高二数学苏教版导数的概念PPT精品课件
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2020学年高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数(一)课件苏教版选修2_2
【解】 (1)因为物体在 t∈[3，5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2， 物体在 t∈[3，5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在 t∈[3，5]上的平均速度为ΔΔst＝428＝24(m/s)．
(2)因为物体在 t＝0 附近的平均变化率为 ΔΔst＝f(0＋ΔΔt)t－f(0)＝29＋3[(0＋Δt)－Δ3]t2－29－3(0－3)2 ＝3Δt－18， 因为 Δt 无限趋近于 0 时， ΔΔst＝3Δt－18 无限趋近于－18， 所以物体的初速度 v0 为－18 m/s.
曲线上某一点处的切线 已知曲线 y＝13x3 上一点 P2，83，求： (1)点 P 处的切线斜率； (2)点 P 处的切线方程．
【解】 (1)由 y＝13x3， ΔΔxy＝13(x＋ΔΔxx)3－13x3＝13×3x2Δx＋3xΔ(Δxx)2＋(Δx)3 ＝13[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]， 当 Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近于 x2， 所以点 P 处的切线的斜率等于 4. (2)在点 P 处的切线方程是 y－83＝4(x－2)． 即 12x－3y－16＝0.
解
析
：
因
为
Δy Δx
＝
a(x＋Δx)2＋b(x＋Δx)－7－ax2－bx＋7 Δx
＝
aΔx
＋
2ax＋b，所以当 Δx→0 时，ΔΔxy＝2ax＋b，即点(1，1)处的切线的
斜率为 2a＋b.
由已知可得a2＋a＋b－b＝7＝4 1，解得 a＝－4，b＝12.
答案：－4 12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3．曲线 y＝x3－2x2－4x＋2 在点(1，－3)处的切线方程是______． 解析：因为 y＝x3－2x2－4x＋2，所以 ΔΔxy＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)2－4(1＋ΔΔxx)＋2－(13－2×12－4×1＋2) ＝(Δx)3＋(ΔΔxx)2－5Δx＝(Δx)2＋Δx－5， 所以当 Δx→0 时，ΔΔxy→－5，所以点(1，－3)处切线斜率为－5， 所以切线方程为 y＋3＝－5(x－1)，即 5x＋y－2＝0. 答案：5x＋y－2＝0
3.1导数的概念第一课时课件(苏教版选修1-1)
(4)函数 f(x)在[x0， x0＋Δx](Δx≠0)上的平均 变化率： fx0＋Δx－fx0 x0＋Δx－x0 [1－2x0＋Δx]－1－2x0 －2Δx ＝ ＝－2. Δx Δx
【名师点评】 由本例可看出，一次函数 f(x)＝ax＋b(a≠0)在任一区间[x1，x2]上的平 均变化率均为常数a.
第 3章
导数及其应用
课标领航
本章概述 本章内容主要有导数的概念、导数的运算、导数 在研究函数中的应用及导数在实际生活中的应用 等．本章的重点是利用导数判断函数的单调性，求 函数的极值、最值及利用导数解决实际问题，体验 和感悟导数的基本思想方法．本章的难点是利用 导数研究函数的性质及综合应用．教材通过实际问 题中的例子探究导数的思想，反映导数在研究现实 生活中有关问题的作用，使导数的引入与发展成为 教材的自然之果．
函数 f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为 f1.1－f1 1.13－1 0.331 ＝ ＝ ＝3.31. 0.1 0.1 1.1－1 函数 f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为 f1.001－f1 1.0013－1 0.003003001 ＝ ＝ 0.001 0.001 1.001－1 ＝3.003001.
