中山大学2016年(数学学院)考研真题初试试题《数学分析》663真题与解析

13 1 2
下面证明
lim
n
xn

13 1 2
方程 xn1

3 2 xn 3 xn
两边同时减去
13 1
，
2
则 xn1
13 1 3 2 xn
2
3 xn
13 1 6 4 xn 3( 13 1) ( 13 1)xn
2
2(3 xn )
zdS
z(x,y)
1
z
2 x

z
2 y
dxdy

D

D
4 x2 y2
1(
x
)2 (
4 x2 y2
4

y x2

y2
)2 dxdy

2
D
dxdy
2 D

6
十．解：依题意得 a b ，建立平面直角坐标系，设 A(b,0)，以原点为圆心作半径为 a 的圆
1
，令 n


可知
nlim（xn

13 1） 0 2
故证明了
lim
n
xn

13 1 2 ，即序列 {xn }收敛于
13 1 2
备注：只要递推数列极限为常数的几乎都可以用这种压缩映像原理求解。
九．解：设 在 xoy 平面上的投影为平面区域 D ,设 D 的面积为 D
00
0
0
故 F(t)
3 t3
t 0
f (r) r 2dr

3 f (t) t t3 0
r 2dr f (t)
故 Fmin (t) f (1)
（ 1）n x2
二．证明：（1） n1 (1 x2 )n

（ 1）n nx2 n1 n (1 x2 )n
（
。
x2 x2
)2 )2
dx

2 0
(1 (1

x2 x2
) dx )

2 0
(2 x (1
2
x
1) 2 ) dx
1
1
1
d

2 0
(1
2 x
2
dx )

1 2

21 ( 0 1 x

x
1
)dx 1

1 2
lnx 1 x 1
2 x0

1 2
ln3
1 2
2
S

1 2 2d

1
2
（a

b
cos
）2 d

1
2
（a
2
b2
cos 2 ）d

1（2a2
b2）
2
2
2
2
0
0
0
十一．证明：记 D 为该数列所有子列极限的集合。易知 D 是有界的。而 sup D>inf D. 只需要证明 D 在[inf D, sup D]内稠密，即 D 是闭集。
一、1 解：
1 lim(

11 )
lim(sinx) x
1

lim(sinx)
x

(x lim

x3 3!
o(x3
))
x


1
x0 x sin x sin x x0 xsin x sin x x0 x3
x0
x3
6
2.解：
1
lim( n !)n2
1
lim e n2 ln( n !)
三．证明：由泰勒公式，函数 f (x)在 x 1 处带二阶 Lagrange 型余项的泰勒展开式为： 2
f (x)
f
1 (
)
2
f (1 )(x 1 ) 22
f
(
) (x

1
)2
2
2

f
1 (
)
2
f
(1 2
)(x

1 2
)，位于
1 2
与x之间
1
则
f (x)dx

1

[f
1 ( 2
(x,y )(0,0 )
y
x0 且y0
x0 且y0
而 lim （1 cos 2 x ) 1 cos 1
(x,y )(0,0 )
y
x0 且y2 x
故 lim f (x,y) f (0,0) fx (0,0)x fx (0,0)y 不存在
f ( )(x1 x2 )
在 n 时， f (x1) f (x2 ) f ( )(x1 x2 )
1
故 f (x) x 8 sin x 在 [0,)上不一致收敛
1
五．证明：由拟合法 f (1) lim n xn f (1)dx n 0
而由于 f (x)在 [ 0 ,1]上连续可知， 常数 M 及 m ，使得 m f (x) M
n1
1）n n
收敛，
{ (1
nx 2 x2
)n
}
一致有界，且对固定的
x
单调递减，
（ 1）n x2
则由 Abel 判别法知 n1 (1 x2 )n 一致收敛
பைடு நூலகம்

x2
（2）
n1
(1

x2
)n

0，x 0
1,
x

0且
-1

x
，和函数在 [1 ,1 1
]不连续故该级数不一致收敛。
如若不然，则存在 infD a b sup D 使得 ( a, b)内没有序列{ xn }中的元素。
考虑 [ infD,a ], 显然其中必须要包含 xn 中的无穷项，这导致的后果就是
[ b,sup D]中至多只有有限项：取定 b a , 可找到正整数 N， 当 n>N 使得 xn1 xn . 找一个 m>N 使得 xm [ infD,a ] ，那么考察 xm1 ，显然由于 xm1 xm ,则 xm1 [ infD,a ]。归纳，则所有 xk,k m , xk [ infD,a ]。 所 以[b,sup D]只含有有限项，但这不可能。
且 dxdy J dudv (x,y)dudv 1 dudv
(u,v)
2v
1
4
41
4
f (xy)dxdy
f (u)dudv f (u)du dv [ f (u)du] ln2
D
D1 2v
1
1 2v
1
七．解： fx (0,0) 0,f y (0,0) 0
1
故 f (1) lim n xn f (x)dx n 0
六．证明：由格林公式可知
F(xy
) dy

f (xy)dxdy
D y
D
设 v y ， u xy ，则 y uv,x u
x
v
(x,y)所在区域 D 与（u,v)所在区域 D1 {(u,v)1 u 4,1 v 4}一一对应
yn

