第四章4.1-4.3线性泛函与线性泛函的延拓定理(短)

b a
x ( t ) dt

b a
x ( t ) dt m ax x ( t )
atb

b a
dt ( b a ) m ax x ( t )
atb
故T是有界算子，且| f |b-a 另一方面，取x0(t)1, 则有
f sup f ( x ) f ( x 0 ( t ))
3. 重要线性赋范空间上有界线性泛函的表现形式及其共轭空间
(1) C[a, b]上的有界线性泛函 1) x=x(t)C[a, b], 定义泛函 f ( x ) 证 显然T是线性算子，且
f (x)

b a
x ( t ) dt
则 f 是C[a,b]上的有界线性泛函, 且|| f ||=b-a
4. 算子的延拓
定义3（算子的延拓） 设X、Y是线性赋范空间，D1D2X 是线性子空间，T1: D1Y, T2: D2Y是两个有界线性算 子，当xD1时，T1x=T2x, 则称算子T2是T1的延拓。 结论：算子延拓后，新算子的范数大于或等于原来算子的范数。 事实上， T1 sup T1 x sup T 2 x sup T 2 x T 2
T sup Tx Tx0 max x(t ) max{| a |,| b |}
x 1 a t b a t b
因此 T max( a , b )
例4 积分算子T: C[a,b]C[a,b], Tx (Tx)(t ) x( )d a 是有界线性算子, 且 ||T||=b-a
T su p T x T x 0 m ax
x 1 atb

t a
x 0 ( ) d m ax
atb

t a
d b a
故 ||T||=b-a
例6 设C1[0,1]表示C[0,1]中具有一阶连续导函数的函数的集合，是 一个线性赋范空间。则微分算子T: C1[0,1]C[0,1], d Tx ( t ) x ( t ) dt 是无界线性算子。 事实上，T显然是线性算子, 取xn(t) =sin(nt)C1[a,b], 有
3
3
另一方面，取x0=x0(t)=1, 则||x0||=1
T sup Tx Tx0
x 1
(b 3 a ) 因此 T 3
1 3 2

