天津南开中学2020-2021学年上学期高一上册数学期中考试测试卷及答案
2020-2021学年高一上学期数学期中考试卷 (含答案)
高一数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，第一卷为1-8题，共40分，第二卷为9-20题，共110分。
全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
本卷须知：答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。
第一卷〔本卷共40分〕一．选择题：〔本大题共8题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1．假设{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，那么A B ⋂=( )A.{}1,2B.{}0,1C.{}0,3D.{}32．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是 〔 〕A 、41B 、1-C 、4D 、4-3．设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，那么〔 〕A 、a b c << B.c b a << C 、c a b << D.b a c <<4．假设0<a ，那么函数1)1(--=xa y 的图象必过点 〔 〕A 、〔0，1〕 B.〔0，0〕 C.()0,1- D.()1,1- 5．假设()()12f x f x +=，那么()f x 等于〔 〕A 、 2x B. 2xC. 2x +D.2log x6．y ＝f (x)是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x =-，那么不等式1()2f x <的解集是〔 〕A. 502x x ⎧⎫<<⎨⎬⎭⎩B. 302x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎭⎩C. 350,022x x x ⎧⎫-<<≤<⎨⎬⎭⎩或 D. 35,022x x x ⎧⎫<-≤<⎨⎬⎭⎩或 7. 某商场在国庆促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，那么消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110(元).假设顾客购买一件标价为1000元的商品，那么所能得到的优惠额为〔 〕A 、130元 B.330元 C.360元 D.800元8.设方程 xx lg 2=-的两个根为21,x x ，那么〔 〕A. 021<x x B .121=x x C .121>x x D. 1021<<x x 第二卷〔本卷共计110分〕【二】填空题：〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕9．函数y =10．函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，那么[(2)]f f -的值为 ． 11.假设函数()()()3122+-+-=x k x k x f 是偶函数，那么f(x)的递减区间是 。
天津市部分区2020-2021学年高一第一学期期中练习数学试卷
天津市部分区2020－－2021学年度第一学期期中练习高一数学一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合}{1,2,3A =，}{21,B y y x x A ==-∈，则 A B =（ ） A.}{1,3 B.}{1,2C.}{2,3 D.}{1,2,3 2. 下列函数中是奇函数的为（ ） A.()21f x x =+ B.()2f x x x=+C.()2f x x x =+D.()21f x x =+ 3. 设x R ∈,则“}{20x x x ∈-≥”是“}{02x x x ∈≤≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 一元二次不等式20x px q ++<的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则p q +=（ ）A.16-B.13-C. 0D.1 5. 命题“2,320x R x x ∃∈++≤”的否定是（ ） A. 2,320x R x x ∀∈++≥ B.2,320x R x x ∃∉++≤ C.2,320x R x x ∀∈++≤ D.2,320x R x x ∃∈++> 6. 下列函数中，在区间(),-∞+∞上是增函数的是（ ）A. ()32f x x =--B.()1f x x =-C.()1f x x x=+ D.()3f x x =7. 下列不等式中成立的是（ ）A. 220a b ac bc >>⇒>B.110a b a b<<⇒< C.220a b a ab b <<⇒<< D.220a b a b >>⇒> 8. 函数()1211y x x x =+>-的最小值是（ ）A.4B.2C.2D. 9. 已知函数(){(4),0,(4),0,x x x x x x f x +≥-≤=若()5f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A. []1,1- B.[]5,5- C.(,1][1,)-∞-+∞ D.(,5][5,)-∞-+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分10. 已知全集}{1,2,3,4,5,6U =，集合}{2,3,5A =，}{1,3,4,6B =， 则U A C B =11. 函数y =的定义域为 12. 函数22,[0,2]y x x x =-∈的值域为13. 已知函数()f x 的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则()3f = 14. 二次函数()231f x x mx =-+在区间（1，+∞）上单调递增，则实数m 的取值范围是15. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()2+1f x x x =-，则()()1f f -＝三、解答题：本大题共5小题，共60分。
2020-2021学年天津市第二南开学校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市第二南开学校高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）1. 已知全集U ={0,1，2，3，4，5}，集合M ={0,3，5}，N ={1,4，5}，则集合M ∪(∁U N)=( )A. {5}B. {0,3}C. {0,2，3，5}D. {0,1，3，4，5}2. 设a ∈R ，则“a ≥2”是“a 2−3a +2≥0”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3. 设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则￢p 为( )A. ∀n ∈N ，n 2>2nB. ∃n ∈N ，n 2≤2nC. ∀n ∈N ，n 2≤2nD. ∃n ∈N ，n 2=2n4. 下列函数中，与函数y =x +1是同一个函数的是( )A. y =(√x +1)2B. y =√x 33+1C. y =x 2x+1D. y =√x 2+15. 已知函数y =f(x +1)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−5,5]D. [−3,7]6. 已知函数f(x)在[−5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(−4)<f(−2)，则下列不等式一定成立的是( )A. f(−1)<f(3)B. f(2)<f(3)C. f(−3)<f(5)D. f(0)>f(1)7. 已知函数f(x)是定义在区间[−a,a](a >0)上的奇函数，若g(x)=f(x)+2019，则g(x)的最大值与最小值之和为( )A. 0B. 1C. 2019D. 40388. 已知f(x)是定义域(−1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m −2)+f(2m −3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A. (1,53)B. (−∞,53)C. (1,3)D. (53,+∞)9. 若函数f(x)=2|x −a|+3在区间[1,+∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1)D. (−∞,1]二、单空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 函数y =−x 2+4x +3，x ∈[0,3]的单调递增区间是______．11. 已知a ，b ∈R ，若{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}，则a 2019+b 2019=______． 12. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=x 2+1，则f(−2)+f(0)=______． 13. 函数y =3x+1x−2的值域为______ ．14. 若对任意x >0，xx 2+3x+1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ．15. 已知f(x)={12x +1,x ≤0−(x −1)2,x >0，使f(x)≥−1成立的x 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共46.0分）16. 根据定义证明函数f(x)=x +4x 在(2,+∞)上单调递增．17. 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x x 2+2；(2)f(x)=√1+x +√1−x ．18. 根据所给条件，分别求下列函数的解析式：(1)已知函数f(x +1)=x 2−2x ，求f(x)的解析式；(2)若f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=−x 2+2x −2，求函数f(x)的解析式．19.已知函数f(x)=x2+2ax−1．(1)若f(1)=2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(3)若f(x)在(−∞,4]上是减函数，求实数a的取值范围．20.设函数f(x)=x+a，x∈[0,+∞)x+1(1)当a=2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U={0,1，2，3，4，5}，集合M={0,3，5}，N={l,4，5}，∴∁U N={0,2，3}，则M∪(∁U N)={0,2，3，5}．故选C由全集U以及N，求出N的补集，找出M与N补集的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：由a2−3a+2≥0，得a≤1或a≥2．即由a≥2可得a2−3a+2≥0，反之不一定成立．故“a≥2”是“a2−3a+2≥0”的充分非必要条件．故选：A．求解一元二次不等式，再结合充分必要条件的判定得答案．本题考查充分必要条件的判定，考查一元二次不等式的解法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结论．【解答】解：存在量词命题的否定是全称量词命题，命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p：∀n∈N，n2≤2n，故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同．根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断是同一函数．【解答】解：对于A，函数y=(√x+1)2=x+1的定义域为{x|x≥−1}，和y=x+1(∈R)的定义域不同，不是同一函数；3+1=x+1的定义域为R，和y=x+1的定义域相同，对应法则对于B，函数y=√x3也相同，是同一函数；+1=x+1的定义域为{x|x≠0}，和y=x+1的定义域不同，不对于C，函数y=x2x是同一函数；对于D，函数y=√x2+1=|x|+1的定义域为R，和y=x+1的对应法则不相同，不是同一函数．故选B．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数y=f(x)的定义域为[a,b]，求解y=f[g(x)]的定义域，只要让g(x)∈[a,b]，求解x即可．根据题目给出的函数y=f(x+1)定义域，求出函数y=f(x)的定义域，然后由2x−1在f(x)的定义域内求解x即可得到函数y=f(2x−1)定义域．【解答】解：∵函数y=f(x+1)定义域为[−2,3]，∴x∈[−2,3]，则x+1∈[−1,4]，即函数f(x)的定义域为[−1,4]，再由−1≤2x−1≤4，得：0≤x≤5，2].∴函数y=f(2x−1)的定义域为[0,52故选：A．6.【答案】D【解析】解：由题意可得，函数f(x)在[−5,0]上也是单调函数，再根据f(−4)<f(−2)，可得函数f(x)在[−5,0]上是单调增函数，故函数f(x)在[0,5]上是单调减函数，故f(0)>f(1)，故选：D．由条件判断函数在[0,5]上是单调减函数，可得f(0)>f(1)，从而得出结论．本题主要考查偶函数的单调性规律，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义在区间[−a,a](a>0)上的奇函数，则f(x)的图象关于原点对称，若g(x)=f(x)+2019，则g(x)的图象关于点(0,2019)对称，即f(x)+f(−x)=2019×2=4038，则g(x)的最大值与最小值之和为4038，故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得f(x)的图象关于原点对称，即可得g(x)的图象关于点(0,2019)对称，据此分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的对称性，属于基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题可先由函数奇偶性得到函数解析式满足的条件，再化简原不等式，利用函数单调性得到自变量的大小关系，解不等式，得到本题结论．本题考查了函数的奇偶性、单调性和定义域，本题难度不大，属于基础题．【解答】∵f(x)是定义域(−1,1)的奇函数，∴−1<x<1，f(−x)=−f(x)．∵f(x)是减函数，∴f(m−2)+f(2m−3)>0可转化为f(m−2)>−f(2m−3)，∴f(m −2)>f(−2m +3)， ∴{−1<m −2<1−1<2m −3<1m −2<−2m +3， ∴1<m <53..故选A ．9.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=2|x −a|+3={2x −2a +3,x ≥a−2x +2a +3,x <a ，∵函数f(x)=2|x −a|+3在区间[1,+∞)上不单调， ∴a >1．∴a 的取值范围是(1,+∞)． 故选：B ．求出函数f(x)={2x −2a +3,x ≥a−2x +2a +3,x <a ，由函数f(x)=2|x −a|+3在区间[1,+∞)上不单调，能求出a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查单调性等基础知识，是基础题．10.【答案】[0,2]【解析】解：根据二次函数的性质可知，y =−x 2+4x +3的开口向下，对称轴x =2， 所以x ∈[0,3]的单调递增区间[0,2]． 故答案为：[0,2]由已知结合二次函数的性质即可直接求解．本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础试题．11.【答案】−1【解析】解：∵{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}， ∴b =0，∴{a,0，1}={a 2，a ，0}， 则1=a 2，解得，a =−1或a =1(舍去)．则a2019+b2019=−1．故答案为：−1．由题意，a≠0，则b=0，代入化简求出a，可求a2019+b2019．本题考查了集合内元素的特征，互异性与无序性，是基础题．12.【答案】−5【解析】【分析】本题考查了奇函数的定义，函数的概念，是一道典型的计算题，属于基础题．本题利用奇函数的定义，和函数解析式求解函数值．【解析】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，f(−x)=−f(x)，∴f(0)=0，f(−2)=−f(2)，又∵当x>0时，f(x)=x2+1，∴f(−2)+f(0)=−f(2)+f(0)=−4−1+0=−5，故答案为：−5．13.【答案】{y∈R|y≠3}【解析】分离常数法：解：化简函数y=3x+1x−2=3(x−2)+7x−2=3+7x−2∵7x−2≠0∴y≠3所以：{y∈R|y≠3}故答案为：{y∈R|y≠3}反函数法：解：化简函数：y=3x+1x−2⇔y(x−2)=3x+1⇔x(y−3)=1+2y⇔x=1+2yy−3分式中分母不等于0，∴y≠3所以：{y ∈R|y ≠3} 故答案为：{y ∈R|y ≠3}当函数的是分数型结构函数时，并且分子分母都是一次函数时，求值域可以采用：反函数法和分离常数法．本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择，要熟悉每种方法解什么题型．此题属于基础题．14.【答案】[15,+∞)【解析】 【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，不等式恒成立问题，属于中档题． 根据x +1x ≥2，代入x x 2+3x+1中求得x x 2+3x+1的最大值为15，进而a 的范围可得． 【解答】 解：∵x >0，∴x +1x ≥2(当且仅当x =1时取等号)，∴xx 2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15，当且仅当x =1时取等号， 即xx 2+3x+1的最大值为15，因为对任意x >0，xx 2+3x+1≤a 恒成立， 所以a ≥15， 故答案为[15,+∞)．15.【答案】[−4,2]【解析】解：∵f(x)≥−1， ∴{x ≤012x +1≥−1或{x >0−(x −1)2≥−1∴−4≤x ≤0或0<x ≤2， 即−4≤x ≤2．∴使f(x)≥−1成立的x 的取值范围是[−4,2]， 故答案为：[−4,2]．此是一分段函数型不等式，解此类不等式应在不同的区间上分类求解，最后再求它们的并集．本题考点是分段函数，是考查解分段函数型的不等式，此类题的求解应根据函数的特点分段求解，最后再求各段上符合条件的集合的并集．16.【答案】证明：任取2<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+4x 1−x 2−4x 2=(x 1−x 2)+4(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(1−4x 1x 2)=(x 1−x 2)x 1x 2−4x 1x 2<0，∴f(x 1)<f(x 2)，故f(x)=x +4x 在(2,+∞)上单调递增【解析】先设2<x 1<x 2，然后根据作差法比较f(x 1)与f(x 2)的大小即可判断． 本题主要考查了函数单调性的定义在单调性判断中的应用，属于基础试题．17.【答案】解：(1)f(x)=xx 2+2，其定义域为R ，有f(−x)=−xx 2+2=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，(2)f(x)=√1+x +√1−x ，有{1+x ≥01−x ≥0，则有−1≤x ≤1，即函数的定义域为[−1,1]，关于原点对称，f(−x)=√1−x +√1+x =f(x)， 则f(x)是偶函数．【解析】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的定义域，属于基础题． (1)分析可知函数的定义域为R ，结合f(−x)与f(x)的关系判断函数的奇偶性; (2)由函数的解析式可知x 满足{1+x ≥01−x ≥0，求解科的函数的定义域，根据f(−x)与f(x)的关系判断函数的奇偶性．18.【答案】解：(1)令x +1=t ，则x =t −1，∴f(t)=(t −1)2−2(t −1)=t 2−4t −1，∴f(x)=x 2−4x −1；(2)∵f(x)是奇函数∴f(−x)=−f(x)对任意的x 都成立，∴f(0)=0，当x <0时，f(x)=−x 2+2x −2，∴设x >0，则−x <0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)−2=−x 2−2x −2=−f(x)， ∴x >0时，f(x)=x 2+2x +2，∴f(x)={x 2+2x +2,x >00,x =0−x 2+2x −2,x <0．【解析】(1)利用换元法即可求出函数的解析式．(2)设x >0时，−x <0，利用f(x)=−f(−x)可求f(x)．本题考查了函数解析式的求法，函数的奇偶性，属于基础题．19.【答案】(12分)解：(1)由题可知，f(1)=1+2a −1=2，即a =1，此时函数f(x)=x 2+2x −1=(x +1)2−2≥−2，故当x =−1时，函数f(x)min =−2．(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x ∈R ，都有f(−x)=(−x)2+2a(−x)−1=f(x)=x 2+2ax −1，即4ax =0，故a =0．(3)函数f(x)=x 2+2ax −1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数， ∴4≤−a ，即a ≤−4，故实数a 的取值范围为(−∞,−4]．【解析】(1)由f(1)=2，解得a =1，此时函数f(x)=x 2+2x −1=(x +1)2−2，由此可得函数f(x)的最小值．(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x ∈R ，都有f(−x)=f(x)，由此求得实数a 的值．(3)由于函数f(x)=x 2+2ax −1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数，可得4≤−a ，由此求得实数a 的取值范围本题主要考查二次函数的性质应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x+2x+1=x+1+2x+1−1≥2√2−1，当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，∴f(x)min=2√2−1．(2)当0<a<1时，任取0≤x1<x2，f(x1)−f(x2)=(x1−x2)[1−a(x1+1)(x2+1)]，∵0<a<1，(x1+1)(x2+1)>1，∴1−a(x1+1)(x2+1)>0，∵x1<x2，∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在[0,+∞)上为增函数，∴f(x)min=f(0)=a．【解析】本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于中档题．(1)当a=2时，将函数f(x)变形，然后利用基本不等式即可求出函数f(x)的最小值；(2)先任取0≤x1<x2，然后作差f(x1)−f(x2)，判定其符号即可判定函数f(x)在[0,+∞)上的单调性，从而求出函数的最小值．。
天津市南开中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试卷 Word版含解析
