1-2_关联矩阵及其特性
关联矩阵
4.按1，3，9的尺度对 X/Y的关联强度进行 评估；1＝很小或无 关联；3＝中等关联； 9＝关联强；
咖啡磨具
咖啡
1
1
3
9
3
9
9
9
3
1
完成关联矩阵的步骤
6.根据变量的加权和内、外部流程，对变量进行归类。（总分 越高，输入变量对顾客眼中的重要输出变量的影响就越大
顾客眼中的重 要性级别 输出变量 流程输入 咖啡技术人员 咖啡制造者 水过滤器 1 9 1 9 1 9 9 9 9 9 3 1 9 1 1 9 3 3 305 169 167 8 温 度 9 香度 6 密度 5 强度 10 光滑 度 3 颜色 合计
咖啡过滤器
咖啡磨具 咖啡 水
1
1 1 1
3
3 9 9
3
3 9 3
3
9 9 9
9
3 1 1
9
9 9 9
185
155 225 189
完成关联矩阵的步骤
顾客眼中的重 要性级别 输出变量 流程输入 咖啡技术人员 奶酪 咖啡 咖啡勺 咖啡壶 糖 咖啡类型 水 咖啡过滤器 咖啡制造者 水过滤器 1 9 1 1 1 3 1 1 1 9 1 9 9 9 9 9 9 3 9 3 1 9 9 9 9 9 9 9 9 3 3 9 9 9 9 9 9 9 9 3 9 3 3 1 9 1 1 1 1 1 9 1 9 1 1 9 9 9 9 9 3 3 9 9 3 3 305 289 225 225 225 223 203 189 185 169 167 8 温度 9 香度 6 密度 5 强度 10 光滑 度 3 颜色 合计
• 来自流程图和鱼骨图的输入和输出
• 关联矩阵用于设定对Ys有最大影响的Xs的 优先顺序
关联矩阵——gis考研
定义关联矩阵即用一个矩阵来表示各个点和每条边之间是关系。
对于一个无向图G，pxq, p为顶点的个数，q为边数。
bij表示在关联矩阵中点i和边j之间的关系。
若点i和边j之间是连着的，则bij = 1. 反之，则bij = 0. 例如：对于左图为一个无向图G，右图为其关联矩阵。
对于关联矩阵第一行1 1 1 0，表示点v1和各边的关系。
如图所示，v1和e1,e2,e3相连，和e4未连，故关联矩阵的值为1 1 1 0. 下面各行为点v2，v3, v4和各边的关联，以此类推。
需要注意的一点，每一行值的总和为该点的度。
对于有向图，若bij = 1，表示边j进入点i。
若bij = -1，表示边j离开点i。
若bij = 0，表示边j和点i不相关联。
应用关联矩阵法的关键，在于确定每个评价指标的相对重要度（即权重Wj）以及根据评价主体给定的评价指标的评价尺度，确定方案关于评价指标的价值评定量（Vij）。
关联矩阵法是因其整个程序如同一个矩阵排列而得名。
关联矩阵法是对多目标系统方案从多个因素出发综合评定优劣程度的方法，是一种定量与定性相结合的评价方法，它用矩阵形式来表示各替代方案有关评价指标的评价值，然后计算各方案评价值的加权和，再通过分析比较，确定评价值加权和最大的方案即为最优方案。
它的应用过程是：根据不同类型人员，确定不同的指标模块(又称一级指标)，然后将指标模块分解获得二级指标(有些复杂的量表还包括三级指标)，建立起具有层次结构的评估。
这是它与一般的因素评分法的相同之处，而显著不同之处在于指标确定的同时赋予权重，即对其各评估要素依据其对于被评估者的重要程度的差异进行区别对待，从而使得定性指标的量化更加科学可靠。
关联矩阵法的基本出发点是建立评价及分析的层次结构，在权重的确定上，关联矩阵法要来得简单，操作性强．它是根据具体评价系统，采用矩阵形式确定系统评价指标体系及其相应的权重，然后对评价系统的各个方案计算其综合评价值——各评价项目评价值的加权和。
一阶邻接矩阵和二阶邻接矩阵