b
a
t 2 d

1 2
(b3 a ) 3
1 3 2
例3 乘法算子T: C[a,b]C[a,b], Tx(t)=t x(t)是有界线性算子, 且
(1) T为有界算子AD为有界集时,T(A)={Tx|xA}Y 也是有界集.
(2) T为连续算子T为有界算子.
3. 有界线性算子的范数 定义2（有界线性算子的范数） 设X、Y是线性赋范空间，DX Tx Y 是线性子空间，T: DY是有界线性算子，则称 sup xD x 为算子T的范数。
定理3：{Tn}一致收敛于T{Tn}强收敛于T; 但反之不然。
3. 线性算子空间的性质 定理4 若Y是Banach空间，则B(X,Y)也是Banach空间。
证 1）设{Tn}是B(X,Y)中的基本列{Tn}一致收敛于T 事实上，{Tn}是基本列>0, N>0, 当n,m>N时，有 ||Tn-Tm||< xX, ||Tnx-Tmx||=||(Tn-Tm)x||||Tn-Tm|| ||x||<||x||{Tnx}是基本列 Tnxy=Tx (xX, T ( x ) lim T n ( x ) )
2)
x * sup x *( x) , or x * sup x *( x)
x 1 x 1
是线性赋范空间，且它是Banach空间(因为R是Banach空间), 称之为X上的线性泛函空间或X的共轭空间。
问题：如何把X*具体表示出来？
回忆：若X与Y同构，撇开X与Y中的具体内容，可以将赋范 线性空间X与Y看成是同一抽象空间而不加以区别
x 1 x D1 x 1 x D1 x 1 x D 2
5. 有界线性算子及其范数举例 例1 设X是线性赋范空间, 则X上的相似算子T: XX, Tx=x, 是有界 线性算子。 事实上，x1,x2X, 1,2R,
T(1x1+2x2)=(1x1+2x2)=1x1+ x2=Tx1+Tx2 ||Tx||=||x||=|| ||x|| 故T是有界线性算子，且||T||=||.
2 L
2
t x (t )dt t 2 (max x(t ) )2 dt
2 2 a a a t b
b
b
( b3 a 3 ) (max( x(t ) ) t dt x(t ) a a t b 3
b 2
2 C
1 3 2
Tx
L2
(b a ) 3
3
1 3 2
(b a ) T 是有界算子，且 T xC
x X
定理2 设X、Y是线性赋范空间，DX是线性子空间，T: DY是 有界线性算子，则T的范数具有下列性质： (1) ||Tx||||T|| ||x||, xD (2)
T sup Tx Y sup Tx Y
x 1 xD x 1 xD
(即||T||是有界线性算子T的最小界值） （可作为范数定义）
T m ax( a , b )
事实上，T显然是线性算子 Tx tx(t ) max tx(t ) max( a , b ) max x(t )
a t b
C
a t b
max( a , b ) x(t )
T是有界算子，且 T max( a , b ) 另一方面，取x0=x0(t)=1, 则||x0||=1
无界函数 有界泛函: |f(x)|=|x|<2|x|
定义6 （连续线性泛函）设X是数域 K (R或C)上的线性赋范空 间，f: XK为X的线性泛函。 如果x，x0X, 当||x-x0||0时， 有 |f(x)- f(x0)|0，则称f是X上的连续线性泛函
定义7 （线性泛函连续性与有界性的等价）设X是数域 K (R或 C)上的线性赋范空间，f: XK为X的线性泛函。则f是X上的连 续线性泛函 f是X上的有界线性泛函。 定义8 （有界线性泛函的范数）设X是数域 K (R或C)上的线性 赋范空间，x*: XK是X的有界线性泛函, 则称||x*||=inf { M | |x*(x)|M||x||X, xX}为有界线性泛函x*的范数. 注： xX, 有|x*(x)|||x*|| ||x||X, x * ( x) sup x * ( x ) sup x * ( x ) 推论 x * sup x x0 x 1 x 1
n
故 ||Tnx-Tx||=||(Tn-T)x||||Tn-T|| ||x||<||x|| Tn T sup Tn T x
x 1
{Tn}一致收敛于T 2）证明上述存在的TB(X,Y), 即T是有界、线性算子.
T (1 x1 2 x2 ) lim Tn (1 x1 2 x2 ) lim(1Tn x1 2Tn x2 ) 1Tx1 2Tx2
故T是无界线性算子, 从而T不连续。
可见，并非所有的线性算子都是有界算子。 另外，一般来说，求出有界线性泛函的范数并不是一件容易的事。
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二、线性算子空间
1. 线性算子空间的概念
定义3 （线性算子空间）设X、Y是两个线性赋范空间，T: XY 是有界线性算子，记集合 B (X,Y)={T|T:XY是有界线性算子} 对T, T1, T2B (X,Y), R, 定义 （1）（T1+T2)x=T1x+T2x , (T)x=Tx, (xX) （2） T sup Tx
第四章 线性泛函与线性算子
•有界线性算子与线性算子空间 •有界线性泛函与共轭空间 微积分主要研究对象—函数 R到R的映射—一元函数
Rn到R的映射—n元函数
线性泛函
泛函
泛函分析主要研究对象
非线性泛函 线性算子 算子 非线性算子
一、有界线性算子的定义与性质
1. 有界线性算子的定义 定义 1 （线性算子、有界线性算子）设X,Y是同一数域上 的两个线性赋范空间，DX是线性子空间，映射T: DY. T(x1+x2)=Tx1+Tx2 (1)T是线性算子x1, x2D及数K, 有 T(x)=Tx (2)T是有界算子M>0，对于xD, 有||Tx||YM||x||X
2. 线性泛函空间——共轭空间与二次共轭空间
定义8（共轭空间）设X是数域R上的线性赋范空间，集合 X*=B(X)=B (X,R)={x*|x*:XR是有界线性泛函} 按照
1)(x1*+x2*)(x)=x1*(x)+x2*(x), (x1*)(x)=x1*(x),
x1*, x2*B (X), R, xX
注：1）定义中，D为算子T的定义域; M是算子T的界值；T(D)={Tx|xD}称
为算子T的值域 2）有界算子与有界函数不同。例如 f(x)=x 无界函数 有界算子: |f(x)|=|x|<2|x|
3) T是连续算子 T在D上处处连续
2. 有界线性算子的性质 定理1 设X、Y是线性赋范空间，DX是线性子空间，T: DY 是线性算子，则
三、有界线泛函的定义与性质
1. 有界线性泛函及其范数 定义5 （泛函、有界线性泛函）设X是数域 K (R或C)上的线性 赋范空间。映射f: XK称为X的泛函。 如果 f 满足： (1) x1, x2D及数K, 有f(1 x1+ 2 x2)= 1f(x1)+ 2f(x2)
(2) xD, M>0, 使|f(x)|M||x||X 则称f是X上的有界线性泛函，也记作x*=f。 注：有界泛函与有界函数不同。例如f(x)=x
n n
T 是线性算子。 {Tn }是基本列 0, N , 当 n, m N 时，Tn Tm Tn Tm Tn 为基本数列 Tn 有界，设 Tn M , ( n 1, 2,3, ) Tn x Tn x M x Tx M x（n ） T 是有界算子 T B ( X , Y )

t
事实上，T显然是线性算子, 且
Tx

t
a
x( )d max
a t b t a t b a

t
a
x( )d max x( ) d
a t b a C
t
max x(t ) max d x
a t b

b
a
d (b a ) x
C
T是有界算子, 且||T||b-a 另一方面，取x0=x0(t)=1, 则||x0||=1
注：当=1时, T为恒等算子I, ||I||=1； 当=0时, 称T为零算子 , 0
例2 乘法算子T: C[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子, 且
(b 3 a ) T 3 事实上，T显然是线性算子.
Tx
2 L
2
1 3 2
tx(t )
2
x n ( t ) m a x s in ( n t ) 1
t [ 0 ,1 ]
( n 1, 2 ,
)
但Txn(t) =n cos(nt)C[a,b], 有
T xn ( s ) m a x n c o s( n s ) n ( n )
s [ 0 ,1 ]
x 1 x D
则B (X,Y)成为线性赋范空间，称之为（有界）线性算子空间。
2. 线性算子空间中的极限理论 定义4 （算子序列的一致收敛与强收敛）设X、Y是两个线性赋范 空间，Tn, TB(X,Y), n=1,2,…
(1) 如果||Tn-T||0, 则称算子序列{Tn}按范数收敛于T, 或称{Tn}一致收敛于T. (2) 如果xX,||Tnx -Tx||0, 则称算子序列{Tn}强收敛 于T, 或称{Tn}按点收敛于T.