2020~2021学年天津南开区天津市南开中学高一上学期开学考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设全集U =R ，已知集合{}2|20A x x x =-->，{}1,0,1,2,3B =-，则()UA B ⋂=（ ） A. {}1,0,1- B.1,0,1,2C. {}1,1-D. {}1,2-【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 以及集合A 的补集UA ，再根据集合的交集运算即可求出．【详解】因为(){}{(1)202A x x x x x =+-=或}1x <-，所以{}U1|2A x x -=≤≤，即有(){}U1,0,1,2A B ⋂=-．故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法，属于容易题． 2. 已知集合{}23A x x =-≤≤，集合B 满足A B A =，则B 可能为（ ）A. {}13x x -<≤B. {}23x x -<<C. {}32x x -≤≤D.{}33x x -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】 根据AB A =得到，A 是B 的子集，根据选项，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为集合B 满足AB A =，所以A B ⊆，又{}23A x x =-≤≤，A 选项，{}13x x -<≤显然是集合A 的子集，不满足题意，排除； B 选项，{}23x x -<<显然是集合A 的子集，不满足题意，，排除；C 选项，{}32x x -≤≤不是集合A 的子集，且A 也不是{}32x x -≤≤的子集，不满足题意，D 选项，{}33x x -≤≤包含集合A ，故满足题意，正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查由交集的结果确定集合，考查集合的包含关系，属于基础题型. 3. “x y <”是“x y <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】利用取特殊值法判断即可.【详解】取特殊值代入，当4,0x y =-=时，满足x y <但x y >，所以不充分； 当x 1,y 2==-时，满足x y <，但x y >，所以不必要； 故“x y <”是“x y <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断.属于较易题． 4. 已知全集R ，设集合{}2430P x x x =-+≤，{}240Q x x =-<，则()RP Q =（ ）A {}23x x ≤≤B. {}13x x <<C. {}23x x <≤D.{2x x ≤-或}1x ≥【答案】D 【解析】 【分析】先求出{}13P x x =≤≤，再求出R{|2Q x x =≤-或2}x ≥，最后求()RPQ 即可.【详解】解：因为{}2430P x x x =-+≤，所以{}13P x x =≤≤， 因为{}240Q x x =-<，所以{}22Q x x =-<<，则R{|2Q x x =≤-或2}x ≥，所以(){R2P Q x x ⋃=≤-或}1x ≥，【点睛】本题考查求解一元二次不等式、集合的交并补混合运算，是基础题.5. 命题“∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2至少有一个成立”的否定为（）A. ∀a，b>0，a＋1b<2和b＋1a<2至少有一个成立B. ∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立C. ∃a，b>0，a＋1b<2和b＋1a<2至少有一个成立D. ∃a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立【答案】D【解析】【分析】将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.【详解】“∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2至少有一个成立”的否定为：∃a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立.故选：D【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.6. 二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，对称轴是直线1x=.下列结论：①0abc<；②30a c+>；③()220a c b+-<.其中结论正确的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.【详解】由图象得：图像的开口向上，所以>0a ， 图象的对称轴在y 轴的右侧，所以0b <， 又图象与y 轴的交点在负半轴，所以0c <， 所以>0abc ，故①错误；从图象观察得，当1x =-时，>0y ，所以+>0a b c -， 又12ba-=，所以2b a =-，代入得()2+>0a a c --， 所以30a c +>成立，故②正确；当1x =时，0y <，所以++0a b c <，即+a c b <-， 又+>a c b ，所以()22+0a c b -<，故③正确； 综上得结论正确的是②③， 故选：C .【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题. 7. 已知集合{}1A x x =≥-，1212B x a x a ⎧⎫=≤≤-⎨⎬⎩⎭，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≥B. 23a ≥C. 0a ≥D.203a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据两集合交集不为空集，可直接列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为{}1A x x =≥-，1212B xa x a ⎧⎫=≤≤-⎨⎬⎩⎭， 若A B ⋂≠∅，则只需211a -≥-，解得0a ≥【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，属于基础题型.8. 在平面直角坐标系中，先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A. 223y x x =-+-B. 2y x 2x 3=-++C. 223y x x =--+D.223y x x =++【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称得到解析式为2y x 2x 3=-++，再将抛物线关于y 轴作轴对称得到解析式为223y x x =--+，最后给出答案即可.【详解】解：先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换，得到2[()2()3]y x x =--+--，整理得2y x 2x 3=-++；再将抛物线2y x 2x 3=-++关于y 轴作轴对称变换，得到2()2()3y x x =--+-+，整理得223y x x =--+；所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为223y x x =--+. 故选：C【点睛】本题考查根据函数的图象变换求解析式，是基础题.9. 菱形ABCD 的边长为6，60C =︒，如果点P 是菱形内一点，且PB PD ==段AP 的长为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断点P在对角线AC上，再分“点P在线段OA上”和“点P在线段OC上”两种情况讨论分别求线段AP的长.【详解】解：因为点P是菱形内一点，且23 PB PD==，所以点P在对角线AC上，设对角线AC与BD的交点为O，所以点P可能在线段OA上，也有可能在线段OC上，①当点P在线段OA上时，如图.因为菱形ABCD的边长为6，60C=︒，所以3OD=，33OA=，又因为23PD=，在Rt PDO△中，223OP PD OD=-=，此时23AP=，②当点P在线段OC上时，如图.因为菱形ABCD的边长为6，60C=︒，所以3OD=，33OA =又因为23PD=Rt PDO△中，223OP PD OD=-，此时3AP=故选：D.【点睛】本题考查几何图形中的计算问题，是基础题.10. 设集合{}1,3,5,6,9M=，1S，2S，，kS都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i iS a b=，{}{}(),,,1,2,3,,j j jS a b i j i j k=≠∈都有max,max,j ji ii i j ja ba bb a b a⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（()max,x y表示两个数x，y中的较大者），则k的最大值为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先分析出M 的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对“max ,max ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（()max ,x y 表示两个数x ，y 中的较大者），”的把握，即可得答案．【详解】根据题意，对于M ，含2个元素的子集{1,3}，{1,5}，{1,6}，{1,9}，{3,5}，{3,6}，{3,9}，{5,6}，{5,9}，{6,9}，有10个，但{1,3}、{3,9}只能取一个； 故满足条件的两个元素的集合有9个； 故选：B ． 【点睛】本题考查对集合的特定子集的数目的确定，能否找出集合的所有子集并在其中找出满足条件的所有子集是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____.【答案】-3 【解析】【详解】因为集合{}0,1,2,3U =， {}1,2U C A =，A={0,3}，故m= -3.12. 集合A 满足{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有________个. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意先求出所有的集合A ，再确定个数即可.【详解】解：因为{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭， 所以{}1,3 {}1,3,5,15A ⊆，所以{}13,5A =,，{}1,3,15A =，{}1,3,5,15A =， 所以集合A 的个数有3个. 故答案为：3【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.13. 设集合{}116A x x =-≤+≤，{}121B x m x m =-<<+，若A B ⊇，则m 的取值范围是________.【答案】][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦． 【解析】 【分析】先化简确定集合A ，再根据A B ⊇分B =∅和B ≠∅两种情况进行讨论，最后解不等式确定m 的取值范围．【详解】解：因为{}116A x x =-≤+≤，所以{|25}A x x =-≤≤， 因为A B ⊇，所以B 是A 的子集，当B =∅时，则121m m -≥+，解得2m ≤-，符合题意；当B ≠∅时，则12215121m m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得12m -≤≤，符合题意；综上所述，m 的取值范围是][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦． 故答案为：][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦．【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题． 14. 已知2514x x -=，则()()()212111x x x ---++=________ 【答案】15 【解析】 【分析】先解方程，得到7x =或2x =-，再分别代入所求式子，即可得出结果. 【详解】由2514x x -=得()()720x x -+=，解得7x =或2x =-， 当7x =时，()()()22121116138115x x x ---++=⨯-+=； 当2x =-时，()()()()212111351115x x x ---++=-⨯--+=. 故答案为：15.【点睛】本题主要考查解一元二次方程，求多项式的值，属于基础题型.15. 已知:3x α>或1x <，124m x m β+≤≤+:，m R ∈，若β是α⌝的必要不充分条件，则m 的取值范围是________. 【答案】102m -≤≤ 【解析】 【分析】先由题意，得到:13x α⌝≤≤，根据β是α⌝的必要不充分条件，得到[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为:3x α>或1x <，所以:13x α⌝≤≤；又124m x m β+≤≤+:，m R ∈，β是α⌝的必要不充分条件， 所以[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，因此11243m m +≤⎧⎨+≥⎩（不能同时取等号）， 解得102m -≤≤.故答案为：102m -≤≤ 【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，属于基础题型.16. 设0a >，若只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}3x x a x a ∈≤≤，都有{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，则a =________.【答案】2 【解析】 【分析】先判断函数1y cx =+单调递增，再由题意建立方程组求解a 的值即可.【详解】解：因为10cx y -+=，所以1y cx =+，因为0c >， 所以函数1y cx =+单调递增，因为只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}3x x a x a ∈≤≤，都有{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，所以1231a ca a ca =+⎧⎨=+⎩，解得：2a =故答案为：2.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数值、还考查了转化的数学思维方式，是中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）17. 已知{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求a 的取值范围.【答案】{1a a =或}1a ≤- 【解析】 【分析】求出集合A ，对集合B 中的元素个数进行分类讨论，结合B A ⊆可得出实数a 所满足的等式或不等式，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】{}{}2404,0A x x x =+==-，(){}222110B x x a x a =+++-=，对于方程()222110x a x a +++-=，()()()22414181a a a ∆=+--=+，且B A ⊆.①当B =∅时，∆<0，可得1a <-，合乎题意；②当集合B 中只有一个元素时，0∆=，可得1a =-，此时{}{}200B x x A ===⊆，合乎题意；③当集合B 中有两个元素时，B A =，则()221410a a ⎧+=⎨-=⎩，解得1a =.综上所述，实数a 的取值范围是{1a a =或}1a ≤-.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.18. 已知{}28200A x x x =--≤，{}2B x x m =-≤.（1）当1m =时，求集合B ；（2）若“x A ∃∈，使得x B ∈”为真命题，求m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）{}13B x x =-≤≤；（2）[4,12]-；（3）[0,8].【解析】【分析】（1）先化简得到{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，再将1m =代入求集合B 即可；（2）先化简得到{}210A x x =-≤≤和{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，再转化已知条件得到A B ⋂≠∅，最后建立不等式求m 的取值范围；（3）先判断存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，再通过假设并转化已知条件得到B A ，最后建立不等式求m 的取值范围. 【详解】解：因为{}2B x x m =-≤，所以{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，（1）当1m =时，解得{}13B x x =-≤≤；（2）因为{}28200A x x x =--≤，所以{}210A x x =-≤≤，因为“x A ∃∈，使得x B ∈”为真命题，所以A B ⋂≠∅，所以2210m -≤+≤或2210m -≤-≤，解得412m -≤≤，所以m 的取值范围是[4,12]-，（3）存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，假设存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，则B A所以21022m m +≤⎧⎨-≥-⎩，解得08m ≤≤， 当0m =时，{}22B x x =-≤≤，符合题意；当8m =时，{}610B x x =≤≤，符合题意； 所以存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，此时m 的取值范围是[0,8].【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数范围、根据集合的包含关系求参数范围、根据必要不充分条件求参数范围，还考查了转化的数学思维方式，是中档题.19. 设全集I R =，集合{}220,A x x x m m R =-+<∈，{2440,B a R ax ax =∈+-<对任意实数x 恒成立}.，()I A B ≠∅，求实数m 的范围. 【答案】(3,)-+∞【解析】【分析】 先由题意求出{}10B a a =-<<，再化简得到{}2(1)1,I A x x m m R =-≥-∈，最后分1m =，1m 和1m <三种情况讨论求实数m 的范围. 【详解】解：因为{2440B a R ax ax =∈+-<，对任意实数x 恒成立}.， 所以20(4)4(4)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩或040a =⎧⎨-<⎩，解得10a -<≤，则{}10B a a =-<≤， 因为{}220,A x x x m m R =-+<∈，所以{}220,I A x x x m m R =-+≥∈ 则{}2(1)1,I A x x m m R =-≥-∈当10m -=即1m =时，{}1I A x x =≠，此时()I A B ≠∅成立，符合题意； 当10m -<即1m 时，I A R =，此时()I A B ≠∅成立，符合题意；当10m ->即1m <时，{1I A x x =≥或1x ≤，使得()I A B ≠∅成立，则11>-解得3m >-，所以31m -<<；综上所述：3m >-，故答案为：(3,)-+∞.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解集求参数范围、根据集合分运算结果求参数范围，是中档题.。
2023-2024学年天津市南开区高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市南开区高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的）1．下列给出的对象能构成集合的有（）①某校2023年入学的全体高一年级新生；②√2的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3x﹣10＜0的所有正整数；A．1个B．2个C．3个D．4个2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p的否定为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∃n∈N，n2＝2n D．∀n∈N，n2≤2n3．已知集合M＝{a|65−a∈N+，且a∈Z}，则M等于（）A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，2，3，6}D．{﹣1，2，3，4} 4．已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列各组函数不是同一函数的是（）A．f（x）＝4x﹣1，g（x）=2(x−1)2B．f（x）＝x（x≠0），g（x）=x 2xC．f（x）=1|x|，g（x）=1√x2D．f（x）＝|x﹣2|，g（t）={t−2，t≥22−t，t＜26．已知奇函数y＝f（x）为R上的减函数，且在区间[﹣4，3]上的最大值为8，最小值为﹣6，则f（﹣3）+f（4）的值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．27．已知有限集M，N，定义集合M﹣N＝{x|x∈M，且x∉N}，|M|表示集合M中的元素个数．若M＝{﹣1，0，1，3}，N＝{1，3，5}，则|（M﹣N）∪（N﹣M）|＝（）A．3B．4C．5D．6（多选）8．若a＞0，b＞0，与不等式﹣b＜1x＜a不等价的是（）A．−1b ＜x＜0或0＜x＜1aB．−1a＜x＜1bC ．x ＜−1a 或x ＞1bD ．x ＜−1b 或x ＞1a9．从盛装20升纯酒精的容器里倒出1升酒精，然后用水加满，再倒出1升酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果第k 次时共倒出了纯酒精x 升，则倒出第k +1次时，共倒出了纯酒精f （x ）的表达式是（ ） A ．f(x)=1920x +1 B ．f(x)=120x +1 C ．f(x)=1920(x +1) D ．f(x)=120x 10．已知函数f （x ）={−3x ，x ≥02x −x 2，x ＜0，若 f （2﹣a 2）＞f （﹣|a |），则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）B ．(−2，−√2)∪(√2，2)C ．（﹣2，0）∪（0，2）D ．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）11．已知幂函数f （x ）＝（k +4）x α的图象过点（8，2），则k α＝ ． 12．函数y =1√7−6x−x 2的定义域为 ．13．设集合A ＝{2，a +2，2a 2+a }，若3∈A ，则a ＝ ． 14．函数y =(12)x 4+14x 的值域为 ．15．已知函数f （x ）＝9x ﹣m •3x +m +6，若方程f （﹣x ）+f （x ）＝0有解，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分。
2020-2021高一数学上期中试题(附答案)(2)
