平面向量易错题解析
(规避易错题系列)第六章 平面向量及其应用 集(解析版)
【正解】BD
【详解】
解：根据 ，
选项A： ， ， ， ，则 ， ，无解，故选项A不能；
选项B： ， ， ， ，则 ， ，解得， ， ，故选项B能．
【详解】
对A， 不能用 表示，故 不共线，所以符合
对B， ，所以 共线，故不符合
对C， 不能用 表示，故 不共线，所以符合
对D，， 不能用 表示，故 不共线，所以符合
故选：ACD
易错点7．记反了向量减法运算差向量的方向
例题1．（2021·全国·高三专题练习）正三角形 边长为 ，设 ， ，则 _____.
A：因为零向量与任何向量都共线，故 ， 不可做基底；
B： ，即 、 共线，不可作基底；
C： 、 不共线，可作基底；
D： ，即 、 共线，不可作基底；
故选：ABD
2．（多选）（2021·浙江·高二期末）设 是平面内两个不共线的向量，则以下 可作为该平面内一组基底的（）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因向量 ， 为非零向量，则当向量 ， 的夹角为180°时， 与 方向相反，即 成立，
当 时， 与 方向相同或者方向相反，即向量 ， 的夹角为0°或者180°，可以不为180°，
所以“向量 ， 的夹角为180°”是“ Nhomakorabea”的充分不必要条件.
【常见错解】因为 ，所以点 是 的中点，所以 ，
，所以 ,所以
平面向量典型易错题分析
平 面 向量 典 型 易错 题分 析
南 京 大 学 附属 中学 单铭 成
但 两条 直线 平行 不 包 含两 在平 面 向量 的学 习 中 ， 同学 们 如 果 不 能 含两 个 向量共 线 ， 正 确理解 平 面 向量 的基 础 知 识 ， 或 在 某 些 概 条 直线 重合 ， 所 以 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ 可能 四点共 线 ， 念及 公式 的理 解 上模 糊 不 清 ， 就 会 造 成 一些 此 为 易 错 处 ． 表 面上看 起来 正 确 而 实 际上 错 误 的 判 断 ， 使 解 题思 路走 入误 区． 反 之④ 则正 确． ⑤ 正确 ， 向量 的相 等具有 传递 性． ⑥ 对 于零 向量 的有关 概念 不 清 ， 零 向量 的方 向是任 意 的 ， 并 且 规 定 零 向量 和任 何 向
量 平行 ．
膏 一、向量的基本概念不清
例 １ 下列命题 ： ① 若ｌ ｎ【 一ｌ ６ ｌ ， 贝 ４ 口 一６ ；
答 案 ④ ⑤ 向量 的概 念 较 多 ， 且 容易混淆 ， 在学 习
理 解 各 概 念 的实 质 ， 注 意 区 分 共 ② 两个 向量 相 等 的 等 价 条 件 是 它 们 的 中要分 清 、 线 向量 、 平 行 向 量 、 同 向 向量 、 反 向向量、 零 起 点相 同， 终点相 同；
２ Ｏ Ｎｅｗ Ｕｎｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅｎ ｔ ｒ ａｎ ｃ ｅ Ｅｘ ａｍ ｉ ｎ ａｔ ｉ ｏ ｎ
） ， 点 Ｐ在 直线ＡＢ上 ， 且ｌ 能两边 同除以一个 向量 ， 即两 边不 能约去 一个 ２
向量（ 如第⑤题） ， 切记两 向量不能相 除（ 相约） ； 求 点 Ｐ 的 坐标 ． （ ２ ）向 量 的 “ 乘 法” 不 满 足 结合 律 ， 即
高中数学 考前归纳总结 平面向量易错题剖析
在平面向量的复习中，首先要掌握其基本概念与运算．如果不能正确理解向量的基础知识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识，就会造成一些表面看起来正确而实际上错误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下：1.已知2,3a b ==，a 与b 的夹角为45°，当向量a b λ+与a b λ+的夹角为锐角 时，求实数A 的范围．错解：由已知cos 453a b a b ==，∵a b λ+与a b λ+的夹角为锐角，∴()()0a b a b λλ++>，即222(1)0a b a b λλλ+++=,2293(1)0λλλ+++>解得λ>λ<∴实数λ的范围是1111()(,66--+∞-∞ 分析：解题时忽视了a b λ+与a b λ+的夹角为0的情况，也就是()()0a b a b λλ++>既 包括了a b λ+与a b λ+的夹角为锐角，也包括了a b λ+与a b λ+的夹角为0，而a b λ+与a b λ+的夹角为0不合题意． 正解：由已知cos 453a b a b ==，又a b λ+与a b λ+的夹角为锐角∴()()0a b a b λλ++>，且()a b a b λμλ+≠+，由()()0a b a b λλ++>，即222(1)0a b a b λλλ+++=,231130λλ++>解得λ>或λ< 由()a b a b λμλ+≠+得1,μλμλ≠≠，即1λ≠，综上所述实数λ的范围是(1,)(,6+∞-∞。
2．已知O 为ABC ∆所在平面内一点且满足230OA OB OC ++=，则AOB ∆与AOC ∆的 面积之比为 ( )A ．1 B.32.23C D ．2错解：0,2OA OB OC OB OC ++=∴=- ∴O 在BC 边上，且2OB OC =,又△AOB 与△AOC 高相等，∴AOB ∆与AOC ∆的 面积之比为2，∴选D ．分析： 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有O 为△ABC 的重心的情况下，才有0OA OB OC ++=，而本题无此已知条件．正解： 在AB 上取一点D ，使2AD DB =，D ∴分AB 的比2λ=，得1233OD OA OB =+，又由已知12,33OC OA OB OD OC =-∴=-，∴O 为CD 的中点，不妨设AOC S S ∆=，则AOD S S =(∵两者等底同高)，2AD BD =， 13,22BOD AOB S S S S ∆∆∴==，△AOB 的面积与△AOC 的面积之比为3：2，选B ． 3. 在边长为1的正三角形ABC 中，求AB BC BC CA CA AB ++的值．错解：cos60cos60AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA ++=+1113cos602222CA AB +=++=． 分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合．向量AB 与BC ，BC 与CA ，CA 与 AB 的夹角通过平移后发现都不是60°，而是120°．这是由于对两向量夹角的定 义理解不透造成的．正解：cos120cos120cos120AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA CA AB ++=++1113()()()2222=-+-+-=-． 注意：向量a 与b 的夹角为锐角的充要条件是0a b >且a 与b 不共线．这里，a 与b 不 共线不能忽略．4. 向量a 、b 都是非零向量，且向量3a +b 与7-5a b 垂直，4-a b 与7-2a b 垂直，求a 与b 的夹角．错解：由题意，得(3)(7)0-5=a +b a b ，① ()(7)0-4-2=a b a b ，②将①、②展开并相减，得24623a b =b ，③∵≠0b ，故12a =b ，④ 将④代入②，得22=a b ，则=a b ， 设a 与b 夹角为θ，则2112cos 2θ2===b a b a b b． ∵0180θ≤≤，∴60θ=．分析：上面解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由③得到④，错把 数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上．由于向量的数量积不满足消去 律，所以即使≠0b ，也不能随便约去．正解：设向量a 、b 的夹角为θ，由上面解法有22a b =b ，代入①式、②式均可得 22=a b ，则=a b ，∴1cos 2θ==a b a b ． 又∵0θ≤≤180，∴60θ=．5. 已知,,A B C 三点的坐标分别为(12)-，，(35)-，，(52)-，，试判断ABC ∆的形状。
