复变函数习题解答(第3章)

p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ]
5. 由积分⎰C1/(z + 2) dz之值证明⎰[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = 0，其中C取单位圆周| z | = 1．
【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析，故⎰C1/(z + 2) dz = 0．
设C : z(θ)= e iθ，θ∈[0, 2π]．
则⎰C1/(z + 2) dz = ⎰C1/(z + 2) dz = ⎰[0, 2π] i e iθ/(e iθ + 2) dθ
= ⎰[0, 2π] i (cosθ + i sinθ)/(cosθ + i sinθ + 2) dθ
= ⎰[0, 2π] (- 2 sinθ + i (1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ) dθ
= ⎰[0, 2π] (- 2 sinθ)/(5 + 4cosθ) dθ+ i ⎰[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ．
所以⎰[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0．
因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)以2π为周期，故⎰[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0；因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)为偶函数，故
⎰[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = (1/2) ⎰[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0．
7. (分部积分法)设函数f(z), g(z)在单连通区域D内解析，α, β是D内两点，试证
⎰[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -⎰[α, β] g(z) f’(z)dz．
【解】因f(z), g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’的积分都与路径无关．
⎰[α, β] f(z)g’(z)dz + ⎰[α, β] g(z) f’(z)dz = ⎰[α, β] ( f(z)g’(z)dz + g(z) f’(z))dz
= ⎰[α, β] ( f(z)g(z))’dz．
而f(z)g(z)是( f(z)g(z))’在单连通区域D内的一个原函数，所以
⎰[α, β] ( f(z)g(z))’dz = f(β)g(β) -f(α)g(α) = ( f(z)g(z))|[α, β]．
因此有⎰[α, β] f(z)g’(z)dz + ⎰[α, β] g(z) f’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β]，
即⎰[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -⎰[α, β] g(z) f’(z)dz．
13. 设C : z = z(t) (α≤t≤β)为区域D内的光滑曲线，f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ≠ 0，w = f(z)将曲线C映成曲线Γ，求证Γ亦为光滑曲线．
【解】分两种情况讨论．
(1) 当z(α) ≠z(β)时，C不是闭曲线．此时z(t)是[α, β]到D内的单射，z(t)∈C1[α, β]，且在[α, β]上，| z’(t) |≠ 0．
因Γ是曲线C在映射f下的象，所以Γ可表示为w = f(z(t)) (α≤t≤β)．
∀t∈[α, β]，z(t)∈D．因f于区域D内解析，故f在z(t)处解析，
因此f(z(t))在t处可导，且导数为f’(z(t))z’(t)．
显然，f’(z(t))z’(t)在[α, β]上是连续的，所以f(z(t))∈C1[α, β]．
