高中三角函数典型例题
三角函数典型例题(高考题)及详细解答
1.已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c ,0). (1)若0AB AC ⋅=,求c 的值; (2)若c=5,求sin ∠A 的值.2 已知函数()sin()(0,0),f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是1,其图像经过点1(,)32M π。
(1)求()f x 的解析式;(2)已知,(0,)2παβ∈,且312(),(),513f f αβ==求()f αβ-的值 3.已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直,其中)2,0(πθ∈(1)求θsin 和θcos 的值;(2)若ϕϕθcos 53)cos(5=-,<<ϕ02π,求ϕcos 的值 4.设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭,0ω>,(),x ∈-∞+∞,且以2π为最小正周期. (1)求()0f ;(2)求()f x 的解析式;(3)已知94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求sin α的值. 5.已知函数1()2sin(),36f x x x π=-∈R .(1)求(0)f 的值;(2)设10,0,,(3)2213f ππαβα⎡⎤∈+=⎢⎥⎣⎦,6(32)5f βπ+=,求sin()αβ+的值. 一.选择填空题1.在ABC 中,若15,,sin 43b B A π=∠==,则a = . 2..在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =,则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 3.设函数()cos (0)f x x ωω=>,将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于(A )13(B )3 (C )6 (D )94.设函数(A )y=在单调递增,其图像关于直线对称(B )y=在单调递增,其图像关于直线对称(C )y= f (x) 在(0,2π)单调递减,其图像关于直线x = 4π对称(D )y= f (x) 在(0,2π)单调递减,其图像关于直线x = 2π对称5.)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若()4,p y 是角θ终边上一点,且25sin 5θ=-,则y=_______.6.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立,且()()2f f ππ>,则()f x 的单调递增区间是(A ),()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ (B ),()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ (C )2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(D ),()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 7.在△ABC 中,222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-,则A 的取值范围是(A )(0,]6π(B )[,)6ππ(C )(0,]3π(D )[,)3ππ二:解答题1.已知函数()4cos sin() 1.6f x x x π=+-(Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
三角函数总结经典例题
第三章 三角函数3.1任意角三角函数一、知识导学1.角:角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是:顶点、始边、终边.角可以任意大小,按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2.弧度制:任一已知角α的弧度数的绝对值rl=α,其中l 是以α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为圆的半径.规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.3.弧度与角度的换算:rad π2360=;rad 1745.01801≈=π;130.57180≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad .用弧度为单位表示角的大小时,弧度(rad )可以省略不写.度()不可省略.4.弧长公式、扇形面积公式:,r l α=2||2121r lr S α==扇形,其中l 为弧长,r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当πα2=时的情形.5.任意角的三角函数定义:设α是一个任意大小的角,角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,,它与原点的距离是)0(>r r ,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrx r y x x y r x r y ======ααααααc s c ,s e c ,c o t ,t a n ,c o s ,s i n .这六个函数统称为三角函数.7.三角函数值的符号:各三角函数值在第个象限的符号如图所示(各象限注明的函数为正,其余为负值)可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析1.在直角坐标系内讨论角(1)角的顶点在原点,始边在x 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就称这个角是第几象限角(或说这个角属于第几象限).它的前提是“角的顶点为原点,角的始边为x 轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限.(2)与α角终边相同的角的集合表示.{}Z k k ∈+⋅=,360αββ,其中α为任意角.终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们相差360整数倍. 2.值得注意的几种范围角的表示法“0 ~ 90间的角”指 900<≤θ;“第一象限角”可表示为{}Z k k k ∈+⋅<<⋅,90360360θθ;“小于90的角”可表示为{}90<θθ. 3.在弧度的定义中rl与所取圆的半径无关,仅与角的大小有关. 4.确定三角函数的定义域时,主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P 坐标中必有一个为0.5.根据三角函数的定义可知:(1)一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关,即角α与)(360Z k k ∈⋅=β的同名三角函数值相等;(2)r y r x ≤≤,,故有1sin ,1cos ≤≤αα,这是三角函数中最基本的一组不等关系. 6.在计算或化简三角函数关系式时,常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此,在解答此类问题时要注意:(1)角的范围是什么?(2)对应角的三角函数值是正还是负?(3)与此相关的定义、性质或公式有哪些?三、经典例题导讲[例1] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角,且)2(π≠<<C C B A ,则下列结论中正确的个数是( )①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos <A .1 B.2 C.3 D.4错解:C A < ∴ C A sin sin <,C A tan tan <故选B错因:三角形中大角对大边定理不熟悉,对函数单调性理解不到位导致应用错误 正解:法1C A < 在ABC ∆中,在大角对大边,A C a c sin sin ,>∴>法2 考虑特殊情形,A 为锐角,C 为钝角,故排除B 、C 、D ,所以选A . [例2]已知βα,角的终边关于y 轴对称,则α与β的关系为 . 错解:∵βα,角的终边关于y 轴对称,∴22πβα=++πk 2,()z k ∈错因:把关于y 轴对称片认为关于y 轴的正半轴对称.正解:∵βα,角的终边关于y 轴对称 ∴)(,22Z k k ∈+=+ππβα即)(,2z k k ∈+=+ππβα说明:(1)若βα,角的终边关于x 轴对称,则α与β的关系为)(,2Z k k ∈=+πβα(2)若βα,角的终边关于原点轴对称,则α与β的关系为)(,)12(Z k k ∈++=πβα (3)若βα,角的终边在同一条直线上,则α与β的关系为)(,Z k k ∈+=παβ[例3] 已知542cos ,532sin-==θθ,试确定θ的象限. 错解:∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ,∴2θ是第二象限角,即.,222z k k k ∈+<<ππθπ从而.,244z k k k ∈+<<ππθπ故θ是第三象限角或第四象限角或是终边在y 轴负半轴上的角.错因:导出2θ是第二象限角是正确的,由0542cos ,0532sin <-=>=θθ即可确定, 而题中542cos ,532sin -==θθ不仅给出了符号,而且给出了具体的函数值,通过其值可进一步确定2θ的大小,即可进一步缩小2θ所在区间.正解:∵0542cos ,0532sin <-=>=θθ,∴2θ是第二象限角,又由43sin 22532sinπθ=<=知z k k k ∈+<<+,22432ππθππ z k k k ∈+<<+,24234ππθππ,故θ是第四象限角. [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ,求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值. 错解:a y x r a y a x 5,3,422=+=∴=-=3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα错因:在求得r 的过程中误认为a >0正解:若0>a ,则a r 5=,且角α在第二象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα若0<a ,则a r 5-=,且角α在第四象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-==--=-=-=∴a a a a a a a a αααα 说明:(1)给出角的终边上一点的坐标,求角的某个三解函数值常用定义求解; (2)本题由于所给字母a 的符号不确定,故要对a 的正负进行讨论. [例5] (1)已知α为第三象限角,则2α是第 象限角,α2是第 象限角; (2)若4-=α,则α是第 象限角. 解:(1)α 是第三象限角,即Z k k k ∈+<<+,2322ππαππZ k k k ∈+<<+∴,4322ππαππ,Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ当k 为偶数时,2α为第二象限角当k 为奇数时,2α为第四象限角而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上. (2)因为ππ-<-<-423,所以α为第二象限角. 点评:α为第一、二象限角时,2α为第一、三象限角,α为第三、四象限角时,2α为第二、四象限角,但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.[例6]一扇形的周长为20cm ,当扇形的圆心角α等于多少时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少? 解:设扇形的半径为rcm ,则扇形的弧长cm r l )220(-=扇形的面积25)5()220(212+--=⋅-=r r r S 所以当cm r 5=时,即2,10===rl cm l α时2max 25cm S =.点评:涉及到最大(小)值问题时,通常先建立函数关系,再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值. [例7]已知α是第三象限角,化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。
高中三角函数经典例题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版一、选择题1.如果角θ的终边经过点(3,-4),那么θsin 的值是( ) A53 B 53- C 54 D 54- 2.)314sin(π-的值等于( ) A21 B 21- C 23 D 23-3.若0835-=α,则角α的终边在( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限4.已知21sin -=θ,则)sin(θπ+等于A21 B 21- C 23 D 23-5.已知θ是第一象限角,那么2θ是( ) A 第一或第三象限角 B 第二或第三象限角 C 第三或第四象限角 D 第一或第四象限角 6.已知θ是三角形的一个内角,且22sin =θ,则角θ等于( ) A4π B 43π C 4π,43π D 3π7.已知0tan sin <⋅θθ,那么角θ是( )A 第一或第三象限角B 第二或第三象限角C 第三或第四象限角D 第一或第四象限角8.)421sin(2π+=x y 的周期、振幅、初相分别是( )A4,2,4ππB 4,2,4ππ-- C 4,2,4ππ D 4,2,2ππ9. sin2cos3tan4的值( )A .小于0B .大于0C .等于0D .不存在10.(08·全国Ⅰ文)y =(sin x -cos x )2-1是( )A .最小正周期为2π的偶函数B .最小正周期为2π的奇函数C .最小正周期为π的偶函数D .最小正周期为π的奇函数11. 函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π的简图是( )12.为了得到函数y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象,只需将函数y =sin2x 的图象( ) A .向左平移5π12个长度单位 B .向右平移5π12个长度单位 C .向左平移5π6个长度单位 D .向右平移5π6个长度单位13.函数y =|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π,3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,2π 14.下列函数中,图象的一部分符合下图的是( )A .y =sin(x +π6)B .y =sin(2x -π6) C .y =cos(4x -π3) D .y =cos(2x -π6)二、填空题15.与34π终边相同的角的集合 16.已知45cos sin -=-θθ,则=⋅θθcos sin17.已知θ是第四象限角,125tan -=θ,则=θcos 18.已知=-=+-θθθθθtan ,35cos 2sin 3cos sin 2则19.函数y =16-x 2+sin x 的定义域为________.20..若a =sin(sin2009°),b =sin(cos2009°),c =cos(sin2009°),d =cos(cos2009°),则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是________.三、解答题21.)660cos()330sin(750cos 420sin 0000-•-+•:计算22.求使)42sin(3π+=x y 取到最大值、最小值的自变量的集合,并分别写出最大值、最小值,及这个函数在[]π2,0的单调递增区间。
高中三角函数习题解析精选(含详细解答)
三角函数题解1.(2003上海春,15)把曲线y cos x +2y -1=0先沿x 轴向右平移2π个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是( )A.(1-y )sin x +2y -3=0B.(y -1)sin x +2y -3=0C.(y +1)sin x +2y +1=0D.-(y +1)sin x +2y +1=0 2.(2002春北京、安徽,5)若角α满足条件sin2α<0,cos α-sin α<0,则α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.(2002上海春,14)在△ABC 中,若2cos B sin A =sinC ,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形4.(2002京皖春文,9)函数y =2sin x 的单调增区间是( ) A.[2k π-2π,2k π+2π](k ∈Z )B.[2k π+2π,2k π+23π](k ∈Z )C.[2k π-π,2k π](k ∈Z )D.[2k π,2k π+π](k ∈Z )5.(2002全国文5,理4)在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 取值范围为( ) A.(4π,2π)∪(π,45π)B.(4π,π)C.(4π,45π)D.(4π,π)∪(45π,23π)6.(2002北京,11)已知f (x )是定义在(0,3)上的函数,f (x )的图象如图4—1所示,那么不等式f (x )cos x <0的解集是( )A.(0,1)∪(2,3)B.(1,2π)∪(2π,3)图4—1C.(0,1)∪(2π,3)D.(0,1)∪(1,3)7.(2002北京理,3)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间(2π,π)上为减函数的是( )A.y =cos 2xB.y =2|sin x |C.y =(31)cos xD.y =-cot x8.(2002上海,15)函数y =x +sin|x |,x ∈[-π,π]的大致图象是( )9.(2001春季北京、安徽,8)若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点P (cos B -sin A ,sin B -cos A )在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.(2001全国文,1)tan300°+cot405°的值是( ) A.1+3B.1-3C.-1-3D.-1+311.(2000全国,4)已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( ) A.若α、β是第一象限角,则cos α>cos β B.若α、β是第二象限角,则tan α>tan β C.若α、β是第三象限角,则cos α>cos β D.若α、β是第四象限角,则tan α>tan β12.(2000全国,5)函数y =-x cos x 的部分图象是( )13.(1999全国,4)函数f (x )=M sin (ωx +ϕ)(ω>0),在区间[a ,b ]上是增函数,且f (a )=-M ,f (b )=M ,则函数g (x )=M cos (ωx +ϕ)在[a ,b ]上( )A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值-D.可以取得最小值-m14.(1999全国,11)若sin α>tan α>cot α(-2π<α<2π),则α∈( ) A.(-2π,-4π) B.(-4π,0)C.(0,4π) D.(4π,2π)15.(1999全国文、理,5)若f (x )sin x 是周期为π的奇函数,则f (x )可以是( ) A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x16.(1998全国,6)已知点P (sin α-cos α,tan α)在第一象限,则在[0,2π]内α的取值范围是( )A.(2π,43π)∪(π,45π) B.(4π,2π)∪(π,45π) C.(2π,43π)∪(45π,23π) D.(4π,2π)∪(43π,π) 17.(1997全国,3)函数y =tan (3121-x π)在一个周期内的图象是( )18.(1996全国)若sin 2x >cos 2x ,则x 的取值范围是( ) A.{x |2k π-43π<x <2k π+4π,k ∈Z }B.{x |2k π+4π<x <2k π+45π,k ∈Z }C.{x |k π-4π<x <k π+4π,k ∈Z }D.{x |k π+4π<x <k π+43π,k ∈Z }19.(1995全国文,7)使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A.[-43π,4π] B.[-2π,2π]C.[-4π,43π] D.[0,π]20.(1995全国,3)函数y =4sin (3x +4π)+3cos (3x +4π)的最小正周期是( )A.6πB.2πC.32πD.3π21.(1995全国,9)已知θ是第三象限角,若sin 4θ+cos 4θ=95,那么sin2θ等于( ) A.322 B.-322 C.32D.-32 22.(1994全国文,14)如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =-8π对称,那么a等于( )A.2B.-2C.1D.-123.(1994全国,4)设θ是第二象限角,则必有( ) A.tan2θ>cot 2θ B.tan2θ<cot 2θC.sin2θ>cos 2θD.sin2θ-cos 2θ 24.(2002上海春,9)若f (x )=2sin ωx (0<ω<1)在区间[0,3π]上的最大值是2,则ω= .25.(2002北京文,13)sin 52π,cos 56π,tan 57π从小到大的顺序是 .26.(1997全国,18)︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____.27.(1996全国,18)tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____.28.(1995全国理,18)函数y =sin (x -6π)cos x 的最小值是 .29.(1995上海,17)函数y =sin 2x +cos 2x在(-2π,2π)内的递增区间是 .30.(1994全国,18)已知sin θ+cos θ=51,θ∈(0,π),则cot θ的值是 .31.(2000全国理,17)已知函数y =21cos 2x +23sin x cos x +1,x ∈R .(1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;(2)该函数的图象可由y =sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?32.(2000全国文,17)已知函数y =3sin x +cos x ,x ∈R .(1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;(2)该函数的图象可由y =sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?33.(1995全国理,22)求sin 220°+cos 250°+sin20°cos50°的值.34.(1994上海,21)已知sin α=53,α∈(2π,π),tan (π-β)=21,求tan (α-2β)的值.35.(1994全国理,22)已知函数f (x )=tan x ,x ∈(0,2π),若x 1、x 2∈(0,2π),且x 1≠x 2,证明21[f (x 1)+f (x 2)]>f (221x x +).36.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域; ⑵求它的单调区间; ⑶判断它的奇偶性; ⑷判断它的周期性.37. 求函数f (x )=121log cos()34x π+的单调递增区间38. 已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325(x ∈R ) ⑴求f (x )的最小正周期; ⑵求f (x )单调区间;⑶求f (x )图象的对称轴,对称中心。
第五章 三角函数典型易错题集(解析版)
第五章 三角函数典型易错题集易错点1.忽略顺时针旋转为负角,逆时针旋转为正角。
【典型例题1】(2022·全国·高一专题练习)将手表的分针拨快10分钟,则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A .6πB .3π C .6π-D .3π-【错解】B将手表的分针拨快10分钟,则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ⨯=. 点评:学生对角的理解还是局限在0360之间,把角都当成正数,容易忽视角的定义,顺时针旋转为负,逆时针旋转为正。