2020-2021高一数学上期中试题(附答案)(2)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<5．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1-B ．13-C ．12-D ．137．若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±8．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．19．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>> D ．1log log a bb aa b a b >>> 10．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）11．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数12．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)二、填空题13．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．14．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.15．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____16．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．17．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______． 18．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.19．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数） 20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.23．设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．24．已知定义域为R 的函数()122x x bf x a++=+－ 是奇函数．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－2k )<0恒成立，求k 的取值范围． 25．设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[],a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．26．已知集合{}24xA x R =∈<，(){}lg 4B x R y x =∈=-.（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}11C x m x m =-≤≤-，若集合()C A B ⊆⋃，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<.故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-， 即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.9．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log abb aa b a b >>>；故选D.10．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．11．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .12．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.二、填空题13．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】 【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】 由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则 解析：()(),40,-∞-+∞U【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围． 【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ， 故答案为()(),40,-∞-+∞U ； 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．16．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当考点：函数单调性与最值17．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x ∈03时f （x ）＝3x+a4x （a ∈R ）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案.【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1．故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x .故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.18．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】 解析：【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案． 【详解】若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0， 则，或 当时，解得＜a ＜1，当时，不等式无解. 综上实数的取值范围是（，1） 故答案为（，1）．本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．19．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是 解析：68【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233k k a e a e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kt e -=，则1ln 3kt -= 两式相除可得2ln2531ln 3k kt -=-，即2lg 25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天 点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3 解析：3【解析】令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3三、解答题21．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=，103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.22．（1）2()22f x x x =++；（2）min252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩„；（3）7m < 【解析】【分析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对 应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==,又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+, ∴21,3,a a b =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++. (2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-.①当11t -„,即2t „时,函数h (x )在[1,)+∞上单调递增,即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h (x )在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++.综上,min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩„ (3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==,函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+,∴52m >-+,解得7m <.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.23．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2【解析】【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域;（2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值. 【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =.故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-, 则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<, 故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦, 由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==. 【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.24．（Ⅰ）2,1a b ==（Ⅱ）16k <-【解析】【分析】（Ⅰ）根据()00f =解得1b =，根据()()11f f =--解得2a =（Ⅱ）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为223311()2236k t t t <-=--，求二次函数的最小值得到答案.【详解】（Ⅰ）定义域为R 的函数()1-22x x b f x a ++=+是奇函数 则()100,12b f b a-+===+ ()-2114f a+=+，()12-111f a +-=+， 根据()()11f f =--，解得2a = ，经检验，满足函数为奇函数（Ⅱ）12111()22221x x x f x +-+==-+++ 易知21x +为增函数，故11()221x f x =-++为减函数 22()(220)2f t t f t k －－+<即2222222)()()2(f t t f t k f t k =-<+-－－即22222t t t k ->-+所以223311()2236k t t t <-=-- 恒成立，即2min 3111()2366k t ⎡⎤<--=-⎢⎥⎣⎦ 当13t =时，有最小值16- 故k 的取值范围是16k <- 【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键.25．（1）；（2）；（3）()0,2 【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立，即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax = x R ∈Q 0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+< 所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝， 因为＜5，所以函数()f x 的最小值为． （3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--） 而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m = 即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解；由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m <<故m 的取值范围是()0,2考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．26．(1) ()4,B =+∞(),2A =-∞;(2) m 的取值范围是()-3∞，. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得(),2A =-∞，根据函数()lg 4y x =- 可解得4x >，得到集合B ；（2）由（1）可得()()(),24,A B =-∞+∞U U ，根据()C A B ⊆⋃，再分C =∅和C ≠∅两种情况分类讨论，即可求得实数m 的取值范围.试题解析：（1）∵x 222<∴()A ,2∞=-又∵()y lg x 4=-可知x 4>∴()B 4,∞=+（2）∵()()()A B ,24,∞∞⋃=-⋃+，又∵()C A B ⊆⋃（i ）若C ∅=，即1m m 1->-，解得m 1<，满足：()C A B ⊆⋃∴m 1<符合条件（ii ）若C ∅≠，即m m 1-≤-，解得m 1≥，要保证：()C A B ⊆⋃ 1m 4->或m 12-<，解得m 3<-（舍）或m 12-<解得[)m 1,3∈,综上：m 的取值范围是()-3∞， .。
2023-2024学年天津市第二南开中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年天津市第二南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题1．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{1，2，5，6}B ．{1，2，3，4}C ．{2}D ．{1}2．设a ∈R ，则“a ≥2”是“a 2﹣3a +2≥0”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．下列函数中，与函数y ＝x +1是相等函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =x 2x+1D ．y =√x 2+14．已知a ＞b ，且ab ≠0，c ∈R ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．a 2＞b 2 B ．1a ＜1bC ．a+b 2≥√abD ．a c 2+1＞b c 2+15．若函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，1]，那么f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．[0，1]B ．[﹣3，1]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]6．已知函数f （x ）是定义在区间[0，+∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x −1)＜f(13)的x 的取值范围是（ ） A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)7．若函数f （x ）＝2|x ﹣a |+3在区间[1，+∞）上不单调，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]8．下列结论正确的是（ ）A ．若正实数x ，y 满足8x +1y =1，则x +2y 的最小值为25B ．若x ＞0，y ＞0，且x +4y ＝1，则xy 的最大值为14C ．若a ，b 为正实数，且a +2b ＝2，则4a +ab的最小值为6D ．若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab的最小值为39．若函数f （x ）={x 2+2ax +3，x ≤1ax +1，x ＞1是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[﹣3，﹣1]B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．[﹣2，0）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共18分）10．（6分）函数f(x)=2x 21−x+(2x −1)0的定义域为 ．11．（6分）函数y ＝﹣x 2+4x +3，x ∈[0，3]的单调递增区间是 ． 12．（6分）不等式x 2x−1≥1的解集为 ．13．（6分）若命题“∃x ∈R ，使得ax 2+2ax ﹣1≥0”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 14．（6分）若存在x ∈R ，使得4x+m x 2−2x+3≥2成立，则实数m 的取值范围是 ．15．（6分）已知f （x ）={12x +1，x ≤0−(x −1)2，x ＞0，使f （x ）≥﹣1成立的x 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（13分）已知集合P ＝{x |a +1≤x ≤2a +1}，Q ＝{x |x 2﹣3x ≤10}． （1）若a ＝3，求（∁R P ）∩Q ；（2）若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．17．（13分）（1）已知函数f （x ﹣1）＝2x +5，求f （x ）的解析式； （2）已知f （x ）﹣3f （﹣x ）＝8x +2，求f （x ）的解析式． 18．（15分）求下列函数的值域： （1）f （x ）=3x+1x−2； （2）f （x ）=x +√x +1； （3）f （x ）=√2√x 2−2x+3．19．（15分）设命题p ：方程x 2+（2m ﹣4）x +m ＝0有两个不相等的实数根；命题q ：对所有的2≤x ≤3，不等式x 2﹣4x +13≥m 2恒成立．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p ，q 一真一假，求实数m 的取值范围． 20．（13分）设函数f （x ）＝x +ax+1，x ∈[0，+∞）． （1）当a ＝2时，求函数f （x ）的最小值； （2）当0＜a ＜1时，求函数f （x ）的最小值．2023-2024学年天津市第二南开中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩（∁U B）＝（）A．{1，2，5，6}B．{1，2，3，4}C．{2}D．{1}解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，∴∁U B＝{1，5，6}，又∵A＝{1，2}，∴A∩（∁U B）＝{1}，故选：D．2．设a∈R，则“a≥2”是“a2﹣3a+2≥0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解：由a2﹣3a+2≥0，得a≤1或a≥2．即由a≥2可得a2﹣3a+2≥0，反之不一定成立．故“a≥2”是“a2﹣3a+2≥0”的充分非必要条件．故选：A．3．下列函数中，与函数y＝x+1是相等函数的是（）A．y=(√x+1)2B．y=√x33+1C．y=x 2x+1D．y=√x2+1解：对于A，函数y＝（√x+1）2＝x+1的定义域为{x|x≥﹣1}，和y＝x+1（∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数y=√x33+1＝x+1的定义域为R，和y＝x+1的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；对于C，函数y=x2x+1＝x+1的定义域为{x|x≠0}，和y＝x+1的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数y=√x2+1＝|x|+1的定义域为R，和y＝x+1的对应法则不相同，不是同一函数．故选：B．4．已知a＞b，且ab≠0，c∈R，则下列不等式中一定成立的是（）A ．a 2＞b 2B ．1a ＜1bC ．a+b 2≥√abD ．a c 2+1＞b c 2+1解：对于A ，令a ＝3，b ＝﹣3，满足a ＞b ，但a 2＝b 2，故A 错误， 对于B ，令a ＝3，b ＝﹣3，满足a ＞b ，但1a ＞1b ，故B 错误，对于C ，令a ＝﹣2，b ＝﹣4，满足a ＞b ，但a+b2＜√ab ，故C 错误，对于D ，∵c 2+1＞0，a ＞b ，∴a c 2+1＞b c 2+1，故D 正确．故选：D ．5．若函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，1]，那么f （2x ﹣1）的定义域是（ ） A ．[0，1]B ．[﹣3，1]C ．[﹣1，1]D ．[﹣1，0]解：∵函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣1，1]， ∴由﹣1≤2x ﹣1≤1得0≤x ≤1， ∴f （2x ﹣1）的定义域是[0，1]， 故选：A ．6．已知函数f （x ）是定义在区间[0，+∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x −1)＜f(13)的x 的取值范围是（ ） A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)解：因为函数f （x ）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，且满足f(2x −1)＜f(13)，所以0≤2x −1＜13，解得12≤x ＜23．故选：D ．7．若函数f （x ）＝2|x ﹣a |+3在区间[1，+∞）上不单调，则a 的取值范围是（ ） A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]解：∵函数f （x ）＝2|x ﹣a |+3={2x −2a +3，x ≥a−2x +2a +3，x ＜a ，∵函数f （x ）＝2|x ﹣a |+3在区间[1，+∞）上不单调， ∴a ＞1．∴a 的取值范围是（1，+∞）． 故选：B ．8．下列结论正确的是（ ）A ．若正实数x ，y 满足8x +1y =1，则x +2y 的最小值为25B ．若x ＞0，y ＞0，且x +4y ＝1，则xy 的最大值为14C ．若a ，b 为正实数，且a +2b ＝2，则4a +ab的最小值为6D ．若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab的最小值为3解：A 选项：因为x ＞0，y ＞0，所以x +2y =(x +2y)(8x +1y )=8+2+16y x +x y ≥10+2√16y x ×xy=18，当且仅当x ＝4y ＝12时取等号，故A 选项错误； B 选项：因为x ＞0，y ＞0，所以1=x +4y ≥2√x ⋅4y =4√xy ，当且仅当x =4y =12时取等号，所以116≥xy ，故B 选项错误；C 选项：因为a ＞0，b ＞0，a +2b ＝2，所以4＝2a +4b ，所以4a +a b =2a+4b a +a b =2+4b a +a b ≥2+2√4b a ⋅a b=6，当且仅当a ＝2b ＝1时取等号，故C 选项正确； D 选项：a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab=4ab +1ab≥4，当且仅当a 2＝2b 2且4ab =1ab ，即a 2=√22，b 2=√24时取等号，故D 选项错误． 故选：C ．9．若函数f （x ）={x 2+2ax +3，x ≤1ax +1，x ＞1是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．[﹣3，﹣1]B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．[﹣2，0）解：∵函数f （x ）={x 2+2ax +3，x ≤1ax +1，x ＞1是减函数，∴{a ＜0−a ≥14+2a ≥1+a 解得﹣3≤a ≤﹣1．故a 的取值范围是[﹣3，﹣1]．故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共18分）10．（6分）函数f(x)=2x 21−x +(2x −1)0的定义域为 （﹣∞，12）∪（12，1） ．解：函数f(x)=2x 2√1−x(2x −1)0中， 令{1−x ＞02x −1≠0，解得x ＜1且x ≠12，所以f （x ）的定义域为（﹣∞，12）∪（12，1）．故答案为：（﹣∞，12）∪（12，1）．11．（6分）函数y ＝﹣x 2+4x +3，x ∈[0，3]的单调递增区间是 [0，2] ． 解：根据二次函数的性质可知，y ＝﹣x 2+4x +3的开口向下，对称轴x ＝2， 所以x ∈[0，3]的单调递增区间[0，2]． 故答案为：[0，2] 12．（6分）不等式x2x−1≥1的解集为 （12，1] ． 解：不等式x 2x−1≥1，即x−12x−1≤0，故（x ﹣1）•（2x ﹣1）≤0且2x ﹣1≠0，解得12＜x ＜1，故不等式的解集为（12，1]．故答案为：（12，1]．13．（6分）若命题“∃x ∈R ，使得ax 2+2ax ﹣1≥0”为假命题，则实数a 的取值范围是 （﹣1，0] ． 解：命题：“∃x ∈R ，使得ax 2+2ax ﹣1≥0”为假命题⇔命题：“∀x ∈R ，使得ax 2+2ax ﹣1＜0”恒成立． ∵a ＝0时，符合题意，∴a ≠0时，需{a ＜0△＜0⇒{a ＜0(2a)2−4a ⋅(−1)＜0⇒﹣1＜a ＜0，∴﹣1＜a ≤0． 故答案为：（﹣1，0]． 14．（6分）若存在x ∈R ，使得4x+m x 2−2x+3≥2成立，则实数m 的取值范围是 {m |m ≥﹣2} ．