专题02 函数图象中的面积计算问题(解析版)
一次函数之面积问题 (讲义及答案)
一次函数之面积问题（讲义）➢课前预习1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，2)，B(3，5)，C(6，3)，求△ABC的面积．2.如图，直线l1：y=-3x+3与x轴交于点A，直线l2：362y x=-与x轴交于点B，直线l1，l2相交于点C．在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ABP 与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标．➢知识点睛1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用_____________的线，通常有以下三种思路：①__________________（规则图形）；②__________________（分割求和、补形作差）；③__________________（例：同底等高）．2.坐标系中面积问题的处理方法举例①割补求面积（铅垂法）：B1()2APB B AS PM x x=⋅⋅-△②转化求面积：l1l2如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．➢精讲精练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(-1，3)，B(3，-2)，则△AOB的面积为___________．2.如图，直线y=-x+4与x轴、y S△PAB=___________．第2题图第3题图3.如图，直线AB：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，B，直线CD：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，D，直线AB与直线CD交于点P．若S△APD=4.5，则k的值为__________．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，求四边形OABC的面积．5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1，l2相交于点A(2，1)，点B(8，4)在l1上，l2的表达式为y=2x-3．C为l2上的一个动点，且在点A的右侧，若△ABC的面积为9，求点C的坐标．6.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=-2x+3相交于点A，点B在直线l1上，且横坐标为4．C为l2上的一个动点，且在点A的左侧，若△ABC的面积为9，则点C的坐标为_____________．7.如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(1，2)，则坐标轴上是否存在点P，使S△ABP =S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8.已知直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，以A为直角顶点，线段AB为腰在第一象限内作等腰Rt△ABC，P为直线x=1上的动点，若△ABP 的面积与△ABC的面积相等，则点P的坐标为______________．【参考答案】➢ 课前预习1.1322. P (6，3) ➢ 知识点睛 1. 横平竖直①公式法；②割补法；③转化法 ➢ 精讲精练 1. 72 2. 8 3. 52 4. 245.C (4，5)6. (-1，5)7. 存在，点P 的坐标为51(0)(50)(0)(10)22--，，，，，或， 8. (13)(12)-，或，。
二次函数-面积问题备战2023年中考数学考点微专题
考向3.10 二次函数-面积问题例1、（2021·四川雅安·中考真题）已知二次函数223y x bx b =+-． （1）当该二次函数的图象经过点1,0A 时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴的交点为点C ,点P 从点A 出发在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值;（3）若对满足1≥x 的任意实数x ，都使得0y ≥成立，求实数b 的取值范围．解：（1）把1,0A 代入223y x bx b =+-， 得：20123b b =+-，解得：b =1，∴该二次函数的表达式为：223y x x =+-； （2）令y =0代入223y x x =+-， 得：2023x x =+-， 解得：11x =或23x =-，令x =0代入223y x x =+-得：y =-3， ∴A (1，0)，B (-3，0)，C (0，-3)， 设运动时间为t ，则AP =2t ，BQ =t ， ∴BP =4-2t ，过点M 作MQ ⊥x 轴， ∵OB =OC =3， ∴∠OBC =45°，∴BMQ 是等腰直角三角形，∴MQ =22BQ =22t ， ∴△BPQ 的面积=()11222242BP MQ t t -⋅=⋅=()222122t --+，∴当t =1时，△BPQ 面积的最大值=22；（3）抛物线223y x bx b =+-的对称轴为：直线x =-b ，开口向上， 设2()23y f x x bx b ==+-，∵对1≥x 的任意实数x ，都使得0y ≥成立，∴()110b f -≤⎧⎨≥⎩或()10b f b ->⎧⎨-≥⎩，∴-1≤b ≤1或-3≤b ＜-1， ∴-3≤b ≤1．1、二次函数面积问题的几种形式（1）直接用面积公式；（2）三角形的面积等于铅直高度与水平宽度积的一半；(3)平行线等面积法（通过做平行线辅助线完成）。
函数图像与坐标轴围成的三角形的面积专题训练解析
一次函数题型总结(二)1、函数y=-5x+2与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。
2.已知直线y =x +6与x 轴、y 轴围成一个三角形，则这个三角形面积为 ___ 。
3、已知：在直角坐标系中，一次函数y=233+-x 的图象分别与x 轴、y 轴相交于A 、B. 若以AB 为一边的等腰△ABC 的底角为30。
点C 在x 轴上，求点C 的坐标.4、如图，直线y =2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .求A ，B 两点的坐标；过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP =2OA ， 求ΔABP 的面积.5．在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形, 叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与 x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形.（1）求函数y ＝43-x ＋3的坐标三角形的三条边长；（2）若函数y ＝43-x ＋b （b 为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积.6. 在平面直角坐标系中，已知)0,8(A 、)6,0(B 、)2,0(-C ，连接AB ，过C 作直线l 与AB 交于P ，与OA 交于E ，且5:4:=OC OE , 求△PAC 的面积。
7. 我国现行个人工资收入所得税征收办法规定：月收入低于800元的部分不收税，月收入超过800元，但低于1300元的部分征收5%的所得税，……如某人月收入1160元，他应缴个人工资收入所得税为()18%58001160=⨯-元（1）当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y （元）与月收入x （元）之间的关系式；（2）某人月收入为960元，他应缴纳所得税多少元？（3）如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？第21题图8. 如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（km）•之间的函数关系图象．①根据图象，写出当x≥3时该图象的函数关系式；②某人乘坐2.5km，应付多少钱？③某人乘坐13km，应付多少钱？④若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？9.如图是某汽车行驶的路程s(km)与时间t(min)的函数关系图；观察图中所提供的信息，解答下列问题：(1)汽车在前9分钟内的平均速度是多少？(2)汽车在中途停了多长时间？(3)当16≤t≤30时，求s与t的函数式．10、已知直线y=kx＋b经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为，求该直线的解析式.11、某食品厂生产的一种巧克力糖每千克成本为24元，其销售方案有如下两种：方案一：若直接给本厂设在武汉的门市部销售，则每千克售价为32元，但门市部每月需上缴有关费用2400元；方案二：若直接批发给本地超市销售，则出厂价为每千克28元.若每月只能按一种方案销售，且每种方案都能按月销售完当月产品，设该厂每月的销售量为xkg.（1）你若是厂长，应如何选择销售方案，可使工厂当月所获利润更大？（2）厂长看到会计送来的第一季度销售量与利润关系的报表后（上表），发现该表填写的销售量与实际有不符之处，请找出不符之处，并计算第一季度的实际销售量总量.1 、甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km 的培训中心参加学习.图中l 甲、l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S (km)随时间t (分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km 后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2、某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过203m 时，按2元／3m 计费；月用水量超过203m 时，其中的203m 仍按2元／3m 收费，超过部分按2.6元／3m 计费．设每户家庭用用水量为3m x 时，应交水费y 元． （1）分别求出020x ≤≤和20x 时y 与x 的函数表达式；1 某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨．随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量y （吨）与进出油时间x （分）的函数式及相应的x取值范围．2、为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A、B两种型号的收割机共30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的y万元．（1）试写出y与x的函数关系式；（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？1、已知一次函数y kx b=+的图象如图（6）所示，当1x<时，y的取值范围是（）Ａ．20y-<<Ｂ．40y-<<Ｃ．2y<-Ｄ．4y<-2、一次函数1y kx b=+与2y x a=+的图象如图，则下列结论①0k<；②0a>；③当3x<时，12y y<中，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33、方程组⎩⎨⎧+==-3214xyyx的解是，则一次函数y=4x－1与y=2x+3的图象交点为。
2024-2025学年 第22章 二次函数 专题02 实际应用问题 常考题型汇总(原卷版)
2024-2025学年第22章二次函数专题02 实际应用问题常考题型汇总（原卷版）一．选择题1．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA＝2m．若BD＝6m，OD＝2m，则OC的长为（）A．4m B．5m C．D．第1题第2题2．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m3．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（）A．13米B．14米C．15米D．16米第3题第4题4．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（）A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25mC．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m5．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C 距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为（）米．A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.66．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列对方程20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3的解释正确的是（）A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m7．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（）元．A．50 B．90 C．80 D．708．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．有下列结论：①x的取值范围为5≤x≤10；②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2；③矩形菜园ABCD的面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3第8题第9题9．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（）A．10m B．12m C．24m D．48m10．中国廊桥是桥梁与房屋的珠联璧合，代表着中国人的智慧和造艺，是世界文明宝库的一大奇观．如图，这是某座下方为抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF长为（）A．米B．16米C．米D．米第10题第11题11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．（）A．3 B．6 C．8 D．912．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（单位：m）与运行的水平距离x（单位：m）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9m，第12题第13题13．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为10m的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为24m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为48m2；小亮认为：隔离区的面积可能为36m2，你认为他们俩的说法是（）A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误14．廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点E，F处安装两盏警示灯，若要保证两盏灯的水平距离EF是24m，则警示灯E距水面AB的高度为（）A．12m B．11m C．10m D．9m二．填空题（共14小题）15．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为．第15题第16题16．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB ＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为．17．如图1是一座抛物线形拱桥，图2是其示意图，桥拱与水平桥面相交于A、B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为m．第17题第18题19．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m 的取值范围是．第19题第21题20．超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣5x+150（10≤x≤30），则利润w和售价x之间的函数关系为，该商品售价定为元/件时，每天销售该商品获利最大．21．如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高米，现要水半放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的最大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为米．22．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为米．第22题第23题23．某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱AD和BC高均为0.75米，门宽AB为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面AB的最大高度为4.8米，工人师傅站在倾斜木板AM上，木板点M一端恰好落在门拱上且到点A的水平距离AN为7.5米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为2.4米，则在MA上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为米．24．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m，高度为200m．则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为．第24题第25题25．如图是某拱桥的截面示意图．已知桥底呈抛物线，主桥底部跨度OA＝400米，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，桥面BF∥OA，抛物线最高点E离路面距离EF＝10米，BC＝120米，CD⊥BF，O，D，B三26．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB ＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱最高点到桥面的距离OC为m．27．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范围，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系y＝﹣，则小明这次实心球训练的成绩为．28．如图1，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为12m，在距离D点3m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．