一阶邻接矩阵和二阶邻接矩阵一、一阶邻接矩阵邻接矩阵是图论中常用的一种数据结构，用于表示图中节点之间的连接关系。
一阶邻接矩阵是指仅考虑相邻节点之间的连接关系的邻接矩阵。
一阶邻接矩阵的构造方法如下：1. 首先确定图中的节点个数，假设共有n个节点。
2. 创建一个n×n的矩阵，初始化所有元素为0。
3. 对于每一对相邻节点，将矩阵中对应位置的元素置为1。
举个例子来说明，假设有如下的图：A --B -- C| |D E其中，A、B、C、D、E分别表示图中的节点。
根据连接关系，可以得到一阶邻接矩阵如下：A B C D EA 0 1 0 1 0B 1 0 1 0 1C 0 1 0 0 0D 1 0 0 0 0E 0 1 0 0 0在一阶邻接矩阵中，每个节点对应一行和一列，矩阵中的元素表示两个节点之间是否有连接。
若有连接，则元素为1；若无连接，则元素为0。
二、二阶邻接矩阵二阶邻接矩阵是在一阶邻接矩阵的基础上进一步考虑节点间间接连接关系的邻接矩阵。
二阶邻接矩阵的构造方法如下：1. 首先根据一阶邻接矩阵计算出节点之间的直接连接关系。
2. 创建一个n×n的矩阵，初始化所有元素为0。
3. 对于任意两个节点i和j，如果存在一个节点k，使得节点i与节点k直接相连，节点k与节点j直接相连，那么在矩阵中将第i 行第j列的元素置为1。
继续以前面的例子为例，根据一阶邻接矩阵可以得到节点之间的直接连接关系。
接下来，根据直接连接关系计算二阶邻接矩阵如下： A B C D EA 0 1 1 1 1B 1 0 1 1 1C 1 1 0 1 1D 1 1 1 0 1E 1 1 1 1 0在二阶邻接矩阵中，每个元素表示两个节点之间是否存在间接连接。
若存在间接连接，则元素为1；若不存在间接连接，则元素为0。
通过一阶邻接矩阵和二阶邻接矩阵，我们可以更清晰地了解节点之间的直接和间接连接关系。
这对于分析图的结构、研究节点之间的影响传播等问题非常有帮助。
1-2 关联矩阵及其特性
Aa =
(1) 1 0 0 − 1 0 − 1 (2) − 1 1 0 0 1 0 (3) 0 0 1 0 − 1 1 (4) 0 − 1 − 1 1 0 0
增广关联矩阵
删去A 的任一行即得到( ) 阶的矩阵 阶的矩阵A。 删去 a的任一行即得到(n-1)×b阶的矩阵 。通常被删去 的行所对应的节点可作为参考节点。 的行所对应的节点可作为参考节点。 关联矩阵A与有向图一一对应。 关联矩阵 与有向图一一对应。 与有向图一一对应
1, 支路 j与割集 i关联且方向一致 qij = − 1, 支路 j与割集 i关联且方向相反 0，支路 j与割集 i不关联
i = 1, 2,L, n − 1; j = 1, 2,L, b
n-1为独立割集数，b为支路数，所以 为(n-1) ×b阶矩阵。 为独立割集数， 为支路数 所以Q为 为支路数， 阶矩阵。 为独立割集数 阶矩阵 描述图的基本割集与支路的关联性质的矩阵称为基本割集矩 描述图的基本割集与支路的关联性质的矩阵称为基本割集矩 基本割集与支路 阵Qf。
所以 ul = −Bt ut ——KVL方程的另一种矩阵形式 方程的另一种矩阵形式
(2)
表示的KCL方程的矩阵形式为：Qf i = 0 方程的矩阵形式为： 用Qf 表示的 方程的矩阵形式为
(1)
1 2
5
(3) 4 (4) 6 3
i i = t 若 il
i Qf i = [1t Ql ] t = it + Ql il = 0 则 il
基本回路矩阵Bf
描述图的回路与支路的关联性质的矩阵称为回路关联矩阵B。 描述图的回路与支路的关联性质的矩阵称为回路关联矩阵 。 回路与支路的关联性质的矩阵称为回路关联矩阵 如果一个回路包含某一支路，则称此回路与该支路关联。 如果一个回路包含某一支路，则称此回路与该支路关联。
