数学问题杂谈 (29)
数学杂谈-(二元一次联立方程式)
第一章二元一次联立方程式数学杂谈一、教学设计理念1-1 二元一次方程式本节先由二元一次式介绍至二元一次方程式，在式子的化简时，延续七上一元一次式对「项」以「＋」号区隔的概念，让合并化简运算归于较单纯的加法，虽然多了些篇幅，但可避免或减少学生在运算上的错误。
利用直式做式子的加减运算记录，更有助于下一节加减消去法解联立方程式的学习。
1-2 解二元一次联立方程式本节先介绍二元一次联立方程式，接着将目标放在代入消去法与加减消去法的学习，两种方法的初例介绍，都先由简易的题型开始，并刻意将解法以步骤呈现，加强学生的概念。
后续例题的介绍，遵循由浅至深、由易至难的原则逐步渐进，且题型尽量细分，并尽量安插适度的说明与引导，方便学生的学习。
本节另有介绍无限多解与无解的情形。
（例题12和例题13）1-3 应用问题本节主要目标在利用二元一次联立方程式解决生活情境的应用问题，首先让学生了解，在七上学习利用一元一次方程式解应用问题时的解题步骤，也适用于二元，接着先以给定假设的应用问题（例题1），整合§1-1与§1-2的学习，再进行须自行假设的学习，最后并加强解的合理性判别。
例题的安排也是由易入难，所列方程式也尽量设计成不相同的题型。
为加强学生的阅题能力，解说引用题干时，常加入「」来强调，期能对学生在应用问题的分析能力上，能逐步提升。
二、相关教学资源著名的九宫格，是将1～9等九个数字填入3行×3列的方格中，且使各行、各列、各对角线三数的和均相等。
在数字未填入时，可由（1＋……＋9）÷3求得其和为15。
数字1填入时，以格子的方位来看，可分三类不同的位置（如下图着色的格子为同一类）来讨论。
数字1填入第一类的格子是没问题的，如下图为其中一例。
但是否可以填入第二、三类的格子呢？可以利用二元一次方程式来解决这个问题。
P28若1填入第二类格子的○1，并设○2填入x、○4填入y，如下图。
（x、y为2～9不同的正整数）由○1＋○2＋○3＝15，1＋x＋○3＝15，得○3＝14－x由○1＋○4＋○7＝15，1＋y＋○7＝15，得○7＝14－y由○3＋○5＋○7＝15，14－x＋○5＋14－y＝15，得○5＝x＋y－13由○1＋○5＋○9＝15，1＋x＋y－13＋○9＝15，得○9＝27－x－y由○2＋○5＋○8＝15，x＋x＋y－13＋○8＝15，得○8＝28－2x－y由○4＋○5＋○6＝15，y＋x＋y－13＋○6＝15，得○6＝28－x－2y○1 1 ○2x○314－x○4y○5x＋y－13 ○628－x－2y○714－y○828－2x－y○927－x－y最后由○3＋○6＋○9＝15或○7＋○8＋○9＝15均可得x＋y＝18，但因x、y需为2～9不同的正整数，所以无解，也就是数字1不能填入第二类的格子中。
几何原本命题29
几何原本命题29《几何原本命题29》是一道经典的几何题目，让我们一起来看看这道题目的解答吧！命题29：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，D为BC的中点，连接AD并延长到E使得AE=2AD，求∠EAB的度数。
解答：首先我们知道直角三角形的性质是满足勾股定理，即直角边的平方等于斜边的平方和。
在本题中，我们可以利用勾股定理求出AB的长度。
根据勾股定理：AC²+BC²=AB²3²+4²=AB²9+16=AB²25=AB²AB=5cm接下来我们需要找出AD的长度，由于D是BC的中点，所以AD等于BC的一半，即AD=2cm。
根据题目的信息，AE=2AD，所以AE=4cm。
现在我们已经知道了三角形ABC的三条边的长度，接下来需要求解∠EAB的度数。
我们可以利用余弦定理来求解∠EAB的度数。
根据余弦定理：cosEAB=(AB²+AE²-BE²)/(2*AB*AE)代入已知的数据：cosEAB=(5²+4²-3²)/(2*5*4)cosEAB=(25+16-9)/40cosEAB=32/40cosEAB=0.8最后，我们可以通过反余弦函数求解∠EAB的度数：∠EAB=arccos(0.8)∠EAB≈36.87°因此，根据题目的信息，在直角三角形ABC中，∠EAB的度数约为36.87°。
通过这道题目的解答，我们不仅复习了勾股定理和余弦定理的应用，也锻炼了我们对几何知识的理解和运用能力。
希望大家能够在几何学习中更加勤奋和努力，掌握更多的数学知识。
数学问题杂谈 (34)
• 遇到不會的數學問題時，我會 先想以前是否有解過類似的題 目。 • 我做完一題數學題時，會檢查 一下答案是否合理。 • 我學會一種解題方法後，會找 其他類似的題目做做看，以了 解自己是否真正學會了。
• 我在做數學題時，會先了解題 目的意義再想辦法解答。 • 解數學題時，我會先判斷題目 的類型再決定用什麼方法來解 答。
• 老師和同學所說明過的數學題 目，我會以自己的想法再做做 看。 • 我在做數學習題時，會應用學 過的數學知識。
• 我會把過去所學到的數學知識 和現在所學的連貫起來。 • 我會把學校裡所學的數學知識 和學校以外所學的數學知識連會運 用方法將數字分解或組合以方便 計算或思考。 • 我做數學題遇到困難時，會試著 畫圖或其他方法來分析題目。
• 上數學課時，如果我可以了解 老師和同學講的內容，我才會 認真聽講。 • 在做數學問題時，我比較會記 得我認真思考過的題目。
• 組織訊息
• 上數學課時，老師和同學所講的 內容常讓我想起過去學過的有關 的知識。 • 我在做數學問題時，會在腦海中 分析和組織學過的關連知識。
• 當我在做數學時，我會回想老 師和同學所提過的類似的例子。 • 我常將數學課時老師和同學所 講的內容關連起來以方便學習。 • 我會將最近學到的數學作一番 整理。
•問題真的很困難,我就放棄 因為 •甲生:越逃避就越困難（不是） •乙生：困難的題目我會的就不 會放 棄（不確定）
• 數學在生活中是有用的 因為 •甲生:例如買東西時是用的到的 （是） •乙生：要算＋-×÷比較方便（是）
• 我比較喜歡自己做數學 （比較不喜歡和同學一起做） 因為 •甲生:比較安靜（是） •乙生：我喜歡自己一個人做 （不是）
• 數學學習後設認知量表
• 非常符合 • 有點符合 • 有點不符合 • 非常不符合
大包装商品比小包装商品便宜的原因分析
