里程碑上的数字
里程碑上的数字[上学期]--北师大版-
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多数成功的投资人每年亏损的次亏损的头寸最小化。 多数投资人总是在不同的场合下会有这样的体验，”我怎么这么倒霉！”我也有过。那些声称自己从未在现货投资市场上失手过，或说在任何一次交易从未有过”亏欠”的投资人要么在撒谎，要么从未接触过现货投资市场。 当一个投资人在现货投资市场上连连亏损，盈利的希望已日渐渺茫的时候，该怎么办呢？以下是我经年在现货投资市场同优秀的投资人交往过程中总结出来的一些经验之谈供大家借鉴： 切勿过量交易。如果你同时交易几个品种，而亏损连连，何妨缩短战线，集中交易一个或两个品种？这样你就可以紧跟市场，更好地监控你的做单质量了。而且，你的资金也不会飞速流逝。 详细做好交易日记。如果你能做好交易日记，你就可以溯本推源，找出失败和成功的线索，即时做好调整。 假如在减少了交易品种的前提下，你仍是亏损不止，最好是撤身出来稍作休息。整理一下零乱的思路。你或许可以在大脑中来一个”虚拟”市场，借以验证你对市场判断的正误，从而找回你的自信心。如果你在虚拟市场中仍不能把握方向，你最好还是寻求其他投资方法。 如果你在现货投资市场上已经亏损惨重，千万、千万不要孤注一掷，以身家性命开玩笑！不要以为这样你就可以挽回资本或者可以反败为胜。事实上，这样卤莽的行为只能是适得其反！记住，少投资就少冒风险，什么时候时来运转，资金允许你可以扩大投资，你再加码也不迟。在风险遍野，纷繁 场，要明哲保身，”委曲求全”，这是成功投资家的经验之谈。 耐心和节制。我一再宣扬这一点。每次交易你是否遵循投资计划？如果不是，请遵从。每一次做单后，是否根本没有制定出局战略？如果是这样，你的交易计划还不够完善。关于耐心，你是否比较急躁？我和许多优胜的中长线投资人接触过，他们一年只做几次，他们总是在静静地等待时机的出现 完美的时机”。如果你是中长线投资人，你就不必每市必做。只要大势判断准确，手头的头寸顺应了你的判断，就放长线钓大鱼吧。不要让市场牵着鼻子跑。 自信。对自己的投资理念要有信心。如果对自己的投资理念没有信心，问问为什么？假如你的投资方法真的不能奏效，换一种。读读成功者写的书，看看他们是怎么成功的。可是要注意那些所谓的投资秘决，成功妙计，赢钱之类招摇撞骗的书。 勤奋工作。如果你不能苦心研究市场，别指望在现货投资市场上搛到钱。你对所交易品种的基本面了解多少？即使你的技术分析十分精湛，你仍至少应该对其基本面有一个较好的理解。比如说，在美国农业部公布一些数据之前，尽管玉米的技术图形十分完好，可是聪明的投资人一般不会在公布重 之前轻举妄动。
《里程碑上的数》参考教案
《里程碑上的数》参考教案第一章：数的概念1.1 数字与计数学习数字0到10的读写理解数字在生活中的应用，如购物、计时等1.2 数轴与坐标系学习数轴的基本概念，如原点、正方向、单位长度等了解坐标系的概念，包括直角坐标系和斜坐标系1.3 整数与分数理解整数的概念，包括正整数、负整数和零学习分数的概念，包括真分数和假分数第二章：数的运算2.1 加法与减法学习加法与减法的运算规则进行相关练习题，加深理解2.2 乘法与除法学习乘法与除法的运算规则了解乘除法的优先级规则2.3 运算律与代数表达式学习加法、减法、乘法和除法的运算律学习代数表达式的书写与计算方法第三章：几何图形3.1 基本几何图形学习点、线、面的基本概念学习正方形、长方形、三角形、圆形等常见几何图形的特征3.2 几何图形的面积与体积学习正方形、长方形、三角形等图形的面积计算方法学习立方体、长方体等立体图形的体积计算方法3.3 几何图形的变换学习平移、旋转等几何图形的变换方法进行相关练习题，加深理解第四章：概率与统计4.1 概率的基本概念学习概率的定义，包括必然事件、不可能事件和随机事件学习概率的计算方法，如古典概率和条件概率4.2 统计的基本概念学习数据的收集、整理和表示方法学习平均数、中位数、众数等统计量的计算方法第五章：解决问题与思维策略5.1 问题的定义与分析学习如何明确问题的定义，包括问题陈述和问题目标学习如何分析问题的条件和限制5.2 思维策略与解题方法学习常见的思维策略，如分类讨论、画图辅助等学习解题的基本方法，如代数法、试错法等第六章：函数与方程6.1 函数的基本概念学习函数的定义，包括自变量和因变量理解函数的图像和性质，如单调性、奇偶性等6.2 线性函数与一次方程学习线性函数的定义和图像，包括斜率和截距学习一次方程的解法，如加减法、乘除法等6.3 比例函数与反比例函数学习比例函数和反比例函数的定义和图像理解比例和反比例关系在实际生活中的应用第七章：代数与方程7.1 代数表达式与简化学习代数表达式的书写和运算规则学习如何简化代数表达式，如合并同类项、因式分解等7.2 一元一次方程与不等式学习一元一次方程的解法和应用学习一元一次不等式的解法和性质，如大小比较、解集表示等7.3 二元一次方程与不等式学习二元一次方程的解法和应用学习二元一次不等式的解法和性质，如图像表示、解集表示等第八章：测量与数据处理8.1 长度的测量学习长度的单位，如米、厘米、英寸等学习如何使用尺子、卷尺等工具进行长度测量8.2 面积的测量学习面积的单位，如平方米、平方厘米等学习如何使用网格、模板等工具进行面积测量8.3 数据的收集与处理学习如何设计调查问卷、收集数据学习如何整理和分析数据，如制作统计表、绘制图表等第九章：逻辑推理与证明9.1 逻辑推理的基本规则学习演绎推理和归纳推理的基本规则学习如何应用逻辑推理解决数学问题9.2 数学证明的基本方法学习直接证明、反证法、归纳法等证明方法学习如何写出一篇完整的数学证明9.3 数学证明的应用学习如何运用数学证明解决实际问题进行相关练习题，加深对数学证明的理解第十章：数学思维与创新10.1 数学思维的培养学习如何培养数学思维，如逻辑思维、创新思维等学习如何应用数学思维解决实际问题10.2 数学创新与探究学习如何进行数学创新，如提出新问题、解决问题等学习如何进行数学探究，如设计实验、分析结果等10.3 数学思维与创新能力的发展学习如何不断提高数学思维和创新能力鼓励学生参与数学竞赛、研究项目等活动，培养数学素养和创新能力重点和难点解析1. 数的概念：理解数字在生活中的应用是重点，需要通过实际案例让学生感受数字的重要性。
里程碑上道路编码以县规划编码为准
里程碑上道路编码以县规划编码为准普通公路国道普通公路的国道道路编号为G+3位数字，其中G是“国”的拼音首字母简称，道路编号牌为红底白字。
第一位数字为1是从首都北京出发的；第一位数字为2是南北走向的道路；第一位数字为3是东西走向的道路；第一位数字为5是联络线。
