15随机事件的独立性
1-5 随机事件的独立性
因此 A，B，C 不相互独立.
例4 同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点 数分别为7与11的概率. 解 设事件 Ai 为“第 i 次得7点” i = 1,2.
设事件 Bi 为“第 i 次得11点” i = 1,2.
事件 A 为两次所得点数分别为 7 与 11. 则有 P ( A) = P ( A1 B2 U B1 A2 ) = P ( A1 B2 ) + P ( B1 A2 )
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小 .
⇔
P ( B A) = P ( B )
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
2.定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) 则称事件 A, B 相互独立 , 简称 A, B 独立.
定义 设 A, B , C 是三个事件 , 如果满足等式 ⎧ P ( AB ) = P ( A) P ( B ), ⎪ P ( BC ) = P ( B ) P (C ), ⎪ ⎨ ⎪ P ( AC ) = P ( A) P (C ), ⎪ P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ), ⎩ 则称事件 A, B , C 相互独立 .
A
由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.
1 1 若 P ( A) = , P ( B ) = 2 2 则 P ( AB ) = 0, 1 P ( A) P ( B ) = , 4 故 P ( AB ) ≠ P ( A) P ( B ) .
B A
由此可见两事件互斥但不独立.
3. 三事件两两相互独立的概念
“甲乙甲甲”, “乙甲甲甲”, “甲甲乙甲”; 由于这三种情况互不相 容 , 于是由独立性得 :
15随机事件的独立性
例2、一均匀正四面体，其一、二、三面分别 染成红、白、黑三色，第四面染上红白黑
三色。现以A、B、C分别记投掷一次四面 体出现红、白、黑颜色的事件，证明： A、 B、C两两独立，但不相互独立。
定义：设事件 A1,A2, An，若有
P(AiAj) P(Ai)P(Aj)
1i j n
P(AiAj Ak) P(Ai)P(Aj)P(Ak) 1i P(Ai)
i1
i1
则称 A1,A2, An 相互独立。
{ A , B }、 { A , B } 、{ A , B } 也相互独立。
二、多个随机事件的独立性 定义：设A, B, C是三个事件，若满足：
P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B) P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A, B, C是三个相互独立的随机事件。若 前三个等式成立，则称A, B, C是两两相互 独立事件。
15随机事件的独立性
定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个
事件，若满足 P (A)B P (A )P (B )，则称事件
A、B互相独立，记为i.d.。
定理：若事件A与B相互独立，且
P(A)0,P(B)0 则 P (A B ) P (A ),P (B |A )P (B )
独立扩张定理：事件A与B独立的充要条件是
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点随机事件是指在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件。
在概率论中，研究随机事件之间的关系非常重要，其中独立性与互斥性是两个基本概念。
本文将介绍随机事件的独立性与互斥性的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、独立事件的定义与性质独立事件是指两个或多个事件发生的结果不会相互影响的事件。
具体来说，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 的发生与否不会对事件 B 的发生产生影响，反之亦然。
独立事件的性质如下：1. 乘法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们同时发生的概率等于它们分别发生的概率之积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
2. 加法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和减去它们同时发生的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
独立事件的性质保证了事件之间的独立性，使得我们可以通过简单的计算得到复杂事件的概率。
二、互斥事件的定义与性质互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。
具体来说，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么事件 A 的发生就排除了事件 B 的发生，反之亦然。
互斥事件的性质如下：1. 加法公式：对于两个互斥事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和，即 P(A∪B) = P(A) + P(B)。
互斥事件的性质使得我们可以通过计算事件的发生概率，确定事件之间的关系，从而进行合理的判断和决策。
三、独立事件与互斥事件的区别与联系独立事件和互斥事件都是描述随机事件之间关系的概念，但它们的定义和性质有所不同。
1. 独立事件是指两个或多个事件的发生结果不会相互影响，而互斥事件是指两个事件不可能同时发生。
2. 独立事件的加法公式和乘法公式可以用于计算独立事件的概率，而互斥事件只需要使用加法公式就可以计算。
独立事件和互斥事件在实际问题中有着广泛的应用。
高考数学复习知识点讲解教案第62讲 随机事件的相互独立性与条件概率
概率的积,则事件,为相互独立事件.
2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定两个事件是相互独立的;
（2）确定两个事件可以同时发生;
（3）求出每个事件发生的概率,再求积.
