多元函数求最值

多元函数求最值（范围）问题

主备人:刘美良

知识要点：1.;2

,22

22

2

b a ab ab b a +≤

≥+()R b a ac bc ab c b a ∈++≥++,,222 2.2

2,2⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤≥+b a ab ab b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≥

++R b a b

a b a ,,41

1 3.22112

2

2b a b a ab b

a +≤+≤≤+。 推广：

n

a a a n a a a a a a a a a n

n

n

n n n

2

2

212212121111 ++≤++≤≤++()0>i

a

4. 若d c b a ,,,是实数，则2

2

2

2

()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时，等号成立。

一般形式：设n a a a a ,...,,,321，n b b b b ,...,,,321是实数，则

222112

2

22

12

2

22

1)...()...).(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++，当且仅当

0=i b ),...,2,1(n i =或存在一个数k ，使得i i kb a =),...,2,1(n i =时，等号成立。

推论：

（1）当121n b b b ==

=时，柯西不等式即为22221212()()n n n a a a a a a ++≥++，若

i a R +

∈（1,2,

i n =）2

12n n

a a a a n

+

++

+≥

，此即上面提到的平方

平均≥算术平均。 （2）当1

i i

b a =

（1,2,i n =）时，有22221222

212111

()()n n

a a a n a a a ++

++≥。 当

,i i a b R +

∈（

1,2,

i n

=）

，

则

()2121

21212

()n n n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫

+++++≥++

⎪⎝⎭

(3)权方和不等式：()y x b a y b x a ++≥+2

22；()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≥+222

2b a b a 一、 基本不等式法

（1）若正实数,x y 满足，则x y +的最大值为____4_______. （2）已知,x y 为正实数，且23x y +=，则

3x y

xy +的最小值为_____________，

的最大值为_____________.

5

2

（3）已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2241

a b a b +++的最小值为_____4________. （4）.若,12,0,0=+>>b a b a 则)4(22

2b a ab s +-=的最大值是 .

处理双变元问题的两种常见思路:一是减元;一是换元;另处,基本不等式,”1”的代换.

解: 换元-----)4(22

2b a ab s +-==()ab ab ab b a ab 4124222

+-=++-.

设,ab t =则,4

20≤

1

24122-≤

+-=t t s 减元:,21a b -=()[]

1242222+--+-=a a a a s ,a a +-2

2 取得最大值时

a a -22恰好取得最小值.所以当4

1=

a . 1的代换:a

b b a ab b a 224,22122

2≥+≥=+

（5）已知,,x y z 为正实数，且222

2x y z ++=，

yz +的最大值为

_______.

变式：若12

22=++z y x ，则yz xy -的最小值___

2

2

______ （6）.实数y x ,满足2222

2

=+-y xy x ，则2

2

2y x +

（7）已知三角形三边长c b a ,,成等差数列，且842

2

2

=++c b a ，则实数a 的取值范围为

62≤

（1）若实数y x ,满足032

2

=--y x x ，则2

y x +的取值范围为___[0,)+∞______.

（2）设实数y x ,满足322=++y xy x ，则2

2y xy x +-的取值范围为___[1,9]__. （3）已知实数,x y 满足2330xy x y ++-=.① 若,x y R ∈，则x y +的取值范围是

(,11][1,)-∞-⋃+∞__② 若,x y 为正实数，则x y +的取值范围是

___3(1,)2

__________. 三、 判别式法

（1）设实数y x ,满足3242

2

=++xy y x ，则x 的取值范围是 ，y 的取值范围是 ，y x 2+的取值范围是

. .[-1,1],[-2,2],

[

（2）若实数a b c 、、满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值为

. （3）设实数y x ,满足132

2

=+-y xy x ，则y x 2-的取值范围是

[ ．

五、 配方法

（1）已知y x ,为实数，则3222652

2+-++-=y x y xy x z 的最小值为 .2 （2）若,x y R ∈,设2

2

23M x xy y x y =-+-+，则M 的最小值是 . 六、 数形结合法

（1）设实数y x ,满足012462

2

=+--+y x y x ，则y x -2的最大值是

.

（2）已知22x y +=

y 的最小值是 .8

5

改为：已知P 是抛物线x y 42

=上的点，则()()x y x --+-2

223的最大值是

解：转化为到焦点的距离即可求解。

（3）已知实数c b a ,,满足条件c

b a b

c a +≤+≤-+≤12

22,120，则

c

b a 2

22-的最小值是

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2175,4

1