G1+2位数字（12条）G101北京-沈阳（途径北京、河北、辽宁，总计869公里）G102北京-哈尔滨（途径北京、河北、天津、辽宁、吉林、黑龙江，共计1317公里）G103北京-塘沽（途径北京、河北、天津，共计166公里）G104北京-福州（途径北京、河北、天津、山东、江苏、安徽、浙江、福建，共计2280公里）G105北京-珠海（途径北京、河北、天津、山东、河南、安徽、湖北、江西、广东，共计 2717公里）G106北京-广州（途径北京、河北、河南、湖北、湖南、广东，共计2422公里）G107北京-深圳（途径北京、河北、河南、湖北、湖南、广东，共计2520公里）G108北京-昆明（途径北京、河北、山西、陕西、四川、云南，共计3228公里）G109北京-拉萨（途径北京、河北、山西、内蒙古、宁夏、甘肃、青海、西藏，共计3846公里）G110北京-银川（途径北京、河北、内蒙古、宁夏，共计1231公里）G111北京-加格达奇（途径北京、河北、内蒙古、黑龙江，共计1827公里，另有复线 490公里）G112北京-北京（环线，途径北京、天津、河北，共计1024公里）G2+2位数字（47条）G201鹤岗-大连（途径黑龙江、吉林、辽宁，共计1762公里）G202黑河-旅顺（途径黑龙江、吉林、辽宁，共计1726公里）G203明水-沈阳（途径黑龙江、吉林、辽宁，共计710公里）G204烟台-上海（途径山东、江苏、上海，共计967公里）G205山海关-深圳（途径河北、天津、山东、江苏、安徽、浙江、福建、广东，共计 2891公里）G206烟台-汕头（途径山东、江苏、安徽、江西、广东，共计2339公里）G207锡林浩特-海安（途径内蒙古、河北、山西、河南、湖北、湖南、广西、广东，共计3738公里）G208二连浩特-长治（途径内蒙古、山西，共计751公里）G209呼和浩特-北海（途径内蒙古、山西、河南、湖北、湖南、广西，共计3346公里）G210包头-南宁（途径内蒙古、陕西、四川、重庆、贵州、广西，共计3011公里）G211银川-西安（途径宁夏、甘肃、陕西，共计629公里）G212兰州-重庆（途径甘肃、四川、重庆，共计1257公里）G213兰州-磨憨（途径甘肃、四川、云南，共计2286公里）G214西宁-景洪（途径青海、西藏、云南，共计3182公里）G215红柳园-格尔木（途径甘肃、青海，共计656公里）G216阿勒泰-巴仑台（在新疆，共计864公里）G217阿勒泰-库车（在新疆，共计1089公里）G218清水河-若羌（在新疆，共计1123公里）G219叶城-拉孜（途径新疆、西藏，共计2178公里）G220东营-郑州（途径山东、河南，共计571公里）G221哈尔滨-同江（在黑龙江，共计486公里）G222哈尔滨-伊春（在黑龙江，共计327公里）G223海口-榆林（东线，在海南，共计319公里）G224海口-榆林（中线，在海南，共计296公里）G225海口-榆林（西线，在海南，共计426公里）G227西宁-张掖（途径青海、甘肃，共计338公里）G232牙克石-四平（途径内蒙古、黑龙江、吉林，共计916公里）（规划：G228丹东-东兴 G229饶河-盖州 G230通化-武汉 G231嫩江-双辽 G233克什克腾-黄山 G234兴隆-阳江 G235新沂-海丰G236芜湖-汕尾 G237济宁-宁德 G238南昌-惠来 G239正蓝旗-阳泉G240保定-台山 G241呼和浩特-北海 G242甘其毛都-钦州 G243开县-凭祥 G244乌海-江津 G245巴中-金平 G246遂宁-麻栗坡 G247景泰-昭通 G248兰州-马关，取消：G226楚雄-墨江）G3+2位数字（60条）G301绥芬河-满洲里（途径黑龙江、内蒙古，共计1303公里）G302珲春-乌兰浩特（途径吉林、内蒙古，共计1007公里）G303集安-锡林浩特（途径吉林、辽宁、内蒙古，共计1215公里）G304丹东-霍林河（途径辽宁、内蒙古，共计813公里）G305庄河-林东（途径辽宁、内蒙古，共计676公里）G306绥中-克什克滕（途径辽宁、内蒙古，共计507公里）G307黄骅-银川（途径河北、山东、山西、陕西、宁夏，共计1274公里）G308青岛-石家庄（途径山东、河北，共计320公里）G309容成-兰州（途径山东、河北、山西、陕西、宁夏、甘肃，共计2198公里）G310连云港-天水（途径江苏、山东、安徽、河南、陕西、甘肃，共计1222公里）G311徐州-西峡（途径江苏、安徽、河南，共计710公里）G312上海-霍尔果斯（途径上海、江苏、安徽、河南、湖北、陕西、甘肃、宁夏、新疆，共计4451公里）G314乌鲁木齐-红其拉姆（在新疆，共计1733公里）G315西宁-喀什（途径青海、新疆，共计2921公里）G316福州-兰州（途径福建、江西、湖北、陕西、甘肃，共计2268公里）G317成都-那曲（途径四川、西藏，共计1827公里）G318上海-聂拉木（途径上海、江苏、浙江、安徽、湖北、重庆、四川、西藏，共计 5476公里）G319厦门-成都（途径福建、江西、湖南、重庆、四川，共计2453公里）G320上海-瑞丽（途径上海、浙江、江西、湖南、贵州、云南，共计2217公里）G321广州-成都（途径广东、广西、贵州、四川，共计1612公里）G322衡阳-友谊关（途径湖南、广西，共计880公里）G323瑞金-临沧（途径江西、广东、广西、云南，共计1863公里）G324福州-昆明（途径福建、广东、广西、贵州、云南，共计2181公里）G325广州-南宁（途径广东、广西，共计769公里）G326秀山-河口（途径重庆、贵州、云南，共计1054公里）G327连云港-菏泽（途径江苏、山东，共计407公里）G328南京-南通（在江苏，共计197公里）G329杭州-沈家门（在浙江，共计206公里）G330温州-昌寿（在浙江，共计361公里）（规划：G331丹东-阿勒泰 G332萝北-额布都格 G333三合-莫力达瓦旗 G334龙井-东乌珠穆沁旗 G335承德-塔城 G336天津-神木G337黄骅-榆林 G338海兴-天峻 G339滨州港-榆林 G340东营港-子长 G341胶南-海晏 G342日照-凤县 G343大丰-卢氏 G344东台-灵武G345启东-那曲 G346上海-安康 G347南京-德令哈 G348武汉-大理G349察雅-萨嘎 G350利川-炉霍 G351台州-小金 G352张家界-巧家G353宁德-福贡 G354南昌-兴义 G355福州-巴马 G356湄洲-西昌G357东山-泸水 G358石狮-水口 G359佛山-富宁 G360文昌-临高G361陵水-昌江，取消：G313瓜州-若羌）G5+2位数字（81条）（规划：G501集贤-当壁 G502克东-齐齐哈尔 G503五常-通榆G504抚松-公主岭 G505开原-奈曼旗 G506集安-本溪 G507长海-长兴岛 G508赤峰-曹妃甸 G509京唐港-通州 G510围场-察哈尔右翼后旗 G511苏尼特右旗-张北 G512万全-达拉特旗 G513临邑-德州G514齐河-邯郸 G515定州-浚县 G516沾化-青州 G517长岛-莱西G518日照-定陶 G519榆社-潞城 G520临汾-延安 G521运城-潼关G522垣曲-潼关 G523泰州-丹阳 G524常熟-海宁 G525平湖-杭州G526嵊泗连接线 G527象山-义乌 G528龙游-广昌 G529金寨-岳西G530黄山-湖口 G531都昌连接线 G532九江-德安 G533樟树-分宜G534福清-长汀 G535定南-宜章 G536桃江-溆浦 G537宁远-连州G538江永-钟山 G539揭东-南澳 