Chapter1Lecture#1课程大纲和信号基本概

We can calculate
ao
=
1 T
T
x(t)
=
1 T
τ /2
Adt
−τ /2
=
Aτ T
an
=
2 T
T
x(t) cos nΩt
=
2 T
τ /2 −τ /2
A cos nΩtdt
=
2Aτ T
sin
nΩτ 2
nΩτ
2
bn
=
2 T
T
x(t) sin nΩt
=
2 T
τ /2
A sin nΩtdt = 0
时间域的描述，是比较直接的描述。一般使用时间域上的函数，即：y=f(t)。 一般，频谱作为分析的方法和手段，不作为信号的描述。实际上，像信号的 波形一样，频谱也是信号的描述。
1.1.2 信号的分类
对函数y = f (t),
1. 连续时间信号和离散时间信号：在时间域上是连续的称连续时间信 号；在时间域上是离散的称离散时间信号。例子：y = sin(2πt), t ∈ R, 和y[n] = sin(2πn), n = {0, 1, 2, ..., n}.
−τ /2
Therefore, we have
5
Here we use
x(t)
=
Aτ T
+
2Aτ T
∞ n=1
sinc
nΩτ 2
cos nΩt
sincx
=
sin x x
This sinc function is very important in signal processing, called filtering or in-
T0−
>
∞,
Ω−
>
0.
∆ω
=
2π T0
fT0 (t)
=
∞ n=−∞
F
(n∆ω)∆ω 2π
e(jn∆ω)t
f (t)
=
limT0−>∞fT0 (t)
=
lim
∆ω−>0
1 2π
∞ n=−∞
F
(n∆ω)e(jn∆ω)t∆ω
f (t)
=
1 2π
∞ F (ω)e(jω)tdω
−∞
This is called 傅里叶积分。
∞
x(t) = C0 + Cn cos(nΩt + θn),
n=1
where C0 = a0, Cn =
a2n + b2n, θn = tan−1
−bn an
.
Example #1 x(t) 是一个周期为T 的矩形脉冲信号，其波形如图1-4所示，求其三角函 数的傅里叶级数系数，并变换成紧缩格式（compact)。
Chapter 1
Lecture #1: 课程大纲和信号基本概 念
1.1 信号的基本概念
1.1.1 信号的定义
信号：带有信息的某种物理量。例子：雷达信号，无线电载波信号，手机信 号。系统：获取信号，处理信号，产生信号。
信号的表示：数学上，可以用一个或者几个独立变量的函数来表示。例 如，y=sin(t)，y=f(x,y)。还有随机信号。
备的正交函数集。
{sin(Ωt), sin(2Ωt), ..., sin(nΩt), ...} 是正交函数集，但不是完备的正交函
数集。
Notes:
t0+T
1 · cos(Ωt)dt = 0
t0
t0+T
sin(Ωt) · cos(Ωt)dt = 0
t0
t0+T t0
cos(Ωt) · cos(2Ωt)dt
k=−∞
We know
Dk
=
1 T
x(t)e−jkΩtdt
T
周期信号的傅里叶变换可以表示成：
X(ω) =
+∞ +∞
DkejkΩt e−jωtdt =
+∞
Dk
−∞ k=−∞
k=−∞
+∞ ej(kΩ−ω)tdt
−∞
Because of ejkΩt ←→ 2πδ(ω − kΩ),
Example #3:
+∞
ejnΩ0t
Notes: The exponential Fourier series is just another way of representing trigonometric Fourier series (or vice versa). Why use exponential form?
∞
f (t) =
DnejnΩ0t
n=−∞
We can straightforwardly have
Dn
=
1 T0
f (t)e−jnΩ0tdt
T0
Or
we
can also
obtain
this
by
using
cos x
=
ej x +e−j x 2
in
the
trigonometric
Fourier
series.
2. 模拟信号和数字信号：信号在幅值上可取无穷多值的，连续的，就是 模拟信号。对应地，信号在幅值上只能取有限个值的，不连续的，就 是数字信号。确切地讲，我们这门课是关于离散时间数字信号处理。 但是这些原理和方法对离散时间的模拟和数字信号都使用（只有量化 部分不同），所以，更合适的名称应该是离散时间信号处理。
幅值和相位的作用：
1. 信号使用谐波表示：
2. 幅值频谱表示了f(t)不同频率上的幅值。如果f(t)光滑连续，则使用较少 的低频分量就可以合成f(t).
3. 相位频谱和幅值频谱的作用一样重要。
1.3.2.2 指数函数频谱 频谱特征：
1. x轴坐标是k,代表频率。
2. y代表频谱的幅值。指数形式的幅值，是三角函数幅值的一半。
X(ω) = 2π
Dkδ(ω − kΩ).
k=−∞
X
(ω)
=
2π
∞ n=−∞
Aτ T
sinc
nΩτ 2
δ(ω
−
nΩ)
1.4 连续非周期信号的傅里叶变换
周期函数fT0 是非周期函数的周期拓展。
∞
fT0(t) =
DnejnΩt
Hale Waihona Puke n=−∞We can straightforwardly have
Dn
=
1 T0
4
1.3 连续周期信号的傅里叶级数和频谱分析
1.3.1 周期信号的傅里叶级数展开
1.3.1.1 周期信号的三角函数傅里叶级数
三角函数的完备正交函数集，在此基础上，一个时变信号可以展开成三角函 数的傅里叶级数。
∞
x(t) = a0 + an cos nΩt + bn sin nΩt,
n=1
where Ω = 2π/T . We can calculate
F (ω) = F[f (t)]
满足如下的正交特性：
t2
gi(t)gj(t)dt =
t1
0, C,
i=j i=j
i, j = 1, 2, ..., n
则称此函数集为区间(t1, t2)上的正交函数集。
完备的正交函数集： 如果在正交函数集g1(t), g2(t), ..., gn(t)外，不存在满足下式的函数ϕ(t):
t2
ϕ(t)gj(t)dt = 0, j = 1, 2, ..., n
7
3. 周期越长，频率的间隔越窄。例子中nΩτ /2 = π, 所以n = T /τ . 4. 能量主要集中在第一个零点范围内。频带宽度或带宽。
8
Lecture #3: 连续周期，非周期信号 的傅里叶变换
1.3.3 周期信号的傅里叶变换
周期函数写成各次谐波分量之和，
+∞
x(t) =
Dk ej kΩt
terpolating function. 性质：
1. even function
2. sinc(0)=1 by using 罗比达（L Hopital rule) and sinc(x) = 0 when x = ±π, ±2π, ...
1.3.1.2 周期信号的指数形式傅里叶级数 ejnΩ0t(n = 0, ±1, ±2, ...)是区间T0 = 2π/Ω0上的完备正交集。
T0/2 −T0/2
fT0
(t)e−jnΩtdt
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wheWrehΩen=T02Tπ0−. − > ∞,
Dn
=
1 T0
∞ f (t)e−jnΩtdt
−∞
定义 We have
F (ω)
∞ f (t)e−jωtdt
−∞
Dn
=
1 T0
F
(nΩ)
fT0 (t)
=
∞ n=−∞
F
(nΩ) T0
ejnΩt
When
1. This form is more compact.
2. The system response to exponential signals is more compact than the system response to sinusoids.
3. The mathematical manipulation and handling of exponential form proves much easier than trigonometric form.
ejmΩ0t(ejnΩ0t)∗dt = ej(m−n)Ω0tdt =
T0
T0
0 m=n T0 m = n