13.2 关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵
第6页
② 用矩阵 AT 表示矩阵形式的KVL方程。
设: u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
un1
un
un2
un3
②
３
４
①
６
③
５
２
④
1
-1 0 1
-1
AT un
1 0
0
0 -1 -1 0
0 0 1 1
un1 un2 un3
0 1 0
第7页
-1 0 1
-1
AT un
６
i4
２
５
③
i5
④1
i6
n-1个独立
KCL方程 矩阵形式的KCL：Qf i =0
第 19 页
② 用QfT表示矩阵形式的KVL方程
设树支电压（或基本割集电压）： ut=[ u1 u2 u3 ]T
1 0 0
ut1 u1
0
Q f Tut
0 1
1
1 0 0 -1
0 1 1 0
ut1 ut 2 ut 3
Aa= 2 0 0 -1 -1 0 1
3 10 0110
4 0 1 0 0 -1 -1
特点
②
３
４
①
６
③
５
２
④
1
① 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，
Aa的每一列元素之和为零。
② 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行 是独立的。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
1 支路 j 在割集 i 中，且与割集方向一致；
qij -1 支路 j 在割集 i中，且与割集方向相反；
相关系数矩阵 正交矩阵
相关系数矩阵正交矩阵
相关系数矩阵和正交矩阵是线性代数和统计学中的重要概念。
首先，让我们来谈谈相关系数矩阵。
相关系数矩阵是用来衡量多个变量之间线性关系强弱的工具。
在统计学中，相关系数矩阵通常用来展示变量之间的相关性。
相关系数矩阵是一个对称矩阵，其中对角线上的元素是1（因为每个变量与自身的相关系数是1），而非对角线上的元素则表示对应变量之间的相关性。
相关系数矩阵的取值范围在-1到1之间，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关性。
相关系数矩阵可以帮助分析变量之间的关系，从而可以进行相关性分析、主成分分析等统计方法。
接下来，让我们来探讨正交矩阵。
在线性代数中，正交矩阵是指其转置矩阵等于其逆矩阵的实方阵。
换句话说，正交矩阵的列向量是正交的（垂直的），并且每个列向量的模长为1。
正交矩阵在许多领域都有重要的应用，比如在旋转变换、正交化、奇异值分解等方面。
正交矩阵的性质使得它在线性代数和信号处理中具有重要作用。
从数学角度来看，相关系数矩阵和正交矩阵在不同领域有着广
泛的应用。
相关系数矩阵在统计学中用于分析变量之间的相关性，
而正交矩阵在线性代数和信号处理中用于表示正交关系和进行变换。
它们都是非常重要的数学工具，对于理解和解决实际问题都具有重
要意义。
总的来说，相关系数矩阵和正交矩阵是数学中的重要概念，它
们分别在统计学和线性代数中有着广泛的应用。
通过对它们的深入
理解，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且在相关领域的
研究和实践中取得更好的成果。
1 - 2 矩阵
矩阵的唯一性，在方程组等号两边同时
左乘 A-1可知方程组有唯一解： x= A b
-1
例3 (可逆矩阵和线性方程组的关系).
