P{(X s t) ( X s)}
P{X s}
P{X s t} 1 F(s t)
连续型随机变量及其概率密度
解 P8 X 14 F(14) - F(8) (14 -10) - (8 -10)
2
2
(2) - (-1) (2) - (1- (1)) (2) (1) -1
例7（3原则）设X ~ N (, 2)，求 P{|X-|﹤}, P{|X-|﹤2}, P{|X-|﹤3}，
(x)
3 8
x2 0,
,
0 x2 其他
已知事件 A = { X > a } 和 B ={ Y > a } 独立，
且 P(AB)=3/4,
求常数 a .
解: 因为 P(A) = P(B),
且由A、B 独立，得
P(AB) = P(A)+P(B)-P(A)P(B)
= 2P(A) - [P(A)]2 = 3/4
= Φ(0.82)- [1-Φ(1.64)] = 0.7434 •3) P{|X| ≤1.54}= Φ(1.54)- Φ(-1.54)
=2Φ(1.54)-1= 0.8764
·4) P{|X| ≥1.54} = 1- P{|X| ≤1.54}=1-0.8764=0.1236
例6 设随机变量
X ~ N(10，22 ) 求 P8 X 14
德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公 式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广， 所以通常称为高斯分布.
1. 定义 若X的概率密度为
f (x)
1
e-
(
x-)2 2 2
,-
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2
其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服从参数为μ,σ2的 正态分布或高斯（Gauss）分布。记作 X～ N （μ,σ2）
概率论课件之连续型随机变量及其概率密度PPT课件
如电话通话时间、各种随机服务系统的服务时 间、等待时间等.
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
例 某种电子元件的寿命(以小时计) X 服从指数分 布,其概率密度为
f
(
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它.
(1) 求元件寿命至少为200小时的概率. (2) 将3只这种元件联接成为一个系统，设系统工作 的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元 件工作相互独立.求系统的寿命至少为200小时的概 率.
(4) 若f ( x )在点x 处连续,则有
F ( x) f ( x),
证明
x
F ( x) [ f (t)dt] f ( x).
例 设随机变量X
ae x , x 0;
的分布函数为
F ( x) b, 0 x 1; 1 ae x1 , x 1
求(1)a,b的值;(2)X的密度函数;(3)P(X>1\3).
解 (1)由于连续型随机变量的分布函数是连续的
lim F ( x) F (0)
x 0
又 lim F ( x) F (1) x 1
lim ae x b
x 0
b 1 a
故，a b 1 2
ab
(2)X的密度函数
1 2
e
x
,
f ( x) F ( x)
又F ( x)
1
2
,
x 0; 0 x 1;
2 πσ (3) 当 x 时, f ( x) 0; (4)曲线在 x μ σ 处有拐点;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线;
(6) 当固定 σ, 改变 μ 的大小时, f ( x) 图形的形状不变 ,只是沿 着 x 轴作平移变换;
(7) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴 不变,而形状在改变 , σ 越小,图形越高越瘦,σ越大, 图形越矮越胖 .
