中山大学2016年(数学学院)考研真题初试试题《数学分析》663真题与解析
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及详细解析
(B) p 随着 的增加而增加. (D) p 随着 的增加而减少.
X
} ( ) 1 ，将试验 3
(8)随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1 , A2 , A3 ，且三种结果发生的概率均为
E 独立重复做 2 次， X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数， Y 表示试验中结果 A2 发生的
（
）
2016 年考研数学一真题及详细解析——向星荣
(A)单叶双曲面. 【答案】(A)
(B)双叶双曲面.
2 2 2
(C)椭球面.
(D)柱面.
【解析】 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3 正交变换下二次型
1 2 2 1 2 2 0 4 3 2 1 2 0 1 2 (1 ) 0 1 2 (1 )(8 (1 )(3 )) 2 2 1 1 2 1 1 2 1 (1 )(5 4 2 ) 0 1,5, 1
n n
2016 年考研数学一真题及详细解析——向星荣
(20)(本题满分 11 分)
2 1 1 1 2 a 1 ，B 1 a . 设矩阵 A 2 1 1 a a 1 2
当 a 为何值时，方程 AX B 无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求此方程.
.
2016 年考研数学一真题及详细解析——向星荣
1 0 0 1 (13) 0 0
4 3 2
0 0 1 1
.
(14)设 x1 , x2， 样本均值 x 9.5 ， 参数 的 ,xn 是来自正态总体 N ( , ) 的简单随机样本，
(NEW)中山大学数据科学与计算机学院数学分析(A)历年考研真题汇编
2008年中山大学636数学分析考研 真题
2009年中山大学650数学分析考研 真题
2010年中山大学651数学分析考研 真题
2011年中山大学657数学分析考研 真题
2012年中山大学657数学分析考研 真题
2013年中山大学662数学分析考研 真题
2014年中山大学668数学分析考研 真题
2015年中山大学668数学分析考研 真题
2016年中山大学663数学分析考研 真题
2017年中山大学681数学分析 （A）考研真题
2018年中山大学680数学分析 （A）考研真题
2019年中山大学682数学分析 （A）考研真题
目 录
2008年中山大学636数学分析考研真题 2009年中山大学650数学分析考研真题 2010年中山大学651数学分析考研真题 2011年中山大学657数学分析考研真题 2012年中山大学657数学分析考研真题 2013年中山大学662数学分析考研真题 2014年中山大学668数学分析考研真题 2015年中山大学668数学分析考研真题 2016年中山大学663数学分析考研真题 2017年中山大学681数学分析（A）考研真题 2018年中山大学680数学分析（A）考研真题 2019年中山大学682数学分析（A）考研真题
中山大学研究生入学考试数学分析试题解答
lim
n
(4)记上顶面为， S1 : z 1, x2 y2 1
当 z 1时，
当z
2.(15 分)考察函数
锥面： S2 : z x2 y2 , x2 y2 1 .
x2 y2 ，
1
解 本人感觉此题有问题，应该是
f
z
2 x
1
z
2 y
z
2 x
1；
S
S1
(x2 y2 )dxdy 2(x2 y2 )dxdy
x2 y2 1
(1 2) 2 d 1 r3dr
(1 2) 2
(x,
y)
0
x2 y2
x2
0
y2
0
, x2 , x2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
(整理)中山大学年数学分析部分考研题解答.