G540毛阳-九所 G541石泉-巫溪G542广元-万州 G543青川-平武 G544九寨沟-川主寺 G545茂县-德阳 G546纳溪-习水 G547宜宾-兴文 G548班玛-色达 G549石棉-得荣G550越西-冕宁 G551镇远-福泉 G552荔波-安龙 G553蒙自-元江G554永胜-祥云 G555施甸连接线 G556镇安-瑞丽 G557贡觉连接线G558比如-边坝 G559察隅-墨脱 G560米林-错那 G561当雄-拉萨G562班戈-亚东 G563萨迦连接线 G564普兰连接线 G565札达连接线G566西吉-天水 G567礼县-康县 G568兰州-碌曲 G569曼徳拉-大通G570永昌连接线 G571肃北连接线 G572贵南-乌兰 G573泽库-兴海G574称多连接线 G575老爷庙-哈密 G576北屯-石河子 G577精河-昭苏 G578新源-尼勒克 G579拜城连接线 G580阿克苏-康西瓦 G581喀什-伊尔克什坦）省道普通公路的省道道路编号为S+3位数字，其中S是“省”的拼音首字母简称，道路编号牌为黄底黑字。
北师大版初中数学八年级(上)备课资料5-5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
5应用二元一次方程组——里程碑上的数典型例题题型一列二元一次方程组解决数字问题例1有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.分析：如果一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，这个两位数就表示为10a+b；如果一个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，这个三位数就表示为100a+10b+c.本题中的相等关系：①个位上的数字-十位上的数字＝5，②原数+新数＝143.解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y，则原数为10y+x，把这两个数字的位置对换后，所得的新数为10x+y.根据题意，得5, 1010143, x yy x x y-=⎧⎨+++=⎩解得9,4. xy=⎧⎨=⎩所以这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49.答：这个两位数为49.点拨：利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的各数位上的数字，再利用数的表示方法表示出这个数.例2有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45，又知百位数字的9倍比十位和个位数字组成的两位数小3，求原三位数.分析：根据两个条件，可知不必设成三个未知数，只需把它看成一个百位数字x和一个由十位与个位数字组成的两位数y，则这个三位数就可看成100x+y；若将最左边的数字移到最右边，则x就变成了个位数字，y就扩大了10倍，新三位数可表示为10y+x.因此相等关系为：(1)百位数字×9＝由十位与个位数字组成的两位数-3；(2)新三位数＝原三位数-45.解：设原三位数的百位数字为x，由十位与个位数字组成的两位数为y.根据题意，得93, 1010045, x yy x x y=-⎧⎨+=+-⎩解得4,39.xy=⎧⎨=⎩则4×100+39＝439.答：原三位数为439.点拨：此题通过灵活选设未知数，将一个三元问题转化成了二元问题.题型二列二元一次方程组解决行程问题例3某中学新建的塑胶操场环形跑道一圈长400 m，甲、乙两名同学从同一起点同时出发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求甲、乙两名同学的速度.分析：在环形跑道上，同时同地出发，相背而跑，为相遇问题，首次相遇时，相等关系为：甲跑的路程+乙跑的路程＝跑道一圈的长；若从同一地点同时同向而跑，甲首次追上乙为追及问题，相等关系为：甲跑的路程-乙跑的路程＝跑道一圈的长.解：设甲同学的速度为x m/s，乙同学的速度为y m/s.根据题意，得()40400, 200200400, x yx y+⨯=⎧⎨-=⎩整理，得10,2,x yx y+=⎧⎨-=⎩解得6,4.xy=⎧⎨=⎩答：甲同学的速度为6 m/s，乙同学的速度为4 m/s.点拨：相遇问题中，(甲速+乙速)×时间＝总路程；追及问题中，(甲速-乙速)×时间＝甲、乙相距的路程.例4甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地出发，相向而行，43h 相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h 后调转车头原速返回，在汽车再次出发12h 时追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 分析：画直线型示意图理解题意(如图1所示).图1这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程.有两个相等关系：(1)相向而行：汽车43h 行驶的路程+拖拉机43h 行驶的路程＝160 km ； (2)同向而行：汽车12h 行驶的路程＝拖拉机112⎛⎫+ ⎪⎝⎭h 行驶的路程. 解：设汽车每小时行驶x km ，拖拉机每小时行驶y km. 根据题意，得4()160,3111,22x y x y ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得90,30.x y =⎧⎨=⎩ 90×4132⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝165(km)，30×4332⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝85(km). 答：汽车行驶了165 km ，拖拉机行驶了85 km.题型三 列二元一次方程组解决航速问题例5 一轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h ，从乙地到甲地逆流航行需6 h ，那么一木筏从甲地漂流到乙地需多长时间？分析：对于航速问题，主要有如下两个公式：①顺速＝静速+水(风)速；②逆速＝静速-水(风)速.显然本题中所求的木筏由甲地漂流到乙地所需的时间，实际上就是水从甲地流到乙地需要的时间，木筏漂流的速度就是水流的速度，如果本题采用直接设法，则难以解决，故选用间接设法，设出轮船在静水中的速度和水流速度，为了解题更简单，可增设一个未知数，即甲、乙两地间的路程.解：设轮船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，甲、乙两地间的路程为a km.