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平面向量典型易错题分析综观近年高考数学试题，平面向量问题一般出现两次，一次在小题中，主要考查向量的基础知识及小综合，一次在大题中，作为知识的交汇点考查与三角函数、解析几何的综合应用.作为一种导向，今年高考卷中仍会重视向量的考查，本文就对同学们在向量复习中会遇到的常见错误进行分析，希望对你的复习有所帮助.一、概念理解错误例1已知a r 是以点(3,1)A -为起点，且与向量(3,4)b =-r 平行的单位向量，则向量a r 的终点坐标是 .方法一 设向量a r 的终点坐标是(,)x y ,则a r (3,1)x y =-+，则由题意可知224(3)3(1)0(3)(1)1x y x y -++=⎧⎨-++=⎩解得 2.40.2x y =⎧⎨=-⎩或 3.61.8x y =⎧⎨=-⎩，故填(2.4,0.2)-或(3.6, 1.8)- 方法二 与向量(3,4)b =-r 平行的单位向量是(0.6,0.8)±-，故可得a r =(0.6,0.8)±-，从而向量a r 的终点坐标是(,)x y =a r (3,1)--,便可得结果.易错警示：（1）向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念. （2）与a r 平行的单位向量a e a=±r r r 例2．设两个向量1e ρ、2e ρ，满足2||1=e ρ，1||2=e ρ，1e ρ、2e ρ的夹角为3π，若向量2172e e t ρρ+与向量21e t e ρρ+的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：421=e ρ，122=e ρ，121=⋅e e ρρ ∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+⋅++=+⋅+t t e t e e t e t e t e e e t ρρρρρρρρ ∴ 071522<++t t ，217-<<-t ，设)(722121e t e e e ρρρρ+=+λ)0(<λ 14,21472722-=-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒λλλt t t t ∴ -=t 214时，2172e e t ρρ+与21e t e ρρ+的夹角为π， ∴ t 的取值范围是)21,214()214,7(----Y .易错警示：向量2172e e t ρρ+与向量21e t e ρρ+的夹角为钝角，可得1212(27)()0te e e te +⋅+<u r u u r u r u u r ，但由1212(27)()0te e e te +⋅+<u r u u r u r u u r ，并不能推出向量2172e e t ρρ+与向量21e t e ρρ+的夹角为钝角，如-=t 214时，1212(27)()0te e e te +⋅+<u r u u r u r u u r ，而2172e e t ρρ+与21e t e ρρ+的夹角为π，所以1212(27)()0te e e te +⋅+<u r u u r u r u u r 仅是向量2172e e t ρρ+与向量21e t e ρρ+的夹角为钝角的必要条件，而不是充分条件.二、公式应用错误例 3. 四边形ABCD 中，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，CD c =u u u r r ，DA d =u u u r u r ，且a b b c c d d a ⋅=⋅=⋅=⋅r r r r r u r u r r ，试问四边形ABCD 是什么四边形？分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角关系。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》易错题汇编及解析
新数学高考《平面向量》专题解析一、选择题1．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3π，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )A ．4B ．2C ．1D ．16【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43a b a b a b a b π-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，所以|2|2a b -=r r，故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ=( )A B C D 【答案】D 【解析】 【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u ur 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可.【详解】由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC=u u u r u u u r ，||2||AB AC λ===u u u ru u u r . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.3．已知向量()()75751515a b ︒︒︒︒==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为11,1,cos75cos15sin 75sin15cos602a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r ，所以2221||()12112a b a b -=-=-⨯+=r r r r ，故选B.点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合数量积的运算法则即可求出.4．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π∠=，若23BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．229B ．229-C ．169D ．89-【答案】A 【解析】 【分析】本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v，再通过向量的运算即可得出结果． 【详解】解：由题意，画图如下：则：()22223333BD BC AC AB AB AC ==-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233AB AC =+u u u v u u u v .∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v22242999AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u uv u u u v u u u v u u u v24249cos 999AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u uv u u u v82423cos 993π=-+-⋅⋅⋅229=. 故选A ． 【点睛】本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006C ．2010D ．2012【答案】A 【解析】 【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.6．如图，在ABC ∆中，12AN NC =u u u r u u u r，P 是线段BN 上的一点，若15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则实数m 的值为（ ）A ．35B ．25C ．1415D ．910【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，以AB u u u r ，AC u u ur 为基底表示出AP u u u r 即可得到结论. 【详解】由题意，设()NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，所以，()()113AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 又15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以，1135λ-=，且m λ=，解得25m λ==. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．7．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u rA ．