一次函数之数形结合(一次函数)
一次函数求k取值范围数形结合
一次函数求k取值范围数形结合1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行描述：1.引入一次函数的概念：一次函数是数学中常见的基本函数之一，也被称为线性函数。
它的表达式通常形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
2.介绍一次函数的性质：一次函数具有直线的特点，斜率k决定了其斜度和方向，而常数b则决定了直线与y轴的截距。
一次函数的图像呈现出直线的形态，具有平移、伸缩和翻转等特性。
3.说明数形结合的意义：数形结合是将数学与几何图形相结合的一种学习方法。
通过观察直线的图像与函数表达式之间的关系，我们可以更直观地理解和掌握一次函数的性质和规律。
4.阐述文章目的：本文旨在探讨一次函数的k取值范围，并结合数形结合的方法，通过观察图像来解决相关问题。
同时，我们将进一步探讨一次函数在实际生活中的应用，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。
通过以上内容的介绍，读者可以对本文的主题和目的有一个初步的了解。
接下来的文章将围绕一次函数的定义和性质以及数形结合的意义和应用展开，引领读者深入探究一次函数的k取值范围与数形结合之间的关系。
1.2文章结构文章结构部分主要介绍了本篇长文的整体架构和内容安排。
首先，我们将在引言部分概述本篇文章的主题和目的，然后详细介绍正文部分和结论部分的内容。
在正文部分，我们将首先定义和探讨一次函数的概念和性质，包括一次函数的定义、特点以及常见形式等。
通过对一次函数的基本性质和图像的分析，我们将深入理解一次函数的数学意义。
接下来，我们将探讨数形结合在数学中的意义和应用。
数形结合是一种综合运用数学和几何形象的方法，通过图形和图像的分析，我们可以更加直观地理解数学概念。
我们将通过实例介绍数形结合在解决数学问题中的重要性和实际应用，以便读者更好地理解该方法的优势和应用场景。
在结论部分，我们将介绍一次函数求解k取值范围的方法。
通过对一次函数图像的分析和对函数性质的研究，我们可以确定k的取值范围，使得函数满足特定条件。
“数形结合”理解一次函数
“数形结合”理解一次函数作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第05期一次函数是刻画变量之间关系的数学模型.若要深刻理解一次函数，需要在一次函数的学习过程中巧用“数形结合”，以形助数、以数解形，增加思维的灵活性.一、“数形结合”理解k与b1.一次函数y=kx+b中的k与b此时，k.b共同确定了直线的位置.还可以发现，k，b可以确定两个关键点的坐标，即直线y=kx+b交y轴于点（0，b），交x轴于点（-b/k，0）.2.两个一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的“k”与“b”k，b共同确定直线的位置.对两条直线中k，b的数量关系分类讨论，可以得到直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2的位置关系.二、一次函数与方程、不等式的关系三、“数形结合”解决一次函数问题例1 （2019年·毕节）已知一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，则下列结论中正确的是（）.A.kb>0B.kb<0C.k+b>0D.k+b<0解析：一次函数y=kx+b的图象经过第一、三象限，k>0;又图象经过第四象限，b<0.故kb<0，选B.例2 （2019年·梧州）直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（）.A.y=3x+3B.y=3x-2C.y=3x+2D.y=3x-l解析：选D.例3 （2018年·遵义）如图1，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3>0的解集是（）.A.x>2B.x<2C.x≥2D.x≤2解析：直线y=kx+3与x轴的交点为（2，0）.kx+3>0，即y>0，对应的图象在x轴上方，不等式的解集为直线在x轴上方部分的横坐标.故不等式的解集为x<2，选B.例4 （2019年·黔西南）如图2所示，一次函数y=ax+b（a，b为常数，且a>0）的图象经过点A（4，1），则不等式a+b<1的解集为_____.解析：由函数y=ax+b的图象可知，直线经过点A（4，1），且自左向有，直线呈上升趋势，函数值y随x的增大而增大，故不等式ax+b<1的解集是x<4.例5 （2018年·甘肃）如图3，一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象交于点P（n，-4），则关于x的不等式组2x+m<-x-2，-x-2解析：由2x+m<-x-2，知直线y=x-2在直线y=2x+m上方的部分满足不等式，即两直线交点左侧部分的横坐标满足不等式.然后将P点坐标代入已知的一次函数y=-x-2中，求出P（2，-4）.观察图象可得不等式的解集为x<2.由不等式-x-2<0可知，直线y=-x-2在x轴下方的部分的横坐标满足不等式，即x>-2.∴不等式组2x+m<-x-2，-x-2<0，的解集是-2<-x-2<0x<2.练习1.（2019年·河池）函数y=x-2的图象不经过（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.把函数y=x的图象向上平移3个单位，下列各点中在平移后的直线上的是（）.A.（2，2）B.（2，3）C.（2，4）D.（2，5）3.已知将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b 的说法中正确的是（）.A.经过第一、二、四象限B.与x轴交于点（1，0）C.与y轴交于点（0，1）D.y随x的增大而减小4.如果一次函数y=-2x+m的图象经过点P（-2，3），且与x轴和y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积是（）.A.1/2B.1/4C.4D.85.（2019年·遵义）如图4，直线l1：y=3/2x+6与直线l2：y=-5/2x-2交于点P（-2，3）.不等式3/2x+615/2-2的解集是（）.A.x>-2B.x≥-2C.x<-2D.x≤一2（答案在本期找）。
