如何为小学生讲透“中国剩余定理”的算理

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小学奥数：中国剩余定理

在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。

这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。

① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23…它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11…除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29…它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。

如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。

解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26…再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28…这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30…就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰：三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。

如何为小学生讲透“中国剩余定理”的算理

如何为小学生讲透“中国剩余定理”的算理在上一篇《运用“中国剩余定理”解小学数学题》的方法四中，对一个未参透“中国剩余定理”者来说也许知其然而不知所以然，云里雾里，既然是讲解给小学生听的，如何讲透其中的道理呢？为此，特以“一个整数除以三余一，除以五余二，除以七余三，求这个最小整数。

”此例进一步分析其每一步的道理，供大家参考。

上所述：【例】一个整数除以三余一，除以五余二，除以七余三，求这个最小整数。

列式为：70×1+21×2+15×3-105=52，自拟的“若设要求的这个最小整数为N,数论倒数分别为M1、M2、M3，余数分别为a1、a2、a3，除数的最小公倍数的整数倍为C,那么公式为：N=M1×a1+M2×a2+M3×a3-C”，对小学生而言“数论倒数”权当是一个数学名词，不必深究。

下面就针对“70×1+21×2+15×3-105=52”列式中的每一步推理演算作一一说明：要求出这个最小整数必须符合三个条件：即除以三余一，除以五余二，除以七余三。

若要一次性找出其答案实属不易，为此，我们的思路是化难为易，步步推进。

假设一个整数除以三余一，能被五和七整除，求这个最小整数。

大家都知道，能被五和七整除的数是35，但35不满足“除以三余一”条件，因为35÷3=11……2，最小的是70，因70÷3=23……1（我们把70这个数称为35相对于3的数论倒数，注意余数是1的时候。

），70除以三余一，又能被五和七整除，所以这个最小的整数为70. 即70×1。

又假如一个整数能被三整除，除以五余二，又能被7整除，求这个最小整数。

能被三和七整除的数是21，21÷5=4……1（这时我们说21相对于5的数论倒数为21），但不是余2，怎办？先看一个例子，6÷5=1……1、12÷5=1……2、18÷5=1……3、24÷5=1……4等，我们发现：被除数扩大几倍，除数不变，余数也扩大几倍。

谈“中国剩余定理”小学解法

谈“中国剩余定理”小学解法谈“中国剩余定理”小学解法前问题解答中所涉题目属于“中国剩余定理”，也称为鬼谷算，还叫隔墙算，或称为韩信点兵等。

“中国剩余定理”是公元5-6世纪、我国南北朝时期的一部著名算术著作《孙子算经》中的一个“物不知数”的解法问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？答曰：二十三。

解法后来归结为口诀诗：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

这诗的口诀的解法是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就得到所求的数。

如上题解：70×2+21×3+15×2=233， 233-105×2=23但这种解法比较局限，只能是除以3，5，7的，其它的就无法解。

“中国剩余定理”实质是初等数论解一元一次同余式方程组，按小学培优是不定方程组，这对于小学生来讲，无疑过于深奥和复杂。

所以小学涉及到的题目往往比较特殊，因而可以分类使用特殊简单的方法解答。

当然一般复杂的也可使用稍复杂的通解，现整理如下：第一类：余数相同或除数与余数的差相同，那么解答的方法是：除数的公倍数加上相同余数或除数的公倍数减去相同的除数与余数的差。

再根据要求加，减公倍数。

如：题1，一个数在100到200之间，除以3余2，除以5余2，除以7余2，这个数是几？解，最小是2，加上（3，5，7）的公倍数105得2+105=107.题2，一个数一个数在100到200之间，除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个数是几？解，3-2，5-4，7-6的差是1，所以（3，5，7）的公倍数105减去1得105-1=104昨天问题解答题：一列队伍中的人数比20多，比30少。

按1，2，3，4报数，最后一个人报3，按1，2，3报数，最后一个人报2。

这列队伍的人数是多少？解，差是1，在20到30之间，4和3的公倍数24减1 得24-1=23第二类，部分同第一类，分两步，先按第一类解答出第一步，在试算出第二步。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理是对同余方程组求解的一种方法，它是中国古代数学家在解决实际问题时所创立的。