大包装商品比小包装商品便宜的原因分析2012级数学与应用数学 郭聪聪一． 问题提出在超市购物时往往会有大包装商品与小包装商品便宜的现象.比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位质量的价格比是1.2:1.本文用比例方法构造模型解释这个现象.1.分析商品价格C 与商品质量ω的关系.价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，生产成本与质量ω成正比，包装成本与表面积成正比，还有与ω无关的因素.2.给出单位质量价格c 与ω的关系，画出它的简图，说明ω越大c 越小，但是随着ω的增加c 减小的程度变小，并解释其实际意义.二． 模型假设1.生产成本1P 与质量ω的关系为：11k P ω=.2.包装成本2P 与表面积S 的关系为: 22P =k S .3.包装体形状一定时，有233S=k ω. 三． 模型求解记与3P ω无关的成本为, 123C P P P =++,即231234k +k k +k C ωω=123,4k ,k ,k k 0为大于的常数,于是单位质量C 与ω的关系为： 1--131234c k +k k +k ωω=函数简图如下：四．模型分析易见c是 的减函数说明大包装比小包装的商品便宜.同时曲线是下凸的，意味着随着质量的增大，单价下降的速度是减小的，说明也不应选择太大的包装.教你如何用WORD文档(2012-06-27 192246)转载▼标签：杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。
文件――页面设置――版式――页眉和页脚――首页不同。
2. 问：请问word 中怎样让每一章用不同的页眉？怎么我现在只能用一个页眉，一改就全部改了？答：在插入分隔符里，选插入分节符，可以选连续的那个，然后下一页改页眉前，按一下“同前”钮，再做的改动就不影响前面的了。
简言之，分节符使得它们独立了。
这个工具栏上的“同前”按钮就显示在工具栏上，不过是图标的形式，把光标移到上面就显示出”同前“两个字来。
小学数学杂谈--因数与倍数-
小学数学杂谈----因数与倍数1.因数和倍数如果整数A能被整数B整除，A就叫做B的倍数，B就叫做A的因数，（在自然数的范围内）。
如：6÷3＝2 6是3和2的倍数：2和3是6的因数必须注意：①、被除数、除数、商都必须是整数如10÷4=2.5 4就不能说是10的因数，也不能说10是4的倍数②、不能把一个数单独的叫做倍数或因数；只能说谁是谁的倍数或因数，如：6÷3=2，不能说6是倍数，2是因数，只能说6是3的倍数，3是6的因数。
③、什么是自然数：自然数是用来表示物体个数的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11……都是自然数，0也是自然数，最小的自然数是0，自然数的个数是无限的。
2.整除的特征⑴能被2或5整除的数的特征能被整数2正常的数：个位上的数是0、2、4、6、8. 能被5整除的数：个位上的数是0或5.个位上的数是0的数，既能被2整除又能被5整除。
⑵能3或9整除的数的特征一个数各个数位上的数字的和能被3整除这个数就能被3整除。
1一个数各个数位上的数字的和能被9整除这个数就能被整除。
如：9231各个数位上的数字的和是9+2+3+1=15,能被3整除所以9231能被3整除72702各个数位上数字和是：7+2+7+0+2=18能被9整除所以72702能被9整除⑶能被4或25整除的数的特征一个数末两位能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
末两位数是0的，即整百数，既能被4整除，又能被25整除。
如：1928、17500能被4整除925、7700能被25整除其中17500和7700既能被4整除又能被25整除⑷能被8或125整除的数的特征一个数的末三位能被8或125整除那么这个数就能被8或125整除。
末三位数是0的，即整千数，既能被8整除，又能被125整除。
如：8712、7000能被8整除；1625、35000能被125整除，其中7000和35000既能被8整除又能被125整除⑸能被7,11,13整除的数的特征一个数字末三位上的数字所组成的数字与末三位以前的数字所组成的数字之差能被7,11,13整除，那么这个数就能被7,11,13整除2如：246288，由于288－246=42.42能被7整除所以246288能被7整除。
数学问题杂谈 (23)
令人担扰的一些现象
• 教师与学生仍然十分辛苦，所取得的成绩与所 教师与学生仍然十分辛苦， 付出的辛劳不成正比。 付出的辛劳不成正比。 • 课堂教学出现有其形，无其神的现象 课堂教学出现有其形，无其神的现象——表面 表面 热热闹闹， 热热闹闹，实质效率不高 • 高难度、大题量的操作性、重复性训练 高难度、大题量的操作性、
• 合作方式规范：除了知识方面的合作，还有人 合作方式规范：除了知识方面的合作， 际关系与行为规范方面的要求，包括分工、 际关系与行为规范方面的要求，包括分工、倾 争论、归纳、总结等要求。 听、争论、归纳、总结等要求。
• 合作时机恰当 合作时机恰当——是传递接受教学的一 是传递接受教学的一 种补充， 种补充，
• 马斯洛的“需要”理论 马斯洛的“需要”
– 人人都有对生理、安全、归属、尊重、自我实现的 人人都有对生理、安全、归属、尊重、 需要。 需要。
• 群体动力理论
– 在一个合作性群体中，具有不同智慧水平、不同知 在一个合作性群体中，具有不同智慧水平、 识结构、不同思维方式的成员可以互相启发， 识结构、不同思维方式的成员可以互相启发，互相 补充，在交流的撞击中，产生新的认识， 补充，在交流的撞击中，产生新的认识，上升到新 的水平。 的水平。
• 适宜性：情境问题、例、习题等的难易程度符 适宜性：情境问题、 合学生的认知水平
二、关于教与学的方式
• 新课程的理念之一 新课程的理念之一——提倡积极主动的 提倡积极主动的 学习方式 • 积极主动的学习方式的内涵
– 自主学习 – 合作学习 – 探究学习
教学实践中的偏差
• 合作学习：重形式，轻实质 合作学习：重形式，
自主学习的特征
• 对为什么学习、能否学习、学习什么、如何学习有 对为什么学习、能否学习、学习什么、 强烈的意识和反应，一般包括以下三方面。 强烈的意识和反应，一般包括以下三方面。 • 自我监控 自我监控——针对自己的学习过程所进行的一种观 针对自己的学习过程所进行的一种观 审视与评价； 察、审视与评价； • 自我指导 ——采取使学习行为趋向学习结果的行为 ， 自我指导——采取使学习行为趋向学习结果的行为 采取使学习行为趋向学习结果的行为， 包括制定学习计划、选择适当的学习方法、 包括制定学习计划 、选择适当的学习方法、组织学 习环境等 • 自我强化 自我强化——根据自己的学习能力、 学习任务的要 根据自己的学习能力、 根据自己的学习能力 积极主动地调整学习策略和努力程度的过程。 求，积极主动地调整学习策略和努力程度的过程。 • 自主学习是学习的一种内在品质，贯穿于学习的每 自主学习是学习的一种内在品质， 一个环节之中，需要在长期的学习过程中培养。 一个环节之中，需要在长期的学习过程中培养。
