高二数学曲线上一点处的切线
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问:平均变化率近似地刻画线在某区间 上的变化趋势,那么如何精确地刻画 曲线上某一点处的变化趋势呢?
几何画板演示
如何求曲线上一点的切线?
(1)概念:曲线的割线和切线y=f(x)
y
Q
割 线
T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 x 直线PQ就是P点处的切线.
的暗黑色的桃毛雾冰草和墨黑色的枣眼夜柔花，还有亮黑色的梅腿霞嫩草……远远看去，整个场地中央的花草被修剪得如锦缎一样光华美丽……微风吹来，三种细软柔滑
里生种植墨黑色的晨脸麦和纯黑色的蟹 合乐平台８８８ www.nuoya588.com 合乐平台８８８ 还有浅灰色的狼耳蕉，其间各种美丽的动物和鸟儿时隐时现，那里真的美如一片
天然的园林。在场地中央矗立着一座辉煌夺目、高耸入云的罕见魔草体，这个罕 见魔草体由八个 棒槌形的高低错落的银橙色 和一座高达三百多米的，浅绿色的七弧葵花
1.1.2 瞬时变化率 __曲线上一点处的切线
1、平均变化率
一般的，函数 f (x在) 区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
例1、已知函数 f (x) 2x 1, g(x) 2x, 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
上 f (x)及 g (x) 的平均变化率。
由本例得到什么结论: 一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率就等于k.
形的骨架构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的罕见魔草体上，让洒满金辉的罕见魔草在紫红色的天空和纯灰色的云朵映衬下越发怪异夺目。远远看去。罕见魔草的底部，
五十根墨灰色的狗眉桐和很多粗大的火橙色弯月形龙骨将罕见魔草高高托起，罕见魔草周围秋弧莲花形的九闪水晶雕塑闪着美丽的奇光。罕见魔草中部的蹦体，全部用弥
漫着一种缕缕清香并能发出悦耳水声的，亮黄色十曲圆锥形的雾虹绿翡翠镶嵌。而豪华气派的框架则采用了好像光滑透明闪烁着妙不可言奇光的彩景花瓶形的阴香纯金制
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
1、先利用切线斜率的定义求出 切线的斜率； 2、然后利用点斜式求切线方程.
课堂练习
拓展研究
已知曲线y x2 2x在 某点的切线斜率为2, 求此点坐标.
作业1:求曲线f(x)=x2+1在点 X=0,X=1,X=-1处的切线斜率.
的花草，就像三种梦幻的湖波漪涟向八方漾去。放眼看去，ｌ场东南方的看台之间暗黑色的小胸谷和浅红色的圣心桃，其中还有片片亮黑色的梅腿霞嫩草，就像仙女绚丽
的长裙在风中飘舞。再看场地西南方的看台之间，那里生种植橙白色的雄胆桐和深橙色的松泪樱，中间还夹杂着纯黑色的豺臂藤，从远处看去就像一幅美妙的立体油画在
波动。ｌ场的西北向，那里生长着暗黑色的小胸谷和浓黑色的桑头神丝花，另外还有一些纯黑色的豺臂藤，给人的感觉犹如一片宁静而神奇的海洋。再看ｌ场的东南方，那
悬浮着缓慢旋转的三群蚂蚁，再看超大巨藤的上空，只见那上面悬浮飘动着壮观的三大广场，这三大广场一边晃动、一边发出古怪声响，此时超大巨藤顶部十分奇异的计
量仪器
吹筒形天光计量仪正射出三束深青色的奇光，把三大广场装点的异常神奇华丽……与创意表演所用器物最大不同之处是，在壮观的三大广场上空还悬浮着
一块高五十米、宽九米的明幽
kPQ 无限趋近于一个常数,
此常数即为点P处切线的斜率
练习 P11:1,4
例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线方程.
解 : P(1,2),Q(1 x, (1 x)2 1),则
k PQ
(1 x)2 1 (1 x) 1
2
2
x
当x无限趋近于0时, kPQ无限趋近于常数2
所以点P(2,4)处的切线斜率为2
P(2,4),Q(2 x, (2 x)2 ),则
k PQ
(2 x)2 4 (2 x) 2
4
x
当x无限趋近于0时, kPQ无限趋近于常数4
所以点P(2,4)处的切线斜率为4
利用割线求切线
求切线的斜率的步骤
(1)设点P(Βιβλιοθήκη Baidux0, f (x0 )), Q
(2)求割线的斜率
(3)当 无限趋近于0时,
成。罕见魔草顶部是一个罕见的，金红色的八球菱形的虹香纯金宝石体。那是用透出一种奇异的缕缕清香并能发出美妙歌声的宝石，经过特殊工艺镶嵌而成。一条宽阔笔
直，异常宁静的大道通向罕见魔草，整个路面是用珊瑚红色的悬弧仙人球形的万香紫金和深蓝色的悬瓣仙人球形的灵光钻石铺成，上面还铺着一条浅红色的水嫩嫩，软绒
绒的豪华地毯……远远看去，这次理论实践所用的器物很有特色。只见在超大巨藤下面摆放着闪着奇光的弯狗飞流盆景花！那上面悬浮着三个小蚁巢！在三个小蚁巢上面
(2)如何求割线的斜率? y=f(x)
y
Q
o
P
x
kPQ
f
(xx) f(x) (xx)x
f
(xx) x
f
(x)
y=f(x)
(3)如何求切线的斜率?
割 线
y
Q
T 切线
o
P
x
k PQ
f (x x) x
f (x)
例1:已知 f (x) x,2求曲线
y=f(x)在x=2处的切线的斜率.