【正解】D 【详解】将手表的分针拨快10分钟,则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ-⨯=-. 故选:D.易错点2.在三角函数定义中,忽略点坐标值的正负。
【典型例题2】(2022·湖北襄阳·高一期中)设α是第三象限角,(),4P x -为其终边上的一点,且1cos 5x α=,则tan α=( ) A .43-或43B .34C .43D .34-【错解】A解:(,4)P x -为其终边上的一点,且1cos 5x α=, ∴15x,解得:3x =±,所以(3,4)P ∴--或者(3,4)P ∴-,所以44tan 33α-∴==-或者44tan 33α-∴==-点评:学生在解此类问题时往往忽略了角α15x=方程时容易造成两种错误:①293a a =⇒=,这类错误往往学生只能看到正根,没有负根。
②第二类错误,本题也解出了3x =±,但是忽视了本题α是第三象限角,此时x 是负数,要舍去其中的正根。
【答案】C 【详解】解:(,4)P x -为其终边上的一点,且1cos 5x α=, ∴15x,解得:0x =或3x =±, 又α是第三象限角,0x ∴<,3x ∴=-,(3,4)P ∴--, 44tan 33α-∴==-. 故选:C .易错点3.分数的分子分母同乘或者同除一个数,分数的值不变(分数基本性质)【典型例题3】(2022·安徽省五河第一中学高二月考)已知tan 2θ=则22sin sin cos 2cos θθθθ+-的值为________. 【错解】4222222sin sin cos 2cos (sin sin cos 2cos )cos tan tan 24θθθθθθθθθθθ+-=+-÷=+-=点评:学生在此类问题时多数出现分式问题,习惯了分子分母同除以cos θ(或者2cos θ),但本题是一个整式,要先化成分式,才能进一步同时除以cos θ(或者2cos θ)。
高中三角函数经典例题50道
高中三角函数经典例题50道1.求解三角形中角度的相关问题是高中数学学习中的重要内容。
例如,考虑正三角形ABC,已知∠A=60°,求∠B和∠C的大小。
2.在三角形ABC中,已知∠A=30°,∠C=60°,求∠B的大小。
3.若在直角三角形ABC中,∠A=30°,求∠C的大小。
4.在锐角三角形ABC中,已知边b=5,c=10,∠A=30°,求边a的长度。
5.在钝角三角形ABC中,边a=6,b=10,∠A=120°,求边c的长度。
6.若在任意三角形ABC中,边a=8,b=6,∠A=45°,求∠B的大小。
7.在直角三角形ABC中,边a=1,b=√3,求∠A和∠B 的大小。
8.若在锐角三角形ABC中,已知边a=5,b=7,求∠A 和∠B的大小。
9.在任意三角形ABC中,边a=10,b=15,∠A=30°,求∠B的大小。
10.若在直角三角形ABC中,边b=4,c=5,求∠A和∠C的大小。
11.在锐角三角形ABC中,已知边b=8,c=10,∠A=60°,求∠C的大小。
12.若在任意三角形ABC中,边a=7,c=9,∠A=45°,求边b的长度。
的长度。
14.在锐角三角形ABC中,已知∠A=45°,∠B=60°,求∠C的大小。
15.若在任意三角形ABC中,边a=12,b=16,求∠A和∠B的大小。
16.在直角三角形ABC中,已知边b=8,c=10,求∠A和∠C的大小。
17.在锐角三角形ABC中,边a=5,b=8,∠C=60°,求边c的长度。
18.若在任意三角形ABC中,边a=7,b=10,∠B=30°,求边c的长度。
19.在直角三角形ABC中,边a=2,c=√5,求∠A和∠B的大小。
20.在锐角三角形ABC中,已知边b=3,c=4,∠A=45°,求∠C的大小。
21.若在任意三角形ABC中,边a=9,c=12,∠C=45°,求边b的长度。
高中三角函数经典例题
高中数学三角函数经典例题(解析在后面)一、单选题(共20题;共40分)1.已知函数f(x)=cosx ,下列结论不正确的是( ) A. 函数y=f(x)的最小正周期为2π B. 函数y=f(x)在区间(0,π)内单调递减 C. 函数y=f(x)的图象关于y 轴对称D. 把函数y=f(x)的图象向左平移 π2 个单位长度可得到y=sinx 的图象2.如图,A 、B 两点为山脚下两处水平地面上的观测点,在A 、B 两处观察点观察山顶点P 的仰角分别为 α ,β。
若tanα = 13 ,β=45°,且观察点A 、B 之间的距离比山的高度多100米。
则山的高度为( )A. 100米B. 110米C. 120米D. 130米 3.已知 sinα=√55,则 cos2α= ( )A. −35B. 35 C. −3√55 D. 3√554.将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 π6 个单位长度得到 g(x) 图象,则函数的解析式是( )A. g(x)=sin (2x +π3) B. g(x)=sin (2x +π6) C. g(x)=sin (2x −π3) D. g(x)=sin (2x −π6)5.若 α,β 均为第二象限角,满足 sinα=35 , cosβ=−513,则 cos(α+β)= ( )A. −3365B. −1665C. 6365D. 33656.已知 tanα=1 ,则1+2cos 2αsin2α= ( )A. 2B. -2C. 3D. -3 7.要得到 y =sin x2 的图象,只要将函数 y =sin(12x +π4) 的图象( )A. 向左平移 π4 单位B. 向右平移 π4 单位 C. 向左平移 π2 单位 D. 向右平移 π2 单位8.要得到函数 y =2sin(2x +π6) 的图像,只需将函数 y =2sin2x 的图像( ) A. 向左平移 π6 个单位 B. 向右平移 π6 个单位 C. 向左平移 π12 个单位 D. 向右平移 π12 个单位9.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π2) 的部分图象如图所示,则 f(π)= ( )A. 4B. 2√3C. 2D. √3 10.已知角 α 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的非法半轴重合,终边经过点 P(1,−2) ,则 sin 2α= ( )A. −2√55B. −4√55C. 45 D. −4511.数 f(x)=sin(4x +ϕ)(0<ϕ<π2) ,若将 f(x) 的图象向左平移 π12 个单位后所得函数的图象关于 y 轴对称,则 φ= ( )A. π12 B. π6 C. π4 D. π3 12.sin140°cos10°+cos40°sin350°= ( ) A. 12 B. −12 C. √32D. −√3213.已知 α,β∈(0,π2) , cosα=17 , cos(α+β)=−1114 ,则 β= ( ) A. π6 B. 5π12C. π4 D. π314.要得到函数 y =2√3cos 2x +sin2x −√3 的图象,只需将函数 y =2sin2x 的图象( )A. 向左平移 π3 个单位 B. 向右平移 π3 个单位 C. 向左平移 π6 个单位 D. 向右平移 π6 个单位 15.若 sin(π6−α)=13,则 cos(2π3+2α)= ( )A. 13B. −13C. 79D. −7916.函数 y =sin(2x +φ)(0<φ<π2) 图象的一条对称轴在 (π6,π3) 内,则满足此条件的一个 φ 值为( )A. π12 B. π6 C. π3 D. 5π617.关于 x 的三角方程 sinx =13 在 [0,2π) 的解集为( ) A. {arcsin 13} B. {π−arcsin 13}C. {arcsin 13,π−arcsin 13} D. {arcsin 13,−arcsin 13}18.已知 α 满足 tan(α+π4)=13 ,则 tanα= ( ) A. −12B. 12C. 2D. −219.已知 α、β 均为锐角,满足 sinα=√55 , cosβ=3√1010,则 α+β= ( )A. π6B. π4C. π3D. 3π420.计算 sin95°cos50°−cos95°sin50° 的结果为( ) A. −√22B. 12C. √22D. √32二、填空题(共20题;共21分)21.函数f(x)=Asin( ωx+ φ)的部分图象如图,其中A>0,ω>0,0< φ< π2.则ω=________ ; tan φ= ________ .22.若角α满足sinα+2cosα=0,则tan2α=________;23.计算sin47°cos17°−cos47°sin17°的结果为________.24.角α的终边经过点P(−3,4),则cos(π2−α)=________.25.函数y=sin(x+φ),φ∈[0,π]为偶函数,则φ=________.26.若扇形圆心角为120∘,扇形面积为43π,则扇形半径为________.27.已知f(x)=2sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同,则x∈[0,π]时,方程f(x)=1的解是________.28.已知sin(π−α)=35,α∈(π2,π),则sin2α=________.29.已知函数y=sinx的定义域是[a,b],值域是[−1,12],则b−a的最大值是________30.如果tanα=2,则tan(α+π4)=________31.若函数f(x)=sin(x+φ),φ∈(0,π)是偶函数,则φ等于________32.函数f(x)=2−sinxcosx的值域是________33.函数y=arccos(x−1)的定义域是________34.求f(x)=sinx−cos2x+2,x∈[−π6,2π3]的值域________.35.已知函数y=2sin(2x+φ)(0<φ<π2)的一条对称轴为x=π6,则φ的值为________.36.在ΔABC中,tanA+tanB+√3=√3tanA⋅tanB,则C等于________.37.方程cosx=sinπ6的解为x=________.38.弧长等于直径的圆弧所对的圆心角的大小为________弧度.(只写正值)39.若sinα−cosα=12,则sin2α=________.40.若tanθ=−3,则cos2θ=________.三、解答题(共10题;共85分)41.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为单位圆与x轴正半轴的交点,点P为单位圆上的一点,且∠AOP= π4,点P沿单位圆按逆时针方向旋转角θ后到点Q(a,b)(1)当θ= π6时,求ab的值(2)设θ∈[ π4,π2],求b-a的取值范围42.在ΔABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2=a2+c2−ac. (1)求角B的大小;(2)求sinA+sinC的取值范围.43.已知函数f(x)=√3sin2x+cos2x.(1)求y=f(x)的单调递增区间;(2)当x∈[−π6,π3]时,求f(x)的最大值和最小值.44.已知f(x)=acos2x+√3asin2x+2a−5(a∈R,a>0).]上的最大值为3时,求a的值;(1)当函数f(x)在[0,π2(2)在(1)的条件下,若对任意的t∈R,函数y=f(x),x∈(t,t+b]的图像与直线y=−1有且仅有两个不同的交点,试确定b的值.并求函数y=f(x)在(0,b]上的单调递减区间.) ,b⃗⃗=(√3 sinx , cos2x) ,x∈R,设函数f(x)=a⃗⋅b⃗⃗.45.向量a⃗=(cosx ,−12(Ⅰ)求f(x)的表达式并化简;(Ⅱ)写出f(x)的最小正周期并在右边直角坐标中画出函数f(x)在区间[0,π]内的草图;(Ⅲ)若方程f(x)−m=0在[0,π]上有两个根α、β,求m的取值范围及α+β的值.46.已知在ΔABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A为锐角,且满足3b=5asinB.的值;(1)求sin2A+cos2B+C2,求b,c.(2)若a=√2, ΔABC的面积为3247.如图所示,在平面直角坐标系中,角α与β( 0<β<α<π)的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于P、Q两点,点P的横坐标为−4.5(I )求sin2α+cos2α1+cos 2α;(Ⅱ)若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√33,求 sinβ . 48.已知函数 f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2) 的部分图象如图所示:(I )求 f(x) 的解析式及对称中心坐标;(Ⅱ)将 f(x) 的图象向右平移 π6 个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数 g(x) 的图象,求函数 y =g(x) 在 x ∈[0,7π6]上的单调区间及最值. 49.(1)请直接运用任意角的三角比定义证明: cos(α−π)=−cosα ; (2)求证: 2cos 2(π4−α)=1+sin2α . 50.设函数 f(x)=1sinx .(1)请指出函数 y =f(x) 的定义域、周期性和奇偶性;(不必证明)(2)请以正弦函数 y =sinx 的性质为依据,并运用函数的单调性定义证明: y =f(x))上单调递减.在区间(0,π2答案解析部分一、单选题 1.【答案】 D【解析】【解答】解:∵函数f (x )=cosx 其最小正周期为2π,故选项A 正确;函数f (x )=cosx 在(0,π)上为减函数,故选项B 正确;函数f (x )=cosx 为偶函数,关于y 轴对称,故选项C 正确;把函数f (x )=cosx 的图象向左平移 π2个单位长度可得cos (x +π2)=−sinx , 故选项D 不正确。
高考数学三角函数典型例题
三角函数典型例题1 .设锐角ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.2 .在ABC ∆中,角A . B .C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C .(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C ,∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C .即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA . ∵0<A <π,∴sin A ≠0. ∴cos B =21. ∵0<B <π,∴B =3π. (II)m n ⋅=4k sin A +cos2A . =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π) 设sin A =t ,那么t ∈]1,0(.那么m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值.依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23. 3 .在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,22sin 2sin=++CB A . I.试判断△ABC 的形状;II.假设△ABC 的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin2sinππ+=+=+-C C C C C2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,此时面积的最大值为()24632-.4 .在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A . B .C 的对边,C =2A ,43cos =A, (1)求B C cos ,cos 的值; (2)假设227=⋅BC BA ,求边AC 的长。 【解析】:(1)81116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C47sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由()169814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=-=+-=∴C A C A C A B (2)24,227cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac BC BA ① 又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=625169483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5.5 .在ABC ∆中,A B >,且A tan 及B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)求)tan(B A +的值; (Ⅱ)假设AB 5=,求BC 的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==.∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123+==--⨯(Ⅱ)∵180=++C B A ,∴)(180B A C +-=.由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,∵C 为三角形的内角,∴sin C =∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴sin A =, 由正弦定理得:sin sin AB BCC A=∴2BC ==6 .在ABC ∆中,内角A . B .C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n 。(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。【解析】:(1)//m n ⇒ 2sinB(2cos 2B2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴a c≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3∴△ABC 的面积最大值为2- 37 .在ABC ∆中,角A . B .C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21222ac b c a =-+ (1)求B CA 2cos 2sin 2++的值; (2)假设b =2,求△ABC 面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=142sin 2A C ++cos2B= 41-(2)由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2, a2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38, S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号)故S △ABC 的最大值为3158 .)1(,tan >=a a α,求θθπθπ2tan )2sin()4sin(⋅-+的值。 【解析】aa -12;9 .()()()()3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπααππαααπ⎛⎫-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)化简()fα(II)假设α是第三象限角,且31cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()f α的值。 【解析】10.函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2x,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1)1cos 23()2(1cos 2)2x f x x x -=+++132cos 22223sin(2).62x x x π=++=++()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度, 得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度, 就得到3sin(2)62y x π=++的图象。11.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a,)4cos ,4(sin xx b ππ=,b a x f ⋅=)(。 (1)求)(x f 的单调递减区间。(2)假设函数)(x g y =及)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值。【解析】:(1))34sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=x x x x f ∴当]223,22[34ππππππk k x ++∈-时,)(x f 单调递减 解得:]8322,8310[k k x ++∈时,)(x f 单调递减。(2)∵函数)(x g y =及)(x f y =关于直线1=x 对称 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=34cos 3342sin 3πππππx x∵]34,0[∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,334ππππx∴]21,21[34cos -∈⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ∴0=x 时,23)(max =x g12.cos 2sin αα=-,求以下各式的值; (1)2sin cos sin 3cos αααα-+; (2)2sin2sin cos ααα+【解析】:1cos 2sin ,tan 2ααα=-∴=-(1)1212sin cos 2tan 1421sin 3cos tan 3532αααααα⎛⎫⨯-- ⎪--⎝⎭===-++-+(2)2222sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos αααααααα++=+ 2222112tan 2tan 322tan 15112ααα⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭13.设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+(I)求函数()f x 的最大值及最小正周期; (II)求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集合。 【解析】14.向量)1,32(cos --=αm ,)1,(sin α=n ,m 及n 为共线向量,且]0,2[πα-∈(Ⅰ)求ααcos sin +的值;(Ⅱ)求αααcos sin 2sin -的值.。【解析】:(Ⅰ) m 及n 为共线向量, 0sin )1(1)32(cos =⨯--⨯-∴αα, 即32cos sin =+αα (Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12=+=+ααα ,972sin -=∴α 2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,916)32(2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[πα-∈ ,0cos sin <-∴αα,34cos sin -=-αα 因此, 127cos sin 2sin =-ααα15.如图,A,B,C,D 都在同一个及水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,030,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060,AC=。试探究图中B,D 间距离及另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离(计算结果准确到,2≈1.414,6≈2.449)【解析】:在ACD ∆中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°,又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,故CB 是CAD ∆底边AD 的中垂线,所以BD=BA 在ABC ∆中,ABCACBCA AB ∠=∠sin sin , 即AB=2062351sin 60sin +=︒︒AC因此,km 33.020623≈+=BD故 B .D 的距离约为。16.函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,02A πωϕ>><<)的图象及x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.(Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122x ππ∈,求()f x 的值域.【解析】: (1)由最低点为2(,2)3M π-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π,即T π=,222T ππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin(故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故(2)7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈ 当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266x ππ+=即2x π=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]17.如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进展测量,50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C 处测得水深110CF m =,求∠DEF 的余弦值。【解析】:作//DMAC 交BE 于N ,交CF 于M .22223017010198DF MF DM =+=+=, 222250120130DE DN EN =+=+=, 2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=在DEF ∆中,由余弦定理,2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯18.51cos sin =+θθ,),2(ππθ∈,求〔1〕sin cos θθ-〔2〕33sincos θθ-〔3〕44sin cos θθ+【解析】:〔1〕3344791337sin cos (2)sin cos (3)sin cos 5125625θθθθθθ-=-=+=19.函数)sin(ϕω+=x A y 〔0>A , 0ω>,πϕ<||〕的一段图象如下图,〔1〕求函数的解析式;〔2〕求这个函数的单调递增区间。
