2020-2021学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教a版必修4 (3)
【解析】 A→B＝D→C，A、B、C、D 四点可能在同一条直线上， 故①不正确；在▱ABCD 中，|A→B|＝|D→C|，A→B与D→C平行且方向相同， 故A→B＝D→C，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且 a 与 b 方向相同；b＝ c，则|b|＝|c|，且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 长度相等且方向相同， 故 a＝c，故③正确；对于④，当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行，故 ④不正确．
【课标要求】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念. 2.理解零向量、单位向量、两个向量平行(共线)、两个向量相 等的含义. 3.理解向量的几何表示.
自主学习 基础认识 |新知预习| 1．向量的定义 既有大小，又有方向的量称为向量．
2．向量的表示方法
3．向量的长度(模) |A→B|(或|a|)表示向量A→B(或 a)的大小，即长度(也称模). 4．与向量有关的概念
【解析】 (1)如图所示． (2)由题意，易知A→B与C→D方向相反， 故A→B与C→D共线， 即 AB∥CD. 又|A→B|＝|C→D|， 所以四边形 ABCD 为平行四边形． 所以|A→D|＝|B→C|＝200(千米)．
方法归纳
用有向线段表示向量的步骤
跟踪训练 2 在如图的方格纸中，画出下列向量． (1)|O→A|＝3，点 A 在点 O 的正西方向； (2)|O→B|＝3 2，点 B 在点 O 北偏西 45°方向； (3)求出|A→B|的值．
解析：易知A→B＝D→C. 答案：B
3．如图，在⊙O 中，向量O→B，O→C，A→O是( ) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量
解析：由图可知O→B，O→C，A→O是模相等的向量，其模均等于圆 的半径，故选 C.
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练习3.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b |a|=|b|
（4）两个向量a、b相等的充要条件是 a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中正确的个数是(
)
A．0 B. 1
D
C
C. 2
D. 3
C
D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
当b ≠ 0时成立。
A
B
B
A
1.描述向量的两个指标：模和方向. 2.平行向量不是平面几何中的平行线段的 简单类比. 3.共线向量与平行向量关系、相等向量。
作业：课本77页
A组第3题，第4题
各向量的终点与直线l之间有什么关系？
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：a = b
D
C
规定：0 = 0
A
B
A
B
D
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗?
向量相等 平行向量一定是相等向量吗?
——相等向量与共线向量
1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向） 2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量 的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么 向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相 等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什 么关系？
2.1平面向量的实际背景及基本概念
（2）直角坐标平面内的x轴，y轴是向量。 （3）如果两个向量所在的直线互相平行，那么这 两个向量是平行向量。
（4）平行向量所在的直线一定互相平行。 （5）单位向量都相等。
二、课堂互动讲练
（6）不相等的向量一定不平行。 （7）若 | a | > | b | 则 a > b 。
二、课堂互动讲练
（三）解决问题
3、掌握平行向量、相等向量、共线向量的概念。 重、难点 重点：理解并掌握向量、向量的模、零向量、单
位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念。 难点：向量的方向、相等向量、共线向量。
一、课前自主探究 1、什么是位移？ 2、什么是向量？你还能从物理学中举 出一些这样的量吗？
3、什么是数量？生活中哪些量是数量
？ 4、什么是有向线段？怎样表示？它的 长度怎样表示？它由哪几个要素组成？
5、向量的大小（或称模），怎样表示?
一、课前自主探究 6、对比线段的表示方法，向量怎样表 示？ 7、你知道两个特殊向量吗？它们是？ 8、什么是平行向量？ 9、什么是相等向量？ 10、什么是共线向量?