变化率的简单应用
实际生活中的量与函数中的量对应起来，从 而能利用平均变化率来解决实际问题．
例2 (本题满分 14 分)已知运动物体的
12 位移公式为 s＝ t ， 求该运动物体在第 2 2 s 后的 0.1 s 内的平均速度．(位移单位： m，时间单位：s)
【思路点拨】
由已知 Δt＝0.1，计算 Δs
例1
【解】 (1)函数 f(x)在[－1,1]上的平均 变化率： f1－f－1 －1－3 ＝ ＝－2. 2 1－－1 (2)函数 f(x)在[0,4]上的平均变化率． f4－f0 －7－1 ＝ ＝－2. 4 4－ 0 (3)函数 f(x)在[0,0.01]上的平均变化率： f0.01－f0 0.98－1 ＝ ＝－2. 0.01 0.01－0
导数 苏教版精品课件
解：（1）y f (1 x) f (1) (1 x)2 2 (12 2) 2 x
x
x
x
当 x 无限趋近于0时， 2 x 无限趋近于2，所以
f (x) 在 x =1处的导数等于2。
（2）设曲线在 x =a 处的切线与直线平行
y f (a x) f (a) (a x)2 2 (a 2 2) 2a x
t
t
上面三个实例,具体意义不同, 通过比较可以看出它们 的数学表达式结构是一样的, 其实都是先求函数在某一
区间上的平均变化率，进而得到函数在某一点处的瞬时
变化率。
导数的概念
设函数 y f x 在区间（ a ，b ）上有定义， xo (a，b) ，
x 当
无限趋近于0时，比值 y f (xo x) f (xo )
x
x
x
当 x 0时，2a x2a ，所以 f ' (a) 2a
令 2a 4 得 a 2
在点（2，6）处的切线与直线y=4x-1平行
由定义求f(x)在 x x0 处的导数的基本步骤:
(1)求平均变化率：y f (x0 x) f (x0 )
x
x
当x0时
k割
y x
f
(x0
x) x
f
(x0 )
k切
2.瞬时速度是平均速度当 t 趋近于0时的值；
当t0时 v h h2 t h2 v
t
t
3.瞬时加速度是平均加速度当t 趋近于0时的值；
当t0时
a v vt0 t vt0 a
k pq x
2022-2023学年高二数学 苏教版2019 选择性必修第一册 5.1导数的概念 课件 (20张)
当堂检测
5．已知函数 f (x) x2 a ln x 的图象在(1, f (1)) 处的切线经过坐标原点，则实数a 的值等于___________． 【答案】 1
【详解】因为 f x x2 aln x ，所以 f x 2x a ，所以 f 1 2 a ，又 f 1 1 ，
x
所以 y f x 在1, f 1 处的切线方程为： y 1 2 ax 1 ，
m 又切线过点(－e，－1)，所以有 n＋1＝ 1(m＋e)．
m 再由 n＝ln m，解得 m＝e，n＝1. 故点 A 的坐标为(e,1)．
讲授新课
【方法技巧】 求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出 切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
D．2
【答案】A
【详解】因为 lim
f 3 x f 3 x
2 lim
f 3 x f 3 x 2 f (3) 2 ,
△x0
x
△x0
2x
所以 f (3) 1,故选:A.
当堂检测
4．若 f x x2 ，则 f x 在 x 1 处的切线的斜率为______．
【答案】2 【详解】由题意知， f (x) 2x ，得 f (1) 2 ， 所以曲线在 x 1 处的切线斜率为 2.故答案为：2.