高中数学必修第一册三角函数正弦、余弦函数的图象知识点+例题+习题+解析
正弦函数、余弦函数的图象知识点正弦函数、余弦函数的图象五点法五点法思考为什么把正弦、余弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变?答案由诱导公式一知sin(x+2kπ)=sin x,cos(x+2kπ)=cos x,k∈Z可得.【基础演练】【基础演练】1.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是()解析y=sin(-x)=-sin x,y=-sin x与y=sin x的图象关于x轴对称,故选B.2.用“五点法”画函数y=1+12sin x的图象时,首先应描出五点的横坐标是() A.0,π4,π2,3π4,π B.0,π2,π,3π2,2πC.0,π,2π,3π,4π D.0,π6,π3,π2,2π3解析 所描出的五点的横坐标与函数y =sin x 的五点的横坐标相同,即0,π2,π,3π2,2π,故选B.3.在同一平面直角坐标系内,函数y =sin x ,x ∈[0,2π]与y =sin x ,x ∈[2π,4π]的图象( ) A .重合 B .形状相同,位置不同 C .关于y 轴对称 D .形状不同,位置不同答案 B解析 根据正弦曲线的作法可知函数y =sin x ,x ∈[0,2π]与y =sin x ,x ∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同. 4.在[0,2π]内,不等式sin x <-32的解集是( ) A .(0,π) B.⎝⎛⎭⎫π3,4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3,5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3,2π 解析 画出y =sin x ,x ∈[0,2π]的草图如下.当sin x =-32时,x =4π3或x =5π3, 可知不等式sin x <-32在[0,2π]上的解集是⎝⎛⎭⎫4π3,5π3.故选C. 5.函数y =cos x +4,x ∈[0,2π]的图象与直线y =4的交点的坐标为________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y =cos x +4,y =4得cos x =0,当x ∈[0,2π]时,x =π2或3π2,∴交点坐标为⎝⎛⎭⎫π2,4,⎝⎛⎭⎫3π2,4.【典型例题】考点一:正弦函数、余弦函数图象的初步认识 例1 (1)下列叙述正确的个数为( )①y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象关于点P (π,0)成中心对称; ②y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象关于直线x =π成轴对称;③正弦、余弦函数的图象不超过直线y =1和y =-1所夹的范围. A .0 B .1 C .2 D .3解析 分别画出函数y =sin x ,x ∈[0,2π]和y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象,由图象(略)观察可知①②③均正确.答案 D(2)函数y =sin |x |的图象是( )答案 B解析 y =sin |x |=⎩⎪⎨⎪⎧sin x ,x ≥0,-sin x ,x <0,结合选项可知选B.反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题,要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述,不正确的是( ) A .都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B .都是对称图形 C .都与x 轴有无数个交点D .y =sin(-x )的图象与y =sin x 的图象关于x 轴对称 答案 A解析 由正弦、余弦函数图象知,B ,C ,D 正确.考点二:用“五点法”作三角函数的图象 例2 用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y =sin x -1,x ∈[0,2π]; (2)y =-2cos x +3,x ∈[0,2π]. 解 (1)列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图.(2)列表:描点、连线得出函数y=-2cos x+3,x∈[0,2π]的图象.反思感悟作形如y=a sin x+b(或y=a cos x+b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练2利用“五点法”作出函数y=2+cos x(0≤x≤2π)的简图.解列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图.考点三:正弦函数、余弦函数图象的应用 例3 不等式2sin x -1≥0,x ∈[0,2π]解集为( ) A.⎣⎡⎦⎤0,π6 B.⎣⎡⎦⎤0,π4 C.⎣⎡⎦⎤π6,π D.⎣⎡⎦⎤π6,5π6答案 D解析 因为2sin x -1≥0,所以sin x ≥12.在同一直角坐标系下,作函数y =sin x ,x ∈[0,2π]以及直线y =12的图象.由函数的图象知,sin π6=sin 5π6=12.所以根据图象可知,sin x ≥12的解集为⎣⎡⎦⎤π6,5π6. 延伸探究1.在本例中把“x ∈[0,2π]”改为“x ∈R ”,求不等式2sin x -1≥0的解集. 解 在x ∈[0,2π]上的解集为⎣⎡⎦⎤π6,5π6.所以x ∈R 时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6+2k π≤x ≤5π6+2k π,k ∈Z . 2.试求关于x 的不等式12<sin x ≤32.解 作出正弦函数y =sin x 在[0,2π]上的图象,作出直线y =12和y =32,如图所示.由图可知,在[0,2π]上当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时,不等式12<sin x ≤32成立,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6+2k π<x ≤π3+2k π或2π3+2k π≤x <5π6+2k π,k ∈Z . 反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x >a (cos x >a )的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象. (2)确定在[0,2π]上sin x =a (cos x =a )的x 值. (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集. (4)根据公式一写出定义域内的解集.跟踪训练3 求函数y =1-2cos x 的定义域. 解 依题意有1-2cos x ≥0,即cos x ≤12.作出余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]以及直线y =12的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3+2k π≤x ≤5π3+2k π,k ∈Z .根据函数图象求范围典例 函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是________. 答案 (1,3)解析 f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ,0≤x ≤π,-sin x ,π<x ≤2π.图象如图所示.结合图象可知1<k <3.[素养提升] 关于方程根的个数问题,往往运用数形结合的方法构造函数,转化为函数图象交点的个数问题来解决,体现了直观想象的核心素养.1.(多选)用五点法画y =3sin x ,x ∈[0,2π]的图象时,下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6,32 B.⎝⎛⎭⎫π2,3 C .(π,0) D .(2π,3) 答案 AD解析 五个关键点的横坐标依次是0,π2,π,3π2,2π.代入计算得B ,C 是关键点.2.已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π2,g (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x -π2,则f (x )的图象( ) A .与g (x )的图象相同 B .与g (x )的图象关于y 轴对称C .向左平移π2个单位长度,得g (x )的图象D .向右平移π2个单位长度,得g (x )的图象答案 D解析 f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π2,g (x )=cos ⎝⎛⎭⎫x -π2=cos ⎝⎛⎭⎫π2-x =sin x , f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到g (x )的图象.3.在[0,2π]上,函数y =2sin x -2的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤0,π4 B.⎣⎡⎦⎤π4,3π4 C.⎣⎡⎦⎤π4,π2D.⎣⎡⎦⎤3π4,π解析 依题意得2sin x -2≥0,即sin x ≥22.作出y =sin x 在[0,2π]上的图象及直线y =22,如图所示.由图象可知,满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4,3π4,故选B. 4.函数y =1+sin x ,x ∈[0,2π]的图象与直线y =12交点的个数是( )A .0B .1C .2D .3 答案 C解析 由函数y =1+sin x ,x ∈[0,2π]的图象(如图所示),可知其与直线y =12有2个交点.5.函数f (x )=sin x -1,x ∈[0,2π]的零点为________. 答案 π2解析 令f (x )=0,∴sin x =1,∴又x ∈[0,2π],∴x =π2.6.已知函数f (x )=2cos x +1,若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π2,m ,则m =________;若f (x )<0,则x 的取值集合为________.答案 1 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3+2k π<x <4π3+2k π,k ∈Z 解析 当x =π2时,f (x )=2cos π2+1=1,∴m =1.f (x )<0,即cos x <-12,作出y =cos x 在x ∈[0,2π]上的图象,如图所示.由图知x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3+2k π<x <4π3+2k π,k ∈Z . 7.根据y =cos x 的图象解不等式:-32≤cos x ≤12,x ∈[0,2π]. 解 函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象如图所示:根据图象可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.8.(多选)函数y =sin x -1,x ∈[0,2π]与y =a 有一个交点,则a 的值为( ) A .-1 B .0 C .1 D .-2 答案 BD解析 画出y =sin x -1的图象.如图.依题意a =0或a =-2.9.函数y =cos x +|cos x |,x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 由题意得y =⎩⎨⎧2cos x ,0≤x ≤π2或3π2≤x ≤2π,0,π2<x <3π2.10.函数f (x )=lg cos x +25-x 2的定义域为________________. 答案 ⎣⎡⎭⎫-5,-3π2∪⎝⎛⎭⎫-π2,π2∪⎝⎛⎦⎤3π2,5 解析 由题意,得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ cos x >0,25-x 2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0,-5≤x ≤5,作出y =cos x 的图象,如图所示.结合图象可得x ∈⎣⎡⎭⎫-5,-3π2∪⎝⎛⎭⎫-π2,π2∪⎝⎛⎦⎤3π2,5.11.函数y =2cos x ,x ∈[0,2π]的图象和直线y =2围成的一个封闭的平面图形的面积是________. 答案 4π解析 如图所示,将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方,可得一个矩形,其面积为2π×2=4π.12.若方程sin x =1-a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3,π上有两个实数根,求a 的取值范围. 解 在同一直角坐标系中作出y =sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤π3,π的图象,y =1-a2的图象,由图象可知,当32≤1-a2<1,即当-1<a ≤1-3时,y =sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤π3,π的图象与y =1-a 2的图象有两个交点,即方程sin x =1-a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3,π上有两个实数根.。
专题:三角函数(高三用)
三角函数复习专题(一)一、 核心知识点归纳: 1.弧长、扇形面积的公式:设扇形的弧长为l ,圆心角大小为α(rad),半径为r ,则弧长公式l = ,扇形的面积公式S = = . 2.(1)三角函数定义(角α终边上任一点(),Px y ):其中r =sin α= ;cos α= ; tan α= (2)符号规律:sin α cos α tan α(3)同角三角函数的基本关系:①倒数关系: ②商数关系: ,③平方关系:注意三兄弟(三剑客)的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二. (4)特殊角的三角函数值表:(5)诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)k ·π/2+a 所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性:①sin(2)cos(2)tan(2)k k k παπαπα±=⎧⎪±=⎨⎪±=⎩ ;②sin()cos()tan()παπαπα+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ;③sin()cos()tan()ααα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩④sin()cos()tan()παπαπα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ ; ⑤sin(2)cos(2)tan(2)παπαπα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ ;⑥sin()2cos()2παπα⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ⑦sin()2cos()2παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ;⑧3sin()23cos()2παπα⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ :⑨3sin()23cos()2παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩5.两角和与差的三角函数: (1)和(差)角公式:①sin()αβ+= ;sin()αβ-= ②cos()αβ+= ;cos()αβ-= ③tan()αβ+= ;tan()αβ-= 注:公式的逆用或者变形.........(2)二倍角公式:=a 2sin =a 2cos=a 2tan从二倍角的余弦公式里面可得出降幂公式:=a 2cos , =a 2sin6.辅助角公式:sin cos a b αα+=三、基础练习 1、(1)弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为________,面积为________ (2)已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?2、(1)求值:sin(-1 200°)·cos 1 290°+cos(-1020°)·sin(-1 050°)+tan 945°.点评:利用诱导公式化简求值时的原则—3、已知f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)+4 (其中a ,b ,α,β为非零实数), f (2 011)=5,则f (2 012)= ( )A .3B .5C .1D .不能确定四、典型例题考点一:三角函数的概念例1若P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ=-255,则y =____.练习1.(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P (m ,-3),且cos α=-45,则m 等于 ( )A .-114 B.114C .-4D .4练习2. 若角α的终边经过点P (1,-2),则tan 2α的值为 .变:若角α的终边与单位圆交于点255,55p ⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭,则sin 2a 的值为 . 考点二、同角三角函数的关系(注意22sin cos 1αα+=,这是一个隐含条件)例2、(2011·全国卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π,3π2,tan α=2,则cos α=________.变式:若例题中条件变为“若sin θ=-45,tan θ>0”,则cos θ=________.练:若cos 2sin 5,αα+=-则tan α=( )(A )21 (B )2 (C )21- (D )2- 例3、已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5,则sin 2α-sin αcos α的值是 ( )A.25 B .-25C .-2D .2练习1.若tan α=2,则2sin α-cos αsin α+2cos α的值为 ( )A .0 B.34 C .1 D.54练习2.(2011·杭州师大附中月考)如果f (tan x )=sin 2x -5sin x cos x ,那么f (5)=________. 巩固练习:1、已知扇形的周长是6 cm ,面积是2 cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是( )A .1或4B .1C .4D .82、已知1+tan π+α1+tan 2π-α=3+22,求cos 2(π-α)+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2+α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α+2sin 2(α-π)的值.3、已知函数2()322sin f x x x =-.(Ⅰ)若点(1,3)P -在角α的终边上,求()f α的值; (Ⅱ)若[,]63x ππ∈-,求()f x 的值域.三角函数复习专题(二)sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 值域最值周期性 奇偶性单调性对称性函 数 性 质题型一:三角函数的定义域、值域例1.(2012·珠海模拟)函数y =lg(2sin x -1)+1-2cos x 的定义域为_ 练习1.函数y =tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x 的定义域是 ( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π4,x ∈RB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠-π4,x ∈R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π+π4,k ∈Z ,x ∈R D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π+3π4,k ∈Z ,x ∈R 例2 (2010·江西高考)函数y =sin 2x +sin x -1的值域为( ) A .[-1,1] B .[-54,-1] C .[-54,1] D .[-1,54]变式:若例2中函数变为“y =2cos 2x +5sin x -4”试求值域. 练习2. y =2-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4的最大值为________.此时x =________.练习3.(2012·湛江)函数y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6<x <π6的值域为____ ____.题型二:三角函数的单调性:注意区分下列两种形式的单调增区间不同(1)y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4; (2)y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-2x .例3 (2011·全国卷)设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,则 ( )A .y =f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2单调递增,其图象关于直线x =π4对称B .y =f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2单调递增,其图象关于直线x =π2对称C .y =f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2单调递减,其图象关于直线x =π4对称D .y =f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2单调递减,其图象关于直线x =π2对称练习4.