如图2，桥面上方有3根高度均为5m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2m，下面结论正确的是（填写正确结论序号）．①图1抛物线型拱桥的函数表达式y＝﹣x2．②图2右边钢缆抛物线的函数表达式y＝2+2．③图2左边钢缆抛物线的函数表达式y＝2+2．④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3m．三．解答题29．某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求该商品原来的进价；（2）在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润2000元时，且销量尽可能大，商品的售价是多少元；（3）在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并30．电商平台经销某种品牌的儿童玩具，进价为50元/个．经市场调查发现：每周销售量y（个）与销售单价x（元/个）满足一次函数关系（其中x为整数，且50≤x≤100）．部分数据如下表所示：销售单价x（元/个）55 60 70销售量y（个）220 200 160根据以上信息，解答下列问题：（1）求y与x的函数关系式；（2）求每周销售这种品牌的儿童玩具获得的利润W元的最大值；（3）电商平台希望每周获得不低于1100元的利润，请计算销售单价的范围．31．某机械厂每月固定生产甲、乙两种零件共80万件，并能全部售出．甲零件每件成本10元，售价16元；乙零件每件成本8元，售价12元．设生产甲零件x万件．所获总利润y万元．（1）写出y与x的函数关系式；（2）如果每月投入的总成本不超过740万元，应该怎样安排甲、乙零件的产量，可使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？（3）该厂在销售中发现：某月甲零件售价每提高1元，甲零件销量会减少5万件，乙零件售价不变，不管生产多少都能卖出，在（2）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高甲零件的售价，并重新调整甲、乙零件的生产数量，求甲零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？32．在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的函数表达式；（2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离．33．如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式＜不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：≈取1.4）34．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮建立如图的平面直角坐标系．（1）求出抛物线的解析式；（2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？35．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面10m的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为12m．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为12m，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为3m．建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；（2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B 之间的距离；（3）若消防员站在到高楼水平距离为9m的地方，想要扑灭距地面高度12～18m范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为3m时，直接写出a的取值范围．36．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝1.8米，竖直高度EF＝1.1米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线的函数解析式；（2）下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为；（3）若d＝2.2米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由．37．消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面2m，距离原点的水平距离为6m，着火点A距离点B的水平距离为10m，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为（其中b，c为常数）．（1）写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式．（2）若着火点A高出地面3m，①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴；②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离1m的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值．38．跳大绳是天家喜欢的传统体育运动，绳子两端由两人拉着旋转，绳子离开地面时呈抛物线状，有一次跳大绳，甲、乙两人的手A、B离地面高度都为1米，现以地面为x轴，过点A向地面作的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，AB＝6米，绳子甩到最高处C点离地面2.8米，此时所有点都处于同一平面内．（1）求此时绳子所对应的抛物线表达式；（2）身高1.55米的小红跳入绳中，在绳子的正下方来回跳动，则她离A点的水平方向上的最小距离和最大距离分别是多少米？（3）若身高与小红相同的一群同学想同时跳绳，相互间的间距为0.8米，则此绳最多可容纳多少人一起跳？39．某宾馆有100个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是200元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得50元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出40元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有x间．（1）用含x的式子表示下列各量．①供游客居住的房间数是间；②每个房间每天的定价是元；③该宾馆每天的总利润w是元；（2）若游客居住每天带来的总利润不低于21600元时，求空闲房间每天储存货物获得的最大总利润是多少元？（3）该宾馆计划接受130吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润w最大，最大利润是多少元？40．宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y （万件）的对应关系如表：x…20 26 28 31 35 …y…20 14 12 9 5 …（1）求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元．①求2023年该特产的售价；②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大？最大利润是多少？41．掷实心球是宝鸡市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据宝鸡市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.60m时，得分为满分10分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．42．如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，喷出的水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，水流的路线是抛物线y＝a（x﹣）2+4的一部分，落点B距离喷水柱底端O处3.5米．（1）写出水流到达的最大高度，并求a的值；（2）在保证水流形状不变的前提下，调整喷水柱OA的高度，使水流落在宽（EF）为米，内侧（点E）距点O为4米的环形区域内（含E，F），直接说出喷水柱OA的高度是变大还是变小，并求它变化的高度h（h＞0）（米）的取值范围．43．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为h＝1.2米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝0.8米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线的函数解析式；（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；（3）若d＝3.2米，则灌溉车行驶时喷出的水（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．44．海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强．海豚表演是武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y＝ax2+2x，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员放在空中的离O点水平距离为3m，离水面高度为4.5m 的小球．（1）求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m？（2）求当海豚离水面的高度是时，距起跳点O的水平距离是多少m？（3）在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD＝6m，高DE＝4m的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱（不碰到），求点D横坐标n的取值范围．45．如图①为某悬索桥的示意图，其两座桥塔间的主索的形状近似于抛物线，桥塔与锚锭间的主索形状近似于直线，吊索间距均为2米，桥塔和吊索均与水平桥面垂直．如图②，已知桥塔AD和BC的高度为10米，水平桥长AB为32米，桥塔间的主索最低点P距桥面2米，锚锭E，F到桥塔AD，BC的距离均为16米，E，A，B，F四点共线，以CD为x轴，CD的垂直平分线为y轴（恰好经过点P），建立平面直角坐标系xOy．（1）求该抛物线的表达式；（2）为了满足桥梁的使用安全性，长度不小于4米的吊索需要使用密度更高、抗风性能更好的新型吊索，求这座悬索桥所需新型吊索的数量；（3）对桥梁进行维护检修时，发现需要在桥塔AD左右的主索上各加一条竖直钢索进行加固，要求桥塔AD左右的加固钢索相距8米，则最少需要准备加固钢索多少米？46．某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y＝﹣x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．47．如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度OH＝1.5米．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝2米，竖直高度EF＝1米．下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到l的距离OD为d米．（1）求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFC位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求d的取值范围．48．某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，求今年可获得最大毛利润。
专题2：一次函数有关的面积问题
专题2：一次函数有关的面积问题解题还须熟记以下基本公式．(1) l ：y kx b =+与x 轴的交点为(－bk，0），与y 轴的交点为(0，b )； (2) l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为22b k．(3) k 1212y y x x -=-； (4) 两点间距离公式：d一、由一次函数图象求面积【例1】如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1,3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .(1)求该一次函数的解析式； (2)试求△DOC 的面积．【解答】(1)把A ，B 点代入得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－2k ＋b ，3＝k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.，△y ＝43x ＋53.(2)由(1)得C ⎝⎛⎭⎫－54，0，D ⎝⎛⎭⎫0，53，则OC ＝54，OD ＝53. △△DOC 的面积＝12×54×53＝2524.【变式1】已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经过(1,0)C ，且把AOB ∆的面积分为两部分。
(1)若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值； (2)若△AOB 被分成的两部分面积比为1:5，求k 和b 的值。
【解析】（1）由题意知：直线y =kx +b (k ≠0)必过C 点，∵C 是OA 的中点，∴直线y =kx +b 一定经过点B ,C ,如图(1)所示， 把B ，C 的坐标代入可得：⎩⎨⎧=+=02b k b 解得k =−2，b =2；（2）直线将已知三角形分为面积不等的两部分，旋转直线可以发现可能存在两种符合题意的情况，一种是直线与AB 边相交， 16ACD AOB S S ∆∆=。
如图2，设交点00(,)D x y ，由题意易得(2,0)A ，(0,2)B ，则16ACD AOB S S ∆∆=。
所以0111226ACD S y ∆=⨯⨯=⨯，解得023y =，代入2y x =-+可解得043x =， 所以(4/3,2/3)D ，将C 、D 坐标代人直线方程得02433k bk b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得2k =，2b =-。
最全二次函数中的面积问题(中考数学必考题型)
二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。
【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）12S =⨯水平宽铅垂高．二、转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ． 当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQPABQQBA PDEF OyxCBA 铅垂高水平宽DA BCxyOE三、面积比类型例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值；（2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）；PyxO CB A变式1.如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D为抛物线的顶点，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求△BCD 的面积；变式2.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3；与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，直线BC方程为y＝x﹣3．点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求P 的坐标；变式3.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．变式4.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．例3.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；【引例2】如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．当CP与x轴不平行时，求的最大值；（化斜为直）例4.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．变式1.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．变式2.已知：如图，二次函数y＝﹣x2+x+4；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE△AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；变式3.已知二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，点P 为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN△AD 于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；例4.如图抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A（﹣1，0），点C（0，3），点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．变式1.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为多少作业：1.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．42.已知抛物线y＝x2﹣x+3；经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△P AB 的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，若OD＝m．设△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；。
一次函数图象中的面积问题(初二)
一次函数图象中的面积问题(初二)在函数图象面积问题中，要理解函数的原理和定义，才能更有效地计算函数图象的面积。
函数是用来表示定义域和值域之间一对一关系的经典数学工具。
一般来说，函数定义域被称为“自变量”，值域被称为“因变量”。
