微型机继电保护基础2数字滤波器(最新整理)

义为：
X e jTS x nTs e j2fnTS
或 x nTs e jnTS
n
n
此处，付氏变换变量写成 e jTS ，而不写成 或 f ，是因为 f 总是以
e jTS = e j2fTS 的形式出现。
现推导 X e jTS 与 X t的频谱 X f 的关系
定义： x* tX t t nTs X nTs t nTs
代入上式，可得
e e t t ] | H (
jWT S) | 1
jkwtc 1 [cos kw
j sin kw
s
s
所以幅频特性为：
e | H ( jwts) | (1cos kwt s)2 sin2 kwts
2 2 cos kwts 2 1 cos kwts
2
2 | sin kwts |
h nT kT se 源自 e sj nTs kTs jkTs
k
n
=[ x kTs ] [ e jkTs
h nT kT s
e ] s
j nTs kTs
k
n
= X e jTS H e jTS
H e jTS 就是离散系统的频率特性，它与单位冲激响应 hnTs 构成 付氏变换对， H e jTS 是以 fs 为周期的周期函数。它在-fs/2 到 fs/2 内
s= j
与付氏变换相比，拉氏变换相当于将 f t先乘上 et 后再做付氏
变换， 称为收敛因子， =0 的拉氏变换就是付氏变换，在 S 复平面
上， =0 相当于虚轴，所以虚轴上的拉氏变换就是付氏变换。
对离散信号，也有拉氏变换，定义为：
e T e X ( sT s)
x(n
)
T sn s
s
n
由于变换后 S 总以 eST 的形式出现，令 Z= eST ，进行变量置换
( f ) ——相频特性
H ( f ) 物理意义：输入中任一频率 f 经系统后，幅值乘了 1
A( f ) ，相位移了( f )
1
1
H ( f ) 是对滤波器的 充分描述。
三﹑连续系统的冲激响应﹑
输入 (t) 输出 h(t) 称为冲激响应 h(t) T[ (t)]
由于 (t) 具有筛分性质所以 x(t) 可以表示为
以单位圆上的 Z 变换既离散信号的付氏变换。
2-5 离散时间系统的单位冲激响应和频率特性
一﹑离散时间系统﹑
输入和输出都定义在离散域的系统称为离散系统。
x(n) T[] y(n)
二﹑单位冲激序列和单位冲激响应﹑
单位冲激序列的定义：
(nT
)
s
1 n=0
0 n 0
一个离散系统对 (nT s) 的响应记作 hnTs ，称为该系统的单位冲
的形状描述了它的滤波特性。
hnTs 的 Z 变换是：
H Z hnTs Z n n
称为系统的传递函数
2-6 简单滤波单元及其级联滤波
一. 简单滤波单元
1.概念：用加减法构成的线性滤波单元。
2.基本假设：输入信号是由稳恒直流，稳恒基波加上稳恒整次谐
波构成。 3.适用范围：中低压网络的慢速保护。 4.作用原理 （1）.加法滤波： 设需要滤除的谐波周期是 TN，则可以用当前采样值与半个 周期前的采样值相加将其滤除。
四﹑冲激响应和频率特性之间的关系。
H ( f ) 与 h(t) 互为付氏变换对。
五﹑卷积的图解法和滤波的响应时间
（略） P30 图 2-8，图 2-9
六﹑周期性时间函数的付氏变换和付氏级数。
周期函数 付氏级数
离散频谱
非周期 绝对可积 付氏变换
连续频谱
周期函数付氏变换是否存在？答案是肯定的，但含有冲激函数
波。
（2）.减法滤波
用当前采样值与某次谐波一个周期前的采样值相减，就可以
滤除某次谐波。
二. 基本形式及其特性
（一）.相减（差分）滤波单元
差分方程为：
y(n) x(n) x(n k)
对其做 Z 变换，得到转换函数（传递函数）
Z H (Z ) Y (Z ) 1 K
X (Z)
令
e Z
tjw s
数字滤波器
2.1﹑概述 电力系统信号﹑ X (t) S(t) N (t)
S(t) 有效信号 N (t) 干扰信号
滤波：从 X (t) 中提取出 S(t) ，消除 N (t)
X (t) Ｆ Y (t) S(t)
Ｆ：滤波器 物理器件，Ｒ﹑Ｃ﹑Ｌ﹑运放等，模拟滤波 程序﹑算法—数字滤波
x(t) x( ) (t )d