函数y =|sin x |的一个单调增区间是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π,3π2D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2,2π 练习5.(2012·华南师大附中模拟)已知函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2x ,求:(1)函数的周期; (2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间.题型三:三角函数的周期性和奇偶性例4.(2010湖北高考)函数f (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-π4,x ∈R 的最小正周期为 ( )A.π2B .πC .2πD .4π练习6.下列函数中,周期为π,且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2上为减函数的是 ( )A .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2B .y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2C .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2D .y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π2练习7. (2011·北京高考)已知函数f (x )=4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6-1.(1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π4上的最大值和最小值.题型四:利用图像解题例5.(1)设2sin7a π=,2cos 7b π=,2tan 7c π=,则( ) A .a b c << B .a c b << C .b c a << D .b a c << (2).函数y =-x ·cos x 的部分图象是( )练习8.在(0,2π)内,使sin x >c os x 成立的x 取值范围为( )A .(4π,2π)∪(π,45π) B .(4π,π) C .(4π,45π) D .(4π,π)∪(45π,23π) 练习9.函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )yx π2- π2Oyx π2-π2Oyx π2-π2Oyxπ2-π2OA .B .C .D .三角函数复习专题(三)1、函数B x A y ++=)sin(ϕω),(其中00>>ωA(1).最大值是 ,最小值是 ,周期是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 ; y =A sin(ωx +φ)+B 的图象有无穷多条对称轴,可由方程 (k ∈Z)解出x 的值就是对称轴;它还有无穷多个对称中心,它们是图象与x 轴的交点,可由 (k ∈Z),解得x =k π-φω(k ∈Z)的值作为对称中心横坐标,即其对称中心为(k π-φω,0)(k ∈Z). (2).相邻两对称轴间的距离为T2,相邻两对称中心间的距离也为T2.(3).由y =sin x 的图象变换出y =sin(ωx +ϕ)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。
三角函数典型例题
三角函数典型例题三角函数是数学中重要的概念之一,它在几何学中广泛应用,也是解决各种数学问题的基础。
下面我将列举几个典型的三角函数例题,并提供相关参考内容供大家参考。
例题1:“已知一角的正弦值为0.6,求这个角的余弦值。
”解析:首先,根据三角函数的定义,正弦值是指在直角三角形中,斜边与对应的角的比值。
即sin(θ) = 对边/斜边。
所以,已知sin(θ) = 0.6,可以设斜边为x,对边为0.6x。
根据勾股定理,可以得到斜边的长度。
然后,根据余弦值的定义,余弦值是指在直角三角形中,邻边与斜边的比值。
即cos(θ) = 邻边/斜边。
所以,余弦值为cos(θ) = 邻边/x = 邻边/(根号(x^2 - (0.6x)^2))。
根据已知条件sin(θ) = 0.6和cos(θ) = 邻边/(根号(x^2 -(0.6x)^2)),可以解方程得到余弦值。
参考内容:公式1:三角函数正弦定义——在直角三角形中,某一锐角的正弦值是指斜边与对边的比值。
即sin(θ) = 对边/斜边。
公式2:勾股定理——在直角三角形中,直角边的平方之和等于斜边的平方。
即a^2 + b^2 = c^2。
公式3:三角函数余弦定义——在直角三角形中,某一锐角的余弦值是指斜边与邻边的比值。
即cos(θ) = 邻边/斜边。
例题2:“已知一角的正切值为1.2,求这个角的正弦和余弦值。
”解析:正切值是指在直角三角形中,对边与邻边的比值。
即tan(θ) = 对边/邻边。
所以,已知tan(θ) = 1.2,可以设对边为1.2x,邻边为x。
根据勾股定理,可以得到斜边的长度。
然后,根据正弦值和余弦值的定义,正弦值是指在直角三角形中,对边与斜边的比值;余弦值是指在直角三角形中,邻边与斜边的比值。
即sin(θ) = 对边/斜边 = 1.2x/根号(x^2 + (1.2x)^2);cos(θ) = 邻边/斜边 = x/根号(x^2 + (1.2x)^2)。
根据已知条件tan(θ) = 1.2和sin(θ) = 1.2x/根号(x^2 + (1.2x)^2)及cos(θ) = x/根号(x^2 + (1.2x)^2),可以解方程得到正弦值和余弦值。
2023届高考数学《三角函数与解三角形》典型例题讲解
2023届高考数学《三角函数与解三角形》典型例题讲解【典型例题】例1.(2022·全国·高三校联考阶段练习)已知函数2()cos cos )sin f x x x x x =+−.(1)求函数f (x )的单调递增区间和最小正周期;(2)若当ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,关于x 的不等式. (),f x m ≥求实数m 的取值范围. 请选择①恒成立,②有解,两条件中的一个,补全问题(2),并求解.注意:如果选择①和②两个条件解答,以解答过程中书写在前面的情况计分.【解析】(1)222()cos cos )sin cos cos sin f x x x x x x x x x =+−=+−π2cos22sin(2)6x x x +=+. 所以函数()f x 的最小正周期πT =. 由πππ2π22π,Z 262k x k k −+++∈剟,解得ππππ,Z 36k x k k −++∈剟. 所以函数()f x 的单调增区间为ππ[π,π],Z 36k k k −++∈,(2)若选择①由题意可知,不等式()f x m …恒成立,即min ()m f x …. 因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以ππ7π2366x +剟. 故当π7π266x +=,即π2x =时,()f x 取得最小值,且最小值为1π2f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭. 所以1m −…,实数m 的取值范围为(],1−∞−.若选择②由题意可知,不等式()f x m …有解,即max ()m f x …. 因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以ππ7π2366x +剟.故当ππ262x +=,即π6x =时,()f x 取得最大值,且最大值为π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以2m …,实数m 的取值范围(],2−∞.例2.(2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边,若ABC 同时满足下列四个条件中的三个:①a 2b =;③sin sin sin ++=−B C a c A b c ;④21cos sin sin 24−⎛⎫−= ⎪⎝⎭B C B C . (1)满足有解三角形的序号组合有哪些?(2)请在(1)所有组合中任选一组,求对应ABC 的面积.【解析】(1)对于③,()22212π,0,223b c a c a c b B B a b c ac π+++−=⇒=−∈∴=−; 对于④,()()1cos 11sin sin cos 2sin sin 242B C B C B C B C +−−=⇒−−=−, 即()1cos 2B C +=−,且π,0,,πA B C A B C ++=<<,则π3A =,故③,④不能同时存在,则满足有解三角形的序号组合为①②③,①②④.(2)选①②③:2π2,3a b B ===时, 由余弦定理:22221cos22a c b B ac +−=⇒−=整理得:210c −=且0c >,则c =,ABC ∴的面积为31sin 28ABC S ac B ==.选①②④:π2,3a b A ===时, 由余弦定理:2222143cos 224b c a c A bc c+−+−=⇒=, 整理得:2210c c −+=,则1c =,ABC ∴的面积1sin 2ABC S bc A ==. 例3.(2022春·浙江·高二期中)在①(sin sin )()(sin sin )c A C a b A B −=−+,②2cos 2b A a c +=,222sin B a c b =+−三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.(1)求角B 的大小; (2)如图所示,当sin sin A C +取得最大值时,若在ABC 所在平面内取一点D (D 与B 在AC 两侧),使得线段2,1DC DA ==,求BCD △面积的最大值.【解析】(1)若选①(sin sin )()(sin sin )c A C a b A B −=−+,由正弦定理得,()()()c a c a b a b −=−+,整理得222a c b ac +−=, 所以2221cos 222a cb ac B ac ac +−===,又0πB <<,所以π3B =; 若选②2cos 2b A a c +=, 由余弦定理得222222b c a b a c bc+−+=,化简得222a c b ac +−= 所以2221cos 222a cb ac B ac ac +−===,又0πB <<,所以π3B =;222sin B a c b =+−,sin 2cos B ac B =, 化简得tan B 0πB <<,所以π3B =;(2)由(1)得2π3A C +=,故2π03A <<,所以2π3πsin sin sin sin sin 326A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+−==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由ππ5π666A <+<,所以当ππ62A +=即π3A =时,sin sin A C + 令,ACD ADC θα∠=∠=,AB AC BC a ===, 在ACD 中由正弦定理可得,1sin sin a αθ=,所以sin sin a αθ=, 由余弦定理可得22221221cos 54cos a αα=+−⨯⨯⨯=−,所以()2222222cos 1sin sin a a a a θθθ=−=−()22254cos sin cos 4cos 42cos ααααα=−−=−+=−, 因为1,2DA DC ==,可得π02θ<<,所以cos 2cos a θα=−,1π12sin cos sin 232BCD S a a θθθ⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭)1π2cos sin sin 23ααα⎛⎫=−+=− ⎪⎝⎭ 当且仅当ππ=32α−即5π=6α时,等号成立, 所以BCD △.本课结束。
高中三角函数典型例题(教用)
【典型例题】:1、已知2tan =x ,求x x cos ,sin 的值.解:因为2cos sin tan ==xxx ,又1cos sin 22=+a a , 联立得⎩⎨⎧=+=,1cos sin cos 2sin 22x x xx解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x2、求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(οοοοοο----的值。
解:原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-=.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=οοοοοο3、若,2cos sin cos sin =+-xx xx ,求x x cos sin 的值.解:法一:因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-得到x x cos 3sin -=,又1cos sin 22=+a a ,联立方程组,解得,,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x所以⋅-=103cos sin x x 法二:因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-,所以22)cos (sin 4)cos (sin x x x x +=-,所以x x x x cos sin 84cos sin 21+=-,所以有⋅-=103cos sin x x 4、求证:x x x x 2222sin tan sin tan -=。
专题01 三角函数的图象与综合应用(精讲精练)(原卷版)
专题01 三角函数的图象与综合应用【命题规律】三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:1、三角函数的图象,涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查;2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点,常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查,如果单独命题,多用选择、填空题中呈现,难度较低;如果三角恒等变换作为工具,将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题,多以解答题为主,中等难度.【核心考点目录】核心考点一:齐次化模型 核心考点二:辅助角与最值问题 核心考点三:整体代换与二次函数模型 核心考点四:绝对值与三角函数综合模型 核心考点五:ω的取值与范围问题 核心考点六:三角函数的综合性质【真题回归】1.(2022·全国·高考真题)记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T .若23T ππ<<,且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .1B .32C .52D .32.(2022·全国·高考真题(理))设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是( )A .513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B .519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .138,63⎛⎤⎥⎝⎦D .1319,66⎛⎤⎥⎝⎦3.(2022·全国·高考真题)若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭,则( )A .()tan 1αβ-=B .()tan 1αβ+=C .()tan 1αβ-=-D .()tan 1αβ+=-4.(2022·全国·高考真题(文))将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ,若C 关于y 轴对称,则ω的最小值是( )A .16B .14C .13D .125.(多选题)(2022·全国·高考真题)已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则( )A .()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B .()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭有两个极值点 C .直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D .直线y x =-是曲线()y f x =的切线 6.(2022·全国·高考真题(理))记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ,若()f T =,9x π=为()f x 的零点,则ω的最小值为____________. 【方法技巧与总结】1、三角函数图象的变换(1)将sin y x =的图象变换为sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象主要有如下两种方法:(2)平移变换函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”,但是左右平移变换只是针对x 作的变换; (3)伸缩变换①沿x 轴伸缩时,横坐标x 伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>为原来的1ω(倍)(纵坐标y 不变);②沿y 轴伸缩时,纵坐标y 伸长(1)A >或缩短(01)A <<为原来的A (倍)(横坐标x 不变). (4)注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移. 2、三角函数的单调性 (1)三角函数的单调区间sin y x =的单调递增区间是2,2()22k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ,单调递减区间是32,2()22k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ; cos y x =的单调递增区间是[2,2]()k k k π-ππ∈Z ,单调递减区间是[2,2]()k k k ππ+π∈Z ;tan y x =的单调递增区间是,()22k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z .(2)三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合|sin |y x =,sin ||y x =, |cos |y x =,cos ||cos y x x ==的图象进行判断会很快得到正确答案.3、求三角函数最值的基本思路(1)将问题化为sin()y A x B ωϕ=++的形式,结合三角函数的图象和性质求解. (2)将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式,借助二次函数的图象和性质求解. (3)利用导数判断单调性从而求解. 4、对称性及周期性常用结论 (1)对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.(2)与三角函数的奇偶性相关的结论若sin()y A x ωϕ=+为偶函数,则有()2k k ϕπ=π+∈Z ;若为奇函数,则有()k k ϕ=π∈Z .若cos()y A x ωϕ=+为偶函数,则有()k k ϕ=π∈Z ;若为奇函数,则有()2k k ϕπ=π+∈Z . 若tan()y A x ωϕ=+为奇函数,则有()k k ϕ=π∈Z . 5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法(1)子集法:求出原函数相应的单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解. (2)反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.(3)周期性:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14个周期列不等式(组)求解.【核心考点】核心考点一:齐次化模型【规律方法】齐次分式:分子分母的正余弦次数相同,例如:αααα++sin cos sin cos a b c d (一次显型齐次化)或者αααααααααα++⇒+222222sin cos +sin cos sin cos +sin cos sin cos a b c a b c (二次隐型齐次化)这种类型题,分子分母同除以αcos (一次显型)或者α2cos (二次隐型),构造成αtan 的代数式,这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.【典型例题】例1.(2022·广东揭阳·高三阶段练习)若tan 2θ=-,则()sin 1sin 24θθπθ-=⎛⎫- ⎪⎝⎭( )A .25B .25-C .65D .65-例2.(2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习)已知tan 3α=,则3cos cos πcos 2ααα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭( )A .34-B .34C .310-D .310例3.(2022·湖南·高三阶段练习)已知曲线y =()1,4处的切线的倾斜角为2α,则1sin cos π14ααα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭( ) AB.C .12D .1例4.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)若ππ2θ<<,tan 3θ=-,=( ) A .35 B .54-C .45-D .45核心考点二:辅助角与最值问题【规律方法】第一类:一次辅助角:αα±sin cos a b αϕ±).(其中ϕ=tan b a)第二类:二次辅助角()ωωω±>2sin cos cos ,0a x x b x a bωωω±=2sin cos cos a x x b x ()()ωωωϕϕ±+=±±=sin2cos212(tan )222a b b b x x x a【典型例题】例5.(2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习(理))已知函数()41sin cos 55f x x x =+,当x β=时,()f x 取得最大值,则cos β=( ) ABC .47D .17例6.(2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习(理))若2,43⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ,则函数2()3sin cos =f x x x x 的值域为( )A.⎡⎢⎣⎦B.⎡⎢⎣⎦C.D.[0,3+例7.(2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习(文))若π0,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则函数()23sin cos f x x x x=的值域为( )A.⎡⎢⎣⎦B.⎡⎢⎣⎦C.⎡⎣ D.0,3⎡⎣例8.(2022·全国·高三专题练习)函数()222sin f x x x =+,若()()123f x f x ⋅=-,则122x x -的最小值是( ) A .23πB .4πC .3πD .6π例9.(2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习)已知关于x 的方程sin cos 2a x b x +=有实数解,则()()2211a b -+-最小值是______.例10.(2022·全国·高三专题练习)函数()44sin sin cos 44xf x x x =+的最小值为___________. 例11.(2022·全国·高三专题练习)已知2251x y -+=,,x y R ∈,则22x y +的最小值为____.核心考点三:整体代换与二次函数模型【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型,我们将其分为三类,第一类是最简单的,就是sin x ,cos x 与cos2x 之间的二次函数关系,第二类则有一点隐藏,就是±sin cos x x 与sin cos x x 之间的关系,第三类则是+sin cos a x b x 与sin2x 之间的关系.