10-2 二维离散型随机变量与二维连续型随机变量

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《概率论与数理统计(经管类)》综合测验题库

《线性代数（经管类）》综合测验题库一、单项选择题1.α=0.01，请根据下表推断显著性（）(已知F 0.05（1,8）=5.32)A.无法判断B.显著C.不显著D.不显著，但在α=0.01显著2.某批产品中有20%的次品，现取5件进行重复抽样检查，那么所取5件中有3件正品的概率为( )3.已知二维随机变量（X ，Y ）的分布密度为，那么概率=（）A.1/18B.4/18C.5/18D.7/184.已知二维随机变量（X ，Y ）的分布密度为那么=（）A.1/24B.2/24C.3/24D.5/245.已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为那么=（）A.1/8B.2/8C.3/8D.4/86.设随机变量（X,Y）的概率密度为那么（）A.3/5B.2/5C.4/5D.17.随机变量（X,Y）的概率密度为那么=（）A.0.65B.0.75C.0.85D.0.958.设随机变量（X,Y）的概率密度为那么（X,Y）的分布函数为（）9.在线性回归模型，则对固定的x，随机变量y的方差D（y）＝（）10.某种金属的抗拉程度y与硬度x之间存在相关关系，现观测得20对数据（x i，y i）（i=1，2，…，20），算得求y对x的回归直线（）11.设正态总体（）12.设总体X的分布中含有未知参数，由样本确定的两个统计量，如对给定的，能满足，则称区间（）为的置信区间13.设是来自总体X样本，则是（）.A.二阶原点矩B.二阶中心矩C.总体方差D.总体方差的无偏估计量14.下类结论中正确的是（）A.假设检验是以小概率原理为依据B.由一组样本值就能得出零假设是否真正正确C.假设检验的结构总是正确的D.对同一总体，用不同的样本，对同一统计假设进行检验，其结构是完全相同的15.统计推断的内容是（）A.用样本指标推断总体指标B.检验统计上的“假设”C.A、B均不是D.A、B均是16.关于假设检验，下列那一项说法是正确的（）A.单侧检验优于双侧检验B.采用配对t检验还是成组t检验是由实验设计方法决定的C.检验结果若P值大于0.05，则接受H0犯错误的可能性很小D.用u检验进行两样本总体均数比较时，要求方差相等17.以下关于参数估计的说法正确的是（）A.区间估计优于点估计B.样本含量越大，参数估计准确的可能性越大C.样本含量越大，参数估计越精确D.对于一个参数只能有一个估计值18.设总体,x1,x2,x3是来自X的样本，则当常数a=（）时候，=1/3x1+ax2+1/6x3是未知参数的无偏估计A.-1/2B.1/2C.0D.119.矩估计具有（）A.矩估计有唯一性B.矩估计具有“不变性”C.矩估计不具有“不变性”D.矩估计具有“稳定性”20.区间的含义是（）A.99%的总体均数在此范围内B.样本均数的99%可信区间C.99%的样本均数在此范围内D.总体均数的99%可信区间21.当样本含量增大时，以下说法正确的是（）A.标准差会变小B.样本均数标准差会变小C.均数标准差会变大D.标准差会变大22.设X1,X2独立，且X1～N（2,3）,X2～N（3,6）,那么服从（）分布A.B.C.正态分布D.t（2）23.如果X～F（3,5）,那么1/ F（3,5）服从（）分布A.F（5,2）B.F（2,5）C.F（5,3）D.无法知道24.一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05mm，规定总长度为（20时产品合格，试求产品合格的概率（）A.0.2714B.0.3714C.0.4714D.0.571425.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3米,现从这批木柱中随机取出100根,问其中至少有30根短于3米的概率是（）A.0.0052B.0.0062C.0.0072D.0.008226.设各零件的重量是随机变量,它们相互独立,且服从相同的分布,其数学期望为0.5kg,均方差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是（）A.0.0593B.0.0693C.0.0793D.0.089327.计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数。

