06第六讲 正项级数的比式判别法
数项级数判别法总结
数项级数判别法总结数项级数判别法是高等数学中的一种重要知识点，通过对级数的特征进行分析，判断其是否收敛或发散。
下面将对常用的数项级数判别法进行总结。
一、正项级数判别法正项级数指的是级数的每一项都是非负数。
正项级数判别法是最简单也是最常用的判别法。
当正项级数的通项公式可以用比较简单的公式表示时，可以直接利用比较大小的方法进行判别。
比如，如果级数的通项公式可以表示成n的k次幂，k为正整数，那么当k>1时，级数收敛；当k<=1时，级数发散。
二、比值判别法比值判别法是通过计算相邻两项的比值，并观察其极限值的大小来判断级数的收敛性。
具体而言，如果该极限值小于1，则级数收敛；如果该极限值大于1，则级数发散；如果该极限值等于1，则无法判断级数的收敛性。
三、根值判别法根值判别法是通过计算相邻两项的n次方根，并观察其极限值的大小来判断级数的收敛性。
具体而言，如果该极限值小于1，则级数收敛；如果该极限值大于1，则级数发散；如果该极限值等于1，则无法判断级数的收敛性。
四、积分判别法积分判别法是通过将级数转化为函数，然后对该函数进行积分计算，来判断级数的收敛性。
具体而言，如果该函数在无穷大区间上的积分收敛，则级数收敛；如果该函数在无穷大区间上的积分发散，则级数发散。
五、级数收敛的充分条件如果级数的通项公式满足以下条件，则该级数收敛：1.通项公式单调递减；2.通项公式趋于零。
六、级数收敛的必要条件如果级数收敛，则其通项公式趋于零。
以上是数项级数判别法的常用方法。
需要注意的是，不同的级数判别法适用于不同的级数类型，使用时需要根据具体情况进行选择。
同时，在实际应用中，也需要结合其他数学知识和技巧，灵活运用，才能更好地解决问题。
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法正项级数是指级数中每一项都是非负数的级数。
在数学中，我们常常关注正项级数的收敛性，即该级数的和是否有界。
为了判别正项级数的收敛性，有以下几个方法。
1.比较法比较法是最常用的判别正项级数收敛性的方法之一、比较法分为两种情况：-若存在一个已知的发散级数∑a_n和该正项级数∑b_n满足对于所有n，有a_n≤b_n，则可以得出该正项级数也是发散的。
-若存在一个已知的收敛级数∑a_n和该正项级数∑b_n满足对于所有n，有a_n≥b_n，则可以得出该正项级数也是收敛的。
2.极限比值法（达朗贝尔判别法）极限比值法是另一种判别正项级数收敛性的重要方法。
对于正项级数∑a_n，首先计算其相邻两项的比值a_(n+1)/a_n的极限值：-若该极限值小于1，则说明该级数收敛；-若该极限值大于1，则说明该级数发散；-若该极限值等于1，则极限比值法无法确定级数的收敛性。
3.极限根值法（柯西判别法）极限根值法和极限比值法类似，也是一种判别正项级数收敛性的方法。
对于正项级数∑a_n，首先计算其每一项的根值(a_n)^(1/n)的极限值：-若该极限值小于1，则说明该级数收敛；-若该极限值大于1，则说明该级数发散；-若该极限值等于1，则极限根值法无法确定级数的收敛性。
4.积分判别法积分判别法可以用来判别一类特殊的正项级数的收敛性。
对于形如∑(f(n)) 的级数，其中 f(n) 是一个递减的连续函数，则将其与对应的积分∫(f(x)dx) 进行比较：-若积分收敛，则级数同样收敛；-若积分发散，则级数同样发散；-若无法确定积分的收敛性，则积分判别法无法确定级数的收敛性。
5.积分判别法的特殊应用（比较法的延伸）积分判别法的特殊应用是一种将比较法与积分判别法结合使用的方法。
当我们需要比较一个难以处理的正项级数∑a_n 时，可以利用积分判别法找到一个相对简单的函数 f(x)，使得将其与对应的积分∫(f(x)dx) 进行比较时能够确定级数的收敛性。
正项级数知识
sn
1
1 2p
1 3p
n1pn1p
n
n1
dx xp
y
y
1 xp
(
p
1)
1
12
dx xp
n
n1
dx xp
1
1n
dx xp
o 1234
1
1
1
1
(1 p 1
n p1 ) 1
p 1
即sn有界,则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
x
收敛 发散
例2证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明
+
ln 2
dt tq
故q 1时发散，q 1时收敛。
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时,对 0,
N ,当n N时,有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
当 1时,取 1 ,使r 1,
uN 2 ruN 1, uN 3 ruN 2 r 2uN 1, ,
uN m
n1
n1!，（2）n11n0!n
，（3）
n1
(2n
1 1)
2n
比较判别法
正项级数收敛的充要条件 比较审敛法
1.正项级数
定义 如果级数 un中各项均有 un 0，
n1
则称这种级数为正项级数.