将线性方程组写成矩阵形式 Ax=b，
其中 A 为 n 阶矩阵，若 A 可逆，则由逆
矩阵的唯一性，在方程组等号两边同时
左乘 A-1可知方程组有唯一解： x= A b
-1
矩阵方程 AX=B有唯一解 X= A B
分析：若a、b、a+b都不为0，则
(a +b ) =ab(a+b)
-1
-1 -1
-1
猜想：(A-1+B-1)-1=A (A+B)-1B 这里 A、B分在两边是由于矩阵左乘和
右乘有区别。最后直接验证即可。
例7. 设 u 是 n 维列向量，、是数，求：
(1) (E-uu )(E-uu )；
T T
A1n B11 ， B B Amn n1
B1s Bns
AB最左上角小块为(其它类推)
A11B11+ A12B21+...+ A1nBn1 注意小块行数和列数应相乘的相容性
例8. 设 A 是准对角阵，即
A1 A 0 0
0 0
(1) (E-uu )(E-uu )；
T T
(2) 取什么值的时候，E-uuT可逆？
T T 由 ，当 (2)由 (uTu-1)-=0能解出时， E-uu 有逆矩阵 (E-uu )
T T
因此，的系数不为0，即 u u1
T
分块矩阵
可得 B=diag(1/d1，1/d2，...，1/dn)
例5. 上三角矩阵的逆矩阵
1 2 0 A 0 1 1 0 0 1
15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
例如： 例如： 3
① 2
② 4 6 ④ 5 1 ③ 3 6 3 4 6
2
5 2
6
3
5
1
1
1 用矩阵B表示的 表示的KCL的矩阵形式：B = 2 的矩阵形式： 用矩阵 表示的 的矩阵形式 3
1 2 3 1 0 1 0 1 1 0 0 0
4 5 0 -1 0 0 1 -1
6 1 1 1
i=BTil=
i1 i2 i3 i4 i5 i6
设有向图的结点数为n，支路数为 ， 设有向图的结点数为 ，支路数为b，则该图的独立割集数为 (n-1) 。 对每个割集编号，并指定一个割集方向 割集方向。 对每个割集编号，并指定一个割集方向。 割集矩阵为一个(n-1) ×b的矩阵，用Q表示。 的矩阵， 表示。 割集矩阵为一个 的矩阵 表示 Q的行对应割集，列对应支路。 的 对应割集， 对应支路。
2 4 3 5 6
基本回路矩阵
1 Bf = 2 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
-1 0
1 1 1
1l每一行中只有一个元素为1，是一个 阶的单位子矩阵 是一个l
3、用回路矩阵B表示的 、用回路矩阵 表示的 表示的KVL的矩阵形式 的矩阵形式
B= 1 2 3 1 1 0 0 2 0 1 0 3 1 1 0 4 0 0 1 5 -1 0 -1 6 1 1 1
Bf=[1l|Bt]
l和t分别表示与连支和树支对应的部分 和 分别表示与连支和树支对应的部分 分别表示与连支
② 3 ① 2 ④ 1 6 5 1 4 ③ 3 6 3 4
2
5 2
6
6
3
5
1
选3，5，6为树支 ， ， 为树支
1-2 线性变换及其矩阵表示
定理2：设x1,x2,…,xn是数域K上n维线性空间V的一 组基，在这组基下，V上的每一个线性变换都与 Kn×n中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； ② 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ③ 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应 于逆矩阵。 推论1：设T是线性空间V的一组基x1,x2,…,xn下的 f 矩阵， ( x ) am x m am 1 x m 1 a1 x a0 , 则线 性变换f(T)在同一组基下的矩阵是： f ( A) am Am am 1 Am 1 a1 A a0 I .
2. 线性变换的矩阵表示
(a) 线性变换在给定基下的矩阵表示 设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基，T是V上 的线性变换。
