线性系统理论--跟踪控制

±2j，扰动阶跃信号存在一种不稳定模态0，
两信号不稳定模态的最小公倍式即为：
(s) s(s 4)
2
于是导出参考、扰动信号的不稳定共有模型
为：
0 c 0 x 0 1 0 4 0 0 1 xc 0 e 1 0
（2）判断系统是否可以实现无静差跟踪
举例：给定受控系统
0 x 1 y 1 1 0 0 x u w 1 1 4 0 x
参考信号
y 0 ( t ) sin( 2 t )，扰动信号为阶跃信
号，求系统无静差跟踪的控制律
解：（1）建立内模：
参考信号sin(2t)函数本身存在两种不稳定模态
T
T
Байду номын сангаас
于是，注意到当 e ，有 (e ) ，要看出平 V 衡状态e =0是大范围渐近稳定的。条件1总可通 过选择适当的P而得到满足，因为A的所有特征 值均假设具有负实部。因此，这里的问题就是 选择一个合适的控制向量u，使得M或等于零， 或为负值。 举例说明如何使用该方法设计非线性控制器
例：考虑由下式描述的非线性时变系统

A ra n k C

B n p 0
通过求解增广系统的镇定问题，不仅可以 实现原系统的输出对阶跃给定信号的跟踪， 还可以同时实现系统的输出关于定常扰动 信号的静态解藕，即当时间充分长后，系 统的定常扰动信号对于系统输出无影响。
第七节 模型参考控制系统分析
迄今为止，本书已经介绍了线性定常控制系统的设 计方法。因为所有的物理对象在某种程度上均是非线 性的，所以设计出的系统仅在一个有限的工作范围内 才能得到满意的结果。如果取消对象方程是线性的这 一假设，那么，到目前为止，不能应用本书介绍过设 计方法。在这种情况下，本节讨论的对系统设计的模 型参考方法可能是有用的。 确定系统性能的一种有效的方法是利用一个模型， 对给定的输入产生所希望的输出。模型不必是实际的 硬件设备，可以是在计算机上模拟的数学模型。在模 型参考控制系统中，将模型的输出和对象的输出进行 比较，差值用来产生控制信号。
其中 x d R n , v R m , A R n n , B R n m 又假设A的所有特征值都有负实部，则该模型 参考系统具有一个渐近稳定的平衡状态。 令误差向量为 e xd x 在该问题中，希望通过一个合适的控制向量u， 使得误差向量减小到零。 即
e x d x Ax
d im u d im y 1 i I A ra n k C B n p 3, D
i 0, 2 j
条件满足，所以系统是可实现无静差跟踪 的。
（3）求控制律 首先写出受控系统与内模系统的串联组合 系统方程：
0 1 x 0 xc 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4 0 0 0 0 0 1 4 0 x 0 0 u 0 w 0 y 0 (t ) xc 1 0 0 0 0 0 1 0
保证闭环系统是渐近稳定的，这样就实现 了无静差跟踪的闭环控制。
无静差跟踪条件：
给定线性定常系统是无静差跟踪的充要条 件是：

输入维数m>＝输出维数p

对 ( s ) 的每个特征根都有
i I A ra n k C B n p, D i 1, , q
实际上这两个条件就等价于内模系统与受 控系统相组合的串联系统是能控的
( s ) s a q 1 s
q q 1
a1 s a 0
为保证内模与参考、扰动信号不稳定振型 的精确对消，可以由此导出两信号不趋近 于零的那部分共同模型。
把它与受控系统串联，并把跟踪误差e作
为输入信号，其模型可以写成：
x c Ac x c B c e yc xc
x A xc BcC 0 x B Bw 0 u w y 0 (t ) Ac x c B c D Bw D w Bc
再取状态反馈
u k x k c xc
d
V ( e ) e T Pe
式中的P是正定的Hermite或实对称矩阵。求V(e) 对时间t的导数，可得
T T T T T T T T T V (e) e Pe e Pe [e A x A f ( x, u , t ) v B ]Pe
e P( Ae Ax f ( x, u, t ) Bv)

假设对象的状态方程为：
x f ( x, u , t ) x R n ,u R m
希望控制系统紧随某一模型系统。设计的关键 是综合出一个控制器，使得控制器总是产生一 个信号，迫使对象的状态接近于模型的状态， 系统结构如图所示。
假设模型参考系统是线性的：
x d Ax
d
Bv
相对于初始系统，这是一个广义的PI控制器， 类似于单变量伺服控制系统。 通过上述方法，将定常信号的跟踪控制问题转 化为增广系统的状态反馈镇定问题，其控制方 案是时变信号跟踪控制问题的特例，其中误差 信号积分器记为内模系统。