在小学数学学习中，中国剩余定理也有其应用和意义。

中国剩余定理的核心思想是将一个同余方程组转化为两个同余方程的组合问题，通过求解后再利用同余理论确定唯一解。

其关键在于划定不同同余方程之间的“不干涉区间”，以确保各个同余方程不会互相干扰，从而统一起来保证整个问题的解的统一性。

在小学数学中，我们可以通过举例来说明中国剩余定理的运用。

例如，我们需要求解同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 4)首先需要划分不干涉区间，即寻找同时满足以上两个同余方程的最小公因数。

也就是说，要找到一个整数，既能被3整除又能被4整除。

显然，这个数是12，因此我们可以将原来的同余方程组转化为下面这个同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 4)x ≡ 8 (mod 12)接下来，我们可以尝试求解这个同余方程组。

首先，通过第一个同余方程，我们可以得到：x = 2 + 3k其中k为整数。

通过对k的求解，我们可以得到所有满足以上两个同余方程的解，即：k = 3 + 4n 或 k = 2 + 4m（其中n，m为整数）将k带入第一个同余方程，我们可以得到最终的解为：x = 11 + 12q（其中q为整数）通过以上步骤，我们成功地将一个同余方程组化简为了一个同余方程，从而得到了其所有解。

这就是中国剩余定理在小学数学中的运用。

总之，中国剩余定理在小学数学中可能不会直接出现，但它的思想和方法可以为学生理解和解决一些实际问题提供帮助。

通过引导学生思考，他们可以深入理解数学的本质和意义，从而更好地掌握其中的知识和技巧。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理是数论中的重要定理，它可以解决一类模同余方程组的问题。

在小学数学学习中，中国剩余定理可以通过引入一些简化的概念和方法，帮助学生理解和解决一些相关的数学问题。

本文将从理论与实践两个方面，浅谈中国剩余定理在小学数学学习中的运用。

从理论上来看，中国剩余定理可以帮助小学生理解数字之间的关系及其运算规律。

在小学数学中，我们经常会遇到一些数字之间的关系问题，比如“三个数相除余数都是2，这三个数的积是多少？”或者“一个数被2除余数是1，被3除余数是2，被5除余数是4，这个数是多少？”这类问题都可以通过中国剩余定理来解决。

中国剩余定理的核心思想是利用模同余的思想，将一个复杂的问题转化为若干简单的问题，并通过这些简单的问题的解来得到原问题的解。

对于上述的两个例子，我们可以先将问题转化为模同余方程组：① x≡2(mod3)② x≡2(mod4)③ x≡2(mod7)然后，通过解决方程组求得模同余的解。

以第一个例子为例，通过求解以上方程组，我们可以得到x≡23(mod84)。

这意味着满足方程组的所有解都可以表示为23+84k（k为整数）。

那么，对于这个问题，“三个数相除余数都是2，这三个数的积是多少？”的答案就是23+84k。

同样的，通过类似的方法，我们也可以得到第二个问题的解。

通过这种方法，学生不仅可以通过简化问题的方式解决一些复杂的数学问题，还可以帮助他们理解数之间的关系及其运算规律。

这对于他们今后学习更高级的数学知识也具有一定的帮助。

从实践上来看，中国剩余定理可以通过一些实际问题来引导学生运用和理解。

在小学数学学习中，我们经常会遇到一些实际问题，比如“班级里有多少学生？”，“班级里有多少男生和女生？”，“班级里有多少人的生日是在同一个月的？”等等。

这些问题都可以通过中国剩余定理来解决。

以“班级里有多少男生和女生？”为例，假设班级里有n个学生，男生的人数是x，女生的人数是y。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理是数论中的一个重要定理，它在数学领域有着重要的应用价值。