多维随机变量函数的分布

i ,k : g ( x i , y j ) = z k
∑
p ij
＝pk ,
(x1,y1) (x1,y2) … p11 p12
(xi,yj) pij g(xi,yj)
…
Z=g(X,Y)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例1 设(X,Y)的联合分布列如下所列：试求(1)Z1=X+Y (2)Z2=X-Y (3)Z3=max{X,Y}的分布列
练习：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为
X P 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
(X,Y) pij
W＝X＋Y
V＝max(X, Y) U＝min(X, Y)
−∞ 或 ∞ −∞
−∞
∫f
X
( z − y ) f Y ( y )dy ＝ ∫ f X ( x) f Y ( z − x)dx.
例2 设X和Y相互独立，并且服从[-1，1]上的均匀分布，求Z=X+Y的密度函数。
解：
1 f Y ( x) = 2 0
+∞
当 −1 ≤ x ≤ 1 其他
其中α>0，β>0,试分别就以上两种联结方式写出L的寿命Z的概率密度．
αe − αx , x > 0, f X ( x) = x ≤ 0, 0,
βe − βy , y > 0, fY ( y ) = y ≤ 0, 0,
其中 α > 0, β > 0 且 α ≠ β . 试分别就以上三种联接方式写出 L 的寿命 Z 的概率密度 .

医学统计学课件：第六章几种离散型变量的分布及其应用

2020/10/18
医学统计学第六章几种离散型变量的分布及其应用
1.52 SPSS: 常用PDF函数(23种)
11
BERNOULLI：贝努里。
BINOM：二项分布。
CHISQ：卡方分布。
第七章。
F：F分布，第四章。
NORMAL：正态分布。
POISSON：泊松分布。
下一节。
T：t分布。
UNIFORM：均匀分布。
从阳性率为的总体中随机抽取大小为 n 的
样本，则出现阳性数为 X 的概率分布呈二项分布，
记为 X~B(n,)。
2020/10/18
医学统计学第六章几种离散型变量的分布及其应用
1.2 二项分布，binomial distribution
6
用某药治疗某种疾病，其疗效分为有效或无效，每个病案的有效率相同；在动物的致死性试验中，动物的死亡或生存；接触某种病毒性疾病的传播媒介后，感染或非感染等。
X 2 X 1 X 0
n 3，( (1 ))3 3 3 2(1 ) 3 (1 )2 (1 )3
2020/10/18
XБайду номын сангаас3
X 2 X 1
X 0
医学统计学第六章几种离散型变量的分布及其应用
1.5 例6-1 二项分布概率的计算
9
某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为 0.70。今用该药治疗该疾病患者10人。计算10 人中有6人、7人、8人有效概率。
P(8) 10! 0.708 (1 0.70)108 0.23347 8!(10 8)!
2020/10/18
医学统计学第六章几种离散型变量的分布及其应用
1.51 SPSS: PDF函数

条件分布在生活中的应用1

学士学位论文题目学生姓名指导教师年级系别专业学院学校2014年4月目录摘要 (1)关键词................................ 错误!未定义书签。

引言.................................. 错误!未定义书签。

一、条件分布 (2)（一）条件分布的定义 .................. 错误!未定义书签。

（二）二维离散型随机变量的条件分布 (3)（三）二维连续型随机变量的条件分布 (4)二、条件分布在生活中的应用 (5)（一）条件分布在经济预算中的应用 (5)（二）条件分布在刑侦破案中的应用 (7)（三）条件分布在劳动生产中的应用 (8)总结 (10)英文摘要 (11)浅谈条件分布在生活中的应用摘要：随着时代的进步以及科学的发展,数学在生活中的应用越来越广泛，而概率论作为数学的一个重要组成部分，也逐渐发展起来并广泛应用于各个领域.条件分布研究了不同随机变量的关系，本课题中先说明了条件分布的基础概念，然后就二维随机变量中的离散型随机变量及连续型随机变量的条件分布分别作了简单的介绍，最后从经济预算，刑侦破案，劳动最优化来体现条件分布在生活中的应用。

关键词：条件分布；随机变量；应用引言概率是一门与生活联系紧密的学科同时也是一门相当有趣的数学分支学科，数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，而后发展成完整的数学分支。

除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期使"欧几里得几何相形见绌"的几个重大成就之一。

在概率论的基本概念中，我们学习了条件概率，它是对随机事件而言，所谓随机事件就是试验中的样本空间的特定子集。

当这一子集中的一个样本点出现时，称为这一事件发生。

而我们探讨的条件分布是对于随机变量而言的。

设随机试验的样本空间为Ω，对于，Ω∈ω有唯一的实数）（ωX 与之对应，这样就得得到一个实值单值函数）（ωX ，若R B ∈，B}X |{∈）（ωω是事件，）（ωX 就为随机变量。