观察正项级数的部分和：
s1 u1 , s2 u1 u2 , s1 s2 ,
s3 u1 u2 u3 , s2 s3 ,
4.几个常用比较级数
P-级数：
n1
1 np
收敛，P 1 发散，P 1
几何级数： aqn
n1
收敛， q 发散， q
1 1
例2
判断级数
n1
1 n(n
1)
的敛散性。
分析：
1 1 n
1 1 n(n 1) n
解 因为
1 n(n 1)
1, n1
n1
且 un vn (n 1,2,)，
(1)若 vn 收敛，则 un 收敛；
n1
n则 vn 发散.
n1
n1
有比较，才有鉴别； 有比较，才能有进步。
n
证明 设 sn uk ,
k 1
n
n vk
k 1
因为 un vn 所以 0 sn n
(1) vn 收敛，则 n 有界, sn 有界， un收敛。
n1
n1
(2) un 发散，则 sn 无界, n无界， vn 发散。
n1
n1
注意 ：
1) 比较判别法只适用于正项级数。
2) un vn 可以从某个有限值 N 之后 成立，即当 n N 时，有un vn 即可。
正项级数
的敛散性.
故原级数收敛.
例2 判定级数
的敛散性.
解
收敛, 则级数
收敛.
例3 判定级数
的敛散性.
解 因为
发散, 则级数
发散.
定理9.2.3 (比较判别法的极限形式)
若两个正项级数
满足:
(1)当0 < l < +∞时, 级数
同敛散;
(2)当l= 0且级数 收敛时, 级数 也收敛;
(3)当l= +∞且级数
发散时, 级数 也发散.
§9.2 正项级数及其敛散性判别
一. 正项级数的概念 二. 正项级数敛散性的判别法
一、正项级数的概念
定义9.2.1 若数项级数 中的各项 则称此级数为正项级数.
于是正项级数的部分和数列
是一个单増数列, 即
定理9.2.1 正项级数 有上界.
收敛的充要条件是部分和数列
此定理的等价命题: 正项级数发散的充要条件是部分和数列 其等价命题是: “若 无上界, 则 从而正项级数发散.”
故原级数发散.
3. 根值判别法
定理9.2.5 (柯西根值判别法) 若正项级数
满足
则 (1) 当0 ≤ l < 1时, 级数
收敛;
(2) 当 l > 1时, 级数 发散;
(3) 当 l = 1 时, 级数
可能收敛, 也可能发散.
例6 判定级数
的敛散性.
解
故原级数收敛. 练习：
3,(1) 判定级数 解
无上界.
二. 正项级数敛散性的判别法
1. 比较判别法 定理9.2.2 (比较判别法) 设两个正项级数
的对
应项满足:
则 (1)当级数 收敛时, 级数 （大收小收）
正项级数的根式判别法和比式判别法
重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨目录摘要 (I)Abstract: ..................................................................................................................................................... I I 1 引言 . (3)2正项级数相关概念 (3)2.1 定义 (3)2.2 正项级数敛散性判别的充要条件 (3)2.3 三个重要比较级数 (4)2.3.1 几何级数 (4)2.3.2 调和级数 (5)2.3.3 P-级数 (5)3 正项级数敛散性判别法 (6)3.1 判别发散的简单方法 (6)3.2 比较判别法 (7)3.2.1 定理及其推论 (7)3.2.2 活用比较判别法 (9)3.2.3 归纳总结 (11)3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法 (12)3.3.1 柯西判别法 (12)3.3.2 达朗贝尔判别法 (13)3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况 (15)3.4 拉贝判别法 (17)3.5 积分判别法 (19)3.6 两种新方法 (20)3.7 判别正项级数敛散性方法的总结 (23)4 在判别级数敛散性中的作用 (23)4.1 证明负项级数的敛散性 (23)4.2 证明变号级数绝对收敛 (24)4.3 证明函数级数收敛 (25)5 结束语 (26)致谢 (27)参考文献: (27)对正项级数敛散性判别法应用性的探讨尹委红（重庆三峡学院数学学院数学与应用数学专业2006级重庆万州 404000）摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.本文主要探讨正项级数∑∞=1 nnu)0(>nu的各种敛散性判别法,主要有积分判别法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法.探讨了它们的证明过程及应用其解决相关的例题.并简单介绍了它们之间的关系,如强弱性的比较,不同形式的nu适合用哪种方法来证明其敛散性更为简单.最后介绍了正项级数敛散性判别法在判别级数敛散性中的作用.关键词: 正项级数;判别法;敛散性Positive Series Convergence Criterion of applicabilityYIN Wei-hong(Grade 2006, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstract:Series is a series of positive content is an important series,convergence and Divergence of its basic nature of its. This paper discusses the positive series all Convergence Criterion, There are Integral Test, Comparison Tests, Cauchy Criterion, Criterion big Lambert, Rabe Criterion. Discussed their certification process and application of relevant examples of its solution. And briefly describes the relationships between them, such as comparison of theu which method to prove its convergence and strength of、suitable for different forms ofndivergence easier. Finally, Introduced the positive series Convergence Criterion of Convergence and Divergence in the identification of the role.Keywords: positive series; criterion; convergence1 引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质,解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容,也是一个十分重要的内容,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用.2正项级数相关概念2.1 定义设有数列{}n u ,即 .,,,,321 n u u u u 将此数列的项依次用加号连接起来,即+++++n u u u u 321 或 ∑∞=1n n u ，称为数值级数,其中n u 称为级数的第n 项或通项.