而在小学数学学习中，中国剩余定理也可以通过一些简单的案例来引导学生理解和运用。

本文将从中国剩余定理的基本概念、小学数学中的应用以及学生学习中的启示三个方面来探讨中国剩余定理在小学数学学习中的运用。

一、中国剩余定理的基本概念中国剩余定理是由中国古代数学家孙子约公元7世纪所著的《孙子定理》中提出的，它是一个关于模的定理。

主要内容是：如果m1,m2,…,mn 是两两互质的正整数，a1,a2,…,an 是任意整数，那么模方程组x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)⋯x≡an(mod mn)有唯一的解。

这就是中国剩余定理的基本内容。

一个简单的例子可以帮助我们了解中国剩余定理的基本概念：例：假设一条囚犯刑期是365天，他想用一个长度在35-45之间的鞭认了当前日子。

该如何完成。

解：这个问题可以看作是一个中国剩余定理的实际问题。

因为365=5*73 。

那么鞭的长度模5的余数必须是0。

因为365=8*45+25 ，所以鞭的长度模8的余数必须是5。

通过中国剩余定理可以知道，模45的余数是25的数只有70。

所以囚犯只需要找一个长度为70的鞭。

（这是一个简单的例子，通过它我们可以初步了解中国剩余定理的基本思想和原理。

）二、小学数学中的应用在小学数学学习中，我们可以通过一些简单的案例来引导学生理解和运用中国剩余定理。

可以引导学生用中国剩余定理解决一些有关时间、距离等实际问题。

这样做不仅可以使学生更加深入地理解中国剩余定理的概念和原理，还可以锻炼学生的数学建模能力和解决问题的能力。

一般来说，小学数学的教学案例其实很简单，可以通过直观的案例引导学生理解和运用中国剩余定理。

以时间问题为例，可以设计这样的案例：某人一次修行时间为3天，另一次修行时间为4天，他已经做了第一次修行，那么他接下来需要再修行多久才能修满一年呢？通过这样的案例，学生可以逐步了解并掌握中国剩余定理的基本方法和步骤。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用
一、解决同余方程问题
同余方程是小学数学中比较重要的一个知识点，其求解过程很类似中国剩余定理。

因此，可以通过中国剩余定理的教学，进一步帮助学生深入理解同余方程的解法，加深对同余方程的认识。

二、培养学生的数学思维
在教学中，运用中国剩余定理的解题方法，可以帮助学生发掘问题背后的规律，培养其逻辑思维和数学思考能力。

例如，通过求解同余方程组，学生可以逐步了解中国剩余定理应用的基本思想，同时还能增强学生的数学思维能力。

三、加深学生对整除、余数等概念的理解
中国剩余定理的应用还能帮助学生更加深入地理解整除和余数等相关概念，提高自己的数学素养。

例如，当学生在解决同余方程组问题时，不仅仅能够知道余数的含义，还能对这些数值有更为深入的认识。

四、拓展学生的数学知识
五、培养学生的实际应用能力
总的来说，中国剩余定理作为数学中的重要方法之一，其应用不仅局限于大数学，而在小学数学教学中也有着不可忽视的作用。

通过引导学生使用中国剩余定理进行解题，能够促进学生的数学素养、实际应用能力以及创新能力的全面提升。

因此，加强中国剩余定理在小学数学教学中的应用，对于提高学生的数学水平，具有重要的现实意义。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用“中国剩余定理”是一种数论定理，它可以用来解决“同余方程组”的问题。