根据题意，得4(),6(),x y a x y a +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得x ＝5y .把x ＝5y 代入①，得a ＝4×(5y +y )＝24y . 所以木筏从甲地漂流到乙地所需时间为a y ＝24y y＝24(h). 答：木筏从甲地漂流到乙地需24 h.点拨：本题中有三个未知数，但是却只有两个方程，所以在解题后是得不到具体数据的，不过我们可以把其中的一个未知数看作一个常数，如上面的y ，其他的未知数就可以用这个未知数来表示.a 的参与增加了方程组的可理解性，更能提供操作的可能性，便于解题.题型四列二元一次方程组解决年龄问题例6一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了.”请求出老师、学生今年的年龄.分析：本题的相等关系：①老师的年龄-学生的年龄＝相差年龄(学生今年年龄)；②增长的年龄+老师的年龄＝36.解：设老师今年x岁，学生今年y岁.根据题意，得,36,x y yx y x-=⎧⎨-+=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩答：老师今年24岁，学生今年12岁.注意：人与人的年龄是同时增长的，所以老师与学生的年龄差是不变的.题型四开放拓展题例7如图2所示，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.图2(1)在图①中，各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请求出x，y的值.(2)把满足(1)的其他6个数填入图2②中的方格中.分析：依题意可知图2①中有两个等式：2x+3+2＝2+(-3)+4y，2x+3+2＝2x+y+4y，由此可以列出二元一次方程组求解.解：(1)由已知条件可列出方程组2322(3)4, 23224,x yx x y y++=+-+⎧⎨++=++⎩整理，得2343,55,x yy+=-⎧⎨=⎩解得1,1.xy=-⎧⎨=⎩(2)由(1)可得如图3所示的方格.图3说明：本题列方程组时有不同的列法，具有一定的开放性，虽然所列的方程组可能不同，但结果是一样的.拓展资源经典有趣的行程问题1甲、乙两人分别从相距100 米的A、B两地出发，相向而行，其中甲的速度是2米/秒，乙的速度是3 米/秒.一只狗从A地出发，先以6米/秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇.问在此过程中狗一共跑了多少米？这可以说是最经典的行程问题了.不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要20 秒，在这20 秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程就是120 米.2假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去.你看见一辆空车远远地从甲地驶来，而此时整条路上并没有别人与你争抢空车.我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定不变的，并且车速大于人速.为了更快地到达目的地，你应该迎着车走过去，还是顺着车的方向往前走一点？在各种人多的场合下提出这个问题，此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派，并且各有各的道理.有人说，由于车速大于人速，我应该尽可能早地上车，充分利用汽车的速度优势，因此应该迎着空车走上去，提前与车相遇.另一派人则说，为了尽早到达目的地，我应该充分利用时间，马不停蹄地赶往目的地.因此，我应该自己先朝目的地走一段路，再让出租车载我走完剩下的路程.其实答案出人意料的简单，两种方案花费的时间显然是一样的.只要站在出租车的角度上想一想，问题就变得很显然了：不管人在哪儿上车，出租车反正都要驶完甲地到乙地的全部路程，因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间，加上途中接人上车可能耽误的时间.从省事儿的角度来讲，站在原地不动是最好的方案！不过不少人都找到了这个题的一个缺陷，那就是在某些极端情况下，顺着车的方向往前走可能会更好一些，因为你或许会直接走到终点，而此时出租车根本还没追上你！。
里程碑上的数教学设计新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校第七章二元一次方程组５．里程碑上的数成都树德实验中学王鸿英、吴静一、学生起点分析学生在本章前几节已经学习了二元一次方程组的解法，通过学习了“鸡兔同笼”、“增收节支”两节应用问题，学生已经初步体会到列方程组解决实际问题的一般步骤，学生已初步具有一定的数学应用能力．二、教学任务分析本节课的教学内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第七章《二元一次方程组》第5节．在前两节的基础上，进一步让学生体会列方程组解决实际问题的一般步骤.“里程碑上的数”既是一个数字问题，又是行程问题，有一定的难度.为此，教材通过填空的形式将问题进行了分解.教学时，应鼓励学生将有难度的问题分解转化几个小问题，从而逐步找出解决问题的关键所在：找等量关系.学会用方程（组）刻画现实世界，进一步培养学生的数学应用能力．三、教学目标分析●知识与技能目标用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤．●过程与方法目标1．通过设置问题串，让学生体会分析复杂问题的思考方法．2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．●情感与态度目标在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，体验成功感，同时培养学生克服困难的意志和勇气，树立自信心，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．四、教学过程设计本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习提问；第二环节：情境引入；第三环节：合作学习；第四环节：巩固练习；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业．第一环节：复习提问内容：填空：（1）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为．（2）一个两位数，个位上的数为x，十位上的数为y，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为．（3）有两个两位数a和b，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为．