6-粘性流体流动

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§1 广义牛顿内摩擦定律
P可以用张量的形势表示，即应力张量：
p xx
p yx
pzx
P pxy
p yy
pzy
pxz
p yz
p zz
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§1 广义牛顿内摩擦定律
在流体内任取一体积元 V ，其界面为 S ，在 V 内任取一 点 O 为参考点，利用作用在 S 面上的合面力矩为零，可得：
偏应 力张 量
pij pij ij
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§1 广义牛顿内摩擦定律 结论
2. 偏应力张量的各分量是局部速度梯度张量各分量的线性齐次函数， 其作用就是力图使速度恢复到均匀分布情形。
ij
Cijkl
uk xl
Cijkl Skl Cijkl klm m
表征流体粘性的常数，共有81个
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§1 广义牛顿内摩擦定律 结论
3. 流体是各向同性的。
Cijkl ij kl ik jl il jk
偏应力和旋转无关，它只和变形有关，即
pij pij ij
ij ijkl Skl ik jl il jk Skl
Skk ij 2 Sij
pij Skkij 2 Sij
完全动力相似的条件
2 r
g
p r
v r2
雷诺数
弗劳德数
欧拉数
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能量相似
d dt
2
2
d dt
cT
g div p div v div k gradT
3 r
d dt
2
2
c T r
d dt
cT
g
g
p r
div
p
v2 r2
div
v
kT
2 r
div
k
grad
能量完全相似的条件
2 y 2
(gz
1
p ) / v z
gJ v
1 r
d r dr
d dr
3. 微分方程求原函数
gJr 2 4v
K1 ln
r
K2
代边界条件 gJ R 2 r 2 4v
4. 流场分析
Q
2
R
rdr
gJR 4
0
8v
Q gJR2 max
R 2 8v
2
max
gJR 4v
12 2g
dt
质量方程
div 0
t
能量方程
d dt
2
2
g div
T div
q
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5.5 不可压缩粘性流体基本流动性质
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不可压缩粘性流体基本流动性质
粘性流体运动有三个基本性质： (1) 粘性流体运动的有旋性：在不可压缩粘性流体运动中，
除极个别的几个特殊情况外，运动都是有旋的，且涡量 一般在边界上产生；而对理想流体来说，若体积力有势 且流体是正压的，初始时刻运动无旋，则以后各时刻流 体运动都保持无旋；若体力无势，流体是斜压的，则理 想流体中可能产生涡流。 (2) 机械能的耗损性：由式(6.20)耗损函数的表达式可知，由 于粘性应力将一部分体积力和表面力所做的功不可逆地 以热能的形式耗损掉，因此粘性流体运动中总能量是减 少的。 (3) 涡旋的扩散性：由于流动边界处是生产涡旋的地方，涡 旋由强度大的地方向强度小的地方输送直至涡量相等为 止，也即涡旋由流动边界向内部扩散。
§4 相似和量纲分析
由于粘性流体微分方程的复杂性，纳维-斯托克斯 （Navier-Stokes）方程只在少数情况下有解析解，通常采 用建模型做实验的方法获得流动现象的信息，例如流速分布、 流型、压降等等。如果要得出精确的定量的实验结果，必须 满足一些相似定律。
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§4 相似和量纲分析 概念
(n l) 个无量纲量的函数关系描述。
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§4 相似和量纲分析 例题
〖例 6-4〗在粘性流体中运动的小球，受到的阻力FD 与流体的密度 、动力粘
性系 数 、小球直径 D 、速度V 有关，运用量纲分析法，确定其关系。
〖解〗设阻力与影响因素关系式为
FD f1V , , , D
FD F
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§4 相似和量纲分析
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§4 相似和量纲分析 概念
定理内容：
在一个包含n个变量的量纲和谐的物理问题中：f 1,2 , ,m , ,n 0 若有m个基本量纲，则这些变量可以组成 n m 个独立的无量纲量满足：
f 1, 2 , , nm 0
若在n个重复变量中选择l l 个满足相互独立条件，则该物理问题可用
x
x x
y
x y
z
x z
gx
1
x x
xy y
xz z
有流速
y0 yL
y t
x
y x
y
y y
z
y z
gy
1
yx x
y y
yz z
0 0
z t
x
z x
y
z y
z
z z
gz
1
zx x
zy y
z z
2. 控制方程化简
0
gx
1
p x
0
gy
1
p y
H h p dH h2 h1 p2 p1 J
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5.1 广义牛顿内摩擦定律
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粘性流体本构关系提示
＝?
