【课件】第6章 6.2 6.2.1 向量的加法运算-【新教材】人教A版(2019)必修第二册课件

C．A→B＋B→D＋D→C
D．D→C＋B→A＋A→D
源自文库 46
ABD [在 A 中，B→A＋A→D＋D→C＝B→D＋D→C＝B→C；在 B 中，B→D＋ D→A＋A→C＝B→A＋A→C＝B→C；在 C 中，A→B＋B→D＋D→C＝A→D＋D→C＝A→C； 在 D 中，D→C＋B→A＋A→D＝D→C＋B→D＝B→D＋D→C＝B→C.]
35
[思路探究] 作出对应的几何 图形，构造有关
利用三角形法则或平 向量→ 行四边形法则运算 →回答实际问题
36
[解] 如图所示，设C→E，C→F分别表示 A，B 所受的力，10 N 的 重力用C→G表示，则C→E＋C→F＝C→G.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°， ∠FCG＝180°－120°＝60°. ∴|C→E|＝|C→G|·cos 30°＝10× 23＝5 3， |C→F|＝|C→G|·cos 60°＝10×12＝5. ∴A 处所受的力的大小为 5 3 N，B 处所受的力的大小为 5 N.
26
1．向量求和的注意点 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量． (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用． 2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和 向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量 “共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．
D→B [由平行四边形法则可知D→A＋D→C＝D→B.]
14
4．小船以 10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河 水的流速为 10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.
20 [根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所 以小船实际速度的大小为 10 32＋102＝20(km/h)．]
10
4．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝ b＋a . (2)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ．
11
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．
()
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．
()
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． ( )
23
法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平 面内任取一点 O，作向量O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 以 OA，OB 为邻边作▱OADB，连接 OD，则O→D＝O→A ＋O→B＝a＋b.再以 OD，OC 为邻边作▱ODEC，连接 OE，则O→E＝O→D＋ O→C＝a＋b＋c 即为所求．
24
27
提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行 四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则 作出的图形的一半．
28
向量加法运算律的应用
【例 2】 (1)化简： ①B→C＋A→B； ②D→B＋C→D＋B→C； ③A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A.
29
(2)如图，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD， DA 的中点，化简下列各式：
两次飞行的位移的和是A→B＋B→C＝A→C. 依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km)， 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°， 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km)．
40
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80°.
问题：这两次位移之和是什么？
5
1．向量加法的定义 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)对于零向量与任意向量 a，规定 0＋a＝a＋ 0 ＝ a .
6
2．向量求和的法则
三角
形法 则
已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，B→C＝b，
则向量A→C叫做 a 与 b 的和，记作a_＋__b_，即 a＋b＝A→B＋B→C＝_A→_C__.
边形．]
48
4．已知非零向量 a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为 ________．
13 [|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为 13.]
49
5．(一题两空)若 a 表示“向东走 8 km”，b 表示“向北走 8 km”， 则|a＋b|＝________km，a＋b 的方向是________．
C．A→C＋C→B＝A→B
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
ABC [A，B，C 项满足运算律及运算法则，而 D 项向量和的模 不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．]
45
2．(多选题)对于任意一个四边形 ABCD，下列式子能化简为B→C的
是( )
A．B→A＋A→D＋D→C
B．B→D＋D→A＋A→C
7
平行 四边
形法 已知两个不共线向量 a，b，作A→B＝a，A→D＝b，以A→B，A→D为 则 邻边作▱ABCD，则对角线上的向量_A→_C___＝a＋b.
8
思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ [提示] 不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的 加法．
9
3．|a＋b|与|a|、|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b| ≤ |a|＋|b|，当且仅当 a，b方向相同时等号 成立．
[提示] 将三角形法则进行推广可知A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An －1An＝A→1An.
18
【例 1】 (1)(一题多空)如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB， AC 上的点，F 为线段 DE 延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接 CD，那么(在横线上只填一个向量)：
①A→B＋D→F＝________； ②A→D＋F→C＝________； ③A→D＋B→C＋F→C＝________.
(4)|a|＋|b|＞|a＋b|.
()
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
12
2.C→B＋A→D＋B→A等于( A．D→B C．C→D
) B．C→A D．D→C
C [C→B＋A→D＋B→A＝C→B＋B→A＋A→D＝C→D.]
13
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，D→A＋D→C＝________.
1．在本例(1)条件下，求C→B＋C→F. [解] 因为 BC∥DF，BD∥CF，所以四边形 BCFD 是平行四边 形， 所以C→B＋C→F＝C→D.