一次函数中的数形结合
像 ｎ图 ｌ ， 贝 ４ 下歹 ｑ结 论
① ＜ ０ ； ②ｎ ＞ ０ ； ③ 当ｘ ＜ ３ Ｄ ／ ／ ３＼ Ｙｌ ＝ ｋ ｘ ＋ｉ 时， Ｙ ＜ ｙ ２ 中， 正 确 的 个
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一
次 函数 中的数形结合
赵 蓉
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华 罗庚 先 生 曾指 出 ： “ 数 与 形本 是 相 倚 Ｙ ， 在 两 个 函 数 图像 交 点 的 左 边 即 ｘ ＜ ３时 ，
依 ， 焉能分作 两边 飞 ； 数缺 形 时少直 觉 ， 形
Ｙ 的图像位于ｙ 图像的上方， 因 坳 ＞ Ｙ ２ ． 故
算 的 目的 ．
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【 典例精析 】
例 １ 一 次 函 数 ｙ ｌ ＝ ｋ ｘ＋ ｂ与 Ｙ２ ＝ ＋ ０的 图 ＼
Ｙ
【 解析 】 由ｋ ・ ｋ ２ ＜ Ｏ可得ｋ 。 与ｋ 异号 ， 故 有 一 条 直线 是 上 升 的 ， 一条直线是下降的 ，
Ｊ ｌ
形” 可使 复 杂 问题 简单 化 ， 抽 象的数 学 问题 直观 化 、 生动 化 ， 能 够 变抽 象 思 维 为 形 象 思维 ， 有 助 于 把 握 数 学 问题 的 本 质 ． 另外，
由于 使 用 了数 形 结 合 的 方 法 ， 很 多 问题 便
迎 刃而 解 ， 且 解法 简捷 ， 从 而 起 到 优 化 计
～
数形结合思想在“一次函数”解题中的应用
数形结合思想在“一次函数”解题中的应用摘要：在解题过程中，利用数形结合的思想解答数学问题，往往能够起到事半功倍的效果，在解答与“一次函数”相关的问题的时候，可以画一个直角坐标，先根据题目中给到的点标在直角坐标系中，这样就可以直观的把所有信息都体现在图上，使解题更加方便，不会漏掉重要信息，而且在解题后，还能根据直角坐标系进行验证，用数形结合的思想在“一次函数”解题中是非常实用的。
关键词：数形结合；一次函数；解题应用一次函数在初中数学中是比较基础的章节，这一章节也可说是小学数学与初中数学的过渡，同学们要逐渐适应这样的函数形式，通过数行结合的思想可以很好地解决一次函数相关的问题，数形结合法是解决数学问题的重要方法之一，体现了数量关系与空间形式是相互联系和转化的，将抽象的数式与具体的图形相结合与转化，把数量关系转化为图形或把图形问题转化为数量关系进行研究.在一定的条件下，将数与形进行巧妙转化，以形助数，以数解形，化难为易，有时会起到事半功倍的效果.（1）以形助数：仔细观察图形的形状、大小、位置关系，充分利用线段、面积与周长等数量关系将数转化为形来求解.例1：已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B(0，1），C(-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。
（1）求∠OAB的度数及直线 AB的解析式：（2）若△OCD 与△BDE 的面积相等，求直线 CE 的解析式；若 y 轴上的一点P 满足∠APE=45°，请直接写出点P的坐标。
解题思路：（1）由A，B两点的坐标知，LAOB为等腰直角三角形，所以ZOAB=45°（2）△OCD与△BDE?的面积相等，等价于△ACE?与△AOB?面积相等，故可求E 点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0.0）时，∠APE=45°在例1当中，运用的就是以形助数的解题方式，在这道题目当中，给出了在直角坐标系的电的位置和图形，从图形中，我们可以清晰地看到OA=OB=1，△AOB为等腰直角三角形，而等腰直角形的除直角以外的两个角的度数是45°，从坐标系中清晰可见，如果题目中没有给出直角坐标系，那么，只依靠想象和计算推演出△AOB为等腰直角三角形就比较困难了。
浅析一次函数中的数形结合
浅析一次函数中的数形结合发布时间：2022-02-20T09:36:29.173Z 来源：《基础教育参考》2022年2月作者：贾志忠[导读]贾志忠四川天府新区第三中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128 （2022）02-224-01 “数”与“形”是数学中两个最古老、最基本的研究对象，它们反映了事物的两个基本属性。
数从起源开始，就与形紧密地联系在了一起。
如结绳计数、符号计数等。
因此，数与形相伴而生，如影随形。
所谓的数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形之间的相互转换，来解决数学问题的一种思维方式，是一种重要的数学思想。
其本质是数与形的双向结合，既展现形的直观，又体现数的精准。