意图：通过以上三个问题，让学生学会已知一个数各位上的数字，如何用代数式表示这个数的方法，为后面的学习打下基础．效果：由于三个问题由浅入深，学生容易回答，从而激发兴趣进入新课．第二环节：情境引入内容：小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？意图：1．创设问题情境，激发学生的学习兴趣．2．让学生体会将一个复杂问题化为几个简单问题的思维方法．效果：把这个复杂的数字、行程问题，分解成几个简单的问题串，学生通过对这几个问题的分析，使解题思路清晰，从而顺利地解决这个较复杂问题．第三环节：合作学习内容：例1两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；十位与个位数字与12:00时所看到的正好颠倒了 比12:00时看到的两位数中间多了个0．如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么（1）12：00时小明看到的数可表示为 ，根据两个数字和是7，可列出方程 ；（2）13：00时小明看到的数可表示为 ，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是 ；（3）14：00时小明看到的数可表示为 ，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是 ；（4）12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？是一个两位数字，它的两个数字之和为7．在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．学生先独立思考例1，在此基础上，教师根据学生思考情况组织交流与讨论．意图：1．让学生再次经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力．2．培养学生独立思考的能力和与人合作的意识．效果：学生进一步学习数字问题的解决办法，体会列方程组解应用问题的方法．并在交流中体验到合作学习的乐趣．第四环节：巩固练习内容：练习1．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？2．一个两位数是另一个两位数的3倍，如果把这个两位数放在另一个两位数的左边与放在右边所得的数之和为8484．求这个两位数．意图：进一步巩固本课知识与方法．效果：学生通过练习检验自己对本节知识的掌握情况．第五环节：课堂小结内容：1．教师提问：本节课我们学习了那些内容，对这些内容你有什么体会和想法？请与同伴交流．2．师生互相交流总结出列方程（组）解决实际问题的一般步骤．意图：通过交流与总结，培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.效果：学生积极大胆发言，增进了师生、生生之间的交流互动，并在这种氛围下，回顾总结了本节课的知识与方法．第六环节：布置作业内容：习题7.6 问题解决：第2，3，4题.意图和效果：学生进一步加深对本课知识的理解和掌握．五、教学设计反思（1）设计理念“学生是学习的主体”，本节课教师以导为主，学生对教师提出的各种问题，灵活采用独立思考、自主探索，或与同伴进行合作交流等方式进行学习．这种学习方式既培养了学生独立思考的习惯和能力，又培养了学生与人合作的能力和意识．（2）突出重点、突破难点的策略本节课，教师由浅入深层层设问，将复杂问题分解为几个简单问题．学生通过独立思考和合作学习，在和谐的氛围中学习并掌握了数字问题的解决方法，进一步总结出列方程组解应用问题的步骤和方法．（3）分层教学根据本班学生实际情况可在教学过程中选择下述内容补充或拓展.基础训练1．一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数字与十位上的数字和比个位数字大3，若把百位上的数字与个位数字对调，得到的新数比原来数小198，则原数为（）．（A）971（B）917（C）719（D）7912．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数.设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得方程组，这个两位数是.提高训练3．某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒，求火车的长度和速度．4．有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写上小的数，得到一个五位数;在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590．此外，二倍大数与三倍小数的和是72．求这两个两位数．知识拓展5．一个正整数，分别加上100与168，可得到两个完全平方数，求这个正整数． 意图：由于学生在知识和能力上有一定的差异，为了满足不同学生的需求，教师可根据实际教学情况，适当选择上述题目让学生达到知识巩固、能力迁移、思维拓展的目的.既可作为课堂补充内容，也可留作课后练习.效果：让不同层次的学生获得对数学的不同需求.参考答案：1．B.2．⎩⎨⎧+=++=+;104510,7x y y x y x 16． 3．火车长为200m ，速度为20m/s.4．这两个两位数分别为21和10.5．156．（4）评价方式根据新课标的评价理念，教师既要关注学生学习的结果，又要关注他们学习的过程，还要关注学生数学学习的水平和学生在数学活动中所表现出来的情感与态度．在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值.。
北师大版八年级数学上册里程碑上的数说课课件
活动四：学以致用，巩固提高
1. 一个两位数,数字之和为8,个位数字与十位数字互换后所成的新数比原数小18,则原数为 ( )
A. 26
B. 62
C. 53
D. 35
（二）处理引例问题的设计思路
本题的重点是：找出相等关系，列出方程组 本题的难点是： 1.通过审题，找出汽车在三个时间段匀速行驶的相等关系； 2.根据里程碑上的数字变化，表示出汽车行驶的路程。 （这一点 在课前热身已经突破）
突破以上难点具体做法是：如何找出汽车在匀速行驶过程中 的相等关系，教材中只给出了“从路程相等上找相等关系”的思 路，但是对于引例而言，不仅仅可以从路程相等找相等关系，还 可以从速度相等或里程碑上的数字和行驶路程的关系来找相等关 系，根据八年级的特点，我的设计是，不给暗示，不把学生的思 维限制在教材预定的程序中，而是给足够的空间，让他们小组讨 论，并及时作出中肯的评价，让他们在交流过程中获得信息。这 种设计使学生经历了自主探索解决问题的全过程，使难点层层得 以突破，顺利完成引例的教学目标。
2. 已知一个三位数,个位上的数字为x,十位上的数字为y,百位上的数字为z,则这个三位数可表示
为( )
A. xyz