连续型随机变量及其概率密度
B
A
A，B间真实距离为，测量值为X。
X的概率密度应该是什么形态？
若随机变量X的概率密度函数为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
（其中 ，为实数，>0） 则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为X～N(, 2)。
f(x)的图像为
正态分布密度函数f(x)的性质
(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称，即 f( +x)=f( -x)，x∈(-∞,+∞)
X～N(, 2)，p∈(0,1)，若实
数up满足P(X〉 up)=p,
p
则称up为标准正态分布的p分 位点。
O Up
x
定义 (1)标准正态分布的与下侧概率p对应的分位数up
满足条件P（X〈 up）= p，0〈 p〈1， X~N(0,1) （2）标准正态分布的与上侧概率α对应的分位数uα
满足条件P（X〉 u α ）= α，0〈 α〈1， X~N(0,1) （3）标准正态分布的与双侧概率p/2对应的分位数u p/2
解 设A—乘客候车时间超过10分钟， X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
P(A) P(10 X 15) P(25 X 45) P(55 X 60) 5 20 5 1 60 2
2、正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上
研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。
P( X
x)
x
证明
x
FX (x) P( X x)
1
e dt
(
t) 2 2
2
A
A，B间真实距离为，测量值为X。
X的概率密度应该是什么形态？
若随机变量X的概率密度函数为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
（其中 ，为实数，>0） 则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为X～N(, 2)。
f(x)的图像为
正态分布密度函数f(x)的性质
(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称，即 f( +x)=f( -x)，x∈(-∞,+∞)
X～N(, 2)，p∈(0,1)，若实
数up满足P(X〉 up)=p,
p
则称up为标准正态分布的p分 位点。
O Up
x
定义 (1)标准正态分布的与下侧概率p对应的分位数up
满足条件P（X〈 up）= p，0〈 p〈1， X~N(0,1) （2）标准正态分布的与上侧概率α对应的分位数uα
满足条件P（X〉 u α ）= α，0〈 α〈1， X~N(0,1) （3）标准正态分布的与双侧概率p/2对应的分位数u p/2
解 设A—乘客候车时间超过10分钟， X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
P(A) P(10 X 15) P(25 X 45) P(55 X 60) 5 20 5 1 60 2
2、正态分布 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上
研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。
P( X
x)
x
证明
x
FX (x) P( X x)
1
e dt
(
t) 2 2
2
连续型随机变量的概率密度
3
0
连续型随机变量的概率密度
P { x1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x1 )
f (x)
x2 x1
f ( x ) dx . ( x 1 x 2 )
0 x1
4
0
x2
x
若 f ( x ) 在点 x 处连续，则有 F ( x ) f ( x ).
4
§4
连续型随机变量的概率密度
设打一次电话所用的时 以 1 10 好在你前面走进公用电 钟到 20 分钟之间的概率．
间 X （单位：分钟）是 ．如果某人刚 10 分
为参数的指数随机变量
话间，求你需等待
解：
X 的密度函数为
1 e 10 f x 10 0
x
x 0 x 0
27
§4
例 7（续）
确是密度函数．
17
§4
连续型随机变量的概率密度
a ， b 上的均匀分布，则随机
取值的概率与该子区
均匀分布的概率背景
如果随机变量 X 在区间 X 服从区间 变量
a ， b 上的任意一个子区间上
量 X 在区间
间的长度成正比，而与
该子区间的位置无关．
这时，可以认为随机变
a ， b 上取值是等可能的．
x
1 2
e
2
x
33
§4
连续型随机变量的概率密度
密度函数的验证
设X ~ N ，
f x
2
， f x 是其密度函数，则有：
1 2
x 2
2
2
e
0
连续型随机变量的概率密度
P { x1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x1 )
f (x)
x2 x1
f ( x ) dx . ( x 1 x 2 )
0 x1
4
0
x2
x
若 f ( x ) 在点 x 处连续，则有 F ( x ) f ( x ).
