高等代数第三版王萼芳石生明著课后答案高等教育出版社.pdf
高等代数教程上王萼芳著课后习题部份解答2012
第一章 行列式1. 习题1.4（2）第2题 计算行列式。
14916491625916253616253649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 习题1.5第4（2）题 计算行列式中所有元素的代素余子式之和。
12100...00...............0...000n n a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0,1,2, (i)i n a≠=解：3. 习题1.6第1（3）题 计算行列式：1101231211232102321⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第6题 计算2n 阶行列式aba b b a b a 0000000解:得列列加到第第，列，列加到第列，第列加到第将第,121212n n n n +-D ＝aba ab a a b a b b a b b a b b a 00000000000000000000000++++++ 行）行减第，第行行减第行，第行减第（第n n n n 121212+-b a b a b a b ba bb a b b a ---+++00000000000000000000000＝n n n b a b a b a )()()(22-=-+4. 复习题 1第4题 计算行列式nn 222221222223222222222221-----------解: 原式244400014400006400000500222222222221)2()()2()4()2()3(++------------n n n=24444014440074400064000052221++⋅-n n=)2()1(7656+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯n n =)!2(41+n第 6 题 计算行列式12121231212321----n n n n n n解：12121231212321----n n n n n n行）行减第第，行，行减第行，第行减第（第n n 13221- ＝122111111111111111111111--n n n －－－－－－－－－－ （第n 列分别加到第1列，第2列，至第1-n 列）＝131110000120001220012220 -+n nn （对第1列展开）＝阶)1(1100012000122001222012222)1()1(-++-n n n ＝212)1(1-++n n n ）（－第 7 题 计算行列式01211...110...01...0......... (10)n a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1...0na a≠)第二章 线性方程组1. 习题2.1 第 1 （4） 题1212323434545561562(4)56256254x x x x x x x x x x x x x ì+=ïïïï++=-ïïï++=íïïï++=-ïïï+=-ïî56561615615656115656156156156151515561656565655156656615619156301515151515561656561619563065114150515150565191145665D 解：方程组的系数行列式对第行展开=-骣÷ç÷ç÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷桫骣÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç桫=?? Cramer D 0, ¹根据法则，方程组有唯一解。
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矩阵的若尔当标准型及简单应用
矩阵的若尔当标准型及简单应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。
矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。
每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。
对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。
本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。
关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1：设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ1000..................00 (1000)...0100 (00)，其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的λ一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同特征值，那么存在V 的一个基，σ关于这个基的矩阵有形式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k B B B 0021这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i =证： 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的特征值，kr r r ,...,,21是正整数。
又iV =kerVi r i ∈=-ξλσ{)(｜)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：iis i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块。
高等代数北大版(第三版)答案
令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3
柯西不等式在初等数学中的基本应用
柯西不等式在初等数学中的基本应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。
本文对柯西不等式的证明方法及其在初等数学中的基本应用作简单的阐述。
关键词：柯西不等式初等数学不等式基本应用正文：柯西不等式在数学的各个领域多有涉及，而在初等数学中，柯西不等式更占据了重要的位置。