中山大学2009年数学分析考研部分试题参考解答魏春理摘要 本文给出了中山大学2009年数学分析部分考研题的一个参考解答.关键词 中山大学 数学分析 考研试题 参考解答1．（1）求21lim(ln(1))x x x x →∞-+； 解答：21lim(ln(1))x x x x →∞-+=222111lim[(())]2x x x o x x x→∞--+ =11lim(())2x x x o x→∞-++ =12□（2）220cos()sin t x t uy du u ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰，求dy dx ； 解答：2222sin()2sin()2dy t t dy dt t t dx t t dxdt-⋅===--⋅ □ （3）求21ln ln xdx x-⎰； 解答：令ln t x =，则21ln ln x dx x -⎰=21tt de t-⎰ 21t t t e dt t e dt --=-⎰⎰ 11t t e dt t e dt --=--⎰⎰ 111()t t t e t t e dt t e dt ---=---⎰⎰ 1t e t C -=-+1(ln )x x C -=-+（C 为常数） □ （4）求11x x ae dx --⎰，1a ＜；解答：1111=)axx a x ae dx x a e dx ---+-⎰⎰⎰（11()()a xx a a x e dx x a e dx -=-+-⎰⎰1111a a x x x x a a ae dx xe dx xe dx ae dx --=-+-⎰⎰⎰⎰ 12()()a x e e a e e -=--+□ （5）设sin z uv t =+，t u e =，cos v t =，求dz dt； 解答：(sin )dz d uv t dt dt +=cos du dv v u t dt dt=⋅+⋅+ cos (sin )cos t t e t t e t =+-+(cos sin )cos t e t t t =-+ □ （6）设(())u x y ϕψ=+，其中ϕ，ψ二阶可微，x ，y 为自变量，求2d u ；解答：ⅰ）x y du u dx u dy =+'()x y dx y dy ϕϕψ=+； ⅱ）就有2()d u d du = ('())x y d dx y dy ϕϕψ=+=22()('())'()x x y y d dx d x d y dy y d y ϕϕϕψϕψ+++ (x ，y 为自变量，故有220d x d y ==) ()('())x y d dx d y dy ϕϕψ=+()('()'())x x xy y y dx dy dx d y d y dy ϕϕϕψϕψ=+++2[()'()''()]xx xy yx yy y dx dydx dx dy y y dy dy ϕϕϕϕψϕψ=++++ 222'()''()xx xy yx yy y dx dydx dxdy y dy y dy ϕϕϕϕψϕψ=++++2222'()''()xx xy yy y dx dxdy y dy y dy ϕϕϕψϕψ=+++□ (7)求级数1cos n n x ∞=∑在收敛域上的和函数；解答：容易看出，当x k π=（k N ∈），时，1cos n n x ∞=∑发散，于是可以得到1cos n n x ∞=∑的收敛域为{},D x k x R k N π=≠∈∈；接下来，求1cos n n x ∞=∑在D 上的和函数：1cos nn x ∞=∑=1cos (1cos )lim cos lim 1cos n nkn n k x x x x →∞→∞=-=-∑cos 1cos xx =-，x D ∈ □ （8）判别级数1111n nn∞+=∑的敛散性；解答：由1111111limlimlim()11nnn n n nn n n nn+→∞→∞→∞+===以及级数11n n∞=∑发散，可知1111n nn∞+=∑发散□二、将区间[1,2]作n 等分，分点为0112n x x x ==＜＜＜，求n .解答：根据11111im1lim lim nni in i i nx x nn n i n n i x e e→∞==→∞→∞=∑∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏，以及21113im 2n i n i x xdx n →∞===∑⎰，得到32n e =□ 三、计算22()()lx y dx y x dyI x y ++-=+⎰，其中l 是从点(1,0)A -到点(1,0)B 的一条不通过原点的光滑曲线：()y f x =，[1,1]x ∈-，且当(1,1)x ∈-时，()0f x ＞. 解答：根据Green 定理，令22(,)x y P x y x y +=+，22(,)x yQ x y x y-=+.此时有 222222()Q P x xy y x y x y ∂∂--==∂∂+ 故第二型曲线积分22()()lx y dx y x dyI x y++-=+⎰的值与路径无关，为了计算该积分，构造以下曲线：1l ：0y =，(1,)x ε∈；2l ：222x y ε+=，[,]x εε∈-；3l ：0y =，(1,)x ε∈--；于是可以得到如下的过程：22()()l x y dx y x dy I x y ++-=+⎰22()()l x y dx y x dy x y-++-=-+⎰ 12322(+()()[()]l l l DQ P x y dx y x dy dxdy x y x y-+-∂∂++-=---∂∂+⎰⎰⎰） （其中123=D l l l l ∂+++，方向为顺时针旋转） 12322(+()()l l l x y dx y x dyx y -+++-=+⎰）2-122-11()()1l x y dx y x dy dx dx x x y x εε-++-=+++⎰⎰⎰ 222()()lx y dx y x dyx y-++-=+⎰ (令cos x εθ=，sin y εθ=，[0,]θπ∈) 22202(sin cos sin sin cos cos )d πεθθθθθθθε--+-=⎰ 0d πθπ=-=⎰□四、计算222x dydz y dzdx z dxdy∑++⎰⎰，其中∑为曲面222x y z +=介于平面0z =和z h =（0h ＞）之间的部分取下侧.解答：根据题意可知曲面∑不是封闭曲面，但是添加一片曲面：σ：z h =，222x y h +≤（0h ＞）；于是σ∑+就是封闭的曲面，这里σ方向取上侧，记σ∑+所围成的区域为Ω.则由Gauss 公式得：222222x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy σ∑+++++⎰⎰⎰⎰ 222x dydz y dzdx z dxdy σ∑+=++⎰⎰2()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰(令cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，其中0z r ≤≤，0r h ≤≤，02θπ≤≤)'2(cos sin )r r r z drd dz θθθΩ=++⎰⎰⎰202(cos sin )h rd rdr r r z dz πθθθ=++⎰⎰⎰42h π=此时，222x dydz y dzdx z dxdy σ++⎰⎰2z dxdy σ=⎰⎰2222x y h h dxdy +≤=⎰⎰4h π=；于是，222222=I x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy σ∑++-++⎰⎰⎰⎰42h π=-□五、设()f x 在[1,)∞连续，''()0f x ≤，(1)2f =，'(1)3f =-.证明()0f x =在(1,)∞有且仅有一个实根.证明：ⅰ)由''()0f x ≤，知'()f x 在1x ＞时单调减，所以当1x ＞时，'()'(1)0f x f ≤＜，()f x 在(1,)+∞上严格减.