4
§4
连续型随机变量的概率密度
设打一次电话所用的时 以 1 10 好在你前面走进公用电 钟到 20 分钟之间的概率．
间 X （单位：分钟）是 ．如果某人刚 10 分
为参数的指数随机变量
话间，求你需等待
解：
X 的密度函数为
1 e 10 f x 10 0
x
x 0 x 0
27
§4
例 7（续）
确是密度函数．
17
§4
连续型随机变量的概率密度
a ， b 上的均匀分布，则随机
取值的概率与该子区
均匀分布的概率背景
如果随机变量 X 在区间 X 服从区间 变量
a ， b 上的任意一个子区间上
量 X 在区间
间的长度成正比，而与
该子区间的位置无关．
这时，可以认为随机变
a ， b 上取值是等可能的．
x
1 2
e
2
x
33
§4
连续型随机变量的概率密度
密度函数的验证
设X ~ N ，
f x
2
， f x 是其密度函数，则有：
1 2
x 2
2
2
e
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0 . 3 [1 0 . 5 ]
P352 表2
0 . 6179 [1 0 . 6915 ]
0 . 3094
例5已知
X ~ N (2, )
2
且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
2
求 P ( X < 0 ). 解1:
0 2 P ( X 0) 1
P (a X b) P (a X b)
P (a X b)
P (a X b)
f (x)
0.08 0.06
b
f ( x )d x F (b ) F ( a )
a
0.04
0.02
-10
a
-5
b
5
x
P ( X b ) P ( X b ) F (b ) P ( X a ) P ( X a ) 1 F (a )
0.1
-3
-2
-x -1
1
x
2
3
P (| X | a ) 2 ( a ) 1
对一般的正态分布 ：X ～N ( , 2)
其分布函数
作变量代换
F (x)
s t
1 2
x
(t ) 2
2
2
e
dt
x F (x)
P ( a X b ) F (b ) F ( a ) b P ( X a ) 1 F (a )
则 P B P 10 X 20
0.2
2 4 6
-2
由图
P ( X 0 ) 0 .2
标准正态分布的上 分位数z
设 X ~ N ( 0 , 1 ), 若 z 满足条件
P X z ,0 1 ,
则称点 z 为标准正态分布的上
分位点。
查表可知 z 0.05
注：
=1.645
z 0 . 005 =2.575
1 , f ( x) b a 0,
(a ,b)上的均匀分布 记作 X ~ U ( a , b ) 其中
a xb 其他
X 的分布函数为
0, x a F (x) , b a 1
x a, a x b, xb
(c, d ) (a , b )
P (c X d )
d
1 ba
d x
d c ba
c
即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形. 应用场合: 在进行大量数值计算时，如果在小数点后第k位 进行四舍五入，则产生的误差可以看作 服从
教科书上都附有标准正
态分布表 ,由此可得 ( x ) 值 .
( 0 ) 0 .5
( x ) 1 ( x ) P (| X | a ) 2 ( a ) 1
( 0 ) 0 .5
(x)
(x)
( x) 1 ( x)
0.4
0.3
0.2
例6
设打一次电话所用的时 为参数的指数随机变量 用电话间，求你需等待
解： X 的密度函数为
间 X （单位：分钟）是以 ．如果某人刚好在你前
1 x e 10 f x 10 0
1 10
面走进公
10 分钟到 20 分钟之间的概率．
x 0 x 0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
4 2 P (2 X 4)
2
2 2
( 0 ) 0 .3
2 0 .8
P ( X 0 ) 0 .2
解二 图解法
0.2
0.3
0.15
0.1
0.05
X 的分布函数为
0, F (x) x 1 e ,
x0 x0
对于任意的 0 < a < b,
P (a X b)
a e
b
x
dx
F (b ) F ( a ) e
a
e
b应用场合:用指数分布 Nhomakorabea述的实例有：
随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似
连续型随机变量及其概率密度
1 连续型随机变量及其概率密度函数 2 常见的连续型随机变量
连续型随机变量及其概率密度函数
定义：设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f(x) 使得
F (x)
x
f (t ) d t
x
其中 F(x) 是它的分布函数． 则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率 密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密 度．
4
若 x 2 , 由题意 , 是必然事件
, 于是
F ( x) P ( X x) 1
综上所述，随机变量X的分布函数为
F (x) 0 x
2
x 0 0 x 2 x 2
4 1
2 常见的连续型随机变量
1 均匀分布 若 X 的密度函数为 f ( x ) ，则称 X 服从区间
f ( x)
0.08
0.06
0.04
0.02
-10
-5
5
a
x
例1 设随机变量
Ae 3 x , f (x) 0,
X 具有概率密度函数 试确定常数A， x 0; 以及 X 的分布函数. x 0.
解:由
1
f ( x ) dx
Ae
0
3x
dx
1 3
A,
0 P ( X a ) P (a x X a )
a x
a
f ( x )d x
0 P ( X a ) lim
x 0 a x
a
f ( x )d x
0
P( X a) 0
命题: 连续型随机变量取任一常数的概率为零.
对于连续型随机变量X
a 1
a
例4 解:
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
1 .6 1 P ( 0 X 1 .6 ) 2 0 1 2
0 .3 0 .5
2
前者取
附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点比 x= 2 所对应的拐点更靠近直线x = .