在小学数学学习中，可以通过讲解“中国剩余定理”帮助学生理解和运用同余关系，培养学生解决实际问题的思维能力。

本文将从小学数学的教学内容和学生的认知能力出发，浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用。

对于小学生来说，他们对于整数的认知是基础性的。

在学习整数的过程中，可以逐步引入同余关系的概念。

同余关系是指两个数除以同一个数所得到的余数相等，即两个数在模n的意义下相等。

这样，运用同余关系可以将整数分为若干个同余类。

引入同余关系后，可以通过一些简单的例子来培养学生对同余关系的理解。

师生可以让学生计算100以内的所有奇数，然后让学生观察这些数之间能否建立同余关系。

通过观察可以发现，这些奇数在模2的意义下都相等，即它们与2的余数都是1。

再举一个例子，让学生计算100以内的所有能被3整除的数，同样可以观察到这些数在模3的意义下都相等，即它们与3的余数都是0。

通过这样的讨论和练习，可以帮助学生理解同余关系的概念和内涵。

然后，可以通过解决一些实际问题来引入“中国剩余定理”。

在小学数学学习中，可以选取一些简单的问题，如鸡兔同笼问题、购买水果问题等，来让学生运用“中国剩余定理”解决。

这样的问题有一个特点，就是它们都可以归纳为同余方程组的形式，例如鸡兔同笼问题实际上就是一个同余方程组：x≡1(mod2)，x≡3(mod4)。

通过让学生运用“中国剩余定理”，可以简化解题过程，培养学生解决实际问题的能力。

为了引导学生理解和运用“中国剩余定理”，在教学中可以采取一些设问和讨论的方式。

可以提问如下问题：如果有两个数除以3的余数都是1，那么这两个数除以6的余数呢？如果有两个数除以4的余数都是2，那么这两个数除以8的余数呢？通过这样的讨论，可以引导学生发现规律和核心思想。

在教学中还可以通过一些游戏和活动来激发学生的兴趣和主动性。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理的核心思想是：如果我们知道任意整数x除以两个不同的整数m和n的余数，我们就能够确定x除以mn的余数。

换句话说，如果一个整数x分别除以m和n的余数为a和b，那么我们可以得到一个方程组x ≡ a (mod m)和x ≡ b (mod n)，通过求解这个方程组，我们就能够得到x除以mn的余数。

在小学数学学习中，我们会接触到一些关于余数和整除的基本知识。

我们会学习如何用余数的概念表示整数的奇偶性、能否整除等。

这些知识为学生理解中国剩余定理的概念打下基础。

中国剩余定理还可以在小学数学中用于解决一些应用问题。

有一个问题是这样的：小明从一家商店购买了一些水果，商店提供了两种打包方式，一种是每箱10个，另一种是每箱12个。

小明购买的总数量恰好是这两种打包方式的乘积的积，问小明买了多少个水果？解决这个问题的一种方法是利用中国剩余定理。

假设小明购买的水果数量为x，根据题目给出的条件，我们可以得到一个方程组x ≡ 0 (mod 10)和x ≡ 0 (mod 12)。

通过解这个方程组，我们就能够得到x除以120的余数，也就是小明购买的水果数量。

在这个问题中，我们也可以通过列出等式来求解，但利用中国剩余定理可以更快速地得到结果。

中国剩余定理还可以在小学数学教学中用于培养学生的逻辑思维能力。

通过引入中国剩余定理，学生需要学会观察和分析问题，将问题转化为数学方程，并运用定理中的方法求解。

这样的训练对学生的数学思维能力的培养具有积极意义。

需要指出的是，虽然中国剩余定理在小学数学学习中有一定的应用价值，但由于其涉及的内容比较抽象和高级，需要学生具备一定的数学基础和逻辑思维能力。

对于小学生而言，学习中国剩余定理应放在适当的时间和阶段进行，教师在教学中要结合学生的认知能力和数学水平，合理安排教学内容和方式。

“中国剩余定理”在小学数学学习中能够发挥一定的作用。

它不仅有助于学生理解和掌握余数的概念，还可以在解决一些应用问题和培养学生的逻辑思维能力方面发挥积极作用。

小学奥数中国剩余定理 ppt课件

❖ 我们先看“除以11余2"这个条件，从小到大依次在所有满足“除以11余2”的数中寻找“除以8余3”的数。
❖ 2+11=13，13÷8=1……5，不符合； ❖ 13+11=24，24÷8=3，也不符合； ❖ 24+11=35，35÷8=4……3，符合条件。 ❖ 因此这个数最小是35
小学奥数中国剩余定理
➢ 然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数 (2111,4421,……)。
《孙子算经》中的题目
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 的题目：
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
❖ 还有专门用来解决同一个数除以3，5和7的问题的歌诀： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”
❖ 所以这个两位数是56，70，84的公因数，答案是14 。
小学奥数中国剩余定理
❖ 因为每次都多出3个，所以拿走3个乒乓球，那么不论是8个8个地数, 10个10个地数, 12个12个地数，都没有剩余，这时乒乓球的个数就应该是8、10和 12的公倍数。[8，10，12]=120 。
❖ 120+3=123 ❖ 所以这盒乒乓球至少有123个。
小学奥数中国剩余定理
➢ 韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4 人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。
小学奥数中国剩余定理
2015.08.22
小学奥数中国剩余定理