12AB AD -+u u ur u u u rB ．12AB AD -u u ur u u u rC ．12AB AD +u u u r u u u rD ．12AB AD -u u u r u u u r【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的加法法则运算即可. 【详解】如图，过E 作//,EF BC 由向量加法的平行四边形法则可知1.2BE BF BC AB AD =+=-+u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v故选A. 【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.8．如图,在梯形ABCD 中, 2DC AB =u u u r u u u r, P 为线段CD 上一点,且12DP PC =，E 为BC 的中点, 若EP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r（λ， R μ∈）,则λμ+的值为（ ）A ．13B ．13-C ．0D ．12【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的线性运算，化简求得1526EP AD AB =-u u u v u u u v u u u v，求得,λμ的值，即可得到答案.【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得： ()1214111232326EP EC CP BC CD AC AB AB AC AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =+=+=--=-()1111522626AD AB AB AD AB =+-=-u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v 又因为EP AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v ，所以51,62λμ=-=，所以511623λμ+=-+=-，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量EP u u u v是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．已知向量(1,2)a =v ，(3,4)b =-v ，则a v 在b v方向上的投影为ABC ．1 D【答案】C 【解析】 【分析】根据a v在b v方向上的投影定义求解. 【详解】a v 在b v 方向上的投影为(1,2)(3,4)381(3,4)5a b b⋅⋅--+===-rr r ， 选C. 【点睛】本题考查a v在b v方向上的投影定义，考查基本求解能力.10．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．23B ．15C ．72D ．152【答案】D 【解析】 【分析】计算25AC a b =+u u u r r r，得到()253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案.【详解】∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r，∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r，即()253a b a mb λ+=+r r r r ，∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23152m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.11．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭ D ．,3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=，解得3t <-或3t >. 故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.12．已知向量a v ，b v 满足a b a b +=-r rv v ，且||a =v ，||1b =r ，则向量b v 与a b -v v 的夹角为（ ） A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】对a b a b +=-v v v v 两边平方，求得0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .画出图像，根据图像确定b v 与a b-v v 的夹角，并根据它补角的正切值求得对应的角的大小.【详解】因为a b a b +=-v v v v ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+v v v v v v v v ，即0a b ⋅=v v ，所以a b ⊥v v .如图，设AB a =u u u v v ，AD b =u u u v v，则向量b v 与a b -v v 的夹角为BDE ∠，因为tan 3BDA ∠=，所以3BDA π∠=，23BDE π∠=.故选B.【点睛】本题考查平面向量的模以及夹角问题，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法.属于中档题.13．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C 【解析】 【分析】以,BA BC u u u r u u u r为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r,211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r22111362BC BC BA BA =-⋅-u u ur u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.14．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=r r，则0a =r r 或0b =r r；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；④函数()x xe ef x x--=是偶函数.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误；对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-，且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称， 所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确.综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.15．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,C ．[0,4]D ．[0,8]【答案】D 【解析】 【分析】以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r，由圆心到直线22x y t +=的距离d =≤，可得[0,8]t ∈.故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．16．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v（ ）A．8+B．8-C ．12 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由题意1122OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r，则2252115113322632OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r．故本题答案选C ．点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.17．