解：∵x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0， ∴不等式4x+m x 2−2x+3≥2可化为4x +m ≥2（x 2﹣2x +3），∴由题意得，不等式m ≥2x 2﹣8x +6有解， ∴g （x ）＝2x 2﹣8x +6，g （x ）＝2（x ﹣2）2﹣2，∴g（x）min＝g（2）＝﹣2，故要使m≥2x2﹣8x+6有解，则m≥﹣2，∴m的取值范围为{m|m≥﹣2}．故答案为：{m|m≥﹣2}．15．（6分）已知f（x）={12x+1，x≤0−(x−1)2，x＞0，使f（x）≥﹣1成立的x的取值范围是[﹣4，2]．解：∵f（x）≥﹣1，∴{x≤012x+1≥−1或{x＞0−(x−1)2≥−1∴﹣4≤x≤0或0＜x≤2，即﹣4≤x≤2．∴使f（x）≥﹣1成立的x的取值范围是[﹣4，2]，故答案为：[﹣4，2]．三、解答题（本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知集合P＝{x|a+1≤x≤2a+1}，Q＝{x|x2﹣3x≤10}．（1）若a＝3，求（∁R P）∩Q；（2）若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．解：（1）因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，∁R P＝{x|x＜4或x＞7}．又Q＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}，所以（∁R P）∩Q＝{x|x＜4或x＞7}∩{x|﹣2≤x≤5}＝{x|﹣2≤x＜4}．（2）当P≠∅时，由P∪Q＝Q得P⊆Q，所以{a+1≥−22a+1≤52a+1≥a+1解得0≤a≤2；当P＝∅，即2a+1＜a+1时，有P⊆Q，得a＜0．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．17．（13分）（1）已知函数f（x﹣1）＝2x+5，求f（x）的解析式；（2）已知f（x）﹣3f（﹣x）＝8x+2，求f（x）的解析式．解：（1）f（x）＝f（x+1﹣1）＝2（x+1）+5＝2x+7；（2）f（x）﹣3f（﹣x）＝8x+2①，x 用﹣x 代换得f （﹣x ）﹣3f （x ）＝﹣8x +2②， 解①②得f （x ）＝2x ﹣1． 18．（15分）求下列函数的值域： （1）f （x ）=3x+1x−2； （2）f （x ）=x +√x +1； （3）f （x ）=√21√x −2x+3．解：（1）f （x ）=3x+1x−2=3(x−2)+7x−2=7x−2+3， 则f （x ）的值域为{y |y ≠3}；（2）∵f （x ）=x +√x +1的定义域为x ≥0，且该函数在定义域内单调递增， 则函数的值域为[1，+∞）；（3）由x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2≥2，可得√x 2−2x +3≥√2，则01√x 2−2x+3≤√22，∴f （x ）=√2+√x 2−2x+3的值域为（√2，3√22]．19．（15分）设命题p ：方程x 2+（2m ﹣4）x +m ＝0有两个不相等的实数根；命题q ：对所有的2≤x ≤3，不等式x 2﹣4x +13≥m 2恒成立．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p ，q 一真一假，求实数m 的取值范围．解：（1）命题p ：方程x 2+（2m ﹣4）x +m ＝0有两个不相等的实数根； 所以Δ＝（2m ﹣4）2﹣4m ＝4（m ﹣1）（m ﹣4）＞0，解得m ＞4或m ＜1， 所以m 的取值范围{m |m ＞4或m ＜1}．（2）命题q ：对所有的2≤x ≤3，不等式x 2﹣4x +13≥m 2恒成立． 整理得（x ﹣2）2≥m 2﹣9， 当x ＝2时，（x ﹣2）2min ＝0， 所以0≥m 2﹣9，解得﹣3≤m ≤3． 由于命题p 和q 一真一假， 故①p 真q 假，{m ＜1或m ＞4m ＜−3或m ＞3，解得m ＜﹣3或m ＞4．②p假q真，{1≤m≤4−3≤m≤3，解得1≤m≤3．综上所述实数m的取值范围为{m|m＜﹣3或m＞4或1≤m≤3}．20．（13分）设函数f（x）＝x+ax+1，x∈[0，+∞）．（1）当a＝2时，求函数f（x）的最小值；（2）当0＜a＜1时，求函数f（x）的最小值．解：（1）当a＝2时，f（x）＝x+2x+1=x+1+2x+1−1≥2√2−1当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，∴f（x）min＝2√2−1．（2）当0＜a＜1时，任取0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣x2）[1−a(x1+1)(x2+1)]，∵0＜a＜1，（x1+1）（x2+1）＞1，∴1−a(x1+1)(x2+1)＞0，∵x1＜x2，∴f（x1）＜f（x2），即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min＝f（0）＝a．。
2020-2021天津市高一数学上期中模拟试卷(及答案)
2020-2021天津市高一数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，4．若函数()(),1231,1xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．16．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 8．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数9．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b << 11．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 15．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．16．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.18．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 19．已知312ab +=a b =__________. 20．函数()221,0ln 2,0x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______． 三、解答题21．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤>（Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.22．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．23．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 24．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求AB ，()RC A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.25．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000． 26．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若AB B =，求实数a 的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B ={}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．5．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.6．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果.【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ；故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.7．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 8．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .9．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.11．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】 若函数在上单调递减，则，解得. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值． 12．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力 10【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,10m m m m a b+=+==∴= 10 【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a ；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.15．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值 16．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-17．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.18．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7 【解析】【分析】 【详解】 设， 则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ， 所以，,故答案为7.19．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3 【解析】 【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可. 【详解】 13212233333a b a b aa b a+-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个解析：4 【解析】 【分析】当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-，作y ln x =和22y x x =-的图象，判断交点个数即可，当0x <时，令()210f x x =+-=，可解得零点，从而得解. 【详解】方法一：当0x >时，令()2ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-.作y ln x =和22y x x =-的图象，如图所示，显然有两个交点，当0x <时，令()210f x x =+-=，可得1x =-或3-. 综上函数的零点有4个.方法二：当0x >时，()2ln 2f x x x x =-+，()21221'22x x f x x x x-++=-+=，令()'0f x =可得()2'2210f x x x =-++=，()'01f =，()'230f =-<，说明导函数有两个零点，函数的()110f =>，()30f <，可得0x >时， 函数的零点由2个．0x <时，函数的图象如图：可知函数的零点有4个． 故答案为4． 【点睛】本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过数形结合思想解决实际问题．三、解答题21．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,322{42,22a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122xax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ． （Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+-> （ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=． 所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ． 22．a ≤－1或a ＝1. 【解析】 【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证 【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}， ∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，又可分为两种情况． ①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}， 当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1. 又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件； ②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.23．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ . 【解析】 【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4）， B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5). （2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ， ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1, ②B ≠∅时，则有，∴, 综上所述，所求a 的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心. 24．(1) {|25}A B x x =≤< (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可.（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭25．（1）函数模型：①22212y x x =-+；函数模型②：128x y +=+（2）函数模型②更合适；从第9天开始该微生物群落的单位数量超过1000 【解析】 【分析】（1）由题意利用待定系数法求函数的解析式；（2）将4x =，5x =代入（1）中的两个函数解析式中，结合数据判断两个模型中那个更合适。
2020-2021学年高一上学期数学期中考试卷含详细解析
一.选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1．假设集合M={﹣1，0，1}，集合N={0，1，2}，那么M∪N等于〔〕A、{0，1} B、{﹣1，0，1} C、{0，1，2} D、{﹣1，0，1，2}2．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，那么图中的阴影部分表示的集合为〔〕A、{2}B、{4，6}C、{1，3，5}D、{4，6，7，8}3．假设，那么f〔2〕等于〔〕A、B、C、D、4．以下各对函数中，图象完全相同的是〔〕A、B、C、D、5．函数y=的定义域是〔〕A、[，+∞〕B、[，2〕∪〔2，+∞〕C、〔，2〕∪〔2，+∞〕D、〔﹣∞，2〕∪〔2，+∞〕6．函数f〔x〕=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数，a+b的值是〔〕A、0B、C、1D、﹣17．假设函数f〔x〕=〔a2﹣a﹣2〕x2+〔a+1〕x+2的定义域和值域都为R，那么〔〕A、a=2或a=﹣1B、a=2C、a=﹣1D、a不存在8．设x0是方程lnx+x=4的解，那么x0属于区间〔〕A、〔0，1〕B、〔1，2〕C、〔2，3〕D、〔3，4〕9．假设函数y=ax+b﹣1〔a＞0且a≠1〕的图象不经过第一象限，那么有〔〕A、a＞1且b≤0B、a＞1且b≤1C、0＜a＜1且b≤0D、0＜a＜1且b≤110．函数f〔x〕=在R上是增函数，那么实数a的取值范围是〔〕A、2＜a＜4B、2≤a＜4C、3＜a＜4D、3≤a＜411．函数f〔x〕=ln〔x2+1〕的图象大致是〔〕A、B、 C、D、12．lg2=0.3010，由此可以推断22019是〔〕位整数．A、605B、606C、607D、608【二】填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置〕13．计算：= ．14．函数f〔x〕=x2﹣6x+m的最小值为1，那么m= ．15．函数y=log2〔x2﹣2x﹣3〕的单调递增区间是．16．集合A={x|x2+x﹣6=0}，B={x|ax+1=0}，假设B⊆A，那么a= ．【三】解答题〔共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤〕17．计算〔1〕〔2〕﹣〔﹣7.8〕0﹣〔3〕+〔〕﹣2〔2〕〔lg2〕2+lg2•lg5+．18．全集U=R，A={x|x≥3}，B={x|x2﹣8x+7≤0}，C={x|x≥a﹣1}〔1〕求A∩B，A∪B；〔2〕假设C∪A=A，求实数a的取值范围．19．f〔x〕为二次函数，且f〔x+1〕+f〔x﹣1〕=2x2﹣4x．〔1〕求f〔x〕的表达式；〔2〕判断函数g〔x〕=在〔0，+∞〕上的单调性，并证之．20．某商场的一种商品每件进价为10元，据调查知每日销售量m〔件〕与销售价x〔元〕之间的函数关系为m=70﹣x，10≤x≤70．设该商场日销售这种商品的利润为y〔元〕．〔单件利润=销售单价﹣进价；日销售利润=单件利润×日销售量〕〔1〕求函数y=f〔x〕的解析式；〔2〕求该商场销售这种商品的日销售利润的最大值．21．函数〔1〕求函数f〔x〕的定义域，并判断函数f〔x〕的奇偶性；〔2〕对于x∈[2，6]，恒成立，求实数m取值范围．22．函数f〔x〕=|x+1|+ax，〔a∈R〕．〔1〕当a=0，2时，分别画出函数f〔x〕的图象．〔2〕假设函数f〔x〕是R上的单调函数，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一.选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1．假设集合M={﹣1，0，1}，集合N={0，1，2}，那么M∪N等于〔〕A、{0，1} B、{﹣1，0，1} C、{0，1，2} D、{﹣1，0，1，2}【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】集合M和集合N都是含有三个元素的集合，把两个集合的所有元素找出写在花括号内即可，注意不要违背集合中元素的互异性．【解答】解：因为M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，所以M∪N={﹣1，0，1}∪{0，1，2}={﹣1，0，1，2}．故答案为D、【点评】此题考查了并集及其运算，考查了并集的概念，是会考题型，是基础题．2．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，那么图中的阴影部分表示的集合为〔〕A、{2}B、{4，6}C、{1，3，5}D、{4，6，7，8}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为〔CUA〕∩B，根据集合的运算求解即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为〔CUA〕∩B，∵CUA={4，6，7，8}，∴〔CUA〕∩B={4，6}．应选B、【点评】此题考查集合的基本运算和韦恩图，属基此题．3．假设，那么f〔2〕等于〔〕A、B、C、D、【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数表达式，直接代入即可求值．【解答】解：∵，∴f〔2〕=1﹣，应选：B、【点评】此题主要考查函数求值问题，利用函数的解析式直接代入即可，比较基础．4．以下各对函数中，图象完全相同的是〔〕A、B、C、D、【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题；规律型．【分析】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．【解答】解：对于A、∵y=x的定义域为R，的定义域为R．两个函数的对应法那么不相同，∴不是同一个函数．对于B、∵的定义域[0，+∞〕，y=|x|的定义域均为R．∴两个函数不是同一个函数．对于C、∵的定义域为R且x≠0，y=x0的定义域为R且x≠0．对应法那么相同，∴两个函数是同一个函数．对于D、的定义域是x≠±1，的定义域是x≠1，定义域不相同，∴不是同一个函数．应选：C、【点评】此题考查两个函数解析式是否表示同一个函数，需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．5．函数y=的定义域是〔〕A、[，+∞〕B、[，2〕∪〔2，+∞〕C、〔，2〕∪〔2，+∞〕D、〔﹣∞，2〕∪〔2，+∞〕【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出x的不等式组，求解即可．【解答】解：要使原式有意义只需：，解得且x≠2，故函数的定义域为[〕∪〔2，+∞〕．故答案为B、【点评】求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的x的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．6．函数f〔x〕=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数，a+b 的值是〔〕A、0B、C、1D、﹣1【考点】偶函数．【分析】根据偶函数的特点：不含奇次项得到b=0，偶函数的定义域关于原点对称，列出方程得到a的值，求出a+B、【解答】解：∵函数f〔x〕=ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数∴a﹣1=﹣2a，b=0解得，b=0∴a+b=应选B、【点评】解决函数的奇偶性问题，一般利用奇函数、偶函数的定义列出恒成立的方程；注意具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．7．假设函数f〔x〕=〔a2﹣a﹣2〕x2+〔a+1〕x+2的定义域和值域都为R，那么〔〕A、a=2或a=﹣1B、a=2C、a=﹣1D、a不存在【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】函数f〔x〕=〔a2﹣a﹣2〕x2+〔a+1〕x+2的定义域和值域都为R，可判断必须为一次函数．根据条件可得答案．【解答】解：∵函数f〔x〕=〔a2﹣a﹣2〕x2+〔a+1〕x+2的定义域和值域都为R，可判断必须为一次函数．∴a2﹣a﹣2=0，且a+1≠0即a=2，应选：B【点评】此题考查了函数的性质，对函数解析式的熟练理解掌握．8．设x0是方程lnx+x=4的解，那么x0属于区间〔〕A、〔0，1〕B、〔1，2〕C、〔2，3〕D、〔3，4〕【考点】函数的零点；对数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】可先构造出函数f〔x〕=lnx+x﹣4，带入可得f〔2〕＜0，f〔3〕＞0，据此解答．【解答】解：设f〔x〕=lnx+x﹣4，那么f〔2〕=ln2+2﹣4=ln2﹣2＜0，f〔3〕=ln3+3﹣4=ln3﹣1＞0，所以x0属于区间〔2，3〕．应选：C、【点评】本小题主要考查简单的构造函数求出函数零点的方法，注意灵活运用，属于基础题．9．假设函数y=ax+b﹣1〔a＞0且a≠1〕的图象不经过第一象限，那么有〔〕A、a＞1且b≤0B、a＞1且b≤1C、0＜a＜1且b≤0D、0＜a＜1且b≤1【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的图象和性质，以及图象的平移即可得到答案．【解答】解：当0＜a＜1时，y=ax的图象经过第一二象限，且恒经过点〔0，1〕，∵函数y=ax+b﹣1〔a＞0且a≠1〕的图象不经过第一象限，∴y=ax的图象向下平移大于等于一个单位，即1﹣b≥1，即b≤0，当a＞1时，函数，y=ax的图象经过第一二象限，无论如何平移都进过第一象限，综上所述，函数y=ax+b﹣1〔a＞0且a≠1〕的图象不经过第一象限，那么有0＜a＜1且b≤0．