正态分布的密度曲线是一条关于 对称的 钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右 对称”。 决定了图形的中心位置， 决定了图形中 峰的陡峭程度。
应用场合:
若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的 影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些 影响可以叠加, 则 X 服从正态分布. 可用正态变量描述的实例非常之多： 各种测量的误差； 工厂产品的尺寸； 海洋波浪的高度； 热噪声电流强度；
( x ) 2
2 2
e
x
, 为常数， 0
则称 X 服从参数为 , 记作
2
的正态分布
X
～
N ( ,
2
)
f (x) 的性质： (1) 图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x) (2) 在 x = 时, f (x) 取得最大值:
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
-6
-5
-4
-3
-2
-1
f(x)的两个参数：
— 位置参数 即固定, 对于不同的 , 对应的 f(x)的形状不变 化，只是位置不同. — 形状参数 固定 ，对于不同的 ，f( x)的形状不同. 若 1< 2 则
1 2 1 1 2
人的生理特征； 农作物的收获量； 金属线的抗拉强度； 学生们的考试成绩；
正态分布的重要性: 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由 以下情形加以说明： ⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素 的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． ⑵ 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的． ⑶ 正态分布可以作为许多分布的近似分布．
(x)
z 1 - z ,
z 0 . 95 = -1.645
z 0 . 995 = -2.575
z 1
0
z x
3
指数分布
若X 的密度函数为
e , f (x) 0,
x
x0 其他
> 0 为常数
则称X 服从参数为的指数分布 记作
X ~ E ( )
f ( x ) F ( x )
f(x) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值 的概率.
注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0 这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的 取值. x 0 事实上 ( X a ) ( a x X a )
F (x) P(X x) 0
若 0 x 2 ,由题意 , P ( 0 X x ) kx , k 是某一常数 .
2
取 x 2, 有 P ( 0 X 2 ) k 2 1, k
P352 表2
0 . 6179 [1 0 . 6915 ]
0 . 3094
例5已知
X ~ N (2, )
2
且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
2
求 P ( X < 0 ). 解1:
0 2 P ( X 0) 1
P (a X b) P (a X b)
P (a X b)
P (a X b)
f (x)
0.08 0.06
b
f ( x )d x F (b ) F ( a )
a
0.04
0.02
-10
a
-5
b
5
x
P ( X b ) P ( X b ) F (b ) P ( X a ) P ( X a ) 1 F (a )
0.1
-3
-2
-x -1
1
x
2
3
P (| X | a ) 2 ( a ) 1
对一般的正态分布 ：X ～N ( , 2)
其分布函数
作变量代换
F (x)
s t
1 2
x
(t ) 2
2
2
e
dt
x F (x)
P ( a X b ) F (b ) F ( a ) b P ( X a ) 1 F (a )
则 P B P 10 X 20
0.2
2 4 6
-2
由图
P ( X 0 ) 0 .2
标准正态分布的上 分位数z
设 X ~ N ( 0 , 1 ), 若 z 满足条件
P X z ,0 1 ,
则称点 z 为标准正态分布的上
分位点。
查表可知 z 0.05
注：
=1.645
z 0 . 005 =2.575
1 , f ( x) b a 0,
(a ,b)上的均匀分布 记作 X ~ U ( a , b ) 其中
a xb 其他
X 的分布函数为
0, x a F (x) , b a 1
x a, a x b, xb
(c, d ) (a , b )
P (c X d )
d
1 ba
d x
d c ba
c
即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形. 应用场合: 在进行大量数值计算时，如果在小数点后第k位 进行四舍五入，则产生的误差可以看作 服从
教科书上都附有标准正
态分布表 ,由此可得 ( x ) 值 .