级数就是无限多个数的和.若级数的每一项n u 的符号都是正,则称级数∑∞=1n nu是正项级数.取级数前n 项的和为n s ,即 n n u u u s +++= 21 或 ∑==nk nn us 1,称为级数的n 项部分和.若一级数的部分和数列{}n s 收敛,设s s n n =∞→lim 或 s unk kn =∑=∞→1lim,则称此级数收敛,s是级数的和,表为 +++++==∑∞=n n nu u u u us 3211.若部分和数列{}n s 发散,则称该级数发散,此时级数没有和.2.2 正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.基本判别定理解决了一个级数的收敛问题,不必研究s s n n =∞→lim ,而粗略地估计n s 的值当∞→n 时是否保持有界就可以了,这样就避开了n s 冠以n 的复杂的表达式.它是判断正项级数收敛（或发散）的最基本方法,几乎所有其它的判别法都是由它导出,但是在具体应用时不大方便.由正项级数敛散性的基本判别定理可以推导出正项级数敛散性常用判别定理——积分判别法、比较判别法、柯西判别(又叫根值判别法)、达朗贝尔判别法(又叫比值判别法).2.3 三个重要比较级数在正项级数敛散性的判别中往往需要用到一个比较因子,用比较因子的敛散性来判断一个级数收敛还是发散.常用的比较因子有三个重要的正项级数——几何级数、调和级数、p-级数.下面简单介绍这三个级数,及其它们敛散性的证明,便于后面能更好的应用.2.3.1 几何级数(等比级数)讨论几何级数+++++=-∞=-∑1211n n n ar ar ar a ar的敛散性,其中r a ,0≠是公比.解：1）当0≠r 时,已知几何级数的n 项部分和 +++++=-12n n ar ar ar a s（i ）当1<r 时,存在极限,且.11lim lim rar ar a s n n n n -=--=∞→∞→因此,当1<r 时,几何级数收敛,其和是r a -1,即r aar n n -=∑∞=-111.（ii ）当1>r 时,不存在极限,且.1lim lim ∞=--=∞→∞→rar a s nn n n因此,当1>r 时,几何级数发散. 2）当1=r 时,有两种情况:(ⅰ)当1=r 时,几何级数是)0(≠a , +++++a a a a .na a a a s n n =+++=个∞==∞→∞→na s n n n lim lim 即部分和数列{}n s 发散.（ⅱ）当1-=r 时,几何级数是 .)1(1+-++-+--a a a a a n{,,0,,是偶数是奇数n n a n s =即部分和数列{}n s 发散.于是,当1=r 时,几何级数发散.综上所述,几何级数∑∞=-11n n ar ,当1<r 时收敛,其和是ra-1,当1≥r 时发散. 2.3.2 调和级数证明调和级数+++++=∑∞=n n n 13121111是发散的. 证明 设调和级数∑∞=11n n 的n 项部分和是ns ,即.131211n s n ++++= 由于已知.1]ln )1211[(lim .)ln 1211(lim =+++=-+++∞→∞→n nc n n n n 或（欧拉常数）即当∞→n 时,调和级数的部分和n s n 131211++++= 与n ln 是等价无穷大,即调和级数∑∞=11n n 发散. 2.3.3 P-级数讨论p-级数+++++=∑∞=p p p n p n n 13121111的敛散性,其中p 是任意实数.（该级数又称为广义调和级数）解：1）当1=p 时,广义调和级数就是调和级数∑∞=11n n,已知调和级数发散,即p-级数发散.2）当1<p 时,+∈∀N n ,有n n p 11≥.已知调和级数∑∞=11n n发散,根据比较判别法可知,当1<p 时,p-级数发散.3）当1>p 时,2≥∀n ,有]1)1(1[11111-----<p p p n n p n .于是,N n ∈∀,有1111)11(111)1)1(131212111(111)1)1(1(11)3121(11)2111(1111312111111111111111-=-+<--+=--++-+--+=---++--+--+≤++++=-------------p p p n p n n p nn p p p n s p p p p p p p p p p p p p p p p n 即p-级数的部分和数列{}n s 有上界,从而p-级数收敛.综上所述,当1≤p 时,p-级数发散;当1>p 时,p-收敛.在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为桥梁来判断其它级数的敛散性,所以必须要熟练掌握这三个级数.3 正项级数敛散性判别法3.1 判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数∑∞=1n nu收敛,,,,0N p N n N N ∈∀>∀∈∃>∀⇔+ε有ε<++++++p n n n u u u 21.取特殊的1=p ,可得推论:若级数∑∞=1n nu收敛,则0lim =∞→nn u .定理2 该推论的逆否命题:若0lim ≠∞→nn u ,则级数∑∞=1n nu发散.例1 快速判断级数∑∞=+12215n n n 的敛散性.解: 由于05115lim22≠=+∞→n n n ,从而根据定理2可知,该级数发散. 如果0lim ≠∞→n n u ,则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散;如果0lim =∞→nn u ,则不能判断级数是否收敛,因为存在级数满足0lim =∞→nn u 的发散级数，如∑∞=11n n ；也存在级数满足0lim =∞→n n u 的收敛级数，如∑∞=121n n.