数学思维导图案例

数学思维导图
(2012山东高考·满分12分)如图，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD . (1)求证：BE ＝DE ；
(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC .
[教你快速规范审题
]
1．审条件，挖解题信息 观察条件―→
△
ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD ―――――→取BD 中点O
连接EO ，CO
CO ⊥BD ―――――→EC ∩CO ＝C
BD ⊥平面EOC
2．审结论，明解题方向
观察所证结论―
→
求证BE ＝DE
―――――――――――→
需证明△
BDE 是等腰三角形
应证明EO ⊥BD
3．建联系，找解题突破口
CB ＝CD ―――――→O 为BD 中点CO ⊥BD ―――→EC ⊥BD BD ⊥平面EOC ――――――→
OE ⊂平面EOC BD ⊥OE ――――
―→△BDE 是
等腰三角形
BE ＝DE
1．审条件，挖解题信息 观察条件
―
→
△ABD 为正三角形∠BCD ＝120°，M 是AE 的中点
―――――――→取AB 的中点N ，连接DM ，DN ，MN MN ∥BE ，DN
⊥AB ，CB ⊥AB 2．审结论，明解题方向
观察所证结论―→DM ∥平面BEC ――――――→需证面面平行
或线线平行 平面DMN ∥平面BEC 或DM 平行于平面BEC 内的一条线 3．建联系，找解题突破口 结合条件与图形
――→
法一 证明平面DMN ∥平面BEC
――――――――――→
由面面平行推证线面平行DM ∥平面BEC
――→法二 在平面BEC 内作辅助线EF ∥DM ――――――――→利用线面平行的判定
DM ∥平面BEC
[教你准确规范解题] (1)如图，取BD 的中点O ，连接CO ，EO . 由于CB ＝CD ，所以CO ⊥BD .(1分)
又EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，CO ，EC ⊂平面EOC ， 所以BD ⊥平面EOC .
(2分)
因此BD ⊥EO . 又O 为BD 的中点，所以BE ＝DE .(3分) (2)法一：如图，取AB 的中点N ，连接DM ，DN ，MN . 因为M 是AE 的中点，所以MN ∥BE .(4分)
又MN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC .(5分)
又因为△ABD 为正三角形，所以∠BDN ＝30°.(6分) 又CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，因此∠CBD ＝30°.(7分) 所以DN ∥BC .又DN ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，
所以DN ∥平面BEC .
(9分)
又MN ∩DN ＝N ，所以平面DMN ∥平面BEC .(10分)
又DM ⊂平面DMN ，所以DM ∥平面BEC .(12分)
法二：如图，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF .(4分) 因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，所以∠CBD ＝30°.(5分) 因为△ABD
为正三角形，所以∠
BAD ＝60°，∠ABC ＝90°.(7分)
因此∠AFB ＝30°，所以AB ＝1
2
AF .
(9分) 又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．
(10分)
连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，得DM ∥EF .
又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ，(11分) 所以DM ∥平面BEC .(12分)
函数实际应用题答题模板
[典例] (2011山东高考·满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设
计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有
关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．
(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r .
[教你快速规范审题]
1．审条件，挖解题信息
观察条件―→中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，球的半径为r ，圆柱的母线为l ，以及容器的体积――――――→可根据体积公式
建立关系式
4πr 33＋πr 2l ＝80π
3―――――――→利用表面积公式求球及圆柱的表面积S 球＝4πr 2，S 圆柱＝2πrl
2．审结论，明解题方向
观察所求结论―→求y 关于r 的函数表达式，
求y 关于r 的函数表达式，
并求该函数的定义域――――――――――→求总造价y ，应求出球形部分及圆柱形部分各自的造价球形部分的造价为4πr 2c ，圆柱型部分的造价为2πrl ×3
3．建联系，找解题突破口
总造价y ＝球形部分的造价＋圆柱型部分的造价，即y ＝4πr 2c ＋2πrl ×3―――→应消掉l
只保留r
由4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－
4r
3――――→故可得
建造费用
y ＝160π
r －8πr 2＋4πcr 2
―――――――→由l ≥2r 可求r 的范围即定义域
0<r ≤2―→问题得以解决
1．审条件，挖解题信息
观察条件―→错误! 2．审结论，明解题方向
观察所求结论―→求该容器的建造费用最小时的r ――――――――――→建造费用最小，即y 最小问题转化为 当r 为何值时，y 取得最小值
3．建联系，找解题突破口
分析函数特点：含分式函数―――――――→可利用导数研究函数的最值
y ′＝－160π
r 2－16πr ＋8πcr ＝8π[(c －2)r 3－20]r 2
，0<r ≤2―
―――――→求导数为零的点
当r ＝
3
20
c －2
时，y ′＝0(02]→，的系，求极值
讨论
区间关
分
320
c －2≥2和0< 320c －2
<2两种情况讨论，并求得结论。