数学问题杂谈 (41)
民一中学
罗良勤
1 、数学问题情境教学能够反映数学与生 活的联系
问题源于情境，“情境”是提出数学问题的背 景，此背景必须和学生的生活经验和数学经验 相关，因此数学问题情境教学能够充分反映数 学与生活的联系。 在学生原有知识和经验的基础上，有意识地 让学生陷入新的困境，引起认知冲突，唤起学 生对新知识学习的欲望。
数学问题情境创设的注意点
1 问题情境的创设要注意呈现方式的选择性 2 问题情境的创设要有明确性 3 问题情境的创设要形成系列化
教学中有必要创设那么多的问题情境吗
新课程将“问题情境——数学模型——解释、 应用和拓展”作为内容呈现的一个形式，目的 是关注数学与现实的联系，另一方面，将这种 形式作为教科书体例的一个相对固定的形式， 试图以教科书为载体促使教师改进固有的教学 喧宾夺主型 2、牵强附会型 3、调控无力型 4、拐弯抹角型
什么才是好的数学问题情境
我们在关注数学问题情境趣味性、现实性的同 时，更要关注数学性。 “数学问题情境”， 首先情境中要有“问题”，即数学问题，如果 情境中没有数学问题，那这样的情境即使再有 趣，再现实，也称不上是好的问题情境；其次， 问题情境要凸现数学知识的本质属性，要能够 从情境中有效地引出数学知识，因此，一个好 的数学问题情境应是趣味性、现实性和数学性 三方面的统一。
2 数学问题情境教学能够体现数学化的过 程
数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应 用数学知识的活动。数学活动不是一般的活动， 而是让学生经历数学化过程的活动，数学化是 指学生者从自己的数学现实出发，经过自己的 思考得出有关数学结论的过程
3 数学问题情境教学能够增强学生数学应 用的意识
数学问题杂谈 (33)
m 是奇数。这样 2m2 = n 2 的左端，因 m是奇 是奇数。 的左端，
n 既约” 不能再是偶数， 因 “既约”，m 不能再是偶数，于是 m
数而不能被4整除，右端却因 n 是偶数而可以 数而不能被4整除，
n 整除。 被4整除。这个矛盾说明开始的假设 c = 是错 m
误的。 误的。从而
c 不能表成两个整数的比。证毕。 不能表成两个整数的比。证毕。
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同名正多边形复盖平面的情形（ ⅱ同名正多边形复盖平面的情形（即铺 正多边形地砖的情形） 正多边形地砖的情形）
只有三种情况： 只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地 放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形， 个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形， 如图： 如图：
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毕达哥拉斯学派确信： 毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和 谐在于数” 谐在于数”，神是以数的规律创造世界 的。
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弦图
11
12
西方文献中称此定理为毕达哥拉斯 西方文献中称此定理为毕达哥拉斯 定理。 定理。
曾经有人编书， 曾经有人编书，收集了勾股定理的 370种证法。 370种证法。 种证法
13
3. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”
1）“万物皆数”学说 ） 万物皆数” ①数，是世界的法则 毕达哥拉斯说的“ 毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整 是指自然数， n 同时还包含它们的比， 数，同时还包含它们的比，即正分数 。
21
二、 2 与第一次数学危机
但是， 但是，对“万物皆数”理论产生冲击的， 万物皆数”理论产生冲击的， 却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现， 却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用 现在的符号， 现在的符号，这就是 。
数学问题杂谈 (20)
仙降镇中心小学 陈秀道
游戏规则： 双方轮流按顺序从1开始报数，每人最
多只能报2个数，谁抢到6，谁就是赢家。
试验要求：
1、同桌合作，一人掷硬币20次，另一人 记录正面朝上和反面朝上的次数。 2、试验结束后，前后桌合作，统计共掷 硬币40次正面朝上的次数。 3、小组长用计算器计算正面朝上的次数 除以40的商（结果保留三位小数），
组 总次 正面朝 比较 组别 别 数 上次数 值 1组 40 8组 2组 40 9组
3组 4组 5组 40 40 40 10组 11组 12组
总次 正面朝 比较 数 上次数 值 40 40
40 40 40
6组
7组
40
40
13组
总计
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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历史上数学家所做的试验数据
实验者 蒲丰 德 摩根 费勒 皮尔逊 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 投掷次数 正面朝上 次数 4040 2048 4092 10000 12000 24000 80640 2048 4979 6019 12012 39699 比较值 0.507 0.501 0.498 0.502 0.501 0.492
福利彩票中特等奖的 1 可能性只有 。
10000000
9 明天下雨的可能性是 10
。
我种下了100粒种子，他 们都能成活吗？