二、课堂互动讲练
（一）选择
1、下列物理量不是向量的是（ ① ⑥ ⑦
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④
）
力
⑤
加速度 ⑥
路程
⑦
密度
2、下列说法中错误的是（ A ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为零 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任 意的
二、课堂互动讲练
（二）辨析
（1）温度含零上和零下温度，所以温度是向量。
（1）与零向量相等的向量必定是什么向量？
零向量 （2）与任意向量都平行的向量是什么向量？ 零向量
（3）平行向量是否一定方向相同？ 不一定
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及
2.1 平面向量的实际背景及基本概念课堂探究探究一 向量的表示1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．2．注意事项：书写有向线段时，要注意起点和终点的不同；在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头．【典型例题1】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1) OA u u u r ，使|OA u u u r |＝，点A 在点O 北偏东45°方向；(2) AB u u u r ，使|AB u u u r |＝4，点B 在点A 正东方向；(3) BC uuu r ，使|BC uuu r |＝6，点C 在点B 北偏东30°方向．解：如图中的OA u u u r ，AB u u u r 和BC uuu r .探究二 相等向量与共线向量1．寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再找同向与反向的向量．注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．【典型例题2】 给出下列说法：①|AB u u u r |＝|BA u u u r |；②若a 与b 方向相反，则a ∥b ；③若AB u u u r ，CD uuu r 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线；④有向线段是向量，向量就是有向线段．其中所有正确的序号是________．思路分析：利用共线(平行)向量的概念判断．解析：①中AB u u u r 与BA u u u r 的起点终点相反，但长度相等，故①正确；②正确；③AB u u u r 与CDuuu r 共线时，有AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故③错误；④向量是一个量，有向线段是一种几何图形，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．答案：①②【典型例题3】 如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：(1)与DO u u u r ，CO uuu r 相等的向量．(2)与DO u u u r 共线的向量．解：(1) DO u u u r ＝CF uuu r ，CO uuu r ＝DE u u u r .(2)与DO u u u r 共线的向量为：CF uuu r ，BO uuu r ，AE u u u r . 规律小结 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．探究三 易错辨析易错点：混淆向量的有关概念而致错【典型例题4】 已知下列命题：①若|a |＝0，则a 为零向量；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④所有单位向量都是相等向量；⑤两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同．其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 错解：C错因分析：①正确；②正确；③错误；没有正确理解单位向量和相等向量而判断④正确；⑤正确．正解：①正确；②由|a |＝|b |得a 与b 的模相等，但不确定方向，故②错误；③错误；④所有单位向量的模都相等，都为1，但方向不确定，故④不正确；⑤正确．答案：A方法技巧 明确向量及其相关概念的联系与区别：(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关．(2)明确向量与有向线段的区别：有向线段有三要素：起点、方向、长度，只要起点不同，另外两个要素相同也不是同一条有向线段，但决定向量的要素只有两个：大小和方向，与表示向量的有向线段的起点无关．(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的．零向量的方向是任意的．(4)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量．。
2.1平面向量的实际背景及基本概念
向量的几何表示 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
a
b
记作 a ∥ b ∥c
c
规定: 零向量与任一向量平行, 即对于任意向量a,都有0∥a
相等向量：长度相等且方向相同的向量。
a
b
记作: a = b
共线向量 任一组平行向量都可以移动到 同一直线上 a 平行向量也叫做共线向量。
b c
l
C
o B A
比较大小的，因此向量不能比较大小。
友情链接：物理中向量与数量分别叫做
矢量、标量
判断题
1.身高是一个向量（ ）
）
2.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（
3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是(
)
Hale Waihona Puke 2.1.2向量的几何表示 由于实数与数轴上的点一一对应,所以 数量常常用数轴上的一个点表示。 如：3,2,-1,…而且不同的点表示不同 的数量.
B
（知道了有向线段的起点、方向和长度， 它的终点就可以唯一确定.）
A
向量的几何表示：用有向线段表示。 向量AB的大小,也就是向量AB的长度（或 称模）,记作|AB|.
长度为0的向量叫做零向量（方向任意）。 记作0. |0|=0.
长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 向量的字母表示：（1）a、b、c.... （2）用表示向量的有向线段的起点和终 点字母表示，例如，AB，CD
思考：有向线段就是向量，向量就是有 向线段？ 有向线段只是一个几何图形，是 向量直观表示
例1 如图,试根据图中的比例尺以及三地 的位置,在图中分别用有向线段表示A地 至B、C两地的位移(精确到1km).
