06第六讲 正项级数的比式判别法

数学分析第十二章数项级数正项级数的比式判别法

第六讲

数学分析第十二章数项级数比式判别法和根式判别法

本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的,特征就能作出判断，不需要与已知级数进行比较.但在使用时只要根据级数一般项本身的

数学分析第十二章数项级数

定理12.7（达朗贝尔判别法，或比式判别法）

则级数n u ∑收敛;

>0(ii),n N 若对一切成立不等式

11,(6)

n n

u u +≥.

n u ∑则级数发散1,(5)n n u q u +≤>0(i),n N 若对一切成立不等式0n u N ∑设为正项级数，且存在某正整数及常数01.

q q <<（）

数学分析第十二章数项级数把前n -1个不等式按项相乘后,得到

--⋅⋅⋅≤132121

,n n n u u u q u u u 或者由于当0 < q < 1时,-∑1,n q 等比级数收敛根据比较

原则及上述不等式可得.

n u ∑级数收敛证+≤≥1(i)1n n u q n u 不妨设不等式对一切成立,于是有21,u q u ≤32u q u ≤，, 1,.n n u q u -≤ 11.

n n u u q -≤

数学分析第十二章数项级数

0n N ≥因为当时,(ii )1n n u u +≥1n u -≥00,

N u ≥≥> 从而

因此所以级数发散.00lim ,n N n u u →∞

≥>

数学分析第十二章数项级数

推论1（比式判别法的极限形式）

若n

u ∑为正项级数，且1lim ,(7)

n n n u q u +→∞=则(i)1,;

n q u <∑当时级数收敛(ii)1,.

n q q u >=+∞∑当或时级数发散证由(7)式, 对任意取定的正数<-(1),q ε存在正数当n > N 时, 有+-<<+1.n n

u q q u εεN ,

数学分析第十二章数项级数1n n

u q q u εε+-<<+1,1,q q εε<+<当时根据的取法,有由上述不等式的右半部分及比式判别法的(i),得正项级数n u ∑是收敛的.

1,1,q q ε>->若则有根据上述不等式的左半部分及比式判别法的(ii), 可得级数n u ∑是发散的.+>11,n n

u u .

n u ∑所以这时级数是发散的,+∞=q 若,N 则存在时有当N n ><-(1),

q ε

数学分析第十二章数项级数例6 级数

225258258[23(1)],115159159[14(1)]

n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- 由于根据推论1，级数收敛.

123lim lim 14n n n n

u n u n +→∞→∞+=+34=,1<

数学分析第十二章数项级数例7 讨论级数1(0)n nx

x ->∑的敛散性.

解因为根据推论1,当0 < x <1时级数收敛;,n ∑而当x = 1时, 所考察的级数是它显然也是发散的.

作出判断.

()111n n n n n x u u nx +-+=1n x n +=⋅(),

x n →→∞当x >1时级数发散;若(7)中q = 1, 这时用比式判别法不能对级数的敛散性

数学分析第十二章数项级数*推论2∑∑211,n n 和例如级数它们的比式极限都是∑1n

而却是发散的.若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极限来判别收敛性.

设n u ∑为正项级数.

+→∞=<1(i)lim 1,;n n n u q u 若则级数收敛1(ii)lim 1,n n n

u q u 若则级数发散.+→∞=>()11,n n u n u +→→∞21n ∑但收敛，

数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§2 正项级数正项级数收敛性的一般判别原则比式判别法和根式判别积分判别法*拉贝判别法

解由于1,,,n n b n u u c n +⎧=⎨⎩为奇数,为偶数故有于是当c < 1时, 级数(8)收敛; 但当b < 1< c 时,比式判别法无法判断级数的敛散性. 的敛散性, 其中0 < b < c.22211(8)n n n n b bc b c b c b c b c -++++++++*例8 研究级数

1lim ,n n n

u c u +→∞=1lim ,n n n u b u +→∞=当b >1时,级数发散; 法