( 0 ) 0 .5
( x ) 1 ( x ) P (| X | a ) 2 ( a ) 1
( 0 ) 0 .5
(x)
(x)
( x) 1 ( x)
0.4
0.3
0.2
例6
设打一次电话所用的时 为参数的指数随机变量 用电话间，求你需等待
解： X 的密度函数为
间 X （单位：分钟）是以 ．如果某人刚好在你前
1 x e 10 f x 10 0
1 10
面走进公
10 分钟到 20 分钟之间的概率．
x 0 x 0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
4 2 P (2 X 4)
2
2 2
( 0 ) 0 .3
2 0 .8
P ( X 0 ) 0 .2
解二 图解法
0.2
0.3
0.15
0.1
0.05
X 的分布函数为
0, F (x) x 1 e ,
x0 x0
对于任意的 0 < a < b,
P (a X b)
a e
b
x
dx
F (b ) F ( a ) e
a
e
b应用场合:用指数分布 Nhomakorabea述的实例有：
随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似
连续型随机变量及其概率密度
1 连续型随机变量及其概率密度函数 2 常见的连续型随机变量
连续型随机变量及其概率密度函数
定义：设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f(x) 使得
F (x)
x
f (t ) d t
x
其中 F(x) 是它的分布函数． 则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率 密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密 度．
4
若 x 2 , 由题意 , 是必然事件
, 于是
F ( x) P ( X x) 1
综上所述，随机变量X的分布函数为
F (x) 0 x
2
x 0 0 x 2 x 2
4 1
2 常见的连续型随机变量
1 均匀分布 若 X 的密度函数为 f ( x ) ，则称 X 服从区间
f ( x)
0.08
0.06
0.04
0.02
-10
-5
5
a
x
例1 设随机变量
Ae 3 x , f (x) 0,
X 具有概率密度函数 试确定常数A， x 0; 以及 X 的分布函数. x 0.
解:由
1
f ( x ) dx
Ae
0
3x
dx
1 3
A,
0 P ( X a ) P (a x X a )
a x
a
f ( x )d x
0 P ( X a ) lim
x 0 a x
a
f ( x )d x
0
P( X a) 0
命题: 连续型随机变量取任一常数的概率为零.
对于连续型随机变量X
a 1
a
例4 解:
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
1 .6 1 P ( 0 X 1 .6 ) 2 0 1 2
0 .3 0 .5
2
前者取
附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点比 x= 2 所对应的拐点更靠近直线x = .
正态分布的密度曲线是一条关于 对称的 钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右 对称”。 决定了图形的中心位置， 决定了图形中 峰的陡峭程度。
应用场合:
若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的 影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些 影响可以叠加, 则 X 服从正态分布. 可用正态变量描述的实例非常之多： 各种测量的误差； 工厂产品的尺寸； 海洋波浪的高度； 热噪声电流强度；
( x ) 2
2 2
e
x
, 为常数， 0
则称 X 服从参数为 , 记作
2
的正态分布
X
～
N ( ,
2
)
f (x) 的性质： (1) 图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x) (2) 在 x = 时, f (x) 取得最大值:
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
-6
-5
-4
-3
-2
-1
f(x)的两个参数：
— 位置参数 即固定, 对于不同的 , 对应的 f(x)的形状不变 化，只是位置不同. — 形状参数 固定 ，对于不同的 ，f( x)的形状不同. 若 1< 2 则
1 2 1 1 2
人的生理特征； 农作物的收获量； 金属线的抗拉强度； 学生们的考试成绩；
正态分布的重要性: 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由 以下情形加以说明： ⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素 的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． ⑵ 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的． ⑶ 正态分布可以作为许多分布的近似分布．
(x)
z 1 - z ,
z 0 . 95 = -1.645
z 0 . 995 = -2.575
z 1
0
z x
3
指数分布
若X 的密度函数为
e , f (x) 0,
x
x0 其他
> 0 为常数
则称X 服从参数为的指数分布 记作
X ~ E ( )
f ( x ) F ( x )
f(x) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值 的概率.
注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0 这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的 取值. x 0 事实上 ( X a ) ( a x X a )
F (x) P(X x) 0
若 0 x 2 ,由题意 , P ( 0 X x ) kx , k 是某一常数 .
2
取 x 2, 有 P ( 0 X 2 ) k 2 1, k