解:
AB表示A地至B地的位移,且
高中数学《第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.3...》174PPT课件 一等奖名师
长度相等、方向相同的向量叫做相等向量． 若向量a与b相等，记作a＝b. 注意：单位向量不一定是相等向量． 思考3:在同一平面内，把所有长度为1的向量 的始点固定在同一点，这些向量的终点形成 的轨迹是什么？
探究点三 平行向量与共线向量 思考1:如果两个非零向量所在的直线互相平行 ，那么这两个向量的方向有什么关系？ 答 方向相同或相反．
例3
如图所示， △ABC 的三边均不相等， E、
F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点． → 共线的向量； (1)写出与EF → 的模大小相等的向量； (2)写出与EF → 相等的向量． (3)写出与EF
→ 共线的向量有： 解 (1)所以与EF → ，BD → ，DB → ，DC → ，CD → ，BC → ，CB →. FE → 模相等的向量有： →， →， →， →， (2)与EF FE BD DB DC →. CD → 相等的向量有：DB → 与CD →. (3)与EF
小结:方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量．向量a、b平行，通常 记作a∥b. 规定：零向量与任一向量平行， 即对于任意向量a，都有0∥a.
a、 l，在 l 上任取一点 O，则可 → ＝a，OB → ＝b，OC → ＝c. 在 l 上分别作出OA
例1
判断下列命题是否正确，并说明理由．
①若 a≠b，则 a 一定不与 b 共线； → ＝DC → ，则 A、B、C、D 四点是平行四 ②若AB 边形的四个顶点； ③在平行四边形 ABCD 中， → ＝DC → ；④若向量 a 与任一向量 b 平 一定有AB 行，则 a＝0；⑤若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ⑥若 a∥b，b∥c，则 a∥c. ③．④．⑤
我们知道，力和位移都是既有大小， 又有方向的量．数学中， 我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量． 而把那些只有大小，没有方向的量称为数量．
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本
考点类析
新课导入
[导入二] 我们已经学过了哪些既有大小又有方向的量？正弦线、余弦线、正切线是怎样的量？ 答：位移、力、速度、加速度等都是既有大小又有方向的量．正弦线、余弦线、正切 线也都是既有大小又有方概念 1．既有___大小_____，又有___方_向____的量叫作向量． 2．只有___大小_____，没有___方_向____的量叫作数量．
考点类析
[答案] (1)D (2)A [解析] (1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故 A，B 不正确；向量的大 小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故 C 不正确；向量的模是 一个数量，可以比较大小，故 D 正确． (2)①正确，因为单位向量的长度为 1，零向量的长度为 0. ②正确，因为零向量与任一向量平行． ③错误，平行向量所在的直线可能不共线． ④错误，平行向量的平行关系不具有传递性． ⑤错误，平行向量不一定是相等向量．
预习探究
知识点三 向量的有关概念 1．_长_度_相_等_且_方向_相_同_的_向_量_______________叫作相等向量，如向量 a 与 b 相等，记作 a＝b. 2．方向_相_同_或_相_反_的_非_零_向量______________叫作平行向量，如 a 与 b 平行，记作__a_∥_b ____，零 向量与任一向量平行． 3．任一组_平_行_向_量______都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫作_共_线_向_量______．
重点难点
[重点] 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会 表示向量．
[难点] 向量的概念和共线向量的概念，共线向量(平行向量)和相等向量的区别 和联系．
教学建议
对教材处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题 去阅读课本，最后由教师总结，并对概念进行辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽 学生的视野，突破本节课的难点，充分发挥学生的主导作用．
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本
3．向量的表示：
二、有向线段表示向量 1．向量的模(长度)：向量A→B的 大小 ，记作： |A→B| . 2．零向量：长度为 0 的向量，记作 0. 3．单位向量：长度等于1 个单位 的向量． 三、两个向量间的关系 1．平行向量：方向相同 或 相反 的非零向量，又叫作 共线向量 ．若 a，b 是
量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形
中这些相关的概念.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、向量的概念及表示 1．概念：既有 大小 ，又有 方向 的量． 2．有向线段：(1)定义：带有方向的线段． (2)三个要素： 起点 、 方向 、 长度 ． (3)表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以 A 为起点、B 为终点的 有向线段记作 A→B . (4)长度：线段 AB 的长度也叫作有向线段A→B的长度，记作 |A→B|.