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()cos ,1b α=r，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．223-C ．23-D ．13- 【答案】D【解析】【分析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.【详解】//a b ∴r r1cos tan sin 3ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.18．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是【答案】B【解析】【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r代入计算，再利用向量的线性运算求解．【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r ．19．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则2a b +v v 等于（ ）A ．10B ．16 C．D．【答案】C【解析】【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，2a b +==r r C.【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．20．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v =，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v 的最小值为（ ）A ．5BC ．3D ．2【答案】A 【解析】【分析】根据OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】 在OAB ∆中,已知OB =u u u r ,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒ 由正弦定理可得sin sin AB OB AOB OAB=∠∠u u u r u u u r代入22=,解得sin 1OAB ∠= 即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22,22⎛ ⎝⎭所以22OA =⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r 因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r 则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭= 则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r 2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=-代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min 9355OP==u u u r 故选:A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.。
高考数学复习平面向量易错题选及解析
高考数学复习平面向量易错题选及解析一、选择题：1．在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为 ( )A 20B 20-C 320D 320-错误分析:错误认为︒==60C ,从而出错. 答案: B略解: ︒=120,故CA BC ⋅202185-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅. 2．关于非零向量a ρ和b ρ，有下列四个命题：（1）“b a b a ρρρρ+=+”的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相同”； （2）“b a b a ρρρρ-=+” 的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相反”； （3）“b a b a ρρρρ-=+” 的充要条件是“a ρ和b ρ有相等的模”； （4）“b a b a ρρρρ-=-” 的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相同”；其中真命题的个数是 （ ）A 1B 2C 3D 4错误分析:对不等式b a b a b a ρρρρρρ+≤±≤-的认识不清.答案: B.3．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB 上且 =t(0≤t ≤1)则· 的最大值为 （）A ．3B ．6C ．9D ．12正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，· 即为最大。
4．若向量 =(cos α,sin α) ， =()ββsin ,cos ， 与不共线，则与一定满足（ ）A ． a 与b 的夹角等于α-βB ．a ∥bC ．(a +b )⊥(a -b )D ． a ⊥b正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。
5．已知向量 =(2cos ϕ，2sin ϕ)，ϕ∈(ππ,2)， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )A ．π32-ϕB ．2π+ϕ C ．ϕ-2π D ．ϕ正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，π]。
2024届高考数学易错题专项(平面向量) 练习(附答案)
2024届高考数学易错题专项（平面向量） 练习易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）1．已知a 、b为不共线的向量，5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，()3CD a b =-uu u r r r ，则（ ）A ．1233AB AD -+C ．15AB AD -A ．43a ＋23b C ．23a 43-b1．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M ，设AB a =，，则下列结论正确的是（）A ．1233AE AB AC =+ B ．若0AB AC ⋅= ，则易错点三：忽视数量积不满足结合律（平面向量的数量积及其应用）1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是1A B ，11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =．设AB a=，AC b = ，1AA c = ，若90BAC ∠= ，1160BAA CAA ∠=∠=，11AB AC AA ===，则（ ）A ．112333MN a b c =++C ．11AB BC ⊥A ．1AC BD ⊥ C ．185BD =10．(多选)下列说法中正确的是（参考答案易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）1．已知a 、b为不共线的向量，5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，()3CD a b =-uu u r r r ，则（ ） A ．1233AB AD -+C ．15AB AD -A．43a＋23bC．23a43 -b故选：B.y= 10．已知抛物线C：24∵3FA FB = ，由ABH 与△AFM ∵||2MF =，∴2||23BH =⨯=由抛物线定义得||||BF BH =，∴即4AF = ，3AF BH =，故故选：BC ．易错点二：忽略基底选取原则（平面向量的基本定理及坐标表示）【答案详解】由题意可得，12AC AD DC b a=+=+，故A112对于A ，12||||||OF OF OA ==，因此对于B ，直线2:1AF y x =-，由⎧⎨⎩A ．1233AE AB AC =+ B ．若0AB AC ⋅= ，则易错点三：忽视数量积不满足结合律（平面向量的数量积及其应用）1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是1A B ，11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =．设AB a=，AC b = ，1AA c = ，若90BAC ∠= ，1160BAA CAA ∠=∠=，11AB AC AA ===，则（ ）A ．112333MN a b c =++C ．11AB BC ⊥7．已知向量()()2,11,,,1a b c ==-=A ．a 与b的夹角为钝角B ．向量a 在b 方向上的投影为C ．24m n +=对于C ，由PA PB PB PC ⋅=⋅ ，得(PA - 所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；A ．1AC BD ⊥ C ．185BD =【答案】AB由题意得，2216AB AD == ，1AA cos 4AB AD AB AD BAD ⋅=⋅∠=⨯111cos 4AB AA AB AA BAA ⋅=⋅∠=，其中四边形ABDC 为平行四边形，因为又|OA |=|CA|=|OC |，所以所以∠ACB=60°，且BC。