因为f(z)于区域D内是单叶的，即f(z)是区域D到 的单射，而z(t)是[α, β]到D 内的单射，故f(z(t))是[α, β]到 内的单射．
因在D内有f’(z) ≠ 0，故在[α, β]上，| f’(z(t))z’(t) |= | f’(z(t)) | · |z’(t) |≠ 0．
所以，Γ是光滑曲线．
(2) 当z(α) = z(β)时，C是闭曲线．此时z(t)∈C1[α, β]；在[α, β]上，有| z’(t) |≠ 0；z’(α) = z’(β)；∀t1∈[α, β]，∀t2∈(α, β)，若t1 ≠t2，则z(t1) ≠z(t2)．
与(1)完全相同的做法，可以证明f(z(t))∈C1[α, β]，且| f’(z(t))z’(t) |≠ 0．
由z(α) = z(β)和z’(α) = z’(β)，可知f’(z(α))z’(α) = f’(z(β))z’(β)．
因为∀t1∈[α, β]，∀t2∈(α, β)，若t1 ≠t2，则z(t1) ≠z(t2)，
由f(z)于区域D内单叶，因此我们有f(z(t1)) ≠f(z(t2))．
所以Γ是光滑的闭曲线．
14. 设C : z = z(t) (α≤t≤β)为区域D内的光滑曲线，f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ≠ 0，w = f(z)将曲线C映成曲线Γ，证明积分换元公式
⎰ΓΦ(w) dw = ⎰CΦ( f(z)) f’(z) dz．
其中Φ(w)沿曲线Γ连续．
【解】由13题知曲线Γ也是光滑曲线，其方程为w(t) = f(z(t)) (α≤t≤β)．
故⎰ΓΦ(w) dw = ⎰[α, β] Φ(w(t)) ·w’(t) dt = ⎰[α, β] Φ( f(z(t))) · ( f’(z(t)) z’(t)) dt．
而⎰CΦ( f(z)) f’(z) dz = ⎰[α, β] ( Φ( f(z(t))) f’(z(t))) ·z’(t) dt．
所以⎰ΓΦ(w) dw = ⎰CΦ( f(z)) f’(z) dz．
15. 设函数f(z)在z平面上解析，且| f(z) |恒大于一个正的常数，试证f(z)必为常数．【解】因| f(z) |恒大于一个正的常数，设此常数为M．
则∀z∈ ，| f(z) | ≥M，因此| f(z) | ≠ 0，即f(z) ≠ 0．
所以函数1/f(z)在 上解析，且| 1/f(z) | ≤ 1/M．
由Liuville定理，1/f(z)为常数，因此f(z)也为常数．
17. 设函数f(z)在区域D内解析，试证(∂2/∂x2 + ∂2/∂y2) | f(z) |2 = 4 | f’(z) |2．
【解】设f(z) = u + i v，w = | f(z) |2，则w = ln ( u 2 + v 2 )．
w x = 2(u x u+ v x v)，w y = 2(u y u+ v y v)；
w xx = 2(u xx u+ u x2 + v xx v+ v x2 )，w yy = 2(u yy u+ u y2 + v yy v+ v y2 )；
因为u, v都是调和函数，所以
u xx u+ u yy u= (u xx + u yy) u= 0，v xx v+ v yy v= (v xx + v yy) v= 0；
由于u, v满足Cauchy-Riemann方程，故u x2 = v y 2，v x 2 = u y2，
故w xx + w yy = 2 (u x2 + v x2 + u y2 + v y2) = 4 (u x2 + v x2) = 4 | f(z) |2；
即(∂2/∂x2 + ∂2/∂y2) | f(z) |2 = 4 | f’(z) |2．
18. 设函数f(z)在区域D内解析，且f’(z) ≠ 0．试证ln | f’(z) |为区域D内的调和函数．
【解】∀a∈D，因区域D是开集，故存在r1 > 0，使得
K(a, r1) = { z∈ | | z -a | < r1 } ⊆D．
因f’(a) ≠ 0，而解析函数f’(z)是连续的，故存在r2 > 0，使得
K(a, r2) ⊆K(a, r1)，且| f’(z) -f’(a)| < | f’(a) |．
用三角不等式，此时有| f’(z)| > | f’(a) | - | f’(z) -f’(a)| > 0．
记U = { z∈ | | z -f’(a)| < | f’(a) |}，则U是一个不包含原点的单连通区域．