二维离散型随机变量及其分布

P{ X xi } P{ X xi , } P{ X xi , (Y y j )}
j 1
P{ ( X xi , Y y j )} P{ X xi , Y y j } pij
j 1 j 1 j 1

Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
所以,关于X的边缘分布律为：
X
pi.
x1
x2 …
xi …
pi. …
p1. p2. …
关于Y的边缘分布律为：
Y p.j y1 p.1 y2 … yj …
p.2 … p.j …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例2]见例1，试求（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布律。
1 2/5
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
联合分布律边缘分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为 “有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？ 2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
0, Y 1,
表示第二次取红球表示第二次取白球

二维随机变量(ξ ,η)

第三章
多维随机变量及其概率分布
§3.1 多维随机变量及其联合概率分布
第三章作业题
P158
1,3,5,7,8 10,12,14,17,18 21,26,27,30 31,34,39,40
有些随机现象用一个随机变量来描述不够，例如
1、在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐
标)来确定的.
2、飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标）来确定的等等.
区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的三角区域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积 =0.5
∴ P{(ξ,η)A}=0.5/4=1/8
2、二维正态分布
若二维随机变量（ξ,η）具有概率密度
p(x,
y)

1
21 2
1
2
exp{
2(1
1

2
)
[(
x
1 1
3、研究某年龄段儿童的身体发育情况，同时考虑身高、体重、肺活量、血压等指标
4、研究某日的天气状况，同时考虑最高温度、最大湿度、最大风力等指标。
一、多维随机变量的概念
设随机试验E的样本空间是Ω.ξ =ξ() 和η=η()都是定义在Ω上的随机变量,由它们构成的变量(ξ,η),称为二维随机变量.
对任意n个实数x1,x2, xn,n元函数 F (x1,x2, xn, ) P{ X1 x1, X 2 x2,
Xn xn}
§3.4 边际分布与随机变量的独立性
一、边际分布
1、随机变量的边际分布函数
二维随机变量(ξ,η)作为一个整体,具有分布函数F(x,y).
其分量ξ和η也都是随机变量,也有自己的分布函数,将其分别记为Fξ (x ),Fη(y). 依次称为ξ 和η的边际分布函数.

10条件分布与独立性

f (x,y)=fX(x)fY(y).
特别地,令x = μ1,y = μ2, 由上述等式得到
1
1,
2 1 2 1 2 2 1 2
从而ρ = 0.
综上所述, 得到以下的重要结论: 定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与 Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0.
讲评随机变量的独立性往往由实际问题
PX≤ x Y y为随机变量X在条件Y= y下的条件
分布函数, 记作 FX Y ( x y).
即
x f (x, y)
FX Y ( x y)
dx. fY ( y)
则上式就是在给定条件Y= y下, 随机变量X的
条件分布函数.
而 f (x, y) 称为在给定条件
fY ( y)
Y= y下X的条件概率密度,
L
f (x1, x2,L , xn)dx2dx3L dxn,
(3.5)
fX1,X2 (x1, x2)
L
f (x1, x2,L , xn)dx3dx4L dxn.
(3.6)
定义2 若对于所有的实数x1,x2,…, xn有
F(x1, x2,L , xn) FX1 (x1)FX 2 (x2)L FXn (xn) (3.7) ，
随机变量的独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B 是相互独立的,当且仅当它们满足条件 P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性.
设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},{Y≤y}为两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}相互独立, 相当于下式成立 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).