平面向量(3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-备战2024年高考数学考试易错(原卷版)
专题07平面向量易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算）1．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB 的大小，也就是向量AB的长度，记作||AB ．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律a b b a +=+ ②结合律()a b c ++ =()a b c ++减法求a 与b 的相反向量b -的和的运算叫做a与b的差三角形法则()a b a b -=+-数乘求实数λ与向量a的积的运算（1）||||||a a λλ=（2）当0λ>时，a λ 与a的方向相同；当0λ<时，a λ 与a的方向相同；当0λ=时，0a λ=()()a a λμλμ= ()a a aλμλμ+=+()a b a bλλλ+=+共线向量定理向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b a λ=.共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a b λ=，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.解决向量的概念问题应关注以下七点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(6)非零向量a 与||a a 的关系：||a a是a方向上的单位向量．(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小易错提醒：（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA OB BA -= ，AM AN NM -= ，+OA OB CA OA OB CA BA CA BA AC BC =⇔-=⇔-=+=.A ．AB AD AC+= C ．AB AD CD AD++=uu u r uuu r uu u r uuu r 变式1：给出下列命题，其中正确的命题为（A ．若AB CD = ，则必有B ．若1233AD AC AB =+ C ．若Q 为ABC 的重心，则D ．非零向量a ，b ，c 变式2：如图所示，在平行四边形(1)试用向量,a b来表示DN (2)AM 交DN 于O 点，求AO 变式3：如图所示，在矩形1．已知a 、b为不共线的向量，5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，()3CD a b =-uu u r r r ，则（）A ．ABC ，，三点共线C ．A BD ，，三点共线2．如图，在平行四边形ABCD A ．1233AB AD-+C ．1536AB AD - 3．在四边形ABCD 中，若AC AB = A ．四边形ABCD 是平行四边形C ．四边形ABCD 是菱形4．已知,AD BE 分别为ABC 的边A ．43a ＋23bC ．23a 43-b 5．如果21,e e是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（①(12,R a e e λμλμ=+∈②对于平面α内任一向量③若向量1112e e λμ+ 与λ④若实数λ、μ使得1e λ+ A ．①②B 6．给出下列各式：①AB 对这些式子进行化简，则其化简结果为A ．4B 7．已知平面向量a ，bA ．若a b ∥，则a = C ．若a b ∥，b c ∥，则8．设1e 与2e 是两个不共线的向量，k 的值为（）41．平面向量基本定理和性质（1）共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈ ，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠ ，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+ 叫做向量a关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+ 叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==．推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==．（3）线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB AC AD λλ+=+ ．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．DACB（4）三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=；⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+；⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+；⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．（5）中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+ )AC，反之亦正确．DACB2．平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+ ，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a的坐标，记作(,)a x y = ．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)x y 一一对应向量OA 一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y = ，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．3．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，||AB ②已知11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ= ，∥12211212向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a λ （λ∈R ），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入a λ 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(),a x y =，22(),b x y = ，则a b∥的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB与AC 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．易错提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相。
平面向量典型易错题分析
二、向量的运算律理解不透