讲授新课 知识点四 两曲线的公切线问题
【例 4】已知曲线 f(x)＝x3＋ax＋1在 x＝0 处的切线与曲线 g(x)＝－ln x 相切，则 a 的值为________． 4
[解析] 由 f(x)＝x3＋ax＋1，得 f′(x)＝3x2＋a. 4
∵f′(0)＝a，f(0)＝1， 4
∴曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－1＝ax. 4
高中数学导数概念课件苏教版选修
导数在解决实际问题中的作用
导数在优化问题中的应用：导数可以用来解决最优化问题，例如求函数的 最大值或最小值。
导数在物理中的应用：导数可以用来描述物理量的变化率，例如速度、加 速度、电流等。
导数在经济学中的应用：导数可以用来分析经济变量的变化趋势和拐点， 例如需求函数、供给函数等。
导数在计算机科学中的应用：导数可以用来描述图像的边缘、纹理等特征， 例如在图像处理和计算机视觉中的应用。
导数与函数图 像：通过导数 可以绘制函数 图像的切线， 从而更直观地 理解函数的变
化规律。
导数与极值： 导数为零的点 可能是函数的 极值点，通过 导数可以判断 函数在某一点 处是否取得极
值。
导数的物理意义
速度的变化率
函数的斜率
单位时间内函数的变 化量
瞬时速度
导数的运算规则
函数和、差的导数
导数的和差运算规则：$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$
导数作为微积分的基础概念，在高等数学中具有重要地位 导数在解决微分方程、积分方程等问题中具有关键作用 导数在研究函数的性质、图像等方面具有广泛应用 导数在解决实际问题中，如最优化问题、经济问题等，具有实际意义
如何学好导数
理解导数的定义
• 导数的定义：导数定义为函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。 • 导数的几何意义：导数在几何上表示函数图像在该点处的切线斜率，即函数在该点处的变化趋势。 • 理解导数的几何意义 • 导数与函数图像的关系：导数可以描述函数图像的形状和变化趋势，例如函数的增减性、极值点和拐点等。 • 导数与切线斜率的关系：导数在几何上表示函数图像在该点处的切线斜率，即函数在该点处的变化趋势。 • 如何学好导数 • 理解导数的定义和几何意义：掌握导数的定义和几何意义是学好导数的基础，需要认真理解并掌握。 • 掌握导数的计算方法：学会计算导数是学好导数的关键，需要掌握各种导数的计算方法，例如基本初等函数的导数、复合函数的导
江苏省2020年高二数学第09讲 导数的概念和几何意义 课件
瞬时变化率Ⅱ
导数的概念和几何意义
什复么习是回顾平均变化 率?
定义：函数y f (x)在区间x1，x2 的平均
变化率为 : f (x2 ) f (x1) . x2 x1
注：(1) f (x2 ) f (x1) f (x1) f (x2 ) f (x1 x) f (x1)
x2 x1
y tan .
x
请问：y 的几何意义是什么? x
y
y=f(x)
Q
Δy
Pβ Δx
O
M x
请观察当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着
点P逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
我们发现,当点Q沿o着曲线无限接近点P,即Δx→0时,割线PQ有x 一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
解：(1)因为 y f (1 x) f (1) (1 x)2 2 (12 2)
x
x
x
2 x
从而，当x 0时，f(x)在x=1处的导数等于2.
(2)因为 y f (a x) f (a) (a x)2 2 (a2 2)
x
x
x
2a x
从而，当x 0时，f(x)在x=a处的导数等于2a.
若Δx无限趋近于 0时，比值 y f (x0 x) f (x0) 无限趋近
x
x
于一个常数 A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数
A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作 f (x0)
典型例题
例1：已知f(x)=x2 +2; (1)求f(x)在x=1处的导数； (2)求f(x)在x=a处的导数.
f (x0 )
1 3
导数的概念和几何意义
什复么习是回顾平均变化 率?
定义：函数y f (x)在区间x1，x2 的平均
变化率为 : f (x2 ) f (x1) . x2 x1
注：(1) f (x2 ) f (x1) f (x1) f (x2 ) f (x1 x) f (x1)
x2 x1
y tan .
x
请问：y 的几何意义是什么? x
y
y=f(x)
Q
Δy
Pβ Δx
O
M x
请观察当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着
点P逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
我们发现,当点Q沿o着曲线无限接近点P,即Δx→0时,割线PQ有x 一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.
解：(1)因为 y f (1 x) f (1) (1 x)2 2 (12 2)
x
x
x
2 x
从而，当x 0时，f(x)在x=1处的导数等于2.
(2)因为 y f (a x) f (a) (a x)2 2 (a2 2)
x
x
x
2a x
从而，当x 0时，f(x)在x=a处的导数等于2a.
若Δx无限趋近于 0时，比值 y f (x0 x) f (x0) 无限趋近
x
x
于一个常数 A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数
A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作 f (x0)
典型例题
例1：已知f(x)=x2 +2; (1)求f(x)在x=1处的导数； (2)求f(x)在x=a处的导数.
f (x0 )
1 3
高二数学苏教版导数的概念PPT教学课件
新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，
记作
f '(x)或y'(需指明自变量时y记 x' ) 作
即Байду номын сангаас
f'( x ) y ' li y m lif( m x x ) f( x ) x 0 x x 0 x
f (x0)与f (x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于
函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f(x0)f(x) xx0． ．
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
例2 .已知 y x,求y'
解: y xx x,
y xx x
x
x
y' limylimxx x
x x0
x0
x
lim 1
1
x0 xx x 2 x
回顾
2、物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度.