在沿射线L = {z∈ | z = - f’(a) t，t≥ 0 }割开的复平面上，多值函数g(z) = ln z
可分出多个连续单值分支，每个单值连续分支g(z)k在 \L上都是解析的．
∀t≥ 0，| - f’(a) t -f’(a) | = (t + 1) | f’(a) | ≥ | f’(a) |，故- f’(a) t ∉U．
所以U ⊆ \L，即每个单值连续分支g(z)k在U上都是解析的．
因为当z∈K(a, r2)时，f’(z)∈U，故复合函数g( f’(z))k在上解析．
而Re(g( f’(z))k) = ln | f’(z) |，所以ln | f’(z) |在K(a, r2)上是调和的．
由a∈D的任意性，知ln | f’(z) |在D上是调和的．
【解2】用Caucht-Riemann方程直接验证．因为f’(z)也在区域D内解析，
设f’(z) = u + i v，则u, v也满足Cauchy-Riemann方程．记w = ln | f’(z) |，
则w = (1/2) ln ( u 2 + v 2 )，
w x = (u x u+ v x v) /( u 2 + v 2 )，w y = (u y u+ v y v) /( u 2 + v 2 )；
w xx = ((u xx u+ u x2 + v xx v+ v x2 )( u 2 + v 2 ) - 2(u x u+ v x v)2)/( u 2 + v 2 )2；
w yy = ((u yy u+ u y2 + v yy v+ v y2 )( u 2 + v 2 ) - 2(u y u+ v y v)2)/( u 2 + v 2 )2；
因为u, v都是调和函数，所以
u xx u+ u yy u= (u xx + u yy) u= 0，v xx v+ v yy v= (v xx + v yy) v= 0；
由于u, v满足Cauchy-Riemann方程，故u x2 = v y 2，v x 2 = u y2，u x v x + u y v y = 0，
因此(u x u+ v x v)2 + (u y u+ v y v)2
= u x2u 2+ v x 2v 2 + 2 u x u v x v+ u y2u 2+ v y 2v 2 + 2 u y u v y v= (u x2 + v x2 )( u 2 + v 2 )；
故w xx + w yy = (2(u x2 + v x2 )( u 2 + v 2 ) - 2(u x2 + v x2 )( u 2 + v 2 ))/( u 2 + v 2 )2 = 0．
所以w为区域D内的调和函数．
[初看此题，就是要验证这个函数满足Laplace方程．因为解析函数的导数还是解析的，所以问题相当于证明ln | f(z) |是调和的，正如【解2】所做．于是开始打字，打了两行之后，注意到ln | f’(z) |是Ln f’(z)的实部．但Ln z不是单值函数，
它也没有在整个 上的单值连续分支，【解1】前面的处理就是要解决这个问题．] p141第三章习题(二)[ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ]
1. 设函数f(z)在0 < | z | < 1内解析，且沿任何圆周C : | z | = r, 0 < r < 1的积分值为零．问f(z)是否必须在z = 0处解析？试举例说明之．
【解】不必．例如f(z) = 1/z2就满足题目条件，但在z = 0处未定义．
[事实上可以任意选择一个在| z | < 1内解析的函数g(z)，然后修改它在原点处的函数值得到新的函数f(z)，那么新的函数f(z)在原点不连续，因此肯定是解析．但在0 < | z | < 1内f(z) = g(z)，而g(z)作为在| z | < 1内解析的函数，必然沿任何圆周C : | z | = r的积分值都是零．因此f(z)沿任何圆周C : | z | = r的积分值也都是零．若进一步加强题目条件，我们可以考虑，在极限lim z→0 f(z)存在的条件下，补充定义f(0) = lim z→0 f(z)，是否f(z)就一定在z = 0处解析？
假若加强条件后的结论是成立，我们还可以考虑，是否存在满足题目条件的函数，使得极限lim z→0 f(z)不存在，也不是∞？]
2. 沿从1到-1的如下路径求⎰C1/√z dz．
(1) 上半单位圆周；(2) 下半单位圆周，其中√z取主值支．
【解】(1) √z = e i arg z /2，设C : z(θ)= e iθ，θ∈[0, π]．