在函数图象中，通常情况下我们可以利用自变量和因变量之间的函数关系来计算函数图象中的面积。
计算函数图象面积有多种方法可选，分为定积分法和分段法。
定积分法是最常用的一种计算方法，涉及到用定积法来求解，主要在求解积分上应用。
它利用定积分的概念，将要求的面积分解成无数个小的长方形，它们的横轴代表自变量，纵轴代表因变量，面积的总和就是我们要求的函数图象的面积。
一般当函数为直线时，定积分法容易计算，因此称为简化积分法。
另外，还有一种计算方法叫做分段法，它要求我们将函数图象分成若干段，然后分别求解每一段的函数图象面积。
这里分段的方法有以下几种：①直接分段法，即在边界点处断开函数；②折线法，即将把函数分解成连续的折线；③隐式分段法，即将函数定义上的定义域和值域都分成若干段。
经过上述分段后，对每一段具体函数图象面积可以用定积分法或其他方法来计算，最后将每一段面积求和即为整体函数图象面积。
总之，函数图象面积计算一般常用的方法有定积分法和分段法，各有优缺点。
由于定积分法要求将函数面积分解成无限小的矩形块，对于函数的连续性要求非常高，而分段法需要把函数分解成若干段，并且需要精细分析函数的上升段，下降段等，但同时也可以在给定的范围内计算函数的面积，从而获得较精确的结果，可以根据具体情况取舍。
专题02 二次函数的实际应用(30题)(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上册同步学与练(人
专题第02讲二次函数的实际应用（30题）1．（2022秋•泰兴市期末）一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不低于成本价．设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克．（1）求y与x的函数关系式．（2）若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售（x≥8），试求出水果店每天利润W与单价x的函数关系式，并求出当x为何值时，利润达到最大．2．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314……363432…每天销售数量y/件（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？3．（2023•海淀区校级开学）电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔60米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为27米（AB ＝CD＝27米），以过点A的水平线为x轴，水平线与电缆的另一个交点为原点O建立平面直角坐标系，如图所示．经测量，AO＝40米，斜坡高度12米（即B、D两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：（1）若以1米为一个单位长度，则D点坐标为，下垂电缆的抛物线表达式为．（2）若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线GH⊥x轴分别交直线BD和抛物线于点H、G．点G距离坡面的铅直高度为GH的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．4．（2023春•江岸区校级月考）如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米．①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可视作直线OM）；②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左）多少米？5．（2023•武汉模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．6．（2022秋•华容区期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x元/千克（x≥6且为正整数）．（1）若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；（3）市政府每日给农户补贴a元后（a为正整数），发现最大日收入（日收入＝销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a的值．7．（2023春•蔡甸区月考）如图，抛物线AB，AC是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线AB由抛物线AC 向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形DEFG，其中DE＝米，DG＝2米，OA＝h米，抛物线AC表达式为y＝a（x﹣2）2+h+，h＝，且点A，B，D，G，C均在坐标轴上．（1）求抛物线AC表达式．（2）求点B的坐标．（3）要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记OD长为d米，直接写出d的取值范围．8．（2022秋•华容区期末）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y 轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取，）9．（2023•淮安一模）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？10．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：每件售价x/万元…2426283032…月销售量y/件…5248444036…（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．①求：三月份每件产品的成本是多少万元？②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．11．（2023春•江都区月考）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m＜70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？12．（2023•梁溪区模拟）为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．（1）求平均单株产量y（千克）与每平方米种植的株数x（x为整数，且2≤x＜10）之间的函数关系式；（2）已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？13．（2023春•仓山区校级期末）根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（1）任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数关系式；（2）任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．14．（2023•岳麓区校级二模）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．（1）求W与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？（3）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值．15．（2022秋•蜀山区校级期末）某超市经销甲、乙两种商品．商品甲每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系，商品乙的成本为4元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有80千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品甲，免费送1千克的商品乙．（1）直接写出销售量y与销售单价x之间的函数表达式；（2）设这两种商品的每天销售总额为S元，求出S（元）与x（元/千克）的函数关系式；（注：商品的销售额＝销售单价×销售量）（3）设这两种商品销售总利润为W，若商品甲的售价不低于成本，不超过成本的150%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（注：销售总利润＝两种商品的销售总额﹣两种商品的总成本）16．（2023春•莲池区校级期中）为促进学生德智体美劳全面发展，推动文化学习与体育锻炼协调发展，某校举办了学生趣味运动会．该校计划用不超过5900元购买足球和篮球共36个，分别作为运动会团体一、二等奖的奖品．已知足球单价170元，篮球单价160元．（1）学校至多可购买多少个足球？（2）受卡塔尔世界杯的影响，学校商议决定按（1）问的结果购买足球作为一等奖奖品，以鼓励更多学生热爱足球，同时商场也对足球和篮球的价格进行调整，足球单价下降了a%，篮球单价上涨了，最终学校购买奖品的经费比计划经费的最大值节省了155元，求a的值．17．（2023春•宜都市期末）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有一次函数关系：y＝ax+b．当x＝5时，y＝40；当x＝30时，y＝140．B 城生产产品的每件成本为7万元．（1）求a，b的值；（2）当A，B两城生产这批产品的总成本之和为660万元时，求A，B两城各生产产品多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，若A，B 两城总运费之和的最小值为150万元，求m的值．18．（2023•海淀区校级四模）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y（单位：m）与到池中心的水平距离x（单位：m）满足的关系式近似为y＝a （x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：水平距离x/m00.51 1.52 2.53竖直高度y/m 2.25 2.81253 2.8125 2.25 1.31250根据表格中的数据，解答下列问题：①水管的长度是m；②求出y与x满足的函数解析式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（2）安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为d1；②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝﹣0.6（x﹣1.5）2+3.6，水柱落地时与池中心的距离为d2．则比较d1与d2的大小关系是：d1d2（填“＞”或“＝”或“＜”）19．（2023•罗山县三模）实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．（1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．（2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．（3）第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.08（x﹣5）2+3.8记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d1，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为d2，则d1d2．（填“＞”“＜”“＝”）20．（2023•花溪区校级一模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程中能够亲身体验由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．如图是合肥某乐园中部分过山车滑道所抽象出来的函数图象，线段AB是一段直线滑道，且AB长为米，点A到地面距离OA＝6米，点B到地面距离BE＝3米，滑道B﹣C﹣D可以看作一段抛物线，最高点为C（8，4）．（1）求滑道B﹣C﹣D部分抛物线的函数表达式；（2）当小车（看成点）沿滑道从A运动到D的过程中，小车距离x轴的垂直距离为2.5米时，它到出发点A的水平距离是多少？（3）现在需要对滑道C﹣D部分进行加固，建造某种材料的水平和竖直支架CF，PH，PG．已知这种材料的价格是75000元/米，为了预算充足，至少需要申请多少元的资金．21．（2022秋•丰都县期末）抛实心球是丰都中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时，起点处高度为1.9m，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.5m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．22．（2022秋•建昌县期末）2022年11月，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”申遗成功，弘扬茶文化，倡导“和美雅静”的生活方式已成时尚．某茶商经销某品牌茶，成本为50元/千克，经市场调查发现，每周的销量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据列表如下：566575…销售单价x（元/千克）销量y（千克）12811090…（1）求y与x的一次函数关系式；（2）求该茶商这一周销售该品牌茶叶所获利润w（元）的最大值．23．（2023•锦州二模）近年来国家出台政策要求电动车上牌照，“保安全、戴头盔”出行．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔．在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（42≤x≤72）满足一次函数关系，下表是其中的两组对应值．售价x（元/个）…5055…月销售量y（个）…10090…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩．请问这种头盔的售价定为多少元时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少元？24．（2023•金湖县三模）某超市购进甲、乙两种商品，已知购进5件甲商品和2件乙商品，需80元：购进3件甲商品和4件乙商品，需90元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当12≤x≤18时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）1218日销售量y（件）164请写出当12≤x≤18时，y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？25．（2022秋•新抚区期末）疫情防控常态化，全国人民同心抗疫．某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售，市场调查发现，线下的月销量y（件）与线下售价x（元/件，且12≤x≤16）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：x（元/件）12131415y（件）1000900800700（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为600件．当x为何值时，线上和线下销售月利润总和W达到最大？最大利润是多少？（3）要使（2）中月利润总和W不低于4400元，请直接写出x的取值范围．26．（2023•嘉鱼县模拟）为巩固扶贫攻坚成果，我县政府督查各部门和单位对口扶贫情况．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系为p＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式和x的取值范围；（2）求该农产品的销售量有几天不超过60千克？（3）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）27．（2023•云梦县校级三模）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．（1）直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入＝支出），求该店员工人数；（3）若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元？此时，每件服装的价格应定为多少元？28．（2023•卧龙区二模）如图，在斜坡底部点O处安装一个自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．以点O为原点，自动喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的函数关系式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面，且M点到水平地面的距离为2米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点N，求自动喷水装置向左水平平移（即抛物线向左）了多少米？29．（2023•竞秀区二模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了一款大型过山车．如图所示，A→B→C为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线，其中OA＝16.9米，OB＝13米（轨道厚度忽略不计）．（1）求抛物线A→B→C的函数表达式；（2）在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E （接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，E点坐标为（33，0），求n的值；（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架GD、GM、HI、HN，且要求MN＝2OM，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算OM多长时，造价最低？最低造价为多少元？30．（2023•利辛县模拟）如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA＝2米，在点A处安装喷水装置，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的C1，C2）的部分图象，两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线C2的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且与OA的水平距离为2米．（1）求抛物线C2的解析式；（2）求抛物线C1与x轴的交点B的坐标；（3）小明同学打算操控微型无人机在C1，C2之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．。
与函数图象有关面积的求法
与函数图象有关面积的求法求解与函数图象有关的图形面积问题，在各类考试中常常出现，许多同学难以入手，实际上，求解这类问题的关键是画出图形后，设法将图形转化为三角形，再求出三角形的底和高。
现分类例析如下。