变式题（1）
（多选题）[2023·新课标Ⅱ卷] 在信道内传输0，1信号，信号
的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为 0 < < 1 ，收到0的概率为1 − ；
由相互独立事件的概率公式得，所求概率为 1 −
2 ，故B正确.
对于C，采用三次传输方案，发送1，1，1，收到的译码为1，
则收到的信号可能为 1,1,0 ， 1,0,1 ， 0,1,1 ， 1,1,1 ，
故所求概率为3ሺ1 −
2
ሻ
+ 1−
3 ，故C错误.
对于D，若采用三次传输方案，发送0，收到的译码为0，
5
1 2
别为 ， ，则该谜题被破解的概率为___.
6
2
3
[解析] 设“甲独立地破解出该谜题”为事件，“乙独立地破解出该谜题”为事件，
“该谜题被破解”为事件，且事件与相互独立，
则 = 1 − = 1 − 1 −
1
2
× 1−
2
3
=
5
.
6
3.［教材改编］
交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查，发现该地区上
4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.
◆ 知识聚焦 ◆
1.事件的相互独立性
（1）定义：对任意两个事件与,如果
=____________成立,则称事件与
事件相互独立.
（2）判断方法：
①根据定义；
1-5 独立性
( n m)
1-5 事件的独立性
n0
An
(n=0, 1, 2,·,k-1) · ·
P ( B An ) P ()= 0
由全概率公式，得
P ( B)
n1
P ( An ) P ( B An ) P ( An ) P ( B An )
n k
n k
1-5 事件的独立性
则三事件 A, B, C 两两独立.
1 1 P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 4 8
因此 A、B、C 不相互独立.
2 若每蚕产n个卵的概率为Pn
n
1-5 事件的独立性
( n 0,1,2,; 0), 而每个卵变成虫的概率 为p，且各卵是否变成虫彼此间没有关系.
P ( B ) C 0.9 0.1 0.285.
18 20 18 2
1-5 事件的独立性
例2
设某考卷上有10道选择题, 每道选择题有4个
可供选择的答案, 其中一个为正确答案, 今有一考 生仅会做6道题, 有4道题不会做, 于是随意填写, 试 问能碰对m(m 0,1,2,3,4)道题的概率. 解 设Bm 表示4道题中碰对m道题这一事实, 则 m 1 m 3 4 m P ( Bm ) C4 ( ) ( ) ( m 0,1,2,3,4) 4 4
( p ) k (1 p ) e e k!
A, B 相互独立 A 与 B, A 与 B , A 与 B相互独立.
1-5 事件的独立性
3 设事件A1 , A2 ,, An相互独立, 则 P ( A1 A2 An ) 1 P ( A1 A2 „ An）
判断随机事件独立性的方法
判断随机事件独立性的方法随机事件独立性是概率论与数理统计中的一个重要概念。
判断随机事件是否独立对于许多实际问题的解决具有重要意义。
本文将介绍判断随机事件独立性的方法及其应用。
1. 什么是随机事件独立性在概率论中，独立性是指两个或多个事件的发生不受彼此影响的性质。
具体来说，如果事件A的发生与事件B的发生没有任何关联，即事件A的发生概率与事件B的发生概率的乘积等于事件A与B同时发生的概率，那么事件A和事件B就是独立的。
数学上，可以用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A ∩ B) = P(A) * P(B)，即事件A与事件B同时发生的概率等于事件A的发生概率乘以事件B的发生概率。
2. 判断随机事件独立性的方法2.1. 基于条件概率的方法基于条件概率的方法是判断随机事件独立性的常用方法之一。
根据条件概率的定义，可以使用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A|B) = P(A)，即事件A在事件B发生的条件下的概率等于事件A的概率。
如果满足以上条件，那么可以认为事件A和事件B是独立的。
否则，事件A 和事件B不满足独立性条件。
2.2. 基于频率统计的方法基于频率统计的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。
该方法基于大数定律，通过实际观察和统计事件发生的频率来判断事件之间是否独立。
具体操作时，可以进行一系列独立的实验，统计事件A和事件B同时发生的次数。
如果事件A和事件B的同时发生次数与事件A的发生次数乘以事件B的发生次数之积接近，那么可以认为事件A和事件B是独立的。
否则，事件A和事件B不满足独立性条件。
2.3. 基于协方差的方法基于协方差的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。
协方差是衡量两个随机变量之间关联程度的指标，可以通过计算事件A和事件B的协方差来判断它们是否独立。
具体操作时，可以通过以下条件来判断事件A和事件B是否独立： - 协方差(A, B) = 0，即事件A和事件B的协方差为0。
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符号
记作：AB
生，记作：A∪B(或 A＋B)
计算 公式 P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
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2．n 个事件相互独立 对于 n 个事件 A1，A2，…，An，如果其中_任一个事件 _________发生的概 率不受其他事件是否发生的影响，则称 n 个事件 A1，A2，…，An 相 互独立． 3．独立事件的概率公式 (1)若事件 A，B 相互独立，则 P(AB)＝P(A)P(B)． (2) 若 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 相 互 独 立 ， 则 P(A1A2…An) ＝ P(A1)·P(A2)…P(An)．
