高一-函数的概念及其表示

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人教版高一数学必修一第一单元知识点:函数及其表示

人教版高一数学必修一第一单元知识点:函数及其表示

人教版高一数学必修一第一单元知识点:函数及其表示数学,是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科,小编准备了人教版高一数学必修一第一单元知识点,希望你喜欢。

1.函数的基本概念(1)函数的定义:设A、B是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫自变量,x的取值范围A叫做定义域,与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合B的子集.(3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(4)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等;这是判断两函数相等的依据.2.函数的三种表示方法表示函数的常用方法有:解析法、列表法、图象法.3.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射.注意:一个方法求复合函数y=f(t),t=q(x)的定义域的方法:①若y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得a两个防范(1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域.(2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性.三个要素函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射f:A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.人教版高一数学必修一第一单元知识点就为大家介绍到这里,希望对你有所帮助。

人教版高中数学《函数的概念及其表示》教学课件

人教版高中数学《函数的概念及其表示》教学课件

B1={S|0≤S≤175}
函数值的集合
对于 数集A1 中的任意时刻t,按照对应关系 S=350t,在
唯一确定的路程S和它对应。
数集B中都有
1
二、创设情境、兴趣导入
问题2:某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天。如果公司
确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资.那么
(1) 你认为该怎样确定一个工人每周的工资?(使用w表示工资,d表示天数)
f ,
那么就称 f:A→B 为从集合A到集合B的一个函数,
记作y=f(x),x∈A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A }叫
做函数的值域.
{| = (). ∈ }
函数三要素:
定义域
对应关系f
值域
四、巩固理解、知识应用
二、创设情境、兴趣导入
食物支出金额
× 100%)反映一个地区生活质量的
总支出金额
高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化
情况,从中可以看出,该省城镇居民的生活质量越来越高.
问题4:国际上常用恩格尔系数r(r =
(1)你认为按表3.1-1给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?
}
4
{y|y≠0, ∈ }
29.35、28.57}
函数值的集合
对于 数集A4 中的任意一个年份y,按照对应关系 表3.1-1 ,
在 数集C4 中都有唯一确定恩格尔系数r和它对应。
二、创设情境、兴趣导入
A4={2006、2007、2008、2009、
2010、2011、2012、2013、2014、

函数的概念及其表示

函数的概念及其表示

函数的概念及其表示知识梳理1.函数的基本概念(1)函数的定义一般地,设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应;那么就称:f:A→B为从集合A 到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.(3)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.(4)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图象法.(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.2.函数定义域的求法要点一、函数的概念例1、设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M 到集合N的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②例2、下列四组函数中,表示同一函数的是()A.f(x)=|x|,g(x)=B.f(x)=lg x2,g(x)=2lg xC.f(x)=,g(x)=x+1D.f(x)=•,g(x)=例3、下列集合A,B及其对应法则,不能构成函数的是()A.A=B=R f(x)=|x|B.A=B=RC.A={1,2,3,4),B={2,3,4,5,6}f(x)=x+1D.A={x|x>0},B={1}f(x)=x0答案:C A B练习1、下列四个图形中不可能是函数y=f(x)图象的是()A.B.C.D.2、已知函数f(x)的定义域A={x|0≤x≤2},值域B={y|1≤y≤2},下列选项中,能表示f (x)的图象的只可能是()A.B.C.D.3、下列四组函数中的f(x)和g(x)相等的是()A.B.C.D.4、下列对应是从集合A到B的函数的是()A.A=N,B=R,对应关系f:“求平方根”B.A=N*,B=N*,对应关系f:x→y=|x﹣3|C.A=R,B={0,1},对应关系f:D.A=Z,B=Q,对应关系5、中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做:“函数”,沿用至今,为什么这么翻译,书中解释说“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义,已知集合M={﹣1,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个对应法则:①,②y=x+1,③y=|x|,④y=x2,请由函数定义判断,其中能构成从M到N的函数的是()A.①③B.①②C.③④D.②④要点二、函数的定义域例4、函数的定义域是()A.(1,2]B.(1,2)C.(2,+∞)D.(﹣∞,2)例5、已知函数y=f(x+1)的定义域是[﹣1,2],则函数y=f(﹣x)的定义域为()A.[﹣3,0]B.[﹣1,2]C.[0,3]D.[﹣2,1]例6、若函数y=的定义域为R,则a的取值范围为()A.(0,4]B.[4,+∞)C.[0,4] D.(4,+∞)答案: B A C 练习6、函数f (x )=+的定义域为( )A .(﹣3,0]B .(﹣3,1]C .(﹣∞,﹣3)∪(﹣3,0]D .(﹣∞,﹣3)∪(﹣3,1] 7、函数f (x )=(x ﹣5)0+(x ﹣2)的定义域为( )A .{x ∈R |2<x <5或x >5}B .{x ∈R |x >2}C .{x ∈R |x >5}D .{x ∈R |x ≠5且x ≠2}8、若函数f (x )的定义域为[1,2],则函数y=f (x 2)的定义域为( ) A .[1,4]B .[1,] C .[﹣,] D .[﹣,﹣1]∪[1,]9、若函数f (3﹣2x )的定义域为[﹣1,2],则函数f (x )的定义域是( ) A .B .[﹣1,2]C .[﹣1,5]D .10、已知函数的定义域为R ,则实数a 的取值范围是( ) A .(0, B .(﹣∞,C .,+∞)D .[1,+∞)要点三、函数的解析式例7 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,求f (x )的解析式.(2) f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试求出f (x )的解析式(3) 定义在(-1,1)内的函数f (x )满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求函数f (x )的解析式. (4)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +1)=2f (x ).若当0≤x ≤1时,f (x )=x (1-x ),则当-1≤x ≤0时,f (x )=________.练习11、已知函数,则( )A .f (x )=x 2+2x +1B .f (x )=x 2﹣2x +3(x ≥1)C .f (x )=x 2﹣2x +1D .f (x )=x 2+2x +3(x ≥1)12、若函数f (x )满足f ()=x ,则f (x )的解析式为( )A.f(x)=(x≠1)B.f(x)=,(x≠﹣1)C.f(x)=(x≠1)D.f(x)=(x≠﹣1)13、已知函数f(x)=2x+3,若f(g(x))=6x﹣7,则函数g(x)的解析式为()A.g(x)=4x﹣10B.g(x)=3x﹣5C.g(x)=3x﹣10D.g(x)=4x+414、若函数f(x)对于任意实数x恒有3f(x)﹣2f(﹣x)=5x+1,则f(x)=.15、已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=+1,则f(x)=.答案:1、C 2、D 3、C 4、C 5、C 6、C 7、A 8、D 9、C 10、C 11、B 12、A 13、B 14、x+1。

高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结

函数一、函数的定义:1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.(1)其中,x叫做自变量,x的取值X围A叫做函数的定义域;(2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.2.函数的三要素:定义域、值域、对应法则3.函数的表示方法:(1)解析法:明确函数的定义域(2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

(3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.(2) 画法A、描点法:B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换,即平移。

(3)函数图像平移变换的特点:1)加左减右——————只对x2)上减下加——————只对y3)函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)4)函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)5)函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)6)函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去,x轴上面图像不动得函数y=| f(x)|7)函数y=f(x) 先作x≥0的图像,然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法(1)、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.(2)、求函数的解析式的主要方法有:1)代入法:2)待定系数法:3)换元法:4)拼凑法:2.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示

高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示

第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一:函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素:定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的,所以两个函数的定义域和对应关系相同时,它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二:函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x),x∈A,如果自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的对应关系,那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1,x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应,但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。

如f(x)=x2中,函数值4有两个自变量2、-2与之对应。

函数中x,y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.(多选题)下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。

3.1函数的概念及其表示方法-(必修第一册) (教师版)

3.1函数的概念及其表示方法-(必修第一册) (教师版)

函数的概念及其表示方法一函数的概念1 概念设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x) ,x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.2 定义域①概念函数自变量x的取值范围.②求函数的定义域主要应考虑以下几点(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1;(5)指数为零底不可以等于零;(6)抽象函数的定义域较为复杂.3 值域①概念函数值y的取值范围②求值域的方法(1)配方法(2)数形结合(3) 换元法(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法4 区间实数集R表示为(−∞ ,+∞).二函数的表示方法1表格法如上表,我们很容易看到y与r之间的函数关系.在初中刚学画一次函数图像时,第一步就是列表,其实就是用表格法表示一次函数.2 图像法如上图,很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系,特别是其趋势.数学中的“数形结合”也就是这回事,它是数学一大思想,在高中解题中识图和画图尤为重要.3 解析式求函数解析式的方法(1)配凑法(2)待定系数法(3)换元法(4)构造方程组法(5)代入法【题型一】函数概念的理解【典题1】设集合M={x|0≤x≤2} ,N={y|0≤y≤2} , 给出如下四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )【解析】(本题相当把M={x|0≤x≤2}看成定义域,N={y|0≤y≤2}看成值域)图象A不满足条件,因为当1<x≤2时,N中没有y值与之对应.图象B不满足条件,因为当x=2时,N中没有y值与之对应.图象C 不满足条件,因为对于集合M ={x|0<x ≤2}中的每一个x 值,在集合N 中有2个y 值与之对应,不满足函数的定义.只有D 中的图象满足对于集合M ={x|0≤x ≤2}中的每一个x 值,在N ={y|0≤y ≤2}中都有唯一确定的一个y 值与之对应,故选D .【典题2】 给定的下列四个式子中,能确定y 是x 的函数的是( ) ① x 2+y 2=1 ② |x -1|+√y 2−1=0 ③ √x −1+√y −1=1 ④ y =√x −2+√1−x . A .①B .②C .③D .④【解析】①由x 2+y 2=1得y =±√1−x 2,不满足函数的定义, 比如x =0,y =±1,所以①不是函数.②由|x -1|+√y 2−1=0得|x -1|=0,√y 2−1=0, 所以x =1 ,y =±1,所以②不是函数.③由√x −1+√y −1=1得y =(1−√x −1)2+1,满足函数的定义,所以③是函数.④要使函数y =√x −2+√1−x 有意义,则{x −2≥01−x ≥0,解得{x ≥2x ≤1,此时不等式组无解,所以④不是函数.故选:C .【点拨】函数中自变量x 与函数值y 的关系是“一对一或多对一”的关系,不能是“一对多”.【题型二】求函数的定义域 【典题1】 函数y =√−x 2+2x+3x的定义域是 .【解析】要使函数有意义,则{−x 2+2x +3≥0x ≠0,即{−1≤x ≤3x ≠0.即−1≤x <0或0<x ≤3,即函数的定义域为[−1 ,0)⋃(0 ,3].【典题2】 下列各组函数中表示的函数不同的是 ( ) A .f(x)=x ,g(x)=√x 33B .f(x)=√x 2 ,g(x)=|x|C .f (x )=x 2−3x ,g (t )=t 2−3tD .f(x)=x 2−4x−2 ,g(x)=x +2【解析】A ,B ,C 的定义域和对应法则相同,表示同一函数,D中g(x)=x+2的定义域是R,f(x)=x2−4x−2=x+2定义域为{x|x≠2},两个函数的定义域不相同,不是同一函数.故选:D.【点拨】①判断两个函数是否是同一函数,看函数的定义域和解析式是否均相同;②函数反应的是两个变量的关系,至于用什么字母表示都一样,故选项C的f(x)=x2-3x ,g(t)=t2-3t是同一函数.【典题3】已知f(x2−1)定义域为[0 ,3],求f(2x−1)的定义域.【解析】∵0≤x≤3 ∴−1≤x2−1≤8∴−1≤2x−1≤8 ∴0≤x≤9 2故函数f(2x−1)的定义域是[0 ,92].【点拨】抽象函数的定义域理解起来不容易,由于函数的解析式与字母的选择无关,若把题目换成“已知f(x2−1)定义域为[0 ,3],求f(2t−1)的定义域.”好理解多了,①谨记定义域指的是自变量的取值范围,所以由“f(x2−1)定义域为[0 ,3]”得到的是“0≤x≤3”,“求f(2t−1)的定义域”指的就是求t的范围.②把“x2−1”和“2t−1”都看成整体,它们的范围是相等的这样就有“−1≤x2−1≤8 ⇒−1≤2t−1≤8”.【题型三】求函数的值域方法1 配方法【典题1】求函数y=5x 2−4x+1x2在区间x∈[14,1]的值域.【解析】y=5x 2−4x+1x2=1x2−4x+5=(1x−2)2+1∵x∈[14 ,1] ∴1x∈[1 ,4],∴1≤(1x−2)2+1≤5,即y=5x 2−4x+1x2在区间x∈[14,1]的值域[1 ,5].【点拨】配方法针对二次函数型的函数值域.方法2 数形结合【典题2】 求函数f (x )={2x −x 2 ,(0≤x ≤3)x 2+6x ,(−2≤x ≤0)的值域.【解析】(这是分段函数,两段函数均为二次函数,其图像易得,故可用数形结合求值域) f (x )=2 x −x 2=−(x −1)2+1,开口向下,最大值为f (1)=1 , 而f(0)=0 ,f(3)=−3 ,f (x )=x 2+6 x =(x +3)2−9 , 开口向上,而f(−2)=−8 ,f(0)=0, 可得到函数图像如右图,易得函数值域为[−8 ,1]. 【点拨】数形结合最大的好处是直观.方法3 换元法【典题3】 求函数f (x )=2x +√1−x 的值域.【解析】令t =√1−x (t ≥0),(要注意新变量t 的取值范围) 得x =−t 2+1,∴原函数化为y =−2t 2+t +2=−2(t −14)2+178≤178(把函数转化为二次函数值域问题)∴函数f (x )=2 x +√1−x 的值域为(−∞ ,178].【点拨】本题利用换元法把不熟悉函数值域问题转化为熟悉的二次函数值域问题,即求函数f (x )=2x +√1−x 的值域⇔y =−2t 2+t +2 (t ≥0)的值域,其中特别注意t ≥0不能忽略!这正是体现了数学中的“等价转化”思想.【典题4】 函数f(x)=−9−x +(13)x−1+34在[−1 ,+∞)上的值域为 .【解析】f(x)=−9−x +(13)x−1+34=−(13)2x +3×(13)x +34,(本题主要是注意到了9−x 和(13)x−1均可(13)x 或3x 的形式,故想到换元法) 令t =(13)x ,因为x ∈[-1 ,+∞),所以t ∈(0 ,3],原函数的值域等价于函数g(t)=−t 2+3t +34=−(t −32)2+3(0<t ≤3)的值域, 由二次函数的性质可知,f(x)=[34 ,3],即所求函数的值域为[34 ,3]. 【点拨】① 换元法的本质就是“整体思想”,它能把“不太友善的”表示形式转化为“友善的”,前2题均用换元法把复杂形式函数转化为二次函数,故解题过程中特别要注意式子的结构特征.②换元法要注意换元后变量的取值范围,比如典题3的“t≥0”,典题4中的“t∈(0 ,3]".方法4 函数单调性法【典题5】函数f(x)=2x2−2x+3 ,x∈[0 ,3]的值域为.【解析】由复合函数的单调性可知,函数f(x)在[0 ,1]上单减,在[1 ,3]上单增,又f(0)=23=8 ,f(1)=22=4 ,f(3)=26=64,∴函数值域为[4 ,64].【点拨】①利用函数单调性是求函数值域最常见的方法,高二还会学到导数,它是一把利器.②复合函数的单调性是"同增异减".方法5 分离常数法【典题6】求函数f(x)=2x 2−1x2+1的值域.【解析】函数f(x)=2x 2−1x2+1=2(x2+1)−3x2+1=2(x2+1)x2+1−3x2+1=2−3x2+1,(在分子2x2−1中“凑出”分母x2+1,最终达到“分式中的分子是个常数3”的目的)∵x2+1≥1 ,∴0<1x2+1≤1⇒−3≤−3x2+1<0⇒−1≤2−3x2+1<2,故函数f(x)=x 2−1x2+1的值域是[-1 ,2).【点拨】形如f(x)=a∙g(x)+bc∙g(x)+d 均可用分离常数法求函数值域,比如求函数y=3x+14x−2,y=3∙2x+42x−1的值域.方法6 基本不等式法(对勾函数法)【典题7】求函数f(x)=x 2+4x+1x2+1(x≥0)的值域.【解析】∵f(x)=x 2+4x+1x2+1=x2+1x2+1+4xx2+1=1+4xx2+1,(也有点分离常数法的感觉)∴①当x=0时,f(x)=1;(x=0这个不能漏)②当x>0时,0<4xx2+1=4x+1x≤4√x⋅1x=2,当且仅当x=1时“=”成立;此时1<f(x)≤3,(利用对勾函数y=x+1x(x>0)的图像求解也可以)∴函数f(x)=x 2+4x+1x 2+1(x ≥0)的值域为[1,3].【点拨】利用基本不等式法(对勾函数法)能处理二次分式函数y =dx 2+ex+fax 2+bx+c 的值域. 巩固练习1(★) 函数y =f(x −1)与函数y =f(x +1) ( ) A .是同一个函数 B .定义域相同 C .图象重合 D .值域相同【答案】 D【解析】由于函数y =f(x -1)中x -1的范围与函数y =f(x +1)中x +1的范围相同,且两个函数具有相同的对应关系f ,故函数y =f(x -1)与函数y =f(x +1)具有相同的值域, 故选:D .2(★) 函数f(x)=√−x 2+4x +12+1x−4的定义域为 . 【答案】[−2,4)∪(4,6]【解析】解{−x 2+4x +12≥0x −4≠0得,-2≤x ≤6,且x ≠4; ∴f(x)的定义域为:[-2,4)∪(4,6].3(★★) 已知函数f(x +1)定义域为[1 ,4],则函数f(x -1)的定义域为 . 【答案】[3 ,6]【解析】∵f(x +1)的定义域为[1,4];∴1≤x ≤4;∴2≤x +1≤5; ∴f(x)的定义域为[2,5];∴f(x -1)满足:2≤x -1≤5;∴3≤x ≤6; ∴f(x -1)的定义域为[3,6].4(★★) 函数y =2−√−x 2+4x 的值域是为 . 【答案】 [0,2]【解析】∵0≤-x 2+4x ≤4,∴0≤√−x 2+4x ≤2, ∴0≤2−√−x 2+4x ≤2,故函数y =2−√−x 2+4x 的值域是[0,2].5(★★) 函数y =√x −1+√x +1,(x ≥1)的值域为 . 【答案】[√2,+∞]【解析】函数y =√x −1+√x +1显然在 x ≥ 1上是增函数,所以函数值域为[√2,+∞]. 6(★★) 函数f(x)=x−1x+3(x ≥1)的值域为 . 【答案】 [0,1)【解析】f(x)=x+3−4x+3=x+3x+3−4x+3=1−4x+3, 则当x ≥1时,f(x)为增函数, 则f(1)≤f(x)<1,即0≤f(x)<1, 即函数的值域为[0,1).7(★★) 函数y =4x +2x+1+3的值域为 . 【答案】(3 ,+∞) 【解析】令t =2x (t >0),∴函数y =4x +2x+1+3(x ∈R)化为f(t)=t 2+2t +3=(t +1)2+2(t >0), ∴f(t)>3,即函数y =4x +2x+1+3的值域为(3,+∞). 8(★★★) 求函数y =2x 2−x+12x−1(x >12)的值域.【答案】[12+√2 ,+∞) 【解析】 y =2x 2−x+12x−1=x(2 x−1)+12 x−1=x +12 x−1=x −12+12 x−1+12∵ x >12, ∴ x −12>0 ∴ x −12+12x−12≥2 √( x −12)×12x−12=√2当且仅当 x −12=12x−12时,即x =1+√22时等号成立,∴ y ≥√2+12 ,所以原函数的值域为 [12+√2,+∞) .【题型四】分段函数【典题1】设函数f(x)={x 2+2 (x ≤2)2x (x >2),若f(x 0)=8,则x 0= .【解析】由题意,得①当x 0≤2时,有x 02+2=8,解之得x 0=±√6, 而√6>2不符合,所以x 0=−√6;②当x 0>2时,有2x 0=8,解之得x 0=4. 综上所述,得x 0=4或−√6.【典题2】已知函数f(x)={x 2−6x +6 ,x ≥03x +4 ,x <0,若互不相等的实数x 1 ,x 2 ,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3),则x 1+x 2+x 3的取值范围为 .【解析】(乍眼一看,不太理解题意,设f (x 1)=t ,本题就函数y =t 与y =f(x)交点横坐标的问题,自然想到数形结合)函数f(x)={x 2−6x +6 ,x ≥03x +4 ,x <0的图象,如图,不妨设x 1<x 2<x 3,则x 2 ,x 3关于直线x =3对称,故x 2+x 3=6, 且x 1满足−73<x 1<0;则x 1+x 2+x 3的取值范围是−73+6<x 1+x 2+x 3<0+6; 即x 1+x 2+x 3∈(113 ,6).【点拨】分段函数本质上是“分类讨论”,特别要注意“每段函数”的定义域. 处理分段函数的性质问题(值域、交点等)常常用数形结合的方法.【题型五】求函数解析式 方法1 配凑法【典题1】已知f(x +1x )=x 2+1x 2(x >0) , 求f(x)的解析式. 【解析】 ∵x >0 ∴x +1x ≥2∵ f (x +1x )=(x +1x )2−2 , ∴ f(x)=x 2−2 (x ≥2) (注意函数的定义域)【点拨】本题主要是观察到x +1x 与x 2+1x 2之间存在“完成平方”的关系.方法2 待定系数法【典题2】已知函数f(x)是二次函数,若f(0)=0 ,且f(x +1)=f(x)+x +1,求f(x)的解析式. 【解析】依题意可设f (x )=ax 2+bx +c(a ≠0),若f(0)=0,且f(x +1)=f(x)+x +1,∴c =0且a (x +1)2+b (x +1)+c =ax 2+bx +c +x +1 即c =0且(2a +b )x +a +b +c =(b +1)x +c +1, ∴{c =02a +b =b +1a +b +c =c +1,解得a =12,b =12,c =0. ∴f(x)=x 2+x2;【点拨】当函数的类型已知,利用待定系数法可求函数解析式.方法3 换元法【典题3】已知f(√x +1)=x +2√x , 求f(x +1). 【解析】令t =√x +1,则t ≥1 , x =(t −1)2,∵ f(√x +1)=x +2√x∴ f(t)=(t −1)2+2(t −1)=t 2−1,∴ f (x )=x 2−1 (x ≥1) ∴ f (x +1)=(x +1)2−1=x 2+2x (x ≥0). 【点拨】② 用换元法时注意新变量的取值范围.② 用配凑法f(√x +1)=x +2√x =(√x +1)2−1⇒f (x )=x 2−1 (x ≥1),但要求观察力足够好.方法4 构造方程组法【典题4】设f(x)满足f(x)−2 f(1x )=x , 求f(x)的解析式. 【解析】∵ f(x)−2 f(1x )=x ①显然x ≠ 0,将x 换成1x,得:f(1x)−2 f(x)=1x②解①②联立的方程组,得:f(x)=−x 3−23x .方法5 代入法【典题5】与函数y =x 2−3x +2的图象关于点(0,1)对称的函数是 . 【解析】设P(x ,y)为所求函数图象上的任意一点,它关于点(0,1)对称的点是Q(−x ,2−y).由题意知点Q(−x ,2−y)在函数y =x 2−3x +2的图象上,则2−y =x 2+3x +2,化简得y =−x 2−3x .【点拨】① 由下图可对本题有个更清晰的理解.② 求与一已知函数关于点对称或轴对称的函数解析式均可以用“代入法”.若把本题的函数y =x 2−3x +2换成y =2x 或者把“关于点(0,1)对称”换成“关于y =−1对称”,其解题过程大同小异.巩固练习1(★) 已知函数y ={x 2+1(x ≤0)2x(x >0),若f(a)=10,则a 的值是 . 【答案】 -3或5【解析】由题意,当x ≤0时,f (x )=x 2+1=5,得x =±2,又x ≤0,所以x =−2;当x >0时,f (x )=−2x =5,得x =−52,舍去.2 (★★) 已知函数f(x)={(2a −1)x +7a −2(x <1)a x (x ≥1)在(−∞ ,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围为 .【答案】 [38 ,12) 【解析】若函数f(x)={(2a −1)x +7a −2(x <1)a x (x ≥1)在(-∞,+∞)上单调递减 则{2a −1<00<a <1(2a −1)+7a −2≥a解得:38≤a <12 故答案为:[38,12)3(★★) 已知一次函数f(x)满足条件f(x +1)+f(x)=2x ,则函数f(x)的解析式为 .【答案】 f(x)=x −12【解析】设f(x)=kx+b,k≠0,∵f(x+1)+f(x)=2x,∴k(x+1)+b+kx+b=2x,即2kx+k+2b=2x,∴{2k=2k+2b=0,解可得k=1,b=−1 2,∴f(x)=x−12.4(★★)已知f(√x)=x2−2x,则函数f(x)的解析式为.【答案】f(x)=x4-2x2(x≥0)【解析】f(√x)=x2−2x=(√x)4−2(√x)2,∴f(x)=x4-2x2(x≥0).5(★★★) 已知f(0)=1,对于任意实数x ,y,等式f(x−y)=f(x)−y(2x−y+1),求f(x)的解析式. 【答案】f(x)=x2+x+1【解析】对于任意实数x、y,等式f(x−y)=f(x)−y(2x−y+1)恒成立,不妨令x=0,则有f(−y)=f(0)−y(−y+1)=1+y(y−1)=y2−y+1再令−y=x,得函数解析式为f(x)=x2+x+1 .。