显然该逆否命题只使用于满足0lim ≠∞→nn u 的发散级数.3.2 比较判别法 3.2.1 定理及其推论定理3 (比较判别法) 有两个正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv,且N n N N ≥∀∈∃+,,有n n cv u ≤,c 是正常数.1）若级数∑∞=1n nv收敛,则级数∑∞=1n nu也收敛;2）若级数∑∞=1n nu发散,则级数∑∞=1n nv也发散.证明 因为有定理若去掉、增添或改变级数∑∞=1n nu的有限项,则不改变级数∑∞=1n nu的敛散性,因此,不妨设+∈∀N n ,有 c cv u n n ,≤是正常数.设级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv的n 项部分和分部是n A 与n B ,由上述不等式,有.)(212121n n n n n cB v v v c cv cv cv u u u A =+++=+++≤+++=1）若级数∑∞=1n nv收敛,根据定理1,数列{}n B 有上界,从而数列{}n A 也有上界,再根据定理1,级数∑∞=1n nu收敛.2）若级数∑∞=1n nu发散,根据定理1,数列{}n A 无上界,从而数列{}n B 也无上界,再根据定理1,级数∑∞=1n nv发散.推论 有两个正项级数∑∞=1n n u 与)0(1≠∑∞=n n n v v ,且 k v u nnn =∞→lim).0(+∞≤≤k1）若级数∑∞=1n nv收敛,且+∞<≤k 0,则级数∑∞=1n nu也收敛;2）若级数∑∞=1n nv发散,且+∞≤<k 0,则级数∑∞=1n nu也发散.证明 1）若级数∑∞=1n nv收敛,且+∞<≤k 0,由已知条件,N n N N ≥∀∈∃>∃+,,00ε,有0||ε<-k v u n n 或 0ε+<k v u n n,即N n ≥∀,有n n v k u )(0ε+<,根据定理2,级数∑∞=1n n u 也收敛.2）若级数∑∞=1n nv发散,且+∞<<k 0，由已知条件,N n N N k ≥∀∈∃<<∃+,,0:00εε,有 0||ε<-k v u n n 或 n n v u k <-0ε )0(0>-εk ,即N n ≥∀,有n n u k v 01ε-≤,根据定理2,级数∑∞=1n nu也发散.若级数∑∞=1n nv发散,且+∞=k ,由已知条件,,,,0N n N N M ≥∀∈∃>∃+有M v u n n>,即N n N N ≥∀∈∃+,,有n n u M v 1<,根据定理2,级数∑∞=1n n u 也发散. 从比较判别法的内容,我们可以得出以下几点启示:（1）比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断;（2）比较判别法重在“比较”,是利用两个正项级数的通项结构来比较的;要求必须掌握等比级数,调和级数,p-级数的敛散性,因为比较判别法的比较对象常常就是上述三种级数.（3）要证明某一个级数∑∞=1n nu收敛,需要找一个通项比n u 大的收敛的整形级数∑∞=1n nv,即n n cv u ≤,也就是需要将所求的级数通咯级数项放大;（4）要证明某一个级数∑∞=1n nu发散,需要找一个通项比n u 小的发散的正项级数∑∞=1n nv,即n n u cv ≤,也就是需要将所求的级数通项缩小.比较判别法提供了一个判别级数敛散的简单方法:只须拿一个已知敛散性的级数和要判别的级数作比较便能得出结论.常用的作为比较的级数有等比级数、调和级数、p-级数,因此,正项级数比较判别法的关键是:如何选取比较对象,放大或缩小所求级数的通项.3.2.2 活用比较判别法(1) 当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时,比较对象常常选取p-级数或调和级数. 例1 判别级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项)1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),分母n 的最高幂是2,这时通项接近2201n n n =,原级数也接近于级数∑∞=121n n,这是12>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是∑∞=121n n ,至多差一个系数. 解: 因为21)1(1n n n <+（分母缩小,分数放大）,又由于∑∞=121n n收敛.则由此比较判别法,原级数∑∞=+1)1(1n n n 也收敛. 例2 判别级数∑∞=+1421n nn 的敛散性. 分析: 考虑通项421n n +,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是4,这时通项接近341n n n =,原级数也接近于级数∑∞=131n n,这是13>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.解: 因为3444122221n n n n n n n n ==+≤+（分子放大,分数放大）,又由于∑∞=131n n 收敛,则由比较判别法,原级数∑∞=+1421n nn 也收敛. 例3 判别级数∑∞=--+12521n n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项5212--+n n n ,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是2,这时通项接近，n n n 2122=,原级数也接近于级数∑∞=11n n,至多差一个系数. 解: 因为52152221222--+≤--<=n n n n n n n n n （分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于∑∞=11n n 是发散的,则由比较判别法,原级数也是发散的. (2) 当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,利用不等式选取适当的比较对象.主要用到下面两个式子:当0>x 时,.1)11ln(11,sin xx x x x ≤+≤+< 例4 判别级数nn n 3sin21π∑∞=的敛散性.分析: 考虑当0>x 时,x x <sin ,则πππππnnn nn nn)32(323sin2,33sin=⋅<<,而πnn )32(1∑∞=是公比132||<=q 的收敛级数,故原级数收敛. 例5 判别级数∑∞=+1221ln n n n 的敛散性. 分析: 由于有不等式22221)11ln(1ln n n n n ≤+=+,而∑∞=121n n是收敛的级数,故原级数也收敛.(3) 当所求级数的通项放大、缩小不方便时,可采用比较判别法的推论.