10月概率论与数理统计(经管类)试题及答案

全国2010年10月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题课程代码：04183一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设随机事件A 与B 互不相容，且P （A ）>0,P (B )>0，则( ) (事件的关系与运算） A.P (B |A )=0 B.P (A |B )>0 C.P (A |B )=P （A ） D.P (AB )=P (A )P (B )解：A 。

因为P （AB ）=0.2.设随机变量X ～N (1，4)，F (x )为X 的分布函数，Φ(x )为标准正态分布函数，则F (3)=( ) A.Φ(0.5) B.Φ(0.75) C.Φ(1) D.Φ(3)(正态分布）解：C 。

因为F(3)=)1()213(Φ=-Φ 3.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎩⎨⎧≤≤,,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21=( )A.41 B.31C.21D.43 (连续型随机变量概率的计算）解：Ａ。

因为P {0≤X ≤}21412210==⎰xdx4.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+, ,0 ,01,21其他x cx 则常数c =( ) A.-3 B.-1 C.-21D.1解：D.（求连续型随机变量密度函数中的未知数）由于1)(=⎰+∞∞-dx x f112121212121)(01201=⇒=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=--∞+∞-⎰⎰c c x cx dx cx dx x f5.设下列函数的定义域均为（-∞，+∞），则其中可作为概率密度的是( ) A. f (x )=-e -x B. f (x )=e -x C. f (x )=||-e 21xD. f (x )=||-e x解：选Ｃ。

（概率密度函数性质）A ．0<--x e 不满足密度函数性质由于1)(=⎰+∞∞-dx x f ，B 选项∞=-=+∞∞--+∞∞--⎰xx e dx eＣ选项12122100||||=-===+∞-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰xx x x e dx e dx e dx eＤ选项2220||||=-===+∞-+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰⎰x xx x edx e dx e dx e6.设二维随机变量（X ，Y ）～N （μ1,μ2，ρσσ,,2221），则Y ～( )（二维正态分布）A.N （211,σμ） B.N （221,σμ） C.N （212,σμ）D.N （222,σμ）解：D 。

概率论与数理统计复习资料

河北农业大学继续教育学院试题卷概率论与数理统计:一、单选题（本题共20小题，满分40分）1.（2分）A.0B.1C.0.5D.条件不足无法计算2.某病的患病率为0.005，现对10000人进行检查，试求查出患病人数在[45,55]内的概率为（）。

（2分）A.0.5646B.0.623C.0.745D.0.2583.设X与Y相互独立,且E(X)=2,E(Y)=3,D(X)=D(Y)=1,求E((X-Y)^2)=（）。

（2分）A.7B.8C.6D.54.（2分）A.B.C.D.5.（2分）A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定6.已知随机变量x,y的方差分别为dx=2,dy=1 且协方差cov（x,y）=0.6 ,则d(x-y)=().（2分）A.4B.3C.2D.1.87.其中（2分）A.B.C.D.8.设总体X服从正态分布N（u,σ^2) ，X1,X2,X3,...,Xn 是它的一个样本，则样本均值A 的方差是（）（2分）A.σ^2/nB.σ^4/nC.σ^3/nD.σ^1/n9.（2分）A.B.C.D.10.（2分）A.B.C.D.11.（2分）A.B.C.D.12.设随机变量X～b(n,p),已知EX=2.4,DX=1.44,则p为（）（2分）A.0.4B.0.1C.0.2D.0.313.（2分）A.1/2B.1/32C.5/32D.31/3214.（2分）A.0.2417B.0.3753C.0.3830D.0.866415.设(X ,Y)的联合密度为 f(x,y)=4xy,0≤x,y≤1 0 ,其他若F(x,y)为分布函数,则F(0.3,3)=（）。

（2分）A.0.09B.0.05C.0.9D.0.516.矩法估计是样本矩来代替（），从而得到参数的估计量。

（2分）A.个体矩B.合体矩C.总体矩D.以上结论都不对17.设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为f（X,Y）=8XY，0<=X<=Y<=1,f（X,Y）=0,其他。