高一函数知识点总结

高一函数知识点总结

高一函数知识点总结高一函数知识点总结1一、函数的概念与表示1、映射(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。

注意点:(1)对映射定义的理解。

(2)判断一个对应是映射的方法。

一对多不是映射,多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据:(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的'被开方数不小于零,零取零次方没有意义;(3)对数函数的真数必须大于零;(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数;②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;⑥图象法:二次函数必画草图求其值域;⑦利用对号函数⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。

主要是含绝对值函数四.函数的奇偶性1.定义:设y=f(x),x∈A,如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为奇函数。

2.性质:①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇某奇=偶偶某偶=偶奇某偶=奇[两函数的定义域D1,D2,D1∩D2要关于原点对称]3.奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系五、函数的单调性1、函数单调性的定义:2设是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则在M上是增函数。

3.1 函数的概念及其表示高一数学(人教A版2019必修第一册)

3.1 函数的概念及其表示高一数学(人教A版2019必修第一册)

3.1函数的概念及其表示【考点梳理】考点一:函数的有关概念函数的定义设A ,B 是非空的实数集,如果对于集合A 中任意一个数x ,按照某种确定的对应关系f ,在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y =f (x ),x ∈A定义域x 叫做自变量,x 的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域考点二:同一个函数一般地,函数有三个要素:定义域,对应关系与值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是同一个函数.考点三:区间1.区间概念(a ,b为实数,且a <b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ,b ]{x |a <x <b }开区间(a ,b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ,b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ,b]2.其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(-∞,+∞)[a ,+∞)(a ,+∞)(-∞,a ](-∞,a )考点四:函数的表示方法考点五:分段函数1.一般地,分段函数就是在函数定义域内,对于自变量x 的不同取值范围,有着不同的对应关系的函数.2.分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集.3.作分段函数图象时,应分别作出每一段的图象.【题型归纳】题型一:函数定义的判断1.(2022·全国·高一课时练习)给出下列说法:①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应;②函数的定义域和值域一定都是无限集;③若函数的定义域中只有一个元素,则值域中也只有一个元素;④对于任意的一个函数,如果x 不同,那么y 的值也不同;⑤()f a 表示当x a =时,函数()f x 的值,这是一个常量.其中说法正确的个数为()A .1B .2C .3D .42.(2022·全国·高一)下列图形中,不能表示以x 为自变量的函数图象的是()A .B .C .D .3.(2021·江苏淮安·高一期中)设集合{}{}|02|03M x x N y y =≤≤=≤≤,.下列四个图象中能表示从集合 M 到集合N 的函数关系的有()①②③④A .3个B .2个C .1个D .0个题型二:区间的表示4.(2022·全国·高一专题练习)下列集合不能用区间的形式表示的个数为()①{0,1,5,10}A =;②{}210,x x x N <∈ ;③∅;④{}x x 是等边三角形;⑤{}03x x x ≤≥或;⑥{}1,x x x Q >∈.A .2B .3C .4D .55.(2021·全国·高一专题练习)已知22a a ⎡⎤-⎣⎦,为一确定区间,则实数a 的取值范围是()A .()21-,B .()12-,C .[]21-,D .[]12-,6.(2021·广东·中山中学高一期中)集合{}01x x x <≥或用区间表示为()A .()(),01,-∞⋃+∞B .()[),01,-∞+∞C .()[),01,-∞⋂+∞D .(]0,1题型三:具体函数的定义域7.(2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习)函数2311y x x =-+的定义域是()A .(],1-∞B .()()1,00,1-UC .[)(]1,00,1-D .(]0,18.(2022·全国·高一单元测试)函数32x y x+=的定义域是()A .[)3,∞-+B .[)()3,00,-⋃+∞C .()3,-+∞D .()0,∞+9.(2022·全国·高一单元测试)函数11y x x=++的定义域为()A .{}1x x ≥-B .{}0x x ≠C .{1x x >-且}0x ≠D .{1x x ≥-且}0x ≠题型四:抽象函数的定义域10.(2022·全国·高一单元测试)已知函数()2f x +的定义域为()3,4-,则函数()()31f xg x x =-的定义域为()A .1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B .1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D .1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭11.(2021·全国·高一课时练习)已知()21f x -的定义域为3,3⎡⎤-⎣⎦,则()f x 的定义域为()A .[]22-,B .[]0,2C .[]1,2-D .3,3⎡⎤-⎣⎦12.(2022·全国·高一专题练习)已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-,则函数(21)1f x y x +=+的定义域为()A .3[,1]2-B .3[,1)(1,1]2--⋃-C .[3,7]-D .[3,1)(1,7]--⋃-题型五:求函数的值域13.(2022·全国·高一课时练习)已知函数f (x )2263x x =-+,[]12x ∈-,,则函数的值域是()A .3[112-,)B .3[ 112,)C .[] 111-,D .3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,14.(2022·全国·高一课时练习)函数2()23g x x x =--在区间[]0,4上的值域为()A .[]3,5-B .()3,5-C .[]4,5-D .()4,5-15.(2022·全国·高一课时练习)下列函数中,值域为[0,)+∞的是()A .y x=B .y x=C .16y x=D .21y x x =++题型六:复杂(根式、分式)函数的值域16.(2022·全国·高一课时练习)函数2()1xf x x =+的值域是()A .(),1-∞-()1,+∞B .(),2-∞C .(),2-∞()2,+∞D .[)1,-+∞17.(2021·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习)函数y 243xx+=-的值域是()A .(﹣∞,+∞)B .(﹣∞,12-)∪(12,+∞)C .(﹣∞,13-)∪(13,+∞)D .(﹣∞,13-)∪(13-,+∞)18.(2021·全国·高一课时练习)函数()2211x x f x x x --=++的最大值与最小值的和是()A .53B .23C .1D .23-题型七:函数相等问题19.(2022·天津南开·高一期末)下列各组函数是同一函数的是()①3()2f x x =-与()2g x x x =-;②()f x x =与()2g x x =;③()0f x x =与01()g x x =;④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--A .①②B .①③C .③④D .①④20.(2022·全国·高一专题练习)下面各组函数中是同一函数的是()A .32y x =-与2y x x =-B .2()y x =与y x=C .()221f x x x =--与()221g t t t =--D .11y x x =+-与()()11y x x =+-21.(2022·全国·高一单元测试)在下列四组函数中,()f x 与()g x 表示同一函数的是()A .()1f x x =-,()()21g x x =-B .()3f x x =-,()()23g x x =-C .()f x x =,()2x g x x=D .()(1)(3)f x x x =--,()13g x x x =-⋅-题型八:已知函数类型求解析式(待定系数法)22.(2022·全国·高一课时练习)设()f x 为一次函数,且()()41f f x x =-.若()35f =-,则()f x 的解析式为()A .()211f x x =-或()21f x x =-+B .()21f x x =-+C .()211f x x =-D .()21f x x =+23.(2022·全国·高一课时练习)已知二次函数()f x 满足()()2211075f x f x x x +-=-+,则()()1f f =()A .1B .7C .8D .1624.(2022·全国·高一课时练习)已知()f x 为二次函数,且满足()01f =,()()14f x f x x --=,则()f x 的解析式为()A .()2221f x x x =--+B .()2221f x x x =-++C .()2221f x x x =---D .()2221f x x x =-+题型九:换元法求函数解析式25.(2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试)已知(1)2f x x x +=+,则()f x 的解析式为()A .2()1f x x =-B .()21(1)f x x x =->C .2()1(1)f x x x =-≥D .2()1(0)f x x x =-≥26.(2022·全国·高一课时练习)若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,且()4f m =,则实数m 的值为()A .6B .6或6-C .6-D .327.(2021·重庆南开中学高一阶段练习)若(1)1f x x x -=++,则()f x 的解析式为()A .2()1(1)f x x x x =++≥-B .2()1(1)f x x x =-≥-C .2()33(1)f x x x x =++≥-D .2()(1)(1)f x x x =-≥-题型十:分段函数中的问题28.(2021·江苏宿迁·高一期中)设函数11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩,则满足() 1()2f x f x +<的x 的取值范围是()A .1(]2-∞-,B .1(,)2-∞C .1(0)2-,D .1()2-+∞,29.(2021·全国·高一专题练习)已知函数()1,101,0x x f x x x a --≤<⎧=⎨-≤≤⎩的值域是[]0,2,则实数a 的取值范围是()A .(]0,1B .[]1,3C .[]1,2D .[]2,330.(2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中)已知函数(2)3,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ,那么实数a 的取值范围是()A .(,1]-∞-B .[1,2)-C .(0,2)D .(2,1]-【双基达标】一、单选题31.(2022·全国·高一专题练习)函数符号()y f x =表示()A .y 等于f 与x 的乘积B .()f x 一定是一个式子C .y 是x 的函数D .对于不同的x ,y 也不同32.(2022·江苏·高一单元测试)已知函数()2,056,0x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩,若()()2f a f a -=,则2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()A .11B .6C .4D .233.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()2268f x x x +=++,则函数()f x 的解析式为()A .()22f x x x=+B .()268f x x x =++C .()24f x x x=+D .()286f x x x =++34.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()1,101,01x x f x x x ---≤<⎧=⎨-+<≤⎩,则()()1f x f x -->-的解集为()A .111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .(]11,0,12⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C .111,,122⎡⎤⎛⎤--⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D .()11,0,12⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦35.(2022·全国·高一专题练习)若函数2()1f x ax ax =++的定义域为R ,则a 的范围是()A .[0,4]B .[0,4)C .(0,4]D .(0,4)36.(2022·全国·高一课时练习)求下列函数的定义域.(1)()45-=-x f x x ;(2)()11232f x x xx=+-+-.37.(2022·全国·高一课时练习)(1)已知()f x 是二次函数,且满足()01f =,()()12f x f x x +=+,求函数()f x 的解析式;(2)已知()()22f x f x x x +-=-,求函数()f x 的解析式;(3)已知()f x 是R 上的函数,()01f =,并且对任意的实数x ,y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+,求函数()f x 的解析式.【高分突破】一:单选题38.(2022·内蒙古赤峰·高一期末(理))设()f x 的定义域为R ,且满足()()11f x f x -=+,()()2f x f x +-=,若()12f =,则()()()()1232022f f f f +++⋅⋅⋅+=()A .2023B .2024C .3033D .303439.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦,且1a >-,则=a ()A .12-B .0C .1D .240.(2022·全国·高一专题练习)下列四组函数中,表示相同函数的一组是()A .2()x x f x x-=,()1g x x =-B .2()f x x =,()2()g x x=C .()22f x x =-,()22g t t =-D .()11f x x x =+⋅-,2()1g x x =-41.(2022·全国·高一专题练习)已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩,关于函数()f x 的结论正确的是()A .()02f =B .()f x 的值域为(),4-∞C .()1f x <的解集为()1,1-D .若()3f x =,则x 的值是1或342.(2021·吉林油田高级中学高一开学考试)已知函数()f x 对任意x ,y ∈R ,总有()()()x f x y y f f +=+,若()11f =-,则()3f =()A .-3B .-2C .-1D .043.(2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习)已知函数y =f (x +1)定义域是[-2,3],则y =f (x -2)的定义域是()A .[1,6]B .[-1,4]C .[-3,2]D .[-2,3]44.(2022·全国·高一专题练习)已知函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩,,,若()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+,,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()A .2B .516C .6D .172二、多选题45.(2022·全国·高一单元测试)下列函数中,与函数2y x =+不是同一个函数的是()A .()22y x =+B .332y x =+C .22x y x=+D .22y x =+46.(2022·全国·高一课时练习)(多选)下列各组函数表示同一个函数的是()A .()0(0)f x x x =≠,()()10g x x =≠B .()()21f x x x =+∈Z ,()()21g x x x =-∈Z C .()24f x x =-,()22g x x x =+⋅-D .()221f x x x =--,()221g t t t =--47.(2022·全国·高一课时练习)下列函数中,值域为[1,)+∞的是()A .1y x =-B .1y x =+C .21y x =+D .11y x =-48.(2022·全国·高一单元测试)已知函数()225,1,1x ax x f x a x x⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩在区间(),-∞+∞上是减函数,则整数a 的取值可以为()A .2-B .1-C .0D .149.(2022·全国·高一课时练习)下列说法正确的是()A .若()f x 的定义域为[]22-,,则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .函数1xy x=-的值域为()(),22,-∞+∞C .函数21y x x =+-的值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .函数()224f x x x =-+在[]22-,上的值域为[]4,1250.(2022·全国·高一单元测试)已知函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩关于函数()f x 的结论正确的是()A .()f x 的定义域为RB .()f x 的值域为(],4∞-C .若()2f x =,则x 的值是2-D .()1f x <的解集为()1,1-51.(2022·重庆九龙坡·高一期末)德国者名数学家狄克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数“1,()0,R x Qy f x x Q ∈⎧==⎨∈⎩ð,其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为()A .对12,R x x Q ∀∈ð()()()1212,f x x f x f x +=+恒成立B .对1x R ∀∈,都存在2x Q ∈,使得()()121f x x f x +=C .若0,1a b ,则()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣D .存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ,使得ABC 为等边三角形三、填空题52.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()f x 的定义域为[]0,1,则函数()21f x +的定义域为______.53.(2022·全国·高一课时练习)已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()f x 的值域为______.54.(2022·全国·高一专题练习)已知函数f (x )()221mx m x m =--+-的值域是[0,+∞),则实数m 的取值范围是__.55.(2022·全国·高一课时练习)已知函数()22xf x x=+,则()()()()1111220212022202220212f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.四、解答题56.(2022·全国·高一)作出下列函数的图象:(1)()11f x x x =-++;(2)()2243,00,043,0x x x f x x x x x ⎧-+->⎪==⎨⎪++<⎩.57.(2022·全国·高一单元测试)(1)已知()2f x x =,求()21f x +的解析式;(2)已知()24fx x x +=+,求函数()f x 的解析式;(3)已知()f x 是二次函数,且满足()01f =,()()12f x f x x +=+,求函数()f x 的解析式;(4)已知()()223f x f x x +-=+,求()f x 的解析式.58.(2022·全国·高一单元测试)求下列函数的值域:(1)(){}()2212,1,0,1,2f x x x x =++∈--;(2)()213x f x x +=-(3)()223f x x x =-++;(4)()12f x x x =--.【答案详解】1.B【分析】利用函数的定义域和值域定义判断①②③的真假,利用函数值的定义判断④⑤的真假.【详解】解:函数值域中的每一个数都有定义域中的一个或多个数与之对应,故①不正确;函数的定义域和值域不一定都是无限集,故②不正确;根据函数的定义,可知③正确;对于任意一个函数,如果x 不同,那么y 的值可能相同,也可能不同,故④不正确;由函数值的定义,可知⑤正确.故选:B .2.B【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】B 中,当0x >时,y 有两个值和x 对应,不满足函数y 的唯一性,A ,C ,D 满足函数的定义,故选:B 3.B【分析】根据函数的定义判断.【详解】A 中12x <≤中的x 没有对应的象,不符合;B 符合函数定义,C 也符合函数定义,D 中对于02x <≤的x 有两个象与之对应,不符合.所以有2个满足.故选:B .4.D【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集,是无限集,逐个判断即可得出结论.【详解】区间形式可以表示连续数集,是无限集①②是自然数集的子集,③是空集为有限集,都不能用区间形式表示,④是图形的集合,不是数集,等边三角形组成的集合.⑥Q 是有理数,数轴上大于1的有理数不是连续的,故只有⑤可以,区间形式为(][)3,-∞+∞,0,故答案为:D.5.A【分析】依题意得22a a <-,解不等式即可求解.【详解】因为22a a ⎡⎤-⎣⎦,为一确定区间,则2222021a a a a a <-⇒+-<⇒-<<故选:A【解析】按照区间的定义写出区间即可.【详解】解:集合{|0x x <或}1x ≥用区间表示为:()[),01,-∞+∞.故选:B.7.C【分析】函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩,求解即可【详解】由题,函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩,解得[)(]1,00,1x ∈-.故选:C 8.B【分析】使解析式有意义,解不等式组即可.【详解】依题意3030x x x +≥⎧⇒≥-⎨≠⎩且0x ≠,所以函数32x y x+=的定义域是[)()3,00,-⋃+∞.故选:B .9.D【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【详解】由函数解析式有意义可得10x +≥且0x ≠,所以函数的定义域是{1x x ≥-且}0x ≠,故选:D.10.C【分析】根据抽象函数的定义域的求解,结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-,所以()f x 的定义域为()1,6-.又因为310x ->,即13x >,所以函数()g x 的定义域为1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:C.11.C【分析】由33x -≤≤求出21x -的范围,然后可得答案.【详解】因为2(1)f x -的定义域为[3,3]-,所以33x -≤≤,所以2112x -≤-≤,所以()f x 的定义域为[1,2]-.故选:C【分析】根据函数()f x 的定义域求出21x +的范围,结合分母不为0求出函数的定义域即可.【详解】由题意得:2213x -≤+≤,解得:312x -≤≤,由10x +≠,解得:1x ≠-,故函数的定义域是(]3,11,12⎡⎫---⎪⎢⎣⎭,故选:B .13.D【分析】根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.【详解】2233()263=2--22f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,对称轴3=2x ,当[]12x ∈-,,()min 33-,22f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭又因为()()()()max -111,21,-111f f f x f ==∴==,所以函数的值域为3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,.故选:D 14.C【分析】利用二次函数的性质进行求解即可.【详解】22()23(1)4g x x x x =--=--,因此该函数的对称轴为:1x =,因为[]0,4x ∈,所以当1x =时,函数有最小值,最小值为4-,而(0)3,(4)5g g =-=,所以最大值为5,因此值域为[]4,5-,故选:C 15.B【分析】逐项判断函数值域,即可得到正确选项.【详解】对于y x =,,x R y R ∈∈,故A 不正确;对于y x =,[)[)0,0x y ∈+∞∈+∞,,,故B 正确;对于16y x=,()()()()0,0,x y ∈-∞⋃+∞∈-∞⋃+∞,0,,0,故C 不正确;对于22131=44y x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭,3,4x R y ⎡⎫∈∈+∞⎪⎢⎣⎭,,故D 不正确;故选:B 16.C【分析】将函数2()1xf x x =+分离常数后可直接求解.【详解】22(1)22()2111x x f x x x x +-===-+++,从而可知函数2()1xf x x =+的值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞.故选:C 17.D【分析】分离常数即可得出()1103343y x =-+-,从而得出13y ≠-,进而得出该函数的值域.【详解】解:()()1104321103343433343x x y x x x --++===-+---,∴y 13≠-,∴该函数的值域为1133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,.故选:D .18.B【分析】令2211x x y x x --=++,可得()()21110y x y x y -++++=,可知关于x 的方程()()21110y x y x y -++++=有解,分1y =、1y ≠两种情况讨论,结合已知条件可求得y 的取值范围,即可得解.【详解】设2211x x y x x --=++,则有()()21110y x y x y -++++=,当1y =时,代入原式,解得1x =-.当1y ≠时,()()()()()21411135y y y y y ∆=+--+=+-+,由0∆≥,解得513y -≤≤,于是y 的最大值为53,最小值为1-,所以函数()f x 的最大值与最小值的和为23.故选:B.19.C【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同,逐项分析即得.【详解】①()32f x x =-与()2g x x x =-的定义域是{}|0x x ≤,而()322f x x x x =-=--,故这两个函数不是同一函数;②()f x x =与()2g x x =的定义域都是R ,()2g x x x ==,这两个函数的定义域相同,对应法则不同,故这两个函数不是同一函数;③()0f x x =与()01g x x =的定义域是{}|0x x ≠,并且()()g 1f x x ==,对应法则也相同,故这两个函数是同一函数;④()221f x x x =--与()221g t t t =--是同一函数;所以是同一函数的是③④.故选:C.20.C【分析】分别分析各个选项中函数的定义域,值域和对应关系,即可得出答案.【详解】A .函数的定义域为{|0}x x ≤,322y x x x =-=--,两个函数的对应法则不相同,不是同一函数,B .2()y x x ==,定义域为{|0}x x ≥,函数的定义域不相同,不是同一函数C .两个函数的定义域和对应法则相同,是同一函数D .