我们先对柯西不等式的证明方法进行探讨，其次，通过对柯西不等式的领悟，应用它解决初等数学中遇到的一些问题。
一、柯西不等式的一般证法：柯西不等式（Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.在证明n维的柯西不等式之前，我们先对二维形式以及三角形式的柯西不等式进行证明。
然后，由简单到复杂，循序渐进，探讨一般形式的柯西不等式的证明方法。
（1）二维形式的证明：(a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥(ac+bd)^2证明：(a^2+b^2)(c^2+d^2) （a,b,c,d∈R)=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
（2）三角形式的证明：√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2) ≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注： | |表示绝对值。
2017年江苏大学硕士研究生入学考试复试科目主要参考书
901
机械制造技术基 础
年；或《机械制造技术基础》（第二版），卢秉恒、赵 万华、洪军．高等教育出版社，2005 年；或《机械制造 技术基础》（第二版），张世昌、李旦、高航．高等教
育出版社
903 光学
《光学教程》（第四版），姚启钧编．高等教育出版社， 2008 年
904 机械原理
《机械原理》，华大年或黄锡恺编．高等教育出版社； 或《机械原理》，申永胜编．清华大学出版社
布丁考研网，在读学长提供高参考价值的复习资料
2004 年
951
信号与线性系统
《信号与线性系统》（第四版），管致中等．高等教育 出版社，2004 年
952 数字信号处理
《数字信号处理》，吴镇扬．高等教育出版社，2004 年 9
953 电磁场理论
《电磁场与电磁波》（第二版），陈邦媛．科学出版社， 2006 年
《新编简明英语语言学教程》（第二版），主编戴炜栋、
917
英语语言文学基 础与汉语写作
何兆熊．上海外语教育出版社，2010 年；《英美文学选 读》（增订版），吴翔林编著．中国对外翻译出版公司，
2005 年 1 月
918 教育技术综合
《计算机应用基础》，全国高等网络教育考试委员会办 公室．清华大学出版社，2013 年。《教学设计》，皮连 生．高等教育出版社，2009 年
954
射频与微波电路
《射频通信电路》（第二版），陈邦媛．科学出版社， 2006 年
955 数据结构
《数据结构》（C 语言版）（第一版），严蔚敏、吴伟 明．清华大学出版社，1997 年；与《数据结构：C++实 现》，缪淮扣．科学出版社，2004 年
《常微分方程》（第二版），王高雄、周之铭等编．高
矩阵对角化的高等几何解释
矩阵对角化的高等几何解释周明旺【摘要】借助高等几何的坐标变换知识,对高等代数中的矩阵对角化,尤其是三元二次型化为标准形中的非退化的线性变换与高等几何中坐标变换的关系,给出其几何解释.【期刊名称】《宜春学院学报》【年(卷),期】2013(035)009【总页数】3页(P18-19,23)【关键词】矩阵;对角化;线性变换;射影坐标变换【作者】周明旺【作者单位】连云港师范高等专科学校数学与信息工程学院,江苏连云港222006【正文语种】中文【中图分类】O185.1高等代数中的二次型化为标准形其实质是矩阵理论中的矩阵对角化的问题。
将二次型f(x1，x2，通过非退化的线性变换T:X=化为标准形若从矩阵角度看，就是任一对称矩阵A=(aij)nn都可以找到一个可逆矩阵C=(cij)nn使C/AC成对角矩阵。
对于三元二次型化为标准形中的非退化的线性变换其实就是高等几何中的射影坐标变换［2］。
重要的是挖掘它们之间的联系，对于理论体系的完善、思想观念的更新、思维方法的训练、探究能力的培养等方面起着重要作用［3］。
下面就n=3的情形给出矩阵对角化的高等几何解释。
1 预备知识定义1 在射影平面上，给定二阶曲线S≡，则射影坐标满足齐次线性方程组)的点P(p1，p2，p3)叫做二阶曲线的奇异点。
定义2 给定二阶曲线，若点P(p1，p2，p3)与 Q(q1，q2，q3)满足则称点P与Q 关于二阶曲线互为共轭点。
定义3 若一个三点形的顶点关于二阶曲线Γ两两共轭，则称这个三点形为关于Γ的一个自极三点形。
2 主要结果引理1 二阶曲线的奇异点均为自共轭点。
证明:由定义2易知。
引理2 坐标三点形A1A2A3关于二次曲线b1不全为0)是自极三点形。
证明:欲证A1A2A3是自极三点形，只须证明Ai，Aj(i≠ j)共轭。
事实上有即 A1，A2共轭。
同理可证 A1，A3共轭，A2，A3共轭。
因此A1A2A3关于二次曲线0，(b1，b2，b3不全为 0)是自极三点形。
高等代数答案(王萼芳,石生明)
y 3 + (a 3 + 3ab − 3c) y 2 + (b3 − 3abc + 3c 2 ) y + c3 = 0
二 、 习题精解
1． 用 g(x) 除 f (x) ，求商 q(x) 与余式 r(x) ： 1） f (x) = x3 − 3x 2 − x −1, g (x) = 3x 2 − 2x + 1 2） f (x) = x 4 − 2x + 5, g (x) = x 2 − x + 2
解
1）由带余除法，可得 q(x)
=
1x−
7 , r(x)
=
26 −
x−
2
39
99
2）同理可得 q(x) = x 2 + x −1, r(x) = −5x + 7
2． m, p, q 适合什么条件时，有 1） x 2 + mx −1 | x3 + px + q
2） x 2 + mx +1 | x 4 + px 2 + q
综上所诉，当
⎧ m=0
⎨ ⎩
p
=
q
+
1
时，皆有
⎧ q =1
或
⎨ ⎩
p
+
m
2
=
高等代数第三章答案
第三章 线性方程组习题解答1.