利用比较判别法的推论时要注意:（1）把要求的级数当作∑∞=1n nu,另找一个正项级数（往往找调和级数、p-级数或等比级数),作∑∞=1n nv;（2）重点考察极限结果1,因为1在0与∞之间.例6 判别级数∑∞=+-12114n nn 的敛散性. 分析: 考虑通项1142+-n n ,分子n 的最高幂为1,分母n 的最高幂为2,通项接近nn n 12=,因此就把级数∑∞=11n n作∑∞=1n n v .解: 由于414lim ]1114[lim 222=+-=+-∞→∞→n nn n n n n n ,又因为∑∞=11n n 是发散的,则原级数也发散.例7 另解上面的例5.分析: 我们前面已经讨论过该题,若忘记前面的不等式,而此题的通项又不易进行放大、缩小,可用推论.把)11ln(2n +作为n u ,再找一个n v .观察到n u 中,有对数函数)11ln(2n+出现,考虑用第二重要极限e nnn =+∞→)11(lim ,取.12n v n =解: 因为1)11ln(lim ]1)11ln([lim 2222=+=+∞→∞→n n n n nn,又∑∞=121n n收敛,故原级数也收敛.3.2.3 归纳总结判断正项级数∑∞=1n nu“ 敛散性的一般步骤：(ⅰ) 检查通项。
正项级数
例7 讨论级数 nxn1 ( x 0)的敛散性。
解
un1 (n 1) x n n 1 x x ( n ) n 1 un nx n
当q=1时，比式判别法失效
由（6）式，对任意取定的正数 (|1 q |) 证明：
N 0, n N , 都有
当 ，取 使q 1 由上述不等式的右半部分 （ⅰ） q 1
及Th12.7推得级数
un 1 q q un
u 收敛
n
当 ，取 使q 1, 由上述不等式的左半部分 （ⅱ） q 1
un ② 设 un 收敛 ，能否推得 (un 0) 收敛？ n
2
un1 2、 un为正项级数，且 设 1，能否断定 un收敛？ un
思考题解答
un 1 ① 可以推得 lim u lim un 0 n n n 1 1 n 反之不成立. 例如： 2 收敛, 发散. n
由Th12.6及（3）式推得，
级数un和级数vn敛散性相同
（ⅱ） l =0时, 由（3）式右半部分和比较法则证得 当 （ⅲ） l =+时, 即对M 0, N 0, n N，都有 当
un M 或 un Mvn vn 则 由比较法则 若vn发散， un发散
sin
n
sin lim
n
n lim
n
sin
n ,
由
1 发散，知 sin 发散 n n
1 n
n
1 例4 判断级数 n 敛散性。 2 n 1 n 2n 1 解： lim 2 n lim n lim 1 n 1 n 2 n n n 1 n n 2 2
正项级数
第二节 正项级数
若 un 0, 则称 un 为正项级数 .
n1
定理 1. 正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
证: “ ” 若 “”
收敛 , ∴部分和数列
故有界. 单调递增,
（2） 1 时级数发散;
（3） 1 时级数可能收敛也可能发散.
级数
1 发散,
n1 n
级数
1
n2
n1
收敛,
(
类似等比级数
1)
处理含阶乘的和含幂次的方便
比值收敛法的优点：不必找参考级数. 24
例5 判别下列级数的敛散性.
3n n3
(1)
n1
定理 则
设 un和vn均为正项级数，且un vn (n 1, 2,),
n1
n1
(1) 若大级数 vn 收敛,则小级数 un 收敛；
n1
n1
(2) 若小级数 un 发散，则大级数 vn 发散.
n1
n1
证明 (2)是(1)的等价命题.
注：定理的条件可放宽为：
n3nx来自limx
3x
lim
x
1 3x ln 3
0.
1
lim
n
3n
n
1 3n
lim
n
3n 3n
n
1
lim
n
1
n 3n
1.
22
例12 讨论
级数判别法
级数判别法基本定理：正项级数收敛的充要条件是：∑∞=1n n a的部分和数列}{n S 有界。
1、 比较判别法：设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b是两个正项级数，且存在0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∑∞=∞=⇒101n n n n ba 发散发散。
2、 比较判别法极限形式：设∑∞=1n na 和∑∞=1n nb 是两个正项级数，且λ=+∞→n nn b a lim，则：○1：当+∞<<λ0时，∑∞=1n na 和∑∞=1n n b具有相同的敛散性。
○2：当0=λ时，∑∞=1n n b 收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○3：当+∞=λ时，∑∞=1n n b 发散∑∞=⇒1n na 发散。
3、 比较判别法II ：设有两正项级数∑∑∞=∞=101n nn n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足：nn n n b b a a 11++≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∞=1n na发散∑∞=⇒1n n b发散。
4、 比值判别法（达朗贝尔）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°若当n 充分大时有：11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n a 必收敛。
2°若当n 充分大时有：11≥+n n a a ，则级数∑∞=1n n a 必发散。
5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设∑∞=1n n a为正项级数，且2111lim limλλ==+∞→+∞→n n n n n n a a，a a ，+∞≤2,1λ，则：1°：当11<λ时，级数∑∞=1n n a 收敛。
2°：当12>λ时，级数∑∞=1n n a 发散。
6、 根值判别法（Cauchy ）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°：若当n 充分大时，有1<≤q a nn ，则级数∑∞=1n na 必收敛。
正项级数判别 法
1 n
5 4
,则
v
n 1 n n 1
1 5 n4
收敛
un ln n 4 ln x lim 1 lim lim lim 0 1 1 n x n v n x n 4 x 4 x 4
ln n 收敛。 由比较判别法的极限形式知， un 3 n 1 n 1 n 2
解: 1) 若 p 1,
1 因调和级数 发散 , 所以p 级数 n 1 n
1 由比较审敛法可知： n
发散 .
