对初等数论课程中核心概念的本质把握

其实人们是从小学开始零零总总地认识 自然数 、整数 ， 不甚系统地学习初等数论的基础内容 （ 整数的 整除性理论 ） ．在 中学阶段 ，相当一部分学生又通过参加各级各类的数学竞赛培训 ，对初等数论的核心内 容（ 整数 的同余理论 ） 有了一定 的认识 ， 以大学阶段的初等数论课程的许多内容对学生来讲不是陌生的， 所 但也说不上熟识．在这一阶段 ，学生对数论 的相关内容的学习和认知 ，不能仅停留在原有的认知水平和形
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高 师 理 科 学 刊
第３ ２卷
运算 和解 决数 学 问题 ．
为 了交流和思考数学概念 ，就需要对概念做 出表征．数学概念往往有多种表征方式 ， 如利用现实情境 中的实物、模型、图像或 图画进行 的形象表征，利用 口 语和书写符号进行的符号表征等．不同的表征将导
致不同的思维方式 ， 概念多元表征可以促进学生对数学概念的多角度理解 ；在不同的表征系统 中建立概念 的不同表征形式，并在不同表征系统之间进行转换训练 ，可以强化学生对概念联系性的认识 ；建立概念不 同表征间的广泛联系，并学会选择、使用与转化各种数学表征 ， 是使用概念有效地解决复杂、综合问题 的 前提．因此，使学生掌握概念 的多元表征 ，并能在各种表征 间灵活转化 ，是数学概念教学的基本策略Ｈ ． 初等数论中的概念大都是通过数学逻辑建构产生的，学生获得概念的主要方式是概念同化 ， 教师也主 要是通过逻辑演绎进行概念教学．通常对这类概念的认识不可能一蹴而就 ，随着后续相关 内容 的学习有一 个渐次深入的过程 ，需要通过多次反复认知才可能对概念理解到位 ， 把握其本质属性．在初等数论核心概 念的教学中，要使学生掌握概念的多元表征 ， 教师可采用多种等价表述方式来揭示概念 的本质特征．
ＸＩ ｏ ｇ － ｉ Ｅ Ｈ ｎ —ｍｅ （ ｃｏｌｆ ｏｍ ｌ ｈｈｚＵ ｉ ｒｉ ，Ｓｉｅｉ ３０ ３ ｈｎ ） ＳｈｏｏＮ ｒａ，Ｓｉｅｉ ｎ ｅｓｙ ｈｈｚ８２ ０ ，Ｃ ｉａ ｖ ｔ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｄｅ ｃ ｂ ｄ ａ ｆ ｃｉ ｅｗａ ｅ ｅ ｌ ｈ ａｕ ｅｐ ｏ ｅ ｔ ｆ ｏ ｃ ｐ ｓ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｈ ｗ ｔ ｒ ｓ ｅ ｅ ｓ ｎ ｉｌ ｓ ｃ： ｒ ｓ ｒ ｅ ｎ ｅ ｅ ｔ ｙｔ ｒ ｖ ａ ｅ ｎ ｔ ｒ ｒ ｐ ｒｙｏ ｎ ｅ ｔ ， ｉｃ ｓ ｅ ｏ ｇ ａ ｐ ｔ ｓ ｅ ｔ ｉ ｖ ｏ ｔ ｃ ｏ ｈ ａ
的最小的一个叫做ａ， ： …， ａ ， ａ 的最小公倍数， 记为 ， ： …， ． ａ， ａ】
然后推证最小公倍数和最大公因数之间的一个重要关系式 ，即
．
第 ４期