用消元法解下列方程组：⑴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++-=--+--=+-++=-++12343212231453543215432154321543214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⑵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+--=+-+2521669972543223312325432154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x⑶⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-33713344324324214324321x x x x x x x x x x x x x ⑷⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⑸⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-+=-+-=+++43212523223124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⑹⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-++=+++=-++=-++225512221321231323214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解：⑴对它的增广矩阵作初等行变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------00101000000000020*********1001001110000000000200212300101201001110007770005750212300104531213410215470213450212300104531111121311141311121112231104531即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=+=-0022214235441x x x x x x x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--====+=k x x k x x k x 220153421 k 为任意常数 ⑵无解⑶0,6,3,84321===-=x x x x⑷任意43432431,,17201719,1713173x x x x x x x x -=-=⑸无解 ⑹651,671,651434241x x x x x x +=-=+=2.把向量β表成4321αααα，，，的线性组合：⑴()()()()()1,1-1-11-1,1-11-1-,1,11,1,1,111,2,14321，，，，，，，，，，=====ααααβ ⑵()()()()()1-1-1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,11,0,0,04321，，，，，，=====ααααβ 解：⑴令44332211ααααβk k k k +++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++,1,1,2,14321432143214321k k k k k k k k k k k k k k k k 解得,41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααβ--+=⑵仿上，可得31-ααβ=3.证明：如果向量组r ααα，，， 21线性无关，而βααα,21r ，，， 线性相关，则向量β可由r ααα，，， 21线性表出。
(整理)范德蒙行列式及其应用
范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。
它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一． 范德蒙行列式定义及性质 1.范德蒙行列式的定义 定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---= (1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在级行列式中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积 ，在=中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得=根据上述定理=提出每一列的公因子后得=最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有=同样可得=（）()()此处是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得=（）()（）由以上的计算可以得出，定理1 n 阶范德蒙行列式n V （1x ,2x ,…n x ）=12222121111211...1nn n n n nx x x x x x x x x ---=∏(i j x x -).有这个结果立即得出定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.二． 范德蒙行列式的应用范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.1. 范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助. 例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证 不妨设n>0,如果 f(x)=2012n n a a x a x a x ++++有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有 ()i f x =22012=0i n+i i n i a a x a x a x ++++≤≤，11即 201121120222222012110,0,.......................0.n n nn n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式211122222111111nn n n n n x x x x x x x x x +++=∏(i j x x -)≠0.因此010n a a a ====，这个矛盾表明 ，f （x ）至多有n 个互异根. 例2 设12,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n ==.证明 ：设()1011n n f x c c x c x --=+++，有条件得，(),1,2,i i f a b i n ==.知101111110121221011,,.n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c ac a b ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式()21111212221211101n n ji i j nn nnna a a a a a D aa a a a --≤<≤-==-≠∏.则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1011n n f x c c x c x --=+++，使得(),1,2,i i f a b i n ==.