古扎拉蒂计量经济学

(1) P 1
P2(1) Pi (1)
(
( 2) P P2( 2) 1
2）边缘分布设（X,Y）具有 P ( X = xi , Y = yi ) = pij ，则
P ( X = xi ) = ∑ P ( X = xi , Y = yi ) = ∑ pij = pi ⋅ = pi( )（联合分布表中第 i 行各概率相加）
ϕ ( x, y ) 为在 Y＝y 条件下关于 X 的条件概率密度。 ϕY ( y ) ϕ ( x, y ) 为在 X＝x 条件下关于 Y 的条件概率密度。 ϕX ( x)
若 ϕ X ( x ) > 0 ，称 ϕ ( y | x ) = 条件分布函数为：
4
FX |Y
( x | y) = ∫
x
−∞
ϕ ( x, y ) dx ϕY ( y ) ϕ ( x, y ) dy ϕX ( x)
−∞ −∞ −∞
x
+∞
x
称为（X,Y）关于 X 的边缘分布函数。
ϕ X ( x ) = ∫ ϕ ( x, y ) dy 称为（X,Y）关于 X 的边缘概率密度。
−∞
+∞
FY ( y ) = P (Y ≤ y ) = P ( −∞ < X < +∞, Y ≤ y ) = lim F ( x, y )
x →+∞
pij pi(1)
=
P ( X = xi , Y = y j ) P ( X = xi )
称为在 X = xi 条件下关于 Y 的条件分布。 4）二元离散型随机变量的分布函数
3
F ( x, y ) = ∑ ∑ pij
xi ≤ x y j ≤ y
2、二维连续型随机变量 1）联合概率密度如果存在非负函数 ϕ ( x, y ) ，使得（X,Y ）的分布函数 F ( x, y ) 对于任意实数 x ，y ，都有

【高中数学】离散型随机变量的均值课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7
8
9
10
张娟娟射中的
概率
0.1
0.2
0.3
0.4
朴成贤射中的
概率
0.15
0.25
0.4
0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢?
追问1：解决问题从哪里入手呢？
假设张娟娟射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分布表：
环数X
7
8
9
10
频数
1
2
3
4
频率
n3
n1
n2
n4
所以，甲n次射箭射中的平均环数为 x 7 8 9 10 .
名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A, B, C歌名的概率
及猜对时获得相应的公益基金如下表所示.
歌曲
猜对的概率
A
0.8
B
0.6
C
0.4
获得的公益基金额/元
1000
2000
3000
规则如下: 按照A, B, C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下
一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
追问3：从平均值角度比较，谁的射箭水平高？
张娟娟的射箭水平比乙高.
当n足够大时，
频率稳定于概率
概念形成
随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X
P
x1
p1
x2
p2
‧‧‧
‧‧‧
xn
pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.

概率论及数理统计习题集及答案

第1章概率论的基本概念§1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C,D为开关。

设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。

A BL RC D1.甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案§1 .8.1：用A,B,C,D表示开关闭合，于是T = AB∪CD,从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)422p224-+==pppp-2：(1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章随机变量及其分布0-分布和泊松分布§2.211 某程控交换机在一分钟接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X有分布律：X 23 , Y～π(X), 试求：p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y≤2)；(2)P(Y≤2)；(3) 已知Y≤2, 求X=2 的概率。

§2.3贝努里分布2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？§2.6均匀分布和指数分布2 假设打一次所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟到20分钟的概率。

§2.7正态分布1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(2<X ≤5) , P(- 4<X ≤10), P(|X|>2),P(X>3)； (1)确定c ，使得 P(X>c) = P(X<c)。

(2021年整理)概率论与数理统计(经管类)综合试题1-5_(课程代码_4183)

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Ⅱ、综合测试题概率论与数理统计(经管类）综合试题一（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列选项正确的是（ B ）.A 。