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理是数论中的一种重要工具，它广泛应用于整数方程的求解和同余方程的解集求解。

虽然中国剩余定理属于高级数学内容，但在小学数学学习中，我们也可以通过一些简单的例子来帮助学生初步了解和运用这个定理，达到培养思维能力和扩展数学知识的目的。

我们可以通过一些有趣的例子来引导学生理解中国剩余定理的概念和原理。

假设小明有一些彩色纸片，其中红色纸片每4张一捆，蓝色纸片每5张一捆，绿色纸片每6张一捆，问小明一共有多少张纸片？这个问题可以用中国剩余定理解决。

我们设红色纸片张数为x，蓝色纸片张数为y，绿色纸片张数为z，则可以列出如下的方程组：x = 4ay = 5bz = 6c其中a、b、c为未知数。

这个方程组可以转化为以下形式：x ≡ 0 (mod 4)y ≡ 0 (mod 5)z ≡ 0 (mod 6)根据中国剩余定理，只需要找到满足以上余数条件的一个解，再找到单位数的最小公倍数，再加上这个最小公倍数的整数倍，就可以得到方程组的所有解。

4和5的最小公倍数是20，那么满足条件的解就可以表示为：其中m、n、p为整数。

根据题目要求的捆数关系，彩色纸片的总数为：x + y + z = 20m + 20n + 20p = 20(m + n + p)小明有20的整数倍多张纸片。

结合题目给定的条件，我们可以得知小明有20、40、60等等无限多种可能的张数。

通过这个简单的例子，可以让学生初步理解中国剩余定理的运用和基本原理。

还能培养学生的逻辑思维和解决实际问题的能力，拓展他们的数学思维。

中国剩余定理还可以应用于其他一些实际问题中。

小学生学习时常遇到的乘除法练习题，有时需要求解同时满足多个条件的问题。

通过将这些条件转化为同余方程，再利用中国剩余定理的方法，可以简化计算过程，提高计算效率。

在小学数学学习中，虽然中国剩余定理属于高级数学内容，但我们可以通过简单的例子和实际问题引导学生初步了解和运用这个定理，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

此类问题的解答是利用两数不能整除若被除数扩大或缩小了几倍而除数不变则其商和余数也同时扩大或缩小相同的倍数进而求出每个除数对应的基础数其次是求三个基础数的和最后减去三个数的最小公倍数以此来解答这类问题
周刊
浅谈 “中国剩余定理 ”在小学数学问题”的题，所以学会这类题的解答方法很有必要。这类问题的解法被称为 “中国剩余定理”，也有人称为“韩信点兵”。此类问题的解答是利用两数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数，进而求出每个除数对应的基础数，其次是求三个基础数的和，最后减去三个数的最小公倍数，以此来解答这类问题。
三人同行七十（７０）稀，五树梅花二一（２１）枝。七子团圆正半月（１５），除百零五（１０５）便得知。这首诗歌的意思是，一个数除以３、５、７同余 “１”符合条件的数分别是７０、２１、１５这三个数。只要记住这三个数，那么有关“一个数除以３、５、７余数是其他数 ”的题很快能求出答案。例如上面解答的题目：一个数除以３余２，除以５余３，除以７余２，求这个数。 ① 因为除以３余１的基础数是７０，那么除以３余２的基础数就是７０×２＝１４０同理：除以５余３的基础数就是２１×３＝６３除以７余２的基础数就是：１５×２＝３０ ③可以用如下算式解答：７０×２＋２１×３＋１５×２＝１４０＋６３＋３０