⎰C1/√z dz = ⎰[0, π] i e iθ/e iθ/2dθ = ⎰[0, π] i e iθ/2dθ = 2e iθ/2|[0, π] = 2(- 1 + i)．
(2) √z = e i arg z /2，设C : z(θ)= e iθ，θ∈[-π, 0]．
⎰C1/√z dz = -⎰[-π, 0] i e iθ/e iθ/2dθ = -⎰[-π, 0] i e iθ/2dθ = - 2e iθ/2|[-π, 0] = 2(- 1 -i)．
[这个题目中看起来有些问题：我们取主值支，通常在是考虑割去原点及负实轴的z平面上定义的单值连续分支．因此，无论(1)还是(2)，曲线C上的点-1总不在区域中(在区域的边界点上)．因此曲线C也不在区域中．
所以，题目应该按下面的方式来理解：考虑单位圆周上的点ζ，以及沿C从1到ζ的积分的极限，当ζ分别在区域y > 0和区域y < 0中趋向于-1时，分别对应(1)和(2)的情形，简单说就是上岸和下岸的极限情形．
那么按照上述方式理解时，仍然可以象我们所做的那样，用把积分曲线参数化的办法来计算，这是由积分对积分区域的连续性，即绝对连续性来保证的．
以后我们遇到类似的情形，都以这种方式来理解．]
3. 试证| ⎰C(z + 1)/(z - 1) dz | ≤ 8π，其中C为圆周| z - 1 | = 2．
【解】若z∈C，| z + 1 | ≤ | z - 1 | + 2 = 4，故| (z + 1)/(z - 1) | ≤ 2．
因此| ⎰C(z + 1)/(z - 1) dz | ≤⎰C| (z + 1)/(z - 1) | ds≤ 2 · Length(C) = 8π．
4. 设a, b为实数，s = σ+ i t (σ > 0)时，试证：
| e bs–e as| ≤ | s | · | b–a | e max{a, b} ·σ．
【解】因为f(z) = e sz在 上解析，故f(z)的积分与路径无关．
设C是从a到b的直线段，因为e sz/s是f(z)的一个原函数，所以
| ⎰C e sz dz | = | e sz/s |[a, b] | = | e bs–e as|/| s |．
而| ⎰C e sz dz | ≤⎰C | e sz|ds = ⎰C | e(σ+ i t)z|ds = ⎰C | eσ z+ i tz|ds
= ⎰C | eσ z|ds ≤⎰C e max{a, b} ·σ ds = | b–a | e max{a, b} ·σ．
所以| e bs–e as| ≤ | s | · | b–a | e max{a, b} ·σ．
5. 设在区域D = { z∈ : | arg z | < π/2 }内的单位圆周上任取一点z，用D内曲线C连接0与z，试证：Re(⎰C1/(1 + z2) dz ) = π/4．
【解】1/(1 + z2)在单连通区域D内解析，故积分与路径无关．设z = x + i y，
∀z∈D，i z∈{ z∈ : 0 < arg z < π } = { z∈ : Im z > 0 }，
-i z∈{ z∈ : -π < arg z < 0 } = { z∈ : Im z < 0 }，
故1 + i z∈{ z∈ : Im z > 0 }， 1 -i z∈{ z∈ : Im z < 0 }．
设ln(z)是Ln(z)的主值分支，则在区域D内( ln(1 + i z) - ln(1 -i z) )/(2i)是解析的，且(( ln(1 + i z) - ln(1 -i z) )/(2i))’ = (i/(1 + i z) + i/(1 -i z))(2i) = 1/(1 + z2)；
即( ln(1 + i z) - ln(1 -i z) )/(2i)是1/(1 + z2)的一个原函数．
⎰C1/(1 + z2) dz = ( ln(1 + i z) - ln(1 -i z) )/2 |[0, z]
= (ln(1 + i z) - ln(1 -i z))/(2i) = ln((1 + i z)/(1 -i z))/(2i)
= (ln |(1 + i z)/(1 -i z)| + i arg ((1 + i z)/(1 -i z)))/(2i)
= -i (1/2) ln |(1 + i z)/(1 -i z)| + arg ((1 + i z)/(1 -i z))/2，
故Re(⎰C1/(1 + z2) dz ) = arg ((1 + i z)/(1 -i z))/2．