(3)恰有两人合格的概率： P2＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2630. 恰有一人合格的概率： P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2630－110＝2650＝152. 综合(1)(2)可知 P1 最大． 所以出现恰有一人合格的概率最大．
相互独立事件的判断 【例 1】 判断下列各对事件是否是相互独立事件． (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生，现从甲、 乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出 1 名男生” 与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任 意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个， 取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点或 6 点”．
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随机事件的独立性与条件概率
随机事件的独立性与条件概率随机事件是在一定条件下具有不确定性的事件，它的发生与否取决于一系列的因素。
而随机事件的独立性是指事件的发生与其他事件的发生无关，即一个事件的发生与其他事件的发生是相互独立的。
条件概率则是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
1. 随机事件的独立性随机事件的独立性是指一个事件的发生与其他事件的发生无关。
具体来说，对于两个事件A和B，如果事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，那么事件A和事件B就是相互独立的。
例如，假设我们有一个袋子里面有红球和蓝球，事件A表示从袋子中取出一个红球，事件B表示从袋子中取出一个蓝球。
如果每次取球之前都将袋子中的球重新放回，那么事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，因此事件A和事件B是相互独立的。
2. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常使用P(A|B)来表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率。
例如，假设我们有一副扑克牌，事件A表示从中抽取一张黑桃，事件B表示从中抽取一张红心。
如果我们已知事件B发生，也就是已知从中抽取的牌是一张红心，那么事件A发生的概率就会发生变化。
因为已经抽出了一张红心，所以扑克牌中剩余的牌中，黑桃的比例就会减少，从而影响到事件A发生的概率。
3. 独立性与条件概率的关系独立性和条件概率是密切相关的概念。
如果事件A和事件B是相互独立的，那么在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率仍然保持不变，即P(A|B) = P(A)。
这是因为独立事件的发生与其他事件的发生无关，所以在已知事件B发生的情况下，不会对事件A的发生概率造成影响。
然而，如果事件A和事件B不是相互独立的，那么在已知事件B 发生的情况下，事件A的发生概率会发生变化，即P(A|B) ≠ P(A)。
这是因为事件B的发生会对事件A的发生概率产生影响，所以在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率会有所不同。
总结：随机事件的独立性与条件概率是概率论中重要的概念。
概率论§1.5 事件独立性
例1 三人独立地去破译一份密码, 已知每个人 能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中 至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人分别编号为1, 2, 3， 记 Ai ={第i个人破译出密码}，i=1, 2, 3。
故，所求为 P(A1∪A2∪A3)
已知 P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4，
P ( A) P ( B) P (C ) 1 2
说明事件A,B,C两两相互独立,但不是总体相互独立。
定理8
A1, A2, …, An 相互独立,则
Ai1 , Ai2 , , Ai m , Ai m1 , Ai n 也相互独立
(1≤m≤n, i1, i2, …, in为1, 2, …, n 的一个全排 列) 注意: 在实际应用中,对于n个事件的相互独立性, 我们往往不是根据定义来判断,而是根据实际意义 来加以判断的
A 与 B 也相互独立
证明:(1) A AB AB 且 AB AB
P ( A) P ( AB) P ( AB )
又 P(AB)=P(A)P(B) 则有:
P ( AB ) P ( A) P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B )
故, A与 B 相互独立
等价定义
定理6 设A，B是两个随机事件，若P(A)>0，则 事件B关于事件A独立的充要条件是 P(AB)=P(A)P(B)
证明：若事件B关于事件A独立，即P(B|A)=P(B)
则由乘法公式可得 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) 反之，若P(AB)=P(A)P(B)，已知P(A)>0
且 A1，A2，A3相互独立 可得 P(A1∪A2∪A3) 1 P ( A1 A2 An )
概率论随机事件的独立性
解 设需配备n门此型号火炮,并设事件 Ai 表示第i 门火炮击中敌机，则
P ( Ai ) 1 1 P ( Ai ) 1 0.2 0.999
n n i 1
n
ln 0.001 n 4.29 ln 0.2
故至少需配备 5 门此型号火炮 .