于是方程()0f x =在(1,)+∞中至多有一根；ⅱ)当1x ＞时，(()[(1)'(1)(1)])''()'(1f x f f x f x f -+-=-≤，故函数()[(1)'(1)(1)f x f f x -+-在(1,)+∞中单调减，从而()[(1)'(1)(1)]0f x f f x -+-≤即()[(1)'(1)(1)]f x f f x ≤+-，当(1)511'(1)3f x f =-=＞时， 55()[(1)'(1)(1)]033f f f ≤+-=，结合()f x 在(1,)+∞上严格减，得到()0f x ≤（53x ≥），这样根据连续函数的零值定理就可以得到：5(1,]3c ∃∈，满足()0f c =；综合上面的讨论可知()0f x =在(1,)∞有且仅有一个实根. □ 六、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，试证：对一切x 满足(2)()x f x f x e =的充要条件是()(0)x f x f e =.证明：⇒）由(2)()x f x f x e =可以得到111242111()()()222x x x f x f x e f x e e ==⋅2111()2221()2nxn f x e +++==11(1)22()1121()2n x nf x e --=令n →∞即可得到：()(0)x f x f e =，必要性得证；⇐）由()(0)x f x f e =可以得到：2(0)(2)x f e f x =，可以写成(0)(2)x x f e f x e -=；这样结合()(0)x f x f e =，就可以得到()(2)x f x f x e -=； 进一步就可以得到(2)()x f x f x e =，充分性得证.□ 附最后两道题：七、求椭球面2222221x y z a b c++=在第一卦限部分的切平面与三坐标平面围成的四面体的最小体积.八、讨论1cos(ln )2n n n π∞=∑的敛散性. 参考文献[1]家里蹲大学数学杂志第三卷第83期-中山大学2011年数学分析考研试题参考解答（张祖锦）[2]《数学分析精选习题全解》（薛春华 徐森林编）2009（上册）清华大学出版社；后记本参考解答是一个不完美的解答，这不仅仅是说最后两道题（第七题太暴力了！第八题还在思考中）没有给出参考解答，也包含了给出的解答，必定会有不当之处。
2016考研数学(一)真题及详细答案解析-跨考教育文字版
2016考研数学（一）真题及详细答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ）（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】（D ）（3）若()()222211y xy x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111x x A x x B x x C D x x +-+-++【答案】（A ）（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 【答案】（D ）（5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ）（A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似 【答案】（C ）（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （D ）柱面 【答案】（B ）（7）设随机变量()()0,~2>σσμNX ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加（C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 【答案】（B ）（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）（缺失）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx【答案】21（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA 【答案】()1,1,0-y（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz【答案】dy dx 2+-（12）设函数()21arctan ax xx x f +-=，且()10''=f ，则________=a【答案】21（13）行列式100010014321λλλλ--=-+____________. 【答案】432234++++λλλλ（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.【答案】()8.10,2.8三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.【答案】3325+π （16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.【答案】()II k3 （17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()t L f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值 【答案】3（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑【答案】21（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.【答案】略（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？【答案】2-=a 时，无解；1=a 时，有无穷多解，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=21211133k k k k X ；2-≠a 且1≠a 时，有唯一解，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=01240231a a a a X （21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016年考研数学一真题及答案
2016考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩K ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 （8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式100010014321λλλλ--=-+____________. （14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016全国考研数学一真题及解析答案.doc
2016考研数学（一）真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 （8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
(NEW)中山大学公共卫生学院数学分析与高等代数历年考研真题汇编
目 录
2008年中山大学公共卫生学院642数学分析与高等代数考研真题2009年中山大学公共卫生学院659数学分析与高等代数考研真题2010年中山大学公共卫生学院663数学分析与高等代数考研真题2011年中山大学公共卫生学院670数学分析与高等代数考研真题2012年中山大学公共卫生学院669数学分析与高等代数考研真题2013年中山大学公共卫生学院674数学分析与高等代数考研真题2014年中山大学公共卫生学院681数学分析与高等代数考研真题2015年中山大学公共卫生学院681数学分析与高等代数考研真题2016年中山大学公共卫生学院673数学分析与高等代数考研真题2017年中山大学公共卫生学院678数学分析与高等代数考研真题2018年中山大学公共卫生学院677数学分析与高等代数考研真题2019年中山大学公共卫生学院679数学分析与高等代数考研真题
2008年中山大学公共卫生学院642数学分析与高等代数考研真题。
中山大学数学分析考研试题(1999-2010
0,
y
0, z
0, a
0, b
0, c
0) 所围
几何体之体积，其中 a, b, c 为正常数.