① a ・(b — c)=a ・ b~a ・ c； ② ！・(b・c$ = (a・b)・c； ③ (a — b)2= | a | 2 —2 | a | ・ |b | + | b |=； ④ 若a・b = 0,则a = #或b = 0； ⑤ 若 a・b = c・b,则U a = c； ⑥ | a\2 =a2;
答案 由3为锐角，得cos 3>0且cos 3 *1,
即有a・"=| a \ | b \ cos 3>0恒成立， 故a・b>0，即2 + 9入〉0 , 解得入〉一22•
又因为若a不平行于b,则1・入一2X9 *0,即 $*6.
9
综上,$〉一2且$*6.
、 四 分类讨论、数形结合思想不
善运用
例 5 已知R ,(9, — 4)与 R B(-1, 2), R 7在直线上，且|7& = 2 |7衣| , 求R 7的坐标.
新高普数学 微专题突破
&面向量易+题分析
江苏单铭成
在平面向量的学习中，同学们首先要掌 握其基本概念与运算•如果不能正确理解平 面向量的基础知识，或在某些概念及公式的 理解上模糊不清，就会造成一些表面上看起 来正确而实际上错误的判断，使解题思路走 入误区•本文将对同学们在向量学习中会遇 到的常见典型错误进行分析，希望对你的学 习有所帮助•
③ 首先相等向量一定是共线向量，向量 共线也称向量平行，两个向量平行与两条直 线平行是不同的两个概念：两个向量平行包 含两个向量共线，但两条直线平行不包含两
条直线重合，所以a,b,c,d可能四点共线，
此为易错处• 反之④则正确• ⑤ 正确，向量的相等具有传递性. ⑥ 对于零向量的有关概念不清，零向量
平面向量易错题剖析
平面向量易错题剖析1. 引言平面向量是高中数学中的重要概念，也是解决几何问题的有力工具。
然而，由于其相对抽象和复杂的运算规则，学生在学习和应用平面向量时常常容易犯错。
本文将从常见易错题入手，分析学生易犯的错误，并给出相应的解析和建议。
2. 常见易错题及解析2.1 向量加法与减法题目：已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−14)，求向量 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 。
错误解答：有些学生会直接将 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标分别相加得到 (22)，认为 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(22)。
解析：向量加法要求将两个向量的对应分量相加得到新的向量。
正确的计算方法是：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−2)+(−14)=(3+(−1)−2+4)=(22)。
因此，正确答案为 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(22)。
建议：学生在解答向量加法题目时，应注意将两个向量的对应分量相加，并仔细检查计算过程中的正负号和运算符号是否正确。
2.2 向量的数量积题目：已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−2)，求向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值。
错误解答：有些学生会直接将两个向量的对应分量相乘得到 (−4−6)，然后将其对应分量相加得到 (−4)+(−6)=−10，认为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−10。
解析：向量的数量积（内积）是将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得到一个数。
正确的计算方法是：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =((−1)×4)+(3×(−2))=−4+(−6)=−10。
因此，正确答案为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−10。
建议：学生在解答向量的数量积题目时，应注意将两个向量的对应分量相乘，并仔细检查计算过程中的正负号和运算符号是否正确。
2.3 向量的模题目：已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−1)，求向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模。
平面向量的方式技术及易错题剖析
失分警示：误区：由可得 ，又∵ ，
∴ ∴ ，∴ ，即 。同理 ∴ ，∴ ，即 。四边形ABCD为平行四边形，∴ ， ，
又∵ ，∴ ，∴ ，即 ，∴ 。综上，四边形为矩形。
上述解法错在学生不自觉地应用了实数乘法的结合律，而向量的数量积恰恰不知足结合律，因此学习向量时必然要认真认真研读教材，抛开思维定式的阻碍，避免误入思维误区。
2．平面向量数量积的运算律
专门注意：
〔1〕结合律不成立： ；
〔2〕消去律不成立 不能取得 ；
〔3〕 =0不能取得 = 或 = 。
3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着普遍的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份〞能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多骨干知识综合，形成知识交汇点，因此高考中应引发足够的重视. 数量积的要紧应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；
解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，要做到细致入微，不可大意。
【易错题9】在四边形ABCD中， ， ， ， ，且 ，试确信四边形ABCD的形状。
解题思路：由易患 ，那么〔 〕= ，
∴ ，即 。
又因为 ，∴ ，①
同理可得 。②
由①②可得 ，即 ， 即 ，∴ ， ，∴四边形ABCD为平行四边形，且 ， ，又 ，∴ ，∴ 。
平面上有互异的四点A、B、C、D，假设 ，那么△ABC的形状是
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形
〔二〕易错题剖析
【易错题1】假设向量a、b知足关系式 ，那么以下结论中正确的选项是〔〕
A.以 、 为邻边的四边形是矩形
B. 、 中至少有一个零向量或
C. 、 中至少有一个是零向量
题目中两向量a、b是任意向量，在解答构思中 与 的夹角为 ，要使 为锐角，求 的取值范围。
平面向量易错题剖析
平面向量易错题剖析平面向量易错题剖析平面向量是高中数学常考的重要内容，但是在学习和应用过程中，会有许多易错点需要注意。
本文将针对一些常见易错点进行剖析，并提供解题技巧和方法。
易错点一：向量大小和方向混淆向量大小和方向是平面向量的两个重要性质，但是在应用中容易混淆，造成错误。
一般来说，向量大小指的是向量的模长或长度，记作|a|或||。
方向指的是向量的朝向或倾斜方向，一般用箭头表示。
在计算向量加减、求夹角等问题时，需要分别考虑向量的大小和方向。
解决方法：在做题时，需要仔细阅读题目，确定题目所要求的是向量的大小还是方向。
同时，需要掌握向量的长度公式和方向公式，以便根据题目情况灵活运用。
易错点二：向量基本运算符号错误向量的基本运算包括加、减、数乘、点乘等，它们都有对应的运算符号。
但是在应用时，容易混淆符号，造成计算错误。
解决方法：要认真学习向量运算的符号和规律，牢记它们之间的差异和联系。
在解题时，要注意检查符号是否正确，尤其是多项式展开和合并的过程中。
易错点三：坐标系选择不当平面向量的运算和计算通常需要在坐标系中进行，坐标系的选择直接影响向量的计算过程和结果。
但是在选择坐标系时，容易被题目表述所迷惑，选择不当造成计算困难。
解决方法：在选择坐标系时，要注意从图形上考虑，确定哪个坐标系会使向量计算更加方便。
一般来说，如果向量的方向和坐标轴平行或垂直，可以选择直角坐标系或斜坐标系。
如果向量的方向倾斜或切线，可以选择极坐标系或极坐标系转换到直角坐标系。
易错点四：向量垂直和共线的判定向量垂直和共线的判定是平面向量的基础知识，但是在实际应用中，容易被题目表述所误导，造成错误。
解决方法：对于向量垂直的判定，可以利用向量的点乘积为0的性质，即如果向量a和向量b垂直，则a·b=0。
对于向量共线的判定，可以利用向量的叉乘积为0的性质，即如果向量a和向量b共线，则a×b=0。
在应用中，要注意从图形上考虑向量的方向和位置，结合公式进行判定。
平面向量概念问题易错点剖析
