量子力学习题课

2 2 2 5
l /3
l /3
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性 光的量子性解题
量子物理学基础
18. 波长为的单色光照射某金属M表面发生光电效应， 发射的光电子(电荷绝对值为e，质量为m)经狭缝 S 后垂直 进入磁感应强度为的均匀磁场(如图示)，今已测出电子在 该磁场中作圆运动的最大半径为R．求 (1) 金属材料的逸出功A； (2) 遏止电势差Ua．
量子物理学基础
决定电子的能量。
角量子数
决定电子轨道角动量
磁量子数 的空间取向，
自旋磁量子数 间取向。
理学院 黄玉
决定轨道角动量
决定自旋角动量的空
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
光的波—粒二象性小结
当光照在金属时，金属板将释放电子 即光电子的现象。 1 mV 02 eK eU a 实验规律 2 1 mV 02 h W 爱因斯坦方程
2015/12/1
E h
p
h

第一章 波粒二象性 4. 海森堡不确定关系
量子物理学基础
x Px h
t E h
5.波函数
| |
2
*
代表时刻t 在 r 处粒子出现的几率 密度。即：t 时刻出现在空（x,y,z） 点的单位体积内的几率。
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性 波函数的标准化条件 波函数归一化条件 6.薛定谔方程
不确定关系
x p x h y p y h z p z h
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性
~ 1
量子物理学基础
氢原子的玻尔理论小结

R( 1 1 ) m 1,2,3,n m 1, m 2 2 2 m n
氢 原 子 的 玻 尔 理 论
实验规律
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
1 用单色光照射某一金属，如果入射光的波长从 λ1=400nm减到λ2=360nm，遏制电压改变多少？数值加 大还是减小？ 2 已知X射线光子的能量是0.6Mev，若在康普顿散射中 散射光子的波长为入射光子的1.2倍，试求反冲电子的 动能。 3 已知电子在垂直于均匀磁场的平面内运动，设电子运 动满足玻尔量子化条件。求电子轨道的半径rn。 4 假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子 物质波长的整数倍。试从此点出发解出玻尔的动量矩 量子化条件。 5 已知第一玻尔轨道半径a，试计算当氢原子中电子沿 第n玻尔轨道运动时其相应的德布罗意 波长是多少？
理学院 黄玉
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
20.设康普顿效应中入射X射线(伦琴射线)的波长 =0.700 Å，散射的X射线与入射的X射线垂直，求： (1) 反冲电子的动能EK． (2) 反冲电子运动的动量及动量方向与入射的X射线之间的 夹角．
理学院
黄玉
量子物理学基础 第一章 波粒二象性 解：令、p 和 p 、 分别为入射与散射光子的动量
h mv m
量子物理学基础
粒子的波粒二象性小结
m0 v2 1 2 c
德布罗意波
粒 子 的 波 粒 二 象 性
粒子的波粒二象性
h p
E h
E mc 2 h 2meU
实验证明： 戴维孙-革末实验

微观解释：而对多数粒子来说，在空间不同位置出
现的几率遵从一定的统计规律（几率波）
理学院 黄玉
第一章 波粒二象性 1. 0.345V，数值加大
量子物理学基础
2. Ek=0.10Mev
3. 4.
h rn ( ) 2eB
1 2
n
5. 2 na
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性 确定氢原子的状态的四个量子数 主量子数
量子物理学基础
决定电子的能量。
角量子数
决定电子轨道角动量
磁量子数 的空间取向，
理学院 黄玉
第一章 波粒二象性 轨道半径
rn 4 o n 2 2 Zme
2
量子物理学基础
n 2 r1
n 1,2,3,
氢原子的能级公式： E n 13.6 eV 2
n
n 1,2,3,
基态能量： E 1 13.6eV
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性 确定氢原子的状态的四个量子数 主量子数
2 *
量 子 力 学 小 结
波函数应满足单值、有限、连续的标准条件
波函数归一化条件 薛定谔方程：

2
dV 1
2 d 2 ( x ) V ( x ) ( x ) E ( x ) 2 2m dx
一维无限深方势阱
薛定谔方程的应用：
氢原子四个量子数的物理意义
理学院 黄玉
第一章 波粒二象性 填空题：
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
（1） 定态假设：原子处于一系列不连续稳定态。电子只 能在一定轨道上作圆周运动，且不辐射 能量。 （2） 角动量量子化假设：电子绕核作圆周运动的轨道只 能取决于
PL n
n 1,2,3
（3）跃迁假设：原子从一稳定态过度到另一稳定态吸收 或发出单色电磁辐射。即由光子假说和 能量守恒定律有 En Em h
(2)
1 e U a mv 2 2
mv 2 R 2 eB 2 Ua 2e 2m
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
19.在康普顿散射中，入射光的波长为0.030Å， 反冲电子速度为c×60%. 求：散射光子的波长及散射角。 解：由已知，入射光的能量 的能量 hc /
0 hc / 0
1.已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为
( x) 2 / a sin(x / a)
求发现粒子的概率为最大的位置．
(0 ≤x ≤a)
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性 发现粒子的概率
量子物理学基础
( x) 2 / a sin 2 (x / a )
概率最大的位置对应
d d 2 ( x) (2 / a sin 2 (x / a)) 0 dx dx