第 1页
中山大学历年考研试题-数学分析（1999-2010）
六、（16
分）求幂级数
n1
n2 1 n!2n x
n
的收敛范围，并求其和函数.
七、（16 分）设 u f (r) ，其中 r
x2
y2
z2
（4）求 1 x a exdx ， a 1 ； 1
（5）设 z uv sin t ， u et ， v cos t ，求 dz ； dt
（6）设 u (x ( y)) ，其中 、 二阶可微， x 、 y 为自变量，求 d 2u ；
（7）求级数 cosn
n1
x 在收敛域上的和函数；
中山大学 2009 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析 科目代码：650
一、（每小题 6 分，共 48 分）
（1）求 lim(x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ln(1 1 )) ；
x
x
x cos t 2
dy
（2）
y
t2 sin u du ，求 dx ； 0u
（3）求
1 ln xdx ； ln2 x
四、（16 分）计算 x2dydz y2dzdx z2dxdy ，其中 为曲面 x2 y2 z2 介于平面 z 0
和 z h(h 0) 之间的部分取下侧.
五、（16 分）设 f (x) 在[1, ) 连续，f (x) 0 ，f (1)=2 ，f (1) 3 . 证明 f (x)=0 在 (1, )
点 P(x, y)(x 0) 处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （ a 0 为常数）. （1）求曲线 L 的方程； （2）如果 L 与直线 y ax 所围成的平面图形的面积为 8，确定 a 的值.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(x,y )(0,0 )
y
x0 且y0
x0 且y0
而 lim （1 cos 2 x ) 1 cos 1
(x,y )(0,0 )
y
x0 且y2 x
故 lim f (x,y) f (0,0) fx (0,0)x fx (0,0)y 不存在
则 f (x2 y2 z2 )dxdydz,t (0,1 ] x2 y2 z2 t2
2
t
t
f ( x2 y2 z2 )dxdydz d sin d f (r) r2dr 4 f (r) r2dr
x2 y2 z2 t2
而由泰勒公式 f (x) f (1) f ( )(x 1)，位于1与x之间
则
1
1
1
xn[f (1) f (x)]dx xn[f ( )(1 x)]dx [m,M ] xn(1 x)dx [m,M ]
1
0
0
0
(n 1)(n 2)
1
故 lim n xn[f (1) f (x)]dx 0 n 0
f ( )(x1 x2 )
在 n 时， f (x1) f (x2 ) f ( )(x1 x2 )
1
故 f (x) x 8 sin x 在 [0,)上不一致收敛
1
五．证明：由拟合法 f (1) lim n xn f (1)dx n 0
而由于 f (x)在 [ 0 ,1]上连续可知， 常数 M 及 m ，使得 m f (x) M
5.解：
0
2
dx e y2 dy
x
2
0
y
dy e y2 dx
0
2
0
ye y2 dy
1 ey2 2
0 y2
1 (1 2
1 e4
)
6.解：要求
n0
n
2
2
n
1 x
n
，令
y
x 2
，
(
n0
n2
1)
yn
由于 yn 在 (1 ,1)上一致收敛于
1
n1
1）n n
收敛，
{ (1
nx 2 x2
)n
}
一致有界，且对固定的
x
单调递减，
（ 1）n x2
则由 Abel 判别法知 n1 (1 x2 )n 一致收敛
x2
（2）
n1
(1
x2
)n
0，x 0
1,
x
0且
-1
x
，和函数在 [1 ,1 1
]不连续故该级数不一致收敛。
三．证明：由泰勒公式，函数 f (x)在 x 1 处带二阶 Lagrange 型余项的泰勒展开式为： 2
f (x)
f
1 (
)
2
f (1 )(x 1 ) 22
f
(
) (x
1
)2
2
2
f
1 (
)
2
f
(1 2
)(x
1 2
)，位于
1 2
与x之间
1
则
f (x)dx
1
[f
1 ( 2
zdS
z(x,y)
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
D
D
4 x2 y2
1(
x
)2 (
4 x2 y2
4
y x2
y2
)2 dxdy
2
D
dxdy
2 D
6
十．解：依题意得 a b ，建立平面直角坐标系，设 A(b,0)，以原点为圆心作半径为 a 的圆
一、1 解：
1 lim(
11 )
lim(sinx) x
1
lim(sinx)
x
(x lim
x3 3!