设z = cosθ + i sinθ，则cosθ> 0，故
(1 + i z)/(1 -i z) = (1 + i (cosθ + i sinθ))/(1 -i (cosθ + i sinθ)) = i cosθ/(1 + sinθ)，
因此Re(⎰C1/(1 + z2) dz ) = arg ((1 + i z)/(1 -i z))/2
= arg (i cosθ/(1 + sinθ))/2 = (π/2)/2 = π/4．
[求1/(1 + z2) = 1/(1 + i z) + 1/(1 -i z) )/2的在区域D上的原函数，容易得到函数( ln(1 + i z) - ln(1 -i z) )/(2i)，实际它上就是arctan z．但目前我们对arctan z的性质尚未学到，所以才采用这种间接的做法．另外，注意到点z在单位圆周上，从几何意义上更容易直接地看出等式arg ((1 + i z)/(1 -i z))/2 = π/4成立．最后，还要指出，因曲线C的端点0不在区域D中，因此C不是区域D中的曲线．参考我们在第2题后面的注释．]
6. 试计算积分⎰C( | z | - e z sin z ) dz之值，其中C为圆周| z | = a > 0．
【解】在C上，函数| z | - e z sin z与函数a- e z sin z的相同，故其积分值相同，即⎰C( | z | - e z sin z ) dz = ⎰C( a- e z sin z ) dz．
而函数a- e z sin z在 上解析，由Cauchy-Goursat定理，⎰C( a- e z sin z ) dz = 0．因此⎰C( | z | - e z sin z ) dz = 0．
7. 设(1) f(z)在| z | ≤ 1上连续；(2) 对任意的r (0 < r < 1)，⎰| z | = r f(z) dz = 0．试证⎰| z
f(z) dz = 0．
| = 1
【解】设D(r) = { z∈ | | z | ≤r }，K(r) = { z∈ | | z | = r }，0 < r≤ 1．
因f在D(1)上连续，故在D(1)上是一致连续的．再设M = max z∈D(1) { | f(z) | }．∀ε > 0，∃δ1> 0，使得∀z, w∈D(1), 当| z-w | < δ1时，| f(z) -f(w)| < ε/(12π)．
设正整数n≥ 3，z k= e 2kπi/n ( k = 0, 1, ..., n- 1)是所有的n次单位根．
这些点z0, z1, ..., z n– 1将K(1)分成n个弧段σ(1), σ(2), ..., σ(n)．
其中σ(k) (k = 1, ..., n- 1)是点z k– 1到z k的弧段，σ(n)是z n– 1到z0的弧段．
记p(k) (k = 1, ..., n- 1)是点z k– 1到z k的直线段，p(n)是z n– 1到z0的直线段．
当n充分大时，max j {Length(σ( j))} = 2π/n < δ1．
设P是顺次连接z0, z1, ..., z n– 1所得到的简单闭折线．记ρ = ρ(P, 0)．
注意到常数f(z j)的积分与路径无关，⎰σ( j)f(z j) dz =⎰p( j)f(z j) dz；
那么，| ⎰K(1)f(z) dz -⎰P f(z) dz |= | ∑j⎰σ( j)f(z) dz -∑j⎰p( j)f(z) dz |
= | ∑j (⎰σ( j)f(z) dz -⎰p( j)f(z) dz ) |
≤∑j | ⎰σ( j)f(z) dz -⎰p( j)f(z) dz |
≤∑j ( | ⎰σ( j)f(z) dz -⎰σ( j)f(z j) dz | + | ⎰p( j)f(z j) dz -⎰p( j)f(z) dz | )
= ∑j ( | ⎰σ( j) ( f(z)-f(z j)) dz | + | ⎰p( j) ( f(z)-f(z j)) dz | )
= ∑j ( ⎰σ( j)ε/(12π) ds + ⎰p( j)ε/(12π) ds )
= (ε/(12π))·∑j ( Length(σ( j)) + Length(p( j)) )
≤ (ε/(12π))·∑j ( Length(σ( j)) + Length(σ( j)) )
= (ε/(12π))· (2 Length(K(1)))
= (ε/(12π))· 4π = ε/3．