例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即()i i f a b =()1i n ≤≤.证明： 设()12121n n n n f x c xc x c x c ---=++++，要使()i i f a b =()1i n ≤≤，即满足关于12,,,n c c c 的线性方程组：12111211112212221212121,,.n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩，而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：121111222212111121111n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a D a a a a a a -----------=.当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点.2. 范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用例 4 A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值123,,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令123b a a a =++.证明：2,,b Ab A b 线性无关.证 21231123()k b k Ab k A b k a a a ++=++22221122333112233()()k l a l a l a k l a l a l a ++++++=222121311222322333333()()()k k l k l a k k l k l a k k l k l a ++++++++=0.123,,a a a 线性无关，故有2111222223331101l l k l l k l l k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于i j l l ≠，则0A ≠，所以方程组只有零解， 即2,,b Ab A b 线性无关.例 5 设A 是n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. 证明：设12,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,r ααα是其相应的特征向量，即r i r A αλα=，1i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=那么，()11220,11jr r Ax x x j r ααα+++=≤≤-，即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑.由于其系数行列式()12,,0r V λλλ≠，故11220r r x x x ααα====，又0i α≠于是，0i x =，这证明了12,,r ααα线性无关.3. 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论. 例。
有限维线性空间的基
必i存i在1 中V 中任一何个n个无向穷量的都向是量V序的列一组i基i.1使得
证明：采用构造法. 取n维线性空间的一组基
1 1,0,,0,2 0,1,0,,0,,n 0,,0,1
（2）Pmn A aij aij P,i 1,2,L ,m; j 1,2,L ,n
Eij ,i 1,2,L ,m; j 1,2,L ,n
（3） Pn (a1,a2,L ,an ) ai P
i (0,L ,0,1,0,L ,0), i 1,2,L , n
一、数域 P 上有限维线性空间Vn(P)的三要素： 1．基 2．维数 3．坐标
维数是 Vn(P)的唯一的本质特征，在同构意义下 Vn(P) 的研究可归结为 Pn 的讨论。
基一般是不唯一的，在线性运算下，对具体的 线性空间 Vn(P) 来说，可由一组基来把握。
正如[1，P171]所说：“给定有限维的向量空间， 要求其维数，首先要抓‘基’”。
（3） V (P)都可经 1,2,L ,n唯一地线性表示； （4）V (P) L1,2,L ,n ，且(V (P))
经1,2,L ,n线性表示的表法唯一； （5）dimV (P) n ，且1,2,L ,n 线性无关； （6）dimV (P) n 且V (P) L1,2,L ,n ;
取另一向量 n1 1 L n ,
则显然有从以上n+1向量中选出n个均可作为n维 线性空间的一组基.
同样，依次取向量 n2 , n3 , 使得
nm m1 m2 L nm
这样得到一个无穷的向量序列
i
i 1
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
行列式的计算方法
摘要：行列式的计算是线性代数的基础内容，而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，本文结合实例，归纳出了几种常用的求行列式的计算方法。
关键词：行列式计算方法规律性技巧性Abstract: Determinant calculation is the basis of the linear algebra content. The calculation of the determinant has certain regularity and technique. Combined with examples, this paper summarized several kinds of commonly used method for calculating the determinant.Key words: Determinant Calculation method Regularity Technical行列式的概念最初是伴随着线性方程组的求解而发展起来的。
随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。
它的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同，对于行列式，最重要的是我们要掌握它的计算方法，而行列式的计算方法很多，也很灵活，不同特点的行列式采用不同的处理力法会很大程度上减少计算量，所以掌握住行列式的常见的和主要的计算方法会使我们计算行列式时事半功倍。