B. x+y+z
C. 100x+10y+z D. 100z+10y+x
3. 已知一个两位数,如果把这个两位数的个数数字与十位数字对调,则所得的两位数比原两位数小9,
设原两位数的十位数字为x,个位数字为y,则可得到方程正确的是 ( )
➢评价反思
✓教材学情 ➢教法学法 ➢教学程序 ➢评价反思
应用二元一次方程组——里程碑上的数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练
专题5.20应用二元一次方程组——里程碑上的数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】里程碑上的数字问题两位数：十位数字×10+个位数字.三位数：百位数字×100+十位数字×10+个位数字.四位数：千位数字+百位数字×100+十位数字×10+个位数字.......例如：如果一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数可表示为10y+x，而不可表示为yx，因为yx表示y乘x，应注意区别.特别提醒：1.在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百位上的数字乘100，千位上的数字乘1000.2.若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序和前面的数扩大的倍数与后面的数的数位的关系.【考点目录】【考点1】数字问题；【考点2】几何问题；【考点3】图表信息题；【考点4】开放问题；【考点5】其他问题.【考点一】数字问题【例1】（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？（2）第一次，他们拼出的两位数是多少？【答案】（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5；（2）第一次他们拼成的两位数为45．【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x 、y ．根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）的结果即可求解．（1）解：设他们取出的两个数字分别为x 、y ．第一次拼成的两位数为10x y +，第二次拼成的两位数为10y x +．根据题意得：910910x y y x x y +=⎧⎨+-=+⎩①②，由②，得：1y x -=③，+①③得：5y =．把5y =代入①得：4x =，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022下·重庆江津·七年级校联考阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x ，乙数为y ．则得方程组（）A ．1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩B ．1001511001001089x y x y x x y +=⎧⎨+=++⎩C ．1001001089100151x y x y y x y +=++⎧⎨+=⎩D ．1001001089100151x y x y y x y +=+-⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，列出二元一次方程组即可求解．解：设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，得方程组1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩，故选A ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．【变式2】（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP ，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了．．．．．．．．．．．586步，则出门时看到的步数是．【答案】26【分析】设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据从出门到小区门口共走了586步，可列出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为一位正整数，即可得出x ，y 的值，再将其代入()10x y +中，即可求出结论．解：设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意得：()1001010586y x x y ++-+=，∴1164y x =+.又∵x ,y 均为一位正整数，∴2 6x y =⎧⎨=⎩，∴10102626x y +=⨯+=，即出门时看到的步数是26．故答案为：26．【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．【考点二】几何问题【例2】（2023上·四川内江·八年级威远中学校校考期中）（1）一个正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ，求原正方形的边长；（2）已知一个长方形，若它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变．求这个长方形的面积．【答案】（1）12cm ；（2）224cm 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用：（1）设原正方形的边长为cm x ，根据“正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ”，列出方程，即可求解；（2）设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，根据“它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变”，列出方程组，即可求解．（1）解：设原正方形的边长为cm x ，()22381x x +-=，解得12x =．答：原正方形的边长为12cm ；（2）解：设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，依题意，得()()()()4121x y xy x y xy ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得：4422x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得：83x y =⎧⎨=⎩，所以这个长方形的面积23824cm S xy ==⨯=．