用“数形结合”解决数学问题

浅议用“数形结合”解决数学问题

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直觉、形少数时难入微”。“数”与“形”是数学中两个最根本的概念，任何一个几何都蕴含着一定的数量关系，而数量关系又常以几何图形做出直观反映和描述，“数”与“形”的相互转化，不仅使解题简洁明快，还能够开拓解题思路。数形结合不仅作为一种解题方法。还是一种重要的数学思想。下面谈谈如何运用“数形结合”这种重要的数学思想方法来解决一些有关二次函数的问题。

一、由数到形

a：由给定的“数”（即二次函数的系数）直接判断大致图形。

若a0,c>0那么二次函数y=ax2+bx+c图像为

解：a开口向下、排除a

c>0=>图承交y轴正半轴，排除d

a0=>-b2a>0=>顶点在右，故排出b选c

b：由给定的“数”，画出大致图形，然后利用图形的直观探求解题思路。

例2：设a和b为抛物线y=3x2-2x+k与x轴的两个相异交点，m 为抛物线的顶点，当△mab为等腰直角三角形时，求k值。

分析：依题意画出抛物线得让草图、如下图，从图形的直观可知，所求的k值应符合两个条件，即抛物线与x轴有两个相异交点，由此可知，△>0，又△amb为等腰直角△。由此可知mn= ab，再结合

抛物线的特性，将mn、ab用含有k的代数式表示，形成关于k的方程，求出k值。

解：∵抛物线与轴有两个相异交点设为a（ⅺ,o），b(x2，o)

∴△=（-2）2-4（-3）k＞0

非得k＞-13

在△amb中am=bm 过m作mn⊥ab于n

∵m为抛物线的顶点

∴mn是rt△amb斜边上的中线和高

∴mn=4(-3)k-(-2)24(-3)=k+13

∴ab=（x1-x2）=（x1+x2）2-4x1x2

=(-23)-4(k3)=231-3k

∵mn=12ab

∴k+13=131+3k

解得k1=0k2=- 13 （舍去）

∴ k=o

二、从形到数

a：由“图形”可挖掘出隐含告诉我们的“数”

例3

则a-0b-0 c-0 △-0

分析：判断这些数量关系需从观察分析抛物线的开口方向、形状、位置等因素入手

图像高y轴于负半轴=＞cb0的数量关系，判定y2经过b、c、d

三点，还要利用抛物线的对称性确定y1的对称轴为x=o y2的对称经过c点，推出d点的坐标，这里充分运用数形结合的思想，最后还要运用方程思想，利用图像上的点坐标应满足函数非析式，构造关于a、c的方程组：

解：（ⅰ）∵a+1＞a a+1 a异号

∴a+1＞o

∴y2=（a+1）x2-2（b+2）x+c+3开口向上

∴y2经过b、c、d三点

（ii）∵|bo|=|ao|

∴y1=的对称轴x=-2b2a=0

∴b=0 b(1,0)c(3,y)

又∵|bc|=|dc|

∴y2的对称轴经过c点

∴d(5,0)

将b(1,0)代入y1得a+c=0①

将d(5,0)代入y2得25a+c+8=0②

解①、②得a=-13 c=13

∵b=0

∴y1=13-x2+ 13y2=23x2-4x-313

三、由数至形，从形到数，数形结合。

a、“形”中有“数”，“数”中有“形”，“形”、“数”结合。

例5：若函数y=kx的图象在第一、三条限内，那函数y=kx2+bx-2

的图数大致是。

解: ∵函数y=kx的图函在一三函限

∴k>0

∴y=kx2+bx-2的图水和向上排除(c)(d)

又∵c=-2

∴抛物线与y轴交于负半轴排除a选b。

b、把抽象的数学符号和直观的几何图形结合起来，把条件和结论的数和形密切结合起来，互相转化，使解法变得更加简捷、明快。例6：在△abc中分析：为了挖掘题目中的隐含条件需根据题意画出草图，再利用图形的直观去探求解题思路。

解：由题意画草图如下图。

∵tg2=boao =12

设bo=x则ao=2x

∴x2+（2x）2=（25）2∴ x=2x=-2（舍去）

即a（4，0）b（0，2）b1（0，-2）c（-1，0）

设二次函数的解析为y=ax2+bx+c（a≠0）

将a、b、c及a、b’、c三点坐标分别代入

解得：a=12 b=- 32 c=-2

或a=-12 b=32 c=2

∴二次函数的解析为y=12 x2-32 x-2

或y=12 x2+32 x+2

数形结合法是一种重要的数学思想方法，不但解决有关二次函数

问题应用较广，而且解决其他数学问题也常常使用。