第一章 概率论的基本概念
考虑n重Bernoulli试验中事件A 出现 k 次 的概率, 记为 Pn ( k )
例5 袋中有3 个白球, 2个红球,有放回取球 4 次,每次一个,求其中恰有2个白球的概率. 解一 古典概型
设 B 表示4个球中恰有2个白球
n 5 , nB C 3 2
4
2 4
2
2
C 32 P( B) 0.3456. 5
第一章 概率论的基本概念
容易证明， 只要分母不为0,(1),(2),(3),(4)式 的成立，只需要以下一个等式就可保证：
P( AB) P( A) P( B) - - - - - - - - - - - - - - - (5)
所以，事件独立性的定义为：
设A、B是两个随机事件，如果满足
P( AB) P( A) P( B)
P ( A) 1 P ( B ) P ( A) P ( B )
第一章 概率论的基本概念
例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标， 他们击中目标的概率分别为0.9和0.8.求在 一次射击中，目标被击中的概率.
第一章 概率论的基本概念
三个事件的独立性 设A、B、C是三个随机事件，如果同时满足如下 四个等式：
则称事件A与B相互独立.
两事件相互独立的性质
事件A与任一概率为0或1的事件都相互独立. 若 P ( A ) 0, P ( B ) 0,
《统计学》题库第四章
一、单项选择题1. 设B A 、表示事件，则=+B A （ ）A.B AB.B AC.ABD.B A +答案：B2. 某人射击三次，以A i 表示事件“第i 次击中目标”（i=1,2,3），则事件“至多击中目标一次”的正确表达式为（ ）A.321A A AB.313221A A A A A AC.321321321A A A A A A A A AD.321A A A答案：B3. 袋中有10个形状相同的小球，其中4白6黑，现随机地将球一个一个地取出，则第4次取得白球的概率为（ ）A.101 B.102C.103D.104 答案：D 4. 线路由A ，B 两元件并联组成（如图）A ，B 元件独立工作，A 正常工作的概率为p ，B 正常工作的概率为q ，则此线路正常工作的概率为（ ）A. pqB. p+qC. p+q-pqD.1-pq答案：C 5. 设A ，B ，C 表示三个事件，则C B A 表示( )A.A ，B ，C 中有一个发生B.A ，B ，C 中不多于一个发生C.A ，B ，C 中恰有两个发生D.A ，B ，C 都不发生答案：D6. 设随机变量ξ可取无穷多个值：0，1，2，…，其概率分布为P （K ；3）=3k e !k 3- （即ξ~P （3））则下式成立的是（ ）A.E ξ=D ξ=3B.E ξ=D ξ=31 C.E ξ=3，D ξ=31D.E ξ=31，D ξ=3 答案：A7. 设随机变量ξ的分布列为P{ξ=k}=Ak,k=1,2,3,4,5，则常数A=（ ） A.5 B.10C.15D.20答案：C 8. 设ξ的分布为则常数α=（ ） A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案：A9. 设ζ的分布列为则E ζ2=( ) A.-0.2 B.0.2 C.2.76 D.2.8答案：D10. 设随机变量ξ的密度函数p(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈ 其它 ,x ,Cx 0[0,1]4,则常数C ＝（ ）A ．51B ．41 C ．4D ．5答案：D11．设随机变量ζ的概率密度为p(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<<-其他,0,21a x a a，其中A>0，要使P{ζ>1}=31，则A=（ ） A.1B.2C.3D.4答案：C12．设ζ的分布函数为F(x)=A++∞<<∞-πx x arctan 1，则常数A=（ ）A.21B.1C.2D.π答案：A13. 独立随机变量ξ，η，若ξ～N （1，4），η～N （3，16），下式中不成立．．．的是（ ） A ．E （ξ＋η）＝4B ．E （ξη）＝3C ．D （ξ－η）＝12D ．D （η＋2）＝16答案：C14．将一枚均匀硬币反复抛掷10次，已知前三次抛掷中恰出现了一次正面，则第二次出现正面的概率为（ ）A.31B.21C.41D.103 答案：A15. 13．设随机变量ζ的密度函数p(x)=⎩⎨⎧π∈其他,0],0[x ,ASinx ，则常数A=（ ）A.41B.21 C.1D.2答案：B16.设试验成功概率是p(0<p<1)，则在三次重复独立试验中至少失败一次的概率是( ) A. (1-p)3 B. 1-p 3C. 3(1-p)D. (1-p)3+p(1-p)2+p 2(1-p)答案：B 17.设随机变量X 在[A ，B]上服从均匀分布，则其标准差)(X D 为 A.12/)(2a b -B. 6/)(2a b -C. 32/)(a b -D. 6/)(a b -答案：C18.设),(~2σμN X ，则=)(2X E A.22σμ+B. 2σμ+C.σμ+2D. σμ+答案：A19.若,2)(=X D 则=-)14(X D A.32B.8C. 2D. 31答案：A20.若,2)(,1)(==Y E X E 则=-)2(Y X E A.0B.-1C. 1D. 2答案：A二、多项选择题（略） 三、名词解释1.古典概型2.随机事件的独立性3.分布函数4.依概率收敛[参考答案]1.古典概型：古典概型是指满足下面两个特征的随机试验模型：1）样本空间是有限的，{}n ωωω,,,21 =Ω其中),,2,1(n i i =ω是样本点（基本随机事件）；2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同； 3）各基本事件互不相容，即);,,2,1,(j i n j i j i ≠=Φ= ωω2.随机事件的独立性：若事件A 、B 满足)()()(B P A P AB P =，称A 、B 相互独立。