2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n 1 1 1 n 1 p 1 d x p 1 p 1 (n 1) n n 1 x p
1 1 1 1 1 2 3 4 n 2 2 2 2
即
1 1 n 1 n 2 n
而级数
1 2
n 1
n 1
收敛，
1 故级数 n 收敛。 n 1 n
定理3.(比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
0, 收敛 un lim l (0 l ), 和 n v n 发散 ,
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
（3）当 = 1 时，不能用此法判定级数的敛散性。
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, u 1 n
收敛 ,由比较审敛法可知 un 收敛 .
证: (1) 当 1 时,
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N 时 从而
un vn sn n (n 1, 2, )
正项级数判别法
例 4 证明级数
n 1
1 是发散的. n( n 1)
证明
1 1 , 而级数 1 发散, n( n 1) n 1 n 1 n 1
级数
n 1
1 发散. n( n 1)
nn n!发散; n 1
2n 1 n!收敛; 而级数 n n n收敛吗? n 1 n 1
n1 级数 2 , n 1 n 1
2 ( 1)n 级数 , n 2 n 1
4. 定理3 比较判别法的极限形式 P175
un l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n v n n 1 n 1
则(1) 当 0 l 时, 两级数有相同的敛散性; (2) 当 l 0时，若
un 设un 0, v n 0, lim 1, n vn
un
~
vn
e x 1 ~ x,
arctan x ~ x,
sin x ~ x,
ln(1 x ) ~ x ,
例 5 判定下列级数的敛散性:
1 (2) n ; n 1 3 n 1 sin n 解 (1) lim 1, 原级数发散. n 1 n 1 n 3 n lim 1 1, ( 2) lim n 1 n n 1 n n 3 3 1 n收敛, 故原级数收敛. n1 3
§11.2 正项级数的收敛判别法
1.定义P173: 如果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数
s1 s2 sn
部分和数列 { sn } 为单调增加数列.
定理1
正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有上界.
正项级数
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机动
例4：判定下列级数的敛散性：
(1)
n1
2n 1 n 10
3
;
(2)
n1
1 3 n
n
;
2n 1
2n n n 10 ( lim 解： 1 ) lim 3 n 1 n n 10
3
3
2
2
n1
1 n
特别地， 当 u n ~ v n ( n ) 时 ，
两级数有相同的敛散性；
(2) 当 l 0 时 ， 若
v n 收敛
n1
，则
u n 收敛
n1
，
( 3 ) 当 l 时 ，若
vn
n1
则 发散 ，
un
n1
机动
发散 ，
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结束
证明
( 1 ) 由 lim l l 2 un vn un ห้องสมุดไป่ตู้n
1
收敛 发散
重要参考级数:
几何级数，p-级数，调和级数。
推论：设
un 、 vn 均为正项级数，且存在 N ，当
n 1 n 1
n N 时，有 un kv n ( k 0 ) ，则
（1）若
vn 收敛，则 un
n 1 n 1
收敛；
（2）若
un
n 1
发散，则
2
收敛 ,
n
2
1
(2)
故原级数收敛.
正项级数的判别法
法
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un 收敛?
2 n1 n1
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un 收敛,
2 n 1 n1
un lim lim un 0 n u n n
由比较审敛法知 un 收敛.
2
1时级数发散; 1 时失效.
1 例如, 设级数 n , n1 n
1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n
n
小 结
正 项 级 数
1. 若 Sn S , 则级数收敛;
审
敛
2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质; 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法Leabharlann lim a2 nn
1 , 6
lim a2 n1
n
3 , 2
un1 lim lim an 不存在. n u n n
例 4 判别下列级数的收敛性:
1 (1) ; n 1 n!
解
n! 1 (2) n ; (3) . n 1 10 n 1 ( 2n 1) 2n 1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n!