谢红梅 ：对初等数论课程 中核 心概 念的本质把握
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定理 ３
对任意的正整数 以，ｂ，有 ， 】 ｂ＝
中图分 类号 ：０１１： ６２０ ５ Ｇ ４． 文献标 识码 ：Ａ ｄ ０３６／ｉ ｎ１０— ８ １ ０ ２０．２ ｏ：１．９９ｊｓ ．０７ ９３ ． １． ０３ Ｊ ．ｓ ２ ４
Ｇｒ ｓ ｉｇｔ ｅｎ ｔ ｒ ｆ ｏ ｅｃ ｎ ｅ ｔ ｉ ｌｍｅ ｔｒ ｕ ｅ ｅ ｒ ａ ｐ ｎ ａｕ ｅｏ ｒ ｏ ｃ ｐ ｓ ｎ ｅｅ ｎ ａ ｙｎ ｍｂ ｒ ｈ ｏ ｈ ｃ ｔ ｙ
定义 ２ 设 ａ， ， …， ａ ， ａ 为不全为零的整数 ，若正整数 ｄ满足 ：
（ ）ｄ ｉ（ ＝１２ …， ； １ ｌ ｉ ， ， ｎ） ａ
（ ） ｃ （ ＝ ， ， ｎ） ０Ｉ ． ２ 若 Ｉ ｉ １ ２ …， ，贝 以 ｃ
则称 ｄ为 ａ， ： …， ａ ， ａ 的最大公因数，记作 ｄ＝ ， …， ． ａ， ａ） 事实上 ，人们在寻求若干个整数的最大公因数时，一般几乎不会采用最初引入的定义 １ ，而是使用这 概念的本质特征 （ 即定义 ２ 来判断和推算．计算两个非零整数的最大公因数的辗转相除法就是一个典 ）
文 章编 号 ：１ ０ — ８ １（ ０ ２） ４ ０ ７ － ０ ７ ９ ３ ２ １ ０ — ０ ３０ ４
对初 等数论课程 中核 心概念 的本质把握
谢红梅
（ 河子 大学 师 范 学院 ，新 疆 石河 子 ８２ ０ ） 石 ３０ ３
摘要 ：阐述了初等数论教 学中揭示概念本质属性的有效方式 ， 讨论 了如何把握初等数论 中的三组 核心概念—— 最大公 因数与最小公倍数，质数与合数 ，同余、剩余类和 完全剩余 系的本质特征等 问题 ， 明了数学概念认知的重要性． 说 关 键词 ：初 等数论 ；核 心概 念 ；本质 特征
收 稿 日期 ：２ １－ ３ １ ０２ ０ —０
基 金项 目 ：国家 自然科 学基金 资助 项 目 （ １６ ００） １１ １４
作者简介 ：谢红梅 （ ９７ １６一）， ，甘肃 民勤人，教授 ，硕士，从事代数学和应用概率论研究．Ｅ ｍ ｉ ｈ ｅ＠ｓｚ． ｕ１ 女 — ａｌ ｍ￣ ａ ｈｕｅ ．１ ：ｘ ｄ ３ １
口，
．
由定理 ３ 可获知一个重要事实 ： 两个整数的任意公倍数都可 以被它们 的最小公倍数整除．这一事实刻
画了两个整数的最小公倍数的本质特征 ： 【 ｂ等价于ａ ，ｂ Ｉ 且对于任意ｃ Ｚ， ｌ，纠 ， ｍ＝ａ 】 ， ｉ ｍ， ｍ ∈ 若口 ｃ ｃ 则 必有 ｍ 成立． ｌ ｃ 反复利用上述事实可得，对于任意的ｎ 个整数 ａ， …， ａ ， ａ ，作 【 ， ＝ ２ ２ ａ】 ｍ ，…， ａ ａ】 ｍ ， ， ３＝ １ ａ ＝ ，【 ， ＝ 】 ｍ ｍ ａ 】 ｍ ，则 １ａ， ａ】 ， ２…， ＝ｍ ．从而有推论 ２ ．
此可得 到推 论 １ ．