第五讲：事件的独立性
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) P( A5 ) p q 3 2 每种情况发生的概率均为：p q 3 3 2 故P( B) C5 p q
例3：一条自动生产线上的产品的一级品率为0.6， 现检查10件，求至少有两件一级品的概率。 解：设A＝“检查一件是一级品”， 则每次检查时P（A）＝0.6； 现检查了10件， B=“至少有两件一级品” =“A至少发生2次”。
P( A ) P( B ) P(C ) P( A B ) P( B C ) P( A C ) P( A B C )
(2)某时有机床因无人照管而停工：
0.059 P( ABC ABC ABC ABC ) AB AC BC
二、独立试验概型（贝努利概型）(P16)
则称事件A1，A2， ，An两两独立.
定义：设A1，A2， ，An是n个事件，若其中任意两个事件之间是相互独立的，
记在P15
独立事件积的概率等于概率的积
例2：甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某时 它们不需要工人照管的概率分别为0.9、0.8、0.85。求某时有 机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。
乘法公式
P( AB) P( A) P( B / A) P( B) P( A / B)
推广：
两个事件同时发生 的概率等于其中一个事 件发生的概率乘以这个 事件发生的条件下另一 事件发生的概率
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) P( An / A1 A2 An 1 ).
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) p 2 q
课件随机事件的独立性
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识
解决问题）
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式 学习
（4）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率
为
5 8
，若前一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意
取出1个，取出的仍是白球”的概率为
4 7
；若前一事件
没有发生，则后一事件发生的概率为 5 。可见，前一事
7
件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者
不是相互独立事件，也不是互斥事件。
类型二 相互独立事件发生的概率
2.选A。对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标 是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标 射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事 件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件。 故选A。
【内化·悟】 怎样判断两个事件是否相互独立？ 提示：判断两个事件是否相互独立，可以利用运算P （AB）=P（A）·P（B）或从实际理解两个事件发生与 否是否相互影响。
=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5 ×0.5=0.55。
方法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜” 为对立事件，而红队都不获胜为事件 D E F，且P（ D E F） =0.4×0.5×0.5=0.1。所以红队至少两人获胜的概率为 P2=1-P1-P（ D E F）=1-0.35-0.1=0.55。
记为事件C，则C= A BA B 且 A B与AB 互斥，P（C）
=P（
A
B
A
B）=P（A）P（
概率论之随机事件的独立性
随机事件及其概率
A 与 B 之间没有关联或关联很微弱
A 与 B 相互独立
P(AB) P(A)P(B)
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
例一台自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两 部分如有任何一个出现故障，报警器就失灵．若使用 一年后，雷达出故障的概率为 0.2，计算机出故障的 概率为 0.1，求这个报警器使用一年后失灵的概率．
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
定理 当 P(A) 0 ，P(B) 0 时，若 A, B 相互独立，则
A, B 相容；若 A, B 互不相容，则 A, B 不相互独立.