由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得11x x ≥-⎧⎨≥⎩得1≥x ,由()()110x x +≥-得1≥x 或1x ≤-,两个函数的定义域不相同,不是同一函数,故选:C .21.B【分析】根据题意,先看函数的定义域是否相同,再观察两个函数的对应法则是否相同,即可得到结论.【详解】对于A 中,函数()1f x x =-的定义域为R ,而函数()2(1)g x x =-的定义域为[1,)+∞,所以两个函数不是同一个函数;对于B 中,函数()()23,(3)|3|f x x g x x x =-=-=-的定义域和对应法则完全相同,所以是同一个函数;对于C 中,函数()f x x =的定义域为R ,而函数()2x g x x x==的定义域为{}|0x x ≠,所以两个函数不是同一个函数;对于D 中,函数()(1)(3)f x x x =--的定义域为(,1][3,)-∞⋃+∞,而函数()13g x x x =-⋅-的定义域为[3,)+∞,所以不是同一个函数,故选:B 22.B【分析】设()f x kx b =+,根据已知条件可得出关于k 、b 的方程组,解出这两个未知数的值,再结合()35f =-可得出k 、b 的值,即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设()f x kx b =+,其中0k ≠,则()()()()241f f x k kx b b k x kb b x =++=++=-,所以,241k kb b ⎧=⎨+=-⎩,解得21k b =-⎧⎨=⎩或213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩.当2k =-时,()21f x x =-+,此时()35f =-,合乎题意;当2k =时,()123f x x =-,此时()1733f =,不合乎题意.综上所述,()21f x x =-+.故选:B.23.B【分析】采用待定系数法先求解出()f x 的解析式,然后即可计算出()()1f f 的值.【详解】设()()20f x ax bx c a =++≠,因为()()2211075f x f x x x +-=-+,所以()()22242111075ax bx c a x b x c x x +++-+-+=-+,化简可得:()2253221075ax b a x a b c x x +-+-+=-+,所以51032725a b a a b c =⎧⎪-=-⎨⎪-+=⎩,所以211a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,所以()221f x x x =-+,所以()12112f =-+=,所以()()()1224217f f f ==⨯-+=,故选:B.24.A【分析】设出二次函数的解析式,结合已知利用待定系数法可以求出()f x 的解析式.【详解】设()2(0)f x ax bx c a =++≠,因为()01f =,所以1c =.又()()14f x f x x --=,所以有2224(1)(1)1(1)4240a a x b x ax bx x ax a b x a b -=⎧-+-+-++=⇒-+-=⇒⎨-=⎩,解得2a b ==-.故选:A【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,考查了数学运算能力.25.C【分析】将已知解析式配方,可得()2(1)11f x x +=+-,再通过换元法求得解析式.【详解】因为()2(1)211f x x x x +=+=+-令()11t x t =+≥,所以()()211f t t t =-≥所以()()211f x x x =-≥故选:C.26.B 【分析】令1x t x+=,配凑可得()22f t t =-,再根据()4f m =求解即可【详解】令1x t x +=(2t ≥或2t ≤-),22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭,()22f t t ∴=-,()224f m m =-=,6m ∴=±.故选;B 27.C【分析】利用换元法,令11t x =-≥-,则1x t =+,()21x t =+,可求出()f t 的解析式,从而得出()f x 的解析式.【详解】解:已知()11fx x x -=++,令11t x =-≥-,则1x t =+,()21x t =+,()()()22111331f t t t t t t ∴=++++=++≥-,()()2331f x x x x ∴=++≥-.故选:C.28.B【分析】化简函数解析式,分区间讨论化简不等式() 1()2f x f x +<求其解.【详解】∵11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩,∴2,1()1,1x x f x x -≤⎧=⎨>⎩,当11x +≤且21x ≤时,不等式() 1()2f x f x +<可化为2122x x --<-,∴0x ≤,当11x +≤且21x >时,不等式() +12()f x f x <可化为211x --<,∴满足条件的x 不存在,当11x +>且21x >时,不等式() +12()f x f x <可化为11<,∴满足条件的x 不存在,当11x +>且21x ≤时,不等式() +12()f x f x <可化为122x <-,∴102x <<,∴满足() +12()f x f x <的x 的取值范围是1(,)2-∞,故选:B.29.B【分析】先求出当10x -≤<时,()f x 的值域为(]1,2.由题意可知,当0x a ≤≤时,()10f x x =-=有解,此时1x =,所以[]10,a ∈,故1a ≥,然后根据()1f x x =-的单调性对a 分12a ≤≤和2a >两种情况进行讨论即可求解.【详解】解:由题意,当10x -≤<时,()(]11,2f x x =-∈,又函数()1,101,0x x f x x x a --≤<⎧=⎨-≤≤⎩的值域是[]0,2,当0x a ≤≤时,()10f x x =-=有解,此时1x =,所以[]10,a ∈,所以1a ≥,当1a ≥时,()1,0111,1x x f x x x x a -≤≤⎧=-=⎨-<≤⎩在[]0,1上单调递减,在[]1,a 上单调递增,又()()()01,10,1f f f a a ===-,①若12a ≤≤,则11a -≤,所以()[]0,1f x ∈,此时[](][]1,20,20,1=,符合题意;②若2a >,则11a ->,所以()0,1f x a ∈⎡-⎤⎣⎦,要使(][]200,11,2,a ⎡-⎤⎣⎦=,只须12a -≤,即23a <≤;综上,13a ≤≤.故选:B.30.B【分析】先求出函数1,1y x x =-≥的值域,而()f x 的值域为R ,进而得20230a a a -<⎧⎨-+≥⎩,由此可求出a 的取值范围.【详解】解:因为函数1,1y x x =-≥的值域为[0,)+∞,而()f x 的值域为R ,所以函数()()23(1)g x a x a x =-+<的值域包含(),0∞-,所以()202130a a a ->⎧⎨-⨯+≥⎩,解得12a -≤<,故选:B 31.C【分析】直接根据函数定义可判断.【详解】符号()y f x =,即“y 是x 的函数”的数学表示,它仅仅是函数符号,不是表示“y 等于f 与x 的乘积”()f x 也不一定是解析式,可以是图象、表格,也可以是文字叙述,故A 、B 错误;当2y x =时,1x =或1x =-时,1y =,故D 错误.故选:C 32.D【分析】分析函数()f x 的单调性,结合已知条件可得出关于a 的等式,求出a 的值,代值计算可得2a f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】因为()2,056,0x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩,所以,函数()f x 在(],0-∞和()0,∞+上均为增函数,因为()()2f a f a -=,所以20a a -≤⎧⎨>⎩,可得02a <≤,由题意可得()2526a a a +=-+,即2440a a -+=,解得2a =,合乎题意,所以,()211122a f f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故选:D.33.A【分析】利用配凑法(换元法)计算可得.【详解】解:方法一(配凑法)∵()()()22268222f x x x x x +=++=+++,∴2()2f x x x =+.方法二(换元法)令2t x =+,则2x t =-,∴()()()2226282f t t t t t =-+-+=+,∴2()2f x x x =+.故选:A 34.B【分析】根据分段函数解析式分类讨论,分别求出不等式的解集,最后取并集.【详解】解:当01x <≤时,10x -≤-<,则()()1f x f x -->-可化为()111x x -+-->-,解得32x <,又01x <≤,所以01x <≤.当10x -≤-<时,01x <-≤,则()()1f x f x -->-可化为()111x x ---+>-,解得12x <-,又10x -≤<,所以112x -≤<-.综上,(]11,0,12x ⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎣⎦.故选:B.35.A【分析】根据给定条件,可得210ax ax ++≥,再分类讨论求解作答.【详解】依题意,R x ∀∈,210ax ax ++≥成立,当0a =时,10≥成立,即0a =,当0a ≠时,2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩,解得04a <≤,因此得04a ≤≤,所以a 的范围是[0,4].故选:A36.(1){}45x x x ≥≠且(2)3202x x x ⎧⎫-≤<≠⎨⎬⎩⎭且【分析】根据函数解析式,分别列出不等式,解出即可.(1)要使该函数有意义,只需4050x x -≥⎧⎨-≠⎩,解得4x ≥,且5x ≠,所以该函数的定义域为:{}45x x x ≥≠且(2)要使该函数有意义,只需230200x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩,解得322x -≤<,且0x ≠,所以该函数的定义域为:3202x x x ⎧⎫-≤<≠⎨⎬⎩⎭且37.(1)()21f x x x =-+;(2)()23x f x x =+;(3)()21f x x x =++.【分析】(1)待定系数法:先设含待定系数的解析式,再利用恒等式的性质或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数.(2)方程组法:已知关于()f x 与()f x -的表达式,构造出另外一个等式,通过解方程组求出()f x .(3)特殊值法(赋值法):通过取特殊值代入题设中的等式,使抽象的问题具体化、简单化,求出解析式.【详解】(1)设()()20f x ax bx c a =++≠,由()01f =得:c =1.由()()12f x f x x +=+得:()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ,整理得()()220a x a b -++=,∴2200a a b -=⎧⎨+=⎩,则11a b =⎧⎨=-⎩,∴()21f x x x =-+.(2)∵()()22f x f x x x +-=-,①∴()()22f x f x x x -+=+,②②×2-①得:()233f x x x =+,∴()23x f x x =+.(3)令y x =,则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=,∴()21f x x x =++.38.A【分析】根据函数的性质由()()11f x f x -=+,()()2f x f x +-=可得()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=【详解】因为()()2f x f x +-=,()12f =,所以(1)0f -=,(0)1f =由()()11f x f x -=+得()(2)f x f x -=+,所以()(2)2f x f x ++=,(1)(3)2f x f x +++=,即()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=,所以[(1)(0)(1)(2)][(3)(4)(2021)(2022)]45062024f f f f f f f f -++++++⋅⋅⋅++=⨯=所以()()()()12320222024(1)(0)2023f f f f f f +++⋅⋅⋅+=---=.故选:A.39.C【分析】根据函数的解析式求出(1)1f a -=+,结合10a +>即可求出[(1)]f f -,进而得出结果.【详解】由题意知,2(1)(1)1f a a -=-+=+,又1a >-,所以10a +>,所以1[(1)](1)24a f f f a +-=+==,解得1a =.故选:C 40.C【分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.【详解】解:由题意得:对于选项A :2()x x f x x-=的定义域为{}|0x x ≠,()1g x x =-的定义域为R ,所以这两个函数的定义域不同,不表示相同的函数,故A 错误;对于选项B :2()f x x =的定义域为R ,()2()g x x =的定义域为{}|0x x ≥,所以这两个函数的定义域不同,不表示相同的函数,故B 错误;对于选项C :()22f x x =-的定义域为R ,()22g t t =-的定义域为R ,这两函数的定义域相同,且对应关系也相同,所以表示相同的函数,故C 正确;对于选项D :()11f x x x =+⋅-的定义域为{}|1x x ≥,2()1g x x =-的定义域为{|1x x ≤-或1}x ≥,所以这两个函数的定义域不同,不表示相同的函数,故D 错误.故选:C41.B【分析】根据函数解析式,画出函数图象,结合图象一一判断即可;【详解】解:因为()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩,函数图象如下所示:由图可知()00f =,故A 错误;()f x 的值域为(),4-∞,故B 正确;由()1f x <解得()(),11,1-∞--,故C 错误;()3f x =,即2312x x ⎧=⎨-<<⎩,解得3x =,故D 错误;42.A【分析】根据题设抽象函数的递推关系求函数值即可.【详解】由题设,()()()()312313f f f f =+==-.故选:A .43.A【分析】根据定义域的定义求解即可.【详解】由题意知,-2≤x ≤3,∴-1≤x +1≤4,∴-1≤x -2≤4,得1≤x ≤6,即y =f (x -2)的定义域为[1,6];故选:A.44.A【分析】根据分段函数,分02a <<,2a ≥,由()(2)f a f a =+求解.【详解】因为函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩,,,且()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+,,当02a <<时,()2228a a a +=-++,即2340a a +-=,解得4a =-或1a =,当2a ≥时,()28228a a -+=-++,无解,综上:1a =,所以()112f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故选:A45.ACD【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数,一一判断即可.【详解】解:2y x =+的定义域为R .对于A ,()22y x =+的定义域为[)2,-+∞,与2y x =+的定义域不同,不是同一函数;对于B ,3322y x x =+=+定义域为R ,与2y x =+定义域相同,对应关系相同,是同一函数;对于C ,22x y x=+的定义域为{}0x x ≠,与2y x =+定义域不同,不是同一函数;对于D ,22,0222,0x x y x x x x +≥⎧=+=+=⎨-+<⎩,与2y x =+的对应关系不同,不是同一函数.故选:ACD .【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.【详解】对于选项A ,()0(0)f x x x =≠,()()10g x x =≠两个函数的定义域均为{}0x x ≠,且01y x ==,所以对应关系也相同,所以是同一个函数,故A 正确;对于选项B ,()()21f x x x =+∈Z ,()()21g x x x =-∈Z 两个函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数,故B 错误;对于选项C ,()24f x x =-的定义域为(][,2)2,-∞-⋃+∞,()22g x x x =+⋅-的定义域为[2,)+∞,定义域不同,不是同一个函数,故C 错误;对于选项D ,()221f x x x =--,()221g t t t =--两个函数的定义域均为R ,对应关系也相同,是同一个函数,故D 正确.故选:AD.47.BC【分析】可以求出选项A 函数的值域为[0,)+∞,选项D 函数的值域为(0,)+∞,选项BC 函数的值域为[1,)+∞,即得解.【详解】解:A.函数的值域为[0,)+∞,所以该选项不符合题意;B.因为||0,||11x x ≥∴+≥,所以函数的值域为[1,)+∞,所以该选项符合题意;C.因为2220,11,11x x x ≥∴+≥∴+≥,所以函数的值域为[1,)+∞,所以该选项符合题意;D.函数的值域为(0,)+∞,所以该选项不符合题意.故选:BC48.AB【分析】依题意函数在各段上单调递减,且在断点左边的函数值不小于右边的函数值,即可得到不等式组,解得即可;【详解】解:由题意可得10125a a a a -≥⎧⎪<⎨⎪++≥-⎩,解得21a -≤≤-,∴整数a 的取值为2-或1-.故选:AB49.AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A ;利用分离常数化简函数解析式,结合反比型函数的值域判断B ;利用换元法,结合二次函数的性质求得其值域,判断C ;利用配方法,结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A ,因为()f x 的定义域为[]22-,,所以2212x -≤-≤,解得1322x -≤≤,即()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,故A 正确;对于B ,11111111x x x y x x x x -+==-=-=------,所以1y ≠-,即函数1x y x =-的值域为()(),11,-∞--+∞,故B 不正确;对于C ,令1t x =-,则21x t =-,0t ≥,所以()2221172122248y t t t t t ⎛⎫=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭,0t ≥,所以当14t =时,该函数取得最大值,最大值为178,所以函数21y x x =+-的值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,故C 正确;对于D ,()()222413f x x x x =-+=-+,其图象的对称轴为直线1x =,且()13f =,()212f -=,所以函数()224f x x x =-+在[]22-,上的值域为[]3,12,故D 不正确.故选:AC .50.BC【分析】求出分段函数的定义域可判断A ;求出分段函数的值域可判断B ;分1≥x 、21x -£<两种情况令()2f x =求出x 可判断C ;分1≥x 、21x -£<两种情况解不等式可判断D.【详解】函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩的定义域是[)2,-+∞,故A 错误;当21x -£<时,()2f x x =,值域为[]0,4,当1≥x 时,()2f x x =-+,值域为(],1-∞,故()f x 的值域为(],4∞-,故B 正确;当1≥x 时,令()22f x x =-+=,无解,当21x -£<时,令()22f x x ==,得到2x =-,故C 正确;当21x -£<时,令()21f x x =<,解得()1,1x ∈-,当1≥x 时,令()21f x x =-+<,解得()1,x ∈+∞,故()1f x <的解集为()()1,11,-+∞,故D 错误.故选:BC .51.BCD 【分析】根据题中所给的函数的解析式,结合实数的性质逐一判断即可.【详解】A :当1222x x ==-、时,显然12,R x x Q ∈ð,而(22)(0)1f f -==,(2)(2)000f f +-=+=,所以()()()1212f x x f x f x +=+不成立,故本选项不正确;B :当1x Q ∀∈时,1()1f x =,因为有理数加上一个有理数得到的和仍是有理数,所以1x Q ∀∈时,都存在2x Q ∈,使得()()121f x x f x +=;当1R x Q ∀∈ð时,1()0f x =,因为一个无理数与一个有理数的和还是无理数,所以当1R x Q ∀∈ð时,都存在2x Q ∈,使得()()121f x x f x +=,所以本选项正确;C :当x Q ∈时,()1f x =,所以此时{}()x f x a Q >=,{}()x f x b Q <=,显然()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣成立;当R x Q ∈ð时,()0f x =,所以此时{}()R x f x a Q >=ð,{}()R x f x b Q <=ð,显然()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣成立,因此本选项正确;D :当123,,x x x 三个数都不是有理数时,它们都是无理数,则有123()()()0f x f x f x ===,此时三点共线,不构成三角形;当123,,x x x 三个数都是有理数时,此时123()()()1f x f x f x ===,因此三点共线,构不成三角形;当123,,x x x 三个数有二个数是有理数时,不妨设12,x x 是有理数,则3x 为无理数,所以有123()()1,()0f x f x f x ===,当三角形ABC 是等边三角形时,有2213231212312()1()1()()2()AC CB x x x x x x x x x x x =⇒-+=-+⇒-+=-,显然12x x ≠,于是有1232x x x +=,两个有理数的和不可能是无理数,所以构不成等边三角形;当123,,x x x 三个数有一个数是有理数时,不妨设1x 是有理数,则23,x x 为无理数,所以有123()1,()()0f x f x f x ===,当三角形ABC 是等边三角形时,有2213123232132()1()1()()2()AC BA x x x x x x x x x x x =⇒-+=-+⇒-+=-,显然32x x ≠,于是有3212x x x +=,取10x =,设23x x <,如下图所示:13tan 333OA OB OB OB π=⇒=⇒=,即2333,33x x =-=,所以存在三点33(0,1),(,0),(,0)33A B C -,使得ABC 为等边三角形,因此本选项正确,故选:BCD 【点睛】关键点睛:根据已知函数的解析式,结合无理数和有理数的性质是解题的关键.52.{}0【分析】根据抽象函数定义的求法,得到2011x ≤+≤,即可求得函数()21f x +的定义域.【详解】因为函数()f x 的定义域为[]0,1,所以2011x ≤+≤,即210x -≤≤,解得0x =,所以函数()21f x +的定义域为{}0.故答案为:{}0.53.()1,+∞【分析】先求出()()()2111f x x x =-+≠,再结合二次函数的性质即可得出值域.【详解】解:令1x t x +=,则111t x =+≠,所以11t x =-,所以()()211f t t =-+,故()f x 的解析式为()()()2111f x x x =-+≠,其值域为()1,+∞.故答案为:()1,+∞.54.2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦,【分析】将m 分为000m m m =><,,三种情况讨论:当0m =时,()210f x x =-≥满足条件;当0m <时,由二次函数知开口向下,不满足条件;当0m >时,只需二次函数的0∆≥即可,解出m 的取值范围,综上得m 的取值范围.【详解】解:当0m =时,()()22121f x mx m x m x =--+-=-,值域是[0,+∞),满足条件;令()()221g x mx m x m =--+-,()()0g x ≥当m <0时,()g x 的图象开口向下,故f (x )的值域不会是[0,+∞),不满足条件;当m >0时,()g x 的图象开口向上,只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥,即(m ﹣2)2﹣4m (m ﹣1)≥0,∴232333m -≤≤,又0m >,所以2303m <≤综上,2303m ≤≤,∴实数m 的取值范围是:2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,故答案为:2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦,.55.40434##1010.75【分析】观察所求结构,考察()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,然后可得.【详解】因为()111112222222x x xf x f x x x x +⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+⋅,()114f =,所以()()()()1111220212022202220212f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1140432021244=⨯+=.故答案为:4043456.(1)作图见解析;(2)作图见解析.【分析】(1)先去绝对值变成分段函数,然后作出每一段的图象即可;(2)结合二次函数的图象特征,分别作出每一段图象即可.(1)因为函数()2,12,112,1x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩,画出其图象如图①所示.(2)函数的图象是两段抛物线(部分)与一点,画出其图象如图②所示,57.(1)()221441f x x x +=++;(2)()24(2)f x x x =-≥;(3)()21f x x x =-+;(4)()21f x x =-+【分析】(1)根据已知函数代入直接求解即可,(2)利用换元法或配凑法求解,(3)利用待定系数法求解,设()2(0)f x ax bx c a =++≠,然后根据已知条件列方程求出,,a b c即可,(4)利用方程组法求解,用-x 替换()()223f x f x x +-=+中的x ,将得到的式子与原式子联立可求出()f x .【详解】(1)因为()2f x x =,所以()()222121441f x x x x +=+=++.(2)方法一设2t x =+,则2t ≥,2x t =-,即()22x t =-,所以()()()222424f t t t t =-+-=-,所以()24(2)f x x x =-≥.方法二因为()()2224f x x +=+-,所以()24(2)f x x x =-≥.(3)因为()f x 是二次函数,所以设()2(0)f x ax bx c a =++≠.由()01f =,得c =1.由()()12f x f x x +=+,得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ,整理得()()220a x a b -++=,所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩,所以11a b =⎧⎨=-⎩,所以()21f x x x =-+.(4)用-x 替换()()223f x f x x +-=+中的x ,得()()223f x f x x -+=-+,由()2()232()()23f x f x x f x f x x +-=+⎧⎨+-=-+⎩,解得()21f x x =-+.58.(1){}0,1,4,9(2)(,2)(2,)-∞⋃+∞(3)520,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(4)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】(1)将2,1,0,1,2--代入()f x 求解即可;(2)形如()0,ax b y ac ad bc cx d +=≠≠+的函数常用分离常数法求值域,ad b ax b a c y cx d c cx d-+==+++,其值域是a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭.(3)根据二次函数的顶点式求解值域,再结合根式的定义域求解即可.(4)形如(0)y ax b cx d ac =+++≠的函数常用换元法求值域,先令t cx d =+,用t 表示出x ,并注明t 的取值范围,再代入原函数将y 表示成关于t 的二次函数,最后用配方法求值域.(1)因为()21f -=,()10f -=,()01f =,()14f =,()29f =,所以函数()f x 的值域为{}0,1,4,9.(2)因为()f x =212(3)772333x x x x x +-+==+---,且703x ≠-,所以()2f x ≠,所以函数()f x 的值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞.(3)因为()2212523248f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭,所以()0f x ≤524≤,所以函数()f x 的值域为520,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(4)设12t x =-(换元),则0t ≥且21122x t =-+,令22111(1)1222y t t t =--+=-++.因为0t ≥,所以12y ≤,即函数()f x 的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。

