范例 - 谐响应分析理论求解与ANSYS求解

虽然在ANSYS中进行谐响应分析是一个很简单的过程，只需要几行代码就可以实现。

很多朋友根据书上或者网上已有的分析代码稍作修改就可以进行分析了。

但是其中很多概念是否理解了呢，得到的结果有什么实际意义呢。

下面通过介绍一个单自由度的弹簧振子的谐响应分析理论求解，然后在ANSYS中求解。

通过两种结果的对比，以解释一些概念。

这个例子是Help手册中的VM86，很多振动学的教材中都会有这样的例子。

1.问题描述
如上图是一个典型的单自由度弹簧振子系统。

假设此系统承受谐激励载荷。

其中为激励载荷的幅值，为载荷的周期。

2.理论基础
此系统的动力方程为：
(1)
这个方程的求解方法很多，下面介绍一种最常用的求解方式：方程两边同除以，得到
(2)
如果令，
则上式可以写成：
(3)
这个方程的解分为两部分，一部分为齐次方程的解，就是阻尼系统的自由振动响应，自由振动响应随时间衰减，最后消失，所以自由振动响应也叫瞬态响应。

另一部分是特解，也就是强迫振动响应。

不会随时间衰减，所以称为稳态响应。

由于系统是线性系统，瞬态响应和稳态响应可分别求解，然后合成为系统的总响应。

下面介绍如何求解系统的稳态响应，即方程(3)的特解。

由于激振力为简谐力，可以证明系统的稳态响应也是简谐的，并且与激振力有同样的频率。

设系统的稳态响应有如下形式：
(4)
其中，和分别是系统响应的幅值和相位。

将式(4)代入方程式(3)，可得
(5) 利用三角函数关系
故有，
(6)
求解上式可得到
(7)
这样就得到了系统稳态响应的幅值和相位角
对于方程(3)的齐次方程的解，也就是瞬态解这里只是给出求解结果，以后有机会再写详细的求解过程。

有阻尼系统的自由振动方程为：
(8)
工程中阻尼一般比较小，此方程的解可以表示为：
于是振动微分方程的(1)的解为：
画出此响应曲线如下图：
从图中可以看到，正如前面所说的，由于阻尼的存在，瞬态响应部分随时间的增加很快就消失了。

所以通常进行谐强迫振动分析时，我们只需关注系统的稳态解，也就是求解幅值和相位角。

各变量的数值将根据VM86中给定，为了方便将所有变量单位换成国际单位值。

问题中需要求解当激励与系统固有频率相同时的情形，即。

3. 理论求解
根据公式(7)及
有
4. ANSYS求解
在ANSYS中求解时需输入激励频率大小，根据前面的分析有：
（ANSYS V11.0手册中的公式有笔误）
这里需要注意ANSYS中用的是频率，单位为；在理论分析中使用的较多的是圆频率，单位为每秒弧度，这点不要搞错了。

求解代码如下：
1./VERIFY,VM86
2./PREP7
3./TITLE, VM86, HARMONIC RESPONSE OF A DYNAMIC SYSTEM, MEDIFIED BY
4.ET,1,COMBIN40,,,2,,,2
5.R,1,200,6,0.5 ! SPRING STIFFNESS = 200, C = 6, M = .5
6.N,1
7.N,2,0,1
8.E,1,2
9.FINISH
10./SOLU
11.ANTYPE,HARMIC
12.OUTPR,BASIC,1
13.HARFRQ,,3.1831
14.D,1,UY
15.F,2,FY,10
16.SOLVE
17.FINISH
18./POST26
19.NSOL,2,2,U,Y
20.PRCPLX,1
21.PRVAR,2
复制代码
ANSYS输出结果如下：
TIME 2 UY
UY
AMPLITUDE PHASE
3.1831 0.833333E-01 -90.0001
即，频率为3.1831(这是我们输入的)，幅值为0.08333，相位角为-90。

注意，上面的代码和手册中的代码有些不同了，下面将对修改的代码和结果做进一步的讨论。

5. 结果讨论
下面将对ANSYS求解代码做一下讲解，并讨论结果。

1、结果对比
理论求解的幅值和相位角为和，可是ANSYS中得到的结果分别是和。

难道是求解有误？
其实没有任何错误，两种方法得到的结果是完全一致的，只不过是表示方式不同。

细心的读者会发现，在ANSYS手册介绍谐响应分析中有一个图片，如下图，这个图片中标示了ANSYS中对结果的表示方式。

从上图可以看到ANSYS中将结果表达为。

而在理论分析中相位角前面使用的是负号，所以说两种方式求解的结果是完全一致的。

2、ANSYS中阻尼项的设置
在现实中准确描述阻尼力的大小是很困难的，但是人们发现阻尼力正比于速度的粘性阻尼模型最为简单，结果也令人满意。

即，阻尼力：
是比例常数。

上面的例子中就假设。

在VM86的代码中使用的是COMBIN40单元，此单元可以综合设置质量，弹性系数，阻尼系数等，所以手册中称之为一个综合单元。

查看手册就可以发现，通过COMBIN40单元可以直接设置的值。

在中文中各种阻尼系数的称呼比较模糊，有的地方甚至混用，这里给出在英文中各种名称、符号及它们之间的相互关系，以供参考：
为了说明阻尼的问题，ANSYS对这个问题用另外一种方式设置阻尼，参考VM87。

它令为零，直接设置值，当然得到的结果是一样的。

有兴趣的朋友可以自己试一下。

3、谱响应分析的求解方法
ANSYS中谐响应分析有三种求解方法：完全法，缩减法和模态叠加法(full, reduced, mode superposition)。

这三种方式的优缺点对比大家可以参考ANSYS手册。

在VM86中使用的是缩减法，我在上面给出的代码是采用的完全法。

需注意的是，如果采用缩减法进行谐响应分析，则用\POST26进行后处理时必须使用FILE,,RFRQ命令指定结果文件。

可以参考FILE命令中的介绍：
For postprocessing reduced structural analyses in POST26, use the RDSP extension for displacements from transient dynamic analyses or the RFRQ extension from harmonic response analyses.
4、如何得到幅值和相位角
在VM86中是没有读出幅值和相位角的，它读出的是位移响应的实部和虚部(Real/Imaginary)。

其实他们之间是可以相互转换的，其关系如下图：
ANSYS在默认情况下输出的是实部和虚部结果，在上面的代码中，我在输出结果命令前加了一行PRCPLX,1，定义结果输出为幅值和相位角的形式。