证明 (1)若 A,B 相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B)≠ 0 ，即 A,B 是相容的.
(2)若 A,B 互不相容,则 AB=,P(AB)=0. 因此 0=P(AB)≠ P(A)P(B)>0，即 A,B 是不相互独立.
1 4
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于 P( ABC ) 1 1 P( A)P(B)P(C ), 48
因此 A，B，互独立
随机事件及其概率
定义 设 A1, A2, , An 是 n(n 2) 个事件，若其中任意 两个事件都相互独立，则称 A1, A2 , , An 两两独立 （Independence between them）.
Pn (k) Cnk pk qnk , q 1 p, k 0,1, 2, , n
证明 设 Ai {第 i 次试验中事件 A 发生}，1 i n ； Bk { n 次试验中事件 A 恰好出现 k 次}， 0 k n ， 则
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
Bk A1A2 Ak Ak1 An
5.3.5 随机事件的独立性(课件)高一数学(人教B版2019必修第二册)
教材例题
【典例 2】已知甲运动员的投篮命中率为 0.7, 乙运动员的投篮命中率为 0.8. （1）若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少? （2）若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少?
【解析】(1)记事件 :甲投中, :乙投中,因为 与 相互独立,所以 即都命中的概率为 0.56.
教材例题
课堂练习
【解析】A 中，M，N 是互斥事件，不相互独立；B 中，M，N 不是相互独立 事件；C 中，P(M)＝12，P(N)＝12，P(MN)＝14，P(MN)＝P(M)P(N)，因此 M， N 是相互独立事件；D 中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此 M，N 是相互独立事件.故选 CD.
课堂练习
一般地,当
时,就称事件 与 相互独立(简称独立).事件 与
相互独立的直观理解是, 事件 是否发生不会影响事件 发生的概率,事件 是
否发生也不会影响事件 发生的概率.
可以证明,如果事件 与 相互独立,则 与 与 与 也相互独立.
新知探索 知识点一：随机事件的独立性
相互独立事件的定义和性质： 定义：一般地，当 P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件 A 与 B 相互独立(简称独立). 性质：如果事件 A 与 B 相互独立，则与 B，A 与，与也相互独立. n 个事件相互独立： “A1，A2，…，An 相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的 概率都等于它们各自发生的概率之积”.
【解析】(1)三道题都猜对可以表示为
, 又因为
相互独立,因此
教材例题
(2)“至少猜对一道题”的对立事件是 “三道都猜错”,后者可以表示为
,
所以
因此所求概率为
课堂练习
【训练 1】一袋中装有 5 只白球，3 只黄球，在有放回地摸球中，用 A1 表示第 一次摸得白球，A2 表示第二次摸得白球，则事件 A1 与 是( ) A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件
随机事件的独立性与条件概率
随机事件的独立性与条件概率随机事件的独立性和条件概率是概率论中的重要概念，它们在统计学和实际应用中有着广泛的应用。
了解和理解这些概念对于正确分析和解释随机事件具有重要意义。
首先，我们来看随机事件的独立性。
两个事件A和B被称为独立事件，当且仅当事件A的发生与事件B的发生是相互独立的，即事件A的发生与事件B的发生没有任何关联。
数学上可以用概率的乘法定理来描述独立事件的概率关系。
假设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则当且仅当P(A∩B) = P(A) × P(B)时，事件A和B是独立的。
例如，假设我们有一副扑克牌，抽出一张牌的事件A是抽出红心，抽出一张牌的事件B是抽出Q牌。
如果P(A) = 1/4，P(B) = 1/13，而P(A∩B) = 1/52，则事件A 和B是独立的，因为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
另外一个重要的概念是条件概率。
条件概率是指在已经发生了某个事件的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率”。
条件概率可以通过概率的除法定理来计算。
假设事件A和事件B是两个不独立的事件，则P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
以前面的例子为例，已经抽出的牌是红心的条件下，抽出Q牌的概率即为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
根据前面的数据，我们可以计算得到P(B|A) = (1/52) / (1/4) = 1/13，即在已经抽出红心的条件下，抽出Q牌的概率为1/13。
通过条件概率的概念，我们可以进一步引入贝叶斯公式。
贝叶斯公式是一种计算条件概率的方法，它是由英国数学家贝叶斯提出的。
贝叶斯公式可以用于计算在一些已知条件下，另一个事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)。
贝叶斯公式的应用非常广泛，例如在医疗诊断、信号处理和机器学习等领域中都有重要的应用。
人教B版必修第二册 5.3.5随机事件的独立性 课件(43张)
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1，则 P1＝P(－A －A －B －B )＝P(－A )P(－A )P(－B )P(－B ) ＝12×12×35×35＝1900. ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少一次命中的概率为 1－P1＝19010.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为 Ω＝{(男，男， 男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男， 女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共包含 8 个样本点，由等可能性知每个 样本点发生的概率均为18.这时 A 包含 6 个样本点，B 包含 4 个样本点，AB 包 含 3 个样本点．
随堂水平达标
课后课时精练
[解] 记“甲投一次命中”为事件 A，“乙投一次命中”为事件 B，则 P(A)＝12，P(B)＝25，P(－A )＝12，P(－B )＝53.