概率小史 概率主要研究不确定现象，他起源于博弈问题。 15-16世纪意大利数学家们曾讨论过“如果两人赌博 提前结束，该如何分配赌金”等问题，比如，两个人 做掷硬币游戏，掷出正面甲得1分，掷出反面乙得1 分，先得到10分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因 故中途结束，此时甲得了8分，乙得了7分，那么他 们该如何分配这个蛋糕？ 为了回答类似述问题， 人们对不确定现象做了 大量研的究，如前面已经例举了历史上一些数学家 所做的掷硬币试验的数据。 对不确定现象的研究， 最终促生了概率论的产生。它字产生之日起，就与 人们的实际生活有着密切的联系，并且解决了科技 发展中的许多问题，正因为如此，这门学科有着很 强的生命了和广阔的发展前景。
辽宁省大连市名校联盟2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题
辽宁省大连市名校联盟2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试题一、单选题1．如果收入100元记为100+元，那么支出300元应记为（）A ．100-元B ．100+元C ．300-元D ．300+元2．如图，数轴上M ，N 点表示的数互为相反数，则点N 表示的数为（）A ．9-B ．0C ．9D ．无法确定3．河南省统筹安排2023年学生资助相关资金65亿元，确保经济困难学生应助尽助、精准帮扶．科学记数法表示数据“65亿”为（）A ．86510⨯B ．100.6510⨯C ．96.510⨯D ．86.510⨯4．如图所示，数轴上的点A 、B 分别对应有理数a 、b ，下列结论正确的是（）A ．a b >B ．||||a b >C ．a b-<D ．0a b +<5．在有理数1-，0，3，13-中，最小的数是（）A ．13-B ．1-C ．0D ．36．下列运算正确的是（）A ．113422⎛⎫---= ⎪⎝⎭B ．055-=-C ．34143⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭D ．()242÷-=7．下列选项中，能用26a +表示的是（）．A ．整条线段长度：B ．长方形周长：C ．这个图形的面积：D ．长方形周长：8．代数式x 2﹣1y的正确解释是（）A ．x 与y 的倒数的差的平方B ．x 的平方与y 的倒数的差C ．x 的平方与y 的差的倒数D ．x 与y 的差的平方的倒数9．下列说法中，正确的是（）A ．22a b -的系数为2-B ．0是单项式C ．21a a -+是三次二项式D ．34a b 的次数是310．已知：a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是6；则代数式()202342a b cd m +-+的值为（）A ．8或16-B ．8C ．16-D ．2012二、填空题11．−2的绝对值是．12．1500米跑步测试，如果某同学跑完全程的成绩是t 秒，那么他跑步的平均速度是米/秒．13．将式子()()()()()16297119++----+++写成省略加号的和的形式，并交换加数的位置，使正负号相同的加数结合在一起．14．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算生角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD 是锐角ABC V 的高，若设边BC 的长为a ，边AC 的长为b ，边AB 的c ，则2212c b BD a a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．当6a =，5b =，7c =时，BD =．15．如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为28块时，白色瓷砖为块．三、解答题16．计算．(1)18(5)(7)(11)-++---+(2)3212(10.5)[3(3)]3---÷⨯--17．下面是小宇同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．()226253ab ab ab ab ---()226106ab ab ab ab =---第一步226106ab ab ab ab =---第二步226610ab ab ab ab=---第三步11ab=-第四步任务一：①以上化简步骤中，第一步的依据是__________；②以上化简步骤中，从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________；任务二：请你写出该整式正确的化简过程，并求当3a =，2b =-时该整式的值．18．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数a 、b 、c ，在乘法运算中满足①交换律：ab ba =②乘法分配律：()a b c ac bc +=+．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：2a b a b a ⊕=⨯-⨯(1)求4(1)⊕-的值；(2)求2(35)-⊕-⊕的值．19．实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“<、>、=”填空：a b +_____0，a b -_____0，c a -_____0；(2)化简：||||||c b b a c -+--；20．书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本《数学杂谈》如图1，该书的长为21cm ，宽为15cm ，厚度为2cm ，小华用一张长方形纸（如图2所示）包好了这本书．在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为a cm ．(1)该包书纸的长为______cm ，宽为______cm ；（用含a 的代数式表示）(2)当2a =时，求该包书纸的面积（含阴影部分）．21．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某出租车司机新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．（以50千米为标准，多于50千米的记为“+”，不足50千米的记为“-”，刚好50千米的记为“0”）第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km ）8-12-16-022+31+33+(1)这7天中行驶路程最多的一天比行驶路程最少的一天多走__________千米；(2)请求出这位出租车司机的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？