1、定义法根据行列式定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于2n 个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2 阶或者3阶)。
如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解。
行列式的计算
1行列式的计算方法摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法． 2.定义法根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于n 2个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解．例1 计算行列式004003002001000这是一个四级行列式，在展开式中应该有24!4=项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的那些项；同理，只需考虑32=j ，23=j ，14=j 这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a 这一项，而6)4321(=τ，这一项前面的符号应该是正的． 所以原式=2443210004003002001000=⋅⋅⋅= 3.化为三角形计算法例2 计算行列式2 1078255133********-------解：1017008160017251307139124392602634260172513071391107825513315271391--=------=-------31224210017251307139110172100172513071391-=-----=----=这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用．3.1各行(或列)加减同一行(或列)的倍数适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形 例3 计算行列式nn n n n ny x y x y x y x y x y x y x y x y x d +++++++++=111111111212221212111解：当3≥n 时，各列减去第一列 得：0)()(1)()(1)()(1112112122121112111=--+--+--+=y y x y y x y x y y x y y x y x y y x y y x y x d n n n n n n之所以等于零，是因为有两列成比例． 另外，当2=n 时，))((1111121222122111y y x x y x y x y x y x --=++++这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明．3.2各行(或列)加到同一行(或列)上去 适用于各列(行)诸元素之和相等的情况.3例4 计算行列式ab b b b b a b bb b a=∆解：把所有各列都加到第一列上去， 得：1)]()1([0000001])1([111])1([)1()1()1(---+=---+=-+=-+-+-+=∆n b a b n a ba b a b b b b n a ab b b b a bb b b n a ab b b n a b b a b n a b b b b n a3.3 逐行(或列)相加减有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。
矩阵的迹及其应用
摘要矩阵的迹在高等代数的教学过程中只是提及概念，并未做深入的探讨。
然而，矩阵的迹是矩阵的一个重要的数量特征，在理论和实践中都有相关的应用。
本文先简单介绍矩阵的迹的基本性质；然后，分析反对称矩阵、正定矩阵等几类特殊矩阵的迹及其性质；最后，论述矩阵的迹在解有关特征值问题，证明有关否定命题和不等式中的应用。
关键词：矩阵的迹；反对称矩阵；正定矩阵；特征值；否定命题；不等式AbstractMatrix trace just mentioned in the process of higher algebra teaching concept, did not do in-depth discussion. Matrix trace, however, is an important characteristic of Matrix which has relevant application in theory and practice . This paper first simply sums up the basic matrix trace properties; Then, analyzes antisymmetric matrix, trace of positive definite matrix and several kind of special matrix and its properties; Finally, this paper discusses matrix trace in solving the eigenvalue problem, and proves that the application of negative proposition and inequality.Key words:matrix trace; antisymmetric matrix; positive definite matrix;characteristic value; negative proposition; inequality目录1 引言 (1)2 矩阵的迹及其性质 (1)3 特殊矩阵的迹的性质 (1)3.1 反对称矩阵迹的性质 (2)3.2 正定矩阵迹的性质 (2)3.3 其他特殊矩阵的迹及其性质 (4)4 矩阵的迹在解题中的应用 (6)4.1 在解有关特征值问题中的应用 (6)4.2 在证明有关否定命题中的运用 (7)4.3在证明有关不等式中的运用 (9)5 结论 (10)致谢.......................................... 错误!未定义书签。
高等代数(第三版)5-习题课
zr2
称之为实二次型 f ( X ) 的规范பைடு நூலகம்.
第五章 二次型习题课
注意 ①实二次型的规范形中平方项的系数只有1，－1， 0三种.
②实二次型的规范形中平方项的系数中1的个数与 －1的个数之和 = 秩 f = 秩(A)是唯一确定的. ③规范形是唯一的.
, xn ) 半负定；
实对称矩阵A半正定 －A半负定.
3）(定理8)设n元实二次型 f ( x1, x2 , , xn ) X AX ,
D C 2(C 1 AC 1)C 2 (C 1C 2) A(C 1C 2)
| C 1C 2 || C 1 || C 2 | 0, 即C1C2可逆.