对于V中的任意一个向量x，必存在数域K中的一 组数k1,k2,…,kn使得 x k1 x1 k2 x2 kn xn , 从而有 T ( x ) k1T ( x1 ) k2T ( x2 ) knT ( xn ). 这表明，T(x)由T(x1),T(x2),…,T(xn)完全确定。
设T为线性空间V的线性变换，若有V上的变换S 使得：TS=ST=Te，则称T为可逆变换，并称S为T 的逆变换，记为S=T-1。 1. 可逆变换的逆变换仍然是线性变换。 2. 线性变换T可逆当且仅当T是一一对应。 3. 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无 关的向量组。 4. 设x1,x2,…,xn是线性空间V的一组基，T是V上的 线性变换，则T可逆当且仅当T(x1),T(x2),…,T(xn)也 是V的一组基。 (T1T2 )1 T21T11 . 5. 若T1,T2都是可逆变换，则
关联矩阵的数学符号定义___概述说明以及解释
关联矩阵的数学符号定义概述说明以及解释1. 引言1.1 概述在数学和网络分析领域，关联矩阵是一种重要的工具，用于描述事物之间的关系和连接。
它提供了一种形式化的方式，将图论中的节点和边转化为矩阵表示。
通过关联矩阵，我们可以更好地理解网络结构、社交关系以及信息传播等问题。
1.2 文章结构本文主要围绕关联矩阵展开讨论。
首先，在第二部分中，我们将介绍关联矩阵的基本概念，包括如何定义和表示关联矩阵以及其性质和特征。
然后，在第三部分中，我们将概述关联矩阵在图论中的应用，并讨论有向图和无向图之间的表示方法以及与邻接矩阵之间的联系。
接下来，在第四部分中，我们将解释关联矩阵在网络分析中的意义和作用，并探讨其在社交网络分析以及传播过程方面的应用。
最后，在第五部分中进行总结，并展望未来可能的研究方向。
1.3 目的本文旨在深入探讨关联矩阵在数学和网络分析领域中的重要性和应用。
通过对关联矩阵进行数学符号定义、概述和解释，我们希望读者能够全面理解并掌握关联矩阵的基本知识和核心概念，从而能够应用于实际问题中。
此外，本文也旨在引发更多关于关联矩阵的讨论和研究，并为未来相关领域的发展提供一定的参考。
2. 关联矩阵的数学符号定义2.1 关联矩阵的基本概念关联矩阵是用于表示图或网络结构的重要工具。
一个具有n个节点的无向图可以使用一个n×n的关联矩阵来表示，其中矩阵的元素a_ij表示节点i和节点j 之间是否存在边或连接。
当两节点之间存在边时，a_ij = 1；否则，a_ij = 0。
2.2 关联矩阵的符号表示方法关联矩阵可以使用各种符号进行表示。
常见的方式是使用邻接矩阵或拉普拉斯矩阵。
邻接矩阵A是一个n×n的二元方阵，其元素a_ij可以用来记录两个节点i 和j之间是否相连。
拉普拉斯矩阵L定义为L = D - A，其中D是度数矩阵，其对角线元素表示每个节点的度数。
2.3 关联矩阵的性质和特征关联矩阵具有一些重要性质和特征。
关联矩阵与邻接矩阵2018-11-27
关联矩阵与邻接矩阵2018-11-27 1. 邻接矩阵
1.1 定义
设⽆向图 G=(V, E)，其中顶点集V=v1,v2,⋯,v n, 边集E=e1,e2,⋯,e m，
⽤a ij表⽰顶点v i与顶点v j之间的边的数⽬，可能取值为0, 1, 2, ....,
称所得矩阵A=A(G)=(a ij))n×n为图 G 的邻接矩阵
1.2 邻接矩阵的性质
A(G) 是对称矩阵
若 G 是⽆环图，则A(G)中第 i ⾏(列)的元素之和等于顶点v i的度
类似地，有向图D的邻接矩阵A(D)=(a ij)n×n，a ij表⽰从始点v i到终点v j的有向边的条数，其中v i和v j为D的顶点e.g. 求下图的邻接矩阵
其邻接矩阵如下所⽰：
0111
1010
1101
1010
2. 关联矩阵
2.1 定义：
设⽆向图 G=(V, E)，其中顶点集V=v1,v2,⋯,v n, 边集E=e1,e2,⋯,e m，
⽤m ij表⽰顶点v i与边e j关联的次数，可能取值为0, 1, 2, ....,
称所得的矩阵M(G)=(m ij)n×m为图G的关联矩阵
类似的，有向图D的关联矩阵的元素定义为：
m ij=
1,v i是有向边e j的始点
−1,v i是有向边e j的终点0,v i是有向边e j的不关联点
e.g. 求下图的邻接矩阵和关联矩阵
邻接矩阵：0110
0000
0101
1000
关联矩阵：
100−11
−1−1000