应选：C【点评】此题主要考查了指数函数的图象的性质和图象的平移，属于基础题．10．函数f〔x〕=在R上是增函数，那么实数a的取值范围是〔〕A、2＜a＜4B、2≤a＜4C、3＜a＜4D、3≤a＜4【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f〔x〕=在R上是增函数，可知每段上都为增函数，且两段的最值比较，得出解出a的范围即可．【解答】解：当x=2时y=6﹣a，∵函数f〔x〕=在R上是增函数，∴解不等式组可得：3≤a＜4，应选：D【点评】此题考查了分段函数单调性的判断，及运用求其满足的条件，加深了对单调性的定义的理解．11．函数f〔x〕=ln〔x2+1〕的图象大致是〔〕A、B、 C、D、【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在〔0，+∞〕单调递增，∴y=ln〔x2+1〕≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在〔0，+∞〕单调递增，∴y=ln〔x2+1〕≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f〔0〕=ln〔0+1〕=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．应选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，此题属于低档题．12．lg2=0.3010，由此可以推断22019是〔〕位整数．A、605B、606C、607D、608【考点】指数式与对数式的互化．【专题】计算题；转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】令22019=t，两边取对数后求得lgt，由此可得22019的整数位．【解答】解：∵lg2=0.3010，令22019=t，∴2019×lg2=lgt，那么lgt=2019×0.3010=606.214，∴22019是607位整数．应选：C、【点评】此题考查指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．【二】填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分．将答案填入答题纸相应位置〕13．计算：= 1 ．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数与指数的运算性质即可得出．【解答】解：原式=lg100﹣1=2﹣1=1．故答案为：1．【点评】此题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．函数f〔x〕=x2﹣6x+m的最小值为1，那么m= 10 ．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．【解答】解：函数f〔x〕=x2﹣6x+m可化为：y=〔x﹣3〕2﹣9+m，∵函数的最小值是1，∴﹣9+m=1，解得m=10．故答案为：10．【点评】此题考查了二次函数的最值，会用配方法将原式化为顶点式是解题的关键．15．函数y=log2〔x2﹣2x﹣3〕的单调递增区间是〔3，+∞〕．【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性的判断方法可求得答案．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，所以函数的定义域为〔﹣∞，﹣1〕∪〔3，+∞〕，因为y=log2u递增，u=x2﹣2x﹣3在〔3，+∞〕上递增，所以y=在〔3，+∞〕上单调递增，所以函数y=的单调递增区间是〔3，+∞〕，故答案为：〔3，+∞〕．【点评】此题考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的单调性，考查学生解决问题的能力．16．集合A={x|x2+x﹣6=0}，B={x|ax+1=0}，假设B⊆A，那么a= ﹣或或0 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】先化简集合，再由子集的关系求解．【解答】解：集合A={x|x2+x﹣6=0}={﹣3，2}∵B⊆A，∴〔1〕B=∅时，a=0〔2〕当B={﹣3}时，a=〔3〕〕当B={2}时，a=﹣故答案为：﹣或或0．【点评】此题主要考查集合的关系及其运算．【三】解答题〔共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤〕17．计算〔1〕〔2〕﹣〔﹣7.8〕0﹣〔3〕+〔〕﹣2〔2〕〔lg2〕2+lg2•lg5+．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】〔1〕利用有理指数幂的运算法那么化简求解即可．〔2〕利用导数的运算法那么化简求解即可．【解答】〔本小题总分值10分〕解：〔1〕〔2〕﹣〔﹣7.8〕0﹣〔3〕+〔〕﹣2===．…〔2〕〔lg2〕2+lg2•lg5+=lg2〔lg2+lg5〕+lg5=lg2+lg5=lg10=1．…【点评】此题考查有理指数幂以及对数运算法那么的应用，是基础题．18．全集U=R，A={x|x≥3}，B={x|x2﹣8x+7≤0}，C={x|x≥a﹣1}〔1〕求A∩B，A∪B；〔2〕假设C∪A=A，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算．【专题】计算题．【分析】〔1〕由题意可得B={x|x2﹣8x+7≤0}={x|1≤x≤7}，从而可求A∩B，A∪B〔2〕由C∪A=A可得C⊆A，结合数轴可求a﹣1的范围，进而可求a的范围【解答】解：〔1〕由题意可得B={x|x2﹣8x+7≤0}={x|1≤x≤7}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，∴A∩B={x|3≤x≤7}，A∪B={x|x≥1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔2〕∵C∪A=A∴C⊆A∴a﹣1≥3∴a≥4﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】此题主要考查了二次不等式的解法，集合之间的交并运算及集合之间包含关于的应用，属于基础试题19．f〔x〕为二次函数，且f〔x+1〕+f〔x﹣1〕=2x2﹣4x．〔1〕求f〔x〕的表达式；〔2〕判断函数g〔x〕=在〔0，+∞〕上的单调性，并证之．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】〔1〕据二次函数的形式设出f〔x〕的解析式，将条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得f〔x〕的表达式；〔2〕结合〔1〕中结论，可得g〔x〕的解析式，利用作差法，可证明其单调性．．【解答】解：〔1〕设f〔x〕=ax2+bx+c〔a≠0〕，由条件得：a〔x+1〕2+b〔x+1〕+c+a〔x﹣1〕2+b〔x﹣1〕+c=2x2﹣4x，从而，解得：，所以f〔x〕=x2﹣2x﹣1；…〔2〕函数g〔x〕=在〔0，+∞〕上单调递增．理由如下：g〔x〕==，设设任意x1，x2∈〔0，+∞〕，且x1＜x2，那么g〔x1〕﹣g〔x2〕=﹣〔〕=〔x1﹣x2〕〔1+〕，∵x1，x2∈〔0，+∞〕，且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1+＞0，∴g〔x1〕﹣g〔x2〕＜0，即g〔x1〕＜g〔x2〕，所以函数g〔x〕=在〔0，+∞〕上单调递增．…【点评】题考查利用待定系数法求函数模型的函数解析式，函数单调性的判定与证明，难度中档．20．某商场的一种商品每件进价为10元，据调查知每日销售量m〔件〕与销售价x〔元〕之间的函数关系为m=70﹣x，10≤x≤70．设该商场日销售这种商品的利润为y〔元〕．〔单件利润=销售单价﹣进价；日销售利润=单件利润×日销售量〕〔1〕求函数y=f〔x〕的解析式；〔2〕求该商场销售这种商品的日销售利润的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】〔1〕用每件的利润乘以销售量得到每天的利润．〔2〕由〔1〕得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．【解答】解：〔1〕y=m〔x﹣10〕，=〔x﹣10〕〔70﹣x〕，=﹣x2+80x﹣700〔10≤x≤70〕；〔2〕∵y=﹣x2+80x﹣700=﹣〔x﹣40〕2+900，10≤x≤70，∴当x=40元时，最大利润y=900元．【点评】此题考查了二次函数的应用，根据配方法求出二次函数的顶点坐标是解题关键．21．函数〔1〕求函数f〔x〕的定义域，并判断函数f〔x〕的奇偶性；〔2〕对于x∈[2，6]，恒成立，求实数m取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；对数函数的定义域．【专题】综合题．【分析】〔1〕利用真数大于0，可得函数的定义域，利用奇偶函数的定义，可得函数f〔x〕的奇偶性；〔2〕将问题转化为0＜m＜〔x+1〕〔7﹣x〕在x∈[2，6]成立，利用二次函数的性质，即可求得结论．【解答】解：〔1〕由，解得x＜﹣1或x＞1，∴定义域为〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕当x∈〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕时，∴是奇函数．…．〔2〕由x∈[2，6]时，恒成立，∴，∵x∈[2，6]，∴0＜m＜〔x+1〕〔7﹣x〕在x∈[2，6]成立…令g〔x〕=〔x+1〕〔7﹣x〕=﹣〔x﹣3〕2+16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，∴x∈[2，6]时，g〔x〕min=g〔6〕=7∴0＜m＜7…．【点评】此题考查函数的性质，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的定义域，利用奇偶性的定义，熟练掌握二次函数的性质．22．函数f〔x〕=|x+1|+ax，〔a∈R〕．〔1〕当a=0，2时，分别画出函数f〔x〕的图象．〔2〕假设函数f〔x〕是R上的单调函数，求实数a的取值范围．【考点】函数的图象；函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】〔1〕将函数解析式写出分段函数，然后作图；〔2〕将函数解析式写出分段函数后，令每一段上均为单调减函数函数，且第一段最小值大于或大于第二段的最大值，或每一段上均为增函数，且第一段上最大值小于或等于第二段的最小值．【解答】解：〔1〕当a=0时，f〔x〕=|x+1|=作出函数图象如图：当a=2时，f〔x〕=，作出函数图象如图：。
天津市南开区南开中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析).doc
天津市南开区南开中学2021-2022高一数学上学期期中试题（含解析）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每小题3分，共30分.）1.已知R 是实数集，集合{}3|12,|02A x x B x x ⎧⎫=<<=<<⎨⎬⎩⎭，则阴影部分表示的集合是（ ）A. []0,1B. (0,1]C. [0,1)D. (0,1)【答案】B 【解析】 【分析】阴影部分对应的集合为R C A ∩B ，利用集合的基本运算即可得到结论． 【详解】由题可知阴影部分对应的集合为R C A ∩B ， ∵R C A ＝{x |x 1≤或x 2≥}，B ＝{x |0＜x 32＜}，∴R C A ∩B ＝{x |0＜x 1≤}=(0，1]， 故选B ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合关系确定阴影部分的集合是解决本题的关键．2.命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ） A. 不存在0x R ∈，020x >B. 存在0x R ∈，020x ≥C. 对任意的x ∈R ，020x ≤D. 对任意的x ∈R ，020x >【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】特称命题的否定是全称命题.∴命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是：“对任意的x ∈R ，020x >”.故选：D.【点睛】本题主要考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查，属于容易题．3.若函数()f x 是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在[2)+∞，上是减函数，则（ ） A. (2)(3)(4)f f f --＜＜ B. (3)(2)(4)f f f --＜＜ C. (4)(3)(2)f f f --＜＜ D. (3)(4)(2)f f f --＜＜【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化判断即可．【详解】解：∵f （x ）是偶函数，且函数f （x ）在[2，+∞）上是减函数， ∴f （4）＜f （3）＜f （2），即f （﹣4）＜f （3）＜f （﹣2）， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．4.设{}1,1,2,3a ∈-，则使函数a y x =的值域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A. 1，3 B. 1-，1 C. 1-，3 D. 1-，1，3【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质，分别判断幂函数的值域和奇偶性是否满足条件即可．【详解】当1a =-时，11y xx-==，为奇函数，但值域为{}0x x ≠，不满足条件. 当1a =时，y x =，为奇函数，值域为R ，满足条件. 当2a =时，2yx 为偶函数，值域为{}0x x ≥，不满足条件.当3a =时，3y x =为奇函数，值域为R ，满足条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，属于容易题． 5.设函数()f x 满足1()11xf x x-=++，则()f x 的表达式为（ ） A. 2211x x-+ B.221x + C.21x+ D.11xx-+ 【答案】C 【解析】 试题分析：设11x t x -=+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t-=+=++，所以2()1f x x =+，故选C ．考点：求函数解析式．6.若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-，则不等式()()2130b x a x c -+++>的解为（ ）A. 413,⎛-⎫⎪⎝⎭B. (),3,41-∞+⎪∞⎛⎫ ⎝⎭C. ()1,4-D.()()–21,∞-+∞，【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集求出b 、a 和c 的关系，再化简不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>，从而求出所求不等式的解集．【详解】根据题意，若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-， 则4-与1是方程20ax bx c ++=的根，且0a <，则有()()4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得3b a =﹐4c a =-﹐且0a <；∴不等式()()2130b x a x c -+++>化为：()()231340x x -++-<，整理得2340x x +-<﹐ 即()()3410x x +-<﹐ 解可得413x -<<， 即不等式()()2130b x a x c -+++>的解为4,13⎛⎫-⎪⎝⎭； 故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题． 7.已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A. （0，2） B. （1，2）C. （2，3）D. （﹣1，1）【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B.【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 8.已知a ，∈b R ，则>a b 是>a a b b 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案. 【详解】由题意，若a b>，则0a b >≥，则a b >，所以2a a a =，则a ab b 成立，当1,2a b ==-时，满足a a b b ，但a b >不一定成立，所以a b >是a ab b 的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.9.设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．10.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且()20f =，则不等式()()205f x f x x+-<解集是（ ）A. ()(),22-∞-+∞B. ()(),20,2-∞-C. ()()2,02-+∞D. ()()2,00,2-【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数，故在(0,)+∞上是增函数，且(2)(2)0f f =-=，原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号，结合零点及单调性即可求解.【详解】因为对任意的()()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以偶函数()f x 在(),0-∞上是减函数， 因为()f x 图象关于y 轴对称， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数， 且(2)(2)0f f =-=， 因为()f x 是偶函数，所以原不等式可化为()305f x x<，即()f x 与x 异号， 所以不等式的解为{|2x x <-或02}x <<，故选B.【点睛】本题主要考查了偶函数的性质，偶函数的单调区间，不等式求解，属于中档题. 二.不定项选择题：本大题共2小题，每题4分，共8分；在每小题给出的四个选项中，都有至少一项是符合题目要求的，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分11.已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的（ ）A.2a b+≥ B. 12a a+≥C. ||2a bb a+≥ D.()()2222a b a b +≥+【答案】CD 【解析】 【分析】 当0a <，0b <时，2a b ab +不成立；当0a <，时，12a a+不成立；由||||||a b b ab a a b +=+利用基本不等式即可判断；由2222222()()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-，可判断． 【详解】当0a <，0b <时，2a b+≥不成立； 当0a <时，12a a+≥不成立；2a b b ab a a b+=+≥； ()()()222222220a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥，故()()2222a b a b +≥+，故选：CD.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于中档题． 12.下列判断中哪些是不正确的（ ） A. ()(1f x x =- B. ()()()2200x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩是奇函数C. ()f x =D. ()33f x x =+-是非奇非偶函数【答案】AD 【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，判断每个选项函数的奇偶性即可． 【详解】A.()f x 的定义域为(]1,1-，定义域不关于原点对称，()f x ∴不是偶函数，∴该判断错误；B.设0x >，0x -<，则()()()22f x x x x x f x -=-=--+=-，同理设0x <，也有()()f x f x -=-成立，()f x ∴是奇函数，∴该判断正确；C.解230x -=得，x =()f x ∴的定义域关于原点对称，且()0f x =，()f x ∴是偶函数，∴该判断正确；D.解210330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩得，10x -≤<，或01x <≤，()f x ∴==， ()=()f x f x --()f x ∴是奇函数，∴该判断错误.故选：AD.【点睛】本题考查了奇函数、偶函数的定义及判断，考查了推理和计算能力，属于中档题． 三.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分13.函数y x =-________. 【答案】12. 【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数定义域，再由函数在定义域内单调递增求解． 【详解】由120x -≥，得12x ≤.∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦，函数y x =在12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，函数y =12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴函数y x =-12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，∴当12x =时，函数y x =12.故答案为：12.【点睛】本题考查函数的值域及其求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．14.已知函数()f x 满足()1221,0f x f x x x ⎛⎫-=-≠ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为________ 【答案】()24133f x x x=--+ 【解析】 【分析】 由已知可得f （1x ）-2f （x ）21x =-，联立两式消去f （1x），解方程组可得． 【详解】∵()1221,f x f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴f（1x ）-2f （x ）21x=-， 联立两式消去f （1x ），可得f （x ）=24133x x--+ 故答案为f （x ）=24133x x--+ 【点睛】本题考查函数解析式的求解，考查整体换元，属于基础题．15.已知()2y f x x =+是奇函数，且()13f =，若()()2g x f x =+，则()1g -=________.【答案】–3. 【解析】 【分析】由已知可知，22()()f x x f x x -+=--，然后结合f （1）3=，可求(1)f -，然后代入即可求解(1)g -． 【详解】()2y f x x =+是奇函数，()()22f x x f x x ∴-+=--，()()22x f x f x -+=-∴， ()13f =，()15f ∴-=-， ()()2g x f x =+，则()()1123g f -=-+=-. 故答案为：–3【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是奇函数定义的灵活应用，属于容易题．16.已知函数()224f x x kx =--在区间[]2,4-上具有单调性，则k 的取值范围是________.【答案】(][),816,-∞-+∞.【解析】 【分析】函数2()24f x x kx =--对称轴为：4k x =，函数()f x 在区间[2-，4]上有单调性，由44k 或24k-，解得k 即可． 【详解】函数()224f x x kx =--对称轴4k x =， 又函数()f x 在区间[]2,4-上有单调性， 44k ∴≤或24k -≥，16k ∴≥或8k ≤-，故答案为：(][),816,-∞-+∞.【点睛】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，()f x 在其区间上具有单调性的条件，属于容易题.17.