1 (1) sin ; n n 1
二、比值判别法
un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
浅析正项级数的比较判别法
Ⅱ ＝￣ ／ Ｓ—Ｓ 一 ｌ 一￣ ／ Ｓ—Ｓ （ Ｓ ０＝０ ） ， ｎ： １ ， ２ ， …，
则因 ｕ ＋… ＋ ＝ 一 ｖ 厂
ｌ ｉ ｍ
ｎ一 ∞ ｎ
２ 结 论
在利 用 比较判 别法 判定一 个 正项级 数 的敛 散 性时 ， 我们 总要 预先 选定 某个 收 敛 （ 或 发散 ） 的级 数 作 为 比 较级 数 ． 一个 自然 的 问题是 ： 是否 存在一 个 收敛 （ 或发 散） 的级数 ， 用它 作为 比较级 数 ， 可 以判 别其 他所有 的 收
ｕｍＯ ＋ ｐ０
一
由 此 可 见 ， 只 要 取 合 适 ， 使 ＜ 扣 可 ＝ ．
证 取 ￡ ０ ＝ ÷， ｖⅣ＞ ０ ， ｍ ｏ ＝Ｎ＋１ ＞Ｎ， 因∑ａ 发散， 口 ＞０ ， 故ｌ ｉ ａ ｒ Ｓ ＝＋ａ 。 ， 由此可知 Ｐ ０ ＞ ０ ， 使
ｎ ｌ ｎ 一 ∞
关键 词 ： 正 项级 数 ； 敛散性 ； 比较 判 别 法
中 图分 类 号 ： ０１ ７ １
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： ２ ０ ９ ５ — ２ ９ １ ０ （ ２ ０ １ ５ ） ０ １ — ０ ０ １ ５ － ０ ２
１ 几个概念【 １ ］
１ ． １ 级数 与正 项级数
王 冲
（ 沧 州师 范学 院 数 学 系 ， 河北 沧州 ０ ６ １ ０ ０ １ ）
摘 要 ： 利用构造 的方 法证 明了没有收敛得“ 最慢” 的级数或发散得 “ 最慢” 的级数 ， 说 明了不存在一 个收 敛（ 或发 散） 的级数 ， 用它作为 比较级数 可以判别其他所有收敛（ 或发散 ） 的级数 ．
ｎ＝ １ Ｏ ｎ
０ ， ｊ ｍ ０ ＞Ｎ及 Ｐ ０ ， 满 足
06第六讲 正项级数的比式判别法
数学分析第十二章数项级数正项级数的比式判别法第六讲数学分析第十二章数项级数比式判别法和根式判别法本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的,特征就能作出判断，不需要与已知级数进行比较.但在使用时只要根据级数一般项本身的数学分析第十二章数项级数定理12.7（达朗贝尔判别法，或比式判别法）则级数n u ∑收敛;>0(ii),n N 若对一切成立不等式11,(6)n nu u +≥.n u ∑则级数发散1,(5)n n u q u +≤>0(i),n N 若对一切成立不等式0n u N ∑设为正项级数，且存在某正整数及常数01.q q <<（）数学分析第十二章数项级数把前n -1个不等式按项相乘后,得到--⋅⋅⋅≤132121,n n n u u u q u u u 或者由于当0 < q < 1时,-∑1,n q 等比级数收敛根据比较原则及上述不等式可得.n u ∑级数收敛证+≤≥1(i)1n n u q n u 不妨设不等式对一切成立,于是有21,u q u ≤32u q u ≤，, 1,.n n u q u -≤ 11.n n u u q -≤数学分析第十二章数项级数0n N ≥因为当时,(ii )1n n u u +≥1n u -≥00,N u ≥≥> 从而因此所以级数发散.00lim ,n N n u u →∞≥>数学分析第十二章数项级数推论1（比式判别法的极限形式）若nu ∑为正项级数，且1lim ,(7)n n n u q u +→∞=则(i)1,;n q u <∑当时级数收敛(ii)1,.n q q u >=+∞∑当或时级数发散证由(7)式, 对任意取定的正数<-(1),q ε存在正数当n > N 时, 有+-<<+1.n nu q q u εεN ,数学分析第十二章数项级数1n nu q q u εε+-<<+1,1,q q εε<+<当时根据的取法,有由上述不等式的右半部分及比式判别法的(i),得正项级数n u ∑是收敛的.1,1,q q ε>->若则有根据上述不等式的左半部分及比式判别法的(ii), 可得级数n u ∑是发散的.+>11,n nu u .n u ∑所以这时级数是发散的,+∞=q 若,N 则存在时有当N n ><-(1),q ε数学分析第十二章数项级数例6 级数225258258[23(1)],115159159[14(1)]n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- 由于根据推论1，级数收敛.123lim lim 14n n n nu n u n +→∞→∞+=+34=,1<数学分析第十二章数项级数例7 讨论级数1(0)n nxx ->∑的敛散性.解因为根据推论1,当0 < x <1时级数收敛;,n ∑而当x = 1时, 所考察的级数是它显然也是发散的.作出判断.()111n n n n n x u u nx +-+=1n x n +=⋅(),x n →→∞当x >1时级数发散;若(7)中q = 1, 这时用比式判别法不能对级数的敛散性数学分析第十二章数项级数*推论2∑∑211,n n 和例如级数它们的比式极限都是∑1n而却是发散的.若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极限来判别收敛性.设n u ∑为正项级数.+→∞=<1(i)lim 1,;n n n u q u 若则级数收敛1(ii)lim 1,n n nu q u 若则级数发散.+→∞=>()11,n n u n u +→→∞21n ∑但收敛，数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2 正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别积分判别法*拉贝判别法解由于1,,,n n b n u u c n +⎧=⎨⎩为奇数,为偶数故有于是当c < 1时, 级数(8)收敛; 但当b < 1< c 时,比式判别法无法判断级数的敛散性. 的敛散性, 其中0 < b < c.22211(8)n n n n b bc b c b c b c b c -++++++++*例8 研究级数1lim ,n n nu c u +→∞=1lim ,n n n u b u +→∞=当b >1时,级数发散; 法。
01-比式判别法
un1 1n , 但
un
1 收敛，而 n2
1 却是发散的. n
若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极
限来判别收敛性.
*推论2
设 un 为正项级数.
(i) 若 lim un1 q 1, 则级数收敛; u n
n
(ii) 若lim un1 q 1, 则级数发散. u n n
数学分析 第十二章 数项级数
un
u2 q, u3 q，, un q,.
u1
u2
un1
把前n-1个不等式按项相乘后,得到
u2 u3 un qn1,
u1 u2
un1
或者
un u1qn1 .
由于当0 < q < 1时, 等比级数 qn1收敛, 根据比较
原则及上述不等式可得级数 un 收敛.