（即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率）
limv
att0
t o
t
l f ( t 0 t ) f i ( t 0 ) t 0 t
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
由定义求导数（三步法）
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x 0 量 x ) f ( x 0 );
( 2 )算 比 y f(x 0 值 x ) f(x 0 );
x
x
(3 )求 极 yx x 0限 lx i0 m x y.
导数的概念.课件.导数的概念(第一课时)课件
3.1 导数的概念
曲线的切线和瞬时速度
3.1 导数的概念
Hale Waihona Puke 1．曲线的切线3.1 导数的概念
例 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率． 在 y=x2 +1 上取点 P(1,2) 及临近一点 Q(1+Dx，2+Dy),过P、Q两点作割线 PQ，并分别过 P、Q 两点作 x 轴与 y 轴的平行线 PM、MQ 相交于点 M， 设割线的倾斜角为 ，割线PQ的斜 率为 f ( x 0 Dx ) f ( x 0 ) k lim Dx 0 Dx (1 Dx ) 2 1 (1 1) lim Dx 0 Dx 2Dx ( Dx ) 2 lim Dx 0 Dx 2
； /gongxw/8432.html 齐鑫金融
北京四中龙门网络教育技术有限公司 Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd
平均速度 v 的极限为: Ds v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) Dt 0 Dt 0 D t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
Ds OA1 OA0 s( t 0 Dt ) s( t 0 )
在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为:
s( t 0 Dt ) s( t 0 ) Ds v t 0 Dt t 0 Dt
3.1 导数的概念
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时 刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s =s(t )，那么物 体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内， 当 Dt0 时平均速度．
曲线的切线和瞬时速度
3.1 导数的概念
Hale Waihona Puke 1．曲线的切线3.1 导数的概念
例 求曲线f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线的斜率． 在 y=x2 +1 上取点 P(1,2) 及临近一点 Q(1+Dx，2+Dy),过P、Q两点作割线 PQ，并分别过 P、Q 两点作 x 轴与 y 轴的平行线 PM、MQ 相交于点 M， 设割线的倾斜角为 ，割线PQ的斜 率为 f ( x 0 Dx ) f ( x 0 ) k lim Dx 0 Dx (1 Dx ) 2 1 (1 1) lim Dx 0 Dx 2Dx ( Dx ) 2 lim Dx 0 Dx 2
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平均速度 v 的极限为: Ds v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) Dt 0 Dt 0 D t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
Ds OA1 OA0 s( t 0 Dt ) s( t 0 )
在时间段( t0+Dt)－ t0 = Dt 内，物体的平均速度为:
s( t 0 Dt ) s( t 0 ) Ds v t 0 Dt t 0 Dt
3.1 导数的概念
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时 刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是 s =s(t )，那么物 体在时刻t 的瞬时速度v，就是物体在t 到 t+Dt 这段时间内， 当 Dt0 时平均速度．
新教材高中数学第5章导数及其应用瞬时变化率_导数课件苏教版选择性必修第一册ppt
3．瞬时加速度 一般地，如果当 Δt 无限趋近于 0 时，运动物体速度 v(t)的平均 变化率vt0＋ΔΔtt－vt0无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体 在 t＝t0 时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的_瞬__时__变__化__率_．
1．一辆汽车运动的速度为 v(t)＝t2－2，则该汽车在 t＝3 时的加速度为________．
