2020-2021学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A版必修4

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

[A 级 基础巩固]

一、选择题

1．关于向量的概念，下列命题中正确的是( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B ．模相等的两个平行向量是相等向量 C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝b D ．两个相等向量的模相等

解析：A 项，两个向量如果相等，则它们的模和方向相同，起点和终点不一定重合，故错误；B 项，模相等的两个平行向量有可能方向相反，故错误；C 项，两个向量相等不仅要求模相等还要求方向相同，单位向量的模相等，方向不一定相同，故错误；D 项，如果向量相等，则它们的模和方向均相同，故正确．

答案：D

2．数轴上点A ，B 分别对应－1，2，则向量AB →

的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．3 解析：|AB →

|＝2－(－1)＝3. 答案：D

3．如图所示，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →

是( )

A ．有相同起点的向量

B ．共线向量

C ．模相等的向量

D ．相等的向量 答案：C

4．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )

A.AD →＝BC →

B.AC →＝BD →

C.PE →＝PF →

D.EP →＝PF →

解析：由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.

答案：D

5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →

，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形

D ．等腰梯形

解析：由BA →＝CD →知四边形为平行四边形；由|AB →|＝|AD →

|知四边形

ABCD 为菱形．

答案：C 二、填空题 6．有下列说法：

①向量AB →和向量BA →

长度相等； ②向量BC →

是有向线段； ③向量0＝0

④向量AB →大于向量CD →； ⑤单位向量都相等．

其中，正确的说法是________(填序号)． 解析：

序号 正误 原因

①

√

|AB →|＝|BA →

|＝AB

② ×

向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来

③ × 0是一个向量，而0是一个数量 ④ × 向量不能比较大小

⑤ × 单位向量的模均为1，但方向不确定

答案：①

7．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．

解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案：2

8．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →

(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →

长度的最小值为________．

解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为53

2

.

答案：532

三、解答题

9．如图所示，四边形ABEF 和BCDE 均是边长为1的正方形，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点和终点的向量中，

(1)写出与AF →，AE →

相等的向量； (2)写出与AD →

模相等的向量．

解：(1)与AF →

相等的向量有BE →，CD →，与AE →相等的向量为BD →

. (2)与AD →模相等的向量有DA →，CF →，FC →.

10.如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．

(1)与OA →

的模相等的向量有多少个？

(2)是否存在与OA →

长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →

共线的向量有哪些？

解：(1)与OA →

的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．

(2)存在．由正六边形的性质可知BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →

的长度相等、方向相反的向量是AO →，OD →，FE →，BC →

，共4个．

(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →

，共9个向量．

B 级 能力提升

1．已知点O 固定，且|OA →

|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定

解析：因为|OA →

|＝2，

所以终点A 到起点O 的距离为2. 又因为O 点固定，

所以A 点的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆． 答案：C

2．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________(填

序号)．

解析：因为a 与b 为相等向量，所以a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④.

答案：①③④

3．如图，两人分别从A 村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1 km 到了B 村，另一人沿北偏西30

°方向行走了 3 km 到了C 村，问B 、C 两村相距多远，B 村在C 村的什么方向上？

解：由题可知|AB →|＝1，|AC →

|＝3， ∠CAB ＝90°，则|BC →

|＝2. 又tan ∠ACB ＝|AB →

||AC →|

＝13＝3

3，

所以∠ACB ＝30°，故B ，C 两村间的距离为2 km ，B 村在C 村的南偏东60°的方向上．

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