15随机事件的独立性
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（3）A1 , A2 , P(
i 1
An独立，则P(
i 1 n n
Ai ) P( Ai )
i 1 n
Ai ) 1 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1 i 1
例3、n个人组成一个小组，在同一时间内分别
破译一份密码，假定每个人能译出的概率都是
定义：设A, B, C是三个事件，若满足：
P(AB)=P(A)P(B)
P(AC)=P(A)P(C)
P(BC)=P(B) P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称A, B, C是三个相互独立的随机事件。若 前三个等式成立，则称A, B, C是两两相互 独立事件。
例2、一均匀正四面体，其一、二、三面分别 染成红、白、黑三色，第四面染上红白黑 三色。现以A、B、C分别记投掷一次四面 体出现红、白、黑颜色的事件，证明： A、 B、C两两独立，但不相互独立。
A、B互相独立，记为i.d.。
定理：若事件A与B相互独立，且
P( A) 0, P( B) 0
则 P( A B) P( A), P( B | A) P( B)
独立扩张定理：事件A与B独立的充要条件是 、 { A, B} 、 { A, B} { A, B} 也相互独立。
二、多个随机事件的独立性
则称 A1 , A2 ,
An 相互独立。
注 意
（1） A1 , A2 , An 相互独立，则其中任取 k个事件 Ai , Ai , Ai (k 2,3, n 1) 也相互 独立；反之不一定。
1 2 k
（2）A1 , A2 ,
பைடு நூலகம்
An独立，则B1 , B2 ,
n
Bn也相互独立，
n
其中Bi Ai或 Ai
§1.5 事件的独立性
一、 两个事件的独立性
例1、在20个产品中有2个次品，从中接连抽两 个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个
产品，求
（1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取
得次品的概率；
（2）第二次取得次品的概率。
定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个
事件，若满足 P( AB) P( A) P( B) ，则称事件
0.7，若要以99.9999%的把握译出，问n至少为
几？
例4、（系统可靠性） 设一电路由5个同样的电子元件组成（如下图 所示），每个元件正常工作的概率（元件的可 靠性）为p，元件损坏即断路。每个元件工作状 况互相独立，求此电路的可靠性（线路两端保 持连通的概率）。
1 5 3 4 2
定义：设事件 A1 , A2 ,
An，若有
1 i j n P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ) P( A A A ) P( A ) P( A ) P( A ) 1 i j k n i j k i j k n n P( Ai ) P( Ai ) i 1 i 1
i 1
An独立，则P(
i 1 n n
Ai ) P( Ai )
i 1 n
Ai ) 1 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1 i 1
例3、n个人组成一个小组，在同一时间内分别
破译一份密码，假定每个人能译出的概率都是
定义：设A, B, C是三个事件，若满足：
P(AB)=P(A)P(B)
P(AC)=P(A)P(C)
P(BC)=P(B) P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称A, B, C是三个相互独立的随机事件。若 前三个等式成立，则称A, B, C是两两相互 独立事件。
例2、一均匀正四面体，其一、二、三面分别 染成红、白、黑三色，第四面染上红白黑 三色。现以A、B、C分别记投掷一次四面 体出现红、白、黑颜色的事件，证明： A、 B、C两两独立，但不相互独立。
A、B互相独立，记为i.d.。
定理：若事件A与B相互独立，且
P( A) 0, P( B) 0
则 P( A B) P( A), P( B | A) P( B)
独立扩张定理：事件A与B独立的充要条件是 、 { A, B} 、 { A, B} { A, B} 也相互独立。
二、多个随机事件的独立性
则称 A1 , A2 ,
An 相互独立。
注 意
（1） A1 , A2 , An 相互独立，则其中任取 k个事件 Ai , Ai , Ai (k 2,3, n 1) 也相互 独立；反之不一定。
1 2 k
（2）A1 , A2 ,
பைடு நூலகம்
An独立，则B1 , B2 ,
n
Bn也相互独立，
n
其中Bi Ai或 Ai
§1.5 事件的独立性
一、 两个事件的独立性
例1、在20个产品中有2个次品，从中接连抽两 个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个
产品，求
（1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取
得次品的概率；
（2）第二次取得次品的概率。
定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个
事件，若满足 P( AB) P( A) P( B) ，则称事件
0.7，若要以99.9999%的把握译出，问n至少为
几？
例4、（系统可靠性） 设一电路由5个同样的电子元件组成（如下图 所示），每个元件正常工作的概率（元件的可 靠性）为p，元件损坏即断路。每个元件工作状 况互相独立，求此电路的可靠性（线路两端保 持连通的概率）。
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定义：设事件 A1 , A2 ,
An，若有
1 i j n P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ) P( A A A ) P( A ) P( A ) P( A ) 1 i j k n i j k i j k n n P( Ai ) P( Ai ) i 1 i 1