弯曲应力和强度计算工程力学

在纯弯曲梁的横截面上任取一微面积dA(图3-3)，微面积上的 微内力为σdA。由于横截面上的内力只有弯矩M，所以由横截
面上的微内力构成的合力必为零，而梁横截面上的微内力对
中性轴z的合力矩就是弯矩M，即 FN= dA 0 和 A
M= ydA 将σ=Ky代入以上两式，得 A
FN= KydA 0 A
1. 矩形截面的惯性矩Iz
图3-4矩形截面，其高度为h，宽度为b，通过形心O的轴为z和 y。为了计算该截面对z轴的惯性矩Iz，可取平行于z轴的狭长 条为微面积，即dA=bdy，这样矩形截面对z轴的惯性矩即为
Iz=
y 2dA h / 2 by 2dy bh3
A
h / 2
12
(3.7a)
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轴的惯性矩
Iz=IzC+Ad2
(3.9)
即截面对任一轴z的惯性矩，等于它对平行于该轴的形心轴zC的
惯性矩，加上截面面积与两平行轴距离平方之积。式(3.9)称为 惯性矩的平行移轴公式。
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3.2 梁弯曲时正应力强度计算
3.2 梁弯曲时正应力强度计算
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
相应地，抗弯截面系数为
Wz
Iz ymax
=
bh 2 6
(3.7b)
2. 圆形截面的惯性矩Iz
下面我们直接给出圆形截面的和圆环形截对中性轴的
惯性矩Iz计算公式：
(1) 圆形截面(图3-5)的惯性矩
Iz
d 4
64
(3.8a) 上一页 下一页 返回
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸和压缩分
别建立强度条件，即
σl max≤[σl], σy max≤[σy]
(3.11)
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3.3 弯曲切应力简介
3.3.1 矩形截面梁上的切应力
设矩形截面梁的横截面宽度为b，高为h，且h>b（图3-7），横 截面上剪力为FQ。梁横截面上的切应力的分布比较复杂，对于
max
4FQ 3A
（3.16）
圆环形截面：
max
2
FQ A
(3.17)
式(3.15)中，A腹=ht；式(3.16)和(3.17)中A为横截面的面积。
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3.3 弯曲切应力简介
第三章 弯曲强度与刚度
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力 3.2 梁弯曲时正应力强度计算 3.3 弯曲切应力简介 3.4 梁的弯曲变形与刚度 3.5 提高梁的强度和刚度的措施 小 结
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3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
3.1.1 纯弯曲变形
一般情况下，梁横截面上既有弯矩又有剪力。对于横截面上 的某点而言，则既有正应力又有切应力。但是，梁的强度主 要决定于横截面上的正应力，切应力居次要地位。所以本节 将讨论梁在纯弯曲(截面上没有剪力)时横截面上的正应力。
一矩形截面等直梁如图3-1a所示。梁上作用着两个对称的集
中力F，该梁的剪力图和弯矩图如图3-1b、c所示，在梁的CD
段内，横截面上只有弯矩没有剪力，且全段内弯矩为一常数， 这种弯曲称为纯弯曲。
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3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
3.1.2 正应力分布规律
根据平面假设可得出矩形截面梁在纯弯曲时的正应力分布规 律：
矩；
Iz——横截面对中性轴z的惯性矩； b——矩形截面的宽度。
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3.3 弯曲切应力简介
3.3.2 典型截面梁的最大切应力计算
常见典型截面梁如工字形、圆形截面梁、圆环形截面梁，最大切应
力发生在中性轴上， 工字形截面：
如图ma3x-8所AF示腹Q ，其值分别（为3.15）
圆形截面：
的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单
向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ]，即
max
M max Wz
≤[σ]
（3.10）
式(3.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是，
式(3.10)只适用于许用拉应力[σl]和许用压应力[σy]相等
的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁
(1) 中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。 (2) 距中性轴距离相等的各点，其线应变相等，根据胡克定
律，它们的正应力也相等。
(3) 横截面上的正应力沿横截面y轴线性分布，即σ=Ky，或
K=，K为待定常数，如图3-2所示。
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3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
3.1.3 弯曲正应力的计算
故有
KIz=M
将 K=
代入式(3.3)，得
y
My
Iz
式(9.4)即为梁的正应力计算公式
(3.3) (3.4)
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3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
3.1.4 常用截面的惯性矩的计算
为了应用公式（3.4），必须解决惯性矩Iz的计算问题。根据
Iz= y 2dA 即可导出梁的截面为各种形状时的Iz的计算公 式。 A
M=
Ky 2dA
A
（3.1）
（3.2）
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3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
式（3.1）中， ydA =yc·A=S z*，为截面对z轴的静矩， A
故有
yc·A＝0
显然，横截面面积A≠０，只有yc＝０，说明中性轴z轴通过截面
形心。
式（3.2）中， y 2 dA 为截面对z轴的惯性矩，记作Iz，单位为m4 或 mm4。 A
其抗弯截面系数为
Wz
d 3
32
(2) 圆环形截面(图3-6)的惯性矩
(3.8b)
Iz
(D4
64
d4)
D 4
64
(1 4 )
(3.8a)
其抗弯截面系数为
Wz
D 3
32
(1 4 )
(3.8b) 上一页 下一页 返回
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
3. 组合截面的惯性矩Iz
设有一平面图形，通过形心C点的轴线zC与相互平行的z轴的距离 为d，若图形面积为A，对于zC轴的惯性矩为IzC，则此图形对于z
矩形截面梁可以作以下二点假设：
（1）横截面上各点的剪应力方向与剪力FQ方向相同。
（2）切应力沿截面宽度均匀分布，距中性轴等距离的各点切应 力数值都相等。据此可以推导出矩形截面梁横截面上距中性轴
为y处的切应力计算公式为：
FQ
S
* z
Izb
(3.12)
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3.3 弯曲切应力简介
式中：FQ——横截面上的剪力； SZ*——距中性轴为y的横线外侧部分的面积A*对中性轴z的静