数形结合的应用分为两种基本类型：（1）借助于数的精确性来阐明形的某些属性（2）借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。
一次函数的一般式是： ( 为常数， )有数的属性：其图象为直线，又有形的特征。
所以说，一次函数是数形结合的典型模型。
一次函数的图象就是由满足方程的数对确定的点组成的一条直线；直线上的每个点的坐标都满足解析式。
这就是一次函数中数与形的对应关系：坐标即点，点即坐标。
利用这种对应关系，我们来分析其中的数形如何结合。
（一）以数定形确定图象的增减性；，随的增大而增大；，随的增大而减小。
反之亦然。
（2）、确定图象的位置。
具体情况见下表：（二）以形化数（1）两直线位置关系与斜率的对应关系：①；②（2）两直线的交点由两函数解析式组成的方程组确定：以上一次函数的性质，是基本的数形对应关系，可以直接实现数形之间的直接转化。
我们称之为“源于教材”！是数形结合的第一层次。
但是，在一次函数综合题中，单纯的“以数定形”和“以形化数”，往往显得无能为力。
下面以天府新区2018期末考题（改编）为例来说明：如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点A顺时针旋转45°得到。
一次函数数形结合思想的应用-含答案
一次函数数形结合思想的应用看图找交点 1．如图，直线2y x =与y kx b =+相交于点()12P ，，则关于x 的方程2kx b x +=的解是（ ）2．如图，一次函数1y kx =-与3y x =-+的图像都经过点()2,1P ，则不等式13kx x -≥-+的解集为（ ）33A ．1x <-B ．12x -<<C ．1x <-或2x >D ．2x > 4．如图，已知直线1y x =-与24y nx n =+图象交点的横坐标是2-，则关于x 的不等式40nx n x +>->解集是（ ）A ．40x -<<B ．20x -<<C ． 0n x <<D ．4x n -<<5．如图，已知直线y ＝kx +b 与直线y ＝x ﹣1的交点的横坐标为2，根据图象有下列四个结论：①k ＞0；①b ＞0；①方程组100x y kx y b --=⎧⎨-+=⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩；①不等式kx +b ﹣1≥0的解集为x ≤2．其中，正确的结论有（ ）3A ．0x >B ．3x >-C ．6x >-D ．9x >- 7．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则()0kx b x a +-+>的解集是（ ）A ． 1x >-B ． 2x >C ． 1x <-D ． 2x < 8．一次函数y mx n =+与y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①0a >；①0n <；①方程0mx n +=的解是2x =-；①不等式3ax b +>的解集是3x >-；①不等式0<ax b mx n +≤+的解集是3<2x -≤-．其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．直线y kx b =+在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式1kx b +≤的解集是（ ）A ．0x ≤B ．0x ≥C ．2x ≤-D ．2x ≥- 10．如图，直线y=kx+b 交坐标轴于A （﹣2，0），B （0，3）两点，则不等式kx+b ＞0的解集是A ．x ＞3B ．﹣2＜x ＜3C ．x ＜﹣2D ．x ＞﹣2二、填空题11．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点()30A -,和点()0,2B ，则关于x 的一元一次方程0kx b +=的解为x = ．12．如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()2,0，点()0,3，有下列结论：①图象经过点()13-，；①关于x 的方程 0kx b +=的解为2x =；①关于x 的方22⎩。
一次函数专讲---数形结合法
A． 2
B． 2
C． 1
D． 0
【例2】 已知一次函数 y x a 与 y x b 的图象相交于点 m ，8 ，则 a b ______．
【例3】 已知一次函数 y kx b 的图象经过点 2 ，0 ，1 ，3 ，则不求 k ，b 的值，可直接得到方程 kx b 3 的
解是 x ______．
二、一次函数与一元一次不等式综合
【例4】 已知一次函数 y 2x 5 ． （1）画出它的图象； （2）求出当 x 3 时， y 的值； 2 （3）求出当 y 3 时， x 的值； （4）观察图象，求出当 x 为何值时， y 0 ， y 0 ， y 0
【例5】 当自变量 x 满足什么条件时，函数 y 4x 1的图象在：
O
x
O
x
O
x
y=2x+1 x=1
(1)
x=1
(2)
y=2x+1
(3)
回答下列问题．⑴在下面的直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组
x
y
1 2x
2
的解；
y
y
y
O
O
x
y 1=2x+1
O
x
x 2
⑵在上面的直角坐标系中，用阴影表示
y
2
x
2
所围成的区域．
y 0
⑶如图⑷，表示阴影区域的不等式组为：
x y2
.
3、当 m 满足
时，一次函数 y 2x 2m 5的图象与 y 轴交于负半轴.
4、函数 y 3 x 1，如果 y 0 ，那么 x 的取值范围是
.