【典型例题】例12.(2022·全国·高三专题练习)函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________. 例13.(2022·全国·高考真题(文))函数cos 22sin y x x =+的最大值为________.例14.(2022·全国·高考真题(理))函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是_________. 例15.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++,则()f x 的最大值为___________.例16.(2022·全国·高三专题练习)若x 是三角形的最小内角,则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是 A.12+B.12-+C .1 D核心考点四:绝对值与三角函数综合模型 【规律方法】关于=sin y x 和=sin y x ,如图,=sin y x 将=sin y x 图像中x 轴上方部分保留,x 轴下方部分沿着x 轴翻上去后得到,故=sin y x 是最小正周期为π的函数,同理ωφ=+sin()y A x 是最小正周期为πω的函数;=sin y x 是将=sin y x 图像中y 轴右边的部分留下,左边的删除,再将y 轴右边图像作对称至左边,故=sin y x 不是周期函数.我们可以这样来表示:ππππππ⎧∈+⎪=⎨-∈-⎪⎩,,sin ([22])sin sin ((22))x x k k x x x k k ,⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩sin (0)sin sin (0)x x x x x 【典型例题】例17.(2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习(理))已知函数()sin cos f x x x =+,则下列说法正确的是( ) A .()f x 的最小正周期为πB .()f xC .()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭D .()f x 5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解 例18.(2022·全国·高三专题练习)已知()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ,给出下述四个结论: ①()y f x =是偶函数; ②()y f x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数; ③()y f x =在(,2)ππ上为增函数; ④()y f x =的最大值为 其中所有正确结论的编号是( )A .①②④B .①③④C .①②③D .①④例19.(2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习)已知函数()cos ||2|sin |f x x x =-,以下结论正确的是( )A .π是()f x 的一个周期B .函数在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C .函数()f x 的值域为[D .函数()f x 在[2π,2π]-内有6个零点例20.(多选题)(2022·安徽·砀山中学高三阶段练习)已知函数()sin cos 336x x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,则( ) A .()f x 的最小正周期为3π B .()f xC .()f x 在[5,7]ππ上单调递减D .()f x 在[4,4]ππ-上有4个零点例21.(2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习)函数()sin sin cos cos f x x x x x =+++的最大值为______.例22.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则 ①()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1; ②()f x 的最小正周期是2π;③直线()2k x k Z π=∈是()fx 图象的对称轴;④直线2y x π=与()fx 的图象恰有2个公共点.其中说法正确的是________________.例23.(2022·陕西·长安一中高一期末)关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论: ①()f x 是偶函数;②()f x 在区间()2,π上递增; ③()f x 在[]π,π-上有4个零点; ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号__________.例24.(2022·云南省玉溪第一中学高二期中(文))设函数()cos 2sin f x x x =+,下述四个结论正确结论的编号是__________.①()f x 是偶函数; ②()f x 的最小正周期为π; ③()f x 的最小值为0; ④()f x 在[]0,2π上有3个零点.核心考点五:ω的取值与范围问题【规律方法】1、()sin()f x A x ωϕ=+在()sin()f x A x ωϕ=+区间()a b ,内没有零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+<+<+≤≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤-≥≤-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 同理,()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ,内没有零点 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+<+<+<≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+<-><-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 2、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ,内有3个零点⎪⎩⎪⎨⎧+≤+<++<+≤≤-<⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k Ta b T 432(1)(3)(24)T b a k T k a k k b πϕπϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒≤<⎨⎪⎪+<-≤-+-<≤⎪⎩同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ,内有2个零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≤++≤+<<-≤⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 32232(2))2(332k TT b k a k b a k πϕππϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+≤-<-+-≤<⎪⎩ 3、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ,内有n 个零点⇒(()(+1)1)(1)22n Tn T b a k k a k n k n b πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-⎧⎪⎪-+-⎪≤<⎨⎪⎪+-+-<≤⎩<⎪同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ,内有n 个零点(1)(1()()22+1)n T n T b k k a k n k n b a πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-<⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+-+-≤<⎪⎩4、已知一条对称轴和一个对称中心,由于对称轴和对称中心的水平距离为214n T +,则21(21)42n n T b a πω++==-. 5、已知单调区间(,)a b ,则2T a b -≤.【典型例题】例25.(2022·河南·模拟预测(文))已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭,3x π=-为()f x 的一个零点,3x π=为()y f x =图象的一条对称轴,且()f x 在,20216ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调,则ω的最小值为______. 例26.(2022·全国·高三专题练习)若函数()()cos 0f x x ωω=>在区间()2,3ππ内既没有最大值1,也没有最小值1-,则ω的取值范围是___________.例27.(2022·上海·高三专题练习)已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-(其中,a ω为常数,且0ω>)有且仅有3个零点,则ω的最小值是_________.例28.(2022·宁夏·平罗中学高三期中(理))已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若()f x 在()2ππ,内单调且有一个零点,则ω的最大值是______________.例29.(2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习)若函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,则ω的最大值为________.例30.(2022·全国·高三阶段练习(理))已知函数π()2cos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ,()f x 的一个极值点为πx=.若π2π33T <<,则ω的最大值是_____.例31.(2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习(文))将函数()sin2cos 222x x x f x ωωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(0ω>)的图象向左平移π3个单位长度,得到曲线C .若C 关于y 轴对称,则ω的最小值是______.例32.(2022·北京师大附中高三阶段练习)记函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕ=+><<π的最小正周期为T ,若()f T =π12x =为()f x 的零点,则ω的最小值为_______. 例33.(2022·云南·高三阶段练习)已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,若π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心,()f x 在区间5π7π,1818⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值点无最小值点,且5π7π1818f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,记满足条件的ω的取值集合为M ,则=M ______.例34.(2022·四川成都·模拟预测(理))已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若03f π⎛⎫=⎪⎝⎭,且()f x 在5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值,没有最小值,则ω的最大值为______. 例35.(2022·全国·高三专题练习(理))设函数()sin()f x x ωϕ=+,其中0ω>.且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则ω的最小值为________.例36.(2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试)已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,则ω=______.例37.(多选题)(2022·山西·高三阶段练习)已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,若()f x 在区间π,π3⎛⎤⎥⎝⎦内没有零点,则ω的值可以是( )A .18B .12C .76D .32核心考点六:三角函数的综合性质 【典型例题】例38.(多选题)(2022·山东德州·高三期中)已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件:②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为π; ③该函数图象关于5,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 那么下列说法正确的是( ) A .ϕ的值可唯一确定B .函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数 C .当52()6x k k ππ=-∈Z 时,函数()f x 取得最小值 D .函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增例39.(多选题)(2022·湖北襄阳·高三期中)函数π()sin(2)3f x x =-的图象向左平移π4个单位长度,得到函数()g x 的图象,则下列结论正确的有( ) A .直线5π6x =-是()g x 图象的一条对称轴B .()g x 在ππ(,)26-上单调递增C .若()g x 在(0,)α上恰有4个零点,则23π29π(,]1212α∈ D .()g x 在ππ[,]42上的最大值为12例40.(多选题)(2022·江苏南通·高三期中)已知函数()f x ,()g x 的定义域均为R ,它们的导函数分别为()f x ',()g x '.若()1y f x =+是奇函数,()()cos g x x π'=,()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ,()22,x y ,…,(),m m x y ,则( )A .()f x 的图象关于点()1,0-对称B .()f x '的图象关于直线1x =对称C .()g x 的图象关于直线12x =对称D .()1mi i i x y m =+=∑例41.(多选题)(2022·山东菏泽·高三期中)已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( ).A .π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B .()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C .()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上有且仅有2个零点 D .将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后,可得到一个奇函数的图象 例42.(多选题)(2022·河北·模拟预测)已知函数π()sin()(0,0π),()04f x x f ωϕωϕ=+><<=,且对任意x ∈R均有π()(),()2f x f f x 在π[0,]2上单调递减,则下列说法正确的有( ) A .函数()f x 为偶函数B .函数()f x 的最小正周期为2πC .若1()([0,2π])3f x x =∈的根为(1i x i =,2,⋯,)n ,则14πn i i x ==∑ D .若(2)()f x f x >在(,)m n 上恒成立,则n m -的最大值为π3例43.(多选题)(2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中)已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图(1)所示,函数()()1111()cos 0,0,||πg x A x A ωαωα=+>><的部分图象如图(2)所示,下列说法正确的是( )A .函数()y f x =的周期为2πB .函数()y f x =的图象关于直线1912x π=对称 C .函数()1y f x =-在区间[0,2]π上有4个零点 D .将函数()y f x =的图像向左平移23π可使其图像与()y g x =图像重合例44.(多选题)(2022·福建·厦门外国语学校高三期中)将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上所有的点向右平移π6个单位长度,得到函数()g x 的图像,则下列说法正确的是( ) A .()g x 的最小正周期为π B .()g x 图像的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭C .()g x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D .()g x 的图像与函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像重合例45.(多选题)(2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中)已知()44cossin 22x xf x =+,则下列说法错误的是( ) A .函数()f x 的最小正周期为2π B .函数4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C .函数()f x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为5,18⎛⎫⎪⎝⎭D .函数()34y f x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数为8【新题速递】一、单选题1.(2022·河北·张家口市第一中学高三期中)函数()()πtan 0,02f x x ωϕϕω⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别交于点π,06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭,则方程()[]πsin 2,0,π3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为( ) A .5π12B .5π6 C .π2D .π2.(2022·北京市第十一中学高三阶段练习)已知函数()2π2cos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则( )A .()f x 是奇函数B .函数()f x 的最小正周期为4πC .曲线()y f x =关于π2x =对称D .()()12f f >3.(2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中(理))已知函数()()sin f x x ωϕ=+(0ω>,π<ϕ),其图象相邻两条对称轴的距离为π2,且对任意x ∈R ,都有()7π12f x f ⎛⎫⎪⎝⎭,则在下列区间中,()f x 为单调递减函数的是( ) A .ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.(2022·吉林长春·模拟预测)定义域为[]0,π的函数())()1cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>,其值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则ω的取值范围是( ) A .30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B .3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .10,3⎛⎤⎥⎝⎦D .12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.(2022·江苏南通·高三期中)已知112tan sin =-αα,则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A .7-B .17-C .19D .436.(2022·河南·高三阶段练习(理))设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>,已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论中,正确结论的编号是( ) ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在05π⎛⎫⎪⎝⎭,单调递增④ω的取值范围是1229510⎡⎫⎪⎢⎣⎭, A .①④B .②③C .①②③D .①③④7.(2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习)下列关于函数()4cos cos 3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的命题,正确的有( )个(1)它的最小正周期是π2(2)π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是它的一个对称中心 (3)π6x =是它的一条对称轴 (4)它在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上的值域为[]2,3A .0B .1C .2D .38.(2022·宁夏六盘山高级中学高三期中(理))已知函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0,2πωϕ><),()30,88f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立,且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调,给出下列命题①()f x 是偶函数;②()304f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭;③ω是奇数;④ω的最大值为3;其中正确的命题有( )A .①②③B .①②④C .②③④D .①③④二、多选题9.(2022·重庆八中高三阶段练习)已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<,曲线()y f x =关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称,则( )A .将该函数向左平移π6个单位得到一个奇函数B .()f x 在3π7π,46⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C .()f x 在π7π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上只有一个极值点 D .曲线()y f x '=关于直线π6x =对称10.(2022·福建·泉州五中高三期中)已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A .直线7π6x =是()fx 的对称轴B .点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心 C .()f x 在区间π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D .()f x 的图象向右平移7π12个单位得cos 2y x =的图象11.(2022·山东青岛·高三期中)已知函数i π()sin 23s n 2cos π66f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则( )A .()f x 的最大值为2B .π3x =是()f x 的图象的一条对称轴C .()f x 在ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 D .