知识点 2 瞬时速度与瞬时加速度 1．平均速度 在物理学中，运动物体的位移与_所_用__时__间__的比称为平均速度． 2．瞬时速度 一般地，如果当 Δt 无限趋近于 0 时，运动物体位移 S(t)的平均 变化率St0＋ΔΔtt－St0无限趋近于一__个__常__数__，那么这__个__常__数__称为物体 在_t_＝__t0_时的瞬时速度，也就是位移对于时间的_瞬__时__变__化__率_．
2．导数的几何意义 导数 f′(x0)的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点___P_(_x_0，__f_(x_0_)_)____处 的切线的斜__率__．
3．导函数 (1)若 f(x)对于区间(a，b)内任__一__点__都可导，则 f(x)在各点处的导 数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自__变__量__x_的函数，该函数 称为 f(x)的导函数，记作_f′_(_x)_____．在不引起混淆时，导函数 f′(x)也 简称为 f(x)的导__数__． (2)f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 x＝x0 处的 _函__数__值_．
则物体在 4 s 时的瞬时速度为 9 m/s．
求运动物体瞬时速度的三个步骤 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为 s＝s(t)，则 求物体在 t＝t0 时刻的瞬时速度的步骤如下： (1)写出时间改变量 Δt，位移改变量 Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))． (2)求平均速度： v ＝ΔΔst． (3)求瞬时速度 v：当 Δt→0 时，ΔΔst→v(常数)．
高中数学 1.2.1《常见函数的导数》课件 苏教版选修2-2
常见函数的导数
ppt课件
一、复习引入 1.导数的几何意义： 曲线在某点处的切线的斜率;
导数的物理意义： 物体在某一时刻的瞬时度。 (瞬时速度或瞬时加速度)
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2、如何求切线的斜率? y=f(x)
割 线
y
Q
T 切线
o
P
x
kPQ 限趋P处 近切 于线 点 ) 的
x
公式六:指数函数的导数
( 1 )(a x ) a xln a (a 0 ,a 1 ).
(2) (ex)ex.
ppt课件
四、例题讲解
1:求过曲线y=cosx上点P( , 1 )
的切线的直线方程.
32
解 ： f(x)coxs,f(x)sinx,
f()sin 3.
3
32
故曲线P在 (,点 1)处的切线斜3率 ，为
ppt课件
例3: (1)已y知 x3,求 f(2).
解 y： (x 3)3 x 3 13 x 2
f(2)3(2)212
(2)已知 yx12,求f(3).
解 y ： (x 2 ) 2 x 2 1 2 x 3
f(3)2(3)3212 2727
ppt课件
公式五:对数函数的导数
(1) (logax)xl1 na(a0,a1). (2) (ln x) 1.
(3)3 0
(6 )( 4 ) 0
通过以上运算我们能得到什么结论?
ppt课件
公式二: (x)' x1(是常)数
(1)x 1
(2)(x2) 2x
(3)(3x2) 6 x
(4)( 1 ) x
1 x2
通过以上运算我们能得到什么结论?
ppt课件
三、知识应用
ppt课件
一、复习引入 1.导数的几何意义： 曲线在某点处的切线的斜率;
导数的物理意义： 物体在某一时刻的瞬时度。 (瞬时速度或瞬时加速度)
ppt课件
2、如何求切线的斜率? y=f(x)
割 线
y
Q
T 切线
o
P
x
kPQ 限趋P处 近切 于线 点 ) 的
x
公式六:指数函数的导数
( 1 )(a x ) a xln a (a 0 ,a 1 ).
(2) (ex)ex.
ppt课件
四、例题讲解
1:求过曲线y=cosx上点P( , 1 )
的切线的直线方程.
32
解 ： f(x)coxs,f(x)sinx,
f()sin 3.
3
32
故曲线P在 (,点 1)处的切线斜3率 ，为
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例3: (1)已y知 x3,求 f(2).
解 y： (x 3)3 x 3 13 x 2
f(2)3(2)212
(2)已知 yx12,求f(3).
解 y ： (x 2 ) 2 x 2 1 2 x 3
f(3)2(3)3212 2727
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公式五:对数函数的导数
(1) (logax)xl1 na(a0,a1). (2) (ln x) 1.
(3)3 0
(6 )( 4 ) 0
通过以上运算我们能得到什么结论?
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公式二: (x)' x1(是常)数
(1)x 1
(2)(x2) 2x
(3)(3x2) 6 x
(4)( 1 ) x
1 x2
通过以上运算我们能得到什么结论?