涉及平面向量的有关概念的命题真假判断的题目，在解题过程中准确把握概念是 关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．
1．判断下列说法是否正确： (1)若向量 a＝A→B，b＝B→A，则|a|＝|b|； (2)若 a 是单位向量，b 也是单位向量，则 a 与 b 的方向相同或相反； (3)若向量A→B是单位向量，则B→A也是单位向量； (4)以坐标平面上的定点 A 为始点，所有单位向量的终点 P 的集合是以 A 为圆心的 单位圆．
探究二 向量的表示 [典例 2] 如图的方格由若干个边长为 1 的小正方形并在 一起组成，方格纸中有定点 A，点 C 为小正方形的顶点， 且|A→C|＝ 5，画出所有的向量A→C. 已知飞机从 A 地按北偏东 30°的方向飞行 2 000 km 到达 B 地，再从 B 地按南偏东 30 °的方向飞行 2 000 km 到达 C 地， 再从 C 地按西南方向飞行 1 000 2 km 到达 D 地． (1)作出向量A→B，B→C，C→D，D→A； (2)问 D 地在 A 地的什么方向？D 地距 A 地多远？
说课第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念
200km .
AC 表示A地至C地的位移，且
280km .
25
平行向量：
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
（三）情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程，提高自主探究能力，进
一步提高学习数学的乐趣，由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
（四）学科核心素养 a. 数学抽象：平面向量的概念 b. 逻辑推理：共线向量的判断 c. 数学运算：向量相等 d. 直观想象：向量的几何表示 e.数学建模：向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a
b
方向相同
a
b
30
思 （1）相等向量一定是平行向量？
考
a
：
是
b
（2）平行向量一定是相等向量？
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作: AB
有向线段的三要素：起点、，它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法：
(1)几何表示法：用有向线段表示
2.1平面向量的实际背景及基本概念
12.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标一、知识与技能1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示.2. 掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.3. 并会区分平行向量、相等向量和共线向量．二、过程与方法本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念．三、情感、态度与价值观1. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．2. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力．教学重点、难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教学关键：向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量概念的理解．教学突破方法：本节课内容简单，可让学生仔细阅读课本，并合作探究，得出结论．最后老师画龙点睛． 教法与学法导航教学方法：启发诱导，探究合作．学习方法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．教学准备教师准备：多媒体、投影仪.学生准备：练习本.教学过程一、创设情境，导入新课如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了．分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线B D 实际上都是有方向、有长短的量．引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 由此引出新课.二、主题探究，合作交流提出问题①在物理课中，我们学过力的概念．请回顾一下力的表示方式是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢？这些量的共同特征是什么？你能否给出准确的定义呢？②数量与向量的区别在哪里？师生互动：教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一些量．物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量．A B C D2至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量．显然数量和向量的区别就在于方向问题．提出问题1. 如何表示向量？2. 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？3. 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？4. 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？5. 有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？6. 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这时它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？师生互动：教师指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论以上问题．1. 向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母a 、b （黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |．2. 有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度．向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．3. 零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0． 0的方向是任意的．注意0与0的含义与书写区别．②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量．说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小．4. 平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行．说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a 、ｂ、ｃ平行，记作a ∥ｂ∥ｃ．5. 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．说明：（1）向量a 与b 相等，记作a=b ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点．．．．．．．．无关．．． 6. 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．）．又如上图，a 、b 、c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分A(起点)B （终点）a3别作出OA ＝a ，OB =b ，OC =c ．这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．三、拓展创新，应用提高例1 如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用有向线段表示A 地至B 、C 两地的位移．（精确到1 k m ）分析：本例是一个简单的实际问题，要求画出有向线段表示位移，目的在于巩固向量概念及其几何表示． 解：AB 表示A 地至B 地的位移，且|AB |≈232 km ；（AB 长度×8 000 000÷100 000）AC 表示A 地至C 地的位移，且|AC |≈296 km ．（AC 长度×8 000 000÷100 000） 点评：位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如上图，由A 点确定B 点、C 点的位置．