(3)已知该出租车司机原来的燃油车每行驶100千米的油耗约需汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100千米耗电量约为15度，每度电为0.56元，请估计这位出租车司机换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来大约节省多少钱？22．某学校给学生编制的“身份识别条形码”中共有12位数字（均为09～之间的自然数），它是由11位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码是按照特定的算法计算得来的，用于校验身份识别条形码中前11位数字代码的正确性，具体算法说明如下：步骤1：计算前11位数字中奇数位数字的和，记为m ；步骤2：计算前11位数字中偶数位数字的和，记为n ；步骤3：计算3m n +，记为p ；步骤4：取不小于p 且为10的整数倍的最小数q ；步骤5：计算q p -，结果即为校验码．阅读上述材料，回答下列问题：(1)某同学的“身份识别条形码”为04220220133□，则计算过程中p的值为，校验码W的值是．（请在横线上直接写出答案）(2)如图2，某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了，设这个数字为x，你能否通过其他信息还原出这位数字x，进而确定这位同学的班级吗？如果能，请用数学符号语言写出你的说理过程，如果不能，说明为什么．23．已知数轴上三点A、O、B对应的数分别为5 、0、1，点M为数轴上任意一点，其对应的数为x．请解决下列问题：(1)填空：①A、B两点间的距离是；②如果点M到点A、点B的距离相等，那么x的值是；③如果点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动了2023次时，那么x的值是；(2)当x为何值时，点M到点A、点B的距离之和是8？。
常见数学问题解答常见的数学问题和疑惑
常见数学问题解答常见的数学问题和疑惑数学作为一门基础学科，在我们的学习生活中扮演着重要的角色。
然而，常常有一些数学问题和疑惑困扰着我们。
本文将解答一些常见的数学问题和疑惑，帮助读者更好地理解数学知识。
一、为什么除以0是没有意义的？在数学中，当我们进行除法运算时，我们将一个数除以另一个数得到一个商。
然而，当我们试图用0去除一个数时，结果就会变得模糊不清。
为什么呢？假设我们有一个数a，我们想要用0去除它，即a ÷ 0。
我们可以假设存在一个数x，使得0 * x =a。
但是，这个假设不成立，因为0与任何数相乘得到的结果都是0。
因此，我们无法找到一个确切的数x来满足等式0 * x =a。
这也就是为什么除以0是没有意义的。
数学上，我们称这种情况为“除以0的结果为无穷大”。
二、为什么分母不能为0？在分式中，分母表示我们将某个数分成多少份。
然而，当我们把一个数分成0份时，这个概念就变得没有意义了。
假设我们有一个分数a/b，其中b表示分母。
如果b等于0，那么我们试图将a分成0份。
但是，仔细思考一下，我们会发现没有任何一种情况下我们能够把一个数分成0份。
因此，分母为0是没有意义的，数学上称之为“分母不能为0”。
三、为什么负数乘以负数得到正数？在初学数学的时候，我们知道两个正数相乘得到正数，两个负数相乘得到负数。
但是为什么负数乘以负数得到正数呢？假设我们有两个负数a和b，我们知道它们的乘积为ab。
现在，我们来考虑一个简单的例子，-2乘以-3，即-2 * -3。
根据之前的规律，我们知道这个结果应该是一个正数。
我们可以通过纸上计算来理解这个现象。
我们知道-2表示向左移动两个单位，而-3表示向左移动三个单位。
那么，我们把-2 * -3理解为“向左移动两个单位再向左移动三个单位”，这就相当于向左移动5个单位。
而向左移动5个单位，实际上就是向右移动5个单位，也就是正数5。
因此，负数乘以负数得到正数是根据数学定义和规律得出的。
2015年北京中考数学第29题研究（word文件）
2015年北京中考数学第29题研究（word⽂件）历年中考数学压轴题研究专业·严谨·实⽤·便捷2015年北京中考数学第29题简化题〖新定义·点和圆的位置关系·集合相交·运动与不等式组〗如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆⼼C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在⼀点P ′，满⾜CP ＋CP ′＝2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，特别地，当点P ′与圆⼼C 重合时，规定CP ′＝0．(1）当⊙O 的半径为1时，分别判断点M （2，1），N （23，0），T （1，3）关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，求其坐标；(2）⊙C 的圆⼼在x 轴上，半径为1，直线3233+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，求圆⼼C 的横坐标x 的取值范围．解：（1）如答图①，∵OM ＝5>2，∴点M （2，1）关于⊙O 的反称点不存在；∵ON ＝23＜2，∴N （23，0）关于⊙O 的反称点存在，反称点N ′（21，0）；∵OT ＝2，∴T （1，3）关于⊙O 的反称点存在，反称点T ′（0，0）． (2)若点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，则CP ′＜1．∵CP ＋CP ′＝2r ＝2，∴1＜CP ≤2．易求点A 、B 的坐标分别为(6，0)、(0，32)，∠OAB ＝30o．以C 为圆⼼作两个同⼼圆，半径分别为1，2，则点P 必须在圆环内(可以在⼤圆上)．按点C 的位置分两种情况讨论如下：①如答图②，若x ＜6，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则当CH ≤2时，线段AB 与圆环有公共点，在圆环内线段AB 上任取⼀点P ，都满⾜1＜CP ≤2．∵AC ＝6－x ，∠OAB ＝30o，∴CH ＝26x-．第29题答图①第29题答图②初中数学研究⽹ www.