推论 １ 设Ｃ １ａ， ａ 的一个公因数，则ｃ ， ２ …， ． 是ａ， ２ …， １ ａ， ａ）
推论 １ 刻画了最大公因数的本质特征 ： 最大公因数不但是公因数中最大的， 而且是所有公因数的倍数 ；
也揭示出最大公因数概念中 “ 最大”的涵义实质是针对整除关系而言 ，而不是指形式上的大小关系 ，当然 从大小 比较也确实是最大．为此可获得最大公 因数 的一个等价定义 （ 刻画本质特征 ） ：
定 设口 ２…， 为 理２ １ ， 不全为 整 以Ｙ 集合Ａ ｛Ｙ ａ １ 口 ２ …＋ ｎ ｉ ， 零的 数， ｏ 表示 ＝Ｙ ＝ １ ＋ ２ ＋ ａ Ｉ ， ∈
Ｚ １ｆ ｔ ， ≤ ， 中的最小正数， ｝ 则对于任何 Ｙ Ａ，ＹＩ．特别地，Ｙｌ （ ≤ ≤ ． ∈ ｏ ｙ ｏ ｆ １ ｉ ） ａ 定理 ２ 表明 Ｙ ＝ ， …， ， （ ａ， ａ） 。 ａ， ａ） 且 ， …， 可以表示成 ａ， ： …， ａ ， ａ 的整系数线性组合．由
一
型例证 ，这从其算理和计算过程体现出来． 因此教学中，引导学生得到最大公因数的基本性质 （ 即推论 １ 后 ，应不失时机重新审视最大公因数 ）
概念 ，诱导学生清晰地表述 出最大公 因数 的本质特征 ，这样也就实现了关注和把握数学本质 的课程 目标． 、 对于最小公倍数 ，也同样如此．首先引入最小公倍数概念 ，即 定义 ３ “ 整数 ａ， ： …， 嗍 ａ ， ａ 的公共倍数称为 ａ， …， ａ ， ａ 的公倍数．ａ， …， ａ ， ａ 的正公倍数中
公倍数 的一个等价定义 ： 定义 ４ 设 ａ， ， …， ， ｎ ， ａ 为任意的 ， ｚ 个整数 ，若正整数 ｍ满足 ：
（ ） ｉ （ ＝ ， ， ｎ） １ ａｍ ｆ １２ …， ； Ｉ （） ２ 对于任意ｃ ∈Ｚ，若ａＩ ｉ １２ …，１，则ｍｃ ｉ ｃ（ ＝ ， ， ｒ） ｌ． 则称 ｍ为 ａ， ２ …， ｌａ ， ａ 的最小公倍数 ，记作 ｍ＝ａ， ２ …， ． 【１ａ， ａ】
ａ 的公 因数 中最大的一个称为 ａ， …， 。ａ， ａ 的最大公因数 （ 或最大公约数 ） ，记为 （ ， …， ． ａ ａ， ａ） 利用辗转相除法 （ 又称 Ｅ ｃ ｄ ｕｌ 算法 ） ｉ 可以计算出任意 ｎ 个非零整数的最大公因数 ， 具体求解过程为定
理 １．
定理 １ 对于任意的 ｎ 个整数 ａ， ２ …， 作 （ｌａ） ｄ ，（２ａ） ｄ ， １口， ａ ， ａ， ２： ２ ｄ， ３＝ ３ …，（ ， ） ， ｄ ａ ＝ｄ＿ １ （ ， ｎ＝ｄ ，贝 １ａ， 口） ｄ ． ｄ－ ａ） ０ ， ２ …， ＝ 】 运用构造法和 自然数最小数原理 ，可得定理 ２ ．
ｒ ｓｄｕ ｓ ａ ｄ ｉ ｉａ ｅ ｅｉ ｏ ｔ ｎ ｅｏ ｗａ ｅ ｓ ｆｍａ ｈ ｍａ ｉ ａ ｏ ｃ ｐ ｓ ｅｉ ｅ ， ｎ ｎｄ ｃ ｔｄ ｔ ｈ ｍｐ ｒａ ｃ ｆａ ｒ ｎｅ ｓｏ ｔ ｅ ｔｃ ｃ ｎ ｅ ｔ ． ｌ