AB A B +=+ B.()A B B A B +-=-C 。

（A-B ）+B =A D. AB AB =2。

设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是（ D )。

A 。

P (A -B )=P （A )-P (B ） B.P （AB ）=P （A )P (B ）C. P (A +B )=P （A ）+P （B ）D. P (A +B )=P （A ）+P （B )-P (AB )3。

同时抛掷3枚硬币,则至多有1枚硬币正面向上的概率是（ D )。

A. 18B. 16C. 14D. 124.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为（ B ）。

A.1120 B. 160 C. 15 D. 125。

设随机事件A ，B 满足B A ⊂，则下列选项正确的是 ( A ）。

3.1二维随机变量的联合分布

1 , x 1, y 1
盐城工学院概率论与数理统计课题组
推广：如果每次随机试验的结果都对应着一组确定
的实数 1,2，，L它们n是随机试验结果不同而变
化的个随机变n量，则称个随机变量n 的整体
为一个维1,随2机，L变量n 。称维n函数
n
为维随F机 x1变, x2量,L的, x分n 布p函1数。x1,2 x2,L n xn n
p
, k1, k2
n!
k1 !k2 ! n k1 k2
!
p k1 1
p k2 2
1 p1 p2
nk1 k2
k1 0,1, 2,L n, k2 0,1, 2,L n, k1 k2 n，其中n是给定的自然数，
0 p1 1 , 0 p2 1 , p1 p2 1，称 , 服从三项分布。
1 10
为了书写方便，我们一般将上面的概率分布情况列成右表：
0 1 2 3
0
1
0 0 0 10
1
0
0
6 10
0
2
3
0 10
00
盐城工学院概率论与数理统计课题组
2.定义定义 3.1.1 设 E 是一个随机试验，其样本空间为
，又设 x, y 是定义在上的随机变量，则
由它们构成的一个向量, 称为二维随机变量（或称二维随机向量）。
为
kxy, 0 x y,0 y 1,
f
(x,
y)
0,
其他
其中k为常数. 求
(1)常数 k ;
(2) P ( X + Y 1) , P ( X < 0.5).
盐城工学院概率论与数理统计课题组
解：令 D (x,y) 0 x y, 0 y 1

第十讲：二元连续型随机变量

pij
p
( 2) j
,
j 1,2,...
为Y＝ yj的条件下，X的条件分布律; 同理，对固定的i, pi(1) >0, 称
Pj|i P{Y y j | X xi }＝
pij p
(1) i
,
j 1,2,...
为X＝ xi的条件下，Y的条件分布律;
若二元离散型随机变量的联合分布律如下： X
p21
pi1
p22
pi2
...
...
P2j ...
Pij ...
联合分布律的性质 (1) pij 0 ,
... ...
(2)
... ...
非负性
p ＝1
ij i 1 j1
... ...
2.边际分布律（边缘分布）（P52）定义（P52）若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 则称 p ij p (1) P{X＝xi}＝ j1 ＝ i ， i＝1, 2, …为(X, Y)关于X的边际分布律； P{Y＝ yj}＝ p
则F（ X x）＝P{ X x} P{ X x, Y } 为二元随机变量（X , Y）关于分量X的边际分布函数.
F （ Y y）＝P{Y y} P{ X , Y y} 为二元随机变量（X , Y）关于分量Y的边际分布函数.
三.二元离散型随机变量的分布（P50）
3 x 例3.已知(X,Y)的概率密度为 f ( x, y ) 0
0 x 1,0 y x 其它
1 1 1 1 求条件概率 P{Y | X }和P{Y | X } 8 4 8 4 1 1 y P{Y , X } 1 1 8 4 1 P{Y | X } 1 8 4 P{ X } 4 1 1 1 P{Y , X } 1 1 8 4 8 P{Y | X } 1 8 4 1 P{ X } 4 4 f ( x , y ) dxdy

