连续时间系统的频域分析

三、练习
输入并运行例题程序，熟悉基本指令的使用。 1、已知一个脉冲信号，在窗口为100ms的范围内，脉
冲宽度与信号的周期之比为1/4，进行256点的采样，
显示原时域信号和0~20次谐波的频谱特性。
2、已知系统函数分别为
H1(s)

s
1 (
1)
H 2 (s)

(s
1 )2
求和问题转换为用x(t)行向量乘以列向量来实现：
X=x*exp(-j*t’*w)*dt
x=X*exp(j*w'*t)/pi*dw
周期信号频谱的MATLAB实现
处理方法与非周期信号类似，只是在频谱图上进行分 割时，需要按照谐波次数n来处理。
其变换公式：
X=x*exp(-j*t'*n*w1)*dt/T
0 (s )2 02
11
et cos0t
s (s )2 02
12
t sin 0t
2 0 s (s2 02 )2
13
t cos0t
s2 02 (s2 02 )2
拉普拉斯变换的性质
序号
名称
结论
1
线性性质 a1 f1 t a2 f2 t a1F1 s a2F2 s
0
序号
名称
结论
7 复频域微分 性质
8 复频域积分 性质
9 初值定理
10 终值定理
tf t dF s
ds
(t ) n
f
t

dnF s
dsn
f
twk.baidu.com
t



s
F

d
f
0

lim
t 0
f
t
lim sF s s
f lim f t lim sF s
L{et
sin(at)u(t)}

(s
a 1)2

a2
利用MATLAB实现部分分式展开
求F(s)的Laplace反变换
s2 F (s) s3 4s2 3s
MATLAB实现 num=[1,2]; den=[1,4,3,0]; [r,p]=residue(num,den); r=r' p=p'
关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有
琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳
Laplace正反变换函数 正变换：F=laplace(f) 反变换：f=ilaplace(F)
利用MATLAB实现Laplace正反变换 求f(t)=e-tsin(at)u(t)的Laplace变换。 MATLAB实现：
f=sym('exp(-t)*sin(a*t)'); F=laplace(f) 有：
x=X*exp(j*n'*w1*t)
拉普拉斯变换
在线性时不变系统分析和研究中，Laplace 变换是一 种很常用的变换域分析方法。它把时域中求解响应的问题 通过 Laplace 变换转换成复频域中的问题进行分析；在复 频域中求解后再通过 Laplace 逆变换还原为时间原函数。 它把时域中输入输出之间的卷积运算转化为变换域中的乘 法运算，使运算变得方便、快捷。
已知系统函数：
H (s)

s2
s 1 2s
2
求出该系统的零极点，并画出其零极点分布图。
MATLAB实现： b=[1,-1]; a=[1,2,2]; zs=roots(b); ps=roots(a); plot(real(zs),imag(zs),'o',real(ps),imag(ps),'kx','marker size',12) axis([-2,2,-2,2]); grid; legend('零点','极点');
r=-1/6 -1/2
2/3
p=-3
-1
0
F(s)的展开式：
F(s) 2 / 3 1/ 2 1/ 6 s s 1 s 3
由基本的Laplace变换对可得反变换为
f (t) 2 u(t) 1 etu(t) 1 e3tu(t)
3
2
6
系统函数的零、极点分布与系统的时 域和频域特性
一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧
阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。


2 (
1,


4)
求以上系统的零极点分布图以及系统的冲激响应，并
判断系统的稳定性。

3、已知系统函数为
H (s)
s2
1

2
(
4)
求以上系统的零极点分布图以及系统的冲激响应，并 判断系统的稳定性。
四、实验报告要求
简述实验目的、原理。 写出上机调试通过的实验任务的程序并描述其
常用拉氏变换表
序号 f(t) t>0 F(s)
1
t
1
2
t
s
3
t
1
s
4
e t
1
s
5
tn
n! s n 1
6
tet
1
s 2
7
t net
n!
s n1
8
sin 0t
0 s2 02
9
cos 0t
s s2 02
10
et sin 0t
贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于
《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学
å =
a0 + 2
¥
cn cos(nWt + j
n= 1
n)
å 1 ¥
j (nWt+ j n )
= 2 n= - ? Ane
非周期信号的傅立叶变换
非周期信号不能直接用傅立叶级数表示，但可以
利用傅立叶分析方法导出非周期信号的傅立叶变
换。
正变换
F ( j)