张越初中数学.cn张越初中数学版权所有∴26x-≤2．解得x ≥2．∴2≤x ＜6．②如答图③，若x ≥6，则当AC ≤2时，线段AB 与圆环有公共点，在圆环内线段AB 上任取⼀点P ，都满⾜1＜CP ≤2．∵AC ＝x －6，∴x －6≤2．解得x ≤8．∴6≤x ≤8．综上所述，x 的取值范围是6≤x ≤8．附录 2015年北京中考数学第29题在平⾯直⾓坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆⼼C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在⼀点P ′，满⾜CP ＋CP ′＝2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的⽰意图．特别地，当点P ′与圆⼼C 重合时，规定CP ′＝0． (1）当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M （2，1），N （23，0），T （1，3）关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P 在直线y ＝﹣x ＋2上，若点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；(2）⊙C 的圆⼼在x 轴上，半径为1，直线3233+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，求圆⼼C 的横坐标x 的取值范围．解：（1）①如答图①，∵OM ＝5>2，∴点M （2，1）关于⊙O 的反称点不存在；∵ON ＝23，∴N （23，0）关于⊙O 的反称点存在，反称点N ′（21，0）；第29题答图③历年中考数学压轴题研究专业·严谨·实⽤·便捷∵OT ＝2，∴T （1，3）关于⊙O 的反称点存在，反称点T ′（0，0）．②如答图②，设直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，则OE ＝OF ＝2．若点P 在线段EF 上（不含端点），则OP ＜2．这时点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，点P 的横坐标x 的取值范围为0＜x ＜2．(2)若点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，则CP ′＜1．∵CP ＋CP ′＝2r ＝2，∴1＜CP ≤2．易求点A 、B 的坐标分别为(6，0)、(0，32)，∠OAB ＝30o．以C 为圆⼼作两个同⼼圆，半径分别为1，2，则点P 必须在圆环内(点P 可以在⼤圆上)．按点C 的位置分两种情况讨论如下：①如答图③，若x ＜6，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则当CH ≤2时，线段AB 与圆环有公共点，在圆环内线段AB 上任取⼀点P ，都满⾜1＜CP ≤2．∵AC ＝6－x ，∠OAB ＝30o，∴CH ＝26x-．∴26x -≤2．解得x ≥2．∴2≤x ＜6．②如答图④，若x ≥6，则当AC ≤2时，线段AB 与圆环有公共点，在圆环内线段AB 上任取⼀点P ，都满⾜1＜CP ≤2．∵AC ＝x －6，∴x －6≤2．解得x ≤8．∴6≤x ≤8．综上所述，x 的取值范围是6≤x ≤8．第29题答图③第29题答图④。
数学问题杂谈 (1)
3
x
3
大-小 小 4长方形 长方形 4梯形 梯形 4正方形 正方形
一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。 ）。已知铺这个边框恰 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。已知铺这个边框恰 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石, 192块边长为0.75米的正方形花岗石 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石,问标志性建筑底 面的边长是多少米? 面的边长是多少米? 分析： 分析：用x表示中间空白正方形 表示中间空白正方形 本题的等量关系是 的边长， 的边长，
一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石， 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。 ）。已知铺这个边框恰 形成一个宽为3米的正方形边框（如图）。已知铺这个边框恰 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石, 192块边长为0.75米的正方形花岗石 好用了192块边长为0.75米的正方形花岗石,问标志性建筑底 面的边长是多少米? 面的边长是多少米?
23 + 20 − x = 2(17 + x)
希尔伯特说： 希尔伯特说 ： “ 当我听别 人讲解某些数学问题时， 人讲解某些数学问题时 ， 常觉 得很难理解， 甚至不可能理解。 得很难理解 ， 甚至不可能理解 。 这时便想， 这时便想 ， 是否可以将问题化 简些呢﹖ 往往， 简些呢 ﹖ 往往 ， 在终于弄清楚 之后， 实际上， 之后 ， 实际上 ， 它只是一个更 简单的问题。 简单的问题。”
3 x+3 x+3
x
3
4 × 3( x + 3) = 0.75 × 0.75 × 192
数学问题杂谈 (37)
960元 元
500元 元 800元 元
你能提出什么数学问题?
• • • • 电冰箱比电风扇多多少元？ 电风扇比洗衣机少多少元？ 洗衣机比电视机少多少元？ 电视机比电风扇多多少元？
• 这四种电器要多少是电风扇的几倍？
670-600=
730+500= 1900+200= 1800-200=
670-60=
730-500=
150+ ___ 680 380+ ___
500+____
420+____
840-___
320
620-____
___-100
410-____