高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题含答案

高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题含答案

函数及其表示(一)知识梳理1.映射的概念设B A 、是两个非空集合,若是依照某种对应法则f ,对A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确信的元素y 与之对应,则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2.函数的概念(1)函数的概念:设B A 、是两个非空的数集,若是依照某种对应法则f ,对A 中的 任意数 x ,在集合B 中都有 唯一确信 的数y 和它对应,则如此的对应关系叫做从A 到B 的一个函数,通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的概念域、值域在函数A x x f y ∈=),(中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的概念域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值, 关于的函数值的集合所有的集合组成值域。

(3)函数的三要素: 概念域 、 值域 和 对应法则3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法(1).图象法:确实是用函数图象表示两个变量之间的关系;(2).列表法:确实是列出表格来表示两个变量的函数关系;(3).解析法:确实是把两个变量的函数关系,用等式来表示。

4.分段函数在自变量的不同转变范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

(二)考点分析考点1:判定两函数是不是为同一个函数若是两个函数的概念域相同,而且对应关系完全一致,称这两个函数相等。

考点2:求函数解析式方式总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;(2)若已知复合函数)]([x g f 的解析式,则可用换元法或配凑法;(3)若已知抽象函数的表达式,则经常使用解方程组消参的方式求出)(x f函数及其表示练习题(2)一、选择题1. 判定下列各组中的两个函数是同一函数的为( ) ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ,52-=x y ;⑵111-+=x x y ,)1)(1(2-+=x x y ;⑶x x f =)(,2)(x x g =;⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ,52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数量是( )A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+,且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应,则,a k 的值别离为( )A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,若()3f x =,则x 的值是( )A. 1B. 1或32C. 1,32或 D.5. 为了取得函数(2)y f x =-的图象,能够把函数(12)y f x =-的图象适当平移, 那个平移是( )A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的概念域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -,且函数的最大值为9,则那个二次函数的表达式是 .4. 函数0y=_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1. 求函数()1f x x =+的概念域.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根,又2212y x x =+,求()y f m =的解析式及此函数的概念域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2,求a 、b 的值.参考答案(2)一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”,平移后的“2x -”, 用“x ”代替了“12x -”,即1122x x -+→,左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时,这是矛盾的; 当10,(),1a f a a a a<=><-时;2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-,对称轴1x =, 当1x =时,max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-.三、 1. 解:∵10,10,1x x x +≠+≠≠-,∴概念域为{}|1x x ≠-2. 解: ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥,∴值域为)+∞ 3. 解:24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或,222121212()2y x x x x x x =+=+- 224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解:对称轴1x =,[]1,3是()f x 的递增区间,max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。