已知()()2240()40x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()2(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是____________.【答案】(2,1)-【解析】【分析】判断函数()f x 的单调性，利用单调性()2(2)f a f a ->转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】()f x 在区间(,0],(0,)-∞+∞都是增函数，并且在0x =处函数连续，所以()f x 在R 上是增函数，()2(2)f a f a ->等价于222,20a a a a >+-<-，解得21a -<<.故答案为:(2,1)-【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.18.设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值． 【详解】xy = 0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥=当且仅当3xy=，即3,1x y==时成立，故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．四、解答题：本大题共5小题，共38分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤19.已知全集U=R，集合2{|3180}A x x x=--≥，5{|0}14xB xx+=≤-.（1）求()UC B A⋂.（2）若集合{|21}C x a x a=<<+，且B C C=，求实数a的取值范围.【答案】（1）(){|14UC B A x x⋂=≥或5}x<-（2）52a≥-【解析】试题分析：（1）解不等式求得A,B及UC B，根据交集的定义求解；（2）将问题转化为C B⊆求解，分C=∅和C≠∅两种情况进行讨论．试题解析：（1）由题意得{|3A x x=≤-或6}x≥，{|514}B x x=-≤<，∴{|5UB x x=<-或14}≥，∴(){|14UC B A x x⋂=≥或5}x<-．（2）∵B C C⋂=∴C B⊆，①当C=∅时，则有21a a≥+，解得1a≥．②当C≠∅时，则有2111425a aaa<+⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，解得512a-≤<．综上可得52a≥-．实数a的取值范围为5[)2-+∞，．20.已知幂函数()af x x=的图象经过点(.（1）求幂函数()f x 的解析式；（2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围.【答案】（1）())0f x x =≥；（2）(]1,3. 【解析】【分析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出a 的值，即可写出()f x 的解析式；（2）根据()f x 在定义域上的单调性，把不等式(1)(3)f a f a +>-化为关于a 的不等式组，求出解集即可．【详解】（1）幂函数()a f x x =的图象经过点(，2a ∴= 解得12a =， ∴幂函数())120x x f x ==≥；（2）由（1）知()f x 在定义域[)0,+∞上单调递增，则不等式()()13f a f a +>-可化为103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩解得13a ，∴实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于容易题．21.已知函数()211x f x x -=+． (Ⅰ)证明：函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数；(Ⅱ)求函数()f x 在区间[]1,17上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析【解析】【分析】(Ⅰ)先分离常数得出()321f x x =-+，然后根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，得出()()()()()121212311x x f x f x x x --=++，只需证明()()12f x f x >即可得出()f x 在()0,+∞上是增函数；(Ⅱ)根据()f x 在()0,+∞上是增函数，即可得出()f x 在区间[]1,17上的最大值为()17f ，最小值为()1f ，从而求出()17f ，()1f 即可．【详解】解：(Ⅰ)证明：()213211x f x x x -==-++； 设120x x >>，则：()()()()()121221123331111x x f x f x x x x x --=-=++++； 120x x >>；120x x ∴->，110x +>，210x +>；()()()12123011x x x x -∴>++；()()12f x f x ∴>；()f x ∴在区间()0,+∞上是增函数；(Ⅱ())f x 在()0,+∞上是增函数；()f x ∴在区间[]1,17上的最小值为()112f =，最大值为()11176f =． 【点睛】考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法． 22.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =--. （1）求函数()()f x x R ∈的解析式； （2）写出函数()()f x x R ∈的增区间（不需要证明）； （3）若函数()()[]()2212g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值. 【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩；（2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1+∞，，减区间：()1,1-，；（3）当1a ≥时，()min 24g x a =-，当0a ≤时，()min 12g x a =-，当01a <<时，2()min 21g x a a =--+.【解析】【分析】（1）根据奇函数定义和当0x 时，2()2f x x x =--，并写出函数在0x >时的解析式；（2）由（1）解析式得出函数的单调区间；（3）通过分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论．【详解】（1）函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴当0x >时，此时0x -<，()()f x f x ∴=--， 又当0x ≤时，()22f x x x =--， ()()()()22][22f f x x x x x x =--=----=-∴-，∴函数()()f x x R ∈的解析式为：()222,02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩. （2）函数()f x 的增区间：(),1-∞-，()1,+∞﹒减区间：()1,1-.（3）函数()()()[]()22222222221,2g x f x ax x x ax x a x x =-+=--+=-++∈， 二次函数对称轴为：1x a =+，当21a ≤+时，即1a ≥时，()()min 224g x g a ==-，当11a ≥+时，即0a ≤时，()()min 112g x g a ==-，当112a <+<时，即01a <<时，2()min (1)21g x g a a a =+=--+综上，当1a ≥时，()min 24g x a =-，当0a ≤时，()min 12g x a =-，当01a <<时，2()min 21g x a a =--+【点睛】本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的最值，本题难度不大，属于中档题．23.函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x －1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）()(15,1)1,17⋃－【解析】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f (－x )和f (x )的关系；（3）先利用f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2得到f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
2020-2021学年上学期高一期中数学试题及答案
2020-2021学年上学期高一期中数学试题及答案第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1•设全集为R，集合A = {x∖0<x<2}, B = {xlx≥l),则An(QB)=( )A.{xlθ<x≤l)B. {xlθ<x<l)C. {xll≤x<2}D. {xlθ<J<2)【答案】B【解析】由题意可得C R B = {x∣x<l}, 结合交集的泄义可得An (C R B) = {O<X<1},故本题选择B选项.2.已知幕函数/(X)过点(2,丄)，则/⑴在其定义域内( )4A.为偶函数B.为奇函数C.有最大值D.有最小值【答案】A【解析】设幕函数为fM = x∖代入点(2，1),即2u=l, Λf∕ = -2,4 4f(x) = χ-2,定义域为(-00,0)U(O,+OO),为偶函数且/(x) = x^2∈(0,+oo),故选A.3.幕函数f(x) = (m2-2m + ∖)x2m~l在(0,乜)上为增函数，则实数加的值为( )A. 0B. 1C. 1 或2D. 2【答案】D【解析】因为函数/(X)是幕函数，所以加2_2加+ 1 =],解得加=0或Hl = 2, 因为函数/(X)在(0,-KC)上为增函数，所以2∕w-l>0,即w>∣, I n = 2, 故选D・4.函数f(x) =Ig(X2-I)V-X2 +x + 2的定义域为(A. (-∞厂2) U(I,+∞) B ・(一2,1) C. (-∞,-l)U(2,+∞)D. (1,2)【答案】Dx 2-l>O 【解析】?^l<x<2, A 函数的左义域为(1,2)・【答案】Cα-lvθ OVaVl,得 ≥β≤"<l,故选 C.22(α-l)-2d ≥ IOg (I 2下而各组函数中是同一函数的是(^(Λ) = √X +1 √x -l【答案】A【解析】函数y = 4-2?与V = -X √Σ27的定义域均为(-O 0],且 y = √=2√ =^J-2x ∙ y/7 = -Xy∣-2x ‘所以两函数对应法则相同，故A 正确:函数V = (√7)2的左义域为[O, +S),函数V=IxI 的左义域为R , 所以两函数不是同一函数，故B 错误；2函数/(x) = X 的定义域为R ,函数g (X)=—的左义域为{x∣x≠O}t 所以两函数不是同一函数，故C 错误;5.若函数/U)=在R 上单调递减，则实数d 的取值范用是(-x fc +x+2>0【解析】若函数∕ω =(G-I)X-2α, X<2y = J-2χ3 与 y = -x√-2x(G-I)X -2G , x<2函数^(X) = √7+T.√7^T 的上义域为［i,4∙s),所以两函数不是同一函数，故D 错误,【解析］V fM 与gd)都是偶函数,∙∙J(χ)∙g(χ)也是偶函数, 由此可排除A 、D, 又由 X→-H>o 时，/(x)∙^(x)→→0 ,可排除 B, 故选C.8・IOg W 2 = «, IOg Jπ3 = ⅛,则加2网的值为( )A. 6B ・ 7 C. 12 D ・ 18【答案】C【解析】Tlog 川2 = α, log fπ3 = Z?, ∙∙∙"{=2, =3，Irr a ^ = 〃严〃/ = (Hi o )2Hi h =22×3 = 12,故选 C.9.若函数/(x) = log l (-x 2+4x + 5)在区间(3∕n -2√π + 2)内单调递增.则实数加的取值范围 为()函数/(x) = √2√^T的泄义域为［芈2 ,+oθ)U(-°°,-故选A.7.函数/(x) = log 2g(x) = -x 2+2 ,则函数f(x)∙g(x)的图象大致()【答案】C【答案】C【解析】解不等式-χ2+4x+5>0,即4x-5v0,解得一1VXV5, 内层函数W =→2+4.V + 5在区间(72)上单调递增，在区间(2,5)上单调递减, 而外层函数y = Iog 1 "在左义域上为减函数，2由复合函数法可知，函数fW = IOg I (→∙2÷4x + 5)的单调递增区间为(2,5), 2由于函数f(x) = IOg I (-X 2+ 4Λ∙+5)在区间(3m- 2, m + 2)上单调递增，-2≥24所以，3ιn -2<m + 2 9 解得一 Smv2,3//? + 2 ≤ 5 4因此,实数加的取值范围是［-,2),故选C.【答案】Br的+3 = 4 U-IOgM = 4【解析】因为/(α)=4,所以< C 或(C a≤0a>0故选B.11.已知定义在R 上的奇函数/(X)满足/(x+2) = -∕(x),当时［0,1］ , /(x) = 2x -l,则()A. /⑹ nV*)B. /⑹ vf(¥)v/(_7)22X^, +310.设函数fM = ↑t IIl-IOg2 九4 B. ［亍4 C. l-,2)弋，若/(¢/) = 4,则实数d 的值为( x>0A.B.D.1 16a≤0 a>0C. /(-7) < /(y) < /(6)D. /(y) < /(6) < /(-7)【答案】B【解析】由题意得,因为/(x+2) = -∕(x),则/(x+4) = ∕(x), 所以函数/S)表示以4为周期的周期函数， 又因为/⑴ 为奇函数，所以/(-X) =-/U),所以/(6) = /(4 + 2) = /(2) = -/(O) = 0, /(-7) = /(-8 + 1) = /(1) = 1,12.已知函数/(Λ-) = Iog 1 (?-av-«)对任意两个不相等的实数Λ-p x 2∈(-σ□,-l),都满3 2足不等式"" >0,则实数G 的取值范围是()A- I -I ^) B- (^-Il c∙ hl 41D ∙ [7》【答案】C瞬析嘶 詈严2>。
天津市2020-2021年高一数学期中考试试卷
高一数学期中考试试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”2．一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2∶3∶5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为（ ）A ．40B ．60C ．80D ．1003．已知m 为实数，i 为虚数单位，若()240m m i +->，则222m i i +=-（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1-4．已知向量a 、b 满足||1a =，||2b =，||2a b -=，则||a b +等于（ ）A ．1BCD 5．已知复数201811i zi i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i - 6．已知z C ∈，|2|1z -=，则|25|z i ++的最大值和最小值分别是（ ）A 1+1B ．3和1C ．D 和37．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）A ．15B ．25C ．825D ．9258．在ABC △中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=（ ）A ．14-B ．14C ．13-D ．13 9．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC △的面积是（ ）A B C D ．10．已知O 为ABC △的中心，3570OA OB OC ++=，则ACB ∠的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_______．12．设向量(,1)a m =，(1,2)b =，且222||||||a b a b +=+，则m =________．13．已知向量(1,2)a =-，(,1)b m =，若向量a b +与a 垂直，则m =_______．14．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2a =，3c =，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=_________．15．平面上三个力1F ，2F ，3F 作用于一点且处于平衡状态，已知11F N =，2F =，1F 与2F 的夹角为45°，则3F 的大小为________N ．16．如图所示，ABC △中，直线PQ 与边AB ，BC 及AC 的延长线分别交于点,,P M Q ，3BM MC =，AP t AB =，AQ s AC =，则13t s+=_________．三、解答题（本大题共4小题，共46分）17．在ABC △中，7a =，8b =，1cos 7B =-． （1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．18．已知()22sin ,cos a x x =，(3cos ,2)b x =，()f x a b =⋅．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50,70)的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率．20．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(,sin sin )m a b A C =+-，向量(,sin sin )n c A B =-，且m n ∥．（1）求角B 的大小；（2）设BC 的中点为D ，且AD =，求2a c +的最大值．。
天津市高一上学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则等于（ ） 1i z =--i z z 2zz-A ． B ． C ． D ．12i --2i -+12i -+12i +【答案】C 【详解】因为， 23241212z i ii z i ---+===-+--故选C ．2．已知向量若与平行，则实数的值是（ ） (1,1),(2,),a b x == a b + 42b a -x A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】D【详解】因为，所以由于与平行，(1,1),(2,)a b x == (3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=- a b + 42b a -得，解得.6(1)3(42)0x x +--=2x =3．设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状ABC ∆,A B C ，,a b c ，cos cos sin b C c B a A +=ABC ∆为 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得()2sin sin B C A +=，从而可得结果.sin 1,2A A π==【详解】因为，cos cos sin b C c B a A +=所以由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin B C C B A +=， ()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=所以，所以是直角三角形.sin 1,2A A π==【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.4．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ,m n ,αβ①；②； ,,,m n m n ααββαβ⊂⊂⇒∥∥∥,n m n m αα⊂⇒∥∥③；④．,,m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥∥,m n m n αα⊂⇒∥∥其中正确命题的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】A【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断.【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求相交，若没有，则可能相交，故①错,m n ,αβ误；对于②：因为线面平行的判定定理要求，若没有，则可能，故②错误； m α⊄m α⊂对于③：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故③错误； m n ,m n 对于④：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故④错误； m n ,m n 故选：A.5．已知三条直线a ，b ，c 和两个平面，下列命题正确的是（ ） ,αβA ．若，则 B ．若，则//,//a a b α//b α//,a b b α⊂//a αC ．若，则 D ．若，则//,//,//a a b b αβ//βα,,,//a b c b c αβαβ=⊂⊂ //a b 【答案】D【分析】根据线线、线面位置关系，结合平面基本性质判断A 、B 、C ；根据平面基本性质知b β⊄且，由线面平行的判定、性质有，即可判断D. α⊄c //c a 【详解】A ：，则或，错误； //,//a a b α//b αb α⊂B ：，则或，错误；//,a b b α⊂//a αa α⊂C ：，则可能相交或平行，错误；//,//,//a a b b αβ,βαD ：由为两个平面且、，故且， ,αβ,b c αβ⊂⊂//b c b β⊄α⊄c 由，则，又，，，则， b α⊂//c αa αβ⋂=c β⊂α⊄c //c a 所以，正确. //a b 故选：D6．△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,CA =6,则的值为AB BC ⋅A ．19B ．14C ．-18D ．-19【答案】D【解析】运用余弦定理，求得，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值． cos B 【详解】解：由于，，， 7AB =5BC =6CA =则，25493619cos 25735B +-==⨯⨯则 ||||cos()AB BC AB BC B π=-A AA． 1975()1935=⨯⨯-=-故选：．D 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，注意夹角的大小，考查余弦定理及运用，属于基础题和易错题．7．若用平行于某圆锥底的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（ ） A ．B ．C ．D ．14131234【答案】B【分析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，利用圆锥侧面的面积公式：即可r 2l 1222S r l π=⨯⨯求解.【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为， r 2l 则该圆锥的侧面积， 12222S r l rl ππ=⨯⨯=截得的小圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积，2rl 11122S r l rl ππ=⨯⨯=而圆台的侧面积．2113222S l S S rl rl r πππ=-=-=故两者侧面积的比值． 12112332rl S S rl ππ==故选：B8．已知三棱柱ABC ﹣A1B 1C 1AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于（ ） A ．8π B ．9πC ．10πD ．11π【答案】A【分析】由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°可得三角形ABC 的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积． 