()f x 的图象关于π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称12.(2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习)设()()sin f x x ωϕ=+(其中ω为正整数,π2<ϕ),且()f x 的一条对称轴为π12x =-;若当0ϕ=时,函数()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增且在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调,则下列结论正确的是( ) A .2ω=B .()f x 的一个对称中心为5π,06⎛⎫⎪⎝⎭C .函数()f x 向右平移π12个单位后图象关于y 轴对称 D .将()f x 的图象的横坐标变为原来的一半,得到()g x 的图象,则()g x 的单调递增区间为()ππ5ππ,Z 242242k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭三、填空题13.(2022·甘肃·兰州市外国语高级中学高三阶段练习(文))已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的相邻对称轴之间的距离为π2,且()f x 图象经过点π,03P ⎛⎫⎪⎝⎭,则下列说法正确的是___________.(写出所有正确的题号)A .该函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;B .函数()f x 的一个对称中心为2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭C .函数y =()π5ππ,π2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z D .将函数()y f x =的图象向右平移(0)b b >个单位,得到函数()g x 的图象,且函数()g x 的图象关于原点对称,则b 的最小值为π3.14.(2022·四川省遂宁市教育局模拟预测(文))正割(Secant ,sec )是三角函数的一种,正割的数学符号为sec ,出自英文secant .该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用,正割与余弦互为倒数,即1sec cos x x=.若函数()sec sin f x x x x =⋅-,则下列结论正确的有__ ①函数()f x 的图像关于直线x π=对称;②函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行,且与x 轴的距离为π; ③函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增; ④()f x 为奇函数,且()f x 有最大值,无最小值.15.(2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习(理))若1sin cos 2θθ=,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ-=+______.16.(2022·吉林·东北师大附中模拟预测)已知函数()sin ||f x x x =,若关于x 的方程()f x m =在4π,2π3⎛⎤- ⎥⎝⎦上有三个不同的实根,则实数m 的取值范围是_________. 四、解答题17.(2022·江西·丰城九中高三开学考试(理))已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间;(2)若函数()()g x f x k =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点,求实数k 的取值范围.18.(2022·江苏盐城·高三阶段练习)已知函数()22cos 2sin cos sin (04)f x x x x x ωωωωω=+-<<,且_____.从以下①②③三个条件中任选一个,补充在上面条件中,并回答问题:①过点;8π⎛⎝②函数()f x 图象与直线0y 的两个相邻交点之间的距离为;π③函数()f x 图象中相邻的两条对称轴之间的距离为2π.(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)设函数()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则是否存在实数m ,使得对于任意1[0,]2x π∈,存在2[0,]2x π∈,()()21m g x f x =-成立?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.19.(2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习)已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若函数()()32g x f x =-在区间(0,π)上恰有2个零点()1212,x x x x <,求()12cos x x -的值.20.(2022·福建省诏安县桥东中学高三期中)已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心;(2)先将()f x 的图象横坐标不变,纵坐标缩短到原来的12倍,得到函数()g x 图象,再将()g x 图象右平移π12个单位后得到()h x 的图象,求函数()y h x =在π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.21.(2022·青海·西宁市海湖中学高三期中)某同学用“五点法”画函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:()f x 的解析式;(2)将()y f x =图象上所有点向左平移(0)θθ>个单位长度,得到()y g x =的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭,求θ的最小值.22.(2022·北京·北大附中高三阶段练习)已知函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图像如下图所示.(1)直接写出()f x 的解析式;(2)若对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在[]0,t m ∈,满足()()f s f t =-,求实数m 的取值范围.。
高中数学:《三角函数》典型例题
⾼中数学:《三⾓函数》典型例题知识结构:两⾓和与差的三⾓函数例1、已知,求的范围。
解:设=,(A、B为待定的系数),则=⽐较系数∴=从⽽可得:例2、已知的最值。
解:∵∴-,∴∵∴即∴y=当sina∈[,1]时函数y递增,∴当sina=时 y min=;当sina∈时,函数y递减,∴当sina=0时,ymin=例3、解:∵ A+B+C=π,三⾓函数的图象与性质例4、求函数的最⼩值解:∵∴当例5、已知函数f(x)=2a sin2x-2a sin x cos x+a+b-1,(a、b为常数,a<>),它的定义域为[0,],值域为[-3,1],试求a、b的值。
解:f(x)=2a sin2x-2a sin x cos x+a+b-1=a(1-cos2x)-a sin2x+a+b-1=-2a sin∵0≤x≤∴≤2x+≤∴∵a<>∴a≤-2a sin-2a∴3a+b-1≤-2a sin+2a+b-1≤b-1∵值域为[-3,1] ∴∴例6、已知函数的图象在y轴上的截距为1,它在y轴右侧的第⼀个最⼤值点和最⼩值点分别为()和().(1)求的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),然后再将所得图象向x轴正⽅向平移个单位,得到函数y=g(x)的图象.写出函数y=g(x)的解析式并⽤列表作图的⽅法画出y=g(x)在长度为⼀个周期的闭区间上的图象.解:(1)由已知,易得A=2.,解得.把(0,1)代⼊解析式,得. ⼜,解得. ∴为所求.(2)压缩后的函数解析式为再平移,得020-20例7、在ΔA BC中,求的最⼩值.并指出取最⼩值时ΔA BC的形状,并说明理由.解:令∵在ΔA BC中,,∴⼜.∴当时,y取得最⼩值;由知A=C,由知,B=60°;故A=B=C=60°,即y取最⼩值时,ΔA BC的形状为等边三⾓形.例8、如下图,某地⼀天从6时到14时的温度变化曲线近似满⾜函数:y=A sin(ωx+)+b;(1)求这段时间的最⼤温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.解:(1)由图⽰,这段时间的最⼤温差是30-10=20(℃);(2)图中从6时到14时的图象是函数y=A sin(ωx+)+b的半个周期的图象.∴=14-6,解得ω=,由图⽰A=(30-10)=10,b=(30+10)=20,这时y=10sin(x+)+20,将x=6,y=10代⼊上式可取=π.综上所求的解析式为y=10sin(x+π)+20,x∈[6,14].例9、已知函数(,且均为常数),(1)求函数的最⼩正周期;(2)若在区间上单调递增,且恰好能够取到的最⼩值2,试求的值.解:研究三⾓函数的性质(如周期、最值、单调性、奇偶性等)时,⾸先应该对所给的函数关系式进⾏化简,最好化为⼀个⾓(形如)、⼀种三⾓函数的形式.(1)(其中由下⾯的两式所确定:)所以,函数的最⼩正周期为.(2)由(1)可知:的最⼩值为,所以,.另外,由在区间上单调递增,可知:在区间上的最⼩值为,所以,=.解之得:例10、设,试⽐较=与=的⼤⼩关系.解:观察所给的两个函数,它们均是两个三⾓函数的复合函数,因此,我们不难想到:它们可能仍然具备三⾓函数的某些性质,如单调性、周期性、奇偶性等.初步判断便可以确定:、都是周期函数,且最⼩正周期分别为、. 所以,只需考虑的情形.另外,由于为偶函数,为奇函数,所以,很⾃然的可以联想到:能否把需考虑的的范围继续缩⼩?事实上,当时,>0,恒成⽴,此时,>.下⾯,我们只需考虑的情形.如果我们把看作是关于的余弦函数,把看作是关于的正弦函数,那么这两个函数既不同名,⾃变量也不相同,为了能进⾏⽐较,我们可以作如下恒等变换,使之成为同名函数,以期利⽤三⾓函数的单调性.⾄此为⽌,可以看出:由于和同属于余弦函数的⼀个单调区间,(即,),所以,只需⽐较与的⼤⼩即可.事实上,()-=-=所以,利⽤余弦函数在上单调递减,可得:. 也即综上,.。
三角函数典型例题分析
三角函数典型例题分析目录0°~360°间的三角函数.典型例题分析 (3)弧度制.典型例题分析 (3)任意角的三角函数.典型例题分析一 (5)任意角的三角函数.典型例题精析二 (7)同角三角函数的基本关系式.典型例题分析 ............................. 诱导公式.典型例题分析............................................. 用单位圆中的线段表示三角函数值.典型例题分析 ....................... 三角公式总表....................................................... 正弦函数、余弦函数的图象和性质.典型例题分析 (28)函数y=Asin(wx+j)的图象·典型例题分析............................... 正切函数、余切函数的图象和性质·典型例题分析 ....................... 已知三角函数值求角·典型例题分析 ................................... 全章小结........................................................... 高考真题选讲.......................................................0°~360°间的三角函数·典型例题分析例1已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a<0,0°≤α≤360°),求解α的四个三角函数.解如图2-2:∵x=3a,y=-4a,a<0例2求315°的四个三角函数.解如图2-3,在315°角的终边上取一点P(x,y)设OP=r,作PM垂直于x轴,垂足是M,可见∠POM=45°注:对于确定的角α,三角函数值的大小与P点在角α的终边上的位置无关,如在315°的角的终边上取点Q(1,-1),计算出的结果是一样的.弧度制·典型例题分析角度与弧度的换算要熟练掌握,见下表.例2将下列各角化成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,并确定其所在的象限。
微专题 三角函数的范围与最值(解析版)(1)
微专题三角函数的范围与最值【秒杀总结】一、三角函数f(x)=A sin(ωx+φ)中ω的大小及取值范围1.任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍,即k T2(k∈Z);2.任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍,即k T2(k∈Z);3.任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍,即T4+k T2(k∈Z);4.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内单调⇒b-a≤T2且kπ-π2≤aω+φ≤bω+φ≤kπ+π2(k∈Z)5.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内不单调⇒(a,b)内至少有一条对称轴,aω+φ≤kπ+π2≤bω+φ(k∈Z)6.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内没有零点⇒b-a≤T2且kπ≤aω+φ≤bω+φ≤(k+1)π(k∈Z)7.f(x)=A sin(ωx+φ)在区间(a,b)内有n个零点⇒(k-1)π≤aω+φ<kπ(k+n-1)π<bω+φ≤(k+n)π(k∈Z) .二、三角形范围与最值问题1.坐标法:把动点转为为轨迹方程2.几何法3.引入角度,将边转化为角的关系4.最值问题的求解,常用的方法有:(1)函数法;(2)导数法;(3)数形结合法;(4)基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.【典型例题】例1.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中,cos A=725,△ABC的内切圆的面积为16π,则边BC长度的最小值为( )A.16B.24C.25D.36【答案】A【解析】因为△ABC的内切圆的面积为16π,所以△ABC的内切圆半径为4.设△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.因为cos A=725,所以sin A=2425,所以tan A=247.因为S△ABC=12bc sin A=12(a+b+c)×4,所以bc=256(a+b+c).设内切圆与边AC切于点D,由tan A=247可求得tan A 2=34=4AD,则AD =163.又因为AD =b +c -a 2,所以b +c =323+a .所以bc =256323+2a =253163+a .又因为b +c ≥2bc ,所以323+a ≥2253163+a ,即323+a 2≥1003163+a ,整理得a 2-12a -64≥0.因为a >0,所以a ≥16,当且仅当b =c =403时,a 取得最小值.故选:A .例2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ),其中ω>0,|φ|≤π2,-π4为f (x )的零点:且f (x )≤f π4 恒成立,f (x )在-π12,π24区间上有最小值无最大值,则ω的最大值是( )A.11 B.13C.15D.17【答案】C【解析】由题意,x =π4是f (x )的一条对称轴,所以f π4 =±1,即π4ω+φ=k 1π+π2,k 1∈Z ①又f -π4 =0,所以-π4ω+φ=k 2π,k 2∈Z ②由①②,得ω=2k 1-k 2 +1,k 1,k 2∈Z 又f (x )在-π12,π24 区间上有最小值无最大值,所以T ≥π24--π12 =π8即2πω≥π8,解得ω≤16,要求ω最大,结合选项,先检验ω=15当ω=15时,由①得π4×15+φ=k 1π+π2,k 1∈Z ,即φ=k 1π-13π4,k 1∈Z ,又|φ|≤π2所以φ=-π4,此时f (x )=sin 15x -π4 ,当x ∈-π12,π24 时,15x -π4∈-3π2,3π8 ,当15x -π4=-π2即x =-π60时,f (x )取最小值,无最大值,满足题意.故选:C例3.(2023·高一课时练习)如图,直角ΔABC 的斜边BC 长为2,∠C =30°,且点B ,C 分别在x 轴,y 轴正半轴上滑动,点A 在线段BC 的右上方.设OA =xOB +yOC ,(x ,y ∈R ),记M =OA ⋅OC,N =x +y ,分别考查M ,N 的所有运算结果,则A.M 有最小值,N 有最大值B.M 有最大值,N 有最小值C.M 有最大值,N 有最大值D.M 有最小值,N 有最小值【答案】B【解析】依题意∠BCA =30∘,BC =2,∠A =90∘,所以AC =3,AB =1.设∠OCB =α,则∠ABx =α+30∘,0∘<α<90∘,所以A 3sin α+30∘ ,sin α+30∘,B 2sin α,0 ,C 0,2cos α ,所以M =OA ⋅OC =2cos αsin α+30∘ =sin 2α+30∘ +12,当2α+30∘=90∘,α=30∘时,M 取得最大值为1+12=32.OA =xOB +yOC ,所以x =3sin α+30∘ 2sin α,y =sin α+30∘2cos α,所以N =x +y =3sin α+30∘2sin α+sin α+30∘ 2cos α=1+32sin2α,当2α=90∘,α=45∘时,N 有最小值为1+32.故选B .例4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =a sin x +b cos x +cx 图象上存在两条互相垂直的切线,且a 2+b 2=1,则a +b +c 的最大值为( )A.23 B.22C.3D.2【答案】D【解析】由a 2+b 2=1,令a =sin θ,b =cos θ,由f x =a sin x +b cos x +cx ,得f x =a cos x -b sin x +c =sin θcos x -cos θsin x +c =sin θ-x +c ,所以c -1≤f x ≤c +1由题意可知,存在x 1,x 2,使得f (x 1)f (x 2)=-1,只需要c -1 c +1 =c 2-1 ≥1,即c 2-1≤-1,所以c 2≤0,c =0,a +b +c =a +b =sin θ+cos θ=2sin θ+π4≤2所以a +b +c 的最大值为2.故选:D .例5.(2023·全国·高三专题练习)已知m >0,函数f (x )=(x -2)ln (x +1),-1<x ≤m ,cos 3x +π4,m <x ≤π,恰有3个零点,则m 的取值范围是( )A.π12,5π12 ∪2,3π4B.π12,5π12 ∪2,3π4C.0,5π12 ∪2,3π4D.0,5π12 ∪2,3π4【答案】A【解析】设g x =(x -2)ln (x +1),h x =cos 3x +π4,求导g x =ln (x +1)+x -2x +1=ln (x +1)+1-3x +1由反比例函数及对数函数性质知g x 在-1,m ,m >0上单调递增,且g 12<0,g 1 >0,故gx 在12,1 内必有唯一零点x 0,当x ∈-1,x 0 时,g (x )<0,g x 单调递减;当x ∈x 0,m 时,g (x )>0,g x 单调递增;令g x =0,解得x =0或2,可作出函数g x 的图像,令h x =0,即3x +π4=π2+k π,k ∈Z ,在0,π 之间解得x =π12或5π12或3π4,作出图像如下图数形结合可得:π12,5π12∪2,3π4,故选:A例6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =cos ωx -π3(ω>0)在π6,π4 上单调递增,且当x ∈π4,π3 时,f x ≥0恒成立,则ω的取值范围为( )A.0,52 ∪223,172B.0,43 ∪8,172C.0,43 ∪8,283D.0,52 ∪223,8【答案】B【解析】由已知,函数fx =cos ωx -π3(ω>0)在π6,π4 上单调递增,所以2k 1π-π≤ωx -π3≤2k 1πk 1∈Z ,解得:2k 1πω-2π3ω≤x ≤2k 1πω+π3ωk 1∈Z ,由于π6,π4 ⊆2k 1πω-2π3ω,2k 1πω+π3ω k 1∈Z ,所以π6≥2k 1πω-2π3ωπ4≤2k 1πω+π3ω,解得:12k 1-4≤ω≤8k 1+43k 1∈Z ①又因为函数f x =cos ωx -π3(ω>0)在x ∈π4,π3上f x ≥0恒成立,所以2k 2π-π2≤ωx -π3≤2k 2π+π2k 2∈Z ,解得:2k 2πω-π6ω≤x ≤2k 2πω+5π6ωk 2∈Z ,由于π4,π3 ⊆2k 2πω-π6ω,2k 2πω+5π6ω k 2∈Z ,所以π4≥2k 2πω-π6ωπ3≤2k 2πω+5π6ω,解得:8k 2-23≤ω≤6k 2+52k 2∈Z ②又因为ω>0,当k 1=k 2=0时,由①②可知:ω>0-4≤ω≤43-23≤ω≤52,解得ω∈0,43;当k 1=k 2=1时,由①②可知:ω>08≤ω≤283223≤ω≤172,解得ω∈8,172.所以ω的取值范围为0,43 ∪8,172.故选:B .例7.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,若sin (A +C )=2S b 2-a2,则tan A +13tan (B -A )的取值范围为( )A.233,+∞ B.233,43C.233,43D.233,43【答案】C【解析】在△ABC 中,sin (A +C )=sin B ,S =12ac sin B ,故题干条件可化为b 2-a 2=ac ,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,故c =2a cos B +a ,又由正弦定理化简得:sin C =2sin A cos B +sin A =sin A cos B +cos A sin B ,整理得sin (B -A )=sin A ,故B -A =A 或B -A =π-A (舍去),得B =2A △ABC 为锐角三角形,故0<A <π20<2A <π20<π-3A <π2 ,解得π6<A <π4,故33<tan A <1tan A +13tan (B -A )=tan A +13tan A ∈233,43故选:C例8.(2023·上海·高三专题练习)在钝角△ABC 中,a ,b ,c 分别是△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边,点G 是△ABC 的重心,若AG ⊥BG ,则cos C 的取值范围是( )A.0,63B.45,63C.63,1D.45,1【答案】C【解析】延长CG 交AB 于D ,如下图所示:∵G 为△ABC 的重心,∴D 为AB 中点且CD =3DG ,∵AG ⊥BG ,∴DG =12AB ,∴CD =32AB =32c ;在△ADC 中,cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD=52c 2-b 232c 2=5c 2-2b 23c 2;在△BDC 中,cos ∠BDC =BD 2+CD 2-BC 22BD ⋅CD =52c 2-a 232c 2=5c 2-2a 23c 2;∵∠BDC +∠ADC =π,∴cos ∠BDC =-cos ∠ADC ,即5c 2-2a 23c 2=-5c 2-2b 23c 2,整理可得:a 2+b 2=5c 2>c 2,∴C 为锐角;设A 为钝角,则b 2+c 2<a 2,a 2+c 2>b 2,a >b ,∴a 2>b 2+a 2+b 25b 2<a 2+a 2+b 25,∴b a 2+15+15b a 2<1b a 2<1+15+15b a2,解得:b a 2<23,∵a >b >0,∴0<b a <63,由余弦定理得:cos C =a 2+b 2-c 22ab =25⋅a 2+b 2ab =25a b +b a >25×63+36 =63,又C 为锐角,∴63<cos C <1,即cos C 的取值范围为63,1.故选:C .例9.(2023·全国·高三专题练习)设锐角△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若A =π3,a =3,则b 2+c 2+bc 的取值范围为( )A.(1,9] B.(3,9]C.(5,9]D.