f
(t)e jt dt
ifourier函数 功能：实现信号F(jw)的傅立叶逆变换。 调用格式： f＝ifourier(F)：是函数F的傅立叶逆变换，默认返回是 关于x的函数。 f＝ifourier(F,u)：返回函数f是u的函数，而不是默认的 x的函数。 f＝ifourier(F,v,u)：是对关于v的函数F的傅立叶逆变换， 返回关于u的函数f。
将系统函数的零、极点标在S平面上，并用“ ”
表示零点，用“ ”表示极点，这个图称为系
统函数的零、极点分布图，简称系统的零极点 图。通常零、极点位置就是指H(s)的零点、极 点在S平面上的位置。
roots函数 求多项式的根。 调用格式： r=roots(c) 其中c为多项式的系数向量，r为根向量，求出的根向 量为列向量。
图形曲线。 思考题：连续系统的零极点对系统幅频响应有
何影响？
11 醉翁亭记
1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。
2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到
信号的傅立叶变换为：
X () 2 x(t)e jtdt 0
按MATLAB作数值计算的要求，将时间t分成N份，用相 加来代替积分：
N
X () x(tn )e jtn t [x(t1),..., x(tn )][e jt1 ,..., e jtn ]' t n1
2
时移性质 f t t0 t t0 F s est0
3 尺度变换性质 4 频移性质 5 时域微分性质 6 时域积分性质
f
at

1 a
F

s a

f t es0t F s s0
df t
dt

sF
s

f
0_

dn f t
dt n
连续时间信号用计算机处理时，首先将信号离散化以 及窗口化，才能用MATLAB进行频谱分析。
一般处理方法：将周期信号的一个周期或非周期信号 的非零部分作为窗口显示的内容。然后将一个窗口的 长度看成是一个周期，分成N份。进行频谱分析时， 可以根据傅立叶级数或傅立叶变换公式编写程序。
非周期信号频谱的MATLAB实现
Laplace 变换和逆变换定义式为
F (s) f (t)estdt
f (t) 1 j F (s)estds
2 j j
在 Matlab中实现 Laplace 变换可直接调用指令 laplace 和ilaplace 进行；调用时与傅立叶变换函 数调用方法相同。
实验三 连续时间系统的频域分析
一、实验目的:
加强 Matlab 编程能力。 掌握周期信号的频谱—— Fourier 级数的分析方法及
其物理意义。 了解傅里叶变换的特点及其应用。 了解连续系统的复频域分析的基本方法 掌握 Laplace 变换的意义、基本性质及应用。 理解函数的零、极点分布(极、零图)的特性。 掌握相关函数的调用方法。
二、实验原理
Fourier 级数的理论告诉我们：任何周期信号只要满 足狄里赫利条件就可以分解成指数分量之和（指数 Fourier 级数）或直流分量与正弦、余弦分量之和(三 角 Fourier 级数)如式所示：
å f (t) =
a0 2
+
¥
(an cos nWt +
n= 1
bn sin nWt)
反变换
f(t)= 1
2

F
(
j
)e
jt
d
傅立叶变换函数
fourier函数 功能：实现信号f(t)的傅立叶变换。 调用格式： F＝fourier(f)：是符号函数f的傅立叶变换，默认返回 函数F是关于w的函数。 F＝fourier(f,v)：是符号函数f的傅立叶变换，默认返回 函数F是关于v的函数。 F＝fourier(f,u,v)：是关于u的函数f的傅立叶变换，返 回函数F是关于v的函数。
t
s0
11
时域卷积定 理
f1 t f2 t F1 s F2 s
12 复频域卷积 定理
f1
t


f2
t


1
2
j
F1
s

F2
s
MATLAB函数
residue函数 留数函数，求部分分式展开系数。 调用格式： [r,p,k]=residue(num,den) 其中num,den分别是分子和分母多项式系数，按降序排 列的行向量。 r：部分分式展开式的系数向量 p：为极点 k：为分式的直流分量

snF
s

s n 1
f
0

sn2
f
0

f n1 0
t
f
x dx

F
s
s

1 s
f
1
0
f (n) t
(t )n f
x
Fs dx
sn
n

1 f (m)
s n m 1
m1
特性曲线。
3
syms t; f=2/3*exp(-3*t)*sym('heaviside(t)'); F=fourier(f); subplot(2,1,1) ezplot(f) subplot(2,1,2) ezplot(abs(F))
用傅立叶分析求解连续时间信号的频谱
试求f(t)=e-2|t|的傅立叶变换，并画出f(t)及 其幅度频谱图
syms t x=exp(-2*abs(t)); F=fourier(x); subplot(2,1,1) ezplot(x) subplot(2,1,2) ezplot(F)
试画出信号 f (t) 2 e3t (t) 的波形及其幅频
修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1．初