25
2．在本例(1)图形中求作向量D→A＋D→F＋C→F. [解] 过 A 作 AG∥DF 交 CF 的延长线于点 G， 则D→A＋D→F＝D→G，作G→H ＝C→F，连接D→H， 则D→H＝D→A＋D→F＋C→F，如图所示．
41
课堂 小结 提素 养
42
一、知识必备 1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两 个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两 个向量共起点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时， 可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
①A→B＋D→F＝A→B＋B→C＝A→C. ②A→D＋F→C＝A→D＋D→B＝A→B. ③A→D＋B→C＋F→C＝A→D＋D→F＋F→C＝A→C.]
22
(2)[解] ①首先作向量O→A＝a，然后作向量A→B＝b，则向量O→B＝ a＋b.如图所示．
②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内 任取一点 O，作向量O→A＝a，再作向量A→B＝b，则得 向量O→B＝a＋b，然后作向量B→C＝c，则向量O→C＝(a ＋b)＋c＝a＋b＋c 即为所求．
15
合作 探究 释疑 难
16
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
[探究问题] 1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什 么？ [提示] (1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等． (2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．
17
2．设 A1，A2，A3，…，An(n∈N，且 n≥3)是平面内的点，则一 般情况下，A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An 的运算结果是什么？
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算
2
学习目标
核心素养
1．理解并掌握向量加法的概念， 1.教材从几何角度给出向量加法
了解向量加法的几何意义及运算 的三角形法则和平行四边形法则，
律．(难点)
结合了对应的物理模型，提升直观
2．掌握向量加法运算法则，能熟 想象和数学建模的核心素养．
19
(2)①如图甲所示，求作向量和 a＋b； ②如图乙所示，求作向量和 a＋b＋c.
甲
乙
20
[思路探究] (1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并 进行代换，然后用三角形法则化简．
(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．
21
(1)①A→C ②A→B ③A→C [如题图，由已知得四边形 DFCB 为平 行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①D→G＋E→A＋C→B； ②E→G＋C→G＋D→A＋E→B.
[思路探究] 根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用 向量的结合律调整向量顺序后相加．
30
[解] (1)①B→C＋A→B＝A→B＋B→C＝A→C； ②D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B＝0； ③A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A＝0. (2)①D→G＋E→A＋C→B＝G→C＋B→E＋C→B＝G→C＋C→B＋B→E＝G→B＋B→E＝G→E； ②E→G＋C→G＋D→A＋E→B＝E→G＋G→D＋D→A＋A→E＝E→D＋D→A＋A→E＝E→A＋ A→E＝0.
33
[跟进训练]
1．向量(A→B＋P→B)＋(B→O＋B→M)＋O→P化简后等于( )
A．B→C
B．A→B
C．A→C
D．A→M
D [原式＝(A→B＋B→M)＋(P→B＋B→O＋O→P)＝A→M＋0＝A→M.]
34
向量加法的实际应用 【例 3】 如图，用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求 A 和 B 处所受力的大小(绳 子的质量忽略不计)．
47
3．在四边形 ABCD 中，A→C＝A→B＋A→D，则一定有( )
A．四边形 ABCD 是矩形
B．四边形 ABCD 是菱形
C．四边形 ABCD 是正方形
D．四边形 ABCD 是平行四边形 D [由A→C＝A→B＋A→D得A→D＝B→C，即 AD＝BC，且 AD∥BC，所
以四边形 ABCD 的一组对边平行且相等，故四边形 ABCD 为平行四
练地进行向量加法运算．(重点) 2．对比数的加法，给出了向量的
3．能区分数的加法与向量的加法 加法运算律，培养数学运算的核心
的联系与区别．(易混点)
素养.
3
情境 导学 探新 知
4
有一名台湾商人想去拉萨游玩，但是由于台湾没有直达拉萨的航 班，因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机要先从台北到香港，再 从香港到拉萨．
43
二、方法必备 1．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和 向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加 的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成 0，而不能写成 0. 2．数学思想：数形结合思想．
44
1．(多选题)下列各式一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
37
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
38
[跟进训练] 2．在某地抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞 行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的方 向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的 和．
39
[解] 设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km，则飞机飞行的路 程指的是|A→B|＋|B→C|；
31
向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义： 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用 向量加法法则运算的目的． 实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加 法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．
32
(2)应用原则： 利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”， 通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．