2
5、图 3 中，表示一次函数 y mx n 与正比例函数 y mx(m 、n 是常数，且 m 0, n 0) 的图象的是（ ）
数形结合在一次函数中的应用
ｓ ｛ 漱
（） Ｂ
根 据 图 象 ， 答 下 列 问题 ： 解
析 式 ． 而利 用 函数 图 象 的性 质来 解 从
ｆ ）求 这 辆 汽 车 从 甲 地 出 发 ４ 为 总 费 用 为 ｙ 元 ） 有 两 种 购 买 方 ３ ｈ （ 现
案：
分析 ： 由题 意 得 ： 刚 前 ４ ０米 时 与 甲地 的距 离 小 ５ 行 走 的 时 间 ｔ＝ １ ＝ ５ （ ）ｓ ｔ １ 分 ，随
分 析 ：１ 由 题 意 得 ： （） 线段 Ｏ 表 Ａ
例 题 ：小 刚 每天 从 家 去 学 校 ． 上 学 行 走 的路 程 为 ９ ０米 天 他 从 家 ０ 某
ｋ （ ≠０ ， 图象 得 ： ｘｋ ）由
Ｂ（ ． ２ ） Ｃ ５ ０ ， 入 得 ： ２ ，１ ０ 、 （ 、 ） 代 ５
例 题 ： 一 次 运 输 任 务 中 ． 辆 在 一
２ ： 数 关 系 ． 后 根 据 函象 ． 而 归 纳 出 函数 的 图 从
同。 ■髓圄咖 湖 育ｌ 教学 ４ 北教 教育 ５
实践
ｕ
是线段 Ｏ Ａ所 表 示 的正 比例 函数 ．＝ ｖ 评 注 ： 数 形 结 合 的 问题 时应 注 解
—
（ ０ ，０ ０ ）Ｂ（５ ，４ ０ ） １ ０ １０ ０ 、 １０ １０ ０
强 解 决 问 题 的灵 活 性 ． 高 分 析 问 题 提
解决 问题 的 能力 数 学 中 渗透 数 形 在
当 ｘ １０时 ． ≥ ０ Ｙ与 ｘ的 函 数 关
一次函数数形结合(人教版)(含答案)
一次函数数形结合（人教版）一、单选题(共9道，每道11分)1.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为( )A.y=2B.y=3C.x=2D.x=3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围2.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x<1时，y的取值范围是( )A.-2<y<0B.-4<y<0C.y<-2D.y<-4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围3.已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A.当x＞0时，y＞-2B.当x<1时，y＞0C.当x<0时，-2<y<0D.当x≥1时，y≤0答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围4.如图，若直线与直线的交点坐标是（2，-1），则当时，x的取值范围是( )A.x≤-1B.x≤2C.x≥-1D.x≥2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围5.如图，一次函数y=ax+b的图象经过A，B两点，当直线y=ax+b在第四象限时，自变量x 的取值范围是( )A.0≤x≤2B.x＞2C.0<x<2D.-1<x<2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围6.如图，函数y=2x和y=ax+8的图象相交于点A（m，6），则不等式ax＞2x-8的解集为( )A.x<3B.x＞3C.x<6D.x＞6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围7.如图，直线y=kx+b经过A（3，1），B（-1，-3）两点，则不等式组的解集为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围8.已知，，若对任意一个x，n都取中的较小值，则n的最大值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围9.已知直线，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取，，中的最小值，则y的最大值为( )A.2B.C. D.3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合求范围。
一次函数中的数学思想
——一次函数中的数学思想数学思想方法是数学中的精髓，是联系数学中各类知识的纽带，是数学知识的重要组成部分．一次函数中包含着丰富的数学思想方法，如数形结合思想、转化思想、分类讨论思想等．现例析如下，供同学们参考．一、数形结合思想直角坐标系的建立实现了数与形紧密结合，使抽象的数形象化、直观化．化数为形，以形思数，是解决数学问题的关键．数形结合思想不仅为分析问题、解决问题提供了有利条件，而且是培养创新意识、开发智力的重要途径．例1（2006年•陕西省）例甲、乙两车从A 地出发，沿同一条高速公路行驶至距A 地400千米的B 地，21l l 、分别表示甲、乙两车行驶路程y （千米）与时间x （时）之间的关系（如图所示）．根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）求2l 的函数表达式（不要求写出x 的取值范围）（2）甲、乙两车哪一辆先到达B 地？该车比另一辆车早多长时间到达B 地？析解：（1）设2l 的函数表达式是b x k y +=2，由图像知2l 经过两点（43，0）、（434，400），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b k b k 22419400430解之得75,1002-==b k ．∴2l 的函数表达式是75100-=x y ；（2）乙车先到达B 地；∵75100300-=x ，∴415=x ．设1l 的函数表达式是x k y 1=，∵图像过点（415，300），∴801=k ，即x y 80=．当400=y 时，x 80400=，∴5=x ．∴414195=-（小时）∴乙车比甲车早41小时到达B ． 二、转化思想利用直角坐标系，可以把数量问题转化为图形问题解决；或把求点的坐标转化为求线段的长；求两个函数图象的交点转化为解方程组等问题．例2（2006年•邵阳市）百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，邵阳市在资江河隆重举行了“海洋明珠杯”龙舟赛．如图是甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程s （米）与时间t （分钟）之间的函数关系图象，请你根据图象回答下列问题：（1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先地位；（2）在这次龙舟比赛中，哪支龙舟队先到达终点；（3）比赛开始多少时间后，先到达终点的龙舟队就开始领先．析解：（1）1.8分钟时，甲龙舟队处于领先地位．（2）乙龙舟队先到达终点． （3）设甲龙舟队的解析式为y ＝kx ，则141000k =，2501=k ．∴甲龙舟队的解析式为y ＝250x ．设乙龙舟队 2.2分钟后的解析式b x k y +=2，则⎩⎨⎧+=+=b k b k 228.310002.2400，解得3752=k ，425-=b ， ∴乙龙舟队 2.2分钟后的解析式425375-=x y ．依题意有⎩⎨⎧-==425375250x y x y ，∴⎩⎨⎧==8504.3y x ．∴比赛开始3.4分钟后，乙龙舟队开始领先． 评注：数学中的符号语言、图形语言之间能互相转化．此题体现了从形到数，考查了识图、读图能力，从图象得到更多的与实际相联系的信息内容．三、分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，不重复、不遗漏是分类的基本原则．例3（2006年•绍兴市）某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图． 请结合图象，回答下列问题：(1)根据图中信息，请你写出一个结论；(2)问前15位同学接水结束共需要几分钟(3)小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗?请说明理由．析解：（1）具有开放性，答案不唯一．锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟后，锅炉内的余水量为72升，2分钟前水流量为每分钟8升等．（2）当0≤x ≤2时，设函数解析式为y=k 1x+b 1, 把x=0,y=96和x=2,y=80代入得，⎩⎨⎧=+=.802,96111b k b 解得⎩⎨⎧=-=.96,811b k ∴y=-8x+96(0≤x ≤2)； 当x>2时，设函数解析式为y=k 2x+b 2, 把x=2,y=80和x=4,y=72代入得，⎩⎨⎧=+=+.724,8022222b k b k 解得⎩⎨⎧=-=.88,422b k ∴y=-4x+88(x>2)． 因为前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），所以66=-4x+88, 解得x=5.5． 答：前15位同学接完水需要5.5分钟.(3)①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷2=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符．②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t 分钟开始接水． 当0<t ≤2时，则8（2-t ）+4[3-(2-t)]=8×2, 16-8t+4+4t=16, ∴t=1(分) ∴（2-t ）+[3-(2-t)]=3(分),符合．当t>2时，则8×2÷4=4(分)，即8位同学接完水，需4分钟，与与接水时间恰好3分钟不符．所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟．。
浅谈数形结合思想在一次函数教学中的应用
浅谈数形结合思想在一次函数教学中的应用恒丰学校陈小玲从小学到初中的数学学习过程中，我们老师在教学时就对我们学生灌输了形在数学学习方面的知识，只不过没有进行系统，综合的整理，所以也就没有引起同学们的重视，认为能用代数的知识进行求解，没必要另辟蹊径。
在这里，我根据自己的实际教学所接触的问题，浅谈一下数形结合思想在一次函数中的优势。
大家知道，数，指的是运用代数的知识解决问题，形，指的是利用图形来研究性质。
那么它们之间究竟具有怎样的联系呢？我们先来了解一下一次函数这方面的知识。
在学习一次函数的性质时，我们知道根据图像观察可得到，当一次函数y=kx+b(k,b为常数，k 0）的k>0时，函数y的值随着自变量x的值增大而增大，当k<0时，函数y的值随着自变量x的值增大而减少，可见，这比我们利用代数的知识来比较两个数的大小就更容易理解，更形象化。
并且，当k>0,b>0时，函数的图像经过一，二，三象限；k>0,b<0时，函数的图像经过一，三，四象限；k<0,b>0时，函数的图像经过一，二，四象限；k<0,b<0时，函数的图像经过二，三，四象限。
上述这些结论我们从代数的角度来理解的话就会感到很费劲，而从形的方面来看的话，通俗易懂，形象具体，可见，形在有些方面比数就有恨大的优越性。
另外，在学习一次函数与一元一次方程时，大家对于系数是已知的常数时，用代数的方法求解起来感到非常的容易，但是对于系数如果是用未知的字母来代替时，就会觉得很麻烦，这时，我们回忆一元一次方程与一次函数之间的联系，想到方程的解就是它所对应的一次函数的值为零时所对应的自变量的值（或者是函数的图像与x轴的交点的横坐标的值），这样理解起来就很容易了。
如：一次函数y=kx+b与x轴的交点为（2,0），求方程kx+b=0的解。
如果用代数的方法，一个方程，两个未知数，我们很难求出系数k,b的。
但联系一次函数与一元一次方程之间的关系就很快得出方程的解了，x=2.还有，在学习一次函数与不等式的知识时，我们知道一次不等式大于零或小于零）的解集就是它所对应的一次函数的值大于零（或小于零）时所对应的自变量的取值范围（或者是函数的图像在x轴上方（下方）说对应的自变量的取值范围），这样，不管系数是已知的常数还是未知的字母，我们采用他们之间的内在联系性就会很容易求解了。
一次函数的解题技巧
一次函数的解题技巧
1、待定系数法：用于确定一次函数的解析式，是方程思想的具体应用；
2、由函数解析式画其图像的一般步骤：列表、描点、连线；
3、一次函数解题常用公式：
求函数图像的k值：（y1-y2）/（x1-x2）
求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2等等。
扩展资料
求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
求任意线段的长：√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2
一次函数的解题方法
在解决一次函数相关问题过程中，会运用到许多重要的数学思想方法：
1、数形结合思想：根据数和形之间的对应关系，将数字和图形结合起来以解决数学问题，兼备了直观性和严密性的特征。
2、方程思想：方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据已知条件或所给数量关系列出方程或方程组，通过解方程或对方程进行研究，从而解决问题。
3、转化和化归的.思想：转化和化归的核心是把没做过的题转化为经典的题型，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，从而使问题顺利得解。
4、分类讨论思想：当面临的数学问题不能统一地进行解决时，可分情况来讨论，最后再组合到一起。
一次函数知识总结归纳
一次函数知识总结归纳一次函数知识总结归纳思想方法小结（1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识点1一次函数和正比例函数的概念若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=11x等都是一次函数，y=x，y=-x22都是正比例函数.【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b可为任意常数.（3）当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.知识点2函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-b，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比k例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.知识点4一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②kO时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图11－18（2）所示，当k＞0，bO时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图11－18（3）所示，当kO，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图11－18（4）所示，当kO，bO时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．知识点5正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小．知识点6点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．知识点7确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．知识点8待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．知识点8用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，得到函数表达式．知识点9x=a和y=b的图象x=a的图象是经过点（a，0）且垂直于x轴的一条直线；y=b的图象是经过点（0，b）且垂直于y轴的一条直线。