小升初奥数数论剩余定理要点及解题技巧

小升初奥数数论剩余定理要点及解题技巧【篇一】中国剩余定理的由来韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少?首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积)，然后再加3，得9948(人)。

中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何?」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。

凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。

」孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

【篇二】中国剩余定理在数论中的地位中国剩余定理是数论四大定理(威尔逊定理、欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理)之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。

中国剩余定理问题的解题技巧【问题】有1个数，除以7余2.除以8余4，除以9余3，这个数至少是多少?这种问题称为“中国剩余定理”问题。

我一般用两种方法解决这类问题。

第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。

第二种是最小公倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。

还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。

所以一般不用。

下面分别介绍一下常用的两种方法。

通用的方法：逐步满足法【问题】一个数，除以5余1，除以3余2。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理，又称孙子定理，是中国古代数学家孙子在《孙子算经》中提出的一种数学定理，该定理在小学数学学习中有着丰富的运用。

中国剩余定理的表述是：如果我们知道一个数除以几个不同的数的余数，并且这些除数互质，那么我们可以通过这些余数以及除数的乘积之积恢复出这个数。

在小学数学学习中，中国剩余定理可以应用在许多问题中，例如：1. 节省运算步骤：使用中国剩余定理可以将一个大的除法问题转化为若干小的除法问题，并最后合并答案。

这样可以大大节省运算的步骤，减小计算量，提高计算效率。

2. 解决同余方程问题：同余方程是小学数学中的一个重要概念，中国剩余定理提供了一个有效的求解方法。

通过建立同余方程组并应用中国剩余定理，可以解决例如“小明今年的年龄是一个不大于12的正整数，除以3余2，除以4余3，除以5余4”的问题。

3. 推理规律性：小学数学学习中，推理规律性是一个重要的能力培养目标。

通过运用中国剩余定理，可以帮助学生建立数学模型，观察问题中的规律，通过归纳和演绎思维进行推理分析。

运用中国剩余定理的例子：例子一：小明买苹果。

他买了苹果，每袋15个粒，还剩2个苹果；如果每袋20个粒，还剩3个苹果；如果每袋32个粒，还剩7个苹果。

问小明买了多少个苹果？解答：我们可以建立如下的方程组：x ≡ 2 (mod 15)x ≡ 3 (mod 20)x ≡ 7 (mod 32)其中符号≡表示同余。

由中国剩余定理，我们可以解得：x ≡ 17 (mod 480)所以小明买了480个苹果。

例子二：某个居民小区购买新的电梯。

共有100户居民，为了满足居民的需求，电梯安装在了离每一栋楼房最近的位置。

电梯间隔每4个楼房就有一台电梯，间隔每7个楼房就有一台电梯。

问这个小区共安装了多少部电梯？所以这个小区共安装了28部电梯。

通过以上两个例子，我们可以看到中国剩余定理在小学数学学习中的灵活运用。

它能够使学生在解决问题时灵活思考，培养学生观察规律、建立数学模型、进行推理分析的能力。

小学奥数-中国剩余定理资料讲解

❖ 歌诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”
❖ 那么就用21乘3，被7除余2，那就15乘2，相加：
❖ 70×2 + 21×3 +15×2=233。 ❖ 看情况减3、5、7的最小公倍数的倍数。此题
减105的2倍，得到23。
例7、一个数，除以5余1，除以7余2，除以9余
❖ 因为每次都多出3个，所以拿走3个乒乓球，那么不论是8个8个地数, 10个10个地数, 12个12个地数，都没有剩余，这时乒乓球的个数就应该是8、10和 12的公倍数。[8，10，12]=120 。
❖ 120+3=123 ❖ 所以这盒乒乓球至少有,每份4个余 2个,每份10个余8个,每份25个余23个.这堆苹果共有几个？
❖ 利用这个思路，我们来解答例7。 ❖ 因为[7，9] =63，63÷5=12……3；而63 x 2=126，
126÷5=25……1。 ❖ 所以能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。
例7 (续) 、一个数，除以5余1，除以7余2，除
以9余4。这个数最小是多少?
❖ 能被7和9整除，而被5除余1的最小数是126。 ❖ 同样的方法，我们可以找出能被5和9整除，而被7
❖ 9+11=20 20÷9=2……2，不符合“除以9余4’’的条件； ❖ 20+11=31 31÷9=3……4，符合“除以9余4”的条件； ❖ 但31÷4 =7……3，不符合“除以4余1"的条件； ❖ 31+99=130，130÷4=32……2，也不符合“除以4余1”的条件； ❖ 130+99 =229，229÷4 =57……1 符合“除以4余1”的条件。 ❖ 因此这堆糖果至少有229个。
❖ 由于这个数除以8和11的余数不相同，而且缺少的数也不相同，因此不能直接利用最小公倍数来解决