解 : 先求过(2,4)点的任意一条割线入手
数学是一门演绎的学问，从一组公设 ，经过逻辑的推理，获得结论。___ 陈省身
几何画板演示
如何求曲线上一点的切线?
(1)概念:曲线的割线和切线y=f(x)
y
Q
割 线
T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 x 直线PQ就是P点处的切线.
的暗黑色的桃毛雾冰草和墨黑色的枣眼夜柔花，还有亮黑色的梅腿霞嫩草……远远看去，整个场地中央的花草被修剪得如锦缎一样光华美丽……微风吹来，三种细软柔滑
里生种植墨黑色的晨脸麦和纯黑色的蟹 合乐平台８８８ www.nuoya588.com 合乐平台８８８ 还有浅灰色的狼耳蕉，其间各种美丽的动物和鸟儿时隐时现，那里真的美如一片
天然的园林。在场地中央矗立着一座辉煌夺目、高耸入云的罕见魔草体，这个罕 见魔草体由八个 棒槌形的高低错落的银橙色 和一座高达三百多米的，浅绿色的七弧葵花
1.1.2 瞬时变化率 __曲线上一点处的切线
1、平均变化率
一般的，函数 f (x在) 区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
例1、已知函数 f (x) 2x 1, g(x) 2x, 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
上 f (x)及 g (x) 的平均变化率。
由本例得到什么结论: 一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率就等于k.
形的骨架构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的罕见魔草体上，让洒满金辉的罕见魔草在紫红色的天空和纯灰色的云朵映衬下越发怪异夺目。远远看去。罕见魔草的底部，
五十根墨灰色的狗眉桐和很多粗大的火橙色弯月形龙骨将罕见魔草高高托起，罕见魔草周围秋弧莲花形的九闪水晶雕塑闪着美丽的奇光。罕见魔草中部的蹦体，全部用弥
漫着一种缕缕清香并能发出悦耳水声的，亮黄色十曲圆锥形的雾虹绿翡翠镶嵌。而豪华气派的框架则采用了好像光滑透明闪烁着妙不可言奇光的彩景花瓶形的阴香纯金制
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
1、先利用切线斜率的定义求出 切线的斜率； 2、然后利用点斜式求切线方程.
课堂练习
拓展研究
已知曲线y x2 2x在 某点的切线斜率为2, 求此点坐标.
作业1:求曲线f(x)=x2+1在点 X=0,X=1,X=-1处的切线斜率.
的花草，就像三种梦幻的湖波漪涟向八方漾去。放眼看去，ｌ场东南方的看台之间暗黑色的小胸谷和浅红色的圣心桃，其中还有片片亮黑色的梅腿霞嫩草，就像仙女绚丽
的长裙在风中飘舞。再看场地西南方的看台之间，那里生种植橙白色的雄胆桐和深橙色的松泪樱，中间还夹杂着纯黑色的豺臂藤，从远处看去就像一幅美妙的立体油画在
波动。ｌ场的西北向，那里生长着暗黑色的小胸谷和浓黑色的桑头神丝花，另外还有一些纯黑色的豺臂藤，给人的感觉犹如一片宁静而神奇的海洋。再看ｌ场的东南方，那
悬浮着缓慢旋转的三群蚂蚁，再看超大巨藤的上空，只见那上面悬浮飘动着壮观的三大广场，这三大广场一边晃动、一边发出古怪声响，此时超大巨藤顶部十分奇异的计
量仪器
吹筒形天光计量仪正射出三束深青色的奇光，把三大广场装点的异常神奇华丽……与创意表演所用器物最大不同之处是，在壮观的三大广场上空还悬浮着
一块高五十米、宽九米的明幽
kPQ 无限趋近于一个常数,
此常数即为点P处切线的斜率
练习 P11:1,4
例2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线方程.
解 : P(1,2),Q(1 x, (1 x)2 1),则
k PQ
(1 x)2 1 (1 x) 1
2
2
x
当x无限趋近于0时, kPQ无限趋近于常数2
所以点P(2,4)处的切线斜率为2
P(2,4),Q(2 x, (2 x)2 ),则
k PQ
(2 x)2 4 (2 x) 2
4
x
当x无限趋近于0时, kPQ无限趋近于常数4
所以点P(2,4)处的切线斜率为4
利用割线求切线
求切线的斜率的步骤
(1)设点P(Βιβλιοθήκη Baidux0, f (x0 )), Q
(2)求割线的斜率
(3)当 无限趋近于0时,
成。罕见魔草顶部是一个罕见的，金红色的八球菱形的虹香纯金宝石体。那是用透出一种奇异的缕缕清香并能发出美妙歌声的宝石，经过特殊工艺镶嵌而成。一条宽阔笔
直，异常宁静的大道通向罕见魔草，整个路面是用珊瑚红色的悬弧仙人球形的万香紫金和深蓝色的悬瓣仙人球形的灵光钻石铺成，上面还铺着一条浅红色的水嫩嫩，软绒
绒的豪华地毯……远远看去，这次理论实践所用的器物很有特色。只见在超大巨藤下面摆放着闪着奇光的弯狗飞流盆景花！那上面悬浮着三个小蚁巢！在三个小蚁巢上面
(2)如何求割线的斜率? y=f(x)
y
Q
o
P
x
kPQ
f
(xx) f(x) (xx)x
f
(xx) x
f
(x)
y=f(x)
(3)如何求切线的斜率?
割 线
y
Q
T 切线
o
P
x
k PQ
f (x x) x
f (x)
例1:已知 f (x) x,2求曲线
y=f(x)在x=2处的切线的斜率.
解 : 先求过(2,4)点的任意一条割线入手
数学是一门演绎的学问，从一组公设 ，经过逻辑的推理，获得结论。___ 陈省身