一、直线与坐标轴围成的面积例1 设直线1x y :l 1-=交x 轴于A ，交y 轴于D ，直线27x 21y :l 2+-=交y 轴于B ，且21l l 与交于C.求ABC ∆的面积S.解:画出略图.可见.S S S ABC ABD BCD ∆∆-=∆的面积只要求出底边长和高(点C 、A 的横坐标).在⎪⎩⎪⎨⎧+-=-==-=+-=-=,27x 21y ,1x y ).0,1(A ,0y ）；27，0），B（1，0D （,0x ，27x 21y ,1x y 再联立得令得分别令中得C(3,2).291)1(27213)1(2721x DB 21x DB 21S Ac =⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯=⨯-⨯=所以 二、直线与双曲线例2 设直线y=-x+5与双曲线x4y =交于A 、B 两点，求OAB ∆的面积。
解：画出示意图，直接求OAB ∆的底边AB 长和相应的高，比较困难。
现割补法进行转化，记直线交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，则所求面积.S S S S OBD OCA OCD ∆∆∆--=在y=-x+5中，分别令y=0,x=0,得C （5，0），D （0，5）。
又由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,x 4y ,5x y 得A （4，1），B （1，4） 从而.215152115215521S =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=三、直线与抛物线例3 已知抛物线m x 2x y 2++-=交x 轴于两点10x x ,＜x x ),0,x (B ),0,x (A 22122121=+且. 又点P （4，n ）在该抛物线上，设抛物线的顶点是C ，求ACP ∆的面积S 。
分析：将ACP ∆分成两个APD ACD 、∆∆，需求底边AD 的长及相应的高，即点C 、点P 的纵坐标。
专题02 二次函数章末重难点题型(举一反三)(原卷版)
专题02二次函数章末重难点题型【举一反三】【考点1二次函数的概念】二次函数的定义：一般地，形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．y ═ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）也叫做二次函数的一般形式．【例1】（2019秋•泰兴市校级月考）下列函数关系式中，y 是x 的二次函数是()A ．2y ax bx c =++B ．21y x x=-C ．225y x =++D ．2(32)(43)12y x x x =+--【变式1-1】（2019秋•文水县期中）已知函数：①2y ax =；②23(1)2y x =-+；③22(3)2y x x =+-；④21y x x =+．其中，二次函数的个数为()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1-2】（2019秋•苍溪县期中）已知函数||(2)1m y m x mx =-+-，其图象是抛物线，则m 的取值是()A ．2m =B ．2m =-C ．2m =±D ．0m ≠【变式1-3】（2019秋•南康区期中）若22(2)32my m x x -=-+-是二次函数，则m 等于()A ．2-B ．2C ．2±D ．不能确定【考点2二次函数与一次函数图象】【例2】（2019秋•花都区期中）在同一直角坐标系中2y ax b =+与(0,0)y ax b a b =+≠≠图象大致为()A ．B ．C ．D ．【变式2-1】（2018秋•厦门期中）在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y bx a =-+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【变式2-2】（2019秋•沂水县期中）在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2()y a x c =+的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【变式2-3】（2016秋•工业园区期中）如图，一次函数y x =与二次函数2y ax bx c =++图象相交于A 、B 两点，则函数2(1)y ax b x c =+-+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【考点3二次函数的增减性】【例3】（2018春•利津县期末）设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为()A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>【变式3-1】（2019秋•宣威市校级月考）已知二次函数21572y x x =--+，若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是()A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．231y y y >>D ．231y y y <<【变式3-2】（2018秋•建昌县期中）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<过(3,0)A -，(1,0)B ，1(5,)C y -，2(2,)D y -四点，则1y 与2y 的大小关系是()A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定【变式3-3】（2018•南海区期中）已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x⋯0123⋯y⋯5212⋯点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在函数的图象上，则当101x <<，223x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是()A ．y 1≥y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 2【考点4二次函数图象的平移】【例4】（2018秋•花都区期中）抛物线22y x =-经过平移得到22(1)3y x =--+，平移方法是()A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位【变式4-1】（2019•天津校级期中）已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M ．平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为()A ．221y x x =++B ．221y x x =+-C ．221y x x =-+D ．221y x x =--【变式4-2】（2018秋•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线22y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为()A ．22(2)2y x =-+B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++【变式4-3】（2018秋•襄州区期中）将二次函数2y x bx c =++的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到二次函数221y x x =-+的图象，用b ，c 的值分别是()A ．14b =，8c =-B ．2b =-，4c =C ．8b =-，14c =D ．4b =，2c =-【考点5二次函数的图象与a ，b ，c 的关系】【例5】（2018秋•渝中区校级期中）已知二次函数的图象如下所示，下列5个结论：①0abc >；②0b a c -->；③42a c b +>-；④30a c +>；⑤()(1a b m am b m +>+≠的实数），其中正确的结论有()A ．①②③B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤【变式5-1】（2018秋•苍溪县期中）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②3b +2c ＜0；③m （am +b ）+b ≤a ；④（a +c ）2＜b 2；其中正确结论的个数有（）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【变式5-2】（2018秋•江岸区期中）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，过(1，1)(2y ，2)y ．①若10y >时，则0a b c ++>②若a b =时，则12y y <③若10y <，20y >，且0a b +<，则0a >④若21b a =-，3c a =-，且10y >，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有()个．A ．1B ．2C ．3D ．4【变式5-3】（2019•凉山州）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，有以下结论：①30a b -=；②240b ac ->；③520a b c -+>；④430b c +>，其中错误结论的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【考点6二次函数与一元二次方程之间的关系】【例6】（2019春•天心区校级期中）函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于一元二次方程220ax bx c ++-=的根的情况是()A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根【变式6-1】（2019春•安吉县期中）如图，抛物线2y x mx =-+的对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20(x mx t t +-=为实数）在13x <<的范围内有解，则t 的取值范围是()A ．﹣5＜t ≤4B ．3＜t ≤4C ．﹣5＜t ＜3D ．t ＞﹣5【变式6-2】（2018秋•福清市期中）函数21y x x =+-中x 与y 的对应关系如下表所示，方程210x x +-=两实数根中有一个正根1x ，下列对1x 的估值正确的是()x⋯0.50.550.60.650.70.75⋯y⋯0.25-0.1475-0.04-0.07250.190.3125⋯A ．10.50.55x <<B ．10.550.6x <<C ．10.60.65x <<D ．10.650.7x <<【变式6-3】（2019秋•萧山区期中）已知关于x 的方程2()()0x m x n +--=，存在a ，b 是方程2()()0x m x n +--=的两个根，则实数m ，n ，a ，b 的大小关系可能是()A ．m a b n <<<B ．m a n b <<<C ．a m b n <<<D ．a m n b<<<【考点7二次函数解析式】【例7】经过(4,0)A ，(2,0)B -，(0,3)C 三点的抛物线解析式是．【变式7-1】若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x7-6-5-4-3-2-y27-13-3-353则二次函数的解析式为．【变式7-2】（2019秋•荣成市期中）二次函数在32x =时，有最小值14-，且函数的图象经过点(0,2)，则此函数的解析式为．【变式7-3】（2013秋•潜山县校级月考）抛物线2y ax bx c =++与x 轴两个交点为(1,0)-，(3,0)，其形状与抛物线22y x =相同，则抛物线解析式为．【考点8二次函数的应用—销售问题】【例8】（2018秋•鼓楼区校级期中）某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件)与销售单价x （元)之间的关系可近似的看作一次函数：20800y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w （元)，求每月获得利润w （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【变式8-1】（2019春•宿豫区期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x 元，每天获利y 元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【变式8-2】（2019春•安吉县期中）为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为21000m 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为2()x m ，种草所需费用1y （元)与2()x m 的函数关系图象如图所示，栽花所需费用2y （元)与2()x m 的函数关系式为220.012030000(01000)y x x x =--+．（1）求1y （元)与2()x m 的函数关系式；（2）设这块21000m 空地的绿化总费用为W （元)，请利用W 与x 的函数关系式，求绿化总费用W 的最大值．【变式8-3】（2019秋•沂源县期末）某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （件)与时间t （天)的关系如下表：时间t （天)1351036⋯日销售量m（件)9490867624⋯未来40天内，前20天每天的价格y 1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为y 1＝t +25（1≤t ≤20且t 为整数），后20天每天的价格y 2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为y 2＝﹣t +40（21≤t ≤40且t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m （件)与t （天)之间的表达式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【考点9二次函数的应用—面积问题】【例9】（2018秋•开封期中）如图，用30m长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m，设矩形的宽AB为xm．（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？【变式9-1】（2018秋•洛阳期中）为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积ym．相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为2（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？【变式9-2】（2018秋•洪山区期中）如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，2，设BE的长为x米，改DG BE造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为米．（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．【变式9-3】（2018秋•鼓楼区期中）如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10)m ，用长为24m 的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB 的长为()x m ，面积为2()y m ．（1）若y 与x 之间的函数表达式及自变量x 的取值范围；（2）若要围成的花圃的面积为245m ，则AB 的长应为多少？【考点10二次函数的应用—抛物线问题】【例10】（2019秋•南海区校级期中）如图，已知排球场的长度OD 为18米，位于球场中线处球网的高度AB 为2.4米，一队员站在点O 处发球，排球从点O 的正上方1.6米的C 点向正前方飞出，当排球运行至离点O 的水平距离OE 为6米时，到达最高点G 建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4m 的点F 处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h 的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【变式10-1】（2019秋•台安县期中）一位篮球运动员投篮，球沿抛物线21752y x =-+运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m ．（1）求球在空中运行的最大高度为多少m ？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m ，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？【变式10-2】甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度()y m 与水平距离()x m 之间满足函数表达式2(4)y a x h =-+，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．（1）当124a =-时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m ，离地面的高度为125m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．【变式10-3】（2019秋•萧山区期中）小明跳起投篮，球出手时离地面209m ，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m 处达到最高4m ．已知篮筐中心距地面3m ，与球出手时的水平距离为8m ，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m ，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？【考点11二次函数与图形面积的综合】【例11】如图，抛物线2(1)y a x =+的顶点为A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB OA =．（1）求抛物线的解析式；（2）若点(3,)C b -在该抛物线上，求ABC S ∆的值．【变式11-1】（2019•新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为(1,3)-，并经过点(2,0)C ．（1）求该二次函数的解析式；（2）直线3y x =与该二次函数的图象交于点B （非原点），求点B 的坐标和AOB ∆的面积；【变式11-2】（2019春•利津县期中）如图，抛物线22y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求点A ，点B 和点C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PB PC +的值最小时的点P 的坐标；（3）若点M 是直线AC 下方抛物线上一动点，求四边形ABCM 面积的最大值．【变式11-3】如图，二次函数2y ax bx =+的图象经过点(2,4)A 与(6,0)B ．（1）求a ，b 的值；（2）点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为(26)x x <<，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．【考点12与二次函数有关的存在性问题】【例12】已知抛物线2(0)y x bx c c =-++>过点(1,0)C -，且与直线72y x =-只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线3y x =-+与抛物线相交于两点A 、B ，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使ABQ ∆是等腰三角形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【变式12-1】（2019•齐齐哈尔一模）如图，过点(1,0)A -、(3,0)B 的抛物线2y x bx c =-++与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点E ．（1）求抛物线解析式；（2）求抛物线顶点D 的坐标；（3）若抛物线的对称轴上存在点P 使3PCB POC S S ∆∆=，求此时DP 的长．【变式12-2】如图，已知抛物线23y x mx =-++与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3,0)，抛物线与直线332y x =-+交于C 、D 两点．连接BD 、AD ．（1）求m 的值．（2）抛物线上有一点P ，满足4ABP ABD S S ∆∆=，求点P 的坐标．【变式12-3】（2018•绥阳县模拟）如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点(1,0)A ，(3,0)B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上点B 和点D 之间是否存在一点H 使得四边形OBHC 的面积最大，若存在求出四边形OBHC 的最大面积，若不存在，请说明理由．（3）直线BD 上有一点P ，使得PE PC =时，过P 作PF x ⊥轴于F ，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．。
