第8章 形状描述与识别

第8章 形状描述与识别

描述形状特征参数的方法主要有两类：基于区域的特征参数和基于边界的特征参数。

8.1 区域描述参数

区域特征参数主要是通过区域内的所有像素点的集合来获得对形状特征参数的描述。这些参数可以是几何参数，也可以是密度参数，还可以是区域的二维变换（如傅立叶变换和小波变换）系数或能量谱等。对于形状特征的描述，人们已提出了许多方法，比较典型的有不变矩法、傅立叶描述子、边缘直方图法、小波重要系数法、小波轮廓表示法、几何参数法等。

1．基于区域的不变矩

对于二维连续函数 ()y x f ,，其 ()q p +阶矩定义为

(,),0,1,2,

p q pq m x y f x y dxdy

p q ∞

∞

-∞-∞

==⎰

⎰

（8-3）

根据唯一性定理说明，如果 ()y x f ,分段连续，且只在 xy 平面的有限部分有非 0值，则所有各阶矩皆存在，并且矩序列 pq m 唯一地由 ()y x f ,所确定。反之，pq m 也唯一地确定了()y x f ,。

()y x f ,的中心矩可表示如下：

dxdy y x f y y x x q p pq ),()()(--=⎰

⎰

∞

∞-∞

∞

-μ

（8-4）

式中

1000m x m =

，0100

m

y m

=。

对于数字图像，用求和代替积分：

∑∑--=x

y

q p pq y x f y y x x ),()()(μ

（8-5） ∑∑=x

y

q p pq y x f y x m ),(

（8-6）

零阶矩∑∑=

x

y

y x f m ),(00为()y x f ,的均值，对于二值图像即为区域的面积。

∑∑=x

y

y x xf m ),(10，∑∑=x

y

y x yf m ),(01除以零阶矩00m 后得：1001

0000

,m m x y m m =

=是图像的重心坐标。

中心矩是反映图像相对于重心分布的度量。例如，20μ和02μ分别表示图像围绕通过重心的垂直和水平轴线的惯性矩；30μ和03μ可以度量图像对于垂直和水平轴线的对称性等。

利用不变矩可以计算出物体的圆形度（物体形状和圆的接近程度）、物体的矩形度（物体形状和矩

形的接近程度）、物体的水平和垂直对称性、物体的主轴方向、扁度等。

Hu.M.K[118]利用二阶和三阶规格化中心矩导出了7个不随平移、旋转、等比缩放变化的矩组，称7个不变矩：

]

)()(3)[)(3(]

)(3))[()(3())((4])())[((]

)()(3)[)(3(]

)(3))[()(3()()()3()3(4)(2210321230032130122210321230123003217210312301122103212300220622103212300321032122103212301230123052

2103212304221032123032

11

20220202

201ηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηηη+-++-++-++-=Φ++++-+-=Φ+-++-++-+--=Φ+++=Φ++-=Φ+-=Φ+=Φ

其中pq η是p +q 阶规格化中心矩：

00

12,3,

2

pq

pq r

p q

r p q μημ+==

++

=

这组矩反映了物体的形状特征，可以用于形状识别。 2．区域的面积

区域的面积是区域的一个基本特征，它描述了区域的大小。对于数字图像，区域的面积定义为区域中的像素点数。特别地，对于二值图像，面积00S m =。

3．矩形度（Rectangularity ）

矩形度定义为物体的面积0A 与物体的最小外接矩形（MER ）的面积R A 之比，即0/R R A A =。矩形度反映了物体在最小外界矩形中的填充程度，矩形的矩形度为1，圆的矩形度为/4π，三角形的矩形度为0.5。对于其它形状，矩形度的取值范围为(0，1)。利用矩形度可以区分矩形、圆形和不规则形状。

4．主轴方向

物体的主轴方向定义为物体的具有最大长宽比的最小外接矩形的长轴方向，可以利用矩计算，即：

1

11

2002

21

tan 2

μθμμ-=-

（8-7）

5．扁度(eccentricity)

扁度或称狭长度(elongatedness)，本文采用归一化定义：

1b e a

=-

（8-8）

式中a 为物体长轴，b 为物体的短轴。物体的长轴和短轴有一种简单的定义是具有最小外接矩形的长边和短边，但这种定义受边界的毛刺影响很大。利用惯量矩[37]计算物体的惯量长短轴可以有效地抑制噪声（边界毛刺、缝隙等）。

假设坐标原点在物体的重心上。图像()y x f ,相对直线tan y x θ=的惯性力矩θM 为：

θμθμθμθθθ2sin sin cos ),()sin cos (1122020210

2-+=-=∑∑==N i M

j j i f i j M

（8-9）

求θM 的最大值max θM 和最小值min θM ，扁度定义为：

min

max

1M M θθ=-

e

（8-10）

扁度也可以由矩直接求出[119]，即：

e =

（8-11）

扁度反映了物体形状的狭长程度。例如，线的扁度为1，矩形的扁度是其长宽差与长边比，圆和正方形的狭长度为0。

6．圆形度（Circularity ）

圆形度反映了物体接近圆形的程度，也称作区域的紧凑性（Compactness ）,定义为4π倍的区域面积A 与周长P 的平方之比（有的文献定义为周长的平方与4π倍的区域面积之比），即：

24A

C P

π=

（8-12）

在相同面积的情况下，具有光滑边界的形状边界较短，圆形度较大，表明形状较密集。随着边界凹凸变化程度的增加，周长P 相应增加，圆形度随之减小。圆的圆形度1=C ，正方形的圆形度4

C π

=

。

7．球形度（Sphericity ）

球形度定义为圆心都在区域重心的内切圆与外接圆的半径之比（实际为边界上到重心的最短距离与最长距离之比），即/i c S r r =

其中，i r 为内切圆半径，c r 为外接圆半径。圆的球形度为1，

,其它形状的球

形度取值范围为[0，1)。

8．拓扑描绘子——欧拉数

拓扑学是研究图形性质的重要理论，图形的拓扑特性也是形状的重要特征。本文利用拓扑描绘子——欧拉数作为识别环形、轮形等形状的关键参数。欧拉数定义为E =C -H ，其中H 为图形的孔洞数, C 为图形中连通的区域数。对于只有1个连通区域的图形，C =1。环形的欧拉数为0，“8”的欧拉数为-1。

8.2 边界描述参数

区域的边界包括外边界（轮廓）和内边界，这里只考虑区域的外边界。边界的表示方法有链码（Chain codes ）、边界段（Boundary segments ）、逼近多边形（Approximating polygon ）、标记（Signature ）等，边界的描述参数有边长、边界曲率、形状数、边界矩、主分量、傅立叶描述子、逼近多边形的参数等。本文使用傅立叶描述子和基于逼近多边形的参数识别形状。

1. 边界的长度和直径 边界的直径是边界上相隔最远的2点之间的距离，即这2点之间的直连线段长度。有时这条直线也称为边界的主轴或长轴（与此垂直且最长的与边界的2个交点间的线段也叫边界的短轴）。边界B 的直径Dia d (B )可由下式计算：