高考数学第一轮复习 函数的奇偶性与周期性

第3讲函数的奇偶性与周期性

【2014年高考会这样考】

1．判断函数的奇偶性．

2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．

3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．

【复习指导】

本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．

基础梳理

1．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．

2．奇、偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；

②两个偶函数的和、积都是偶函数；

③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．

3．周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这

个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．

一条规律

奇、偶函数的定义域关于原点对称．

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

两个性质

(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (2)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 三种方法

判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 三条结论

(1)若对于R 上的任意的x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．

(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则：y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数． (3)若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝

1f (x )或f (x ＋a )＝－1f (x )

，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；

(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.

双基自测

1．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－52＝( )．

A.－12

B.－14

C.14

D.12

解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝－12.故选A. 答案 A

2．(2012·福州一中月考)f (x )＝1x －x 的图象关于( )．

A ．y 轴对称

B ．直线y ＝－x 对称

C ．坐标原点对称

D ．直线y ＝x 对称

解析 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f (－x )＝

1－x －(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，图象关于原点对称．

答案 C

3．(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．

A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数

B ．f (x )－|g (x )|是奇函数

C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数

D ．|f (x )|－g (x )是奇函数

解析 由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A. 答案 A

4．(2011·福建)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )．

A ．4和6

B ．3和1

C ．2和4

D ．1和2

解析 ∵f (1)＝a sin 1＋b ＋c ，f (－1)＝－a sin 1－b ＋c 且c ∈Z ，∴f (1)＋f (－1)＝2c 是偶数，只有D 项中两数和为奇数，故不可能是D.

答案 D

5．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.

解析 法一 ∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成

立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0. 法二由f(－1)＝f(1)，

得|a－1|＝|a＋1|，得a＝0.

答案0

考向一判断函数的奇偶性【例1】►下列函数：

①f(x)＝1－x2＋x2－1；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋x2＋1)；④f(x)＝3x－3－x

2；

⑤f(x)＝lg 1－x

1＋x

.其中奇函数的个数是()．

A．2 B．3 C．4 D．5

[审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断．

解析①f(x)＝1－x2＋x2－1的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝1－x2＋x2－1是奇函数，也是偶函数；

②f(x)＝x3－x的定义域为R，

又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，

则f(x)＝x3－x是奇函数；

③由x＋x2＋1>x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋x2＋1)的定义域为R，

又f(－x)＝ln(－x＋(－x)2＋1)＝ln1

x＋x2＋1

＝

－ln(x＋x2＋1)＝－f(x)，

则f(x)为奇函数；