0110−1
00−110
[]
{ [][] Processing math: 100%。
关联矩阵与邻接矩阵相互转化_概述说明
关联矩阵与邻接矩阵相互转化概述说明1. 引言1.1 概述:在网络和图论领域中, 关联矩阵和邻接矩阵是两个基本且关键的工具。
它们用于描述图结构中的节点之间的连接关系，从而对各种复杂系统进行建模和分析。
关联矩阵是一种表示节点与边之间关联信息的方式，而邻接矩阵则提供了直观且紧凑地表示图的方式。
本文旨在介绍如何相互转化这两种矩阵，并探讨其在实际应用中的意义和重要性。
1.2 文章结构:本文共分为五个主要部分，每个部分都涉及到关联矩阵和邻接矩阵在不同领域中的转化方法及应用案例。
- 第二部分将回顾关联矩阵和邻接矩阵的定义，并介绍它们在图论中的概念及应用。
- 第三部分将探索如何扩展关联矩阵与邻接矩阵之间相互转化的算法，包括稀疏图、加权图和多元图等情况。
- 第四部分将通过几个具体领域中的实际案例，说明关联矩阵和邻接矩阵转化在社交网络分析、工程网络分析和生物信息学领域中的应用。
- 第五部分将总结关联矩阵与邻接矩阵相互转化的重要性，并对未来发展进行展望。
1.3 目的:本文的目的是为读者提供一个全面而清晰的了解关联矩阵和邻接矩阵之间转化方法及其应用的指导。
我们希望通过该文可以增加人们对这两种矩阵的认识，以及它们在各个领域中解决实际问题时的价值。
同时，该文还将讨论现有算法存在的局限性，并探索未来关联矩阵与邻接矩阵相互转化领域可能的发展方向。
2. 关联矩阵与邻接矩阵的概念及应用2.1 关联矩阵的定义关联矩阵是一种描述图结构的数学工具。
对于一个包含n个节点的图，关联矩阵是一个n×m的二维矩阵（其中m是边的数量），并且该矩阵中元素的值表示节点和边之间的关系。
通常，行代表节点，列代表边，而非零元素表示相应节点和边之间存在关联。
2.2 邻接矩阵的定义邻接矩阵也是一种描述图结构的数学工具。
对于一个包含n个节点的图，邻接矩阵是一个n×n的二维方阵，其中每个元素a_ij表示节点i和节点j之间是否存在连接或者边。
当两个节点之间有连边时，邻接矩阵中对应位置上为非零值；反之，在无连边时为0。
1-2 矩阵的运算及应用举例
矩阵的运算及应用举例
一、矩阵的加法 二、矩阵的乘法 三、 矩阵的转置
一、矩阵的加法
1、定义 若 A (aij )mn , B (bij )mn ，
规定 A B (aij bij )mn 注意:只有同型矩阵才能进行加法运算. 2、定义 若 A (aij )mn , k R,
1 0
例6 设A为对称矩阵，证明 B T AB 也是对称阵。T Leabharlann A A, 证明BT
AB BT AT B BT AB
T
BT AB 是对称矩阵.
4、方阵乘幂的应用
例 某岛国里每年有 30%的农村居民移居城市， 有 20%的城市居民移居农村。 假设该国总人口数 不变，且上述人口迁移规律也不变，该国现有 农村人 320 万，城市人口 80 万，问该国 1 年后 农村与城市人口各是多少？2 年后呢？
( A) am Am am 1 Am 1 a1 A a0 E ,
称为矩阵 A 的多项式。
例如：A 为 n 阶方阵，A2 2 A, A2 2 A 3 E 都是 矩阵多项式。
可以像数x的多项式一样相乘或分解因式。 例6 (1) 计算 ( A 3 E )( A 2 E )
4、反对称矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵，若 AT A ，则称 A 为反 对称矩阵. 由定义可知 aij a ji .
反对称矩阵的主要特点: 主对角线上的元素为0, 其余的元素关于主对角 线互为相反数.
如
1 2 2 5 0 1 1 2 1 0 0 1 2 5
注： 1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵. 2、k 只能是正整数.
A B 均是 n 阶方阵， k , l Z 2、运算规律 （设
第1章 矩阵的概念 运算 第1-2节
B 32
4 1 1 0 3 A 23 1 1 2 0 2 1 0 6 1 12 1 1 3 2 0 6
• 定义1.2 主对角线，主对角元
设A是n阶矩阵，元素ai i 称为A的第i主对角线元, 元素a11 , a22 ,, an n组成A的主对角线.