答：这个长方形的面积是224cm ．【举一反三】【变式1】（2021上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，周长为34的大长方形ABCD 被分成7个全等的小长方形，则每个小长方形的面积为（）A ．10B ．14C ．20D ．30【答案】A 【分析】本题中的两个等量关系是：长方形长的四倍与宽的七倍之和为34；长的二倍等于宽的五倍，据此建立二元一次方程组求解即可．解：设长方形的长为x ，宽为y ，根据题意，得：473425x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩，∴5210xy =⨯=，∴每个小长方形的面积为10．故选：A ．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．【变式2】（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD 的面积是2cm ．【答案】560【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为x 、y ，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积．解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．解：设小长方形的长、宽分别为cm cm x y ，，依题意得212328x y y x y +-=⎧⎨+=⎩，解之得164x y =⎧⎨=⎩，∴小长方形的长、宽分别为16cm 4cm ，，∴12220cm,28cm AB y BC =+==，∴大长方形ABCD 的面积22028560cm AB BC =⋅=⨯=，【考点三】图表信息问题【例3】（2022上·陕西西安·八年级统考期末）张老师在某文体店购买商品A 、B 若干次（每次A 、B 两种商品都购买，且A 、B 都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A 、B 的数量和费用如表所示：购买商品A 的数量/个购买商品B 的数量/个购买总费用/元第一次购物65980第二次购物37940（1）求商品A 、B 的标价；（2）若张老师第三次购物时，商品A 、B 同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？【答案】（1）商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个；（2）张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B【分析】（1）设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可；（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案．（1）解：设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据题意得：6598037940x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：80100x x =⎧⎨=⎩．答：商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个．（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据题意得：800.61000.6960m n ⨯+⨯=，∴5204m n =-．当4n =时，15m =；当8n =时，10m =；当12n =时，5m =．答：张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B ．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（）A ．10gB ．20gC ．25gD ．30g【答案】B 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量50=克．根据这两个等量关系式可列一个方程组，进行求解即可．解：设每块巧克力的重量为x 克，每块果冻的重量为y 克．由题意列方程组得：3250x y x y =⎧⎨+=⎩，解方程组得：2030x y =⎧⎨=⎩．即：每块巧克力的质量是20克．故选：B ．【点拨】题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程组是关键．【变式2】（2023下·浙江湖州·七年级统考期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在33⨯（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则a b +=．【答案】6-【分析】根据三阶幻方中的数字列方程组求解即可．解：由题意知，322224a a b +=-⎧⎨-=+-⎩，解得33a b =-⎧⎨=-⎩，∴336a b +=--=-，故答案为：6-．【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键．【考点四】开放问题【例4】（2017下·江苏南通·七年级校考期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一），答案：6.5吨.【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一）设1辆大车一次运货x 吨，1辆小车一次运货y 吨．根据题意,得3422{2623x y x y +=+=，解得4{ 2.5x y ==.则x+y=4+2.5=6.5（吨）.答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．【举一反三】【变式1】（2020上·辽宁铁岭·八年级校联考期中）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（）A ．20B ．22C ．23D ．25【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；解：设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，依题意得：32192321x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴解这个方程组为：35x y =⎧⎨=⎩，∴大壮的得分为：432023x y +=+=．故选：C ．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．