2022中考专项·一次函数中的图形面积问题(解析版)
专题01 一次函数中地图形面积问题【模型展示】一、如何求下列阴影部分三角形地面积二、如何求下面两个阴影三角形地面积【例题精讲】1、如图,直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点,E F ,点E 地坐标为(8,0)-,点A 地坐标为(6,0)-．点(,)P x y 是第二象限内地直线上地一个动点.（1）求k 地值（2）当点P 运动过程中,试写出OPA ∆地面积S 与x 地函数关系式,并写出自变量x 地取值范围；（3）求当P 运动到什么位置（求P 地坐标）时,四边形AOFP 地面积为1838,并说明理由.xx解：（1）∵直线y = kx +6与x 轴相交于点E （﹣8,0） ∵086k =-+ 解得 34k = （2）对于直线364y x =+,∵点P （x ,y ）是第二象限内地直线上地一个动点, ∵可设3,64P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （－8＜x ＜0）, 则P 点到x 轴得距离为364h x =+, 又A （﹣6,0）, ∵AO=66-= ∵11366224OPA S AO h x ∆⎛⎫=⋅=⨯⨯+ ⎪⎝⎭∵ 9184S x =+（－8＜x ＜0） （3）对于直线364y x =+, 由 x=0,得 6y = ∵F （0,6）, 则OF=6 ∵3,64P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（－8＜x ＜0）到y 轴地距离为x ＝－x ∵()116322OFP S FO x x x ∆=⋅=⨯⨯-=- ∵OPA OFP AOFP S S S ∆∆+四边形＝ ∵()918318348x x ++-= 解得132x =-,符合题意, 此时37648x += ∵P 137,28⎛⎫- ⎪⎝⎭2、如图,直线y =+与x 轴相交于点A ,与直线y =相交于点P ．（1）求点P 地坐标．（2）请判断OPA ∆地形状并说明理由．（3）动点E 从原点O 出发,以每秒1个单位地速度沿着O P A →→地路线向点A 匀速运动（E 不与点,O A 重合）,过点E 分别作EF x ⊥轴于F ,EB y ⊥轴于B ,设运动t 秒时,矩形EBOF 与OPA ∆重叠部分地面积为S ,求：S 与t 之间地函数关系式．参考答案：（1）点P地坐标为(2,（2）△POA 是等边三角形（3）当0＜t ≤4时,如图,在Rt ∵EOF 中,∵∵EOF=60°,OE=t ,∵EF=32t,OF=12t ,∵212S OF EF =⋅= 当4＜t ＜8时,如图,设EB 与OP 相交于点C ,∵CE=PE=t -4,AE=8-t ,∵AF=4-12t,EF=3(8)2t - ∵OF=OA -AF=12t∵21()28S CE OF EF =+⋅=-+-【针对训练】1、如图,一次函数y ＝k 1x +b 地图象与y 轴交于点B （0,﹣6）,与x 轴交于点C ,且与正比例函数y ＝k 2x 地图象交于点A （1,﹣4）．（1）分别求出这两个函数地表达式及△AOC 地面积；（2）将正比例函致y ＝k 2x 地图象沿y 轴向下平移3个单位长度后得到直线l ,请写出直线l 对应地函数表达式．解：（1）∵一次函数经过点B（0,﹣6）,A（1,﹣4）,得到,∴,∵y＝2x﹣6,∴C（3,0）,∵正比例函数经过A（1,﹣4）,∴k2＝﹣4,∴y＝﹣4x；∴△AOC地面积＝×3×4＝6；（2）将y＝﹣4x沿着y轴向下平移3个单位长度后得到y＝﹣4x﹣3．2、如图,在平面直角坐标系中,把点A（﹣2,3）向右平移4个单位长度,再向下移2个单位长度得到点B．（1）求直线AB地解析式；（2）直线AB与x轴交于点C,将直线OB沿BA方向从点B开始平移到点A停止,直线OB在平移过程中交AB于点E,交x轴于点F,记△EFC地面积为S,求S地取值范围．解：（1）∵把点A（﹣2,3）向右平移4个单位长度,再向下移2个单位长度得到点B, ∴B（2,1）,设直线AB地解析式为y＝kx+b,∴,解得,∴直线AB地解析式为y＝﹣+2；（2）由直线AB：y＝﹣x+2可知C（4,0）,∵B（2,1）,∴直线OB地解析式为y＝x,∴设平移后地解析式为y＝x+n,把A（﹣2,3）代入得3＝+n,解得n＝4,∴直线EF经过A时地解析式为y＝+4,令y＝0,则x＝﹣8,∴此时S有最大值,S＝CF•y A＝（8+4）×3＝18,当直线EF与OB重合时,S有最小值,S＝OC•y B＝×2＝4,∴S地取值范围为4≤S≤18．3、如图,在平面直角坐标系中,直线l1与x轴交于点A,与y轴交于点B（0,4）,OA＝OB,点C（﹣3,n）在直线l1上．（1）求直线l1和直线OC地解析式；（2）点D是点A关于y轴地对称点,将直线OC沿y轴向下平移,记为l2,若直线l2过点D,与直线l1交于点E,求△BDE地面积．解：（1）∵点B（0,4）,OA＝OB,∴OA＝OB＝＝2,∴A（﹣2,0）,设AB解析式y＝kx+b,∴解得：,∴直线I1地解析式：y＝2x+4,∵C（﹣3,n）在直线I1上,∴n＝﹣3×2+4n＝﹣2∴C（﹣3,﹣2）设OC地解析式：y＝k1x∴﹣2＝﹣3k1k1＝,∴直线OC解析式y＝x；（2）∵D点与A点关于y轴对称∴D（2,0）设DE解析式y＝x+b′,∴0＝×2+b′,∴b′＝﹣,∴DE解析式y＝x﹣,当x＝0,y＝﹣,解得：,∴E（﹣4,﹣4）,∴S△BDE＝×（2+2）（4+4）＝16．4、如图,直线l1：y＝﹣x与直线l2相交于点A,已知点A地纵坐标为,直线l2交x轴于点D,已知点D横坐标为﹣4,将直线l1向上平移3个单位,得到直线l3,交x轴于点C,交直线l2于点B．（1）求直线l2地函数表达式；（2）求△BOC地面积．解：（1）∵直线l1：y＝﹣x与直线l2相交于点A,已知点A地纵坐标为, ∴A（﹣1,）,设直线l2地函数表达式为y＝kx+b,将A（﹣1,）,D（﹣4,0）代入得, 解得,∴直线l2为y＝x+2；（2）将直线l1向上平移3个单位,得到直线l3为y＝﹣x+3,解得,∴B（,）,在直线l3为y＝﹣x+3中,令y＝0,则x＝2,∴C（2,0）,∴S△BOC＝＝．5、如图,在平面直角坐标系中,一次函数y＝kx+b地图象与x轴交于点A（﹣3,0）,与y轴交于点B,且与正比例函数y＝x地图象交点为C（m,4）．（1）求一次函数y＝kx+b地解析式；（2）求△BOC地面积；（3）若点D在第二象限,△DAB为等腰直角三角形,则点D地坐标为．解：（1）∵点C在正比例函数图象上,∴m＝4,解得：m＝3,∵点C（3,4）、A（﹣3,0）在一次函数图象上,∴代入一次函数解析式可得,解这个方程组得,∴一次函数地解析式为y＝x+2；（2）在中,令x＝0,解得y＝2,∴B（0,2）∴S△BOC＝×2×3＝3；（3）过点D1作D1E⊥y轴于点E,过点D2作D2F⊥x轴于点F,如图, ∵点D在第二象限,△DAB是以AB为直角边地等腰直角三角形,∴AB＝BD2,∵∠D1BE+∠ABO＝90°,∠ABO+∠BAO＝90°,∴∠BAO＝∠EBD1,∵在△BED1和△AOB中,∴△BED1≌△AOB（AAS）,∴BE＝AO＝3,D1E＝BO＝2,即可得出点D地坐标为（﹣2,5）；同理可得出：△AFD2≌△AOB,∴FA＝BO＝2,D2F＝AO＝3,∴点D地坐标为（﹣5,3）,∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°,∴∠AD3B＝90°,∴D3（,）,综上可知点D地坐标为（﹣2,5）或（﹣5,3）或（,）．故答案为：（﹣2,5）或（﹣5,3）或（,）．6、如图1,在平面直角坐标系中,OB＝10,F是y轴正半轴上一点．（1）若OF＝2,求直线BF地解析式；（2）设OF＝t,△OBF地面积为s,求s与t地函数关系（直接写出自变量t地取值范围）；（3）如图3,在（2）地条件下,过点B作BA⊥x轴,点C在x轴上,OF＝OC,连接AC,CD⊥直线BF于点D,∠ACB ＝2∠CBD,AC＝13,OF＝OC,AC．BD交于点E,求此时t地值．解：（1）∵OB＝10,OF＝2,∴B（﹣10,0）,F（0,2）,设直线BF地解析式为y＝kx+b,∵直线y＝kx+b经过点B（﹣10,0）,F（0,2）,∴,解得：,∴直线BF地解析式为y＝x+2；（2）△OBF地面积为S＝＝5t（t＞0）；（3）如图,延长AB至点R,使BR＝AB,连接CR,延长CD交y轴于点T,过点T,作TM∥x轴交BA地延长线于点M,过点T作TK⊥CR交RC地延长线于点K,连接RT,∵AB⊥BC,AB＝BR,∴BC垂直平分AR,∴AC＝CR＝13,∴∠ACB＝∠RCB,设∠CBD＝α,则∠ACB＝2α,∵BD⊥CD,∴∠BDC＝90°,∴∠BCD＝90°﹣α,∵∠ACB＝∠RCB＝2α,∴∠ACK＝180°﹣4α,∴∠KCT＝∠BCK﹣∠BCD＝∠BCA+∠ACK﹣∠BCD＝90°﹣α, ∴∠KCT＝∠BCD,∵TK⊥KR,OT⊥OC,∴OT＝TK,∵TC＝TC,∴Rt△OTC≌Rt△KTC（HL）,∴OC＝CK＝TK＝t,∵OF＝OC,∠BOF＝∠TOC,∠FBO＝∠OTC,∴△BOF≌△TOC（AAS）,∴OB＝OT＝10,∴TK＝10,∵∠ABO+∠BOT＝90°+90°＝180°．∴MB∥OT,∵MT∥OB,∴四边形OBMT为平行四边形,∵OB＝OT,∠BOT＝90°．∴四边形OBMT为正方形,∴MB＝MT＝OT＝10,∴MT＝TK,∵RT＝RT,∴Rt△RMT≌Rt△RTK（HL）,∴RK＝RM＝CR+CK＝13+t,∴BR＝RM﹣MB＝3+t,∵BC＝OB+OC＝10+t,在Rt△BRC中,BR2+BC2＝RC2,∴（3+t）2+（10+t）2＝132,解得：t＝2（t＝﹣15舍去）．∴t地值为2．7、如图1．在平面直角坐标系中,一次函数y＝﹣x+2地图象与x轴,y轴分别交于点A．点C,过点1作AB⊥x轴,垂足为点A,过点C作CB⊥y轴,垂足为点C,两条垂线相交于点B．（1）线段OC,OA,AC地长分别为OC＝,OA＝,AC＝,∠ACO＝度．（2）将图1中地△ABC折叠,使点A与点C重合,再将折叠后地图形展开,折痕DE交AB于点D,交AC于点E,连接CD,如图2,求线段AD地长；（3）点M是直线AC上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M地另一条直线MN与y轴相交于点N．是否存在点M,使△AOC与△MCN全等？若存在,请求出点M地坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2地图象与x轴,y轴分别交于点A,点C, ∴A（2,0）,C（0,2）,∴OA＝2,OC＝2,∵AB⊥x轴,CB⊥y轴,∠AOC＝90°,∴四边形OABC是矩形,∴AB＝OC＝8,BC＝OA＝4,在Rt△ABC中,根据勾股定理得,AC＝＝＝4, ∴∠ACO＝30°．故答案为：2；2；4；30．（2）由（1）知,BC＝2,AB＝2,由折叠知,CD＝AD,在Rt△BCD中,BD＝AB﹣AD＝2﹣AD,根据勾股定理得,CD2＝BC2+BD2,即：AD2＝4+（2﹣AD）2,∴AD＝；（3）①如图1,MN⊥y轴,若△AOC≌△MNC,则CN＝CO,∴M点地纵坐标为4,代入y＝﹣x+2得,x＝﹣2,∴．②如图2,MN⊥AC,MP⊥y轴,∵S△MCN＝S△AOC＝,∴CN＝AC＝4,∴PM＝,∴M点地橫坐标为或﹣,代入y＝﹣x+2得,y＝﹣3+2或y＝3+2．∴M点地坐标为（）或（﹣）．综合以上可得M点地坐标为（﹣2,4）或（）或（﹣）．8、在平面直角坐标系xOy中,直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线BC交x轴负半轴于点C,∠BCA＝30°,如图①．（1）求直线BC地解析式．（2）在图①中,过点A作x轴地垂线交直线CB于点D,若动点M从点A出发,沿射线AB方向以每秒个单位长度地速度运动,同时,动点N从点C出发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度地速度运动,直线MN 与直线AD交于点S,如图②,设运动时间为t秒,当△DSN≌△BOC时,求t地值．（3）若点M是直线AB在第二象限上地一点,点N、P分别在直线BC、直线AD上,是否存在以M、B、N、P为顶点地四边形是菱形．若存在,请直接写出点M地坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴x＝0时,y＝2,y＝0时,x＝2,∴A（2,0）,B（0,2）,∴OB＝AO＝2,在Rt△COB中,∠BOC＝90°,∠BCA＝30°,∴OC＝2,∴C（﹣2,0）,设直线BC地解析式为y＝kx+b,代入B,C两点地坐标得,,∴k＝,b＝2,∴直线BC地解析式为y＝x+2；（2）分别过点M,N作MQ⊥x轴,NP⊥x轴,垂足分别为点Q,P．（Ⅰ）如图1,当点M在线段AB上运动时,∵CN＝2t,AM＝t,OB＝OA＝2,∠BOA＝∠BOC＝90°,∴∠BAO＝∠ABO＝45°,∵∠BCO＝30°,∴NP＝MQ＝t,∵MQ⊥x轴,NP⊥x轴,∴∠NPQ＝∠MQA＝90°,NP∥MQ,∴四边形NPQM是矩形,∴NS∥x轴,∵AD⊥x轴,∴AS∥MQ∥y轴,∴四边形MQAS是矩形,∴AS＝MQ＝NP＝t,∵NS∥x轴,AS∥MQ∥y轴,∴∠DNS＝∠BCO,∠DSN＝∠DAO＝∠BOC＝90°,∴当DS＝BO＝2时,△DSN≌△BOC（AAS）,∵D（2,+2）,∴DS＝+2﹣t,∴+2﹣t＝2,∴t＝（秒）；（Ⅱ）当点M在线段AB地延长线上运动时,如图2,同理可得,当DS＝BO＝2时,△DSN≌△BOC（AAS）,∵DS＝t﹣（+2）,∴t﹣（+2）＝2,∴t＝+4（秒）,综合以上可得,t＝秒或t＝+4秒时,△DSN≌△BOC．（3）存在以M、B、N、P为顶点地四边形是菱形：M（﹣2﹣2,2+4）或M（﹣2﹣4,2+6）或M（﹣2+2,2）．∵M是直线AB在第二象限上地一点,点N,P分别在直线BC,直线AD上,∴设点M（a,﹣a+2）,N（b,b+2）,P（2,c）,点B（0,2）,（Ⅰ）当以BM,BP为邻边构成菱形时,如图3,∵∠CBO＝60°,∠OBA＝∠OAB＝∠PAF＝45°,∴∠DBA＝∠MBN＝∠PBN＝75°,∴∠MBE＝45°,∠PBF＝30°,∴MB＝ME,PF＝AP,PB＝2PF＝AP,∵四边形BMNP是菱形,∴,解得,a＝﹣2﹣2,∴M（﹣2﹣2,2+4）（此时点N与点C重合）,（Ⅱ）当以BP为对角线,BM为边构成菱形时,如图4,过点B作EF∥x轴,ME⊥EF,NF⊥EF,同（Ⅰ）可知,∠MBE＝45°,∠NBF＝30°,由四边形BMNP是菱形和BM＝BN得：,解得：a＝﹣2﹣4,∴M（﹣2﹣4,2+6）,（Ⅲ）当以BM为对角线,BP为边构成菱形时,如图5,作NE⊥y轴,BF⊥AD,∴∠BNE＝30°,∠PBF＝60°,由四边形BMNP是菱形和BN＝BP得,,解得：a＝﹣2+2,∴M（﹣2+2,2）．综合上以得出,当以M、B、N、P为顶点地四边形是菱形时,点M地坐标为：M（﹣2﹣2,2+4）或M （﹣2﹣4,2+6）或M（﹣2+2,2）．。
一次函数面积问题专题(含答案解析)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与*轴交于点B〔-6，0〕，交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=*+3的图像与*轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两局部，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=*+n的图像，直线PB是一次函数y=-2*+m〔m>n>0〕的图像，〔1〕用m、n表示A、B、P的坐标〔2〕四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O〔0，0〕、A〔2，1〕、B〔10，1〕，直线CD⊥*轴且△AOB面积二等分，假设D〔m，0〕，求m的值5、点B在直线y=-*+1上，且点B在第四象限，点A〔2，0〕、O〔0，0〕，△ABO的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-*+1与*轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P〔a，〕在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值.7、如图，两直线y=0.5*+2.5和y=-*+1分别与*轴交于A、B两点，这两直线的交点为P〔1〕求点P的坐标〔2〕求△PAB的面积8、直线y=a*+b〔b>0〕与y轴交于点N，与*轴交于点A且与直线y=k*交于点M 〔2，3〕，如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求〔1〕这两条直线的函数关系式〔2〕它们与*轴围成的三角形面积9、两条直线y=2*-3和y=5-*〔1〕求出它们的交点A的坐标〔2〕求出这两条直线与*轴围成的三角形的面积10、直线y=*+3的图像与*轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB 交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两局部，求直线l的解析式。
11、直线y=2*+3与直线y=-2*-1与y轴分别交于点A、B〔1〕求两直线交点C的坐标〔2〕求△ABC的面积〔3〕在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，假设不能请说明理由。