五年级数论问题：中国剩余定理3

五年级数论问题：中国剩余定理
难度：中难度
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数
解答:中国剩余定理得23。

五年级数论问题：中国剩余定理
难度：中难度
一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：
解答:
将3、5、7、11这4个数3个3个分别计算公倍数，如表：
3、5、7公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以210×5 =1050被11除余5，
由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，又3、5、7、11的最小公倍数
是1155，所以2678-1155×2=368是符合条件的最小值.
五年级数论问题：中国剩余定理
难度：高难度
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数____.
解答:采用"中国剩余定理"：
35的公倍数 37的公倍数 57的公倍数
15 21 35
30 42 70
45 63 105
60 84 140
………
除以7余4的除以5余3 除以3余2
分别是：60 63 35
可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。

所以答案为：158-105=53。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理是数论中的一个重要定理，最早由中国古代数学家孙子钱编著的《孙子算经》一书中提出。

它是一种求解同余方程组的方法，能够通过给定的多个同余方程，得到一个解使得这些方程同时成立。

在小学数学学习中，中国剩余定理虽然属于高级数学知识，但我们可以简化它的概念和运用，在数学学习中进行启发式教学。

我们需要简单了解一下同余方程的定义。

在数论中，同余方程是指具有相同余数的整数之间的关系。

设a、b为任意整数，m为正整数，则称a与b对于m同余，记作a≡b(mod m)，当且仅当m整除a-b。

中国剩余定理的核心思想是：如果有两个数a和b在模m下同余，即a≡b(mod m)，同时a和b对于不同的m有不同的余数，那么可以通过这两个同余方程，找到一个解x，使得x对于这两个m的余数分别为a和b。

这样的解可以称为“同余类”。

举个例子来说明，假设有两个同余方程：x≡1(mod 2)和x≡2(m od 3)。

我们可以通过中国剩余定理，求解出一个解x=5。

这意味着5在模2下的余数为1，同时在模3下的余数为2。

实际上，5还可以加上2的倍数或者3的倍数，得到一系列满足同余关系的数。

例如x=5+6k(k为整数)也满足上述两个同余方程。

在小学数学学习中，我们不需要引入复杂的数论概念和运算，但可以通过启发式教学的方式，让学生在实际问题中体验和应用中国剩余定理。

以下是一个例子：假设小明花了一些钱买了一本书，他知道这本书的价格除以2余1，除以3余2，除以5余4。

请问这本书可能的价格是多少？我们可以引导学生尝试用暴力枚举法来找到这个数。

从1开始，依次检查是否满足给定的同余方程。

这样的话，显然非常耗时且不够高效。

接下来，我们可以向学生讲解并尝试应用中国剩余定理的简化方法。

设x为书的价格，则根据题意有以下同余方程：x≡1(mod 2)x≡2(mod 3)x≡4(mod 5)我们可以从第一个同余方程开始，找到一个数a满足a=1(mod 2)。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理是数论中的重要定理，也是一种求解模线性方程组的方法。