o(x3
))
x
1
x0 x sin x sin x x0 xsin x sin x x0 x3
x0
x3
6
2.解：
1
lim( n !)n2
1
lim e n2 ln( n !)
S
1 2 2d
1
2
（a
b
cos
）2 d
1
2
（a
2
b2
cos 2 ）d
1（2a2
b2）
2
2
2
2
0
0
0
十一．证明：记 D 为该数列所有子列极限的集合。易知 D 是有界的。而 sup D>inf D. 只需要证明 D 在[inf D, sup D]内稠密，即 D 是闭集。
2 即 y(50 ) 350 x2 cos（ 3 x） 100 x 3 49 si（n 3 x） 2450 3 48 cos 3 x
4.解：设该曲线段为 L ，其长度为 d
1
1
1
1
2
则 d ds
L
0
1 (dy )2 dx 2
dx
0
(1 (1
x2 x2
)2 )2
dx
2 0
(1 (1
x2 x2
) dx )
2 0
(2 x (1
2
x
1) 2 ) dx
1
1
1
d
2 0
(1
2 x
2
dx )
1 2
21 ( 0 1 x
x
1
)dx 1
1 2
lnx 1 x 1
2 x0
1 2
ln3
1 2
2
(x,y )(0,0 ) 2 x 2 y
(x,y )(0,0 ) 2 x 2 y
y 0
x 0
lim
(x,y )(0,0 )
x0 且y0
f (x,y) lim f (x,y) lim （1 cos 2 x )
2 x 2 y (x,y )(0,0 )
yn
2y2 (y 1)3
y2 (y 1)2
1
故当 x
0
时
n0
n2 2
n
1 x
n
1 2
而当 x
0时
n0
n
2
2
n
1 x
n
4x2 (x 2)3
x2 (x 2)2
1
7.解：设 x r cos sin,y r sin sin,z r cos
xn1
13 1 9 3 13 （5 13 )xn （5
2
2(3 xn )
xn 13 )
13 1 2
2(3 xn )
xn1
13 2
1
（5
8
13
)
xn
13 1 2
1 4
xn
13 1 2
故 xn
13 1 2
1 4n
x0
13 2
1
，令 n
可知
nlim（xn
13 1） 0 2
故证明了
பைடு நூலகம்
lim
n
xn
13 1 2 ，即序列 {xn }收敛于
13 1 2
备注：只要递推数列极限为常数的几乎都可以用这种压缩映像原理求解。
九．解：设 在 xoy 平面上的投影为平面区域 D ,设 D 的面积为 D
ʘ O ，在圆上任取一点 B(a cos ,b sin )，作过 B 点ʘ O 的切线 L ,过 A(b,0)作 L 的垂线，
垂足为 M 经过计算可得 AM a b cos ，
以 A 为极点， x 轴正方向为射线方向建立极轴 则 M 的轨迹方程为 a b cos
则 M 的轨迹所围面积
13 1 2
下面证明
lim
n
xn
13 1 2
方程 xn1
3 2 xn 3 xn
两边同时减去
13 1
，
2
则 xn1
13 1 3 2 xn
2
3 xn
13 1 6 4 xn 3( 13 1) ( 13 1)xn
2
2(3 xn )
而 lim f (x,y) f (0,0) fx (0,0)x fx (0,0)y lim f (x,y)
(x,y )(0,0 )
2 x 2 y
(x,y )(0,0 ) 2 x 2 y
而 lim f (x,y) 0 ， lim f (x,y) 0
且 dxdy J dudv (x,y)dudv 1 dudv
(u,v)
2v
1
4
41
4
f (xy)dxdy
f (u)dudv f (u)du dv [ f (u)du] ln2