(1)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次”的概率为 P，则
P＝P(A－B )＋P(－A B)＝P(A)P(－B )＋P(－A )P(B) ＝12×35＋12×25＝150＝21. ∴甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为12.
课后课时精练
题型一 事件独立性的判断 例 1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下 述两种情形，讨论 A 与 B 的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．
《概率》统计与概率-(随机事件的独立性)
由题意得 A 与 B,A 与, 与 B,与都是相互独立事件,且
P(A)=0.5,P(B)=0.6.
(1)记 C 表示事件“一位车主同时购买甲、乙两种保险”,则 C=AB,
所以 P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.
(2)这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没
正点到达,这种情况比正面列举简单些,因此利用对立事件的概率
公式求解.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
解:用 A,B,C 分别表示这三列火车正点到达的事件,则
P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
所以 P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1.
(2)在三个地方都停车的概率;
例2根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.
(2)若事件A1,A2,…,An相互独立,则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
(2)A,B都发生为事件AB.
典例小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.
(1)由题意得 A,B,C 之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率
为
P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)
=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()
=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2=1-P( )
A,B 相互独立
P(A+B)
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则称 A1 , A2 ,
An 相互独立。
注 意
（1） A1 , A2 , An 相互独立，则其中任取 k个事件 Ai , Ai , Ai (k 2,3, n 1) 也相互 独立；反之不一定。
1 2 k
（2）A1 , A2 ,
An独立，则B1 , B2 ,
n
Bn也相互独立，
n
其中Bi Ai或 Ai
（31 n n
Ai ) P( Ai )
i 1 n
Ai ) 1 P( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1 i 1
例3、n个人组成一个小组，在同一时间内分别
破译一份密码，假定每个人能译出的概率都是
定义：设A, B, C是三个事件，若满足：
P(AB)=P(A)P(B)
P(AC)=P(A)P(C)
P(BC)=P(B) P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称A, B, C是三个相互独立的随机事件。若 前三个等式成立，则称A, B, C是两两相互 独立事件。
例2、一均匀正四面体，其一、二、三面分别 染成红、白、黑三色，第四面染上红白黑 三色。现以A、B、C分别记投掷一次四面 体出现红、白、黑颜色的事件，证明： A、 B、C两两独立，但不相互独立。
A、B互相独立，记为i.d.。
定理：若事件A与B相互独立，且
P( A) 0, P( B) 0
则 P( A B) P( A), P( B | A) P( B)
独立扩张定理：事件A与B独立的充要条件是 、 { A, B} 、 { A, B} { A, B} 也相互独立。
二、多个随机事件的独立性
§1.5 事件的独立性
一、 两个事件的独立性
例1、在20个产品中有2个次品，从中接连抽两 个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个
产品，求
（1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取
得次品的概率；
（2）第二次取得次品的概率。
定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个
事件，若满足 P( AB) P( A) P( B) ，则称事件
0.7，若要以99.9999%的把握译出，问n至少为
几？
例4、（系统可靠性） 设一电路由5个同样的电子元件组成（如下图 所示），每个元件正常工作的概率（元件的可 靠性）为p，元件损坏即断路。每个元件工作状 况互相独立，求此电路的可靠性（线路两端保 持连通的概率）。
1 5 3 4 2
定义：设事件 A1 , A2 ,
An，若有
1 i j n P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ) P( A A A ) P( A ) P( A ) P( A ) 1 i j k n i j k i j k n n P( Ai ) P( Ai ) i 1 i 1