当ρ< r < 1时，P中每条线段p(k)都与K(r)交于两点，设交点顺次为w k, 1, w k, 2．设Q是顺次连接w1, 1, w1, 2, w2, 1, w2, 2, ..., w n, 1, w n, 2所得到的简单闭折线．
与前面同样的论证，可知| ⎰K(r)f(z) dz -⎰Q f(z) dz |≤ε/3．
因此，| ⎰K(1)f(z) dz | = | ⎰K(1)f(z) dz -⎰K(r)f(z) dz |
≤ | ⎰K(1)f(z) dz -⎰P f(z) dz | + | ⎰K(r)f(z) dz -⎰Q f(z) dz | + | ⎰P f(z) dz-⎰Q f(z) dz |
≤ε/3 + ε/3 + | ⎰P f(z) dz-⎰Q f(z) dz |．
记连接w k, 2到w k +1, 1的直线段为l(k)，连接w k, 2到z k +1的直线段为r(k)，连接z k +1到w k +1, 1的直线段为s(k)，则
| ⎰r(k)f(z) dz + ⎰s(k)f(z) dz-⎰l(k)f(z) dz |
≤M ( Length(l(k)) + Length(r(k)) + Length(s(k)) ) ≤ 3 M · Length(l(k))．
因为当r → 1-时，有Length(l(k)) → 0，
故存在r∈(ρ, 1)使得| ⎰r(k)f(z) dz + ⎰s(k)f(z) dz-⎰l(k)f(z) dz | < ε/(3n)．
对这个r，我们有
| ⎰P f(z) dz-⎰Q f(z) dz | = | ∑k (⎰r(k)f(z) dz + ⎰s(k)f(z) dz-⎰l(k)f(z) dz ) |
≤∑k (| ⎰r(k)f(z) dz + ⎰s(k)f(z) dz-⎰l(k)f(z) dz |) ≤∑k ε/(3n) = ε/3．
故| ⎰K(1)f(z) dz | ≤ε．因此⎰K(1)f(z) dz = 0．
8. 设(1) f(z)当| z–z0 | > r0 > 0时是连续的；(2) M(r)表| f(z) |在K r : | z–z0 | = r > r0上的最大值；(3) lim r → +∞r M(r) = 0．试证：lim r → +∞⎰K(r) f(z) dz = 0．
【解】当r > r0时，我们有
| ⎰K(r) f(z) dz | ≤⎰K(r) | f(z) | ds≤⎰K(r) M(r) ds = 2πr M(r) → 0 (当r → +∞时)，
所以lim r → +∞⎰K(r) f(z) dz = 0．
9. (1) 若函数f(z)在点z = a的邻域内连续，则
lim r → 0 ⎰| z–a | = r f(z)/(z–a) dz = 2πi f(a)．
(2) 若函数f(z)在原点z = 0的邻域内连续，则
lim r → 0 ⎰[0, 2π] f(r e iθ ) dθ = 2π f(0)．
【解】(1) 当r充分小时，用M(r)表| f(z) |在K r : | z–a | = r上的最大值；
| ⎰| z–a | = r f(z)/(z–a) dz– 2πi f(a) |
= | ⎰| z–a | = r f(z)/(z–a) dz–f(a)⎰| z–a | = r1/(z–a) dz |
= | ⎰| z–a | = r( f(z) –f(a))/(z–a) dz | ≤⎰| z–a | = r| f(z) –f(a) |/| z–a| ds
≤M(r) ⎰| z–a | = r1/| z–a| ds = 2πr M(r)．
当r → 0时，由f(z)的连续性，知M(r) → | f(a) |．
故| ⎰| z–a | = r f(z)/(z–a) dz– 2πi f(a) | → 0．
因此，lim r → 0 ⎰| z–a | = r f(z)/(z–a) dz = 2πi f(a)．
(2) 根据(1)，lim r → 0 ⎰| z | = r f(z)/z dz = 2πi f(0)．
而当r充分小时，我们有
⎰| z | = r f(z)/z dz = ⎰[0, 2π] f(r e iθ )/(r e iθ )· (r e iθi ) dθ = i ⎰[0, 2π] f(r e iθ ) dθ．
所以，lim r → 0 (i ⎰[0, 2π] f(r e iθ ) dθ)= 2πi f(0)．
故lim r → 0 ⎰[0, 2π] f(r e iθ ) dθ = 2π f(0)．