a11 a21 A a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
定义1.7
矩阵的乘法
设A(aik )是m s矩阵，B(bik )是s n矩阵，那么A和B的 乘积是一个m n矩阵C (cij )。其中
cij aik bkj ai1b1 j ai 2 b2 j ais bsj 记作C AB
k 1
s
第j列
第j列
c11 c1 j c1n a11 a12 a1s b11 b1 j b1n b21 b2 j b2 n 第i行 ai1 ai 2 ais ci1 cij cin 第i行 b b b s1 sj sn a c c c am1 amn mj mn m1 m1
线 性 代 数
主讲：匡锐 Email: kuangrui@
第一章 矩阵
• • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 矩阵的概念 矩阵的运算 逆矩阵 分块矩阵
关于矩阵_1
• 矩阵这个词是由西尔维斯特(Sylvester,18141897)于1850年首先提出。他是犹太人，故 他在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优 异成绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从 1841年起他接受过一些较低的教授职位，也 担任过书记官和律师。经过一些年的努力， 他终于成为霍布金斯大学的教授，并于1884 年70岁时重返英格兰成为牛津大学的教授。 他开创了美国纯数学研究，并创办了《美国 数学杂志》。在长达50多年的时间内，他是 矩阵论和行列式始终不渝的作者之一。
矩阵1-2
对应三重特征值 2 有两个线性无关的特征向量 故 A 不可对角化。
1 1 1 1 1 1 1 1 3） A 。 1 1 1 1 1 1 1 1
(1, 1, 0) T ， (0, 0, 1) T
解
可求得 det(I A) ( 2)( 2) 3 , 所以 A 的特征值为
故得
10
y1 1 1 1 1 1 y y2 ， P 0 1 2 1 ，且 P AP y 1 3 1 0 3
注意到 式为
d( Py ) dy dy dy P APy ，即 y, 写成分量形 ，代人前一式得 P dt dt dt dt
d dt
y1 y1 ,
d dt
y2 2 y2 ,
d dtቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y3 3 y3 ,
解之得
y1 c1 et , y 2 c2 e 2t , y3 c3 e 3t
x1 y1 x2 P y2 x y 3 3
c1 e t c 2 e 2t c3 e 3t c 2 e 2t c3 e 3t （ c1 , c2 , c3 任意） 。 c e t c e 2t 2 1
相关矩阵的特征值
相关矩阵的特征值相关矩阵是统计学中常用的一种工具，用于衡量多个变量之间的线性关系。
相关矩阵的特征值是矩阵在特定方向上的变化量，它们具有重要的意义和应用。
本文将围绕相关矩阵的特征值展开，介绍其基本概念、计算方法以及实际应用。
我们来了解一下相关矩阵。
相关矩阵是一个方阵，其元素是变量之间的相关系数。
每个元素代表了两个变量之间的线性关系强度和方向。
相关系数的取值范围在-1到1之间，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关性。
相关矩阵是对称矩阵，对角线上的元素都是1，因为每个变量与自身的相关系数为1。
相关矩阵的特征值可以通过求解矩阵的特征方程得到。
特征方程的解即为特征值，特征向量是与特征值相关联的向量。
特征向量描述了相关矩阵在特定方向上的变化情况，而特征值表示了该方向上的变化量。
特征值的大小可以用来评估相关矩阵的性质和重要性。
在实际应用中，相关矩阵的特征值具有多种用途。
首先，特征值可以用于确定相关矩阵的主成分。
主成分分析是一种常用的数据降维方法，通过将原始变量转化为一组新的无关主成分，从而减少变量的数量和复杂性，同时保留了大部分的信息。
特征值可以用来确定哪些主成分对于解释变量之间的关系最重要。
特征值还可以用于评估相关矩阵的条件数。
条件数是衡量矩阵的稳定性和数值误差敏感性的指标。
条件数越大，矩阵的稳定性越差，数值误差对计算结果的影响越大。
特征值可以用来计算矩阵的条件数，从而评估矩阵的稳定性。