高一数学复习知识讲解课件24 函数的概念及其表示

高一数学复习知识讲解课件24 函数的概念及其表示

3.1函数的概念高一数学复习知(习题课的概念及其表示复习知识讲解课件习题课)题型一题型一 复合函数例1已知函数f(x)的定义域为[-1【分析分析】】函数f(x)的定义域为[a,下,接受法则的对象无论是什么代数式时【解析解析】】因为函数f(x)的定义域为1≤2x-1≤3,解得0≤x≤2.故函数f(2x-1)的定义域是[0,2].合函数定义域的求法,3],求函数f(2x-1)的定义域.b]指a≤x≤b,即在同一对应法则f的作用式时,必受a≤x≤b制约.[-1,3],所以对于函数f(2x-1),有-探究1 (1)此题比较抽象,理解的关键范围,而f (x )的自变量是x ,对于函数f (g (的“x ”的范围与f (g (x ))中的“g (x )”的范围是相(2)法则“f ”相当于一间屋子,任何(3)已知f (x )的定义域为[a ,b ],求f (b ,即得f (g (x ))的定义域.的关键在于:由于函数的定义域是自变量的x ))而言,自变量也是x ,但同时有f (x )中围是相同的.“人”住进来,空间都不变!g (x ))的定义域,只需解不等式a ≤g (x )≤例2已知函数f(x+3)的定义域为[【分析分析】】由于函数f(x+3)的定义域为2≤x+3≤6,故可以得到函数f(x)的定义域【解析解析】】因为函数f(x+3)的定义域为所以由-1≤x≤3,得到2≤x+3≤6.所以函数f(x)的定义域是[2,6].-1,3],求函数f(x)的定义域.义域为[-1,3],所以-1≤x≤3,得到义域.义域为[-1,3],探究2已知f(g(x))的定义域为[a,b],求f(x)的定义域只需根据a≤x≤b,求出的范围即得的定义域.g(x)f(x)(3)已知函数f (x +2)的定义域为[1,3 【解析解析】】 ∵f (x +2)的定义域为[1∴3≤x +2≤5,∴f (x )的定义域为[3要使f (1-x )有意义,则3≤1-x ≤5,∴f (1-x )的定义域为{x |-4≤x ≤-3],求函数f (1-x )的定义域. ,3],,5].,∴-4≤x ≤-2. 2}.题往往采取赋值法.探究3此类抽象函数的求值问题往往题型三题型三函数图例4 向高为H 的水瓶中注水,注满为止的图象如图所示,那么水瓶形状是( )B函数图象的应用满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系)探究4 函数图象直观,能够帮助我们是研究数学的一个重要手段,是解题的一个观,便于发现问题,启发思考,有助于培养力.助我们正确理解概念和有关性质,数形结合的一个有效途径,用数形结合解题比较直于培养综合运用数学知识来解决问题的能思考题4 如图所示的四个容器高度相同的速度注入其中,注满为止.用下面对和时间t 之间的关系,其中不正确的个数为A .1 C .3【解析解析】】 对于第一个图,水面的高度其他均正确.选A.器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 数为( )AB .2 D .4的高度h 的增加应是均匀的,因此不正确,课后 巩 固1.著名的狄利克雷函数D (x )= 1,0,. A 0C. 1,x 为无理数,0,x 为有理数x 为有理数,x 为无理数,则D (D (x ))=().B B 1D. 1,x 为有理数,0,x 为无理数2.已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],A .[2a ,a +b ] C .[a ,b ],则y =f (x +a )的定义域为( ) B .[0,b -a ] B D .无法确定3.客车从甲地以60km/h的速度匀速行时,然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到过乙地,最后到达丙地所经过的路程s解析解析 图象是经过(0,0),(1,60)选C.匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发,经与时间t之间关系的图象中,正确的是()C,(1.5,60),(2.5,140)的三段折线.故4.兔子和乌龟赛跑,领先的兔子看着一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了还是先到达了终点……用s1,s2分别表示乌如下图所示的图象中与故事情节相吻合的是子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲了起来,睡了点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟表示乌龟和兔子所走的路程,x 为时间,则合的是( )D5.某客运公司确定车票价格的方法是每千米0.5元;如果超过100千米,超过部分 y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是___ 解析解析 由题意得,当0≤x ≤100时,-100)×0.4=10+0.4x .方法是:如果行程不超过100千米,票价是过部分按每千米0.4元定价,则客运票价 y = 0.5x ,0≤x ≤100,________________. 10+0.4x ,x >100y =0.5x ;当x >100时,y =100×0.5+(x。

函数的概念及其表示法

函数的概念及其表示法

时,有x=f^(-1)(y),则称x=f^(-1)(y)为y=f(x)的反函数。
性质
02
原函数和反函数在相应的区间上单调性相同。
求导法则
03
原函数的导数等于反函数的导数的倒数。
05 函数的实际应用
一次函数的应用
01
02
03
线性回归分析
一次函数是线性回归分析 的基础,通过拟合数据点, 可以预测因变量的变化趋 势。
函数的概念及其表示法
目录
• 函数的基本概念 • 函数的表示法 • 函数的定义域和值域 • 函数的运算 • 函数的实际应用
01 函数的基本概念
函数的定义
01
函数是一种特殊的对应关系,它 使得集合A中的每一个元素都能通 过某种法则对应到集合B中的唯一 一个元素。
02
函数通常用大写字母表示,如f(x), g(x)等,其中x是自变量,f(x)是因 变量。
初等函数
由代数函数和三角函数经过有限次四则运算 得到的函数。
三角函数
与三角学相关的函数,如正弦函数、余弦函 数等。
超越函数
不能表示为有限次四则运算的初等函数的函 数,如自然对数函数、正切函数等。
02 函数的表示法
解析法
解析法
使用数学表达式来表示函数,如 $f(x) = x^2 + 2x + 1$。解析法 精确地描述了函数与自变量之间的数学关系,适用于需要精确计算 的情况。
表格法
01 02
表格法
列出自变量和因变量的若干组对应数值,以表格的形式表示函数。适用 于已知部分函数值的情况,可以通过插值或拟合的方法确定其他点的函 数值。
优点
简单、直观,能够提供一定程度的近似值。

人教B版高一数学必修第一册3.函数的概念及其表示ppt课件

人教B版高一数学必修第一册3.函数的概念及其表示ppt课件
追问4 你能举出生活中可以用分段函数描述的实际问题吗? 如出租车的计费、天然气的计费、银行的利率等.
新知探究
例3 给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,x∈R,
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象;
例3 给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,x∈R, 追问2 比较函数的三种表示法,它们各自的特点是什么?
新知探究
追问3 你能用代数方法求出M(x)=max{f(x),g(x)}的表达式 吗?
(x 1)2,x ≤ 1,
综上可得:M(x)=
x
1, 1
x

0,
(x 1)2,x 0.
新知探究
例3 给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,x∈R, (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象; (2)∀x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为
M(x)=max{f(x),g(x)}.
结合图2,得出函数M(x)的解析式为
(x 1)2,x ≤ 1,
M (x) x 1, 1 x ≤ 0,
(x 1)2,x 0.
图2
归纳小结
问题2 请同学们回顾本节课的内容,回答下列问题: (1)函数常用的表示法有哪些?它们各自的特点是什么? (2)结合本节课的学习,你对如何学习函数又有什么体会? (1)函数常用的表示法有:解析法、表格法和图象法, 其中解析式是精确的、图象是直观的、表格是直接的; (2)解析式、表格、图象是对应关系f的不同的表现形式, 但实质相同,为了更好地分析和解决问题, 有时需要进行不同表示法的转化和综合使用.
函数的概念及其表示
第三课时
复习引入
问题1 你能说说函数有哪些表示法吗?它们各自的特点又是什么?

函数的概念与表示(高一新教材A版必修第一册)

函数的概念与表示(高一新教材A版必修第一册)