数学分析 第十二章 数项级数
lim un1 c, lim un1 b,
u n n
u n n
于是当c < 1时, 级数(8)收敛; 当b >1时,级数发散;
但当b < 1< c时,比式判别法无法判断级数的敛散性.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
(ii)因为当n N0 时,
从而
un1 un un1 uN 0, 0
因此
lim
n
un
uN0
0,
所以级数发散.
*拉贝判别法
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
正项级数判别 法
-----精品文档------
注意: 条件是充分的,而非必要.
例 un22 ( n1)n2 3nvn,
级数un
n1
2(1)n
2n
n1
收,敛
但un1 un
22(2(( 1)1n)n1)an,
lim
n
a2n
1, 6
lnima2n1
3, 2
limun1 n un
ln iman
不存.在
-----精品文档------
级数。 （3）比较对象的选取有时比较困难。
-----精品文档------
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设(1) 当un为正1项时级, 级数数, 且收敛nl im; uunn1 , 则
(2) 当1或 时, 级数发散 .
（3）当 = 1 时，不能用此法判定级数的敛散性。
考 1 虑2 级p 1 数1 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p 11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1 n kn1k1p1(k11)p11(n11)p1 n 1
故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
n 1
u n 收敛;
n 1
l i m n
un vn
l(0l), u n 和 v n
n 1
n 1
,
v n 发散
有相同的 敛散性。
u n 发散;
n 1
n 1
注意lnim： uv若nn
0,
且
vn
n 1
发散，则
un
n 1
不一定发散。
本质：比较两正项级数一般项作为无穷小量的阶
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数学分析第十二章数项级数正项级数的比式判别法
第六讲
数学分析第十二章数项级数比式判别法和根式判别法
本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的,特征就能作出判断，不需要与已知级数进行比较.但在使用时只要根据级数一般项本身的
数学分析第十二章数项级数
定理12.7（达朗贝尔判别法，或比式判别法）
则级数n u ∑收敛;
>0(ii),n N 若对一切成立不等式
11,(6)
n n
u u +≥.
n u ∑则级数发散1,(5)n n u q u +≤>0(i),n N 若对一切成立不等式0n u N ∑设为正项级数，且存在某正整数及常数01.
q q <<（）
数学分析第十二章数项级数把前n -1个不等式按项相乘后,得到
--⋅⋅⋅≤132121
,n n n u u u q u u u 或者由于当0 < q < 1时,-∑1,n q 等比级数收敛根据比较
原则及上述不等式可得.
n u ∑级数收敛证+≤≥1(i)1n n u q n u 不妨设不等式对一切成立,于是有21,u q u ≤32u q u ≤，, 1,.n n u q u -≤ 11.
n n u u q -≤
数学分析第十二章数项级数
0n N ≥因为当时,(ii )1n n u u +≥1n u -≥00,
N u ≥≥> 从而
因此所以级数发散.00lim ,n N n u u →∞
≥>
数学分析第十二章数项级数
推论1（比式判别法的极限形式）
若n
u ∑为正项级数，且1lim ,(7)
n n n u q u +→∞=则(i)1,;
n q u <∑当时级数收敛(ii)1,.
n q q u >=+∞∑当或时级数发散证由(7)式, 对任意取定的正数<-(1),q ε存在正数当n > N 时, 有+-<<+1.n n
u q q u εεN ,
数学分析第十二章数项级数1n n
u q q u εε+-<<+1,1,q q εε<+<当时根据的取法,有由上述不等式的右半部分及比式判别法的(i),得正项级数n u ∑是收敛的.
1,1,q q ε>->若则有根据上述不等式的左半部分及比式判别法的(ii), 可得级数n u ∑是发散的.+>11,n n
u u .
n u ∑所以这时级数是发散的,+∞=q 若,N 则存在时有当N n ><-(1),
q ε
数学分析第十二章数项级数例6 级数
225258258[23(1)],115159159[14(1)]
n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- 由于根据推论1，级数收敛.
123lim lim 14n n n n
u n u n +→∞→∞+=+34=,1<
数学分析第十二章数项级数例7 讨论级数1(0)n nx
x ->∑的敛散性.
解因为根据推论1,当0 < x <1时级数收敛;,n ∑而当x = 1时, 所考察的级数是它显然也是发散的.
作出判断.
()111n n n n n x u u nx +-+=1n x n +=⋅(),
x n →→∞当x >1时级数发散;若(7)中q = 1, 这时用比式判别法不能对级数的敛散性
数学分析第十二章数项级数*推论2∑∑211,n n 和例如级数它们的比式极限都是∑1n
而却是发散的.若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极限来判别收敛性.
设n u ∑为正项级数.
+→∞=<1(i)lim 1,;n n n u q u 若则级数收敛1(ii)lim 1,n n n
u q u 若则级数发散.+→∞=>()11,n n u n u +→→∞21n ∑但收敛，
数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2 正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别积分判别法*拉贝判别法
解由于1,,,n n b n u u c n +⎧=⎨⎩为奇数,为偶数故有于是当c < 1时, 级数(8)收敛; 但当b < 1< c 时,比式判别法无法判断级数的敛散性. 的敛散性, 其中0 < b < c.22211(8)n n n n b bc b c b c b c b c -++++++++*例8 研究级数
1lim ,n n n
u c u +→∞=1lim ,n n n u b u +→∞=当b >1时,级数发散; 法。