【详解】由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，由余弦定理可得： BC===∴，∠ACB ＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB 的中点，222AC BC AB +=设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，则r 1， 2AB==又， 11122ABC S BC AC ∆=⋅=⨯=所以V 柱＝S △ABC •AA 1AA 1＝2， =因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R ，则R 2＝r 2+（）2＝12+12＝2， 12AA 所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×2＝8π，故选：A ．【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题．9．如图所示，中，，点E 是线段AD 的中点，则 ABC A BD 2DC =AC (= )A ．B ．31AC AD BE 42=+ 3AC AD BE 4=+C ．D ．51AC AD BE 42=+ 5AC AD BE 4=+ 【答案】C【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．【详解】如图所示，，，，，． AC AD DC =+ 1DC BD 2= BD BE ED =+ 1ED AD 2=51AC AD BE 42∴=+ 故选C ．【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．如图，在平行四边形ABCD 中，，，，若M 、N 分别是边3BAD π∠=2AB =1AD =上的点，且满足，其中λ∈[0，1]，则的取值范围是CD AD 、MD NCAD DCλ==·AN BM →→（ ）A ．[﹣3，﹣1]B ．[﹣3，1]C ．[﹣1，1]D ．[1，3]【答案】A【详解】建立如图所示的以A 为原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴的直角坐标系， 则B （2，0），A （0，0），D （12，32）．∵满足则)22531·21222531(21222311324AN BM λλλλλλλλλ⎛⎛⎫=-⋅--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭=----=+-=+-）（）））（），)22531·21222531(21222311324AN BM λλλλλλλλλ⎛⎛⎫=-⋅--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭=----=+-=+-）（）））（因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：，则[0，1]为增区间，故当λ∈[0，1]时，12λ=- ．23[31]λλ+-∈--，本题选择A 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二、填空题11．若复数，则__________． 58z i =+4z i -=【答案】.13【详解】分析：由共轭复数的定义，可求得；根据复数运算和模的定义即可求值． 58z i =-详解：根据共轭复数定义 ，代入得 58z i =-58451213i i i --=-==点睛：本题考查了共轭复数的概念，复数模的求法，主要是计算，属于简单题．12．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为______________海里． 【答案】6【分析】由题意画出图形，求出相关量，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】记轮船的初始位置为，灯塔位置为， A B 20分钟后轮船的位置为，如图所示：C由题意得：，11863AC =⨯=， 1804020120CAB ∠=--=，BC =在中，由余弦定理得：ABC A 222cos 2AC AB BC CAB AC AB+-∠=⋅，12==-所以解得或（舍去）， 6AB =12AB =-灯塔与轮船原来的距离为6海里， 故答案为：6.13．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为__________. 【答案】169【分析】画图分析可得,该球的直径与圆柱的底面直径和高构成直角三角形,进而求得圆柱的底面半径,进而求得球的体积与圆柱的体积的比值.【详解】如图有外接球的体积,圆柱的底面直径故底面半径.故圆31432233Vππ=⨯=d ==r =柱体积.226V ππ=⨯=故球的体积与圆柱的体积的比值为. 3216369ππ=故答案为：169【点睛】本题主要考查了圆柱与外接球的关系,需要根据球的直径和圆柱的底面直径和高构成直角三角形进行求解.属于基础题.14．若等腰直角三角形的直角边长为，则以斜边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是2______【分析】依题意可知以斜边所在的直线为轴旋转一周得到两个圆锥拼接而成的图形，其中两圆锥的底面半径，根据锥体的体积公式计算可得.rh 【详解】如图等腰直角三角形，为斜边的中点，则， ABC D BDAC ⊥因为，所以2AB BC ==AD BD CD ===以斜边所在的直线为轴旋转一周得到两个圆锥拼接而成的图形，其中两圆锥的底面半径r =，h 所以几何体的体积.2212π312π3V r h ⨯⨯==⨯=15．己知、、、，A B C D 5AC BD ==AD BC ==，则三棱锥的体积是______．AB CD =D ABC -【答案】20【分析】构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，计算出长方体的长宽高，即可求得三D ABC -棱锥的体积．D ABC -【详解】由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，如图所示，D ABC-设长方体的长、宽、高分别为，，，a b c 则，解得，，， 2222222502541a b c a c b c ⎧++=⎪+=⎨⎪+=⎩3a =5b =4c =三棱锥的体积是∴D ABC -1143544352032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=故答案为：．20三、解答题16．已知向量，，，且，． (1,2)a = (3,)b x = (2,)c y = //a b a c ⊥(1)求向量、；b c(2)若，，求向量，的夹角的大小.2m a b =- n a c =+m n 【答案】(1)， (3,6)b = (2,1)c =-(2) 34π【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；x y （2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求． m n θmn 【详解】（1）解：因为，，，且，，(1,2)a = (3,)b x = (2,)c y = //a b a c ⊥所以，， 230x -⨯=220a c y ⋅=+=所以，，6x =1y =-所以，；(3,6)b = (2,1)c =-（2）解：设向量，的夹角的大小为．mn θ由题意可得，，，()()()22,43,61,2m a b =-=-=--(3,1)n a c =+=所以cos ||||m n m n θ⋅= 因为，所以． 0θπ≤≤34πθ=17．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知.ABC A sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和的值. ()sin 2A B -【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3πb =【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB =B =． π3（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得b ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()2sin A B -=详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理，可得， a b sinA sinB=bsinA asinB =又由，得，π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即，可得．π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭tanB =又因为，可得B =． ()0πB ∈，π3（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =， π3有，故b22227b a c accosB =+-=由，可得a <c ，故．π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sinA =cosA =因此 22sin A sinAcosA ==212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=1127-=点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18．如图，在菱形中，. ABCD 1,22BE BC CF FD ==(1)若，求的值；EF xAB y AD =+ 32x y +(2)若，，求.||6AB = 60BAD ∠=︒AC EF ⋅ 【答案】(1)1-(2)9-【分析】（1）由题意可知，即可求解； 1223EF AD AB =- （2），从而即可求解. AC AB AD =+ 12()()23AC EF AB AD AD AB ⋅=+⋅- 【详解】（1）因为在菱形中，. ABCD 1,22BE BC CF FD == 故， 1223EF EC CF AD AB =+=- 故，所以. 21,32x y =-=321x y +=-（2）显然，AC AB AD =+ 所以 12()()23AC EF AB AD AD AB ⋅=+⋅- ①， 22211326AB AD AB AD =-+-⋅ 因为菱形，且，，ABCD ||6AB = 60BAD ∠=︒故，. ||6AD = ,60AB AD =︒ 所以.66cos 6018AB AD ⋅=⨯⨯︒= 故①式. 2221166189326=-⨯+⨯-⨯=-故.9AC EF ⋅=- 19．鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥是一鳖臑，A BCD -其中，，，，且高AB BC ⊥AB BD ⊥BC CD ⊥AC CD ⊥AB =BC ==(1)求三棱锥的体积和表面积；A BCD -(2)求三棱锥外接球体积和内切球的半径．A BCD -【答案】(1)，表面积为3A BCD V -=(2)【分析】（1）利用公式可求体积及表面积.（2）利用补体法可求外接球的半径，从而可求外接球的体积，利用等积法可求内切球的半径.【详解】（1）由题设可得CD =AB =三棱锥的体积， A BCD -1113332A BCD DBC V S AB -=⋅⋅=⨯=A又AC ==三棱锥的表面积A BCD -BCD ABC ACD ABD S S S S S =+++A A A A. =+=（2）由条件知，可将三棱锥补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点，A BCD -因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球．即为三棱锥外接球的直径.因为外接球体积为. AD =A BCD -343π=记内切球的球心为，连结，，，，得到四个等高的三棱锥，O OA OB OC OD 且该高为内切球的半径，则，r A BCD O ABD O ACD O ABC O BCD V V V V V -----=+++得， (11333A BCD V S r r -=⋅⋅=⨯⋅=所以 r =故三棱锥A BCD -20．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． ABC A A B C a b c ()223sinsin 222C B bc b c b c a +=++（1）求角的大小；A （2）若，求的取值范围． c a >a b m c +=【答案】（1）；（2）．π3A =12m <<【分析】（1）利用降幂公式化简，再根据余弦定理即可求解；（2）根据正弦定理及三角恒等变换可化为，结合即可求出a b m c +=12m =π2π33C <<m 的取值范围.【详解】（1）由 ()()221cos 1cos cos cos sin sin 222222b C c B C B b c b C c B b c --+++=+=- 2222222222222a b c a c b b c b c a b c a a a +-+-++++-=-=-=所以，可得， ()322b c a bc b c a +-=++()223b c a bc +-=即．222b c a bc +-=由余弦定理得， 2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又，所以． ()0,πA ∈π3A =（2）由sin sin sin AB mC +===12=． 111222===因为，所以， c a >π3c >又，所以， 2π3B C +=π2π33C <<所以， ππ623C <<tan 2C < 1tan 2C <<所以．12m <<【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.。
天津市南开区2014-2021学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
2021-2022学年天津市南开区高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U（S∪T）等于（）A．∅B．{2，4，7，8} C．{1，3，5，6} D．{2，4，6，8}2．（4分）下列函数中与函数y=x表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y =C．y =D．y=3．（4分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=﹣x2C．y=2x D．y=|x|4．（4分）函数y=lnx﹣6+2x的零点肯定位于如下哪个区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）5．（4分）已知f（x）=3x，下列运算不正确的是（）A．f（x）•f（y）=f（x+y）B．C．f（x）•f（y）=f（x•y）D．f（log34）=46．（4分）若函数y=f（x）的定义域是[0，3]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1）B．[0，1]C．[0，1）∪（1，9]D．（0，1）7．（4分）函数y=log a x（a＞0，a≠1）的反函数的图象过点，则a的值为（）A．2B．1C．D．38．（4分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．B．C．D．0.993.3＜log20.8 l＜log3π9．（4分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，f（x）等于（）A．﹣x（1﹣x）B．x（1﹣x）C．﹣x（1+x）D．x（1+x）10．（4分）设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．（，）D．[0，]二、填空题：．（本大题共5个小题，每小题，4分，共20分．请将答案填在题中横线上）11．（4分）函数f（x）=3+a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象总是经过定点．12．（4分）若2a=5b=10，则=．13．（4分）函数y=的定义域为．14．（4分）已知函数f（x）=kx2﹣4x﹣8在[5，20]上是单调函数，则实数k的取值范围是．15．（4分）已知函数在区间（0，1）内恒有f（x）＞0，则函数的单调递增区间是．三、解答题：（本大题共5个小题、，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（6分）计算：（1）；（2）lg25+lg2×lg50+（lg2）2．17．（8分）设集合A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}，R为实数集（1）当m=3时，求A∩B与A∪（∁R B）；（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．18．（8分）已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）+g（x）的定义域；（Ⅱ）推断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅲ）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．19．（9分）已知函数，（Ⅰ）求f（f（﹣3））及f（1﹣log0.253）的值；（Ⅱ）当﹣5≤x＜3时，在坐标系中作出函数f（x）的图象并求值域．20．（9分）设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且．（Ⅰ）求f（3）的值；（Ⅱ）令t=log3x，将f（x）表示成以t为自变量的函数；并由此，求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．2021-2022学年天津市南开区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则∁U（S∪T）等于（）A．∅B．{2，4，7，8} C．{1，3，5，6} D．{2，4，6，8}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先求出S∪T，接着是求补集的问题．解答：解：∵S∪T={1，3，5，6}，∴C U（S∪T）={2，4，7，8}．故选B．点评：本题属于数集为平台，求集合的并集补集的基础题，也是高考常会考的题型．2．（4分）下列函数中与函数y=x表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y =C．y =D．y=考点：推断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用．分析：确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可推断出答案．解答：解：C．∵=x，与已知函数y=x的定义域和对应法则完全一样，∴二者是同一函数．故选C．点评：本题考查了函数的定义，利用确定函数的三要素即可推断出．3．（4分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=﹣x2C．y=2x D．y=|x|考点：函数奇偶性的推断；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数的奇偶性和单调性分别进行推断．解答：解：A ．函数的定义域为[0，+∞），函数为非奇非偶函数，∴A错误．B．函数y=﹣x2，为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，∴B错误．C．函数y=2x在（0，+∞）上单调递增，函数为非奇非偶函数，∴C错误．D．函数y=|x|为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，∴D正确．故选：D．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的推断，要求娴熟把握常见函数的奇偶性和单调性．4．（4分）函数y=lnx﹣6+2x的零点肯定位于如下哪个区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；规律型．分析：由函数零点存在的条件对各个区间的端点值进行推断，找出符合条件的选项即可．解答：解：当x=1，2，3，4时，函数值y=﹣4，ln2﹣2，ln3，1+ln4由零点的判定定理知函数的零点存在于（2，3）内故选B点评：本题考查函数零点的判定定理，解题的关键是理解并把握零点的判定定理以及用它推断零点的步骤．5．（4分）已知f（x）=3x，下列运算不正确的是（）A．f（x）•f（y）=f（x+y）B．C．f（x）•f（y）=f（x•y）D．f（log34）=4考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数运算法则逐项验证即可．解答：解：f（x）•f（y）=3x•3y=3x+y=f（x+y），选项A正确；==3x﹣y=f（x﹣y），选项B正确；f（log34）==4，选项D正确；f（x）•f（y）=3x•3y=3x+y≠3xy=f（xy），所以选项C不正确；故选C．点评：本题考查指数函数的性质及其运算，考查同学的运算力量，属基础题．6．（4分）若函数y=f（x）的定义域是[0，3]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1）B．[0，1]C．[0，1）∪（1，9]D．（0，1）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数y=f（x）的定义域是[0，3]，则f（3x）中3x∈[0，3]，以及分式的分母不等于0，从而可求出所求函数的定义域．解答：解：∵函数y=f（x）的定义域是[0，3]，∴要使g（x）=有意义则解得0≤x＜1∴函数g（x）=的定义域是[0，1）故选A．点评：本题主要考查抽象函数的定义域，以及不等式的解法，同时考查了运算求解的力量，属于简洁题．7．（4分）函数y=log a x（a＞0，a≠1）的反函数的图象过点，则a的值为（）A．2B．1C．D．3考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：利用互为反函数的图象的性质即可解出．解答：解：∵函数y=log a x（a＞0，a≠1）的反函数的图象过点，∴点在原函数的图象上，∴，∴，解得a=．故选C．点评：娴熟把握互为反函数的图象的性质是解题的关键．8．（4分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．B．C．D．0.993.3＜log20.8 l＜log3π考点：对数值大小的比较；不等关系与不等式．专题：计算题．分析：利用指数函数和对数函数的运算性质，逐一比较三个数与0和1的关系即可得到答案．解答：解：∵0＜0.993.3＜0.990=1，log3π＞log33=1，log20.8＜log21=0．∴．故选：C．点评：本题考查了对数值的大小比较，考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，是基础题．9．（4分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x（1+x），则当x＜0时，f（x）等于（）A．﹣x（1﹣x）B．x（1﹣x）C．﹣x（1+x）D．x（1+x）考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：当x＜0，则﹣x＞0，利用函数是奇函数，代入整理即可求f（x）．解答：解：当x＜0时，﹣x＞0，此时f（﹣x）=﹣x（1﹣x），∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x），即f（x）=x（1﹣x），x＜0．故选：B．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数是奇函数，将x＜0转化为﹣x＞0，是解决本题的关键．10．（4分）设集合A=[0，），B=[，1]，函数f （x）=，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，则x0的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．（，）D．[0，]考点：函数的值；元素与集合关系的推断．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：利用当x0∈A时，f[f （x0）]∈A，列出不等式，解出x0的取值范围．解答：解：∵0≤x0＜，∴f（x0）=x0 +∈[，1]⊆B，∴f[f（x0）]=2（1﹣f（x0））=2[1﹣（x0+）]=2（﹣x0）．∵f[f（x0）]∈A，∴0≤2（﹣x0）＜，∴＜x0≤．