函数的概念及其表示第1课时函数的概念1.函数的概念定义一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y=f(x),x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}(2)f(x)与f(a)有何区别与联系?提示:(1)这种看法不对.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,应理解为x是自变量,它是关系所施加的对象;f是对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述;y是自变量的函数,当x允许取某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号,不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等来表示函数.(2)f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x 的函数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊值,如一次函数f(x)=3x+4,当x=8时,f(8)=3×8+4=28是一个常数.2.区间及有关概念(1)一般区间的表示设a,b∈R,且a<b,规定如下:定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b](2)特殊区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(-∞,+∞) [a,+∞)(a,+∞)(-∞,a](-∞,a)思考2:(1)区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗?(2)“∞”是数吗?如何正确使用“∞”?提示:(1)不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示.(2)“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号.1.函数y=1x+1的定义域是()A.[-1,+∞)B.[-1,0) C.(-1,+∞) D.(-1,0) C[由x+1>0得x>-1.所以函数的定义域为(-1,+∞).]2.若f(x)=11-x2,则f(3)=________.-18[f(3)=11-9=-18.]3.用区间表示下列集合:(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________;(2){x|x>1}用区间表示为________.(1)[10,100](2)(1,+∞)[结合区间的定义可知(1)为[10,100],(2)为(1,+∞).]函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)=-2x3与g(x)=x-2x;②f(x)=x与g(x)=x2;③f(x)=x0与g(x)=1x0;④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.A.①②B.①③C.③④D.①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数.①A=N,B=N*,对应法则f:对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应;②A={-1,1,2,-2},B={1,4},对应法则f:x→y=x2,x∈A,y∈B;③A={-1,1,2,-2},B={1,2,4},对应法则f:x→y=x2,x∈A,y∈B;④A={三角形},B={x|x>0},对应法则f:对A中元素求面积与B中元素对应.(1)C[①f(x)=-2x3=|x|-2x与g(x)=x-2x的对应法则和值域不同,故不是同一函数.②g(x)=x2=|x|与f(x)=x的对应法则和值域不同,故不是同一函数.③f(x)=x0与g(x)=1x0都可化为y=1且定义域是{x|x≠0},故是同一函数.④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1的定义域都是R,对应法则也相同,而与用什么字母表示无关,故是同一函数.由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0,在f的作用下得0,但0不属于B,即A中的元素0在B中没有元素与之对应,所以不是函数.②对于A中的元素±1,在f的作用下与B中的1对应,A中的元素±2,在f的作用下与B中的4对应,所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应,是“多对一”的对应,故是函数.③对于A中的任一元素,在对应关系f的作用下,B中都有唯一的元素与之对应,如±1对应1,±2对应4,所以是函数.④集合A不是数集,故不是函数.]1.判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A,B必须是非空实数集.(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系.2.判断函数相等的方法(1)先看定义域,若定义域不同,则不相等;(2)若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同.1.下列四个图象中,不是函数图象的是()A B C DB[根据函数的定义知:y是x的函数中,x确定一个值,y就随之确定一个值,体现在图象上,图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点,对照选项,可知只有B不符合此条件.故选B.] 2.下列各组函数中是相等函数的是()A.y=x+1与y=x2-1 x-1B.y=x2+1与s=t2+1C.y=2x与y=2x(x≥0)D.y=(x+1)2与y=x2B[A,C选项中两函数的定义域不同,D选项中两函数的对应关系不同,故A,C,D错误,选B.]求函数值【例2】设f(x)=2x2+2,g(x)=1x+2,(1)求f(2),f(a+3),g(a)+g(0)(a≠-2),g(f(2)).(2)求g(f(x)).[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式,求值即可;(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x)).[解](1)因为f(x)=2x2+2,所以f(2)=2×22+2=10,f(a+3)=2(a+3)2+2=2a2+12a+20.因为g(x)=1x+2,所以g(a)+g(0)=1a+2+10+2=1a+2+12(a≠-2).g(f(2))=g(10)=110+2=112.(2)g(f(x))=1f(x)+2=12x2+2+2=12x2+4.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.3.已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f(f(-1))的值.[解]f(1)=13+2×1+3=6;f(t)=t3+2t+3;f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a;f(f(-1))=f((-1)3+2×(-1)+3)=f(0)=3.求函数的定义域[探究问题]1.已知函数的解析式,求其定义域时,能否可以对其先化简再求定义域?提示:不可以.如f(x)=x+1x2-1.倘若先化简,则f(x)=1x-1,从而定义域与原函数不等价.2.若函数y=f(x+1)的定义域是[1,2],这里的“[1,2]”是指谁的取值范围?函数y=f(x)的定义域是什么?提示:[1,2]是自变量x的取值范围.函数y=f(x)的定义域是x+1的范围[2,3].【例3】求下列函数的定义域:(1)f(x)=2+3x-2;(2)f(x)=(x-1)0+2x+1;(3)f(x)=3-x·x-1;(4)f (x)=(x +1)2x +1-1-x .[思路点拨] 要求函数的定义域,只需分母不为0,偶次方根中被开方数大于等于0即可. [解] (1)当且仅当x -2≠0,即x ≠2时, 函数f (x )=2+3x -2有意义, 所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}. (2)函数有意义,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x -1≠0,2x +1≥0,x +1≠0,解得x >-1且x ≠1,所以这个函数的定义域为{x |x >-1且x ≠1}. (3)函数有意义,当且仅当⎩⎨⎧3-x ≥0,x -1≥0,解得1≤x ≤3,所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}.(4)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧x +1≠0,1-x ≥0,解得x ≤1且x ≠-1,即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠-1}.(变结论)在本例(3)条件不变的前提下,求函数y =f (x +1)的定义域. [解] 由1≤x +1≤3得0≤x ≤2. 所以函数y =f (x +1)的定义域为[0,2].求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式,则应考虑使分母不为零. (2)若f (x )是偶次根式,则被开方数大于或等于零.(3)若f (x )是指数幂,则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个部分定义域的交集. (5)若f (x )是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.1.对于用关系式表示的函数.如果没有给出定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合.这也是求某函数定义域的依据.2.函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则,因此,判定两个函数是否相同时,就看定义域和对应法则是否完全一致,完全一致的两个函数才算相同.3.函数符号y =f (x )是学习的难点,它是抽象符号之一.首先明确符号“y =f (x )”为y 是x 的函数,它仅仅是函数符号,不是表示“y 等于f 与x 的乘积”.1.思考辨析(1)区间表示数集,数集一定能用区间表示.( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2,+∞].( )(3)函数的定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了.( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.下列函数中,与函数y =x 相等的是( ) A .y =(x )2 B .y =x 2 C .y =|x |D .y =3x 3D [函数y =x 的定义域为R ;y =(x )2的定义域为[0,+∞);y =x 2=|x |,对应关系不同;y =|x |对应关系不同;y =3x 3=x ,且定义域为R .故选D.]3.将函数y =31-1-x的定义域用区间表示为________.(-∞,0)∪(0,1] [由⎩⎨⎧1-x ≥0,1-1-x ≠0,解得x ≤1且x ≠0,用区间表示为(-∞,0)∪(0,1].] 4.已知函数f (x )=x +1x , (1)求f (x )的定义域; (2)求f (-1),f (2)的值;(3)当a ≠-1时,求f (a +1)的值.[解] (1)要使函数f (x )有意义,必须使x ≠0,∴f (x )的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). (2)f (-1)=-1+1-1=-2,f (2)=2+12=52. (3)当a ≠-1时,a +1≠0, ∴f (a +1)=a +1+1a +1.分层作业 函数的概念(建议用时:60分钟)[合格基础练]一、选择题1.已知函数f (x )=3x ,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =( )A.1a B.3a C .aD .3aD [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =3a ,故选D.]2.下列表示y 关于x 的函数的是( ) A .y =x 2 B .y 2=x C .|y |=xD .|y |=|x | A [结合函数的定义可知A 正确,选A.]3.函数y =x 2-2x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( ) A .{-1,0,3} B .{0,1,2,3} C .{y |-1≤y ≤3}D .{y |0≤y ≤3}A [当x =0时,y =0;当x =1时,y =1-2=-1;当x =2时,y =4-2×2=0;当x =3时,y =9-2×3=3,∴函数y =x 2-2x 的值域为{-1,0,3}.]4.函数y =x +1x -1的定义域是( ) A .(-1,+∞) B .[-1,+∞) C .(-1,1)∪(1,+∞)D .[-1,1)∪(1,+∞)D [由题意可得⎩⎨⎧x +1≥0,x -1≠0,所以x ≥-1且x ≠1,故函数y =x +1x -1的定义域为{x |x ≥-1且x ≠1}.故选D.] 5.下列四组函数中表示同一函数的是( ) A .f (x )=x ,g (x )=(x )2 B .f (x )=x 2,g (x )=(x +1)2 C .f (x )=x 2,g (x )=|x |D .f (x )=0,g (x )=x -1+1-xC [∵f (x )=x (x ∈R )与g (x )=(x )2(x ≥0)两个函数的定义域不一致,∴A 中两个函数不表示同一函数;∵f (x )=x 2,g (x )=(x +1)2两个函数的对应法则不一致,∴B 中两个函数不表示同一函数;∵f (x )x 2=|x |与g (x )=|x |,两个函数的定义域均为R ,∴C 中两个函数表示同一函数;f (x )=0,g (x )=x -11-x =0(x =1)两个函数的定义域不一致,∴D 中两个函数不表示同一函数,故选C.]二、填空题6.若[a ,3a -1]为一确定区间,则a 的取值范围是________. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ [由题意知3a -1>a ,则a >12.]7.已知函数f (x )=11+x,又知f (t )=6,则t =________. -56 [由f (t )=6,得11+t=6,即t =-56.]8.已知函数f (x )的定义域为(-1,1),则函数g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+f (x -1)的定义域是________.(0,2) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧-1<x 2<1,-1<x -1<1,即⎩⎨⎧-2<x <2,0<x <2.解得0<x <2,于是函数g (x )的定义域为(0,2).] 三、解答题9.求下列函数的定义域: (1)f (x )=3x -1+1-2x +4; (2)f (x )=(x +3)0|x |-x.[解] (1)要使函数式有意义,必须满足⎩⎨⎧3x -1≥0,1-2x ≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥13,x ≤12.所以13≤x ≤12,即函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,12. (2)要使函数式有意义,必须满足⎩⎨⎧ x +3≠0,|x |-x >0,即⎩⎨⎧ x ≠-3,|x |>x ,解得⎩⎨⎧x ≠-3,x <0.所以函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,0).10.已知f (x )=x 2-4x +2. (1)求f (2),f (a ),f (a +1)的值; (2)求f (x )的值域;(3)若g (x )=x +1,求f (g (3))的值. [解] (1)f (2)=22-4×2+2=-2, f (a )=a 2-4a +2,f (a +1)=(a +1)2-4(a +1)+2=a 2-2a -1. (2)f (x )=x 2-4x +2=(x -2)2-2≥-2, ∴f (x )的值域为[-2,+∞). (3)g (3)=3+1=4,∴f (g (3))=f (4)=42-4×4+2=2.[等级过关练]1.若集合A ={x |0≤x ≤2},B ={y |0≤y ≤3},则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f :A →B 的是( )A B C DD [A 中的对应不满足函数的存在性,即存在x ∈A ,但B 中无与之对应的y ;B 、C 均不满足函数的唯一性,只有D 正确.]2.下列函数中,对于定义域内的任意x ,f (x +1)=f (x )+1恒成立的为( ) A .f (x )=x +1B .f (x )=-x 2C .f (x )=1xD .y =|x |A [对于A 选项,f (x +1)=(x +1)+1=f (x )+1,成立. 对于B 选项,f (x +1)=-(x +1)2≠f (x )+1,不成立. 对于C 选项,f (x +1)=1x +1,f (x )+1=1x +1,不成立. 对于D 选项,f (x +1)=|x +1|,f (x )+1=|x |+1,不成立.] 3.函数f (x ),g (x )分别由下表给出.则f (g (1))的值为________;满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________. 1 2 [∵g (1)=3,f (3)=1,∴f (g (1))=1. 当x =1时,f (g (1))=f (3)=1,g (f (1))=g (1)=3, f (g (x ))<g (f (x )),不合题意;当x =2时,f (g (2))=f (2)=3,g (f (2))=g (3)=1, f (g (x ))>g (f (x )),符合题意;当x =3时,f (g (3))=f (1)=1,g (f (3))=g (1)=3, f (g (x ))<g (f (x )),不合题意.]4.已知一个函数的解析式为y =x 2,它的值域为{1,4},这样的函数有________个.9 [因为一个函数的解析式为y =x 2,它的值域为{1,4},所以函数的定义域可以为{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-1,2},{-1,1,-2},{1,2,-2},{-1,2,-2},{1,-1,-2,2},共9种可能,故这样的函数共9个.]5.已知函数f (x )=x 21+x 2.(1)求f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值;(2)求证:f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值.[解] ∵f (x )=x 21+x 2,∴f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=221+22+⎝ ⎛⎭⎪⎫1221+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=1. f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=321+32+⎝ ⎛⎭⎪⎫1321+⎝ ⎛⎭⎪⎫132=1. (2)证明:f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x 21+x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2=x 21+x 2+1x 2+1=x 2+1x 2+1=1.第2课时 函数的表示法函数的表示法思考:任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗? 提示:不一定.并不是所有的函数都可以用解析式表示,不仅如此,图象法也不适用于所有函数,如D (x )=⎩⎨⎧0,x ∈Q ,1,x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段.1.已知函数f (x )由下表给出,则f (3)等于( )x 1≤x<222<x≤4f(x)12 3A.1B.2C.3D.不存在C[∵当2<x≤4时,f(x)=3,∴f(3)=3.]2.二次函数的图象的顶点为(0,-1),对称轴为y轴,则二次函数的解析式可以为()A.y=-14x2+1 B.y=14x2-1C.y=4x2-16 D.y=-4x2+16B[把点(0,-1)代入四个选项可知,只有B正确.]3.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则其定义域是______.[-2,3][由图象可知f(x)的定义域为[-2,3].]函数的三种表示方法【例1】某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.[解]①列表法如下:x(台)1234 5y(元) 3 000 6 0009 00012 00015 000 x(台)678910y(元)18 00021 00024 00027 00030 000③解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系,同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意:①解析法必须注明函数的定义域;②列表法中选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征;③图象法中要注意是否连线.1.(1)某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是()A B C D(2)由下表给出函数y=f(x),则f(f(1))等于()x 1234 5y 4532 1A.1B.2C.4 D.5(1)D(2)B[(1)结合题意可知,该生离校的距离先快速减少,又较慢减少,最后到0,故选D.(2)由题意可知,f(1)=4,f(4)=2,∴f(f(1))=f(4)=2,故选B.]图象的画法及应用【例2】作出下列函数的图象并求出其值域.(1)y=-x,x∈{0,1,-2,3};(2)y=2x,x∈[2,+∞);(3)y=x2+2x,x∈[-2,2).[解](1)列表x 01-2 3 y 0-12-3(2)列表x 2345…y 1231225…当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=2x的一部分,观察图象可知其值域为(0,1].(3)列表x -2-101 2y 0-1038由图可得函数的值域为[-1,8).描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图.(2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.(3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈.提醒:函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.2.画出下列函数的图象:(1)y=x+1(x≤0);(2)y =x 2-2x (x >1,或x <-1).[解] (1)y =x +1(x ≤0)表示一条射线,图象如图①.(2)y =x 2-2x =(x -1)2-1(x >1,或x <-1)是抛物线y =x 2-2x 去掉-1≤x ≤1之间的部分后剩余曲线.如图②.函数解析式的求法[探究问题]已知f (x )的解析式,我们可以用代入法求f (g (x )),反之,若已知f (g (x )),如何求f (x ). 提示:若已知f (g (x ))的解析式,我们可以用换元法或配凑法求f (x ). 【例3】 (1)已知f (x +1)=x -2x ,则f (x )=________; (2)已知函数f (x )是一次函数,若f (f (x ))=4x +8,则f (x )=________; (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )-2f (-x )=1+2x ,则f (x )=________.[思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解;(2)用待定系数法求解;(3)用方程组法求解. (1)x 2-4x +3(x ≥1) (2)2x +83或-2x -8 (3)23x -1 [(1)法一(换元法):令t =x +1,则t ≥1,x =(t -1)2,代入原式有f (t )=(t -1)2-2(t -1)=t 2-4t +3,f (x )=x 2-4x +3(x ≥1).法二(配凑法):f (x +1)=x +2x +1-4x -4+3=(x +1)2-4(x +1)+3, x +1≥1,所以f (x )=x 2-4x +3(x ≥1). (2)设f (x )=ax +b (a ≠0),则f (f (x ))=f (ax +b )=a (ax +b )+b =a 2x +ab +b . 又f (f (x ))=4x +8, 所以a 2x +ab +b =4x +8, 即⎩⎨⎧a 2=4,ab +b =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =83或⎩⎨⎧a =-2,b =-8.所以f (x )=2x +83或f (x )=-2x -8.(3)由题意,在f (x )-2f (-x )=1+2x 中,以-x 代x 可得f (-x )-2f (x )=1-2x ,联立可得⎩⎨⎧f (x )-2f (-x )=1+2x ,f (-x )-2f (x )=1-2x ,消去f (-x )可得f (x )=23x -1.]1.(变条件)把本例(2)的题干改为“已知函数f (x )是二次函数,且f (0)=1,f (x +1)-f (x )=2x .”求f (x )的解析式.[解] 设f (x )=ax 2+bx +c ,由f (0)=1得c =1. 又f (x +1)=a (x +1)2+b (x +1)+1, ∴f (x +1)-f (x )=2ax +a +b . 由2ax +a +b =2x ,得⎩⎨⎧2a =2,a +b =0,解得a =1,b =-1. ∴f (x )=x 2-x +1.2.(变条件)把本例(3)的题干改为“2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +f (x )=x (x ≠0)”,求f (x )的解析式.[解] f (x )+2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x ,令x =1x ,得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2f (x )=1x .于是得关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )+2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2f (x )=1x .解得f (x )=23x -x3(x ≠0).求函数解析式的四种常用方法(1)待定系数法:若已知f (x )的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.(2)换元法:设t =g (x ),解出x ,代入f (g (x )),求f (t )的解析式即可.(3)配凑法:对f (g (x ))的解析式进行配凑变形,使它能用g (x )表示出来,再用x 代替两边所有的“g (x )”即可.(4)方程组法(或消元法):当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.提醒:应用换元法求函数解析式时,务必保证函数在换元前后的等价性.1.函数有三种常用的表示方法,可以适时的选择,以最佳的方式表示函数.2.作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向,与x轴、y轴有无交点,图象有无对称性,并标明特殊点.3.求函数解析式的主要方法有:代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法),注意有的函数要注明定义域.1.思考辨析(1)任何一个函数都可以用解析法表示.()(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线.()[答案](1)×(2)×2.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4A[令x+1=t,则x=t-1,∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1.∴f(x)=3x-1.]3.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出.x 45 6f(x)13 1x 12 3g(x)45 443[由题表可知f(5)=3,g(3)=4,∴g(f(5))=g(3)=4.又g(2)=5,f(5)=3,∴f(g(2))=f(5)=3.]4.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).(1)画出f(x)图象的简图;(2)根据图象写出f(x)的值域.[解](1)f(x)图象的简图如图所示.(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],即f(x)的值域是[-1,3].分层作业函数的表示法(建议用时:60分钟)[合格基础练]一、选择题1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为()A.y=2x B.y=2x(x∈R)C.y=2x(x∈{1,2,3,…}) D.y=2x(x∈{1,2,3,4})D[题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},故选D.]2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))的值为()x 12 3f(x)230A.3 B.2C.1 D.0B[由函数g(x)的图象知,g(2)=1,则f(g(2))=f(1)=2.]3.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是()C [距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,直线段比前段下降的快,故应选C.]4.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x 1-x ,则当x ≠0,1时,f (x )等于( )A.1xB.1x -1C.11-xD.1x -1B [令1x =t ,则x =1t ,代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =x 1-x,则有f (t )=1t1-1t=1t -1,故选B.] 5.若f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )=( ) A .3x +2 B .3x -2 C .2x +3 D .2x -3 B [设f (x )=ax +b ,由题设有 ⎩⎨⎧2(2a +b )-3(a +b )=5,2(0·a +b )-(-a +b )=1.解得⎩⎨⎧a =3,b =-2.所以选B.]二、填空题6.已知f (2x +1)=x 2-2x ,则f (3)=________. -1 [由2x +1=3得x =1,∴f (3)=1-2=-1.] 7.f (x )的图象如图所示,则f (x )的值域为________.[-4,3] [由函数的图象可知,f (x )的值域为[-2,3]∪[-4,2.7],即[-4,3].]8.若一个长方体的高为80 cm ,长比宽多10 cm ,则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________.y =80x (x +10),x ∈(0,+∞) [由题意可知,长方体的长为(x +10)cm ,从而长方体的体积y =80x (x +10),x >0.]三、解答题9.画出二次函数f (x )=-x 2+2x +3的图象,并根据图象回答下列问题: (1)比较f (0),f (1),f (3)的大小; (2)求函数f (x )的值域.[解] f (x )=-(x -1)2+4的图象如图所示:(1)f (0)=3,f (1)=4,f (3)=0, 所以f (1)>f (0)>f (3).(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)=4, 则函数f (x )的值域为(-∞,4].10.(1)已知f (x )是一次函数,且满足2f (x +3)-f (x -2)=2x +21,求f (x )的解析式; (2)已知f (x )为二次函数,且满足f (0)=1,f (x -1)-f (x )=4x ,求f (x )的解析式; (3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x =x 2+1x 2+1,求f (x )的解析式.[解] (1)设f (x )=ax +b (a ≠0),则2f (x +3)-f (x -2)=2[a (x +3)+b ]-[a (x -2)+b ]=2ax +6a +2b -ax +2a -b =ax +8a +b =2x +21,所以a =2,b =5,所以f (x )=2x +5. (2)因为f (x )为二次函数,设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). 由f (0)=1,得c =1. 又因为f (x -1)-f (x )=4x ,所以a (x -1)2+b (x -1)+c -(ax 2+bx +c )=4x ,整理,得-2ax +a -b =4x ,求得a =-2,b =-2,所以f (x )=-2x 2-2x +1.(3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x =⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x 2+2+1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x 2+3.∴f (x )=x 2+3.[等级过关练]1.已知函数f (2x +1)=3x +2,且f (a )=2,则a 的值为( ) A .-1 B .5 C .1D .8C [由3x +2=2得x =0, 所以a =2×0+1=1. 故选C.]2.一等腰三角形的周长是20,底边长y 是关于腰长x 的函数,则它的解析式为( ) A .y =20-2xB .y =20-2x (0<x <10)C .y =20-2x (5≤x ≤10)D .y =20-2x (5<x <10)D [由题意得y +2x =20, 所以y =20-2x ,又2x >y ,即2x >20-2x ,即x >5, 由y >0即20-2x >0得x <10, 所以5<x <10.故选D.]3.已知f (x )+2f (-x )=x 2+2x ,则f (x )的解析式为________. f (x )=13x 2-2x [以-x 代替x 得:f (-x )+2f (x )=x 2-2x . 与f (x )+2f (-x )=x 2+2x 联立得:f (x )=13x 2-2x .]4.设f (x )=2x +a ,g (x )=14(x 2+3),且g (f (x ))=x 2-x +1,则a 的值为________.-1 [因为g (x )=14(x 2+3),所以g (f (x ))=14[(2x +a )2+3]=14(4x 2+4ax +a 2+3)=x 2-x +1,求得a =-1.]5.如图,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽为2 m,渠深为1.8 m,斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;(2)确定函数的定义域和值域.[解](1)由已知,横断面为等腰梯形,下底为2 m,上底为(2+2h)m,高为h m,∴水的面积A=[2+(2+2h)]h2=h2+2h(m2).(2)定义域为{h|0<h<1.8}.值域由二次函数A=h2+2h(0<h<1.8)求得.由函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象可知,在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大,∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}.第3课时分段函数分段函数如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.思考:分段函数是一个函数还是几个函数?提示:分段函数是一个函数,而不是几个函数.1.下列给出的式子是分段函数的是( ) ①f (x )=⎩⎨⎧x 2+1,1≤x ≤5,2x ,x <1.②f (x )=⎩⎨⎧x +1,x ∈R ,x 2,x ≥2.③f (x )=⎩⎨⎧2x +3,1≤x ≤5,x 2,x ≤1.④f (x )=⎩⎨⎧x 2+3,x <0,x -1,x ≥5.A .①②B .①④C .②④D .③④B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数,②③中不同对应关系的定义域有重叠部分,故选B.]2.函数y =⎩⎨⎧x ,x ≥0,-x ,x <0的值域是________.[答案] [0,+∞)3.函数f (x )=⎩⎨⎧x +1,x ≤1,-x +3,x >1,则f (f (4))=________.0 [∵f (4)=-4+3=-1,f (-1)=-1+1=0, ∴f (f (4))=f (-1)=0.]分段函数的求值问题【例1】已知函数f (x )=⎩⎨⎧x +1,x ≤-2,x 2+2x ,-2<x <2,2x -1,x ≥2.(1)求f (-5),f (-3),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52的值;(2)若f (a )=3,求实数a 的值.[解] (1)由-5∈(-∞,-2],-3∈(-2,2),-52∈(-∞,-2],知f (-5)=-5+1=-4, f (-3)=(-3)2+2×(-3)=3-2 3. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52=-52+1=-32, 而-2<-32<2,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32=⎝ ⎛⎭⎪⎫-322+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-32=94-3=-34. (2)当a ≤-2时,a +1=3, 即a =2>-2,不合题意,舍去. 当-2<a <2时,a 2+2a =3, 即a 2+2a -3=0. ∴(a -1)(a +3)=0, 解得a =1或a =-3. ∵1∈(-2,2),-3∉(-2,2), ∴a =1符合题意.当a ≥2时,2a -1=3,即a =2符合题意. 综上可得,当f (a )=3时,a =1或a =2.1.分段函数求函数值的方法:(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f (f (x 0))的形式时,应从内到外依次求值. 2.已知函数值求字母取值的步骤: (1)先对字母的取值范围分类讨论. (2)然后代入不同的解析式中. (3)通过解方程求出字母的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.提醒:求某条件下自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后相应求出自变量的值,切记代入检验.1.函数f(x)=⎩⎨⎧x-3,x≥10,f(f(x+5)),x<10,则f(7)=________.8[∵函数f(x)=⎩⎨⎧x-3,x≥10,f(f(x+5)),x<10,∴f(7)=f(f(12))=f(9)=f(f(14))=f(11)=8.]分段函数的解析式【例2】如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 2 cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图象.[思路点拨]可按点E所在的位置分E在线段AB,E在线段AD及E在线段CD三类分别求解.[解]过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=2 2 cm,所以BG=AG=DH=HC=2 cm,又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm.(1)当点F在BG上,即x∈[0,2]时,y=12x2;(2)当点F在GH上,即x∈(2,5]时,y=x+x-22×2=2x-2;(3)当点F在HC上,即x∈(5,7]时,y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-S Rt△CEF=12(7+3)×2-12(7-x)2=-12(x-7)2+10.综合(1)(2)(3),得函数的解析式为y=⎩⎪⎨⎪⎧12x2,x∈[0,2],2x-2,x∈(2,5],-12(x-7)2+10,x∈(5,7].图象如图所示.1.当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画.2.通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识,培养学生的建模素养.2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5公里以内(含5公里),票价2元;(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.[解] 设票价为y 元,里程为x 公里,定义域为(0,20]. 由题意得函数的解析式如下:y =⎩⎨⎧2,0<x ≤5,3,5<x ≤10,4,10<x ≤15,5,15<x ≤20.函数图象如图所示:分段函数的图象及应用[探究问题]1.函数f (x )=|x -2|能用分段函数的形式表示吗?能否作出其图象?提示:能.f (x )=⎩⎨⎧x -2,x ≥2,2-x ,x <2.函数f (x )的图象如图所示.2.结合探究点1,你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗?提示:含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.【例3】 已知函数f (x )=1+|x |-x2(-2<x ≤2). (1)用分段函数的形式表示f (x ); (2)画出f (x )的图象; (3)写出函数f (x )的值域.[思路点拨] (1)分-2<x <0和0≤x ≤2两种情况讨论,去掉绝对值可把f (x )写成分段函数的形式; (2)利用(1)的结论可画出图象;(3)由(2)中得到的图象,找到图象最高点和最低点的纵坐标,可得值域. [解] (1)当0≤x ≤2时,f (x )=1+x -x2=1, 当-2<x <0时, f (x )=1+-x -x2=1-x , ∴f (x )=⎩⎨⎧1,0≤x ≤2,1-x ,-2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示.(3)由(2)知,f (x )在(-2,2]上的值域为[1,3).把本例条件改为“f (x )=|x |-2”,再求本例的3个问题.[解] (1)f (x )=|x |-2=⎩⎨⎧x -2,x ≥0,-x -2,x <0.(2)函数的图象如图所示.(3)由图可知,f (x )的值域为[-2,+∞).分段函数图象的画法作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.1.分段函数是一个函数,而不是几个函数.2.分段函数求值要先找准自变量所在的区间;分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.3.分段函数的图象分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中,根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点,各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象.1.思考辨析(1)分段函数由几个函数构成.( )(2)函数f (x )=⎩⎨⎧x +1,x ≤1,-x +3,x >1是分段函数.( )[答案] (1)× (2)√2.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤1,2x,x >1,则f (f (3))=( )A.15 B .3 C.23 D.139D [∵f (3)=23≤1,∴f (f (3))=⎝ ⎛⎭⎪⎫232+1=139.]3.函数y =f (x )的图象如图所示,则其解析式为________.f (x )=⎩⎨⎧2x ,0≤x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2[当0≤x ≤1时,设f (x )=kx ,又过点(1,2),故k =2,∴f (x )=2x ;当1<x <2时,f (x )=2;当x ≥2时,f (x )=3.综上f (x )=⎩⎨⎧2x ,0≤x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2.]4.已知f (x )=⎩⎨⎧x 2,-1≤x ≤1,1,x >1或x <-1.(1)画出f (x )的图象; (2)求f (x )的定义域和值域.[解] (1)利用描点法,作出f (x )的图象,如图所示. (2)由条件知,函数f (x )的定义域为R .由图象知,当-1≤x ≤1时,f (x )=x 2的值域为[0,1],当x >1或x <-1时,f (x )=1, 所以f (x )的值域为[0,1].分层作业 分段函数(建议用时:60分钟)[合格基础练]一、选择题1.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x +5,x ≥4,x -2,x <4,则f (3)的值是( )A .1B .2C .8D .9 A [f (3)=3-2=1.]2.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C DC [当x >0时,f (x )=x +xx =x +1, 当x <0时,f (x )=x -1,且x ≠0, 根据一次函数图象可知C 正确. 故选C.]3.函数f (x )=⎩⎨⎧2x ,0≤x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2的值域是( )A .RB .[0,2]∪{3}C .[0,+∞)D .[0,3]B [当0≤x ≤1时,0≤2x ≤2,即0≤f (x )≤2;当1<x <2时,f (x )=2;当x ≥2时,f (x )=3.综上可知f (x )的值域为[0,2]∪{3}.]4.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x +2,x ≤0,x 2,0<x ≤3,若f (x )=3,则x 的值是( )A. 3 B .9 C .-1或1D .-3或 3A [依题意,若x ≤0,则x +2=3,解得x =1,不合题意,舍去.若0<x ≤3,则x 2=3,解得x 3(舍去)或x = 3.故选A.]5.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m 元收费;用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m 元收费.某职工某月缴水费16m 元,则该职工这个月实际用水量为( )A .13立方米B .14立方米C .18立方米D .26立方米A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y =⎩⎨⎧mx ,0≤x ≤10,2mx -10m ,x >10.由y =16m ,可知x >10.令2mx -10m =16m ,解得x =13.]二、填空题6.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤1,2x ,x >1, 则f (2)=________.[答案] 17.已知函数f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式是________.f (x )=⎩⎨⎧x +1,-1≤x <0,-x ,0≤x ≤1[由题图可知,图象是由两条线段组成,当-1≤x <0时,设f (x )=ax +b ,将(-1,0),(0,1)代入解析式,则⎩⎨⎧ -a +b =0,b =1,∴⎩⎨⎧a =1,b =1,即f (x )=x +1.当0≤x ≤1时,设f (x )=kx ,将(1,-1)代入,则k =-1,即f (x )=-x . 综上,f (x )=⎩⎨⎧x +1,-1≤x <0,-x ,0≤x ≤1.]8.在平面直角坐标系xOy 中,若直线y =2a 与函数y =|x -a |-1的图象只有一个交点,则a 的值为________.-12[在同一平面直角坐标系内,作出函数y =2a 与y =|x -a |-1的大致图象,如图所示.由题意,可知2a =-1,则a =-12.]三、解答题9.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x +4,x ≤0,x 2-2x ,0<x ≤4,-x +2,x >4.(1)求f (f (f (5)))的值;(2)画出函数f (x )的图象. [解] (1)因为5>4,所以f (5)=-5+2=-3. 因为-3<0,所以f (f (5))=f (-3)=-3+4=1. 因为0<1≤4.所以f (f (f (5)))=f (1)=12-2×1=-1. (2)f (x )的图象如下:10.如图,动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始,顺次经C ,D ,A 绕周界运动,用x 表示点P 的行程,y 表示△APB 的面积,求函数y =f (x )的解析式.[解] 当点P 在BC 上运动,即0≤x ≤4时,y =12×4×x =2x ; 当点P 在CD 上运动,即4<x ≤8时,y =12×4×4=8;当点P 在DA 上运动,即8<x ≤12时,y =12×4×(12-x )=24-2x .综上可知,f (x )=⎩⎨⎧2x ,0≤x ≤4,8,4<x ≤8,24-2x ,8<x ≤12.[等级过关练]1.设f (x )=⎩⎨⎧x +3,x >10,f (f (x +5)),x ≤10,则f (5)的值是( )A .24B .21C .18D .16A [f (5)=f (f (10)),f (10)=f (f (15))=f (18)=21,f (5)=f (21)=24.] 2.设函数f (x )=⎩⎨⎧-x ,x ≤0x 2,x >0,若f (a )=4,则实数a =( )A .-4或-2B .-4或2C .-2或4D .-2或2B [由⎩⎨⎧ a ≤0,-a =4或⎩⎨⎧a >0,a 2=4,得a =-4或a =2.]3.已知实数a ≠0,函数f (x )=⎩⎨⎧2x +a ,x <1,-x -2a ,x ≥1,若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为________.-34 [当a >0时,1-a <1,1+a >1,∴2(1-a )+a =-1-a -2a ,解得a =-32(舍去). 当a <0时,1-a >1,1+a <1,∴-1+a -2a =2+2a +a ,解得a =-34.] 4.若定义运算a ⊙b =⎩⎨⎧b ,a ≥b ,a ,a <b ,则函数f (x )=x ⊙(2-x )的值域为________.(-∞,1] [由题意得f (x )=⎩⎨⎧2-x ,x ≥1,x ,x <1,画出函数f (x )的图象得值域为(-∞,1].]5.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税,超过5 000元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分20%(1)请写出y 关于x 的函数关系式;(2)有一职工八月份交纳了54元的税款,请问该职工八月份的工资是多少?[解] (1)由题意,得y =⎩⎨⎧0,0≤x ≤5 000,(x -5 000)×3%,5 000<x ≤8 000,90+(x -8 000)×10%,8 000<x ≤17 000,990+(x -17 000)×20%,17 000<x ≤30 000.(2)∵该职工八月份交纳了54元的税款,∴5 000<x ≤8 000,(x -5 000)×3%=54,解得x =6 800.故这名职工八月份的工资是6 800元.。