(7,9]【答案】D 【解析】因为A =π3,a =3,由正弦定理可得asin A=332=2=b sin B =csin 2π3-B ,则有b =2sin B ,c =2sin 2π3-B ,由△ABC 的内角A ,B ,C 为锐角,可得0<B <π2,0<2π3-B <π2,,∴π6<B <π2⇒π6<2B -π6<5π6⇒12<sin 2B -π6 ≤1⇒2<4sin 2B -π6≤4, 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ⇒3=b 2+c 2-bc ,因此有b 2+c 2+bc =2bc +3=8sin B sin 2π3-B+3=43sin B cos B +4sin 2B +3=23sin2B -2cos2B +5=5+4sin 2B -π6∈7,9 故选:D .例10.(2023·上海·高三专题练习)某公园有一个湖,如图所示,湖的边界是圆心为O 的圆,已知圆O 的半径为100米.为更好地服务游客,进一步提升公园亲水景观,公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥,设计弓形MN ,NP ,PQ ,QM 为亲水木平台区域(四边形MNPQ 是矩形,A ,D 分别为MN ,PQ 的中点,OA =OD =50米),亲水玻璃桥以点A 为一出入口,另两出入口B ,C 分别在平台区域MQ ,NP 边界上(不含端点),且设计成∠BAC =π2,另一段玻璃桥F -D -E 满足FD ⎳AC ,FD =AC ,ED ⎳AB ,ED =AB .(1)若计划在B ,F 间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为70米?请说明理由;(附:2≈1.414,3≈1.732)(2)设玻璃桥造价为0.3万元/米,求亲水玻璃桥的造价的最小值.(玻璃桥总长为AB +AC +DE +DF ,宽度、连接处忽略不计).【解析】(1)由题意,OA =50,OM =100,则MQ =100,AM =503,∠BAC =π2,设∠MAB =θ,∠NAC =α=π2-θ.若C ,P 重合,tan α=100503=23,tan θ=1tan α=32=MB503,得MB =75,∴75<MB <100,32<tan θ<23,MB =AM ⋅tan θ=503tan θ,NC =AN ⋅tan α=503tan θ,而MF =CP =100-NC =100-503tan θ,∴BF =MB -MF =503tan θ+1tan θ -100≥100(3-1),当tan θ=1(符合题意)时取等号,又100(3-1)>70,∴可以修建70米长廊.(2)AB =AM cos θ=503cos θ,AC =AN cos α=503sin θ,则AB +AC =503cos θ+503sin θ=503(sin θ+cos θ)sin θcos θ.设t =sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ,则t 2=1+2sin θcos θ,即sin θcos θ=t 2-12.AB +AC =1003t t 2-1=1003t -1t,由(1)知32<tan θ<23,而33<32<1<23<3,∴∃θ使θ+π4=π2且π4<θ+π4<3π4,即1<t ≤2,0<t -1t ≤22,∴AB +AC =1003t -1t≥1006,当且仅当t =2,θ=π4时取等号.由题意,AB +AC =DE +DF ,则玻璃桥总长的最小值为2006米,∴铺设好亲水玻璃桥,最少需2006×0.3=606万元.例11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,满足b sin A =a sin B +π3(1)设a =3,c =2,过B 作BD 垂直AC 于点D ,点E 为线段BD 的中点,求BE ⋅EA的值;(2)若△ABC 为锐角三角形,c =2,求△ABC 面积的取值范围.【解析】(1)b sin A =a sin B +π3,由正弦定理得:sin B sin A =sin A sin B +π3 =12sin A sin B +32sin A cos B ,所以12sin A sin B -32sin A cos B =0,因为A ∈0,π ,所以sin A ≠0,所以12sin B -32cos B =0,即tan B =3,因为B ∈0,π ,所以B =π3,因为a =3,c =2,由余弦定理得:b 2=a 2+c 2-2ac cos B =9+4-6=7,因为b >0,所以b =7,其中S △ABC =12ac sin B =12×3×2×32=332,所以BD =2S △ABC AC =337=3217,因为点E 为线段BD 的中点,所以BE =32114,由题意得:EA =ED +DA =BE +DA,所以BE ⋅EA =BE ⋅BE +DA =BE 2+0=2728.(2)由(1)知:B =π3,又c =2,由正弦定理得:a sin A =c sin C =2sin A +π3,所以a =2sin A sin A +π3 =2sin A 12sin A +32cos A =41+3tan A,因为△ABC 为锐角三角形,所以A ∈0,π2C =2π3-A ∈0,π2,解得:A ∈π6,π2 ,则tan A ∈33,+∞,3tan A ∈0,3 ,1+3tan A∈1,4 ,故a =41+3tan A∈1,4 ,△ABC 面积为S =12ac sin B =32a ∈32,23 故△ABC 面积的取值范围是32,23.【过关测试】一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知a ,b ∈R ,设函数f 1(x )=cos2x ,f 2(x )=a -b cos x ,若当f 1(x )≤f 2(x )对x ∈[m ,n ](m <n )恒成立时,n -m 的最大值为3π2,则( )A.a ≥2-1 B.a ≤2-1C.b ≥2-2D.b ≤2-2【答案】A【解析】设t =cos x ,x ∈[m ,n ],因为n -m 的最大值为3π2>π=T2,所以x ∈[m ,n ]时,t =cos x 必取到最值,当n -m =3π2时,根据余弦函数对称性得cos m +n 2=1⇒m +n2=2k π,k ∈Z ,此时cos m =cos m +n 2-n -m 2=cos 2k π-3π4 =cos 3π4=-22cos n =cos m +n 2+n -m 2 =cos 2k π+3π4 =cos 3π4=-22或者cos m +n 2=-1⇒m +n 2=π+2k π,k ∈Z ,此时cos m =cos m +n 2-n -m2 =cos 2k π+π-3π4 =-cos 3π4=22cos n =cos m +n 2+n -m 2=cos 2k π+π+3π4 =-cos 3π4=22由f 1(x )≤f 2(x )⇒2cos 2x -1≤a -b cos x ⇒2cos 2x +b cos x -1+a ≤0,设t =cos x ,x ∈[m ,n ]时 2t 2+bt -1+a ≤0对应解为t 1≤t ≤t 2,由上分析可知当t 1=-22,t 2≥1或t 1≤-1,t 2=22时,满足n -m 的最大值为3π2,所以t 1t 2≤-22,即-1+a 2≤-22,所以a ≥2-1.-b 2=t 1+t 2≥1-22或-b 2=t 1+t 2≤-1+22,即b ≤2-2或b ≥2-2,故选:A .2.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中,AB =2,∠ACB =π4,O 是△ABC 外接圆圆心,是OC ⋅AB+CA ⋅CB的最大值为( )A.0 B.1C.3D.5【答案】C【解析】过点O 作OD ⊥AC ,OE ⊥BC ,垂足分别为D ,E ,如图,因O 是△ABC 外接圆圆心,则D ,E 分别为AC ,BC 的中点,在△ABC 中,AB =CB -CA ,则|AB |2=|CA |2+|CB|2-2CA ⋅CB ,即CA ⋅CB =|CA |2+|CB|2-22,CO ⋅CA =CO CA cos ∠OCA = CD ⋅ CA =12CA 2,同理CO ⋅CB =12|CB |2,因此,OC ⋅AB +CA ⋅CB =OC ⋅CB -CA+CA ⋅CB =CO ⋅CA -CO ⋅CB +CA ⋅CB=12|CA |2-12|CB |2+|CA |2+|CB |2-22=|CA |2-1,由正弦定理得:|CA |=|AB|sin B sin ∠ACB =2sin B sin π4=2sin B ≤2,当且仅当B =π2时取“=”,所以OC ⋅AB +CA ⋅CB的最大值为3.故选:C3.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC 中,若3sin A cos A a +cos Cc=sin B sin C ,且3sin C +cos C =2,则a +b 的取值范围是( )A.23,4 B.2,23C.0,4D.2,4【答案】A【解析】由3sin C +cos C =2sin C +π6 =2,得C +π6=π2+2k π,k ∈Z ,∵C ∈0,π2 ,∴C =π3.由题cos A a +cos C c =sin B sin C 3sin A,由正弦定理有cos A a +cos Cc =b ⋅323a=b 2a ,故cos A sin A +cos C sin C =b 2sin A,即cos A ⋅sin C +sin A ⋅cos C =b sin C 2=3b 4,故sin A +C =sin B =3b 4,即b sin B =433,由正弦定理有a sin A=b sin B =c sin C =433,故a =433sin A ,b =433sin B ,又锐角△ABC ,且C =π3,∴A ∈0,π2 ,B =2π3-A ∈0,π2 ,解得A ∈π6,π2 ,∴a +b =433(sin A +sin B )=433sin A +sin 2π3-A =433sin A +32cos A +12sin A =4sin A +π6,∵A ∈π6,π2,∴A +π6∈π3,2π3 ,sin A +π6 ∈32,1 ,∴a +b 的取值范围为23,4 .故选:A .4.(2023·全国·高三专题练习)设ω∈R ,函数f x =2sin ωx +π6 ,x ≥0,32x 2+4ωx +12,x <0,g x =ωx .若f (x )在-13,π2 上单调递增,且函数f x 与g (x )的图象有三个交点,则ω的取值范围是( )A.14,23B.33,23C.14,33D.-43,0 ∪14,23【答案】B 【解析】当x ∈0,π2 时,ωx +π6∈π6,πω2+π6 ,因为f (x )在-13,π2 上单调递增,所以πω2+π6≤π2-4ω3≤-132sin π6≥12 ,解得14≤ω≤23,又因函数f x 与g (x )的图象有三个交点,所以在x ∈-∞,0 上函数f x 与g (x )的图象有两个交点,即方程32x 2+4ωx +12=ωx 在x ∈-∞,0 上有两个不同的实数根,即方程3x 2+6ωx +1=0在x ∈-∞,0 上有两个不同的实数根,所以Δ=36ω2-12>0-ω<032×02+6ω×0+1>0 ,解得ω>33,当ω∈33,23时,当x ≥0时,令f x -g x =2sin ωx +π6-ωx ,由f x -g x =1>0,当ωx +π6=5π2时,ωx =7π3,此时,f x -g x =2-7π3<0,结合图象,所以x ≥0时,函数f x 与g (x )的图象只有一个交点,综上所述,ω∈33,23.故选:B .5.(2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知函数f (x )=sin ωx +π3 (ω>0)在π3,π上恰有3个零点,则ω的取值范围是( )A.83,113 ∪4,143 B.113,4 ∪143,173C.113,143 ∪5,173D.143,5 ∪173,203【答案】C 【解析】x ∈π3,π,ωx +π3∈π3ω+π3,πω+π3 ,其中2πω≤π-π3<4πω,解得:3≤ω<6,则π3ω+π3≥4π3,要想保证函数在π3,π 恰有三个零点,满足①π+2k 1π≤π3ω+π3<2π+2k 1π4π+2k 1π<πω+π3≤5π+2k 1π,k 1∈Z ,令k 1=0,解得:ω∈113,143 ;或要满足②2k 2π≤π3ω+π3<π+2k 2π2k 2π+3π<πω+π3≤2k 2π+4π,k 2∈Z ,令k 2=1,解得:ω∈5,173;经检验,满足题意,其他情况均不满足3≤ω<6条件,综上:ω的取值范围是113,143 ∪5,173.故选:C6.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin ωx +π4(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴,给出下列四个结论:①f (x )在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点;②f (x )的最小正周期可能是π2;③ω的取值范围是134,174;④f (x )在区间0,π15上单调递增.其中所有正确结论的序号是( )A.①④ B.②③C.②④D.②③④【答案】B【解析】由函数f (x )=sin ωx +π4 (ω>0), 令ωx +π4=π2+k π,k ∈Z ,则x =1+4k π4ω,k ∈Z 函数f (x )在区间[0,π]上有且仅有4条对称轴,即0≤1+4k π4ω≤π有4个整数k 符合,由0≤1+4k π4ω≤π,得0≤1+4k4ω≤1⇒0≤1+4k ≤4ω,则k =0,1,2,3,即1+4×3≤4ω<1+4×4,∴134≤ω<174,故③正确;对于①,∵x ∈(0,π),∴ωx +π4∈π4,ωπ+π4,∴ωπ+π4∈7π2,9π2当ωx +π4∈π4,7π2时,f (x )在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点;当ωx +π4∈π4,9π2时,f (x )在区间(0,π)上有且仅有4个不同的零点;故①错误;对于②,周期T =2πω,由134≤ω<174,则417<1ω≤413,∴8π17<T ≤8π13,又π2∈8π17,8π13,所以f (x )的最小正周期可能是π2,故②正确;对于④,∵x ∈0,π15 ,∴ωx +π4∈π4,ωπ15+π4 ,又ω∈134,174 ,∴ωπ15+π4∈7π15,8π15 又8π15>π2,所以f (x )在区间0,π15 上不一定单调递增,故④错误.故正确结论的序号是:②③故选:B7.(2023·全国·高三专题练习)函数y =sin ωx -π6ω>0 在0,π 有且仅有3个零点,则下列说法正确的是( )A.在0,π 不存在x 1,x 2使得f x 1 -f x 2 =2B.函数f x 在0,π 仅有1个最大值点C.函数f x 在0,π2上单调进增D.实数ω的取值范围是136,196 【答案】D【解析】对于A ,f (x )在0,π 上有且仅有3个零点,则函数的最小正周期T <π ,所以在0,π 上存在x 1,x 2 ,且f (x 1)=1,f (x 2)=-1 ,使得f x 1 -f x 2 =2,故A 错误;由图象可知,函数在0,π 可能有两个最大值,故B 错误;对于选项D ,令ωx -π6=k π,k ∈Z ,则函数的零点为x =1ωk π+π6 ,k ∈Z ,所以函数在y 轴右侧的四个零点分别是:π6ω,7π6ω,13π6ω,19π6ω,函数y =sin ωx -π6ω>0 在0,π 有且仅有3个零点,所以13π6ω≤π19π6ω>π,解得ω∈136,196 ,故D 正确;由对选项D 的分析可知,ω的最小值为136,当0<x <π2 时,ωx -π6∈-π6,11π12 ,但-π6,11π12 不是0,π2的子集,所以函数f x 在0,π2上不是单调进增的,故C 错,故选:D .8.(2023·上海·高三专题练习)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin (A +C )cos B b +cos C c =sin A sin C ,B =π3,则a +c 的取值范围是( )A.32,3B.32,3C.32,3 D.32,3【答案】A【解析】由题知sin (A +C )cos B b+cos C c=sin A sin C ,B =π3∴sin B cos B b +cos C c =sin Asin C 即cos B b +cos C c =23sin A3sin C由正弦定理化简得∴c ⋅cos B +b ⋅cos C =23bc sin A 3sin C=23ab3∴sin C cos B +cos C sin B =23b sin A3∴sin (B +C )=sin A =23b sin A3∴b =32∵B =π3∴a sin A =b sin B =c sin C =1∴a +c =sin A +sin C =sin A +sin 2π3-A =32sin A +32cos A =3sin A +π6∵0<A <2π3∴π6<A +π6<5π6∴32<3sin A +π6≤3即32<a +c ≤3故选:A .二、多选题9.(2023秋·山东济南·高三统考期中)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且tan A +B 1-tan A tan B =3ca cos B,则下列结论正确的是( )A.A =π6B.若b -c =33a ,则△ABC 为直角三角形C.若△ABC 面积为1,则三条高乘积平方的最大值为33D.若D 为边BC 上一点,且AD =1,BD :DC =2c :b ,则2b +c 的最小值为977【答案】BCD【解析】对于A ,因为tan A +B 1-tan A tan B =3c a cos B ,所以tan A +tan B =3ca cos B,则由正弦定理得3sin C =sin A cos B tan A +tan B =sin A cos B ⋅sin A cos B +cos A sin Bcos A cos B =sin A ⋅sin A +B cos A =sin A ⋅sin Ccos A ,则3sin C cos A =sin A sin C ,因为0<C <π,所以sin C >0,故tan A =3,又0<A <π,所以A =π3,故A 错误;对于B ,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc ,因为b -c =33a ,即b =33a +c ,代入上式得a 2=33a +c 2+c 2-33a +c c ,整理得3c 2+3ac -2a 2=0,解得a =3c 或a =-32c (舍去),则b =2c ,所以b 2=a 2+c 2,故B 正确;对于C ,设AB ,AC ,BC 边上的高分别是CE ,BF ,AD ,则由三角形面积公式易得AD =2a ,BF =2b ,CE =2c ,则AD ×BF ×CE 2=8abc2,因为1a +1b +1c ≥331abc ,当且仅当1a =1b=1c ,即a =b =c 时,等号成立,此时S =12bc sin A =34b 2=1,得b 2=433,所以AD ×BF ×CE 2=8abc2≤33,故C 正确;对于D ,因为BD :DC =2c :b ,所以AD =AB +BD =AB+2c b +2c BC =AB +2cb +2c AC -AB=b b +2c AB +2c b +2cAC,可得1=b 2(b +2c )2c 2+4c 2(b +2c )2b 2+22bc (b +2c )2cb cos60°,整理得b +2c 2=7b 2c 2,故1c +2b=7,所以2b +c =2b +c ×171c +2b =172b c +2c b +5 ≥1722b c ⋅2c b+5=977,当且仅当2b c =2c b 且1c +2b=7,即b =c =377时,等号成立,所以2b +c ≥977,即2b +c 的最小值为977,故D 正确.故选:BCD .10.(2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习)已知函数f x =sin2x1+2cos 2x,则下列说法中正确的是( )A.f x +π =f xB.f x 的最大值是33C.f x 在-π2,π2上单调递增D.若函数f x 在区间0,a 上恰有2022个极大值点,则a 的取值范围为60643π,60673π【答案】ABD 【解析】f x =sin2x 1+2cos 2x =sin2x 1+21+cos2x 2=sin2x2+cos2x ,A 选项:f x +π =sin 2x +2π 2+cos 2x +2π=sin2x 2+cos2x =f x ,A 选项正确;B 选项:设f x =sin2x2+cos2x=t ,则sin2x -t cos2x =2t =1+t 2sin 2x +φ ≤1+t 2,解得t 2≤13,-33≤t ≤33,即t max =33,即f x 的最大值为33,B 选项正确;C 选项:因为f -π2 =f π2 =0,所以f x 在-π2,π2 上不单调,C 选项错误;D 选项:f x =2cos2x 2+cos2x -sin2x -2sin2x 2+cos2x 2=4cos2x +22+cos2x2,令f x =0,解得cos2x =-12,即x =π3+k π或x =2π3+k π,k ∈Z ,当x ∈π3+k π,2π3+k π ,k ∈Z 时,f x <0,函数单调递减,当当x ∈2π3+k π,4π3+k π ,k ∈Z 时,f x >0,函数单调递增,所以函数f x 的极大值点为π3,4π3,⋯,π3+n-1π,又函数f x 在区间0,a上恰有2022个极大值点,则a∈π3+2021π,π3+2022π,即a∈6064π3,6067π3,D选项正确;故选:ABD.11.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,有以下四个命题中正确的是( )A.Sa2+2bc的最大值为3 12B.当a=2,sin B=2sin C时,△ABC不可能是直角三角形C.当a=2,sin B=2sin C,A=2C时,△ABC的周长为2+23D.当a=2,sin B=2sin C,A=2C时,若O为△ABC的内心,则△AOB的面积为3-13【答案】ACD【解析】对于选项A:Sa2+2bc =12bc sin Ab2+c2-2bc cos A+2bc=12×sin Abc+cb+2-2cos A≤-14×sin Acos A-2(当且仅当b=c时取等号).令sin A=y,cos A=x,故Sa2+2bc≤-14×yx-2,因为x2+y2=1,且y>0,故可得点x,y表示的平面区域是半圆弧上的点,如下图所示:目标函数z=yx-2上,表示圆弧上一点到点A2,0点的斜率,数形结合可知,当且仅当目标函数过点H12,32,即A=60∘时,取得最小值-3 3,故可得z=yx-2∈-33,0,又Sx2+2bc≤-14×yx-2,故可得Sa2+2bc≤-14×-33=312,当且仅当A=60∘,b=c,即三角形为等边三角形时,取得最大值,故选项A正确;对于选项B:因为sin B=2sin C,所以由正弦定理得b=2c,若b是直角三角形的斜边,则有a2+c2= b2,即4+c2=4c2,得c=233,故选项B错误;对于选项C,由A=2C,可得B=π-3C,由sin B=2sin C得b=2c,由正弦定理得,bsin B=csin C,即2csinπ-3C=csin C,所以sin3C=2sin C,化简得sin C cos2C+2cos2C sin C=2sin C,因为sin C≠0,所以化简得cos2C=3 4,因为b=2c,所以B>C,所以cos C=32,则sin C=12,所以sin B=2sin C=1,所以B=π2,C=π6,A=π3,因为a=2,所以c=233,b=433,所以△ABC的周长为2+23,故选项C正确;对于选项D,由C可知,△ABC为直角三角形,且B=π2,C=π6,A=π3,c=233,b=433,所以△ABC的内切圆半径为r=122+233-433=1-33,所以△ABC的面积为12cr=12×233×1-33=3-13所以选项D正确,故选:ACD12.(2023·全国·高三专题练习)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2b cos A,则下列结论正确的有( )A.A=2BB.B的取值范围为0,π4C.a b的取值范围为2,2D.1tan B-1tan A+2sin A的取值范围为533,3【答案】AD【解析】在△ABC中,由正弦定理可将式子c-b=2b cos A化为sin C-sin B=2sin B cos A,把sin C=sin A+B=sin A cos B+cos A sin B代入整理得,sin A-B=sin B,解得A-B=B或A-B+B=π,即A=2B或A=π(舍去).所以A=2B.选项A正确.选项B:因为△ABC为锐角三角形,A=2B,所以C=π-3B.由0<B<π2,0<2B<π2,0<π-3B<π2解得B∈π6,π4,故选项B错误.选项C :a b =sin A sin B =sin2Bsin B =2cos B ,因为B ∈π6,π4 ,所以cos B ∈22,32,2cos B ∈2,3 ,即ab的取值范围2,3 .故选项C 错误.选项D :1tan B -1tan A +2sin A =sin A -B sin A sin B +2sin A =1sin A +2sin A .因为B ∈π6,π4,所以A =2B ∈π3,π2 ,sin A ∈32,1.令t =sin A ,t ∈32,1,则f t =2t +1t.由对勾函数的性质知,函数f t =2t +1t 在32,1上单调递增.又f 32 =533,f 1 =3,所以f t ∈533,3 .即1tan B -1tan A+2sin A 的取值范围为533,3 .