专题02 二次函数解答题压轴训练(原卷版)-2020-2021学年九年级数学期末复习压轴题训练
专题02 二次函数解答题压轴训练（原卷版）1．已知二次函数y1＝ax2+4ax+4a﹣1的图象是M．（1）求M关于点R（1，0）中心对称的图象N的解析式y2；（2）当2≤x≤5时，y2的最大值为，求a的值．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+与直线y＝x+b交于A、B两点，其中点A在x轴上，点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合）过P作y轴的平行线交直线于点C，连接P A、PB．（1）求直线的解析式及A、B点的坐标；（2）当△APB面积最大时，求点P的坐标以及最大面积．3．已知一次函数y1＝x﹣1，二次函数y2＝x2﹣mx+4（其中m＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若m＝5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y＝2x﹣3交于点C．（1）求点C的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．5．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4mx+2m2+1，和y2＝x2+bx+c，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．6．设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a＝﹣2c，b＝﹣2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y＝x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝x2﹣2nx+1，若函数y1恰是y1+y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．7．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若t＝﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．8．已知：抛物线C1：y＝ax2经过点（2，），抛物线C2：y＝x2．（1）求a的值；（2）如图1，直线y＝kx（k＞0）分别交第一象限内的抛物线C2，C1于M，N两点．求证：MO＝MN．9．若二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2）（1）当x分别取﹣1，0，1时对应的函数值为y1，y2，y3，请比较y1，y2，y3的大小关系．（2）对于m，当x＞k时，y随x的增大而增大，求k的最小整数值．（3）若函数过（a，b）点和（a+6，b）点，求b的取值范围．10．对a，b定义一种新运算M，规定M（a，b）＝，这里等式右边是通常的四则运算，例如：M（2，3）＝＝﹣12．（1）如果M（2x，1）＝M（1，﹣1），求实数x的值；（2）若令y＝M（x+，x﹣），则y是x的函数，当自变量x在﹣1≤x≤2的范围内取值时，函数值y为整数的个数记为k，求k的值．11．已知二次函数y＝2x2+m．（1）若点（﹣2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，﹣4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．12．已知抛物线y＝ax2+2x+3（a≠0）有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；②若把顶点的横坐标减少，纵坐标增大分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加，纵坐标增加分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y＝ax2+2x+3（a≠0）上．（1）求出当实数a变化时，抛物线y＝ax2+2x+3（a≠0）的顶点所在直线l的解析式；（2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；（3）你能根据特点②的启示，对一般二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明．13．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果则＜x＞＝n．如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4，…试解决下列问题：（1）填空：①＜π＞＝（π为圆周率）；②如果＜2x﹣1＞＝3，则实数x的取值范围为；（2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞＝m+＜x＞；②举例说明＜x+y＞＝＜x＞+＜y＞不恒成立；（3）求满足＜x＞＝的所有非负实数x的值；（4）设n为常数，且为正整数，函数的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足＜＞＝n的所有整数k的个数记为b．求证：a＝b＝2n．14．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC、CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标．16．已知直线y＝kx+m与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，且点A在x轴正半轴，点B在y轴上，点O为坐标原点．（1）若点A的横坐标为2，求b﹣k的值；（2）若点A的横坐标为m，抛物线顶点的纵坐标为n，点P在线段AB上，且到两坐标轴的距离相等，当OP≤时，试比较n与b+m﹣k的大小．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，它的对称轴与x轴交于点F，过点C作CE∥x 轴交抛物线于另一点E，连结EF，AC．（1）求该抛物线的表达式及点E的坐标；（2）在线段EF上任取点P，连结OP，作点F关于直线OP的对称点G，连结EG和PG，当点G恰好落到y 轴上时，求△EGP的面积．18．直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线表达式；（2）点P为抛物线上的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交x轴和直线AB于M、N两点，若P、M、N三点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），请求出此时点P的坐标．19．已知函数y＝．（1）|k|＝2，请画出符合条件的函数图象；（2）k的值分别取k1，k2时，得到两个函数，，其中k1＜k2且k1+k2＝0，y2的图象是由y1的图象经过怎样的变换得到的；（3）在（2）的条件下，请求出当y1＜y2时，x的取值范围．20．阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E，B．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y 轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．22．设抛物线y＝的图象与x轴只有一个交点．（1）求a的值；（2）求a18+323a﹣6的值．23．已知：关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0．（1）求证：m取任何实数量，方程总有实数根；（2）若二次函数y1＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；①求二次函数y1的解析式；②已知一次函数y2＝2x﹣2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；（3）在（2）条件下，若二次函数y3＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，求二次函数y3＝ax2+bx+c的解析式．24．已知函数y＝x2+（b﹣1）x+c（b，c为常数），这个函数的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0）和B（x2，0）．若x1，x2满足x2﹣x1＞1；（1）求证：b2＞2（b+2c）；（2）若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，C在y轴的正半轴上，S△ABC＝8；（1）求抛物线的解析式；（2）设点P是抛物线的对称轴上一动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）若抛物线的顶点为D，直线CD交x轴于E．则x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使S△QBE＝15？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．26．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．27．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．28．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴的另一个交点为C．（1）求出此抛物线的表达式及点C坐标；（2）如图1，AB的中点记为D，∠MDN＝30°，将∠MDN绕点D在AB的左侧旋转，DM与射线BO交于点E，DN与射线AO交于点F．设BE＝m，AF＝n（m＞0，n＞0），求m关于n的函数关系式．（3）当∠MDN的边经过点C时，求m，n的值（直接写出结果）．29．如图（1），抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，已知A、C两点的坐标为A（﹣1，0），C（0，3）．点P是抛物线上第一象限内一个动点．（1）求抛物线的解析式，并求出B的坐标；（2）如图1，抛物线上是否存在点P，使得△OBP≌△OCP，若存在，求点P的坐标；（3）如图2，y轴上有一点D（0，1），连结DP交BC于点H，若H恰好平分DP，求点P的坐标；（4）如图3，连结AP交BC于点M，以AM为直径作圆交AB、BC于点E、F，若E，F关于直线AP轴对称，求点E的坐标．30．如图1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），C（4，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为抛物线第四象限上一点，AP交y轴于Q，设点P的横坐标为t，求线段BQ的长d与t的函数关系（不要求写出自变量的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，D为抛物线第一象限上的一点，过D作y轴的平行线，分别交BP、AP于M、N，过P作PH⊥直线DM于H，连接AD交BP于E，若MN＝NH，∠DEP+∠ABO＝90°，求点D的坐标．31．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．（1）若A（﹣1，0），B（3，0）两点，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中位于第四象限内的抛物线上是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由；（3）直线y＝1与抛物线y＝x2+bx+c交于抛物线对称轴右侧的点为点D，点E与点D关于x轴对称．试判断直线DB与直线AE的位置关系，并证明你的结论．32．如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝，n＝．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．。
【中考压轴之满分集训】专题02 函数图像与性质综合题(四大类)(解析版)
冲刺中考数学压轴之满分集训专题02函数图像与性质综合题（四大类）【类型一：分析函数图像】【典例1】（锦州）已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A 地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为．【答案】9：20【解答】解：因为甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是千米/分，由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了（15﹣10）分钟，所以乙的速度为：5÷5＝1千米/分，所以乙走完全程需要时间为：10÷1＝10分，因为9：10乙才出发，所以乙到达A地的时间为9：20；故答案为9：20．【变式1-1】（2022•潍坊）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点F作FH⊥AB于H，当0≤x≤1时，如图1，在Rt△FAH中，AF＝x，∠A＝60°，则FH＝AF•sin A＝x，∴线段EF扫过区域的面积y＝x•x＝x2，图象是开口向上的抛物线，当1＜x≤2时，如图2，过点D作DP⊥AB于P，则DP＝AD•sin A＝，∴线段EF扫过区域的面积y＝×（x﹣1+x）×＝x﹣，图象是y 随x的增大而增大的线段，当2＜x≤3时，如图3，过点E作EG⊥CD于G，则CE＝CF＝3﹣x，∴EG＝（3﹣x），∴线段EF扫过区域的面积y＝2×﹣×（3﹣x）×（3﹣x）＝﹣（3﹣x）2，图象是开口向下的抛物线，故选：A．【变式1-2】（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（）A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝8【答案】B【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝4+6＝10，∴D选项的结论不正确，故选：B．【变式1-3】（2022•宜昌）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（）A．50m/min B．40m/min C．m/min D．20m/min【答案】D【解答】解：由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，∴这一时间段小强的步行速度为＝20（m/min），故选：D．【变式1-4】（2022•辽宁）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF 中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，＝BC•AM＝4，∴S△ABC①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD•DG＝x2；②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝S△ABC∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，综上，选项A的图像符合题意，故选：A．【类型二：判断函数图像】【典例2】（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意当0≤x≤4时，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，当4＜x＜7时，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．【变式2-1】（2022•湖北）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意得：当0≤t＜1时，S＝4﹣t，当1≤t≤2时，S＝3，当2＜＜t≤3时，S＝t+1，故选：A．【变式2-2】（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac的图象位于第一，二，三象限，由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，∴4a+2b+c＞0，∴y＝的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B．【变式2-3】（2022•广西）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵反比例函数y＝（b≠0）的图象位于一、三象限，∴b＞0；∵A、B的抛物线都是开口向下，∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，故A、B都是错误的．∵C、D的抛物线都是开口向上，∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故选：D．【类型三：反比例函数综合】【典例3】（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B【变式3-1】（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为．【答案】8【解答】解：连接OA、OB，∵AC⊥x轴，∴AC∥y轴，＝S△APB，∴S△AOB＝2，∵S△APB＝2，∴S△AOB由反比例函数系数k的几何意义可得：S△AOC＝6，S△BOC＝，∴6﹣＝2，解得：k＝8，故答案为8．【变式3-2】（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．【答案】S1＝4S4【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．【变式3-3】（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点C，E．若点A（3，0），则k的值是．【答案】4【解答】解：设C（m，），∵四边形ABCD是正方形，∴点E为AC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝上，∴，∴m＝1，作CH⊥y轴于H，∴CH＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1，∴C（1，4），∴k＝4，故答案为：4．【变式3-4】（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ACBE的边长是，点B，C分别在x轴和y轴正半轴上，BO＝2，ED⊥x轴于点D，ED的中点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k＝．【答案】3【解答】解：∵正方形ACBE的边长是，BO＝2，∴BC＝BE＝，∴OC＝＝＝1，∵∠ABC＝90°，∴∠OBC+∠EBD＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBD，在△OBC和△DEB中，，∴△OBC≌△DEB（AAS），∴BD＝OC＝1，DE＝OB＝2，∴OD＝3，∴E（3，2），∵点F是ED的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，故答案为3．