课后反思：今天，在对我提供的信息提出数学问题的时候，个 别学生对出现的商品的价格首先质疑，说太便宜了吧，被我用 眼神制止，大家很快就开始提出有价值的问题，我把学生提出 的问题马上打出来，学生还有很多的问题，后来我就让他们自 由说了一会，然后说我们一起把你们提出的问题进行归类，我 把同一种问题移放在一起，先解决了减法，让学生选择自己喜 欢的题来做，我查看的时候让学生说想法，然后四个同学交流 想法，再汇报，解决了减法，再解决了加法，最后求电视机是 电风扇的几倍？我就让学生说该用什么方法计算，学生大部分 知道用除法计算就一带而过了，前面的时间太久了，而且还浪 费讲纪律的的时间，所以后面的练习，我由一个学生说出答案 和想法，大家判断对否就过了，整体来看学生掌握得还算可以， 看看布置得回家作业情况了，对我第一次这样上课，学生好像 还比较适应，比较感兴趣，希望我的学生早点学会倾听。
数学问题杂谈 (30)
义务教育课程标准实验教科书 六年级下册
太白小学
谈群英
你见过下这些邮票吗?你知道它们各有什么作有吗？ 你见过下这些邮票吗 你知道它们各有什么作有吗？ 你知道它们各有什么作有吗
•普通邮票由于面值种类齐全适用 普通邮票由于面值种类齐全适用 于各种邮政业务
邮政的相关费用
有一封信， 克重 寄往外地，该怎样贴邮票呢？ 克重， 有一封信，45克重，寄往外地，该怎样贴邮票呢？
如果邮寄不超过100g的信，最多只能 贴3张邮票，只用80分和1.2元的邮票 能满足需要吗？ 如果不能，请你再设计一张邮票，看 看多少面值的邮票为2.4元， 3.0元，4.8元，6.0元... 的邮票
再见
你需要深刻理解的140个数学问题
你需要深刻理解的140个数学问题1.有理数的分类方法是哪两种？2.相反数、倒数及绝对值的概念。
3.比较大小的常用方法有哪些？4.你知道的运算律有哪些？5.科学记数法与有效数字是如何规定的？6.有效数字与精确度的区别？7.平方根、算术平方根与开平方的区别？8.立方根与平方根的区别是什么？9.实数与有理数的区别是什么？10.实数的两种分类方法是什么？11.平方根的隐含条件是什么？12.常见的三种无理数是什么？13.整式是什么样子的？14.单项式及多项式的概念是什么？15.单项式系数与次数是如何规定的？16.多项式项、常数项及次数是如何规定的？17.同类项的概念是什么？18.整式的加减的意义是什么？19.同底数幂的乘除法如何运算？20.幂的乘方如何运算？21.积的乘方如何运算？22.整式的乘法你会吗？如何运算呢？23.平方差与完全平方公式是什么？24.因式分解的定义是什么？25.因式分解的方法有哪些？26.分式之所以是分式的关键是什么？27.分式的基本性质你还记得吗？28.分式约分与通分的根据是什么？29.分式如何约分？30.分式如何通分？31.分式的乘除与乘方如何运算？32.分式加减的一般步骤是什么？33.负整数指数幂是怎么回事？34.分式方程的概念是什么？35.如何解分式方程？它的核心思想是什么？36.分式方程求解时需要注意什么？37.为什么会出现增根？38.什么是二次根式？39.二次根式的乘除法如何进行？40.最简二次根式的概念是什么？41.二次根式的加减的实质是什么？42.同类二次根式与同类项的区别是什么？43.二次根式的隐含条件是什么？44.方程的两大主题是什么？45.解方程遵循的第一要则是什么？46.二元一次方程的概念是什么？它的一般形式是什么？47.如何解二元一次方程组呢？48.代入消元法及加减消元法都遵循着怎么样的求解方程的思想呢？49.你认为三元一次方程组如何求解呢？50.一元二次方程定义与一般形式是什么？51.一元二次方程求解的灵魂是什么？52.我们大致有四种求解一元二次方程的方法，你知道吗？53.知道一元二次方程的两大应用问题吗？54.不等式与等式是数学世界里的两大问题，不等式的基本性质是哪三个呢？55.一元一次不等式与一元一次不等式组的联系是什么呢？56.如何确定一元一次不等式组最后的取值范围呢？57.关于平面直角坐标系你能说出哪些相关的概念呢？58.各个象限内的坐标有什么区别呢？59.用坐标可以表示地理位置也可以表示平移，你能说说如何做吗？60.函数是描述什么的呢？61.一次函数的一般形式及图像是什么？解析式与图像有哪些关联？62.正比例函数是什么样的？63.用函数观点看方程与不等式，怎么看？64.如何确定函数自变量的取值范围？65.反比例函数的一般形式及图像是什么？66.反比例函数的几何意义是什么？这也是它的实质。
数学问题杂谈 (8)
y 一比较发现 z x
第三，解答之后的检验 “这个问题是否可以推广呢”。实 际上，这道题的方法是可以推广的。 比如当以后我们看到形如 z x 2 y 2 这样的目标函数时我们也知道怎么 做了。因为这个目标函数表示的是 圆的半径，圆心在原点
（二）波利亚（G.Polya）的 解题框架
已知条件
空隙 缩小
缩小
指导 策略
背景命题
操作
推理规则
根据奥苏贝尔的模式，问题解 决经历了四个阶段：
1、呈现问题情境命题
奥苏贝尔认为问题是由有意义 的言语命题构成的，其中包含了目 标和已知条件。
2、明确问题目标和已知条件 学生将问题情境与自己的认知 结构联系起来，从而理解所面临 问题的性质与条件。这样既明确 了问题的初始状态，又明确了解 题的目标。
3、知识迁移因素 能否拥有可迁移的知识和技能迷 失否能激活与当前问题有关的图式 ，是否能将当前问题与头脑中已形 成的模式匹配等，会对解决数学问 题产生直接影响。
4、解题策略因素 （1）解题者是否掌握了必须的 解题策略。这是有效解决问题的 前提。 （2）解题者能否根据问题的情 形有效地选择解题策略是解决问 题的关键。
第五，在数学学习心理学中， 问题解决是一系列有目的指向的 认知操作过程，是以思考为内涵、 以问题为目标定向的心理活动过 程。这是把数学问题解决理解为 一种操作过程或心理过程。
数学问题解决是指综合地、创 造性地运用各种数学知识去解决 那种并非单纯练习题式的问题， 包括实际问题和源于数学内部的 问题。Leabharlann （三）数学问题解决的认知模式
通过以上分析，结合现代认知心 理学对问题解决的研究，我们可以 将问题解决的认知模式概括为
理解问题 选择算子 执行方案 回顾
数学问题杂谈 (27)
分析： 分析： 成本： 成本： 7800 一天后： 一天后：7800×(1+10%) 两天后： 两天后：7800×(1+10%)2 三天后： 三天后：7800×(1+10%)3 共赚： 共赚： 7800×(1+10%)3 − 7800
数学无处不在 让数学服务生活
问题二： 问题二：网上购物
小明看中的那款手机原价1000 小明看中的那款手机原价 经过3次降价 价格已降为729 次降价， 元，经过 次降价，价格已降为 如果每次降价百分数相同， 元，如果每次降价百分数相同，求 这个百分数。 这个百分数。
分析： 分析：
设：这个百分数为x 这个百分数为 原价为1000 原价为1000
问题三： 问题三：银行储蓄