10. 设函数f(z)在| z | < 1内解析，在闭圆| z | ≤ 1上连续，且f(0) = 1．求积分(1/(2πi))⎰| z | = 1 (2 ± (z + 1/z)) f(z)/z dz之值．
【解】(1/(2πi))⎰| z | = 1 (2 ± (z + 1/z)) f(z)/z dz
= ⎰| z | = 1 (2f(z)/z± (zf(z)/z + (1/z)f(z)/z) dz
= (1/(2πi)) ·( ⎰| z | = 1 2f(z)/z dz ± (⎰| z | = 1 f(z) dz +⎰| z | = 1 f(z)/z 2dz) )
= (1/(2πi)) ·( 2(2πi) f(0)± (0+ (2πi/1!)f’(0)) )
= 2 f(0)±f’(0) = 2 ±f’(0)．
11. 若函数f(z)在区域D内解析，C为D内以a, b为端点的直线段，试证：存在数λ，| λ| ≤ 1，与ξ∈C，使得f(b) -f(a) = λ(b -a) f’(ξ)．
【解】设C的参数方程为z(t) = (1 –t ) a + t b，其中t∈[0, 1]．
在区域D内，因f(z)是f’(z)的原函数，故
f(b) -f(a) = ⎰C f’(z) dz = ⎰[0, 1] f’((1 –t ) a + t b) (b -a) dt =
= (b -a) ⎰[0, 1] f’((1 –t ) a + t b) dt．
(1) 若⎰[0, 1]| f’((1 –t ) a + t b) | dt = 0，因| f’((1 –t ) a + t b) |是[0, 1]上的连续函数，故| f’((1 –t ) a + t b) |在[0, 1]上恒为零．即f’(x)在C上恒为零．
此时取λ= 0，任意取ξ∈C，则有
f(b) -f(a) = (b -a) ⎰[0, 1] f’((1 –t ) a + t b) dt = 0 = λ(b -a) f’(ξ)．
(2) 若⎰[0, 1]| f’((1 –t ) a + t b) | dt > 0，
因| f’((1 –t ) a + t b) |是[0, 1]上的实变量连续函数，由积分中值定理，
存在t0∈[0, 1]，使得⎰[0, 1]| f’((1 –t ) a + t b) | dt = | f’((1 –t0) a + t0b) |．
取ξ = (1 –t0) a + t0b，则f’(ξ) = f’((1 –t0) a + t0b) ≠ 0，
令λ= (⎰[0, 1] f’((1 –t ) a + t b) dt)/ f’(ξ)．
因为| ⎰[0, 1] f’((1 –t ) a + t b) dt | ≤⎰[0, 1]| f’((1 –t ) a + t b) | dt = | f’(ξ) |．
所以| λ| = | (⎰[0, 1] f’((1 –t ) a + t b) dt)/ f’(ξ) |
= | ⎰[0, 1] f’((1 –t ) a + t b) dt |/| f’(ξ) | ≤ 1．
且f(b) -f(a) = (b -a) ⎰[0, 1] f’((1 –t ) a + t b) dt = λ(b -a) f’(ξ)．
12. 如果在| z | < 1内函数f(z)解析，且| f(z) | ≤ 1/(1 - | z |)．试证：
| f(n)(0) | ≤ (n + 1)!(1 + 1/n)n < e (n + 1)!，n =1, 2, ...．
【解】设K(r) = { z∈ | | z | = r }，0 < r≤ 1．
由Cauchy积分公式和高阶导数公式，有
| f(n)(0) | = (n!/(2π)) | ⎰K(r) f(z)/z n + 1dz | ≤ (n!/(2π)) ⎰K(r) | f(z) |/| z |n + 1ds
≤ (n!/(2π)) ⎰K(r) 1/((1 - | z |)| z |n + 1) ds = (n!/(2π))/((1 -r ) r n + 1) 2πr
= n!/((1 -r ) r n)．
为得到| f(n)(0) |的最好估计，我们希望选取适当的r∈(0, 1)，使得n!/((1 -r ) r n)最小，即要使(1 -r ) r n最大．
当n≥ 1时，根据均值不等式，(1 -r ) r n = (1 -r ) (r/n)n ·n n
≤ (((1 -r ) + (r/n) + ... + (r/n))/(n + 1))n + 1 ·n n = n n/(n + 1)n + 1．