例2 如图，设O 是正六边形ABC D EF 的中心.分别写出图中所示向量与OA OB OC 、、相等的量． 解：OA =CB =DO ;OB =DC =EO ;OC =AB =ED =FO ．点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同．四、小结1. 本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的两种表示方法：几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；2. 介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．五、课堂作业1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…，a n ，则这n 个向量 （ ）.A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等2．如右图所示，在△ABC 中，D E ∥BC ，则其中共线向量有（ ）.4A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．若命题p 为a =b ，命题q 为|a |=|b |，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要又不充分条件4．如下图所示，在四边形ABC D 中，若AB DC ，则下列各组向量相等的是（ ）.A ．AD 与CB B ．OA 与OC C ．AC 与DBD ．DO 与OB5．已知a ，b 是任意两个向量，有下列条件：①|a |=|b |；②a =b ；③a 与b 的方向相反；④a =0或b =0；⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 共线的充分不必要条件的为．_________（把你认为正确的序号全都填上）6．如图所示，四边形ABC D 和AB D E 都是平行四边形．（1）写出与ED 相等的向量；（2）若|AB |=3，求向量EC 的模．参考答案：1．D 2．C 3．A 4．D 5．②③④6．（1）与ED 相等的向量有DC 和AB ，因为四边形ABC D 和AB D E 都是平行四边形，故AB =ED =DC ．（2）向量EC 的模|EC |=6．。
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版
所以在四边形 ABCD 中，AB 綊 CD. 所以四边形 ABCD 为平行四边形． → |＝|BC → |＝200(千米)． 所以|AD
归纳升华 1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确 定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 2．注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的 不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头．
5．如图，已知 B、C 是线段 AD 的两个三等分点， → 相等的向量有________． 则与AB
→ 相等的向量有 解析：根据相等向量的定义知，与AB → ，CD →. BC → ，CD → 答案：BC
类型 1 向量的概念 [典例 1] 给出下列命题：
→ ＝DC → ，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的 ①若AB 四个顶点； → ＝DC →； ②在▱ABCD 中，一定有AB ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
)
解析：零向量是指长度为 0 的向量，也有方向，只 不过方向是任意的． 答案：A
4. 下列命题中，正确的序号是________． ①温度是向量； ②作用力与反作用是一对大小相等、方向相反的向 量； ③数轴是向量； ④若 a 是单位向量，b 也是单位向量，则 a 与 b 的方 向相同或相反．
解析：①错误，温度只有大小而没有方向；②正确； ③错误，数轴是一条具有方向的直线，没有大小；④错 误，单位向量只要求其长度为 1，但方向未确定．故填②. 答案：②
对于④，当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行，故④不正 确． 答案：②③
归纳升华 1．明确向量的长度、方向及零向量、平行向量、相 等向量的概念及内涵，是正确判断此题的依据． 2．向量的相等具有传递性，但向量的平行不具有传 递性，即“若 a∥b，b∥c，则 a∥c， ”是错误的．当 b＝ 0 时，a，c 可以是任意向量，但若 b≠0，则必有 a∥b，b
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念教案 新人教A版必修4(2021年
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2。
1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标 :三维目标1、知识与技能（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示;（2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系（3)通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。
2、过程与方法引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下,学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。
教学重点：理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点.教学难点：难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。
学情和教材分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征,是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。
高中数学 第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念课件
2、什么是有向线段(xiànduàn)？如何画？如何 表示？
3、力是向量，向量如何直观表示？
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有向线段(xiànduàn)
定义：具有方向的线段叫做有向线段。
画法：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方 向。
记法： 以A为起点(qǐdiǎn)，B为终点的有向线段 记作AB，起点写在终点前面。
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是
|a|=|b|
a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
C 其中(qízhōng)正确的个数是(
)
A．0 B. 1
C. 2
D. 3
D
C
C
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
注:向量不能比较(bǐjiào)大小
第十三页，共十九页。
2.1.3 相等向量 与共线向量 (xiàngliàng)
(xiàngliàng)
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？
11个
变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
长度：已知AB，线段AB的长度叫做有向线段 AB，记作|AB|
第六页，共十九页。
问题：向量既有大小，又有方向， 如何直观 表示？ (zhíguān)
1、向量的几何表示(biǎoshì)：用有向线段表示。
向量(xiàngliàng)AB的大小，也就是向量
(xiàngliàng)AB的长度（或称模），记作|AB|。 2、长度为0的向量叫做零向量，记作0。 3、长度等于1个单位的向量，叫做单位 向量。
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版必
【解题策略】 (1)用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确 定向量的终点. (2)利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但需说明两向量所在的基 线无公共点.用平行向量可证明(判断)直线平行,但证明直线平行时,除说明向 量平行外还需说明向量所在的基线无公共点.