2y2 (y 1)3

y2 (y 1)2
1
故当 x

0

时
n0
n2 2

n
1 x
n

1 2
而当 x

0时
n0
n
2
2

n
1 x
n

4x2 (x 2)3
x2 (x 2)2
1
7.解：设 x r cos sin,y r sin sin,z r cos

，故 yn1 在 (1 ,1)上一致收敛于
y
n0
1 y
n0
1 y

故 (n 1)
n0
yn

d dy
n0
y n1

( 1
y
y
)y

(y
1 1)2
,(y (1
,1))

当 y (1 ,1) {0}时， (n 1)
n0
y n-1

ʘ O ，在圆上任取一点 B(a cos ,b sin )，作过 B 点ʘ O 的切线 L ,过 A(b,0)作 L 的垂线，
垂足为 M 经过计算可得 AM a b cos ，
以 A 为极点， x 轴正方向为射线方向建立极轴 则 M 的轨迹方程为 a b cos
则 M 的轨迹所围面积
2 即 y(50 ) 350 x2 cos（ 3 x） 100 x 3 49 si（n 3 x） 2450 3 48 cos 3 x
4.解：设该曲线段为 L ，其长度为 d
1
1
1
1
2
则 d ds
L
0
1 (dy )2 dx 2
dx
0
(1 (1

1 y(y 1)2
此时，该方程两边对 y 求导得

(n 1)(n 1)
n0
y n-2

[y (y y(y
1)12)]y

[ (y
1 1)2

1 y 1
1 y
]y

2 (y 1)3

(y
1 1)2

1 y2

故此时 (n 1)(n 1)
n0
(x,y )(0,0 )
2 x 2 y
故 f (x,y)在（0，0)处不可微分。
八．证 明 ： 依 题 意 得 ，
xn
1（ nN
）
如
果
lim
n
xn
C
(C为正常数）， 则 方 程
xn1

3 2 xn 3 xn
两边同时令 n


可得 C

3 2C 3C
,则求出 C
而由泰勒公式 f (x) f (1) f ( )(x 1)，位于1与x之间
则
1
1
1
xn[f (1) f (x)]dx xn[f ( )(1 x)]dx [m,M ] xn(1 x)dx [m,M ]
1
0
0
0
(n 1)(n 2)
1
故 lim n xn[f (1) f (x)]dx 0 n 0
5.解：
0
2
dx e y2 dy
x
2

0
y
dy e y2 dx
0
2

0
ye y2 dy
1 ey2 2
0 y2

1 (1 2
1 e4
)
6.解：要求
n0
n
2
2

n
1 x
n
，令
y

x 2
，

(
n0
n2
1)
yn

由于 yn 在 (1 ,1)上一致收敛于
1
xn1
13 1 9 3 13 （5 13 )xn （5
2
2(3 xn )
xn 13 )
13 1 2
2(3 xn )
xn1
13 2
1
（5
8
13
)
xn

13 1 2

1 4
xn

13 1 2
故 xn
13 1 2

1 4n
x0

13 2
则 f (x2 y2 z2 )dxdydz,t (0,1 ] x2 y2 z2 t2
2
t
t
f ( x2 y2 z2 )dxdydz d sin d f (r) r2dr 4 f (r) r2dr
x2 y2 z2 t2
ln[(n1) !)] ln( n !)
lime
(n1)2 n2
ln( n1)
lim e 2n1

ln( x1)
lim e 2 x1
1
n
n
n
n
x
3.解： y(50 ) C500 x2 cos (50 ) 3 x C510 2 x cos (49 ) 3 x 2C520 cos (48 ) 3 x 即 y(50 ) 350 x2 cos（3 x 25） 100 x 3 49 cos（3 x ） 50 49 3 48 cos 3 x
而 lim f (x,y) f (0,0) fx (0,0)x fx (0,0)y lim f (x,y)
(x,y )(0,0 )
2 x 2 y
(x,y )(0,0 ) 2 x 2 y
而 lim f (x,y) 0 ， lim f (x,y) 0
(x,y )(0,0 ) 2 x 2 y
(x,y )(0,0 ) 2 x 2 y
y 0
x 0
lim
(x,y )(0,0 )
x0 且y0
f (x,y) lim f (x,y) lim （1 cos 2 x )
2 x 2 y (x,y )(0,0 )
)
f (1 )(x 2
1 )]dx
2

1 f( )
2
0
0
1
四．解： f (x) x 8 sin x 在 [0,)上不一致收敛
由于
f
(x)
1

x
7 8
sin
x

1
x8
cos
x

11 x8 (
sin
x

cos
x)
8
8x
令
x1

2n

1 n16
,x2

2n
，则
f (x1)
f (x2 )