故选项D 正确.故选:AD .三、填空题13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin ωx +π6,ω>0,若f π4 =f 5π12 且f (x )在区间π4,5π12 上有最小值无最大值,则ω=_______.【答案】4或10【解析】∵f (x )满足f π4 =f 5π12 ,∴x =π4+5π122=π3是f (x )的一条对称轴,∴π3⋅ω+π6=π2+k π,∴ω=1+3k ,k ∈Z ,∵ω>0,∴ω=1,4,7,10,13,⋯.当x ∈π4,5π12时,ωx +π6∈π4ω+π6,5π12ω+π6 ,y =sin x 图像如图:要使f (x )在区间π4,5π12上有最小值无最大值,则:π2≤π4ω+π6<3π23π2<5π12ω+π6≤5π2⇒4≤ω<163 或5π2≤π4ω+π6<7π27π2<5π12ω+π6≤9π2⇒283≤ω<525 ,此时ω=4或10满足条件;区间π4,5π12 的长度为:5π12-π4=5π12-3π12=π6,当ω≥13时,f (x )最小正周期T =2πω≤2π13<π6,则f (x )在π4,5π12 既有最大值也有最小值,故ω≥13不满足条件.综上,ω=4或10.故答案为:4或10.14.(2023·全国·高三专题练习)函数f x =3sin ωx +φ ω>0,φ <π2,已知f π3 =3且对于任意的x ∈R 都有f -π6+x +f -π6-x =0,若f x 在5π36,2π9上单调,则ω的最大值为______.【答案】5【解析】因为函数f x =3sin ωx +φ ω>0,φ <π2 ,f π3=3,所以f π3=33sin ω·π3+φ =3,所以πω3+φ=π2+k π(k ∈Z ),φ=π2-k π3+k 1π(k 1∈Z ),因为于任意的x ∈R 都有f -π6+x +f -π6-x =0,所以f -π6+x =-f -π6-x ,所以sin x -π6 ⋅ω+φ =-sin -ω⋅x +π6 +φ ,所以sin ωx -ωπ6+φ =sin ωx +ωπ6-φ ,所以ωx -ωπ6+φ=ωx +ωπ6-φ+2k 2π(k 2∈Z )或ωx -ωπ6+φ+ωx +ωπ6-φ=k 3π(k 3∈Z ),所以φ=ωπ6+k 2π(k 2∈Z )或2ωx =k 3π(k 3∈Z ),即x =k 3π2ω(k 3∈Z )(舍去),所以φ=ωπ6+k 2π(k 2∈Z ),因为φ=π2-k π3+k 1π(k 1∈Z ),所以π2-k π3+k 1π=ωπ6+k 2π(k 1∈Z ),即ω=1+2(k 1-k 2),令t =k 1-k 2,所以ω=1+2t (t ∈Z ),f x 在5π36,2π9上单调,所以π12≤T 2=πω,所以ω≤12,而ω=1+2t (t ∈Z ),当ω=11,φ=-π6,所以f x =3sin 11x -π6 ,函数在5π36,2π9不单调,舍去;当ω=9,φ=3π2+k π(k ∈Z ),舍去;当ω=7,φ=π6,所以f x =3sin 7x +π6 ,函数在5π36,2π9 不单调,舍去;当ω=5,φ=-π6,所以f x =3sin 5x -π6 ,函数在5π36,2π9 单调,所以ω的最大值为5.故答案为:5.15.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ),其中ω>0,|φ|≤π2,-π4为f (x )的零点,且f (x )≤f π4恒成立,f (x )在区间-π12,π24 上有最小值无最大值,则ω的最大值是_______【答案】15【解析】由题意知函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ ≤π2 ,x =π4为y =f (x )图象的对称轴,x =-π4为f (x )的零点,∴2n +14•2πω=π2,n ∈Z ,∴ω=2n +1.∵f (x )在区间-π12,π24 上有最小值无最大值,∴周期T ≥π24+π12 =π8,即2πω≥π8,∴ω≤16.∴要求ω的最大值,结合选项,先检验ω=15,当ω=15时,由题意可得-π4×15+φ=k π,φ=-π4,函数为y =f (x )=sin 15x -π4,在区间-π12,π24 上,15x -π4∈-3π2,3π8 ,此时f (x )在x =-π12时取得最小值,∴ω=15满足题意.则ω的最大值为15.故答案为:15.16.(2023·全国·高三对口高考)在△ABC 中,AB =3cos x ,cos x ,AC =cos x ,sin x ,则△ABC 面积的最大值是____________【答案】34【解析】S △ABC =12AB⋅AC sin AB ,AC =12AB 2⋅AC 21-cos 2AB ,AC =12AB 2⋅AC 2-AB ⋅AC 2=124cos 2x -3cos 2x +sin x cos x 2=123cos x sin x -cos 2x =12sin 2x -π6 -12 ≤34,当sin 2x -π6 =-1时等号成立.此时2x -π6=-π2,即x =-π6时,满足题意.故答案为:34.17.(2023·高一课时练习)用M I 表示函数y =sin x 在闭区间I 上的最大值.若正数a 满足M [0,a ]≥2M [a ,2a ],则a 的最大值为________.【答案】1312π【解析】①当a ∈0,π2时,2a ∈[0,π),M [0,a ]=sin a ,M [a ,2a ]=1,若M [0,a ]≥2M [a ,2a ],则sin a ≥2,此时不成立;②当a ∈π2,π时,2a ∈[π,2π),M [0,a ]=1,M [a ,2a ]=sin a ,若M [0,a ]≥2M [a ,2a ],则1≥2sin a ⇒sin a ≤12,又a ∈π2,π ,解得a ∈5π6,π ;③当a ∈π,3π2时,2a ∈[2π,3π),M [0,a ]=1,M [a ,2a ]=sin2a ,若M [0,a ]≥2M [a ,2a ],则1≥2sin2a ⇒sin2a ≤12,又a ∈π,3π2 ,解得a ∈π,13π12;④当a ∈3π2,+∞时,2a ∈[3π,+∞),M [0,a ]=1,M [a ,2a ]=1,不符合题意.综上所述,a ∈5π6,13π12 ,即a 的最大值为1312π.故答案为:1312π18.(2023·上海·高三专题练习)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =2,b cos C -c cos B =4,π4≤C ≤π3,则tan A 的最大值为_______.【答案】12【解析】在△ABC 中,因为a =2,b cos C -c cos B =4,所以b cos C -c cos B =4=2a ,所以sin B cos C -sin C cos B =2sin A 所以sin B cos C -sin C cos B =2sin (B +C ),所以sin B cos C -sin C cos B =2sin B cos C +2cos B sin C ,所以sin B cos C +3cos B sin C =0,所以sin B cos C +cos B sin C +2cos B sin C =0,所以sin (B +C )+2cos B sin C =0,所以sin A +2cos B sin C =0,所以由正弦定理得a +2c cos B =0,所以cos B =-1c<0,所以角B 为钝角,角A 为锐角,所以要tan A 取最大值,则A 取最大值,B ,C 取最小值,从而b ,c 取最小值.又b cos C =c cos B +4=c ×-1c +4=3,∴cos C =3b,由π4≤C ≤π3,得12≤cos C ≤22,∴12≤3b≤22,∴32≤b ≤6,由cos B =a 2+c 2-b 22ac =-1c,∴b 2-c 2=8,∴10≤c ≤27,∴tan A 取最大值时,b =32,c =10,此时由余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc =18+10-42×32×10=255,从而求得tan A =1cos 2A-1=12,即tan A 最大值为12.故答案为:1219.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中,若∠BAC =120°,点D 为边BC 的中点,AD =1,则AB⋅AC的最小值为______.【答案】-2【解析】AB ⋅AC =AD +DB ⋅AD +DC=AD 2+AD ⋅DC +DB +DB ⋅DC,因为D 为边BC 的中点,AD =1,故AB ⋅AC =1-DB 2,故求DB 的最大值.设DB =DC =x ,AC =a ,AB =c ,则由余弦定理,cos ∠BDA =x 2+12-c 22x ,cos ∠CDA =x 2+12-b 22x,因为∠BDA +∠CDA=180∘,故x 2+12-c 22x +x 2+12-b 22x=0,即2x 2+2=b 2+c 2,又2x 2=b 2+c 2+bc ≥3bc ,故2x 2+2=4x 2-bc ,即2x 2=2+bc ≤2+43x 2,此时x 2≤3,故AB ⋅AC =1-x 2≥-2,当且仅当b =c 时取等号.即AB ⋅AC的最小值为-2故答案为:-220.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中,角A ,B ,C 所对的三边分别为a ,b ,c ,c =2b ,若△ABC 的面积为1,则BC 的最小值是________.【答案】3【解析】因为△ABC 的面积为1,所12bc sin A =12b ×2b sin A =b 2sin A =1,可得b 2=1sin A,由BC =AC -AB ,可得|BC |2=|AC |2+|AB |2-2AC ⋅AB =b 2+c 2-2bc cos A =b 2+2b2-2b ×2b cos A =5b 2-4b 2cos A =5sin A -4cos A sin A =5-4cos Asin A,设m =sin A -4cos A +5=-14×sin A cos A -54,其中A ∈(0,π),因为sin A cos A -54=sin A -0cos A -54表示点P 54,0 与点(cos A,sinA )连线的斜率,如图所示,当过点P 的直线与半圆相切时,此时斜率最小,在直角△OAP 中,OA =1,OP =54,可得PA =34,所以斜率的最小值为k PA =-tan ∠APO =-43,所以m 的最大值为-14×-43 =13,所以|BC |2≥3,所以|BC |≥3,即BC 的最小值为3,故答案为:3.21.(2023·全国·高三专题练习)已知θ>0,对任意n ∈N *,总存在实数φ,使得cos (nθ+φ)<32,则θ的最小值是___【答案】2π5【解析】在单位圆中分析,由题意,nθ+φ的终边要落在图中阴影部分区域(其中∠AOx =∠BOx =π6),必存在某个正整数n ,使得nθ+φ终边在OB 的下面,而再加上θ,即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内,∴θ>∠AOB =π3,∵对任意n ∈N *要成立,所以必存在某个正整数n ,使得以后的各个角的终边与前面的重复(否则终边有无穷多,必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°,进而对于更大的n ,次差的累积可以达到任意的整度数,便不可能在空白区域中不存在了),故存在正整数m ,使得2m πθ∈N *,即θ=2m πk ,k ∈N *,同时θ>π3,∴θ的最小值为2π5,故答案为:2π5.22.(2023·上海·高三专题练习)已知函数f (x )=sin (ωx +φ),其中ω>0,0<φ<π,f (x )≤f π4恒成立,且y =f (x )在区间0,3π8上恰有3个零点,则ω的取值范围是______________.【答案】6,10【解析】由已知得:f (x )≤f π4恒成立,则f (x )max =f π4 ,π4ω+φ=π2+2k π,k ∈Z ⇒φ=π2-πω4+2k π,k ∈Z ,由x ∈0,3π8 得ωx +φ∈φ,3π8ω+φ ,由于y =f (x )在区间0,3π8上恰有3个零点,故0<φ<π3π<3π8ω+φ≤4π,则0<π2-πω4+2k π<π3π<3πω8+π2-πω4+2k π≤4π,k ∈Z ,则8k -2<ω<8k +220-16k <ω≤28-16k,k ∈Z ,只有当k =1时,不等式组有解,此时6<ω<104<ω≤12 ,故6<ω<10,故答案为:6,1023.(2023·全国·高三专题练习)已知锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且A >B ,若sin C =2cos A sin B +725,则tan B 的取值范围为_______.【答案】34,247【解析】∵sin C =2cos A sin B +725,∴sin A +B =sin A cos B +cos A sin B =2cos A sin B +725,即sin A -B =725,∵又A >B ,且A ,B 都为锐角,故cos A -B =2425,tan A -B =724,因为锐角三角形ABC ,所以tan A >0,tan B >0,tan C >0,所以tan A =tan A -B +B =tan A -B +tan B 1-tan A -B ⋅tan B =724+tan B1-724⋅tan B >0所以1-724⋅tan B>0,所以tan B<247,又因为tan C=-tan A+B=tan A+tan Btan A⋅tan B-1>0所以tan A⋅tan B-1=724+tan B1-724⋅tan B⋅tan B-1>0所以12tan2B+7tan B-12>0,解得tan B>34或tan B<-43(舍去)故34<tan B<247.故答案为:3 4,247.24.(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =43x-13sin2x+a cos x在-∞,+∞内单调递增,则实数a的取值范围是___________.【答案】-423,423【解析】因函数f(x)在-∞,+∞内单调递增,则∀x∈R,f (x)=43-23cos2x-a sin x≥0,即a sin x≤43-23cos2x,整理得a sin x≤43sin2x+23,当sin x=0时,则0≤23成立,a∈R,当sin x>0时,a≤43sin x+23sin x,而43sin x+23sin x=232sin x+1sin x≥432,当且仅当2sin x=1sin x,即sin x=22时取“=”,则有a≤423,当sin x<0时,a≥43sin x+23sin x,而43sin x+23sin x=-23(-2sin x)+1-sin x≤-432,当且仅当-2sin x=1-sin x,即sin x=-22时取“=”,则有a≥-423,综上得,-423≤a≤423所以实数a的取值范围是-423,423.故答案为:-423,42325.(2023秋·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考期末)设函数f x =2sinωx+φ-1(ω>0),若对于任意实数φ,f x 在区间π4,3π4上至少有2个零点,至多有3个零点,则ω的取值范围是________.【答案】4,16 3【解析】令f x =0,则sinωx+φ=12,令t=ωx+φ,则sin t12,。
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【典型例题】:
1、已知2tan =x ,求x x cos ,sin 的值.
解:因为2cos sin tan ==
x
x
x ,又1cos sin 22=+a a , 联立得⎩⎨
⎧=+=,1
cos sin cos 2sin 2
2
x x x
x
解这个方程组得.55cos 5
52sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x
2、求)
330cos()150sin()690tan()
480sin()210cos()120tan(ο
οοοοο----的值。
解:原式)
30360cos()150sin()30720tan()
120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-=
.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο
οοοοο
3、若
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x ,求x x cos sin 的值.
解:法一:因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-
得到x x cos 3sin -=,又1cos sin 22=+a a ,联立方程组,解得
,,⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10
103sin 1010cos 10103sin x x x x
所以⋅-
=10
3cos sin x x 法二:因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-,
所以2
2)cos (sin 4)cos (sin x x x x +=-,所以x x x x cos sin 84cos sin 21+=-,
所以有⋅-
=10
3cos sin x x 4、求证:x x x x 2
2
2
2sin tan sin tan -=。
5、求函数)6
π
2sin(2+
=x y 在区间]2,0[π上的值域。
解:因为]20π≤≤x ,所以π≤≤
20x ,6
7626π
ππ≤
+≤x 由正弦函数的图象,得到
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈+=1,21)6π2sin(2x y ,所以[]
2,1)6π2sin(2-∈+∈x y
6、求下列函数的值域.
(1)2cos sin 2
+-=x x y ; (2))cos (sin cos sin 2x x x x y +-=)
解:(1)2cos sin 2
+-=x x y
=3)cos (cos 2cos cos 12
2++-=+--x x x x
令x t cos =,则,413)21(413)2
1(3)(],1,1[22
2
++-=+
+-=++-=-∈t t t t y t
利用二次函数的图象得到].4
13
,
1[∈y (2) )cos (sin cos sin 2x x x x y +-=
=)cos (sin 1)cos (sin 2
x x x x +--+
令x x t cos sin +=2=
)4
π
sin(+x ,则]2,2[-∈t
则,12
--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4
5
[+-
∈y 7、若函数y =A sin(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为)2,2(,它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式。
解:由最高点为)2,2(,得到2=A ,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与x 轴交点的间隔是
41
个周期,这样求得44=T ,T =16,所以⋅=8
πω 又由)28π
sin(22ϕ+⨯=,得到可以取).4
π
8πsin(2.4
π+=
∴=x y ϕ
8、已知函数f (x )=cos 4x -2sin x cos x -sin 4x .
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期; (Ⅱ)若],2π
,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值.数x
x y cos 3sin 1--=的值域.
解:(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x -2sin x cos x -sin4x =(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x )4
π
2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x
所以最小正周期为π.
(Ⅱ)若]2π,0[∈x ,则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ,所以当x =0时,f (x )取最大值为;
1)4
π
sin(2=--当8
π
3=
x 时,f (x )取最小值为.2-
9、已知2tan =θ,求(1)θ
θθ
θsin cos sin cos -+;(2)θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.
解:(1)
2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=++θθθ
θθθ
θθθθ; (2) θ
+θθ
+θθ-θ=θ+θθ-θ22222
2
cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin
3
24122221cos sin 2cos sin cos sin 2
222-=++-=+θ
θ+θθ
-θθ=. 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过 程简化。
10、求函数2
1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。
解:设sin cos )[4
π
t x x x =+=
+∈,则原函数可化为
2213
1()24
y t t t =++=++
,因为[t ∈,所以
当t =
时,max 3y =12t =-时,min 3
4
y =,
所以,函数的值域为3
[34
y ∈,。
11、已知函数2
()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈,;(1)求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合;(2)证明:函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称。
解:22
()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--
2sin 22cos 2)4
πx x x =-=-
(1)所以()f x 的最小正周期T π=,因为x R ∈,
所以,当2242ππx k π-
=+,即38
π
x k π=+时,()f x 最大值为 (2)证明:欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称,只要证明对任意x R ∈,有()()88
ππ
f x f x --=-+成立,
因为())]2)28842
ππππ
f x x x x -
-=---=--=-,
())]2)28842
ππππ
f x x x x -+=-+-=-+=-,
所以()()88ππf x f x --=-+成立,从而函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。
12 、已知函数y=
2
1cos 2
x+23sinx ·cosx+1 (x ∈R ),
(1)当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;
(2)该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到 解:(1)y=
21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x -1)+ 41
+4
3(2sinx ·cosx )+1
=
41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+4
5
=
21sin(2x+6π)+4
5
所以y 取最大值时,只需2x+
6π=2π+2k π,(k ∈Z ),即 x=6
π
+k π,(k ∈Z )。
所以当函数y 取最大值时,自变量x 的集合为{x|x=6
π
+k π,k ∈Z} (2)将函数y=sinx 依次进行如下变换: (i )把函数y=sinx 的图像向左平移
6π,得到函数y=sin(x+6
π
)的图像; (ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的2
1
倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+
6
π
)的图像;
(iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的2
1
倍(横坐标不变),得到函数y=
21sin(2x+6
π
)的图像; (iv )把得到的图像向上平移
45个单位长度,得到函数y=21sin(2x+6π)+4
5
的图像。
综上得到y=2
1cos 2
x+23sinxcosx+1的图像。