特征值还可以用于判断相关矩阵的正定性。
正定矩阵是一种特殊的矩阵，其所有特征值都大于零。
正定矩阵在优化问题、统计建模和信号处理等领域具有重要的应用。
通过计算相关矩阵的特征值，可以判断矩阵是否为正定矩阵，从而选择适当的方法和算法进行处理。
在金融领域，相关矩阵的特征值也被广泛应用于风险管理和投资组合优化。
相关矩阵可以用来描述不同资产之间的关系，特征值可以用来评估资产的相关性和波动性。
通过计算特征值，可以确定具有最小波动性和最大收益的投资组合，从而实现风险的分散和收益的最大化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3) 0 0 1 0 1 1
(4)
0
1 1
1
0
0
增广关联矩阵
(2)
1
5
(1)
2
(3)
4
3
(4) 6
删去Aa的任一行即得到(n-1)b阶的矩阵A。通常被删去 的行所对应的节点可作为参考节点。 关联矩阵A与有向图一一对应。
基本回路矩阵Bf
描述图的回路与支路的关联性质的矩阵称为回路关联矩阵B。
基本回路矩阵Bf
树支 连支
1 2 3 4 56
4 1 1 0 | 1 0 0
B f 5 0 1 1 | 0 1 0 6 1 1 1 | 0 0 1
Bt
1l
B f Bt | 1l
(2)
1
5
(1)
2
(3)
4
3
(4) 6
基本割集矩阵Qf
描述图的割集与支路的关联性质的矩阵称为割集关联矩阵Q。
如果一个割集包含某一支路，则称此割集与该支路关联。
1,支路j与割集i关联且方向一致
qij 1,支路j与割集i关联且方向相反
0，支路j与割集i不关联
i 1, 2, , n 1; j 1, 2, ,b
n-1为独立割集数，b为支路数，所以Q为(n-1) b阶矩阵。
描述图的基本割集与支路的关联性质的矩阵称为基本割集矩 阵Qf。
基本割集矩阵Qf
树支 连支
123 4 5 6
1 1 0 0 | 1 0 1
Qf 2 0 1 0 | 1 1 1 3 0 0 1 | 0 1 1
1t
Ql
Q f 1t | Ql
(2) C1 1
C2 5
(1)
2
(3)
4
3
(4) 6 C3
以A、Bf、Qf表示的KCL、KVL方程
Bt
ut
ul
0
所以 ul Btut ——KVL方程的另一种矩阵形式
(2)
用Qf 表示的KCL方程的矩阵形式为：Q f i 0
1
5
(1)
2
(3)
若
i
it il
则 Qf i 1t
Ql
it il
it
Qlil
0
4
3
(4) 6
所以 it Qlil ——KCL方程的另一种矩阵形式 u AT un ——KVL方程的另一种矩阵形式
1,支路j与节点i关联且支路方向离开节点
aij 1,支路j与节点i关联且支路方向指向节点
0，支路j与节点i不关联
i 1, 2, , n; j 1, 2, ,b
关联矩阵A
12 3456
(1) 1 0 0 1 0 1
A a
(2) 1 1
0
0
1
0
的矩阵形式
有向图中支路的方向代表该支路电流和电压的参考方向。
设支路电流向量i、支路电压向量u和节点电压向量un分别 代表网络的b个支路电流、b个支路电压和(n-1)个节点电压。 即：
i1
i
i2
ib
u1
u
u2
ub
un1
un
§1-2 关联矩阵A、Bf、Qf
及其特性
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
如果两件事之间发生了关系，则称这两件事有关联。 描述节点、回路、割集与支路之间关系的矩阵称为关联矩阵。
关联矩阵A
描述图的支路与节点的关联性质，又称为节点支路关联矩阵。
如果一条支路连接于某个节点，则称此支路与该节点关联。
对一个具有b条支路数、n 个节点的有向图，其支路与节点 的关联性质可用nb阶矩阵Aa表示。其中的元素aij定义如下：
如果一个回路包含某一支路，则称此回路与该支路关联。
1,支路j与回路i关联且方向一致
bij 1,支路j与回路i关联且方向相反
0，支路j与回路i不关联
i 1, 2, ,l; j 1, 2, ,b
l为独立回路数，b为支路数，所以B为lb阶矩阵。l=b-n+1。
描述图的基本回路与支路的关联性质的矩阵称为基本回路矩 阵Bf。
un2
un1
则KCL、KVL的矩阵形式可分别表示为：
Ai 0 Qi 0
Bu 0
以A、Bf、Qf表示的KCL、KVL方程
的矩阵形式
用Bf 表示的KVL方程的矩阵形式为：B f u 0
若
u
ut ul
则 Bf u Bt
1l
ut ul