平面向量概念问题易错点剖析理解平面向量的概念是学好平面向量的基础，有关平面向量的概念，如向量概念、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等概念都需要深刻理解并会应用，然而在这些概念的理解和运用中常易出错，下面就平面向量概念理解和应用上的五种错进行举例分析：一、向量概念应用出错向量既有方向，又有大小，有关向量的理解与前面学习的数量有本质的区别，在具体应用中要避免出现忘了方向而出错的情况.例1、给出下列结论：（1）数轴是向量；（2）角度有正角和负角之分，所以角度是向量，则（ ）A.（1）正确（2）错误B.（1）错误（2）正确C.（1）（2）都正确D.（1）（2）都错误错解：A 、B 、C错解分析：选A 的同学认为数轴是向量，错因是只考虑到了向量应有大小，而忽视了向量还有方向，数轴上标明的是数量大小，不能认为数轴就是向量；选B 的同学错误地认为角度有正、负之分就如同方向，这是对方向概念理解出错；这样选C 的同学更加错了. 正确：D点评：这上一个涉及向量的基本概念的问题，应用时要注意向量有大小、方向二要素，这二者缺一不可.二、零向量应用出错零向量是一个特殊的向量，对它有规定：长度为零，方向任意，而且与任何非零向量共线.在具体的应用中要注意与普通向量的区别，避免出错.例2、给出下列命题：（1）若0a =，则0a =；（2）若a 是单位向量，则1a =；（3）若a 与b 不平行，则a 与b 都是非零向量.其中真命题的序号为： 错解：（1）、（2）、（3）错解分析：造成错解的注意是对于零向量的理解出错，对于（1）若0a =，则0a =；因改为若0a =，则0a =，对于一个向量应有方向，若“0”则是一个数量. 正确：（2）、（3）点评：零向量作为一个特殊和向量，在运用时要注意其特殊性，如方向任意、长度为零，本题就是长度为零的一个应用.三、单位向量应用出错单位向量也是向量中的一个特殊向量，有其具体、特殊的规定：方向任意，长度为 1.因忽视这两点而出错的较多，在解题时要注意单位向量与其他向量的区别，谨防出错. 例3、下列说法正确的是（ ）A.单位向量一定是平行向量B.相等向量不一定是共线向量C.共线的单位向量一定是相等向量D.平行向量一定是共线向量错解：A 、B 、C错解分析：对于错解A ，主要是单位向量的方向是任意的理解出错；对于错解B ，主要是相等的向量一定是共线向量，是一个特例；对于错解C ，共线的单位向量的长度相等，但不一定相等，因还要考虑到方向问题.而平行向量则一定是共线向量.正确：D点评：单位向量的应用既要注意方向，也要注意长度，在具体的应用中要关注的是方向是任意的，因此区别于平行向量、相等向量等基本概念.四、相等向量应用出错相等的向量在概念的理解上不但要注意大小相等，而且要注意方向相同.在具体的应用中要注意这二个条件，避免缺一而造成错解.例4、给出下列说法：（1）若两个向量相等，则它们的起点必重合；（2）若两个向量不相等，则它们一定不共线；（3）若两个向量不相等，则它们一定不可能用同一条有向线段来表示；（4）零向量与任意向量共线，其中错误说法的序号是：错解：（3）（4）错解分析：造成错解的原因是对于相等向量的概念理解出错，作为两个相等向量，要求是大小和方面均相同.对于（1）两个向量相等，起点不必一定要相同，当然对于（2）不相等的两个向量仍可能是共线向量.因此（1）（2）是错误的.正确：（1）、（2）点评：对于两个向量相等的应用关键是要理解长度相等，方向相同，但可以平移.关于“可以平移”，是最易出错的一点.五、共线向量应用出错共线向量就是平行向量，指两个向量方向相同或相反，但长度不一定相同的两个向量.共线的向量不一定就在同一直线上，共线向量包括在同一直线上的两个向量也包括在两条相互平行直线上的两个向量，这点容易出错，要引起重视.例5、举例说明：“如果//,//a b b c ，那么//a c ”是一个假命题.错解：可能出现举不出或举例出错的情况错解分析：出现举不出的原因是对于共线向量的概念的理解出错，这个问题一般情况下是正确的，但对于特殊情况，零向量，就不一定成立，如//0,0//a c ，那么,a c 不一定共线”正确：这是一个假命题，如//0,0//a c ，那么,a c 不一定共线.点评：向量的共线相注意其表示的范围包括共线于一直线，也可是位于相互平行的二直线上；而且零向与任何非零向量共线.向量基本概念的理解和应用是学好向量问题必备条件，这块内容不但要准确理解，而且要确保应用无误，还要善于应用于有关向量的数学问题中，起到简化运算，提高效率的目的，充分发挥向量作为解决数学问题重要工具的作用.。
平面向量易错题解
平面向量易错题解析1、你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？ （利用22||→→=a a ；22||y x a +=）3、你知道解决向量问题有哪两种途径？ （①向量运算；②向量的坐标运算）4、你弄清“02121=+⇔⊥→→y y x x b a ”与“0//1221=-⇔→→y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？ （1）在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=∙→→b a ，不能推出→→=0b .（2）已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→→→→→→=⇒∙=∙c a c b b a .（3）在实数中有)()(c b a c b a ∙∙=∙∙，但是在向量的数量积中)()(→→→→→→∙∙≠∙∙c b a c b a ，这是因为左边是与→c 共线的向量，而右边是与→a 共线的向量.5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？7、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是||AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
平面向量易错题整理解析
【知识目标】：高考中主要考察向量的共线、垂直、数量积等基本概念运算，难度中等， 或以向量为工具出现在其他知识中，综合性较强，同学在周考、统练中易丢分。
需总结、回归基础、查漏补缺，防止丢分。
【能力目标】： 向量的思想方法及工具性。
【学习方法】:易错点问诊，自主归纳整理。
【学习过程】: 培养学生数形结合、转化与化归的数学思想.一、易错点问诊A 组：（5分钟）1、（周考题）已知直线y =x 2上一点P 的横坐标为使得，点)3,3(),1,1(B A a -B P A P ρρ•的夹角为钝角，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿． ２(统练题)已知三角形ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2，则C B B A ρρ•=_________________.3、(统练题)关于平面向量有下列四个命题：①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ； ②已知(,3),(2,6)k ==-a b ．若a b ∥，则1k =-；③非零向量a 和b ，满足||=|a |=|b |a -b ，则a 与a +b 的夹角为30o ；④()()0||||||||+⋅-=a b a b a b a b ．其中正确的命题为___________．（写出所有正确命题的序号）☆☆易错原因反思：______________________________________________________________________________________________________________________________________ 反馈训练：（2分钟） 1.三角形ABC 中，,AB a BC b ==u u u r r u u u r r ，有0a b ⋅<r r ，则三角形ABC 的形状是 （ ）（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不能确定2.已知非零向量的关系是则b a b a ,,=+（A ）相等 （B ）共线且方向相同 （C ）共线且方向相反 （D ）垂直B 组：（5分钟） 1.（统练卷）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB u u u r = a , CA u u u r = b , a =1 ，b = 2, 则CD uuu r =（ ）A.13a + 23b B.23a +13b C.35a +45b D.45a +35b内容：平面向量易错题 的整理解析班级： 姓名： 高三数学学案使用时间：2013年3月7日 编辑人：郭滨2.