【变式3-5】（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，＜S△OPE时，x的取值范围是．连接OA、OP．当S△OAD【答案】1＜x＜4【解答】解：过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，如图，∵点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣4．∴y＝．∵点A（﹣2，2），∴AD＝OD＝2．∴．设B（a，b），则ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．∴＝＝2．＝2．同理：S△OCG＞S△OBF，从图中可以看出当点P在线段BC上时，S△OPE＜S△OPE．即当点P在线段BC上时，满足S△OAD∵OM＝ON＝5，∴N（0，﹣5），M（5，0）．设直线MN的解析式为y＝mx+n，则：，解得：．∴直线MN的解析式为y＝x﹣5．∴，解得：，．∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．∴x的取值范围为1＜x＜4．【变式3-6】（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为．【答案】（，1）【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，∵∠AOB＝30°，∴OE＝AE＝，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝1×＝，∴y＝，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，∴∠MOF＝30°，∴OF＝MF，设MF＝n，则OF＝n，∴M（n，n），∵点M在函数y＝的图象上，∴n＝，∴n＝1（负数舍去），∴M（，1），故答案为（，1）．【变式3-7】（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝．【答案】﹣12【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a+1，∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．【类型4：二次函数综合】【典例4】（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣1，即，∴b＝2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，b＝2a，∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；故选：C．【变式4-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．【变式4-2】（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③【答案】D【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D．【变式4-3】（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x ＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（）A．b2＞﹣8aB．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bmC．3a﹣2＞0D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0【答案】C【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b2＞0，﹣8a＜0，∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正确，不符合题意；∵l∥x轴，∴y1＝y2，令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0．∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意；∵a＞0，∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；故选：C．【变式4-4】（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∴a+b+c＝0，∵a＜c，∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，∴b＜0，∴对称轴x＝﹣＞1，∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；③∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；故选：C．【变式4-5】（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【答案】C【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【变式4-6】（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故结论①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x＝，∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，∴b＝，∵b＝2a，∴a＝，∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝，∴b+c＝，故选：B．。
初中数学函数面积问题题型解析(精品)专题辅导
初中数学函数面积问题题型解析函数中的面积问题是函数中的一个重点，对这一问题，不少同学解题时，不知如何入手。
本文就这类问题的题型剖析如下：一、已知函数解析式求面积［例1］已知函数8x 4y -=，求该图像与x 轴、y 轴围成三角形的面积。
解：函数8x 4y -=当x=0时，8y -=当x=2时，y=0∴函数8x 4y -=与两坐标轴的交点坐标为（0，－8）和（2，0） ∴82821|2||8|21=⨯⨯=⨯-⨯点评：求三角形的面积时，应先确定三角形的底和高，那么三角形的底和高分别是什么，又怎样表示呢？作出函数8x 4y -=的图像，直线与坐标轴围成的三角形便一目了然了。
相似练习1. 求直线y=x+4与直线4x y +-=与x 轴围成三角形的面积；2. 直线a x 2y +=与b x y +-=的图像都过点A （－2，0）且与y 轴交于B 、C 两点，求ΔABC 的面积。
二、已知面积求解析式［例2］直线y=3x+k 与两坐标轴围成三角形的面积为24，求k 的值。
解：y=3x+k 与两坐标轴的交点为（0，k ）和（3k -，0） ∴2421|3k |k =⨯-⨯ 12k 144k 2±==，点评：已知三角形的面积，相当于直线与坐标轴交点到原点的距离的乘积可知，由此可转化成求交点坐标，即可得答案。
［例3］已知直线l 和直线l'：x+y=20交于点P ，与x 轴交于点A （8，0），且ΔPAO的面积为16，求直线l 的解析式。
解：∵直线l 与x 轴交于点A （8，0）∴AO=8∵ΔPAO 的面积为16∴三角形的高为4∴P 点的纵坐标为4或－4∵直线l 与直线l'：20y x =+交于点P ，∴P 点坐标为（16，4）或（24，－4）∴直线l 过点A （8，0）和（16，4）或A （8，0）和P （24，－4）∴设直线l ：b kx y +=则⎩⎨⎧=+=+4b k 160b k 8 或⎩⎨⎧=+=+-4b 24k 0b 8k 解得21k =，b=4或41k -=，b=2 ∴2x 41y 4x 21y +-=-=或点评：由已知三角形的面积，可想到以寻找底和高为突破口。
高考数学命题热点名师解密：专题(02)函数问题的解题规律(文)(含答案)
专题02 函数问题的解题规律一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和问题7.分段函数问题8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题10.任意存在问题二．知识点【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；3．了解简单的分段函数，并能简单应用；4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．【知识要点】1．函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.2．映射的概念设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A 到集合B的映射．3．函数的特点①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；③关键是对应法则．4．函数的表示法函数的表示法：图示法、解析法．5．判断两个函数为同一个函数的方法两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．6．分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．三．典例分析及变式训练（一）定义域陷阱例1. 【曲靖一中2019模拟】已知，若函数在（﹣3，﹣2）上为减函数，且函数=在上有最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.【解析】在上为减函数，，且在上恒成立，，，又在上有最大值，且在上单调递增，在上单调递减，且，，解得，综上所述，，故选A.【点评】本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.故答案为：D.练习2．已知函数则__________．【答案】1008【解析】分析：由关系，可类比等差数列一次类推求值即可.详解：函数，则，故答案为：1008.点睛：可类比“等差数列”或函数周期性来处理.（七）分段函数问题例7．【河北省廊坊市2019届高三上学期第三次联考】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，化简即可．【详解】当时，,所以函数在上只能是单调递增函数，又存在负的零点，而当时，f(0)=1+a，当时，f（0）=3a-2，0<3a-21+a，解得.故选B.【点评】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．练习1.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A．﹣1 B．﹣2 C． 6 D． 7【答案】A【解析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点评】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.练习2．已知,那么等于( )A． 2 B． 3 C． 4 D． 5【答案】A【解析】将逐步化为,再利用分段函数第一段求解.【详解】由分段函数第二段解析式可知，，继而,由分段函数第一段解析式，，故选A.【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.（八）函数的解析式求法例8. （1）已f ()=，求f(x)的解析式.（2）．已知y =f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用换元法即可求解；（2）已知函数是一次函数，可设函数解析式为f(x)=ax＋b，再利用待定系数法列出关于a、b的方程组即可求解出a、b的值.【详解】（1）设(x≠0且x≠1)（2）设f(x)=ax＋b，则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8或所以函数的解析式为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，解题中应用了换元法和待定系数法，待定系数法的主要思想是构造方程（组），对运算能力要求相对较高，属于中档题.练习1.(1) 已知是一次函数,且满足求 ;(2) 判断函数的奇偶性.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）用待定系数法求一次函数解析式.（2）结合分段函数的性质，分别判断各定义域区间内， f（-x）与f（x）的关系，即可判断函数奇偶性.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数，考查了函数的奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.再结合分段函数的分段区间，以及对应的解析式，判断关系式f（-x）=f(x)或f（-x）=-f（x）是否成立.练习2．已知函数对一切实数x，y都有f（x+y)﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）已知a，b∈R，当时，求不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的a的集合A．【答案】（1）f（0）=﹣2（2）f（x）=x2+x﹣2（3）【解析】（1）令，可得，再根据可得；（2）在条件中的等式中，令，可得，再根据可得所求的解析式；（3）由条件可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立，根据二次函数的知识求出函数上的值域即可得到的范围．【详解】（1）根据题意，在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令x=﹣1，y=1，可得，又，∴．（2）在f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）中，令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）又，∴．（3）不等式f（x）+3＜2x+a等价于x2+x﹣2+3＜2x+a，即x2﹣x+1＜a．由当时不等式f（x）+3＜2x+a恒成立，可得当时不等式x2﹣x+1＜a恒成立．设，则在上单调递减，∴，∴．∴．【点评】（1）解决抽象函数（解析式未知的函数）问题的原则有两个：一是合理运用赋值的方法；二是解题时要运用条件中所给的函数的性质．（2）解答恒成立问题时，一般采用分离参数的方法，将问题转化为求具体函数最值的方法求解，若函数的最值不存在，则可用函数值域的端点值来代替．练习3.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】B【解析】当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2-x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2-x，∴EM=x-（2-x）=2x-2，∴S△ENM=（2x-2）2=2（x-1）2，∴y=x2-2（x-1）2=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，∴y=．故选B．练习4.如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿⊙M的半圆形M→A→C→B→M路径匀速慢跑，那么李老师离出发点M的距离与时间x之间的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得从M到A距离在增加，由A经B到C与M的距离都是半径，由B到M距离逐渐减少，故选D.（九）恒成立问题求参数范围问题例9. 【湖北省武汉市第六中学2018-2019学年调研数学试题】若函数的定义域为，值域为，则的取值范围A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的定义域、值域结合函数单调性求出的取值范围【详解】由函数的对称轴为且函数图像开口向上则函数在上单调递减，在上单调递增，当且仅当处取得最小值由值域可知，故在上函数单调递增，在处取得最大值故，解得综上所述，故选【点睛】本题在知道函数的定义域与值域后求参量的取值范围，在解答题目时结合函数的单调性判定取值域的情况。
二次函数中的面积计算问题
二次函数中的面积计算问题[典型例题]例. 如图，二次函数2y x bx c =++图象与x 轴交于A,B 两点(A 在B 的左边)，与y 轴交于点C ，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形, 图象的对称轴为直线2-=x ，点P 是抛物线上位于,A C 两点之间的一个动点，则PAC ∆的面积的最大值为（C ） A ．274 B ．112 C ． 278D ．3二次函数中面积问题常见类型： 一、选择填空中简单应用 二、不规则三角形面积运用S= 三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形例1. 如图1，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是 （ B ）xy ABCOM例2. 解答下列问题：如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.思路分析此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y 1＝a (x －1)2＋4(a ≠0)．把A (3，0)代入解析式求得a ＝－1，∴抛物线的解析式为y 1＝－(x －1)2＋4，即y 1＝－x 2＋2x ＋3．图2图1设直线AB 的解析式为y 2＝kx ＋b ，由y 1＝－x 2＋2x ＋3求得B 点的坐标为(0，3)．把A (3，0)，B (0，3)代入y 2＝kx ＋b ，解得k ＝－1，b ＝3．∴直线AB 的解析式为y 2＝－x ＋3．（2）∵C (1，4)，∴当x ＝1时，y 1＝4，y 2＝2．∴△CAB 的铅垂高CD ＝4－2＝2．S △CAB ＝21×3×2＝3(平方单位)．（3）解：存在．设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h则h ＝y 1－y 2＝(－x 2＋2x ＋3)－(－x ＋由S △PAB ＝89S △CAB 得：21×3×(－x 2＋3x )整理得4x 2－12x ＋9＝0，解得x ＝23．把x ＝23代入y 1＝－x 2＋2x ＋3，得y 1＝415．∴P 点的坐标为(23，415)．例3. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°得到△COD （点A 转到点C 的位置），抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过C 、D 、B 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P ，求△PAB 的面积；（3）抛物线上是否存在点M ，使△MBC 的面积等于△PAB 的面积若存在，请求出点M图2思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和△PAB 的面积很容易求出。
函数图像中的面积问题
变与不变，以不变应万变。
五、课堂检测
• 1.如图，直线y=2x+3与直线y=-2x-1交于点C，两直线与y 轴交于A、B两点.则S△ABC=____________.