【题组训练】 1.在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量: (1) O A ,使|O A |=4 2 ,点A在点O北偏东45°. (2) A B ,使| A B |=4,点B在点A正东. (3) B C ,使|B C |=6,点C在点B北偏东30°.
有 ()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【解析】选B.①②③既有大小,又有方向,是向量;④⑤只有大小,没有方向,不是
向量.
3.(教材二次开发:习题改编)如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则选项中与
O A 相等的向量是
()
A . O B B . O D C . B C D . E F
【解析】选D.由题图知,与 O A 相等的向量是: D O ， CB ， EF.
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息 一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身 体不好哦~
2.下列说法中正确的是 ( ) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同.
()
(2)任意两个单位向量都相等. ( )
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
[A 级 基础巩固]
一、选择题
1．关于向量的概念，下列命题中正确的是( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B ．模相等的两个平行向量是相等向量 C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝b D ．两个相等向量的模相等
解析：A 项，两个向量如果相等，则它们的模和方向相同，起点和终点不一定重合，故错误；B 项，模相等的两个平行向量有可能方向相反，故错误；C 项，两个向量相等不仅要求模相等还要求方向相同，单位向量的模相等，方向不一定相同，故错误；D 项，如果向量相等，则它们的模和方向均相同，故正确．
答案：D
2．数轴上点A ，B 分别对应－1，2，则向量AB →
的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．3 解析：|AB →
|＝2－(－1)＝3. 答案：D
3．如图所示，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →
是( )
A ．有相同起点的向量
B ．共线向量
C ．模相等的向量
D ．相等的向量 答案：C
4．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )
A.AD →＝BC →
B.AC →＝BD →
C.PE →＝PF →
D.EP →＝PF →
解析：由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.
答案：D
5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →
，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形
D ．等腰梯形
解析：由BA →＝CD →知四边形为平行四边形；由|AB →|＝|AD →
|知四边形
ABCD 为菱形．
答案：C 二、填空题 6．有下列说法：
①向量AB →和向量BA →
长度相等； ②向量BC →
是有向线段； ③向量0＝0
④向量AB →大于向量CD →； ⑤单位向量都相等．
其中，正确的说法是________(填序号)． 解析：
序号 正误 原因
①
√
|AB →|＝|BA →
|＝AB
② ×
向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来
③ × 0是一个向量，而0是一个数量 ④ × 向量不能比较大小
⑤ × 单位向量的模均为1，但方向不确定
答案：①
7．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．
解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案：2
8．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →
(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →
长度的最小值为________．
解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为53
2
.
答案：532
三、解答题
9．如图所示，四边形ABEF 和BCDE 均是边长为1的正方形，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点和终点的向量中，
(1)写出与AF →，AE →
相等的向量； (2)写出与AD →
模相等的向量．
解：(1)与AF →
相等的向量有BE →，CD →，与AE →相等的向量为BD →
. (2)与AD →模相等的向量有DA →，CF →，FC →.
10.如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．
(1)与OA →
的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与OA →
长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →
共线的向量有哪些？
解：(1)与OA →
的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．
(2)存在．由正六边形的性质可知BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →
的长度相等、方向相反的向量是AO →，OD →，FE →，BC →
，共4个．
(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →
，共9个向量．
B 级 能力提升
1．已知点O 固定，且|OA →
|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定
解析：因为|OA →
|＝2，
所以终点A 到起点O 的距离为2. 又因为O 点固定，
所以A 点的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆． 答案：C
2．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________(填
序号)．
解析：因为a 与b 为相等向量，所以a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④.
答案：①③④
3．如图，两人分别从A 村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1 km 到了B 村，另一人沿北偏西30
°方向行走了 3 km 到了C 村，问B 、C 两村相距多远，B 村在C 村的什么方向上？
解：由题可知|AB →|＝1，|AC →
|＝3， ∠CAB ＝90°，则|BC →
|＝2. 又tan ∠ACB ＝|AB →
||AC →|
＝13＝3
3，
所以∠ACB ＝30°，故B ，C 两村间的距离为2 km ，B 村在C 村的南偏东60°的方向上．
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