考研数学一(概率与数理统计)-试卷10

考研数学一（概率与数理统计）-试卷10(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设事件A与B( )（分数：2.00）B.A∪B=Ω√C.A∪B=A．D.A∪B=B．解析：解析：由对称性可知选项C、D都不成立(否则，一个成立另一个必成立)，若选项A盾，所以正确选项是B．3.设随机事件A与B为对立事件，0＜P(A)＜1，则一定有( )（分数：2.00）A.0＜P(A∪B)＜1．B.0＜P(B)＜1．√C.0＜P(AB)＜1．解析：解析：因A、B为对立事件，即A∪B=Ω，且P(A)+P(B)=P(A∪B)=1．因此选项A、C、D 均不成立，故选B．4.设A、B为任意两个事件，且，P(B)＞0，则下列选项必然成立的是( )（分数：2.00）A.P(A)＜P(A|B)．B.P(A)≤P(A|B)．√C.P(A)＞P(A|B)．D.P(A)≥P(A|B)．解析：解析：由于，可得A=AB，于是P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)≤P(A|B)．故选项B正确．5.设随机变量x～N(0，1)，其分布函数为φ(x)，则随机变量y=min{X，0}的分布函数为（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：F(y)=P{Y≤y}=P{min(X，0)≤y}=1一P{min(X，0)＞y}=1一P{X＞y，0＞y}．当Y＜0时，P{X＞y，0＞y}=P{X＞y}，F(y)=1—P{X＞y}=P{X≤y}=Ф(y)．当Y≥0时，P{X＞y，0＞y}=0，P(y)=1．因此选项B正确．6.已知X～N(15，4)，若X的值落入区间(一∞，x 1 )，(x 1，x 2 )，(x 2，x 3 )，(x 3，x 4 )，(x 4，+∞)内的概率之比为7：24：38：24：7，则x 1，x 2，x 3，x 4分别为( )（分数：2.00）A.12，13．5，16．5，18．B.11．5，13．5，16．5，18．5．C.12，14，16，18．√D.11，14，16，19．解析：解析：X落入(一∞，x 1)，(x 1，x 2)，(x 2，x 3)，(x 3，x 4)，(x 4，+∞)的概率应为即0．07，0．24，0．38，0．24，0．07．P{X≤x 4}=1—P{X＞x 4}=1一0．07=0．93=Ф(1．5)．故x 3 =16．由对称性可知，x 1与x 4，x 2与x 3都关于15对称，所以x 1 =15一(x 4一15)=12，x 2 =15一(x 3—15)=14．故选项C正确．7.设随机变量X和Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布．B.X和Y不相关与独立等价．C.(X，Y)一定服从正态分布．D.(X，一Y)未必服从正态分布．√解析：解析：选项A不成立，例如，若Y=一X，则X+Y=0不服从正态分布．选项C不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布．选项B也不成立，因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X和Y不相关”二者等价．故应选D．虽然随机变量X和一Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一Y)未必服从正态分布．8.设X 1和X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f 1 (x)和f 2 (x)，分布函数分别为F 1 (x)和F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度．B.F 1 (x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数．√C.F 1 (x)+F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数．D.f 1 (x)f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度．解析：解析：由题设条件，有 F 1 (x)F 2 (x)=P{X 1≤}P{X 2≤x} =P{X 1≤x，X 2≤X}(因X 2与X 2相互独立)．令x=max{x 1，x 2 }，并考虑到 P{X 1≤x，X 2≤x}=P{max(X 1，X 2)≤x}，可知，F 1 (x)F 2 =(x)必为随机变量X的分布函数，即F X(x)=P{X≤x}．故选项B正确．9.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2．4，D(X)=1．44，则二项分布的参数n，P的值为( )（分数：2.00）A.n=4，p=0．6．B.n=6，P=0．4．√C.n=8，p=0．3．D.n=24，p=0．1．解析：解析：因为X～B(n，P)，所以E(X)=np，D(X)=np(1一p)组，得n=6，p=0．4，故选B．10.假设随机变量X与Y的相关系数为ρ，则ρ=1的充要条件是( )（分数：2.00）A.Y=aX+b(a＞0)．B.Cov(X，Y)=1，D(X)=D(Y)=1．√解析：解析：显然选项A、B、C是P=1的充分条件但不是必要条件，因此选D11.已知总体X与Y都服从正态分布N(μ，σ2)，现从总体X与Y中抽取容量为n的两组相互独立的简单随机样本，其方差分别为S X2和S Y2，现构造σ2的四个无偏估计量： (1)S X2， (2)S Y2，则它们中方差最小的是( )（分数：2.00）A.(1)．B.(2)．C.(3)．√D.(4)．解析：解析：由对称性可知D(S X2 )=D(S Y2 )．(3)的方差最小，故选C．12.设总体X服从正态分布N(μ，σ2 )，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L与置信度1一α的关系是( )（分数：2.00）A.当1一α减小时，L变小．√B.当1—α减小时，L增大．C.当1—α减小时，L不变．D.当1一α减小时，L增减不定．解析：解析：要求出L，进而推断L与1—α的关系．当总体X～N(μ，σ2 )，σ2已知时，μ的置信区间为确定，其中Ф(x)是x单调增函数，因此置信区间的长度当样本容量n同定时，随的减小而变小，即随1—α的减小而变小．故选A．13.下列关于总体X的统计假设风属于简单假设的是( )（分数：2.00）A.X服从正态分布，H 0：E(X)=0．B.X服从指数分布，H 0：E(X)≥1．C.X服从二项分布，H 0：D(X)=5．D.X服从泊松分布，H 0：D(X)=3．√解析：解析：选项A、B、C的假设都不能完全确定总体的分布，所以是复合假设，而选项D的假设可以完全确定总体分布，因而是简单假设，故选D．