他选择在银行作每月500元的零 他选择在银行作每月 元的零 存整取，月利率按单利0.34%计算， 计算， 存整取，月利率按单利 计算 个月的本利合计多少？ 问：12个月的本利合计多少？ 个月的本利合计多少
（单利指本金到期后的利息不再加入本金 计算利息） 计算利息）
分析： 分析：
1000(1第一次降价后价格为 1000(1-x)
第二次降价后价格为 1000(1− x) 另：降价3次后的价格＝729 降价3次后的价格＝
2
3
第三次降价后价格为 1000(1− x)
求：x
背景三： 背景三：
小明决定把自己辛苦赚来的 钱存起来， 钱存起来，他选择在银行作每月 固定数额的零存整取。 固定数额的零存整取。
小明身边的数学问题
——遭遇数列
授课人：夏芳
回顾： 等差（等比)数列的定 义、通项公式、前n项求和 公式
人物：小明 时间：2007年 地点：某城市
数学问题杂谈 (39)
问题与数学问题
－谈解决问题中的数学问题
台州市教育局教研室 王瑞达
一、什么是问题
• 把问题界定为给定的信息和目标之间有某 些障碍需要加以克服的情景
二、什么是数学问题
• 可以这样说，研究数量关系和空间位置的 相关问题 • 数学问题具有的特征 特殊性、障碍性、激励性、题）
1、一个具体的数学问题具有一定的模式 2、在新教材中的呈现方式 主要是:图景式或图文对话式 数学文字语言表达式 3、新教材这种呈现方式的意图何在 ⑴培养学生数学问题意识 ⑵培养学生数学问题建模能力 ⑶寓思考方法，培养学生思维能力 ⑷培养学生获取信息和处理信息的能力
四、教学中的问题和对策
1、存在问题： ⑴数学问句式 ⑵数学问题建模不到位 ⑶数学问题经历缺失
数学问题杂谈_(13)
相遇时乙的路程 经过3小时
A
B
2、相遇时甲行驶的路程+90=相遇时乙行驶的路程
相遇后乙行驶的路程=相遇时甲行驶的路程
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5. 根据不变量构造相等关系 许多数学应用问题常涉及到一些 量的变化,但也有些量是不变的,在分析 各个量时,应分清哪些是变化着的量,哪 些是不变的量,这样,解题的关键就是抓 住其中的不变量,根据不变量来构造相 等关系。
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例题分析：图表示一骑自行车者与骑摩托车者在两城镇之间 旅行的函数图像，两城镇的距离为80km,根据这个函数 图像你能得到关于这两个旅行者在这一旅途中的哪些信息？ y
80 70 60 50 40 30 20 10
距离（km)
B
D
C
A
1 2
x
3
4 5 6
0
时间（小时）
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答：至少可得到以下信息： （1）骑自行车者用了6小时，骑摩托车者用了2小时。 （2）摩托车比自行车晚出发3小时，先到1小时。 40 （3）自行车在整个过程中的平均速度为 3 km / h。 （4）骑自行车者在第3至第4小时休息了1小时。 （5）自行车在前2小时和第4至第5小时之间速度最快， 都为20 km/h，在第2至第3小时及最后一小时速度相等， 都为10km/h。 （6）摩托车与自行车在60km处相遇，此时自行车行驶了 4.5小时（包括休息1小时），摩托车已行驶了1.5小时。 （7）两位旅行者可能相互不认识，因为在相遇时他们仍 按原速度继续行驶（当然，也可能他们认识但在相遇 时没有相互认出来）。
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B
C
在教育改革的推动下，《数学课程标准》下的新一轮教材 改革已全面展开，新课程标准对课程内容的学习有新的要求， 强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、 统计观念，以及应用意识与推理能力。
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三“心”级问题
担心： 担心：数列与不等式的综合 欢心： 欢心：首轮的做法 心愿： 心愿：不考且早说
谢谢大家！ 谢谢大家！
您的任何意见都是对我的关爱！ 您的任何意见都是对我的关爱！ 您的任何建议都是对我的帮助！ 您的任何建议都是对我的帮助！
知识综合性 实际应用性
新问题：知识综合与应用的程度？ 新问题：知识综合与应用的程度？
如果明确规定，那就难免 框死 框死” 如果明确规定，那就难免“框死” 譬如： 初中课程标准》 譬如：《初中课程标准》掌握有理 数的的混合运算（以三步为主）。 数的的混合运算（以三步为主）。
新问题：知识综合与应用的程度？ 新问题：知识综合与应用的程度？
解三角形：直角三角形→ 解三角形：直角三角形→任意三角形 变量关系：连续型（函数） 变量关系：连续型（函数）→离散型 数列） （数列） 数量关系：等式→ 数量关系：等式→不等式
似乎找到了问题的 答案
末端内容的特点
至此， 至此，该内容模块已经 完成整体构建， 完成整体构建，不但自 身的联系得到加强， 身的联系得到加强，还 具备了融入更大体系的 条件。 条件。
数学5 数学5教学疑难问题
吴明华
E-mail:wmh@
问题：数学5疑难在何处？ 问题：数学5疑难在何处？
观点
疑难问题因人而异，小问题总是有的。 疑难问题因人而异，小问题总是有的。 譬如说：计算器的用与不用问题。 譬如说：计算器的用与不用问题。 譬如说：等比数列前n项和公式的 项和公式的“ 譬如说：等比数列前 项和公式的“自主 探究学习”问题。 探究学习”问题。 譬如说：一元二次不等式的“滞后” 譬如说：一元二次不等式的“滞后”问 题
数学5 数学5内容的地位
在“解三角形”之前，有三角函数、三 解三角形”之前，有三角函数、 角变换，还有初中（小学） 角变换，还有初中（小学）对三角形的 认识。 认识。 数列”之前，有函数。 在“数列”之前，有函数。 不等式”之前，有大量的等式问题。 在“不等式”之前，有大量的等式问题。
数学5 数学5内容所处的知识链
有一个看似无聊的问题
哪来的数那是课程标准规定的（？） 问一问：那是课程标准规定的（？） 比一比：数学1 函数）、数学2 ）、数学 比一比：数学1（函数）、数学2（几 ）、数学 应用）、数学4 三角）、 数学3 ）、数学 何）、数学3（应用）、数学4（三角）、 数学5 剩下的？） 数学5（剩下的？） 想一想：在必修内容中，数学5的内容都 想一想：在必修内容中，数学5 是最后剩下来的？ 是最后剩下来的？
吴明华
E-mail:wmh@