九年级数学中心对称

中心对称

一、同步知识梳理

知识点一、中心对称

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。

示例：如图，△ABO绕着点O旋转180°后与△CDO完全重合，则称△CDO与△ABO关于点O对称，点C是点A关于点O的对称点。

注：①中心对称是指两个图形间的位置关系，必须设计两个图形。

②中心对称是特殊的旋转，旋转角为180°。

知识点二、中心对称的性质

中心对称是一种特殊的旋转，因此它具有旋转的一切性质，除此之外，中心对称还具有以下特殊性质。

（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。

（2）中心对称的两个图形是全等图形。

注：中心对称的两个图形一定全等，但全等图形不一定成中心对称。

知识点三、作已知图形的中心对称图形

作已知图形关于某一点对称的图形的依据是中心对称的性质。可利用对称中心是对称点连线的中点这个特点，先找出已知图形各关键点的对称点，再顺次连接各对称点，所得图形即是与已知图形成中心对称的图形。

知识点四、中心对称图形

把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。如下图的图形是中心对称图形，点O是它的对称中心。

注：①中心对称图形两对对称点连线的交点，就是对称中心，且对称中心是它们的公共中点，即两两互相平分。

②任何一条经过对称中心的直线都把一个中心对称图形分成全等的两部分。

③中心对称是两个图形的特殊关系，中心对称图形是一种特殊的图形。

知识点五、关于原点对称的点的坐标

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点对称的对称点为P （﹣x，﹣y）。

注：①两个点关于原点对称，可理解为它们的横坐标与纵坐标分别互为相反数，第一象限的点关于原点对称的点在第三象限，第二象限的点关于原点对称的点在第四象限。

②关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。

一、专题精讲

题型一、中心对称图形的识别

例1．下列图案都是由字母“m”经过变形、组合而成的，其中不是中心对称图形的是 B

【方法总结】中心对称图形的识别方法

边数为偶数的正多边形图案都是中心对称图形，相应地与边数为偶数的正多边形具有类似特征的图形也是中心对称图形。边数为奇数的正多边形或具有类似特征的图形一定不是中心对称图形。

变式训练

下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）（答案不唯一）BD

A B C D

题型二、确定成中心对称的两个图形的对称中心

例2. 如图，△ABC与△DEF是成中心对称的两个图形，确定它们的对称中心。

【方法总结】确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法

方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，这个中点就是对称中心；

方法二：连接任意两对对称点，两条线段的交点即是对称中心。

变式训练

如图，两个任意四边形中心对称，请画出它们的对称中心。

（变式训练） （例3）

题型三、利用中心对称的性质求线段的长

例3．如图，是一个中心对称图形，点A 为对称中心，若∠C ＝90°，∠B ＝90°，BC ＝1，则BB 的长为 。

题型四、利用关于原点或中心对称的点的坐标特征求点的坐标

例4．如图，△PQR 是△ABC 经过某种变换后得到的图形。如图△ABC 中任意一点M 的坐标为（a ，b ），那么它的对称点N 的坐标为 。

（例4） （例5）

题型五、关于原点中心对称的作图

例5．△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A 、B 、C 三点在格点上。

（1）作出△ABC 关于y 轴对称的△111A B C ，并写出点1C 的坐标；

（2）作出△ABC 关于原点O 对称的△222A B C ，并写出点2C 的坐标。

1、以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）。 B

2、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）。 A

3、在如图所示的单位正方形网格中，△ABC 经过平移后得到△111A B C ，已知在AC 上一点P （2.4，2）平移后得到的对应点1P ，点1P 绕点O 逆时针旋转180°，得到对应点2P ，则点2P 的坐标是 。 （1.6，1）

课后作业

1、下列电视台的台标中是中心对称图形的是（） A

2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（） B

A、1

B、2

C、3

D、4

3、下图的四组图形中，右边的图形与左边的图形成中心对称的有（） C

A、1组

B、2组

C、3组

D、4组

4、如图，阴影部分组成的图案关于x轴承轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形。若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（） C

A、M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）

B、M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）

C、M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）

D、M（﹣1，3），N（1，﹣3）

（第4题） （第5题） （第8题）

5、如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交边AD 、BC 于E 、F 两点，则阴影部分的面积是 。

6、在平面直角坐标系中，点P （﹣20，a ）与点Q （b ，13）关于原点对称，则a ＋b ＝ 。 7

7、已知点P 关于x 轴的对称点1P 的坐标是（5，8），则点P 关于原点的对称点2P 的坐标是 。（5，﹣8）

8、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （﹣3，2），B （﹣1，4），C （0，2）.

（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△111A B C ；

（2）平移△ABC ，若点A 的对应点2A 的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后的△222A B C ；

（3）若将△222A B C 绕某一点旋转可以得到△111A B C ，请直接写出旋转中心的坐标 。（﹣1，0）