（周考）△ABC 中，∠A=60°，∠A 的平分线AD 交边BC 于D,已知AB=3，且)(31R ∈+=λλ，则AD 长为___________ 3.(周考)已知BC 在以AD 为直径的圆上,若AB=3,AC=4,则=•BC AD ________________ ☆☆☆易错原因反思：____________________________________________________________________________________________________________________________________ 反馈训练:（3分钟）1、(如图)在△ABC 中，AD ⊥AB,=,3=,则)(BD AB AC +=_________________________,,450OB n OA m OC AOC AOB C OB O +==∠∠===设内，且在，点则nm 等于________________. C 组：（6分钟） 1.（周考）设,,是单位向量,且))(,0--=•则（的最小值是( ) A.-2 B.22- C.-1 D.21-2.（月考）已知又点C 1),0,1(),0,1(=-==__3.（月考）在三角形ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且CDO 在线段点,3=上(与C,D 不重合),若x x )1(-+=,则x 的取值范围是_____________.☆☆☆☆易错原因反思：___________________________________________________________________________________________________________________________________反馈训练：（5分钟）1、如图。
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平面向量易错题解析1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用22||→→=a a ；22||y x a +=）3.你知道解决向量问题有哪两种途径？ （①向量运算；②向量的坐标运算）4.你弄清“02121=+⇔⊥→→y y x x b a ”与“0//1221=-⇔→→y x y x b a ”了吗？[问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=•→→b a ，不能推出→→=0b .（2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→→→→→→=⇒•=•c a c b b a . （3） 在实数中有)()(c b a c b a ••=••，但是在向量的数量积中)()(→→→→→→••≠••c b a c b a ，这是因为左边是与→c 共线的向量，而右边是与→a 共线的向量.5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面的两个不共线向量，那么对该平面的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
如（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：1322a b -）；（2）下列向量组中，能作为平面所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D.1213(2,3),(,)24e e =-=-（答：B ）；（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答：2433a b +）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）4.实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
5.平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π时，，垂直。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
如（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____（答：1）；（3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30）（3）b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。
如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______（答：512） （4）a •b 的几何意义：数量积a •b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。
（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔•=；②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，特别地，222,a a a a a a =•==；当a 与b 反向时，a •b ＝－a b ；当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b a bθ•=；④||||||a b a b •≤。
如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值围是______（答：43λ<-或0λ>且13λ≠）；（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值围是_________（答：(,)43ππ）；（3）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y ==a 与b 之间有关系式3,0ka b a kb k +=->其中，①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k+⋅=>；②最小值为12，60θ=） 6.向量的运算： （1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
如（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____（答：①AD ；②CB ；③0）；（2）若正方形ABCD的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：）；（3）若O 是ABC 所在平面一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D 为ABC∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为___（答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的角C 为____（答：120）；（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。
如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6π或2π-）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是 （答：（9,1））②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。
③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如设(2,3),(1,5)A B -，且13AC AB =，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________（答：11(1,),(7,9)3-）； ④平面向量数量积：1212a b x x y y •=+。
如已知向量＝（sinx ，cosx ）, ＝（sinx ，sinx ）, ＝（－1，0）。
（1）若x ＝3π，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求λ的值（答：1(1)150;(2)2或1）；⑤向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+。