当1 -r = r/n，即r = n/(n + 1)时，(1 -r ) r n达到最大值n n/(n + 1)n + 1．
因此，我们取r = n/(n + 1)，此时有
| f(n)(0) | ≤n!/((1 -r ) r n) = n!/(n n/(n + 1)n + 1) = (n + 1)!(1 + 1/n)n < e (n + 1)!．
[也可以用数学分析中的办法研究函数g(r) = (1 -r ) r n在(0, 1)内的上确界，也会得到同样的结果．]
13. 设在| z | ≤ 1上函数f(z)解析，且| f(z) | ≤ 1．试证：| f’(0) | ≤ 1．
【解】设D = { z∈ | | z | ≤ 1 }．由高阶导数公式，
| f’(0) | = (1/(2π)) | ⎰∂D f(z)/z 2dz | ≤ (1/(2π)) ⎰∂D1/| z |2 ds = 1．
14. 设f(z)为非常数的整函数，又设R, M为任意正数，试证：满足| z | > R且
| f(z) | > M的z必存在．
【解】若不然，当| z | > R时，| f(z) | ≤M．
而f(z)为整函数，故必连续，因此f(z)在| z | ≤R上有界．
所以f(z)在 上有界．
由Liouville定理，f(z)必为常数，这与题目条件相矛盾．
15. 已知u + v = (x–y)(x2 + 4xy + y2) – 2(x + y)，试确定解析函数f(z) = u + i v．【解】由于u x + v x = 3(x2 + 2xy–y2) – 2，u y + v y = 3(x2– 2xy–y2) – 2，
两式相加，再利用Cauchy-Riemann方程，有u x = 3(x2–y2) – 2．
两式相减，再利用Cauchy-Riemann方程，有v x = 6xy．
所以f’(z) = u x + i v x = 3(x2–y2) – 2 + 6xy i = 3(x + y i)2– 1 = 3 z2– 2．
因此，f(z) = z3– 2z + α，其中α为常数．
将z = 0代入，f(z) = z3– 2z + α，得α = f(0)．
把(x, y) = (0, 0)带入u + v = (x–y)(x2 + 4xy + y2) – 2(x + y)，得u(0, 0) + v(0, 0) = 0．设u(0, 0) = c∈ ，则v(0, 0) = -c．因此α = f(0) = u(0, 0) + v(0, 0) i = (1 -i )c．
所以，f(z) = z3– 2z + (1 -i )c，其中c为任意实数．
[书上答案有误．设f(z) = z3– 2z + (a + b i)，则
f(z) = (x + y i)3– 2(x + y i) + (a + b i) = (x3 - 3xy2 – 2x + a) + (3x2y-y3– 2y + b)i．
因此，u + v = (x3 - 3xy2 – 2x + a) + (3x2y-y3– 2y + b)
= (x–y)(x2 + 4xy + y2) – 2(x + y) + (a + b)，
所以，当a + b≠ 0时，不满足题目所给条件．]
16. 设(1) 区域D是有界区域，其边界是周线或复周线C；(2) 函数f1(z)及f2(z)在D内解析，在闭域cl(D) = D + C上连续；(3) 沿C，f1(z) = f2(z)．试证：在整个闭域cl(D)，有f1(z) = f2(z)．
【解】设f(z) = f1(z) -f2(z)．用Cauchy积分公式，∀z∈D有
f(z) = (1/(2πi))⎰C f(ζ)/(ζ–z) dζ = 0．
所以∀z∈cl(D)有f(z) = 0，即f1(z) = f2(z)．
∀∃∅-⨯±≠≥·◦≤≡⊕⊗≅αβχδεφγηιϕκλμνοπθρστυϖωξψζ∞•︒ℵℜ℘∇∏∑⎰
⊥∠ √§ψ
∈∉⊆⊂
⊃⊇⊄⊄∠⇒♣♦♥♠§ #↔→←↑↓⌝∨∧⋃⋂⇔⇒⇐∆∑ΓΦΛΩ∂
∀m∈ +，∃m∈ +，★〈α1, α2, ..., αn〉lim n→∞，+n→∞∀ε > 0，∑u n，∑n≥ 1u n，m∈ ，
∀ε > 0，∃δ> 0，【解】⎰[0, 2π]l 2 dx，f(x) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤k≤n u n，[0, 2π]。