一次函数应用题中的“数形结合”
一次函数应用题中的“数形结合”数形结合思想在一次函数中的应用是中考命题的一个热点，解一次函数应用问题时，如果把数与形结合起来考虑，即把问题的数量关系转化为图象的性质或者把图象的性质转化为数量关系，就可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．本文选取几例，说明数形结合思想在一次函数实际问题中的应用，供复习时参考一、从“数”到“形”的思想应用例1 一辆速度为90千米/小时汽车由赣州匀速驶往南昌，下列图像中能大致反映汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是( )分析：根据题意得，汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系式是s=60t,所以行驶路程s和行驶时间t成正比例函数关系，因为路程与时间都不能为负数，所以行驶路程s和行驶时间t之间的函数图象应该是在第一象限的一条射线，故应选D．评注：解从“数”到“形”的问题时，应先找出两个已知变量之间的函数关系，然后根据函数关系式作出函数的大致图象，从而归纳出函数的图象特征．二、从“形”到“数”的思想应用例2为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式；（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？分析：（1）根据函数图象的信息可知，小强每月的基本生活费为150元，父母的奖励方法是：如果小强每月做家务的时间不超过20小时，每小时获奖励 2.5元；如果小强每月做家务的时间超过20小时，那么20小时每小时按 2.5元奖励,超过部分按每小时奖励4元奖励；（2）根据函数图象知，当0≤x≤20时，它是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，150），（20，200）在函数y=kx+b上,所以函数关系式为y=2.5x+150；（3）根据函数图象知，当x>20时，它也是一个一次函数图象，即设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b1.因为点(20,200),(30,240)在函数y=k1x+b1上,所以函数关系式为y=4x+120,当y=250时, 4x+120=250,解得x=32.5．评注：解从“数”到“形”的问题时，应注意观察函数图象的形状特征，充分挖掘图象中的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的图象性质来解．三、“数形结合”思想的综合运用例3 某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图．请结合图象，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗？请说明理由．分析：（1）根据函数的图象信息可知，锅炉内原有水96升；接水2分钟以后锅炉内的余水量为80升；接水4分钟以后锅炉内的余水量为72升等等．（2）根据函数图象知，当0≤x≤2时，它是一个一次函数图象，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，96），（2，80）在函数y=kx+b 上,所以函数关系式为y=-8x+96；当x>2时，它也是一个一次函数图象，设y 与x 之间的函数关系式为y=k 1x+b 1. 因为点(2,80),(4,72)在函数y=k 1x+b 1上, 所以函数关系式为y=-4x+88, 前15位同学接水后的余水量为96-15×2=66，当y=66时，代入y=-4x+88中，解得x=5.5．（3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分钟），8位同学接完水只要2分钟，与接完水时间恰好用了3分钟不相符；②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设这8为同学从t 分钟开始接水，当0<t ≤2时,则8(2-t)+4)2(3t =8×2,解得t=1, 所以(2-t)+ )2(3t =3(分钟).符合;当t>2时,则8×2÷4=4(分钟),与接水时间3分钟不符,所以小敏的说法是有可能的.即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了8分钟．评注：解“数形”结合的问题时，应注意运用“由数想形，以形助数”的解题策略，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题．。
专题01数形结合之一次函数图像与性质(原卷版)-2021-2022学年八年级数学下册专题训练
编者小k 君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做58题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题01 数形结合之一次函数图像与性质（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．若关于x 的不等式组20210x x a ->⎧⎨-+<⎩有解，则一次函数()32y a x =-+的图象一定不经过的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．在平面直角坐标系中，将直线1:32=--l y x 沿坐标轴方向平移后，得到直线2l 与1l 关于坐标原点中心对称，则下列平移作法正确的是（ ）A ．将1l 向右平移4个单位长度B ．将1l 向左平移6个单位长度C ．将1l 向上平移6个单位长度D ．将1l 向上平移4个单位长度3．已知点()12,y -，()20,y ，()34,y 是直线5y x b =-+上的三个点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）． A ．123y y y >> B ．123y y y << C ．132y y y >> D ．132y y y <<4．已知一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）若||||k b <，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线y=2x+2和直线y=2x+4分别交x 轴于点A 和点B ，则下列直线中，与x 轴的交点在线段AB 上的是（ ）A ．y=x+2B ．2y =+C ．y=4x12D ．3y =-6．（2021·上海普陀·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 均在y 轴上，点C 在x 轴上，将△ABC 绕着顶点B 旋转后，点C 的对应点C ′落在y 轴上，点A 的对应点A ′落在反比例函数y ＝6x在第一象限的图象上．如果点B 、C 的坐标分别是（0，﹣4）、（﹣2，0），那么点A ′的坐标是（ ）A ．（3，2）B ．（32，4）C ．（2，3）D ．（4，32） 7．（2021·上海青浦·八年级期末）如果一次函数y kx b =+的图像经过第一、三、四象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ）A ．0k >，且0b >；B ．0k >，且0b <；C ．0k <，且0b >；D ．0k <，且0b <．8．（2021·上海普陀·八年级期中）一次函数y ＝（k +3）x +1中，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞0 B ．k ＜0 C ．k ＜﹣3 D ．k ＞﹣39．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）已知反比例函数y ＝3x，下列结论正确的是（ ） A ．