maple_chap2

36

微积分运算 第

二

章 本章将通过例子系统地介绍Maple 软件中的微积分运算，读者可以学到利用Maple 软件解决简单的高等数学问题的一些方法和技巧。

本章具体包括以下内容：

如何在Maple 中计算函数的极限

如何在Maple 中检验函数的连续性

如何在Maple 中表示微分运算

如何在Maple 中进行函数和表达式的微分运算

如何在Maple 中对隐函数进行微分和求导运算

如何在Maple 中进行符号积分运算

如何在Maple 中计算广义积分

如何在Maple 中计算数值积分

如何在Maple 中表示和计算数列

如何在Maple 中求数列的极限

如何在Maple 中将已知函数展开成级数

。37．

Maple 的应用，可以说大多数是用在高等数学的计算上了，微积分运算，也许是Maple 最为拿手的计算了。任何解析函数，Maple 都可以求出它的导数来；任何理论上可以计算的的积分，Maple 也都可以不费吹灰之力地将它计算出来。有了Maple ，你完全可以把积分手册扔到一边去，因为你在也忍受不了它了。不仅如此，Maple 从来不会抱怨表达式太繁，或者太长的。

可以毫不夸张地说，高等数学书上的任何一道计算题，都可以用Maple 解决。不信？那好，就跟着我用Maple 重新温习一遍微积分吧，你一定会有新的发现的！

2.1 极限和连续性

2.1.1 函数或表达式的极限

在Maple 中，我们可以利用函数limit 表示和计算函数和表达式的极限。

读者一定还记得，我们用一对单引号表示暂时不作计算的表达式；上面，我们就利用它在Maple 中写出了一个漂亮的极限式。而后面再次引用它时，Maple 就进行计算，得到了我们所期望的结果。实际上，对于这些常用的“漂亮”计算符号（又比如求导、积分等运算）

，Maple 中都有一套函数与其一一对应。对应的规则是，把原有函数的首字母改成大写，于是就得到“形式函数”，得到的是一个形式上的表达式。比如上面这个例子，我们就可以写成：

顺理成章地，这个函数也可用来求自变量趋于无穷时的极限。无穷，

在Maple 中用infinity 表示。我们来看下面这个经典的极限：

为了使大多数计算能够进行下去，函数limit 假设表达式中所有未被赋值的参数都是非0实数。比如在a 未被赋值时，a 2/x 在x 趋向于0时的极限将被认为是正无穷大。

函数的第二个参数表示欲求的极限所在的位置，它是一个等式，等式的左边是自变量，右边是极限点，极限点可以是任意的实数。基于Maple 的强大符号运算功能，表达式中间完

。

38．

全可以包含未知参数，绝大多数理论上存在的极限都可以求出来。

该函数不仅可以用来求变量函数的极限，还可以用来求多重极限。这时，函数的第二个参数是一个等式的集合（用一对大括弧“

{}”括起来）。例如：

limit 函数的第三个参数是可选参数，利用它可以求单侧极限和复数域极限。在默认情况下，函数求得的是实数域中的双侧极限（除了无穷大处的极限是单侧的外）。如果指定第三个参数为complex ，则函数limit 在复数域中求极限。在实数域中，我们可以指定left 或

right ，以求得单侧极限。例如：

2.1.2 函数的连续性

在Maple 中，你可以用库函数iscont( )来检验一个函数或者表达式的连续性。由于它是

库函数，使用前我们先要用命令readlib 调入。请看下面的例子：

其中第二个参数指定了有待检验的区间，它必须由两个实的常数（或无穷大）界定。默认情况下它指的是一个开区间，在指定了第三个（可选）参数为'closed'后，它将检查该闭区间。如果无法判断表达式在该区间上的连续性，函数将返回系统符号常量FAIL ，表示计算失败。

相应的，Maple 中还有另一个库函数discont( )，可以用来找出表达式或函数的间断点。这个函数可以找出所有可能的实间断点，依据Maple 的算法，它找到的并不一定都是间断点，但一般情况下，也就是函数比较好的情况下，找到的都是真正的间断点。我们会经常遇到间断点周期出现或成对出现的情况，这时，Maple 会利用一些辅助变量予以表达，比如_Zn~、

。39．

_NNn~、和_Bn~，其中n 是序号，_Zn~表示任意整数，_NNn~表示任意自然数，而_Bn~则表示一个二进制数（即可以取

0或者1）。

利用函数fdiscont( )，我们可以求得数值上的间断点，和其他浮点运算一样，浮点精度由系统变量Digits 决定。

2.2 Maple 中的求导和微分运算

2.2.1 符号表达式求导

利用Maple

中的求导函数diff( )，你可以计算一个表达式的导数或者偏导数；而利用形式求导函数Diff( )，你可以获得求导表达式。

利用符号$可以简单地表示多重导数，diff(expr, x$3)和diff(expr, x, x, x)是等价的，它们都表示expr

对x 的3阶导数。

由于Maple

是一个符号计算软件，而且在不加特别约束的情况下，带参数的导数实质上就是偏导数，所以用diff( )计算偏导数和计算单变量函数的导数在形式上没有任何不同：

。40．

函数diff( )求得的结果总是一个表达式，如果你需要得到一个函数形式的结果，也就是要求导函数，你可以用D 运算符。D 运算符作用于一个函数上，得到的结果也是一个函数。我们在这里先用箭头运算符“->”定义一个简单的函数，箭头运算符的左边是函数的自变量，右边是函数表达式。

有关函数的定义和箭头运算符的详细情况，我们在后面相应章节会加以详细介绍。

D 运算符也可以被用作求多重导数，不过这里不是用“$

”而是用两个连续的“@@”。

D 运算符并不局限于单变量函数，一个带指标的D 运算符D[i](f)可以用来求偏导函数。D[i](f)表示函数f 对第i 个变量的导函数，而多重导数D[i, j](f)

等价于D[i]( D[j](f) )。

由于diff 和D 这两种运算本质上是一样的，所不同的仅仅是表达形式而已，它们之间

也可以用convert 相互转换。