波浪力学第二章 小振幅波理论

中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
{ 2.1 常深度小振幅简单波动
z 2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程
z 2.1.2 二维小振幅推进波的速度势
z 2.1.3 二维小振幅推进波的一些特性
{ 2.2 常深度小振幅简单波动的迭加
z 2.2.1 驻波 z 2.2.2 波群
海洋工程波浪力学
η=acos(kx- ωt) x
d
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
{ 2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程
边界条件的线性化
运动边界条件
∂η ∂t
=
∂ϕ ∂z
z=0
动力边界条件
η=
−
1 g
∂ϕ ∂t
z=0
中国海洋大学
( ∂ϕ
∂z
+
1 g
∂ 2ϕ
∂t 2 )
ωT = 2π ω = 2π
T
z c
η=acos(kx- ωt) t
圆频率
T
d
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
{ 2.1.2二维小振幅推进波的速度势
一 波面方程的假定
（3）波形的传播速度c—波速； c = L = ω Tk
说明；
（a） ωt 前面的采用负号（正号）代表波浪沿正（负）向传播； （b）正、余弦形式不影响波形
ϕ = ( A1ekz + A2e−kz ) sin(kx − ωt)
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
{ 2.1.2二维小振幅推进波的速度势
二 推进波的速度势
ϕ = ( A1ekz + A2e−kz ) sin(kx − ωt)
{ 2.3 倾斜海底上波浪的传播
z 2.3.1 波浪的浅水效应 z 2.3.2 波浪的折射
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
2.1 常深度小振幅简单波动
z c
η=acos(kx- ωt) x
d
特点： 1. 水面呈现简谐形式的起伏； 2. 水质点以固定的圆频率作简谐振动； 3. 波形以一定的速度c向前传播 4. 波浪中线与静水面重合
L
z c
η=acos(kx- ωt) x
波数
L
d
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
{ 2.1.2二维小振幅推进波的速度势
一 波面方程的假定
（2）当t增减一个周期T，同一点的波面高度η不变；
η =η
t
t ±T
a cos(kx − ωt) = a cos[kx − ω(t + T )]
边界条件的线性化
2. 自由表面的动力边界条件
小量
∂ϕ + 1 (∇ϕ ⋅∇ϕ) + gη = 0
∂t z=η 2
z=η
∂ϕ ∂t
z=η
+
gη=
0
η=−
1 g
∂ϕ ∂t
z=η
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
{ 2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程
z c
η=acos(kx- ωt) t
d
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
{ 2.1.2二维小振幅推进波的速度势
二 推进波的速度势
ϕ = A(z)sin(kx − ωt)
∇2ϕ
=
∂2ϕ ∂x2
+
∂2ϕ ∂z2
=
0
A(z) = A1ekz + A2e−kz A′′(z) − k 2 A(z) = 0
∂ϕ
∂x
z=η
+ ∂η
∂y
∂ϕ
∂y
z=η
z
c
小量
∂ϕ ∂z
z=η
=
∂η+ ∂η ∂ϕ ∂t ∂x ∂x
z=η
η=acos(kx- ωt) x
d
中国海洋大学
∂ϕ ∂z
z=η
=
∂η ∂t
海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
{ 2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程
海洋工程波浪力学
中国海洋大学工程学院海洋工程系 王树青
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
目录
{ 第一章 液体表面波基本方程 { 第二章 小振幅波（线性波）理论 { 第三章 有限振幅波（非线性波）理论 { 第四章 小尺度结构上的波浪力 { 第五章 大尺度结构上的波浪力 { 第六章 随机波浪和随机波浪力
边界条件的线性化
运动边界条件
∂ϕ ∂z
z=η
=
∂η ∂t
=
∂ϕ ∂z
z=0
动力边界条件
η=
−
1 g
∂ϕ ∂t
z==η −
1 g
∂ϕ ∂t
z=0
∂ϕ ∂z
z=η
=
∂ϕ ∂z
z=0
+η ∂ ∂z
(∂ϕ) ∂z
z=0
+L
z
c
∂ϕ ∂t
z=η
=
∂ϕ ∂t
z=0
+η ∂ ∂z
(∂ϕ) ∂t
z=0
+L
中国海洋大学
（6）振幅或波高对波长为无限小（流体质点运动速度较 小）——Airy波理论；
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
{ 2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程
边界条件的线性化
1. 自由表面的运动边界条件
∂ϕ
∂z
z=η
= ∂η + ∂η
∂t ∂x
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
{ 2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程
假定
（1）无粘不可压均匀流体；
z
c
η=acos(kx- ωt) x
（2）有势运动；
d
（3）重力是唯一外力；
（4）自由表面压强为大气压；
（5）海底为水平的固体边界；
0
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
η=acos(kx- ωt) x
d
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
{ 2.1.2二维小振幅推进波的速度势
一 波面方程的假定
η = a cos(kx − ωt)
其中a为振幅，a＝H/2; kx-ωt=θ为波浪的相位。
z c
a
η=acos(kx- ωt) x
d
中国海洋大学
海洋工程波浪力学
王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
{ 2.1.2二维小振幅推进波的速度势
一 波面方程的假定
（1）当x增减一个波长L，波面η不变；
η =η
x
x±L
a cos(kx − ωt) = a cos[k(x + L) − ωt]
kL = 2π k = 2π
z=0
=
0
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王树青
第二章 小振幅波（线性波）理论
2.1常深度小振幅简单波动
Baidu Nhomakorabea
{ 2.1.1 二维小振幅推进波的基本方程
z
∇2ϕ = ∂2ϕ + ∂2ϕ = 0
c
∂x2 ∂z2
uz
z=−d
=
∂ϕ ∂z
z=−d
=0
η=−
1 g
∂ϕ ∂t
z=0
( ∂ϕ
∂z
+
1 g
∂ 2ϕ
∂t 2 )
z=0
=