Ｋｅ ｒｓ ｅｅ ｎａ ｕ ｅ ｅ ｒ ； ｃ ｒ ｏ ｃ ｐ ； ｅ ｓ ｎｉｌ ｈ ｒｃｅｉｔ ｓ ｙｗｏｄ ： ｌｍｅ ｔｒ ｎ ｍｂ ｒ ｏ ｙ ｈ ｔ ｙ ｏｅｃ ｎ ｅ ｔ ｓｅ ｔ ａａ ｔｒｓｉ ａｃ ｃ
２ 对 三组核心概念 的本质特征 的把握
２１ 最大 公 Βιβλιοθήκη Baidu数与最 小公 倍数 ．
通常各种版本 的教材引入最大公 因数概念的定义是 ： 定义 １ 整数 ａ， …， ａ ， ａ 的公共因数称为ａ， ： …， ａ ， ａ 的公因数．不全为零的整数 ａ， ， ， …
，
推论 ２ 若ｍ是整数ａ， …， ａ， ａ 的公倍数，则【，ａ， ａ ． ａ， ： …， ｎ
推论 ２ 刻画了最小公倍数 的本质属性 ：最小公倍数不但是所有正公倍数中最小的，而且是所有公倍数 的因数 ；也揭示出最小公倍数概念中 “ 最小”的涵义本质上是针对整除关系而言的．由此可 同样获得最小
ｃ ａａ ｔｒｓ ｃ ｆ ｈ ｒｅｇｏ ｐ ｏｅｃ ｎ ｅ ｔ ｉ ｌｍｅ ｔｒ ｕ ｅ ｅ ｒ ｉｈａｅｔ ｅｇｅ ｔｓ ｏ ｈ ｒｃｅｉ ｉｓｏ ｅｔ ｅ ｕ ｓｃ ｒ ｏ ｃ ｐｓ ｎｅｅ ｎａｙｎ ｍｂ ｒ ｈ ｏｙｗｈｃ ｙ ａｅ ｔ ｍｍｏ ｉｉｏ ｔ ｔ ｈ ｒ ｔ ｈ ｒ ｃ ｎｄｖｓ ｒ ａ ｄ ｌａ ｔｃ ｍｍｏ ｌｐｅ ｐ ｍｅ ａ ｄ ｃ ｍｐ ｓｔ ｕ ｅｓ ｃ ｎ ｒ ｅ ｃ ， ｒｓｄ ｅ ｃａ ｓａ ｄ ｃ ｍｐｅｅ ｓｓｅ ｏ ｎ ｅ ｓ ｏ ｎ ｍｕｔ ｌ ， ｒ ｎ ｏ ｏ ｉ ｎ ｍｂ ｒ ， ｏ ｇ ｕ ｎ ｅ ｅｉｕ ｌｓ ｎ ｏ ｌｔ ｙｔｍ ｆ ｉ ｉ ｅ
式化的理解上 ，而更需关注数学本质 ，对整数的认识理应提升到相应的认知水准．
１ 采用 多种 等价表述方式揭示概念 的本质属性
数学概念是事物空间形式和数量关系的本质属性在人脑中的反映 ， 是进行数学思维的基本要素 ， 是建 立数学定理、公式 、法则的基础 ．只有正确认识和理解数学概念，才可能有效地进行判断、解释、推理 、
作为大学数学课程 ， 初等数论介绍有关整数的一些基础知识和基本理论 ， 是培养和发展学生创新思维 、 合情推理、逻辑思维 、发散思维能力 的一个相 当实用和不可多得 的知识载体ｕ ． 卅
另外 ， 初等数论课程包含了现行基础教育新课程标准下高中数学选修系列四中 “ 初等数论初步” 模块 的全部内容 ，同时数论在信息安全中的应用也是高中数学选修系列三中 “ 信息安全与密码”模块的基本内 容，因此该课程对培养中学数学教师和从事数学研究也具有特别重要 的作用．
第 ３ ２卷 第 ４ 期
２ １ ０ ２正
高 师 理 科 学 刊
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Ｖｏ ． ２ Ｎｏ４ １３ ．
７月
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