二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.在区间(0，1) 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：记(0，i)中任取的两个数为X，Y，则(X，Y)∈Ω={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜1}，Ω为基本事件全体，并且取Ω中任何一点的可能性都一样，故该试验是几何概型，事件15.假设盒内有10件产品，其正品数为0，1，…，10个是等可能的，今向盒内放人一件正品，然后从盒内随机取出一个产品发现它是正品，则原来盒内有7个正品的概率α= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：设事件A i =“盒内原有i 件正品”，i=0，1，…，10；事件B=“取出的产品是正品”，所以A 0 ，A 0 ，…，A 10 构成一个完备事件组，依题意有所求概率P(A 7 |B)可直接应用贝叶斯公式：16.设随机变量X 的密度函数 (0＜a ＜b)，且EX 2=2，则（分数：2.00）填空项1:__________________17.设离散型随机变量X |X|的分布函数为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于分布函数F(x)只在x=一1，0，l 处有3个间断点，因此离散型随机变量X 与|X|的概率18.已知随机变量X 1 和X 2 相互独立，且分别服从参数为λ 1 ，λ 2 的泊松分布，已知P{X 1 +X 2 ＞0}=1一e 一1，则E(X 1 +X 2 ) 2= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：已知X i 一P(λ i )且X 1 与X 2 相互独立．所以E(X i )=0(X i )=λ i (i=1，2)， E(X 1 +X2 ) 2 =E(X 1 2 +2X 1 X 2 +X 2 2 )=E(X 1 2 )+2E(X 1 )E(X 1 )+E(X 2 2 ) =λ 1 +λ 1 2+2λ 1 λ 2 +λ 2 +λ 22=λ 1 +λ 2 +(λ 1 +λ 2 ) 2．因为P(X 1 +X 2 ＞0)=1一e(X 1 +X 2 ≤0)=1一P(X 1 +X 2 =0) =1一e(X 1 =0，X 2 =0)=1一P(X 1 =0)P(X 2 =0) =1一e一λ1．e一λ2=1一e一(λ1+λ2)=1一e 一1所以λ 1 +λ2=1．故E(X 1 +X 2 ) 2=λ 1 +λ 2 +(λ 1 +λ 2 ) 2=2．19.设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则P{X+Y≤1}= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：根据正态分布的性质，即服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，所以(X+Y)～N(1，2)20.已知(X ，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X ，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y 不超过1出现的次数为Z ，则E(Z 2)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：根据题干可知(X ，Y)的联合概率密度函数为令事件A=“X+Y≤1”，则Z 是4次独立重复试验事件A 发生的次数，故Z ～B(4，p)，其中如图4一121.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度为E(XY)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：本题是考查数字特征计算的基础题，X 和Y 相互独立，故E(XY)=E(X)E(Y)=4．22.设随机变量X 1，X 2，…，X n…相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，则结果用标准正态分布函数Ф(x)表示)．（分数：2.00）填空项1:__________________解析：解析：由于X n相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，所以E(X n )=0，D(X n )= ，根据独立同分布中心极限定理，对任意x∈R有23.设总体X与Y相互独立且均服从正态分布N(0，σ2 )，已知X 1，X 2，…，X m与Y 1，Y 2，…，Y n是分别来自总体X与Y的简单随机样本，统计量服从t(n)分布，则（分数：2.00）填空项1:__________________解析：解析：根据题意可知X i～N(0，σ2 )，Y i～N(0，σ2 )且相互独立，所以三、解答题(总题数：8，分数：16.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

离散型随机变量的分布列,期望与方差

一，离散型随机变量
１、随机变量：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母 ξ、η 等表示．
随机变量将随机事件的结果数量化．
问题:某人射击一次，可能出现哪些结果？
若设射击命中的环数为ξ，则ξ是一个随机变量. ξ可取０，1，2，…，10. ξ＝０，表示命中０环；
(1). pi 0, i 1，2，3，
(2). p1 p2 p3 1
例1、某一射手射击所得环数的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率
一般地，离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
例1.设p是非负实数，随机变量的概率分布为
0
1
2
P
1 p 2
p
1 2
则E的最大值为______,D的最大值为______
例2.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干实验组进行对比实验。每个试验组由4个小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类
写出ξ的分布列. 解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3.
当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它
两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故
有P(ξ=1)=