• 2.如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，
• 3.二次函数y=-x2+2x+3的图象交x轴于A、B两点，
交y轴于点C，△ABC的面1x 积为_____6__.
• 4.如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和 圆心B都在反比例函数 y= 1 的图象上，则图
中阴影部分的面积等于__π_（x 结果保留π）．
三、合作探究
• 例1.如图，直线y=-3x+6交x轴、y轴于A、B两点，直线 y=x+2交x轴、y轴于C、D两点,两直线交于点E.求四边形 ODEA的面积．
1 m2 3m 3 3 m2 3m
2
2
s 3 m 3 2 27 2 2 8
s最大 27 8
四、总结反思
• 解题思路： • 1. 直线型的面积尽量依靠坐标轴。
• 2. 反比例函数紧紧抓住xy=k即s矩形= k
• 3. 不规则图形通过平移、旋转、翻折、切 补等化为规则图形。
分别与反比例函数 y 6 和 y 4
x
x
的图象交于A、B两
• 点．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的
面积为_______.
•
3.如图，抛物线
y 1 x2 3 x 2 22
的图象与x轴交于A、B两点，
与y轴交于C点．若点M是求出此时M点的坐标．
函数图象专题——函数图象上的面积.doc
函数图象专题一一函数图象上的面积1.如图，反比例函数y 二一的图彖与一次函数y=ax + b 的图象交于C (4, 象交y 轴于点A.(1) 求反比例函数与一次函数的解析式；(2) 求ACOE 的面积.B (-1,2)是一次函数y = kx + b 与反比例函数y =— x(加工0,加V0)图象的两个交点，AC 丄x 轴于C, BD 丄y 轴于D 。
(1) 根据图象直接冋答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值?(2) 求一次函数解析式及m 的值；(3) P 是线段AB 上的一点，连接PC, PD,若APCA 和APDB 面积相等，求点P 坐标。
-3), E (・3, 4)两点.且一次函数图 2.如图，己知A -4,一3. 如图，直线y 二-x+b 与反比例函数 *的图象相交于A (1, 4), B 两点，延长A0交反比例函数图象于点C, 连接0B.(1) 求k 和b 的值； (2) 直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围；S 丄s(3) 在y 轴上是否存在一点P,使 5 ?若存在请求出点P 坐标，若不存在请说明理由.]_4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y= 2 x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C ・抛物线y=ax 2+bx+c 的对称2 轴是x=・2且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B.(1) ©直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式.(2) 若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA, PC.求APAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标.k y=-5.如图，抛物线y=- xJbx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,且点B与点C的坐标分别为B (3, 0). C (0, 3),点M是抛物线的顶点.(1)求二次函数的关系式；(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD丄x轴于点D.若OD=m, APCD的面积为S,试判断S有最大值或最小值？并说明理由.6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2 +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为(3, 0),与y轴交于C (0, -3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式；(2)求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积.。
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专题02 函数图象中的面积计算问题几种常见面积的计算方法： 1. 三角形的一边在x 轴上时，S △ABC =12B AC x x y -⋅； 2. 三角形的一边在y 轴上时，S △ABC =12B AC y y x -⋅； 3. 割补法求解（1）三角形一个顶点在原点处，S △ABO =()12A B OE x x ⋅⋅+； S △ABO =()12A B OF y y ⋅⋅+.（2）割补法S △ABO =()12A B OC y y ⋅⋅-； S △ABO =()12B A OD x x ⋅⋅-.（3）补法求面积1. （2019·成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =+和2y x =-的图象交于点A ，反比例函数ky x=的图象经过点A . （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数152y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求△ABO 的面积.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵一次函数152y x =+和2y x =-的图象交于点A ， ∴1522y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：24x y =-⎧⎨=⎩，即A (－2,4)，将点A (－2,4)代入ky x=中，得：k =－8， 故反比例函数的表达式为：8y x=-；（2）联立152y x =+，8y x=-得：12122841x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， 即B (－8,1).过点B 作BC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ， ∴S △OAD =S △OBC ， ∴S △OAB =S 梯形ABCD ， =（BC +AD ）×CD ÷2 =（1+4）×6÷2=15.2.（2019·四川凉山州中考）如图，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝4x的图象相交于A 、C 两点，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点B ，连接BC ，则△ABC 的面积等于（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C.【解析】解：由反比例函数意义，可得：S △ABO =S △BOC =2， ∴S △ABC =4. 故答案为：C .3.（2019·四川南充中考）双曲线xky =（k 为常数，且0≠k ）与直线b x y +-=2交于),1(),2,21(n B m m A --两点.（1）求k 与b 的值；（2）如图，直线AB 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若点E 为CD 的中点，求△BOE 的面积.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点1(,2)2A m m --在直线y =－2x +b 上， ∴12()22m b m --+=-，解得b =－2， ∴y =－2x －2，∵点B （1，n ）在直线y =－2x －2上， ∴n =－4， ∴B （1，－4），∵B （1，－4）在双曲线上， ∴k =－4.（2）直线y =－2x －2交x 轴于C （－1,0），交y 轴于D （0，－2）， ∴S △COD =1|2||1|21=-⨯-⨯ ∵点E 为CD 的中点，∴S △COE =12S △COD =12， ∵S △COB =1|1||4|22⨯-⨯-=.∴S △BOE =S △COB －S △COE =2－1322=.4.（2019·浙江宁波中考）如图，过原点的直线与反比例函数y＝kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B 作AE的垂线，垂足为E，连结DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为．【答案】6.【解析】解：如图，连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，∵过原点的直线与反比例函数y＝kx（k＞0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BE⊥AE，∴OE＝OA，∴∠OAE＝∠AEO，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠AEO，∴AD∥OE，∴S△ACE＝S△AOC，∵AC ＝3DC ，△ADE 的面积为8， ∴S △ACE ＝S △AOC ＝12， 设点A （m ，k m）， ∵AC ＝3DC ，DH ∥AF ， ∴3DH ＝AF ， ∴D （3m ，3k m）， ∵CH ∥GD ，AG ∥DH ， ∴△DHC ∽△AGD ， ∴S △HDC ＝14S △ADG ， ∵S △AOC ＝S △AOF +S 梯形AFHD +S △HDC＝12k +12（DH +AF ）×FH +S △HDC ＝12k +12×43k m ×2m +112243k m m ⨯⨯⨯ ＝12k +43k +16k ＝12， ∴2k ＝12，解得：k ＝6； 故答案为6.5.（2019·甘肃中考）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象相交于A （﹣1，n ）、B （2，﹣1）两点，与y 轴相交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积； （3）若M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y ＝mx上的两点，当x 1＜x 2＜0时，比较y 2与y 1的大小关系．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵反比例函数y＝mx经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝2x-上，∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则：2 21k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得：k=－1，b=1，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝2x -．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝12×2×3＝3．（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝2x-上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．6.（2019·甘肃兰州中考）如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数y＝kx（x>0）的图象上，S矩形OABC＝6，则k＝___________.【答案】6．【解析】解：|k|＝S矩形OABC＝6，∵图象在第一象限，∴k>0， ∴k ＝6.7.（2019·甘肃兰州中考）如图， 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y ＝xk（k ≠0）的图象，过等边△BOC 的顶点B ，OC ＝2，点A 在反比例函数图象上，连接AC 、AO.（1）求反比例函数y ＝kx（k ≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO 的面积是，求点A 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵ OC ＝2, ∴OM ＝1, BM ＝3, ∴点B(－1 ，－3 )， ∴k ＝(－1)×（－3)＝3,∴y ＝x3. （2）∵S 四边形ACBO ＝33＝S △AOC + S △BOC∵S △BOC ＝43OC 2＝3, ∴S △AOC ＝23. ∵OC ＝2∴21×OC×AN＝，∴AN ＝，设A （x ，， ∴23x， ∴x ＝12， ∴A （21，23）. 8.（2019·山东聊城中考）如图，点A （32，4），B （3，m ）是直线AB 与反比例函数y ＝n x（x ＞0）图象的两个交点，AC ⊥x 轴，垂足为点C ，已知D （0，1），连接AD ，BD ，BC ．（1）求直线AB 的表达式；（2）△ABC 和△ABD 的面积分别为S 1，S 2．求S 2﹣S 1．【答案】见解析． 【解析】解：（1）由点A （32，4），B （3，m ）在反比例函数y ＝nx 图象上， ∴n ＝6∴反比例函数的解析式为y ＝6x， 将点B （3，m ）代入y ＝6x，得m ＝2， 即：B （3，2）.设直线AB 的表达式为y ＝kx +b ，∴34232k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得436k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的表达式为y ＝43-x+6；（2）由点A 、B 坐标得AC ＝4，点B 到直线AC 的距离为3﹣32＝32，∴S1＝12×4×32＝3，设AB与y轴的交点为E， E（0，6），如下图，∴DE＝6﹣1＝5，∴S2＝S△BDE﹣S△ACD＝12×5×3﹣12×5×32＝154，∴S2﹣S1＝154﹣3＝34．9.（2019·四川遂宁中考）如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中，得：a＝﹣1，∴B（﹣1，﹣4）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y=kx中得：k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝4x；（2）如图所示，设点P的坐标为（m，4m），则C（m，m﹣3）∴PC＝|4m﹣（m﹣3）|，∴△POC的面积＝12m×|4m﹣（m﹣3）|＝3，解得：m＝5或﹣2或1或2∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4，又∵m＞0，∴m＝5或1或2∴点P的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）．10. （2019·江苏宿迁中考）如图，一次函数y＝kx＋b的图像与反比例函数y=5x-的图像相交于点A（-1，m）、B（n，-1）两点.（1）求一次函数表达式；（2）求AOB的面积.【答案】见解析.【解析】解：（1）将点A（－1，m）、点B（n，－1）代入y=5x-得：m=5，n=5，即A(－1,5)，B（5，－1），将A(－1,5)，B（5，－1）代入y＝kx＋b得：551k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩， 即一次函数解析式为：y=－x+4.（2）设直线AB 与x 轴交于点E ，可得E(4,0),∴S △AOB=()12A B OE y y ⨯-=1462⨯⨯=12. 11.（2019·湖北黄冈中考）如图，一直线经过原点O ，且与反比例函数k y x =（k>0）相交于点A 、点B ，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，连接BC. 若△ABC 面积为8，则k =____________.【答案】8.【解析】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A 、B 两点，∴A 、B 两点关于原点对称，∴OA ＝OB ，∴△BOC 的面积＝△AOC 的面积＝8÷2＝4，又∵A 是反比例函数k y x =图象上的点，且AC ⊥y 轴于点C ， ∴△AOC 的面积＝12|k |， ∴12|k |＝4， ∵k ＞0，∴k ＝8．故答案为8．。