M
e
s
Βιβλιοθήκη Baidu





B
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
2
解：(1) 由
代入：
eBv mv / R
和
v ( ReB) / m
1 2 h mv A 2
hc
R e B 2m hc
2 2 2
1 m R2 e 2 B 2 可得 A 2 m2
理学院 黄玉
>,<
第一章 波粒二象性 练习题
量子物理学基础
1、在戴维孙——革末电子衍射实验装置中，自热阴 极K发射出的电子束经U = 500 V的电势差加速后投射 到晶体上． 这电子束的德布罗意波长l =__________________nm (电子质量me= 9.11×10-31 kg，基本电荷 e =1.60×10-19 C，普朗克常量h =6.63×10-34 J· s) 2、考虑到相对论效应，试求实物粒子的德布罗意波 长的表达式，设EK为粒子的动能，m0为粒子的静止质 量．
1 1 1 ~ R( 2 2 ) m n
2
量子物理学基础
2m (r ) 2 ( E V ) (r ) 0
m 1,2,3,
对于确定的 m, n m 1, m 2, 组成一个线系。 对于不同的m，则构成不同的线系。 8.玻尔理论的基本假设
m=1，赖曼系
m=2，巴耳末系（可见光）
m=3，帕邢系 （1）定态假设 玻尔理论
En Em （2）跃迁假设： h
（3）角动量量子化假设
L n
n 1,2,3
理论计算
理学院 黄玉
4 o n 2 2 2 10 rn n r ( n 1 , 2 , 3 , ) r 0 . 529 10 m 1 1 2 me
量子物理学基础

2
dV 1
2 2 i 0 一维自由运动粒子的薛定谔方程 2 2m x t
2 2 V i 2 2 m x t
理学院 黄玉
势场中一维运动粒子的薛 定谔方程
第一章 波粒二象性 定态薛定谔方程 7.氢原子光谱
l
量子物理学基础

0
l
2
dx 1
即 c 2 x 2 (l x) 2 d x 1 ，
由此解得 c 2 30 / l 5 ， c 30 / l / l 2 设在0 - l/3区间内发现该粒子的概率为P，则
0
17 P d x 30x [(l x) / l ] d x 81 0 0
2
光 的 波 粒 二 象 性
光电效应
遏止频率 0
W h
康普顿散射
在散射光中除有与入射波长相同的射线 外，还有波长比入射波长更长的射线 .
2h 2 2 0 sin 2 e sin me c 2 2
e 2.43 10 12 m
理学院 黄玉
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
1、 康普顿散射中，当散射光子与入射光子方向成夹角 = _____________时，散射光子的频率小得最多；当 = ______________ 时，散射光子的频率与入射光子 相同． 2、 波长为 =1 Å的x光光子的质量为 _____________kg． (h =6.63×10-34 J· s)
，散射光子
因光子与电子碰撞时能量守恒，所以电子获 得的动能为 E
K 0
而由相对论： E K mc2 m 0 c 2
0 (
理学院 黄玉
hc
0

hc

)
m0 c 2 1 u2 / c 2
m0 c 2
第一章 波粒二象性
1
量子物理学基础
0
h
1 e2 13.6eV En 2 ( ) ( n 1,2,3, ) 2 n 8 o r1 n
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
量子力学小结
是一个复指数函数，本身无物理意义 波函数模的平方 | | 代表时刻t 在 r 波函数 处粒子出现的几率密度。即：t 时刻出现在空 间（x,y,z）点的单位体积内的几率
，0。2.2110-32
理学院 黄玉
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
3、 在X射线散射实验中，散射角为1 = 45°和 2=60°的散射光波长改变量之比1：2 =_________________．
4、 分别以频率为ν1和ν2的单色光照射某一光管．若ν1 > ν2(均大于红限频率ν0)，则当两种频率的入射光的光 强相同时，所产生的光电子的最大初动能E1____E2； 所产生的饱和光电流Is1____ Is2． (用＞或=或＜） 0.568.
自旋磁量子数 间取向。
理学院 黄玉
决定轨道角动量
决定自旋角动量的空
1.光电效应
1 2 mV 0 h A 爱因斯坦方程： 2
遏止电压 2.康普顿效应
2h 2 2 0 sin 2e sin me c 2 2
1 eU 0 mV 02 2
A为逸出功
3.徳布罗意 波
0
( 1 1 u2 / c 2 1)m 0 c
0.043A
2h 2 由 ： 0 sin m0c 2
得 sin2 0.2683
62.4 0
其中： 0.030A u c 60% h 6.63 1034 J s 0
m 0 9.11 10 31 Kg
h/mv hc /
理学院 黄玉
2 EK
2E K m0 c
2
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
填空题：
设描述微观粒子运动的波函数为 ( r , t ) ，则

； ；
*
表示
( r , t ) 须满足的条件是
其归一条件为
。
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性 计算题
量子物理学基础
理学院 黄玉
第一章 波粒二象性 1、0.0549 2、解：
E K mc 2 m0 c 2
量子物理学基础
(m 0 c 2 / 1 ( v / c ) 2 ) m 0 c 2
m ( EK m0 c ) / c
2
2
2 v c EK 2 E K m 0 c 2 /(E K m 0 c 2 )
2
x a/2
理学院 黄玉
第一章 波粒二象性
量子物理学基础
2.一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间， 如图所示．描写粒子状态的波函数为 cx(l x ) ，其 中c为待定常量．求在0~l/3 区间发现该粒子的概率．
0
1 3
l
l
x
理学院
黄玉
第一章 波粒二象性 解：由波函数的性质得