y 随x 的增大而减小B ．图像的两支分别在第二、四象限C ．图像与y ＝3x 的图像有两个交点D ．A （﹣1，3）在函数的图像上10．如图，点A 的坐标为（0，1），点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰Rt△ABC ，使△BAC=90°，设点B 的横坐标为x ，设点C 的纵坐标为y ，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．（2021·上海·八年级期中）如图，直角三角形的斜边AB 在y 轴的正半轴上，点A 与原点重合，点B 的坐标是()0,4，且30BAC ∠=︒，若将ABC 绕着点O 旋转后30°，点B 和C 点分别落在点E 和点F 处，那么直线EF 的解析式是__________．12．一次函数y kx b =+的图像与y 轴交点的纵坐标为－3，且当1x =时，y =－1，则该一次函数的解析式是__________．13．如果一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，那么常数m 的取值范围为____． 14．（2021·上海浦东新·七年级期末）正比例函数的图象和反比例函数的图象相交于A ，B 两点，点A 在第二象限，点A 的横坐标为﹣1，作AD△x 轴，垂足为D ，O 为坐标原点，S △AOD =1．若x 轴上有点C ，且S △ABC =4，则C 点坐标为_____．15．（2021·上海闵行·八年级期末）如图，点M 的坐标为(3,2)，点P 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上移动，同时过点P 的直线关于直线l 也随之上下平移，且直线l 与直线y x =-平行，如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P 的移动时间为t 秒，那么t 的值为_____．16．（2021·上海市民办华育中学八年级期中）一次函数334y x =-+的图像分别于x 轴，y 轴交于A 、B ，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90度得到线段AC ，则B 、C 两点的直线解析式为__________17．（2021·上海闵行·八年级期中）一次函数()0y kx b b =+≠图象与坐标轴围成的三角形称为该一次函数的坐标三角形．已知一次函数y x m =+的坐标三角形的面积为3，则该一次函数的解析式为___________． 18．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）如图，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝m x的图象交于A 、C 两点，AB △x 轴于点B ，CD △x 轴于点D ，若S 四边形ABCD ＝6，则m 的值是 ___．19．（2021·上海杨浦·八年级期中）在平面直角坐标系中，点A （﹣4，1）为直线y ＝kx （k ≠0）和双曲线y ＝m x（m ≠0）的一个交点，点B （﹣5，0），如果在直线y ＝kx 上有一点P ，使得S △ABP ＝2S △ABO ，那么点P 的坐标是 ___．20．将正比例函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图象，沿着y 轴的一个方向平移|k |个单位后与x 轴、y 轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y ＝kx 的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是__．三、解答题21．（2021·上海长宁·二模）某商店销售一种商品．经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110元之间较为合理，每月销售量y （万件）与销售单价x （元/件）存在如图所示的一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求这种商品的每月销售量y （万件）关于销售单价x （元/件）（50≤x ≤110）的函数解析式；（2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的增长率是相同的，求这个增长率．22．（2021·上海静安·八年级期末）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图像上．（1）求直线AB的表达式；（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．23．（2021·上海黄浦·八年级期末）已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD，且//,AD BC AB CD=，点A在y轴正半轴上，点B C、在x轴上（点B在点C的左侧)，点D在第一象限，3,11AD BC==，梯形的高为2．双曲线myx=经过点D，直线y kx b=+经过A B、两点．（1）求双曲线myx=和直线y kx b=+的解析式；（2）点M在双曲线上，点N在y轴上，如果四边形A B M N、、、是平行四边形，请直接写出点N的坐标．24．（2021·上海市第四中学八年级月考）如图，已知一次函数=y x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C、D分别在线段OA、AB上，CD CA=．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）如果CDO 面积是ABO 面积的14，求点C 的坐标． 25．（2021·上海松江·八年级期中）已知正比例函数2y x =的图像上有一点()22,4B m m +-，且点B 在第一象限．（1）求点B 的坐标；（2）过点B 作BC x ⊥轴，点P 为此函数图像上异于点B 的点，若12BPC OBC S S =，求此时点P 的坐标． 26．（2021·上海市金山初级中学八年级期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A （3，7）在正比例函数图像上．（1）求正比例函数的解析式．（2）点B （1，0）和点C 都在x 轴上，当△ABC 的面积是17.5时，求点C 的坐标．（3）在（2）的条件下，将点A 左右平移m 个单位，得到点D ，使得△AOC 的面积是△ACD 的面积的两倍，写出点D 的坐标．（直接写出答案，不用解题过程）27．（2017·上海·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线+4y x 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，以线段AB 为边作菱形ABCD （点C 、D 在第一象限），且点D 的纵坐标为9．（1）求点A 、点B 的坐标；（2）求直线DC 的解析式；（3）除点C 外，在平面直角坐标系xOy 中是否还存在点P ，使点A 、B 、D 、P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．（2018·上海普陀·八年级期中）如图，已知一次函数24y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且BC△AO ，梯形AOBC 的面积为10．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）求直线AC 的表达式．29．（2018·上海崇明·八年级期中）已知：如图，在直角坐标平面中，点A 在x 轴的负半轴上，直线y kx =经过点A ，与y 轴相交于点M ，点B 是点A 关于原点的对称点，过点B 的直线BC x ⊥轴，交直线y kx =于点C ，如果60MAO ∠=︒．（1）求直线AC 的表达式；（2）如果点D 在直线AC 上，且ABD ∆是等腰三角形，请求出点D 的坐标．30．（2021·上海徐汇·八年级期末）已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数24y x =--与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，将△ABC 绕着顶点B 旋转后，点C 的对应点C ’落在y轴上，点A 的对应点A ’恰好落在反比例函数(0)k y k x=≠ 的图像上． （1）求BOC ∆的面积；（2）如果k 的值为6 (即反比例函数为6y x=)，求点'A 的坐标； （3）如果四边形ACBA '是梯形，求k 的值．。