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粘性流体本构关系—广义牛顿内摩擦定律
＝
＋
＋
T pI 2S
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5.2 Navier-Stokes方程
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Navier-Stokes方程及一般流体方程组
N-S方程
d g 1 div(T ) g 1 div( pI div I 2S)
div 0
t
x t
x
x x
y
x y
z
x z
gx
1
x x
xy y
xz z
y t
x
y x
y
y y
z
y z
gy
1
yx x
y y
yz z
z t
x
z x
y
z y
z
z z
gz
1
zx x
zy y
z z
的、充分发展的等温层流，垂直管道轴 线方向没有流速
r 0
粘性流体层流流动 现象
圆柱后部发生的 流动分离形成一 对涡旋 猫眼
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粘性流体层流流动 现象
半球形固体的阻力
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粘性流体层流流动 现象
高尔夫球飞行 中承受阻力
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粘性流体层流流动 现象
球形固体的阻力
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粘性流体层流流动 现象
协和式飞机着 陆时的流场
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)dV
0
ijk ( p jk pkj ) 0
推导
p ijk jk 0
v 49/112
§1 广义牛顿内摩擦定律 结论
1. 运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流体的应力张量。据此 将应力张量写成各向同性部分PI ,和各向异性部分P'之和，即：
P pI P '
运动 流体 的压 力函 数
第六章 粘性流体层流流动
§1 广义牛顿内摩擦定律 §2 Navier-Stokes方程 §3 动能平衡与内能平衡方程 §4 相似和量纲分析 §5 不可压缩粘性流体流动的基本特性 §6 圆管和环空中稳定不可压缩流动 §7 层流边界层 §8 球形固体的层流阻力
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§1 广义牛顿内摩擦定律
任何物质的应力状态都可以由下图表示：
V L
T
FT 2 L4
FT L2
D L
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§4 相似和量纲分析- 例题
消去 力的 因次
消去 时间 因次
消去 长度 因次
得阻力与各量的无量纲关系：
FD
V 2 D2
f
4
VD
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运动相似
两个运动相似的微分方程应有相同的解
连续性方程
d 0
dt
d 0 t dt r t r
动力相似 指两个性质完全相同的几何相似流动中，所有时空相似点上受
力方向相同并且大小成比例。
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§4 相似和量纲分析 概念
量纲分析中常用到如下概念： （1）因次，是指一套用于描述物理量的单位制中相互独立的、不能 互换的基本单位；如长度单位：米，时间单位：秒都是基本单位。 （2）量纲，是指物理量的单位与基本单位之间的关系。一般地，常 用的基本因次有长度、质量、时间；其相应的单位是米、千克和秒。
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粘性伯努力方程
t
rot
grad
2
2
U
p
v
rotrot
rotrot grad
沿着流线或涡线的稳定流动
12
2g
h1
p1
g
2 2
2g
h2
p2
g
h12
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5.6 圆管中稳定不可压缩流动
10/112
定常圆管层流
11/112
定常圆管层流
1. 控制方程与边界条件 边界条件：流体为粘性不可压缩流体，流动是稳定
3
r
cT r
g
p r
v2
2 r
kT
2 r
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§4 相似和量纲分析
能量完全相似的条件
3 r
cT r
g
p r
v
2
2 r
kT
2 r
1.埃克特（Eckert）数
2.普朗特（Prandtl）数
3.佩克莱特（Peclet）数
4.傅立叶（Fourier）数
rR
0
2. 控制方程化简
0
gx
1
p x
0
gy
1
p y
H h p dH h2 h1 p2 p1 J
g dz L
gL
gJ 2 2 v x 2 y 2
x x
y y
z z
0
z
z z
0
gz
1
p v( 2z z x2
2z y 2
2z ) z 2
gz
dH dz
v
2 x2
5.努塞尔特（Nusselt）数
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§4 相似和量纲分析 例题