y(t) T[x(t)] x( )T[ (t )]d x( )h(t )d
可见，只要知道 h(t) ，利用该式就可以计算出对任意输入 x(t)
的输出 y(t) 所以 h(t) 也是对系统的充分描述。
等式右端的积分称为卷积，记为
y(t) x(t) * h(t) h(t) * x(t) h( )x(t )d
积分，就可求出 xt 若 f >fs/2 时， X f 0，，则 X * f 在[-fs/2，fs/2]范围内的
值与 X f 的值不同，这样就无法根据 X * f 求出 xt，即 X nTS 无
法复原出 xt，这就是采样定理。 2-4 Z 变换
连续时间函数、拉氏变换
F s f test dt 0
激响应，即：
hnTs T nTs
xnTs xkTs nTs kTs k
x(-2) x(-1) x(0) x(1) x(2) x(3) x(4)
对应的输出为：
ynTs TX nTs
= T
k
x
kTs
nTs
kTs
= xkTs T nTs kTs k
= xkTs . h(nTs kTs ) k
n
n
F[ x* t]= X * f
X nTs
e j 2fnTS
n
可见 X * f X e jTS 再考虑 X * f 与 X f 的关系
x* t = t nTs n
X * f = X f *F[ t nTs ] n = X f *[ fs f nfs] n = fs [ X f * f nfs] n
例 2-2
f
(t)
=1
付氏变换
F[1] F[ (T
(F) )] 1
e f (t)
j2 f t 0
e f 例 2-3
复指数信号 F[
j 2
f
t
0
]
(
f
)
0
例 2-4 正弦和余弦信号
-f
f
0
0
F[cos(2 f t)] 1 [ ( f f ) ( f f )]
0
2
0
0
F[sin(2 f t)] 1 [ ( f f ) ( f f )]
0
2j
0
0
-f
f
0
0
例 2-5﹑周期为 T 的任意周期函数 f (t) T
F[ f (t)] F(n) ( f n f )
T
0
例 2-6 一串等间隔的冲激的付氏变换
先求付氏级数
变换
2-3 离散时间信号的频谱
xt 采样、模数转换 X nTS X nTS = xt t nTS X nTS 不连续，严格意义上的付氏变换不存在，它的付氏变换定
X (z) x(nT s) zn n
称为 Z 变换，也就是离散信号的付氏变换。
S 平面和 Z 平面的影射关系如下图，S 平面上的虚轴影射到 Z 平
面上是一个单位圆。
jw
Im[z ]
Re[ z ]
e e e z
ST s
T ( jw) s
0
T jw s
S 沿着虚轴在- 到+ 变化时，Z 沿着单位圆变化多圈。所
由上图 f (t) f (t T n ) 0
n
n
2
例：设谐波次数为 5，则
T
n
T1
5
4ms
若采样周期为 T s 1ms
则五次谐波一个周期采样四点，半个周期采样两点，离散化的
滤
波
公
式
为
f
T (k )
5
s
f
5
(k T
s
2T
)
s
f
5 (k T
)
s
f
[(k
5
2)T
]
s
0
既只要将当前采样值与两点前的采样值相加，即可滤除五次谐
f nfs
X*f
-fs
fs/2 fs
0 fs 2fs
-f
fs/2 fs
即 X * f 为 X f 的同期延拓
若 f >fs/2 时， X f =0，则在-fs/2 到 fs/2 范围内， X * f 与
X f 完全相同，也就是说， X nTS 可以唯一的确定出 xt。 已知 X nTS ，可求出 X * f ，对 X * f 在[-fs/2，fs/2]范围内
2
(wts)
arctg
sin kwts 1 cos kwts
2
(1
2
fk
t
)
s
对微机保护来说，最为关心的是幅频特性。
式中，W= 2f 为输入信号的角频率，
T s 为采样周期，
f
s
1
ts
通带要求， f 为 f 的整数倍，
s
1
既 f N f . N=1，2，……
s
1
由上述公式，可以绘出 e | H ( jwts) | 的波形
= hkTs x(nTs kTs ) k