高考数学二轮复习 不等式选讲

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 不等式选讲

1．(2014·广东高考)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．

【解析】 思路一：利用数轴对x 进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式．思路二：借助数轴，利用绝对值的几何意义求解．

方法一：要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分．当x <－2时，不等式等价于－(x 1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．

方法二：|x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．

【答案】 {x |x ≤－3或x ≥2}

2．(2014·湖南高考)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩

⎨⎧⎭⎬⎫x |－53

【解析】 由|ax －2|<3，解得－1

3

}，

∴a ＝－3. 【答案】 －3

3．(2014·陕西高考)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．

【解析】运用柯西不等式求解．

依据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为 5.

【答案】 5

4．(2014·江苏高考)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.

证明因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥33

xy2>0,1＋x2＋y≥3

3

x2y>0，

故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33

xy2·3

3

x2y＝9xy.

从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为：

1．不等式的性质

①不等式的性质(特别是绝对值三角不等式性质定理)是不等式选讲的基础，主要考查学生的逻辑推理能力．

②在高考中主要以填空题或选择题的形式出现，难度中等．

2．绝对值不等式的解法

①此考向主要考查形如|x|＜a或|x|＞a及|x－a|±|x－b|＜c或|x－a|±|x－b|＞c的不等式的解法，考查已知不等式的解集求参数的值或范围，考查绝对值的几何意义及零点分析法的应用．

②试题多以填空题或解答题的形式出现，考查学生分析问题的能力以及运算能力，难度中等．预测2014年会保持相对稳定，形式会可能更加灵活．

3．不等式的证明

①此类问题涉及到的知识点多，综合性很强，方法比较灵活，常与函数的值域问题相结合，考查比较法、综合法等在证明不等式中的应用．

②试题多以解答题形式出现，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力以及逻辑推理

能力.

不等式的性质

【例1】 (1)若|x －a |＜h ，|y －a |＜h ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．|x －y |＜h B ．|x －y |＜2h C ．|x －y |＞h D ．|x －y |＞2h

(2)已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b |

|a ＋b |

，则m ，n 之间的大小关系是( )

A ．m ＞n

B ．m ＜n

C ．m ＝n

D ．m ≤n

【解析】 (1)|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |＜h ＋h ＝2h .故选B. (2)∵|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，

∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a －b ||a －b |＝1，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1，∴m ≤1≤n .

【答案】 (1)B (2)D

【规律方法】 两数(式)和与差的绝对值不等式的性质：

(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．

(2)该定理可以强化为：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于比较含绝对值不等式的式子的大小或证明含绝对值的不等式．

[创新预测]

1．(1)已知x 2a 2＋y 2b

2＝1(a >b >0)，设A ＝a 2＋b 2，B ＝(x ＋y )2

，则A ，B 间的大小关系是( )

A ．A <

B B ．A >B

C ．A ≤B

D ．A ≥B

(2)(2014·辽宁高考)已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；

②对所有x ，y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<1

2

|x －y |.

若对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|

【解析】 (1)A ＝a 2

＋b 2

＝1·(a 2

＋b 2

)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2＋y 2

b 2(a 2＋b 2)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x a

·a ＋y b ·b 2＝(x ＋y )2

＝B .

故选D.

(2)不妨令0≤y

2

时，

|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；当1

2

|f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<1

2

|x －

1|＋12|y －0|＝12(1－x )＋12y ＝12＋12(y －x )<14

.

综上，|f (x )－f (y )|<14，所以k ≥1

4

.故选B.

【答案】 (1)D (2)B

绝对值不等式的解法

【例2】 (2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；

(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝2时，

f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－2x ＋6，x ≤2，2，2

2x －6，x ≥4.

当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；

当2

当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－2a ，x ≤0，4x －2a ，0

2a ，x ≥a .

由|h (x )|≤2，解得

a －1

2≤x ≤

a ＋1

2

.

又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}．

所以⎩⎪⎨⎪⎧

a －12＝1，a ＋1

2＝2，

于是a ＝3.

【规律方法】 1.绝对值不等式的求解方法： (1)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法

①c ＞0，则|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的取值求解即可．

②c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . (2)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法． 解决此类含绝对值的不等式的一般步骤为：

①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根．