高一数学必修1函数知识点总结

高一数学必修1函数知识点总结

高一数学必修1函数知识点总结高一数学必修1函数知识点总结函数映射定义:设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:B为从集合A到集合B的一个映射传统定义:如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,定义按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。

那么y就是x的函数。

记作yf(x).近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。

定义域函数及其表示函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法传统定义:在区间a,b上,若ax1x2b,如f(x1)f(x2),则f(x)在a,b上递增,a,b是递增区间;如f(x1)f(x2),则f(x)在a,b上递减,a,b是的递减区间。

单调性导数定义:在区间a,b上,若f(x)0,则f(x)在a,b上递增,a,b是递增区间;如f(x)0a,b是的递减区间。

则f(x)在a,b上递减,最大值:设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M;函数函数的基本性质最值(2)存在x0I,使得f(x0)M。

则称M是函数yf(x)的最大值最小值:设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数N满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)N;(2)存在x0I,使得f(x0)N。

则称N是函数yf(x)的最小值(1)f(x)f(x),x定义域D,则f(x)叫做奇函数,其图象关于原点对称。

奇偶性(2)f(x)f(x),x定义域D,则f(x)叫做偶函数,其图象关于y轴对称。

奇偶函数的定义域关于原点对称周期性:在函数f(x)的定义域上恒有f(xT)f(x)(T0的常数)则f(x)叫做周期函数,T为周期;T的最小正值叫做f(x)的最小正周期,简称周期(1)描点连线法:列表、描点、连线向左平移个单位:y1y,x1axyf(xa)向右平移a个单位:yy,xaxyf(xa)11平移变换向上平移b个单位:xx,y11byybf(x)向下平移b个单位:x1x,y1byybf(x)横坐标变换:把各点的横坐标x1缩短(当w1时)或伸长(当0w1时)到原来的1/w倍(纵坐标不变),即xwxyf(wx)1伸缩变换纵坐标变换:把各点的纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍1函数图象的画法(横坐标不变),即y1y/Ayf(x)(xx12x0x12x0x2)变换法关于点(x,y)对称:2y0yf(2x0x)00yy12y0y12y0y关于直线xx0对称:xx12x0x12x0xyf(2x0x)yy1y1y对称变换xx1xx关于直线yy0对称:12y0yf(x)yy2yy12y0y10xx11yf(x)关于直线yx对称:yy1一、函数的定义域的常用求法:1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数ytanx 中xk2(kZ);余切函数ycotx中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

函数的概念及其表示

函数的概念及其表示

ab abab a b课题 函数的概念及其表示一、函数的概念1 函数:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作:(),y f x x A =∈。

其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{()}f x x A ∈叫做函数的值域。

(1)对函数符号()f x 的理解知道()y f x =与()f x 的含义是一样的,它们都表示y 是x 的函数,其中x 是自变量,()f x 是函数值,连接的纽带是法则f.f 是单值对应; (2)注意定义中的集合 A ,B 都是非空的数集,而不能是其他集合; 2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域。

二、区间的概念设a 、b 是两个实数,且a b <,规定定义名称 符号数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [,]a b {}x a x b << 开区间 (,)a b {}x a x b <≤ 左闭右开区间 [,)a b {}x a x b <≤左开右闭区间(,]a b{|}[,)x x a a =+∞≥;{}(,)x x a a >=+∞;{}(,]x x a a =-∞≤;{}(,)x x a a <=-∞;(,)R =-∞+∞。

三、相等函数:○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)○2 两个函数相等的条件是当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。