第五章 二次型习题课
2）合同矩阵具有相同的秩. B C AC , C可逆 秩( B ) 秩( A)
3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵. A A, B C AC , C 可逆
第五章 二次型习题课
2. 合同变换法化二次型为标准形
基本原理：
设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵
C, 使Ｄ＝Ｃ´ＡＣ. 若 C Q1Q2
Qs , Q i 为初等阵，则
C AC Qs Q2Q1 AQ1Q2 Qs （Q （ Qs（ Q ）Q2 ） ）Qs 2 1 AQ1
(7) 实对称矩阵A (aij ) n 正定 det( A) | A | 0
第五章 二次型习题课
八、n元实二次型的分类
1．定义
设n元二次型 f ( x1 , x2 , ① f (c1 , c2 , ② f (c1 , c2 , ③ f (c1 , c2 ,
nn , xn ) X AX , A A R ,
化二次型为标准形的方法
化二次型为标准形的方法内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。
它以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。
二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。
而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。
二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。
下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法关键词：二次型线性替换矩阵标准形导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。
二次型是学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。
在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。
我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。
化二次型为标准形的方法一． 配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。
使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。
定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n n d x d x d x +++的形。
1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。
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第1页共26页1高等代数习题答案（一至四章）第一章多项式习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =−262()99r x =−−（2），2()1q x x x =+−()57r x x =−+2、（1），（2）由得或。
2100p m q m ⎧++=⎨−=⎩22(2)010m p m q p m ⎧−−=⎪⎨+−−=⎪⎩01m p q =⎧⎨=+⎩212q p m =⎧⎨+=⎩3、（1）432()261339109,q x x x x x =−+−+()327r x =−（2）q （x ）=，22(52)x ix i −−+()98r x i=−−4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+−+−+−+−+−（2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =−+++−+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+−++−−+−+++5、（1）x+1（2）1（3）21x −−6、（1）u （x ）=-x-1，v （x ）=x+2（2），11()33u x x =−+222()133v x x x =−−（3）u （x ）=-x-1,32()32v x x x x =+−−7、或02u t =⎧⎨=⎩23u t =−⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()x ϕ。
()()x d x ϕ由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而，，可得。
即证。
()()x f x ϕ()()x g x ϕ()()x d x ϕ9、证：因为存在多项式u （x ），v （x ）使（f （x ），g （x ））=u （x ）f （x ）+v （x ）g （x ），所以（f （x ），g （x ））h （x ）=u （x ）f （x ）h （x ）+v （x ）g （x ）h （x ），上式说明（f （x ），g （x ））h （x ）是f （x ）h （x ）与g （x ）h （x ）的一个组合。
另一方面，由知。
同理可得((),())()f x g x f x ((),())()()()f x g x h x f x h x 从而是与的一个最大公因式，又((),())()()()f x g x h x g x h x ((),())()f x g x h x ()()f x h x ()()g x h x第2页共26页2因为的首相系数为1，所以。
((),())()f x g x h x (()(),())()((),())()f x h x g x h x f x g x h x =10.证存在u （x ），v （x ）使有因为f （x ），g （x ）不全为0，所以，由消去律可得(()())0f x g x ≠所以。
11.由上题结论类似可得。
12.证由假设，存在使（1）（2），将（1）（2）两式相乘得所以((),())()1f xg xh x =13.证由于反复应用第12题结论，可得同理可证从而可得14.证有题设知，所以存在v （x ），v （x ）使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1从而(),()1f x g x =u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1即[u(x)-v(x)]f(x)+v(x)[f(x)+g(x)]=1所以同理再有12题结论，即证((),()())1f x f x g x +=((),()())1g x f x g x +=(()(),()())1f xg x f x g x +=15。
16、（1）由x-2得三重因式（2）无重因式。