上述问题是否有解？ 定理：假设[A,B]能控，则增广系统完全 能控的充要条件是：
x1 0 x2 b x1 0 u a ( t ) x 2 x 2 1 1
式中a(t)是时变参数，b为正常数。设参考模 型的方程为:
xd1 0 x d 2 n2 xd1 0 2 v 2 n x d 2 n 1
其中 Ac
diag ( , , ) | p , B c diag ( , , ) | p
0 I q 1 , a q 1 1
0 a 0
a1
三 无静差跟踪控制
w
把信号模型作为内模与受控系统顺序串联， 可以得到相应的闭环系统：
0
联立系统与上述方程可以得到增广系统：
x A q C 0 x B 0 Bw u w 0 q 0 0 y0
对该增广系统采取状态控制律：
u k 1
t x k 2 k 1 x k 2 ( y ( ) y 0 ) d 0 q
T
e ( A P PA)e 2M
T T
M e P [ Ax f ( x, u , t ) Bv]
T
M 式中， e P [ A x f ( x , u , t ) B v ] 是纯量。 如果： 1、A P PA 是一个负定矩阵； 2、控制向量u可选择得使纯量M为非正值
受控系统满足无静差跟踪条件就等价于上
述串联系统是能控的，只要取一反馈
u k x k c xc
保证闭环系统是渐近稳定的，这样就实现 了无静差跟踪的闭环控制。
根据镇定要求假使期望闭环极点为-1,-1, -2,-1+j,-1-j,则可以求出相应的反馈为：
k＝[10 7]; kc＝[4 -30 -4]
二．不稳定信号模型的建立
通常情况下，参考信号和扰动信号可以看 作是在未知初始条件下，有这样两个模型
产生的：
x r Ar x r y0 C r xr
x w Aw x w w C w xw
在跟踪问题中只需考虑参考信号和扰动信 号的不稳定振型，令 ( s ) 表示这两个矩 阵中不稳定特征根的根因式的最小公倍式， 也就是所有不重合的根因式之积：
t t
就称该系统是无静差跟踪的。
系统的跟踪问题意味着要达到系统的渐近跟
踪，又要抑制干扰，也就是说当干扰为零 （不存在）时，对任意的参考信号都有：
lim y ( t ) lim y 0 ( t )
t t
且当参考信号为零(不存在时)，对任意的扰动 都有
lim y ( t ) 0
2.5 r------y(t) 2 g------y0(t)
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
四 渐近跟踪问题——定常参考信号的情况
考虑如下系统：
x Ax Bu B w w y Cx
其设计目标仍旧为扰动抑制的渐近跟踪，考 虑参考信号y0(t)=y0为定常的情形。 回忆经典控制理论中的伺服设计思想，为使 系统做到零静态误差，常采用PI控制器，即对 误差进行比例积分控制。由于PI控制器 的积 分作用，只要闭环系统稳定，且当参考信号 和扰动信号为阶跃信号时，有误差e(t) 0
试设计一个非线性控制器，使得系统能够稳 定地工作。
解：定义误差向量为：e x x Lyapunov函数为：V ( e ) e T Pe 式中P是正定实对称矩阵，参照上述推导，得：
t
亦称为“跟踪问题中的干扰解耦”
w
一般情况下，无静差跟踪系统可以看作是一
个具有补偿器的输出反馈系统

镇定补偿器：使整个系统实现镇定
u 2 kx

伺服补偿器：实现渐近跟踪和扰动抑制
x c Ac x c B c e u1 k c xc
伺服补偿器通过在系统内部复制一个参考 信号和扰动信号的不稳定信号模型，依靠 该模型的不稳定特征根与跟踪信号和扰动 信号的不稳定振型实现精确对消，从而达 到完全的渐近跟踪和扰动抑制目的。通常 把引入的这个不稳定信号模型称为内模， 这种控制方法就称为内模原理。
d
Bv f ( x , u , t )
Ae Ax f ( x , u , t ) Bv
(1)
现在设计一个控制器，使得在稳态时 x x 和 x x d 或 e e 0 。因此，原点e=0是一个平衡 状态。 在综合控制向量u时，一个方便的出发点就是对 式(1)给出的系统构造一个Lyapunov函数。 假设Lyapunov函数的形式为
将上述思想推广到多变量系统中，需要在误差
向量的每个分量后面串联一个积分器，从而使
稳态误差的每个分量均为零，因此在控制u中
含有误差e(t)的积分项。记
q (t )
t t

0
e ( ) d ( y ( ) y 0 ) d q ( t ) y ( t ) y 0
第六节 跟踪控制
一 问题提出
x Ax Bu Bw w, y Cx Du Dww, x R ,u R
n p m
y R ,w R
p
考虑上述在参考信号和干扰的同时作用下
系统，如果存在相应的控制律使得下式成
立：
lim e ( t ) lim ( y 0 ( t ) y ( t )) 0
内模原理的优点：控制结果对除了内模之 外的受控系统和补偿器参数变化不敏感。 即使控制系统或补偿器的参数出现摄动， 哪怕是相当大的摄动，只要闭环系统仍然 是渐近稳定的，那么此闭环系统仍具有无 静差跟踪特性。但在上述跟踪控制系统中， 内模的参数变化是不容许的，内模参数的 任何摄动都会破坏它与参考信号和扰动信 号不稳定振型的精确对消，从而破坏了渐 近稳定和扰动抑制。