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三、知识应用
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函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
f(x0)f(x) xx0． ．
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
例2 .已知 y x,求y'
解: y xx x,
y xx x
x
x
y' limylimxx x
x x0
x0
x
lim 1
1Leabharlann x0 xx x 2 x导数的概念
一.导数的概念
函y数 f(x)在区 a,b)间 有（ 定 x0 义 （ a,b)，
如 果 自 x在 x0变 处量 有x增 ， 那么 量 函y数 相应地有 增 y f 量 ( x 0 x ) f( x 0 )比 ;值xy 就叫做函数
yf(x)在 x0到 x0 x之间 平均变的 化率 ,即
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汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/02/23
9
新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，
记作
f '(x)或y'(需指明自变量时y记 x' ) 作
即
f'( x ) y ' li y m lif( m x x ) f( x ) x 0 x x 0 x
f (x0)与f (x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于
y 2 x( x)2
2 x
x x
y
lim lim (2x)2
x x0
x0
y' |x12 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
二、函数在一区间上的导数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说
f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每
一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一
回顾
2、物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度.
（即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率）
limv
att0
t o
t
l f ( t 0 t ) f i ( t 0 ) t 0 t
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
yf(x 0 x)f(x 0).
x
x
如果x当 0时， xyA( xy的极),限
我 们 就y 说 f(x函 )在数 x 点 0处 可 导，
并 A ( 把 y的)极 x
叫 y x 做 x 0 y f f ' ( (函 x x 0 )) 在 l x x 数 0 0 i 处 点 x y m 导 l x 的 数0 i f ( ,x m 记 0 为 x yx ) xf x0( x 0 )
回顾
1、物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. （即t=t0时位移相对时间的瞬时变化率）
v v | t | t t 0 t 0 l l t t 0 0 s t s t l t i i 0 f ( t 0 t m t ) m f i ( t 0 )
以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
由定义求导数（三步法）
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x 0 量 x ) f ( x 0 );
( 2 )算 比 y f(x 0 值 x ) f(x 0 );
x
x
(3 )求 极 yx x 0限 lx i0 m x y.
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [ 1 ( x ) 2 2 ] ( 1 2 2 ) 2 x ( x ) 2
f(x0)f(x) xx0． ．
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
例2 .已知 y x,求y'
解: y xx x,
y xx x
x
x
y' limylimxx x
x x0
x0
x
lim 1
1Leabharlann x0 xx x 2 x导数的概念
一.导数的概念
函y数 f(x)在区 a,b)间 有（ 定 x0 义 （ a,b)，
如 果 自 x在 x0变 处量 有x增 ， 那么 量 函y数 相应地有 增 y f 量 ( x 0 x ) f( x 0 )比 ;值xy 就叫做函数
yf(x)在 x0到 x0 x之间 平均变的 化率 ,即
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新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，
记作
f '(x)或y'(需指明自变量时y记 x' ) 作
即
f'( x ) y ' li y m lif( m x x ) f( x ) x 0 x x 0 x
f (x0)与f (x)之间的关系： 当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于
y 2 x( x)2
2 x
x x
y
lim lim (2x)2
x x0
x0
y' |x12 变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
二、函数在一区间上的导数：
如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说
f(x)在开区间 (a,b)内可导．这时，对于开区间 (a,b)内每
一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f '(x0)，这 样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一
回顾
2、物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度.
（即t=t0时速度相对时间的瞬时变化率）
limv
att0
t o
t
l f ( t 0 t ) f i ( t 0 ) t 0 t
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
yf(x 0 x)f(x 0).
x
x
如果x当 0时， xyA( xy的极),限
我 们 就y 说 f(x函 )在数 x 点 0处 可 导，
并 A ( 把 y的)极 x
叫 y x 做 x 0 y f f ' ( (函 x x 0 )) 在 l x x 数 0 0 i 处 点 x y m 导 l x 的 数0 i f ( ,x m 记 0 为 x yx ) xf x0( x 0 )
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1、物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. （即t=t0时位移相对时间的瞬时变化率）
v v | t | t t 0 t 0 l l t t 0 0 s t s t l t i i 0 f ( t 0 t m t ) m f i ( t 0 )
以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
由定义求导数（三步法）
步骤: ( 1 ) 求 y 增 f ( x 0 量 x ) f ( x 0 );
( 2 )算 比 y f(x 0 值 x ) f(x 0 );
x
x
(3 )求 极 yx x 0限 lx i0 m x y.
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [ 1 ( x ) 2 2 ] ( 1 2 2 ) 2 x ( x ) 2