四、函数的表示法1解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式。

函数的基本概念和表示方法

函数的基本概念和表示方法

函数的概念及其表示方法【知识点一】函数的概念1.函数的定义设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全—致,即称这两个函数相等(或为同一函数);②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致,而与表示自变量和函数值的字母无关.3.区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.区间表示:{x|a≤x≤b}=[a,b];;;.【知识点二】函数的表示法1.函数的三种表示方法:解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点:简明,给自变量求函数值.图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系.优点:直观形象,反应变化趋势.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点:不需计算就可看出函数值.2.分段函数:分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.【知识点三】映射与函数1.映射定义:设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从A到B的映射;记为f:A→B.象与原象:如果给定一个从集合A到集合B的映射,那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象,a 叫做b的原象.注意:(1)A中的每一个元素都有象,且唯一;(2)B中的元素未必有原象,即使有,也未必唯一;(3)a的象记为f(a).2.函数:设A、B是两个非空数集,若f:A→B是从集合A到集合B的映射,这个映射叫做从集合A到集合B的函数,记为y=f(x).注意:(1)函数一定是映射,映射不一定是函数;(2)函数三要素:定义域、值域、对应法则;(3)B中的元素未必有原象,即使有原象,也未必唯一;(4)原象集合=定义域,值域=象集合.规律方法指导1.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时,其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲,就是考虑分母不为零,偶次根号的被开方数、式大于或等于零,零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要有实际意义.(3)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,注意定义域是一个集合,其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题,只需将原象代入对应关系中,即可求出象.对于给出象,要求原象的问题,可先假设原象,再代入对应关系中得已知的象,从而求出原象;也可根据对应关系,由象逆推出原象.3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题,虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后,值域就完全确定了,但求值域还是特别要注意讲究方法,常用的方法有:观察法:通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数的图象的"最高点"和"最低点",观察求得函数的值域;配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的值域方法求函数的值域;判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于一些"分式"函数等;此外,使用此方法要特别注意自变量的取值范围;换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,除了上述常用方法外,还有最值法、数形结合法等.总之,求函数的值域关键是重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数?(1)(2)(3)(4)思路点拨:对于根式、分式、绝对值式,要先化简再判断,在化简时要注意等价变形,否则等号不成立.解:(1),对应关系不同,因此是不同的函数;(2)的定义域不同,因此是不同的函数;(3)的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函数;(4)定义域相同,对应关系相同,自变量用不同字面表示,仍为同一函数.总结升华:函数概念含有三个要素,即定义域,值域和对应法则,其中核心是对应法则,它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是:(1)定义域不同,两个函数也就不同;(2)对应法则不同,两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三:【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与是同一函数;(2)与y=|x|是同一函数;(3)是同一函数;(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.答:从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数,有(1)、(3)是假命题,(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1);(2);(3).思路点拨:由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解:(1)的定义域为x2-2≠0,;(2);(3).总结升华:使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零;②偶次根式中,被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时,要使这多个式子对同一个自变量x有意义,必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集,因此,要列不等式组求解.举一反三:【变式1】求下列函数的定义域:(1);(2);(3).思路点拨:(1)中有分式,只要分母不为0即可;(2)中既有分式又有二次根式,需使分式和根式都有意义;(3)只要使得两个根式都有意义即可.解:(1)当|x-2|-3=0,即x=-1或x=5时,无意义,当|x-2|-3≠0,即x≠-1且x≠5时,分式有意义,所以函数的定义域是(-∞,-1)∪(-1,5)∪(5,+∞);(2)要使函数有意义,须使,所以函数的定义域是;(3)要使函数有意义,须使,所以函数的定义域为{-2}.总结升华:小结几类函数的定义域:(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;(3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合;(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2,求f(3),,f(a),f(a+1).思路点拨:由函数f(x)符号的含义,f(3)表示在x=3时,f(x)表达式的函数值.解:f(3)=3×32+5×3-2=27+15-2=40;;;.举一反三:【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域;(2)求f(-3),的值;(3)当a>0时,求f(a)×f(a-1)的值.解:(1)由;(2);;(3)当a>0时,.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25,g(x)=2x-5,求:(1)f(2),g(2);(2)f(g(2)),g(f(2));(3)f(g(x)),g(f(x))思路点拨:根据函数符号的意义,可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值,其它同理可得.解:(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23;g(2)=2×2-5=-1;(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20;g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51;(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40;g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华:求函数值时,遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数,一般有里层函数与外层函数之分,如f(g(x)),里层函数就是g(x),外层函数就是f(x),其对应关系可以理解为,类似的g(f(x))为,类似的函数,需要先求出最里层的函数值,再求出倒数第二层,直到最后求出最终结果.4. 求值域(用区间表示):(1)y=x2-2x+4;.思路点拨:求函数的值域必须合理利用旧知识,把现有问题进行转化.解:(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,∴值域为[3,+∞);(2);(3);(4),∴函数的值域为(-∞,1)∪(1,+∞).类型二、映射与函数5. 下列对应关系中,哪些是从A到B的映射,哪些不是?如果不是映射,如何修改可以使其成为映射?(1)A=R,B=R,对应法则f:取倒数;(2)A={平面内的三角形},B={平面内的圆},对应法则f:作三角形的外接圆;(3)A={平面内的圆},B={平面内的三角形},对应法则f:作圆的内接三角形.思路点拨:根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”.解:(1)不是映射,集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应,不满足“A中任意”;若把A改为A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射;(2)是映射,集合A中的任意一个元素(三角形),在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应,这是因为不共线的三点可以确定一个圆;(3)不是映射,集合A中的任意一个元素(圆),在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与之对应,不满足“B中唯一”的限制;若将对应法则改为:以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映射.总结升华:将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手.举一反三:【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射?①A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则②A=N*,B={0,1},对应法则f:x→x除以2得的余数;③A=N,B={0,1,2},f:x→x被3除所得的余数;④设X={0,1,2,3,4},思路点拨:判断是否构成映射应注意:①A中元素的剩余;②“多对一”“一对一”构成,而“一对多”不构成映射.解:①构成映射,②构成映射,③构成映射,④不构成映射,0没有象.【变式2】已知映射f:A→B,在f的作用下,判断下列说法是否正确?(1)任取x∈A,都有唯一的y∈B与x对应;(2)A中的某个元素在B中可以没有象;(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象;(4)A中的不同的元素在B中有不同的象;(5)B中的元素在A中都有原象;(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.答:(1)、(6)的说法是正确的,(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射?是从A到B的一一映射吗?是从A到B的函数吗?(1)A=N,B={1,-1},f:x→y=(-1)x;(2)A=N,B=N+,f:x→y=|x-3|;(3)A=R,B=R,(4)A=Z,B=N,f:x→y=|x|;(5)A=N,B=Z,f:x→y=|x|;(6)A=N,B=N,f:x→y=|x|.答:(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数,但只有(6)是从A到B的一一映射;(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.6. 已知A=R,B={(x,y)|x,y R},f:A→B是从集合A到集合B的映射,f:x→(x+1,x2+1),求A中的元素的象,B中元素的原象.解:∴A中元素的象为故.举一反三:【变式1】设f:A→B是集合A到集合B的映射,其中(1)A={x|x>0},B=R,f:x→x2-2x-1,则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么?(2)A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y),则A中元素(1,3)的象及B中元素(1,3)的原象分别为什么?解:(1)由已知f:x→x2-2x-1,所以A中元素的象为;又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2,因为A={x|x>0},所以B中元素-1的原象为2;(2)由已知f:(x,y)→(x-y,x+y),所以A中元素(1,3)的象为(1-3,1+3),即(-2,4);又因为由有x=2,y=1,所以B中元素(1,3)的原象为(2,1).类型三、函数的表示方法7. 求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x2,求f(x);(2)若f(x+1)=2x2+1,求f(x).思路点拨:求函数的表达式可由两种途径.解:(1)∵f(2x-1)=x2,∴令t=2x-1,则;(2)f(x+1)=2x2+1,由对应法则特征可得:f(x)=2(x-1)2+1即:f(x)=2x2-4x+3.举一反三:【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2,求f(x);(2)已知:,求f[f(-1)].解:(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x2+2x-1;(法2)令x+1=t,∴x=t-1,∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1∴f(x)=x2+2x-1;(法3)设f(x)=ax2+bx+c则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2;(2)∵-1<0,∴f(-1)=2·(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华:求函数解析式常用方法:(1)换元法;(2)配凑法;(3)定义法;(4)待定系数法等.注意:用换元法解求对应法则问题时,要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象.(1);(2);(3);(4).思路点拨:(1)直接画出图象上孤立的点;(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解:(1),∴图象为一条直线上5个孤立的点;(2)为分段函数,图象是两条射线;(3)为分段函数,图象是去掉端点的两条射线;(4)图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示:类型四、分段函数9. 已知,求f(0),f[f(-1)]的值.思路点拨:分段函数求值,必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解:f(0)=2×02+1=1f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.举一反三:【变式1】已知,作出f(x)的图象,求f(1),f(-1),f(0),f{f[f(-1)+1]}的值.解:由分段函数特点,作出f(x)图象如下:∴如图,可得:f(1)=2;f(-1)=-1;f(0)=;f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定:(1)乘坐汽车5公里以内,票价2元;(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算),已知两个相邻的公共汽车站间相并画出函数的图象.解:设票价为y元,里程为x公里,由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:根据这个函数解析式,可画出函数图象,如下图所示:举一反三:【变式1】移动公司开展了两种通讯业务:“全球通”,月租50元,每通话1分钟,付费0.4元;“神州行”不缴月租,每通话1分钟,付费0.6元,若一个月内通话x分钟,两种通讯方式的费用分别为y1,y2(元),Ⅰ. 写出y1,y2与x之间的函数关系式?Ⅱ. 一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同?Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费200元,应选择哪种通讯方式?解:Ⅰ:y1=50+0.4x,y2=0.6x;Ⅱ:当y1=y2时,50+0.4x=0.6x,∴0.2x=50,x=250∴当一个月内通话250分钟时,两种通讯方式费用相同;Ⅲ:若某人预计月付资费200元,采用第一种方式:200=50+0.4x,0.4x=150 ∴x=375(分钟)采用第二种方式:200=0.6x,∴应采用第一种(全球通)方式.一、选择题1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )⑴,;⑵,;⑶,;⑷,;⑸,.A.⑴、⑵B.⑵、⑶C.⑷D.⑶、⑸2.函数y=的定义域是()A.-1≤x≤1B.x≤-1或x≥1 C.0≤x≤1 D.{-1,1}3.函数的值域是( )A.(-∞,)∪(,+∞)B.(-∞,)∪(,+∞)C.R D.(-∞,)∪(,+∞)4.下列从集合A到集合B的对应中:①A=R,B=(0,+∞),f:x→y=x2;②③④A=[-2,1],B=[2,5],f:x→y=x2+1;⑤A=[-3,3],B=[1,3],f:x→y=|x|其中,不是从集合A到集合B的映射的个数是( )A.1 B. 2 C. 3 D.45.已知映射f:A→B,在f的作用下,下列说法中不正确的是( )A.A中每个元素必有象,但B中元素不一定有原象B.B中元素可以有两个原象6.点(x,y)在映射f下的象是(2x-y,2x+y),求点(4,6)在f下的原象( )A.(,1)B.(1,3) C.(2,6)D.(-1,-3)7.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( )A.y=B.y=C.y=x D.y=x28.下列图象能够成为某个函数图象的是( )9.函数的图象与直线的公共点数目是( )A.B.C.或D.或10.已知集合,且,使中元素和中的元素对应,则的值分别为( )A.B.C.D.11.已知,若,则的值是( )A.B.或C.,或D.12.为了得到函数的图象,可以把函数的图象适当平移,这个平移是( )A.沿轴向右平移个单位B.沿轴向右平移个单位C.沿轴向左平移个单位D.沿轴向左平移个单位二、填空题1.设函数则实数的取值范围是_______________.2.函数的定义域_______________.3.函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________.4.若二次函数的图象与x轴交于,且函数的最大值为,则这个二次函数的表达式是_______________.5.函数的定义域是_____________________.6.函数的最小值是_________________.三、解答题1.求函数的定义域.2.求函数的值域.3.根据下列条件,求函数的解析式:(1)已知f(x)是二次函数,且f(2)=-3,f(-2)=-7,f(0)=-3,求f(x);(2)已知f(x-3)=x2+2x+1,求f(x+3);(3)已知;一、选择题1.设函数,则的表达式是( )A.B.C.D.2.函数满足则常数等于( )A.3 B.-3 C.D.3.已知,那么等于( )A.15 B.1 C.3 D.304.已知函数定义域是,则的定义域是( )A.B.C.D.5.函数的值域是( )A.B.C.D.6.已知,则的解析式为( )A.B.C.D.二、填空题1.若函数,则=_______________.2.若函数,则=_______________.3.函数的值域是_______________.4.已知,则不等式的解集是_______________.5.设函数,当时,的值有正有负,则实数的范围_______________.三、解答题1.设是方程的两实根,当为何值时,有最小值?求出这个最小值.2.求下列函数的定义域(1);(2).3.求下列函数的值域(1);(2).综合探究1.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下图中,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,如图四个图象中较符合该学生走法的是( )2.如图所表示的函数解析式是( )A. B.C. D. 3.函数的图象是( )。

高考数学-函数的概念及其表示

高考数学-函数的概念及其表示

函数的概念及其表示知识梳理(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.(2)区间的概念及表示法设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数. ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④零(负)指数幂的底数不能为零.⑤若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑥对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑦由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值. ④换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的.⑤反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑥数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑦函数的单调性法.(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.(6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.(7)分段函数:定义域不同对应法则不同的函数,解题方法-分段函数分段求。

高中数学必修一教学课件 3.1.1 函数的概念及其表示

高中数学必修一教学课件 3.1.1 函数的概念及其表示

解析:由 2-x≥0 解得 x≤2,所以 M=(-∞,2],所以∁R M =(2,+∞). 答案:A
2.函数 f(x)=x-x1的定义域为________. 解析:要使x-x1有意义,需满足xx-≥10≠,0, 解得 x≥0 且 x≠1,故函数 f(x)的定义域为{x|x≥0 且 x≠1}.
又因为 g(x)=x+1 2,
所以 g(f(2))=g(10)=101+2=112,
g(a)+g(0)=a+1 2+12(a≠2).
答案:10
1 12
a+1 2+12
(2)(2018·杭州七校联考)求下列函数的值域: ①y=x+1,x∈{1,2,3,4,5}; ②y=x2-2x+3,x∈[0,3); ③y=2xx-+31;④y=2x- x-1. [解析] ①观察法:因为 x∈{1,2,3,4,5},分 别代入求值,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}. ②配方法:y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由 x∈[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数 的值域为[2,6).
(3)函数的三要素:定义域、对应关系、值域是函数的 三要素,缺一不可.
(二)基本知能小试
1.判断正误
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系.
()
(2)函数的定义域必须是数集,值域可以为其他集合.( )
(3)根据函数的定义,定义域中的任何一个 x 可以对应着值
域中不同的 y.
()
(4)在函数的定义中,集合 B 是函数的值域.
的实数集合;
(4)若 f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式
子都有意义;
(5)若 f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际
问题有意义.
[对点练清]
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个性化教学辅导教案学科:数 学 年级:高一 任课教师: 授课时间:2017 年 秋季班 第04周 教学 课题函数的概念及其表示教学 目标 1.熟悉函数的概念及三要素;2.熟悉函数的表示方法及相关特点。

教学 重难点 重点:函数的三要素及其表示; 难点:值域的求法。

教学过程(1) 函数的定义:①传统定义:在某一个变化过程中有两个变量x 和y ,如果对于在某一个范围内的任一个x 的值,都有唯一的y 值与它对应,则称y 是x 的函数,x 叫自变量,y 叫因变量。

②现代定义:设A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y=f (x ),x ∈A ,其中x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A}叫做函数的值域。

(2) 映射的定义:一般地,设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应关系f ,对于集合A 中的任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合A 、B ,以及集合A 到集合B 的对应关系f )叫做集合A 到集合B 的映射,记作f :A →B 。

如果集合A 中的元素a 对应到集合B 中的元素b ,那么其中集合B 中的元素b 是集合A 中元素a 对应的“象”;b 是a 的“原象”。

由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A 、B 非空且皆为数集。

总结:①根据映射的定义知“一对多”不是映射;②A 中每一个元素都有象; ③B 中每一个元素不一定都有原象,不一定只一个原象;④A 中每一个元素的象唯一。

(3) 函数的定义域:函数的定义域是自变量x 的取值范围,它是构成函数的重要组成部分,如果没有标明定义域,则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围,但要注意,在实际问题中,定义域要受实际意义的制约。

如:x y =的定义域是非负实数;圆半径R 与面积S 的函数关系2R S π=的定义域为正数;xy 1=的定义域是非零实数……注:求函数的定义域的常见类型 1.当)(x f 为整式时,定义域为R;2.当)(x f 为分式时,定义域为使分母不为0的x 的集合; 3.当)(x f 为二次根式时,定义域为使被开方式非负的x 的集合;4.当)(x f 是由几个式子组成时,定义域是使得各个式子都有意义的x 的值的集合。

(4) 函数的对应法则:对应关系f 是函数关系的本质特征,y=f (x )的意义是:y 就是x 在关系到f 下的对应值,而f 是“对应”得以实现的方法和途径。

如:f(x)=3x+5,f 表示自变量的3倍加上5。

(5) 函数的值域:自变量x 在定义于内取值时相应的函数值的集合。

(6) 求函数的值域的常用方法: 1.观察法求函数值域 【例1】求下列函数值域:(1)32y x =-+, [1,2]x ∈- (2)21y x =-, {2,1,0,1,2}x ∈--(3)31y x =+ (4)1,00,01,0x y x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.配方法求二次函数值域【例2】已知函数223y x x =+-,分别求它在下列区间上的值域。

(1)x R ∈; (2)[0,)x ∈+∞; (3)[2,2]x ∈-; (4)[1,2]x ∈. 提示:(1)函数的定义域不同,值域也不同;(2)二次函数的区间值域的求法:①配方;②作图;③求值域。

3.部分分式法求分式函数的值域(分离常数法) 【例3】求函数145-+=x x y 的值域。

4.利用“已知函数的值域”求值域【例4】求下列函数的值域: (1)13y x =-; (2)223y x x =-+;(3)225y x =-; (4)2123y x x =++.5.换元法求函数值域【例5】求函数12y x x =--的值域。

6.判别式法求函数值域【例6】 求函数x x y +-=21的值域。

(7) 两个函数相等的定义:函数的定义含有三个要素,即定义域、值域和对应法则。

当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。

因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。

【例7】试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1)f (x )=2x ,g (x )=33x ; (2)f (x )=x x ||,g (x )=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x(3)f (x )=x1+x ,g (x )=x x +2;(4)f (x )=x 2-2x -1,g (t )=t 2-2t -1。

提示:对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数(8) 区间的概念:设a 、b 是两个实数,且a<b ,我们规定:① 满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间,表示为[a ,b]; ② 满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做闭区间,表示为(a ,b);③ 满足不等式a ≤x <b 和a <x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a ,b)、(a ,b ];④ 实数集合R 可以用区间表示为) (∞+-∞,,“∞”读作“无穷大”,“∞-”读作“负无穷大”。

我们可以把满足不等式b x b x a x a x ≤<>≥,,,的实数x 的集合分别表示成] ( )( )( )[b b a a ,,,,,,,-∞-∞∞+∞+。

(9) 复合函数的定义域及其求法:若y=f(u),u=g(x),x ∈(a,b),u ∈(m,n),那么)]([x g f y =称为复合函数,u 称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域。

①已知)(x f 的定义域,求)]([x f ϕ的定义域,其实质是由)(x ϕ的取值范围求x 的范围。

②已知)]([x f ϕ的定义域,求)(x f 的定义域,其实质是由x 的取值范围求)(x ϕ的范围。

【例8】已知)(x f y =的定义域是]20(,,求下列各函数的定义域: ①)(2x f y =; ②)12(-=x f y ; ③)2(-=x f y(10) 函数的表示法:解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

优点:简明;给自变量求函数值。

图像法:用图像表示两个变量之间的对应关系。

优点:直观形象,反应变化趋势。

列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

优点:不需计算就可看出函数值。

具体实例如:二次函数等;股市走势图; 列车时刻表;银行利率表。

【例9】某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一直分裂下去.①用列表表示1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后,得到的细胞个数; ②用图像表示1个细胞分裂的次数n(n ∈N +)与得到的细胞个数y 之间的关系。

(11) 分段函数:有些函数在其定义域中,对于自变量x 的不同取值范围,对应关系也不同,这样的函数通常称为分段函数。

分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式,所以它的图像也由几部分构成。

但是分段函数虽然由几部分构成,但它代表的是一个函数。

求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式。

作分段函数的图像时,则应分段分别作出其图像,在作每一段图像时,无不管定义域的限制,用虚线作出其图像,再用实线保留定义域内的一段图像即可。

【例10】某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定:⑴乘坐公共汽车5公里以内,票价2元;⑵5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)。

已知两个相邻的公共汽车站间相距为1公里,如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象。

设票价为y ,里程为x ,则根据题意,如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站,那么汽车行驶的里程约为20公里,所以自变量x 的取值范围是(]2,0。

由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<)2015( 5)1510( 4)105( 3)50( 2x x x x ,,,,根据这个函数解析式,可画出函数图象(如图) 像上面那样表示的函数称为分段函数 注意:1.表示函数的式式可以不止一个,对于分几个式子表示的函数,不是几个函数而是一个分段函数 2.函数的图象不一定是一条式几条无限长的平滑曲线,也可以是一些孤立的点,一些线段,曲线。

(12) 函数图像的作法:①描点法;②变换作图法(平移、对称、其它)【例11】作出下列函数的图像:①⎩⎨⎧<≥-=)0( 2)0( )1(2x x x x y ,,; ②122+-=x x y ; ③1122--=x x x y(13) 用代入法和待定系数法求函数的解析式:①代入法:如已知1)(2-=x x f ,求)(2x x f +时有:1)()(222-+=+x x x x f ;②待定系数法:已知)(x f 的函数类型,要示)(x f 的解析式时,可根据类型设解析式,从而确定其系数即可。

【例12】已知)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 。

③换元法:已经函数)]([x g f 求)(x f 时,令)(x g t =,再求)(t f ,然后用x 代替t 即可。

除上述方法以外,还有“拼凑法”、“方程组法”等。

【例13】求下列函数的解析式:1.已知,x x x f 2)(2+=求 )12(;+x f (代入法)2.已知,x x x f 2)1(+=-求)(x f ;(换元法,拼凑法)3.已知23)1(2)(+=-x xf x f ,求)(x f 。

(方程组法)【例14】已知函数()20,0,x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩试求)]}2([{-f f f 的值。

课后练习1.函数y =x +1+x -1的定义域是( )A .(-1,1)B .[0,1]C .[-1,1]D .(-∞,-1)Y (1,+∞)2.函数)(x f y =的图象与直线a x =的交点个数有( )A .必有一个B .一个或两个C .至多一个D .可能两个以上 3.函数341)(2++=ax ax x f 的定义域为R ,则实数a 的取值范围是( )A .RB . ]43,0[C .),43[+∞D .)43,0[4.已知)(x f 是一次函数,若5)1(3)2(2=-f f ,1)1()0(2=--f f ,则)(x f 的解析式为A .23)(+=x x fB .23)(-=x x fC .32)(+=x x fD .32)(-=x x f5.若x x g 21)(-=,221))((x x x g f -=,则)21(f 的值是( ) A .1B .15C .4D .306.函数y =x +1+12-x 的定义域是(用区间表示)7.已知)(x f 满足23)()(2+=-+x x f x f ,且316)2(-=-f ,则=)2(f 8.已知函数221)(xx x f +=, 则)20111(...)41()31()21()2011(...)3()2()1(f f f f f f f f +++++++++=________9.已知221111x xx x f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,则()x f 的解析式为( ) A.21x x + B.212x x +- C.212x x + D.21xx +- 10.求下列函数的值域:342+-=x x y (2))5,1[,642∈+-=x x x y (3)}2,1,0,1,2{,12--∈-=x x y (4)21y x =+11.若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ,求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题)。

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