专题02 函数图象中的面积计算问题(解析版)

专题02 函数图象中的面积计算问题

几种常见面积的计算方法： 1. 三角形的一边在x 轴上时，

S △ABC =

1

2

B A

C x x y -⋅； 2. 三角形的一边在y 轴上时，

S △ABC =

1

2

B A

C y y x -⋅； 3. 割补法求解

（1）三角形一个顶点在原点处，

S △ABO =()1

2A B OE x x ⋅⋅+； S △ABO =()1

2

A B OF y y ⋅⋅+.

（2）割补法

S △ABO =

()1

2A B OC y y ⋅⋅-； S △ABO =()1

2

B A OD x x ⋅⋅-.

（3）补法求面积

1. （2019·成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1

52

y x =+和2y x =-的图象交于点A ，反比例函数k

y x

=

的图象经过点A . （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数152y x =+的图象与反比例函数k

y x

=的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求△ABO 的面积.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵一次函数1

52

y x =

+和2y x =-的图象交于点A ， ∴15

2

2y x y x

⎧

=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：24x y =-⎧⎨=⎩，

即A (－2,4)，

将点A (－2,4)代入k

y x

=

中，得：k =－8， 故反比例函数的表达式为：8

y x

=-；

（2）联立152y x =+，8

y x

=-得：

1212

2841x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， 即B (－8,1).

过点B 作BC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ， ∴S △OAD =S △OBC ， ∴S △OAB =S 梯形ABCD ， =（BC +AD ）×CD ÷2 =（1+4）×6÷2=15.

2.（2019·四川凉山州中考）如图，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝4

x

的图象相交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）

A ．8

B ．6

C ．4

D ．2

【答案】C

.

【解析】解：由反比例函数意义，可得：S △ABO =S △BOC =2， ∴S △ABC =4. 故答案为：C .

3.（2019·四川南充中考）双曲线x

k

y =

（k 为常数，且0≠k ）与直线b x y +-=2交于),1(),2,2

1

(n B m m A --两点.（1）求k 与b 的值；

（2）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点E 为CD 的中点，求△BOE 的面积.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵点1

(,2)2

A m m --在直线y =－2x +b 上， ∴12()22

m b m --+=-，解得b =－2， ∴y =－2x －2，

∵点B （1，n ）在直线y =－2x －2上， ∴n =－4， ∴B （1，－4），

∵B （1，－4）在双曲线上， ∴k =－4.

（2）直线y =－2x －2交x 轴于C （－1,0），交y 轴于D （0，－2）， ∴S △COD =1|2||1|2

1=-⨯-⨯ ∵点E 为CD 的中点，

∴S △COE =

12S △COD =12， ∵S △COB =1

|1||4|22

⨯-⨯-=.

∴S △BOE =S △COB －S △COE =2－13

22

=.

4.（2019·浙江宁波中考）如图，过原点的直线与反比例函数y＝k

x

（k＞0）的图象交于A，B两点，

点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B 作AE的垂线，垂足为E，连结DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为．

【答案】6.

【解析】解：如图，连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，

∵过原点的直线与反比例函数y＝k

x

（k＞0）的图象交于A，B两点，

∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，

∵BE⊥AE，

∴OE＝OA，

∴∠OAE＝∠AEO，

∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠AEO，

∴AD∥OE，

∴S△ACE＝S△AOC，

∵AC ＝3DC ，△ADE 的面积为8， ∴S △ACE ＝S △AOC ＝12， 设点A （m ，

k m

）， ∵AC ＝3DC ，DH ∥AF ， ∴3DH ＝AF ， ∴D （3m ，

3k m

）， ∵CH ∥GD ，AG ∥DH ， ∴△DHC ∽△AGD ， ∴S △HDC ＝

1

4

S △ADG ， ∵S △AOC ＝S △AOF +S 梯形AFHD +S △HDC

＝

12k +1

2（DH +AF ）×FH +S △HDC ＝12k +12×43k m ×2m +112243k m m ⨯⨯⨯ ＝12k +43k +1

6

k ＝12， ∴2k ＝12，解得：k ＝6； 故答案为6.

5.（2019·甘肃中考）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝

m

x

的图象相交于A （﹣1，n ）、B （2，﹣1）两点，与y 轴相交于点C ．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积； （3）若M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y ＝m

x

上的两点，当x 1＜x 2＜0时，比较y 2与y 1的大小关系．