第3页共26页317、当t=3时有三重根x=1,；当t=由二重根。
154−12x =18、324270p q +=19、a=1，b=-2。
20、证因为f（x ）的导函数所以于是从而f （x ）无重根。
21、证因为，，由于a 是的k 重根，故a是的k+1重根。
代入验算知a 是g （x ）的根。
所以s-2=k+1s=k+3，即证。
⇒22、证必要性：设是f （x ）的k 重根，从而是的k-1重根，是的k-2重根。
，是x 的一重根，并且不是的根。
于是，而0x 。
充分性由而，知是的一重根。
又由于，知0x 0x 是的二重根，以此类推，可知是f （x ）的k 重根。
0x 23、解：例如：设，那么以0为m 重根。
11()11m f xx m +=−+'()m f x x =24、证要证明，就是要证明f （1）=0（这是因为我们可以把看做为一个变量。
n x 有题设由，所以也就是f （1）=0，即证。
25、当n 为奇数时，11212222221(1)[()1][()1].....[()1]n n n n n x x x x x x x x εεεεεε−+−−−=−−++−−+−++当n 为偶数时27、（1）利用11212222221(1)(1)[()1][()1].....[()1]n n n n n x x x x x x x x x εεεεεε−+−−−=+−−++−−+−++剩余除法试根：有一有理根：2（2）有两个有理根：，12−12−（3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。
第4页共26页428、（1）因为1都不是它的根，所以在有理数域里不可约±21x +（2）利用爱森斯坦判别法，取p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。
（3）不可约（4）不可约（5）不可约第二章行列式习题解答1、均为偶排列2、（1）i=8，k=3（2）i=3k=63、4、当n=4k ，4k+1时为偶排列当n=4k+2,4k+3时为奇排列5、(1)2n n k −−6、正号7、，，11233244a a a a −12233441a a a a −14233142a a a a −8、（1）原式=，（2）（3）(1)2(1)!n n n −=−1(1)!n n −=−(1)(2)2(1)!n n n −−=−9、解：行列式展开得一般项可表示为，列标只可以在1,2,3,4,5中取不同值，故三1234512345j j j j j a a a a a 345j j j 个下标中至少有一个要取3,4,5列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式中每一项的乘积必为0，因此行列式只为零。
10、解：含有的展开项中只能是，所以的系数为2；同理，含有的张开项中只能是4x 11223344a a a a 4x 3x ，所以的系数为-1。
12213344a a a a 3x 11、证：有题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值为1。
而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项数相同。
根据行列式定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下表排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二下标所成排列为偶排列时，该项前面所带符号为正，否则为负号。
所以，由带正号的项与带符号的项数相等即说明奇偶排列各半。
12、解（1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x ，所以若该行列式的第一行展开时含有的对1n x−应项系数恰为乘一个范得蒙行列式于是，由为互不相同1(1)n −−2211122222221111....1..........................1....n n n n n n a a a a a a a a a −−−−−−1231,,....n a a a a −的数即知含有的对应项的系数不为零，因而p （x ）为一个n-1次的多项式。
1n x−第5页共26页513、（1）（2）（3）48（4）160（5）（6）0529410−×332()x y −+22x y 14、提示：将第二列，第三列的同时加到第一列。
15、（1）=-6，=0，=0，=0，=12，6，=0，=0，=15，=-6，11A 12A 13A 14A 21A 22A =23A 24A 31A 32A =-3，=0，=7，=0，=1，=-233A 34A 41A 42A 43A 44A （2）=7，=-12，=3，=6，4，=-1，=-5，=5，=5，=0。
11A 12A 13A 21A 22A =23A 31A 32A 33A 34A 16、（1）1（2）（3）-483（4）1312−3817、（1）按第一行展开，原式=。
1(1)nn n x y ++−（2）从第二列起个人列减去第一列：当n 3时，原式=0，当n=2时，原式=，当n=1时，原式=≥2121()()a a b b −−11a b −（3）11()()nn i i x m m −=−−∑（4）（-2）（n-2）！（5）各列加到第一列得：11(1)(1)(1)!2n n n −−+−18、提示：（1）分别将第i （i=2,3…..n+1）行乘以加到第一行11i a −−（2）从最后一行起，分别将每一行乘以x 后加到起前一行。
（3）导出递推关系式（4）同（3）（5）解：第6页共26页619、（1）=-70，=-70，=-70，=-70，=-70d 1d 2d 3d 4d =1=1=1=111d x d=22d x d=33d x d=44d x d=（2）=324，=324，=648，=-324，=-648d 1d 2d 3d 4d =1=2=1=-211d x d=22d x d=33d x d=44d x d=（3）=24，=96，=-336，=-96，=-168，=312d 1d 2d 3d 4d 5d =4=-14=-4=-7=1311d x d=22d x d=33d x d=44d x d=55d x d=（4）=665，=1507，=-1145，=703，=-395，=212d 1d 2d 3d 4d 5d ===-==11d x d=105766522d x d =229133−33d x d =373544d x d =79133−55d x d =21266520、证明：由得这是一个关于的线性方程组，且他的系数行列式为一个范得蒙行列式。
由已知该行列式不为零，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式时唯一的。
21、13.5613.48第三章线性方程组习题解答1、（1）无穷多解（2）无解（3）（-8,3,6,0）（4）无穷多解（5）无解（6）无穷多解2、（1）（2）123451114444βαααα=+−−13βαα=−。