它在数学领域有着广泛的应用，同时也可以在小学数学学习中进行引入和运用，帮助学生更好地理解数学知识，提高他们的数学解题能力。

我们需要简单介绍一下中国剩余定理的基本概念。

中国剩余定理是指对于一组互素的整数模数，如果它们的最大公约数是1，那么通过求解一组线性同余方程组的方式可以得出一个原方程的解集。

一般来说，中国剩余定理可以表示为：设m1, m2, ..., mk是两两互素的正整数，a1, a2, ..., ak是任意的整数，那么同余方程组x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ ak (mod mk)在模m1m2...mk下有唯一解。

其中x是未知数，m1, m2, ..., mk是模数，a1, a2, ..., ak是余数。

中国剩余定理可以在小学数学学习中进行引入和运用。

我们可以通过一些简单的实例来帮助学生理解中国剩余定理的基本思想。

让学生解决如下问题：甲乙两人合伙摘了一筐果子，甲说：“我们一人分一半不就得了？”乙说：“不行，这稀罕的果子一个也不能少。

”于是他们就把果子平分成两堆，竟还多出一个。

问：这筐果子里至少有多少个？这个问题可以通过中国剩余定理的思想进行求解，而不需要通过传统的代数方法进行推导。

中国剩余定理还可以帮助学生更好地理解模运算的概念。

在小学阶段，学生对于模运算可能会感到比较抽象和难以理解，但是通过中国剩余定理的引入和运用，可以让学生通过具体的实例来理解模运算的运算规则和性质，从而更好地掌握这一概念。

中国剩余定理还可以帮助学生在解决实际问题时进行数学建模和求解。

在小学数学学习中，我们可以设计一些简单的实际问题，让学生通过中国剩余定理的方法来进行建模和求解。

可以设计一个关于找零钱的问题：小明有一些零钱，如果凑成1元、5元、10元三种面值的纸币，总数是57元，问他有可能有多少零钱？通过中国剩余定理的方法，学生可以利用模线性方程组的求解方法来解决这个问题，从而锻炼他们的数学建模和解决问题的能力。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用1. 引言1.1 介绍中国剩余定理中国剩余定理，又称孙子定理，是中国古代数学中的一项重要定理。

该定理最早由中国古代数学家孙子在《孙子算经》中提出，后经过数学家贾宪、刘徽等人的发展完善，成为中国数学史上的一大成就。

中国剩余定理的主要内容是：如果一个整数被两个互素的整数所除，那么这个整数对这两个整数的余数所构成的同余方程组有唯一解。

这一定理在数论、代数等领域有着广泛的应用。

中国剩余定理在小学数学学习中虽然属于高等数学的内容，但其简单而且直观的特点使得它可以被引入到小学数学教学中。

通过教授中国剩余定理，不仅可以拓展小学生的数学思维，增强他们的逻辑推理能力，还能培养他们的观察力和解决问题的能力。

在小学数学教学中引入中国剩余定理具有重要的意义。

1.2 小学数学学习的重要性小学数学学习的重要性在于它是基础知识的奠基阶段，为学生建立数学思维、逻辑推理、问题解决能力奠定了坚实基础。

在小学数学学习中，学生将接触到数字、形状、图形、测量、算术运算等内容，通过这些学习，能够培养学生的数学思维能力，提升他们的逻辑思维能力，锻炼他们解决问题的能力。

小学数学学习还有助于培养学生的观察力、分析能力以及判断能力，帮助他们在日常生活中有效地运用数学知识解决问题。

小学数学学习对孩子的思维发展和学习习惯的养成也有着重要的影响。

通过数学学习，学生能够培养良好的学习习惯，提高自律能力和自信心，为他们未来的学习打下坚实基础。

数学学习可以帮助学生提高对抽象概念的理解能力，培养他们的逻辑思维及推理能力，为他们今后更加复杂的数学学习打下坚实基础。

小学数学学习的重要性不言而喻，它对学生的综合素质提升，学习能力的培养等方面都起到了至关重要的作用。

2. 正文2.1 中国剩余定理的原理及应用中国剩余定理是一个古老而又神秘的数学定理，被认为是中国古代数学的杰出成就之一。

它是一种用来解决一组同余方程的方法，可以帮助我们在处理复杂的问题时更有效地进行计算。