〖例 6-5〗在强制对流中，单位面积上的热传递系数 h 是流速 、物体的特
征长度 L、流体属性 , , c p 及导热系数 k 的函数，试以无因次的函数表示之。
〖解〗 各变量的单位可写为：
同理 则
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31/112
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几何相似 指一个流动系统的几何尺寸与另一个流动系统的几何尺寸对应成
线性比例。几何相似是两个物理过程相似的必要条件，但不是充分条件。
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§4 相似和量纲分析 概念
运动相似 指几何相似的两个流动系统，时空相似点上无量纲速度、加速度
等流动参数相等。运动相似的流场中对应流线是相似的。
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§4 相似和量纲分析 概念
p Skk ij 2 Sij
' 2
3
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§1 广义牛顿内摩擦定律 推导
求以M中心，以r为半径的无限小球面S上法应力的平均值，则有
1
4 r 2
S
nr •
r pndS
pij
4 r3
V
xi xj
h1
p1 g
2 2
2g
h2
p2 g
h12
p12
8vL R2
d x dy
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定常平板平板层流
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定常圆管层流
1. 控制方程与边界条件 边界条件：流体为粘性不可压缩流体，流动是稳定
div 0 x y z 0
的、充分发展的等温层流，垂直方向没
t
x y z
x t
时间比例系数
t
r
斯德鲁哈尔（Strouhal）数
St t t St'
r r
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动力相似
两个动力相似的微分方程应有相同的解
动量方程：dr gr 1 p vr
dt
2 r
d
dt
g
g
p r
1 p v
r2
v
完全动力相似的条件
2 r
g
p r
v r2
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动力相似_详解
n
O S
V
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§1 广义牛顿内摩擦定律
v uv
r pndS 0
s
ijk x j plk nldS 0
s
ijk x j plk nl dS 0
s
p ijk jk 0
ijk p jk ikj pkj 0
ijk
v
(
x
j
plk
) dV
xl
0
v
ijk
( pjk
xj
plk xl
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§1 广义牛顿内摩擦定律
任一点的应力状态可以表示为：
r Pn
pr x
pr y
pr z
pr x
cos nr , xr
pr y
cos nr , yr
pr z
cos nr , zr
pnx p xx p yx p zx pny p xy p yy p zy pnz p xz p yz p zz
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粘性流体层流流动 现象
雷诺实验中的 层流流动现象
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粘性流体层流流动 现象
粘性流体层流流动
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粘性流体层流流动 现象
粘性流体层流流动
36/112
粘性流体层流流动 现象
红血球在毛细 血管中的流动
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粘性流体层流流动 现象
轮船航行中的 边界层现象
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第六章 粘性流体流动
理想流体
自然界中的所有流体都是具有粘性的，粘度不为0的流体称 为粘性流体或者实际流体。但在有些研究中却要引入一种理想化 了的流体—没有粘性的流体，称为无粘流体或理想流体，尽管这 种流体实际上并不存在。
粘性流体
自然界中的各种流体都是粘性流体。由于流体中存在着粘性， 流体运动时要克服摩擦阻力，因此流体的一部分机械能将不可逆 地转化为热能，流动过程呈现出许多复杂现象。本章在介绍粘性 流体的基本运动规律。
g dz L
gL
z
z z
0
gz
1
p z
v( 2z ) x 2
dH 2 gz dz v y2
0
1
p z
v(
2 z x 2
)Biblioteka Baidu
3. 微分方程求原函数
4. 流场分析
代边界条件
R
Q 2 rdr
0
Q R 2
max
p12 d x
dy
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5.4 相似理论和量纲分析
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