例析数形结合思想在一次函数中的应用
例析数形结合思想在一次函数中的应用例析数形结合思想在一次函数中的应用宁波市曙光中学陈怡颖数与形,是两个最古老,最基本的研究对象,数是形的抽象概括,形是数的直观表现。
在数学中我们把数与形结合起来研究数学问题的方法叫做数形结合。
数形结合,就是把问题的数量关系转化为图形的性质,把图形性质转化为数量关系,从而使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化。
它主要有两个方面:以“数”解“形”,以“形”助“数”。
一次函数是初中数学的一个重点,数形结合思想在一次函数中的应用也是中考命题的一个热点。
本文结合教学实践,谈谈数形结合思想在一次函数解题中的几个应用。
以“数”解“形”??把复杂的过程简单化函数图象形象地展示了函数的性质,为我们研究数量关系提供了“形”的基础,因此在这类一次函数的问题中,我们应抓住特殊的点,及其所表示的实际意义,从而把复杂的过程简单化,把几何的问题代数化。
例1,如图所示,在x轴上有五个点,它们的横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线yax,y(a+1)x,y(a+2)x相交,其中a>0.则图中阴影部分的面积是()A.12.5B.25C.12.5aD.25a分析:此题初看比较复杂,从几何的角度解题,首先想到的是平移,但图中阴影部分的梯形和空白部分的梯形是不全等的,无法通过平移转移到同一个三角形中;如果把图中8条直线15个交点坐标都求出来,计算量太大,不可行。
但仔细分析可以发现,这些梯形的顶点都在一次函数图象上,因此它们满足函数解析式,而这三个一次函数解析式又是有联系的,以最右边的阴影部分梯形为例,虽然它与下面的空白部分梯形并不全等,但它们的上底都是4,下底都是5,可由当自变量分别为4和5所对应的函数值确定,梯形的高为1,因此它们的面积是相等的。
其余阴影部分的面积亦同理可得。
因此这里阴影部分的面积就是,直线yax,y(a+1)x,x5所围成的三角形面积。
,故选A。
解此题的关键在于,把不规则的图形转化为规则的图形,光从“形”的角度无法从平移实现,那么就要借助“数”,通过一次函数图象上的点满足解析式,以及点的横纵坐标所表示的实际意义解出梯形的底和高。
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第十三讲：一次函数之数形结合
一、 知识提要
1. 行程问题：用一次函数解决图表类问题，抓住两个关键点：
① 特殊点（两直线交点，与x ，y 轴的交点）的坐标所代表的含义； ② 一次函数的表达式.
2. 动点问题：通过在坐标系里找图形的几何特征，利用几何特征解决问题.
二、专项训练
1. （2011南京）小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的
缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180 m/min ．设小亮出发x min 后行走的路程为y m ．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y 与x 的函数关系．
（1） 小亮行走的总路程是____________m ，他途中休息了________min ． （2） ①当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；
②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少
>
2. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶
的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．
根据图象进行以下探究： )
（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； （3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少
小时
30 50 1950
3600 80 x /min
y /m
O
A B
C D O
> 900 12 x/h
4
B
C
70 A -
t x （时）
y （千米）
2 3. -
4.
一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶设行驶的时间为x （时），两车之间的距离为．．．．．．．．y （千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系
（1）根据图中信息，求线段AB 所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t 时，求t 的值；
（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y 关于x 的函数的大致图象。
.
5. 如图，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点
A B ，，直线1l ，2l 交于点C ．
（1）求点D 的坐标及直线2l 的解析表达式；
（2）求ADC △的面积；
（3）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请直接写出点P 的坐标．（4）试证明：在直线CD 上有一点Q 1（，）,能够使Q 1A=DA.在直线CD 上还有其它点Q ，能够使△QDA 是等腰三角形，请直接写出所有点Q 的坐标。
-
l 1 l 2
x
y 》
D
O
3
B C
A 32
- （4，0）
6. 如图所示，某地区对某种药品的需求量y 1（万件），供应量y 2（万件）与价格x
（元/件）分别近似满足下列函数关系式：y 1=－x + 70，y 2=2x －38，需求量为0时，即停止供应.当y 1=y 2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量. （1）求该药品的稳定价格与稳定需求量. 】
（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量
（3）由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以利提高供应量.根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量.
7. （2010桂林）如图，过A （8，0）、B （0，83）两点的直线与直线x y 3
交于点
C ．平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，
到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）． （1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围；
（2）求S 与t 的函数关系式；
}
（3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、O 、F 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
O
x (元/件) y(万件)
y 1=－x +70
y 2=2x －38
y
x O B D C
A P E F l 83y =3x 8。