又∵0≤x0＜，∴＜x0＜．故选C．点评：本题考查求函数值的方法，以及不等式的解法，属于基础题．二、填空题：．（本大题共5个小题，每小题，4分，共20分．请将答案填在题中横线上）11．（4分）函数f（x）=3+a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象总是经过定点（1，4）．考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：利用指数函数过定点（0，1），即a0=1，求出定点的坐标．解答：解：函数f（x）=3+a x﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过的定点坐标与a无关，故x﹣1=0，故定点的坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．点评：本题考查指数函数图象的特殊点（0，1），即a0=1．12．（4分）若2a=5b=10，则=1．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：首先分析题目已知2a=5b=10，求的值，故考虑到把a和b用对数的形式表达出来代入，再依据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．解答：解：由于2a=5b=10，故a=log210，b=log510=1故答案为1．点评：此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式消灭，属于基础性试题同学们需要把握．13．（4分）函数y=的定义域为．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：令y=，u=log0.5（4x﹣3），必需满足，解之即可．解答：解：∵log0.5（4x﹣3）≥0，∴0＜4x﹣3≤1，解之得．∴函数y=的定义域为．故答案为．点评：本题考查了复合函数的定义域，把握函数y=和y=log a x的定义域是解决问题的关键．14．（4分）已知函数f（x）=kx2﹣4x﹣8在[5，20]上是单调函数，则实数k的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：①当k=0时，f（x）是一次函数，在R上是减函数，满足条件．②当k＞0时、③k＜0时，依据二次函数对称轴，利用二次函数的性质分别求得实数k的取值范围，综合可得结论．解答：解：①当k=0时，f（x）=﹣4x﹣8，满足在[5，20]上是单调函数．②当k＞0时，由于函数f（x）=kx2﹣4x﹣8的对称轴为x=，由题意可得≤5，或≥20，解得k≥，或k≤．综合可得，k≥，或0＜k≤．③当k＜0时，由于对称轴为x=＜0，明显满足f（x）=kx2﹣4x﹣8在[5，20]上是单调递减函数．综合①②③可得，k≥，或k≤，故答案为：（﹣∞，]∪[，+∞）．点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的单调性，体现了分类争辩的数学思想，属于中档题．15．（4分）已知函数在区间（0，1）内恒有f（x）＞0，则函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣1）．考点：函数恒成立问题；复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得0＜a＜1，令t=x2﹣2x﹣3＞0，求得函数y的定义域，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域上的减区间解答：解：∵当0＜x＜1时，1＜2x＜2，∴0＜2x﹣1＜1．∵函数在区间（0，1）内恒有f（x）＞0，∴0＜a＜1．令t=x2﹣2x﹣3＞0，求得x＜﹣1，或x＞3，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故函数的单调递增区间即为函数t=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 在（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）上的减区间．利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 在（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）上的减区间为（﹣∞，﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣1）．点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．三、解答题：（本大题共5个小题、，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（6分）计算：（1）；（2）lg25+lg2×lg50+（lg2）2．考点：有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质．专题：计算题．分析：（1）由指数幂的含义和运算法则，，=|3﹣π|，求解即可．（2）利用对数的运算法则，各项都化为用lg2表达的式子即可求解．解答：解：（1）==1+2+π﹣3=π（2）lg25+lg2×lg50+（lg2）2=2﹣2lg2+lg2（2﹣lg2）+（lg2）2=2．点评：本题考查指数和对数式的化简和求值、考查指数和对数的运算法则、属基本运算的考查．17．（8分）设集合A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}，R为实数集（1）当m=3时，求A∩B与A∪（∁R B）；（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．考点：交集及其运算；交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：（1）求出集合A，集合B，再求出集合B的补集，进行交，并运算即可．（2）依据集合A、B之间的包含关系，分两种状况分析求解．解答：解：A=[﹣3，4]（1）当m=3时，B=[2，7]，C R B=（﹣∞，2）∪（7，+∞），∴A∩B=[2，4]，A∪（C R B）=（﹣∞，4]∪（7，+∞）．（2）∵A∩B=B⇒B⊆A，当B=∅时，m ＜；当B≠∅时，即m ≥时，⇒≤m≤2．综上m≤2．点评：本题考查集合的交、并、补集运算．利用数形结合计算直观、形象．18．（8分）已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）+g（x）的定义域；（Ⅱ）推断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅲ）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．考点：函数奇偶性的推断；函数的定义域及其求法；一元二次不等式的解法．专题：常规题型；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由题意求得函数f（x）+g（x）=log a（x+1）+log a（1﹣x），由求得函数的定义域．（Ⅱ）由于函数f（x）+g（x）的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x），可得f（x）+g（x）为偶函数．（Ⅲ）f（x）+g（x）＜0 等价于log a（﹣x+1）（1+x）＜0．再分当a＞1时、当0＜a＜1两种状况，分别求得使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．解答：解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）+g（x）=log a（x+1）+log a（1﹣x）=log a（x+1）（1﹣x），由解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．（Ⅱ）由于函数f（x）+g（x）=log a（x+1）（1﹣x）的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）+g（﹣x）=log a（﹣x+1）（1+x）=f（x）+g（x），故f（x）+g（x）为偶函数．（Ⅲ）f（x）+g（x）＜0 等价于log a（﹣x+1）（1+x）＜0．当a＞1时，f（x）+g（x）＜0，等价于0＜（﹣x+1）（1+x）＜1，等价于，解得﹣1＜x＜0，或0＜x＜1，即使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为（﹣1，0）∪（0，1）．当0＜a＜1时，f（x）+g（x）＜0 等价于（﹣x+1）（1+x）＞1，化简可得x2＜0，故x不存在，即使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为∅．点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的推断，一元二次不等式的解法，体现了等价转化、分类争辩的数学思想，属于中档题．19．（9分）已知函数，（Ⅰ）求f（f（﹣3））及f（1﹣log0.253）的值；（Ⅱ）当﹣5≤x＜3时，在坐标系中作出函数f（x）的图象并求值域．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数图象的作法；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用分段函数分别代入进行求值即可．（Ⅱ）依据分段函数的表达式求值域即可．解答：解：（Ⅰ）由分段函数可知f（f（﹣3））=f（2）及=5﹣22=5﹣4=1，f（1﹣log0.253）=f（1+）=f（log）=5﹣2；（Ⅱ）函数图象为：①当﹣5≤x＜0，f（x）=﹣x﹣1∈（﹣1，4]，②当x=0时，f（0）=2，③当0＜x＜3时，f（x）=5﹣2x∈（﹣3，4），综上f（x）的值域为（﹣3，4]．点评：本题主要考查分段函数的应用，留意分段函数的取值范围，比较基础．20．（9分）设函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且．（Ⅰ）求f（3）的值；（Ⅱ）令t=log3x，将f（x）表示成以t为自变量的函数；并由此，求函数f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）依据函数f（x）的解析式求得f（3）的值．（Ⅱ）令t=log3x，则﹣2≤t≤2，且f（x）=t2+3t+2，令g（t）=t2+3t+2=﹣，利用二次函数的性质求得g（t）的最值以及此时对应的x的值．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=log3（9x）•log3（3x），且，故f（3）=log327•log39=3×2=6．（Ⅱ）令t=log3x，则﹣2≤t≤2，且f（x）=（log3x+2）（1+log3x）=t2+3t+2，令g（t）=t2+3t+2=﹣，故当t=﹣时，函数g（t ）取得最小值为﹣，此时求得x==；当t=2时，函数g（t）取得最大值为12，此时求得x=9．点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，属于中档题．。
2020-2021学年高一上学期数学期中考试卷含答案
【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．将正确答案填写在答题卡〕1、全集U R =，(){}30x x x N =+<，{}1x x M =<-，那么图中阴影部分表示的集合是〔 〕 A 、{}31xx -<<- B 、{}30x x -<<C 、{}10x x -≤< D 、{}3x x <-2、函数log 12x y x-=-的定义域是〔 〕A 、(]1,2B 、()1,2C 、()2,+∞D 、(),2-∞3、甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t 的函数关系如下图，那么以下说法正确的选项是〔 〕A 、甲比乙先出发B 、乙比甲跑的路程多C 、甲、乙两人的速度相同D 、甲比乙先到达终点 4、设()338x f x x =+-，用二分法求方程3380xx +-=在()1,2x ∈内近似解的过程中得()10f <，()1.50f >，()1.250f <，那么方程的根落在区间〔 〕A 、()1,1.25B 、()1.25,1.5C 、()1.5,2D 、不能确定5、函数()y f x =的定义域是()1,4-，那么函数()21y f x =-的定义域是〔 〕A 、()5,5- B 、()()5,00,5- C 、()0,5 D 、()5,5-6、函数()()()f x x a x b =--〔其中a b >〕，假设()f x 的图象如以下图〔左〕所示，那么()x g x a b=+的图象是〔 〕A 、B 、C 、D 、7、函数()y f x =的对应关系如下表，函数()y g x =的图象是如以下图的曲线C AB ，其中()1,3A ，()2,1B ，()C 3,2，那么()2f g ⎡⎤⎣⎦的值为〔 〕A 、3B 、2C 、1D 、08、假设奇函数()f x 在[]1,5上为增函数，且有最小值8，那么它在[]5,1--上〔 〕 A 、是减函数，有最小值8- B 、是增函数，有最小值8- C 、是减函数，有最大值8- D 、是增函数，有最大值8-9、幂函数26m m y x --=〔m ∈Z 〕的图象与x 轴无公共点，那么m 的值的取值范围是〔 〕A 、{}1,0,1,2-B 、{}2,1,0,1,2,3--C 、{}2,1,0,1--D 、{}3,2,1,1,2---10、把函数1y x =的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为〔 〕 A 、321x y x -=- B 、211x y x -=- C 、211x y x +=-+ D 、231x y x +=+11、函数()()2ln 43f x x x =+-的单调递减区间是〔 〕A 、3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B 、3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C 、31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D 、3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭12、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数()R 1,Q 0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，那么关于函数()f x 有如下四个结论：①()0f f x =⎡⎤⎣⎦；②函数()f x 是偶函数； ③任取一个不为零的有理数T ，()()f x f x +T =对任意的R x ∈恒成立；④存在三个点()()11,x f x A ，()()22,x f x B ，()()33C ,x f x ，使得C ∆AB 为等边三角形．其中正确结论的个数是〔 〕A 、1B 、2C 、3D 、4【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13、全集{}U 1,2,3,4,5=，{}1,2,3A =，那么U A 的子集个数有 个．14、计算()()()4630.25433233282013⨯+-⨯--=．15、函数2y x =与函数ln y x x =在()0,+∞上增长较快的是 ．16、某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，如下图．假设其关系为指数函数，并给出以下说法： ①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过302m ； ③野生水葫芦从42m 蔓延到122m 只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到22m ，32m ，62m 所需的时间分别为1t ，2t ，3t ，那么有123t t t +=；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有 ．〔请把正确说法的序号都填在横线上〕 【三】解答题〔本大题共6小题，共70分．〕 17、〔此题总分值12分〕设集合{}R 24a a A =∈=，(){}22R 210x xm x m B =∈-++<．〔1〕假设4m =，求A B ；〔2〕假设A B =B ，求实数m 的取值范围．18、〔此题总分值12分〕()f x 是定义在()0,+∞上的减函数，且满足以下条件：()()()f xy f x f y =+，()21f =．〔1〕求证：()83f =；〔2〕求不等式()()()32f x f f x >+-的解集．19、〔此题总分值12分〕如图，∆AOB 是边长为2的正三角形，记∆AOB 位于直线x t =〔0t >〕左侧的图形的面积为()f t ．试求()f t 的解析式，并画出()y f t =的图象．20、〔此题总分值10分〕函数()1lg1xf x x +=-．〔1〕判断并证明()f x 的奇偶性；〔2〕求证：()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭； 〔3〕a ，()1,1b ∈-，且11a b f ab +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，21a b f ab -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求()f a ，()f b 的值．21、〔此题总分值12分〕〔1〕对任意[]1,1x ∈-，函数()()2442f x x a x a=+-+-的值恒大于零，求a 的取值范围． 〔2〕对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a=+-+-的值恒大于零，求a 的取值范围．22、〔此题总分值12分〕函数()22f x x a x x =-+，R a ∈． 〔1〕假设函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；〔2〕假设存在实数[]2,2a ∈-，使得关于x 的方程()()20f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．选择CBDBB ABDAD CC填空 12.4 14.72 15.y=x2 16. 1,2,4[ 17.解：由题意知{}{}|242a A a R =∈==．…………1分〔1〕当4m =时，{}22|2(1)0B x R x m x m =∈-++<{}|28x x =<<．…………2分∴{}|28A B x x =<<．…………4分〔2〕∵A B B =，∴B A ⊆，………5分 此时必有B =∅．…………7分∴22[2(1)]44(21)0m m m ∆=-+-=+≤,…………8分 得12m ≤-，…………9分 故实数m 的取值范围为1(,2⎤-∞-⎥⎦．………10分 18、〔1〕证明： 由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2) ……………3分又∵f(2)＝1 …………4分 ∴f(8)＝3 ……………5分 (2)解：∵f(8)＝3 ∴f(x)>f(x －2)＋f(8)＝f(8x －16) ……………7分 ∵f(x)是〔0，+∞〕上的减函数 ∴8(2)08(2)x x x ->⎧⎨>-⎩ ………………………10分解得167x > (11)分 ∴不等式的解集是167x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ ………12分19. 解：设直线()0>=t t x 交OA 于点C ，交OB 于点D①当10≤<t 时，OAB ∆位于直线()0>=t t x 左侧的图形如图①所示，那么有()102323)(2≤<=•===∆t t t t OCD S t f y②当21≤<t 时，OAB ∆位于直线()0>=t t x 左侧的图形如图②所示，那么有()()[]())21(32232232232)(2≤<+--=-•--•=-==∆∆t t t t ACD S OAB S t f y③当2>t 时，OAB ∆位于直线()0>=t t x 左侧的图形如图③所示，那么有)2(3232)(>=•===∆t OAB S t f y〔图①〕 〔图②〕∴综上所述，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--==,3,3223,23)(22t t t f y函数的图像为.2,21,10>≤<≤<t t t∴f(a)+f(b)=1，()()()1a bf a f b f ab -+-=-， ∴()()2f a f b +-=，………8分∵()()f b f b -=-，∴()()2f a f b -=，………9分解得31(),()22f a f b ==-.………10分 21.解：〔1〕函数()()a x a x x f 2442-+-+=的对称轴为2424aa x -=--=.………1分①当124-<-a，即6>a 时，………2分()x f 的值恒大于0等价于()()()0241411>-+-⨯-+=-a a f ，解得3<a ，………3分不存在符合条件的a ；………4分 ②当1241-≤-≤a，即62≤≤a 时，………5分只要()024********>-+-⨯-+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a a f ，即02<a ，………6分不存在符合条件的a ；③当124>-a，即2<a 时，只要()()024411>-+-+=a a f ，即1<a ，故有1<a .………7分 综上可知，当1<a 时，对任意[]1,1-∈x ， ………8分函数()()a x a x x f 2442-+-+=的值恒大于0. ………9分 ()()()44224422+-+-=-+-+=x x a x a x a x x f .令()()4422+-+-=x x a x a g .………11分 由题意，在[]1,1-上，()a g 的值恒大于0，()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-+-=>+-+-⨯-=-∴，，0442104412122x x x g x x x g ………12分解得1<x 或3>x .………13分故当1<x 或3>x 时，对任意的[]1,1-∈a ，函数()x f 的值恒大于0. ………14分 22.〔1〕22(22)(2)()(22)(2)x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥=⎨-++<⎩， ………… 1分 当2x a ≥时，()y f x =的对称轴为：1x a =-； …………2分 当2x a <时，()y f x =的对称轴为：1x a =+； ………… 3分 ∴当121a a a -≤≤+时，()y f x =在R 上是增函数，即11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数； ………… 4分 〔2〕方程()(2)0f x tf a -=的解即为方程()(2)f x tf a =的解．………… 5分 ①当11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数，∴关于x 的方程()(2)f x tf a =不可能有三个不相等的实数根； ………… 6分 ②当1a >时，即211a a a >+>-，∴()y f x =在(,1)a -∞+上单调增，在(1,2)a a +上单调减，在(2,)a +∞上单调增， ∴当(2)(2)(1)f a tf a f a <<+时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即244(1)a t a a <⋅<+，∵1a >∴7分∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t h a <<， …………8分在(1,2]上单调增9分 ③当1a <-时，即211a a a <-<+，∴()y f x =在(,2)a -∞上单调增，在(2,1)a a -上单调减，在(1,)a -+∞上单调增，∴当(1)(2)(2)f a tf a f a -<<时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即2(1)44a t a a --<⋅<，∵1a <-∴∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根，∴max 1()t g a <<，又可证在[2,1)--上单调减∴…………11分…………12分。