【变式2】（2018下·七年级单元测试）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23cm ，小红所搭的“小树”的高度为22cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木的高为y cm ，则x =，y =．【答案】45解：根据小强搭的积木的高度=A 的高度×2+B 的高度×3，小红搭的积木的高度=A 的高度×3+B 的高度×2，依两个等量关系列出方程组23233222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩．故答案为：4和5．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．【考点五】其他问题【例5】（2023上·全国·八年级专题练习）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？【答案】（1）每瓶免洗手消毒液价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元；（2）学校选用方案一更节约钱，节约76元．【分析】本题考查二元一次方程组的应用．（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．（1）解：设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a 元、b 元，40901320601201860a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：158a b =⎧⎨=⎩，答：每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；（2）方案一的花费为：()151008600.81584⨯+⨯⨯=（元），方案二的花费为：()15100860100521660⨯+⨯-÷⨯=（元），1660158476-=（元），15841660<，答：学校选用方案一更节约钱，节约76元．【举一反三】【变式1】（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为（）A ．120cmB ．130cmC ．140cmD ．150cm【答案】D 【分析】设1支塑料凳子的高度为 cm x ，每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，根据2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，列出二元一次方程组，解之求出x 、y 的值，即可解决问题．解：设1支塑料凳子的高度为 cm,x 每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，依题意得：60380x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：5010x y =⎧⎨=⎩10501010150x y ∴+=+⨯=，即11支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为150cm ．故选：D ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元．学校准备用160元全部购买A ，B 两种奖品若干个，那么可以购买B 种奖品个．【答案】4或8【分析】设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据“购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元”，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之可得出两种奖品的单价，设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，利用总价=单价×数量，可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为正整数，即可得出n 的值．解：设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据题意得：2410052130x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2015x y =⎧⎨=⎩，∴A 种奖品的单价为20元，B 种奖品的单价为15元．设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，根据题意得：2015160m n +=，∴384m n =-，∵m ，n 均为正整数，∴54m n =⎧⎨=⎩或28m n =⎧⎨=⎩，∴可以购买B种奖品4或8个．故答案为：4或8．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．。
里程碑上的数字[上学期]--北师大版-(新编教材)
![里程碑上的数字[上学期]--北师大版-(新编教材)](https://img.taocdn.com/s3/m/89b035e8f121dd36a32d82e9.png)
③9:00时，李刚看到的数可以表示为 8(10x+y) ；
④根据(1)中的相等关系可得方程组为{
。
2(10y x) 9(10x y)
x y 9
§7.5里程碑上的数
自主学习
1、一个两位数的十位数字与个位数字的和为 7，如果将十位数与个位数字对调后，所得的 数比原数小27，求原来的两位数。
解：设原来两位数的个位数字为x，十位数字为y， 根据题意，得
x y 7
10x y 27 10y x
x 5 y 2
答：原来的两位数为52。
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§7.5里程碑上的数
快速反应
1、如果一个三位数百位上的数字为x，十位 上的数字为y，个位上的数字为z，那么这个三 位数可表示为__1_0_0_x_+_1_0_y_+_z____
快速反应
2、李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00
时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字
之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时
优游 ；
长子景早卒 元会特为设床 因统诸军奉迎大驾于长安 豫诛贾谧 贼将匡术以台城来降 中夜闻荒鸡鸣 亮排闼入 至于伯也 为众率先 将斩之 琨在路上表曰 元显弃船退屯国子学堂 乃与荣及陆玩等各解船弃车牛 刘琨承制 皆南金也 进位侍中 与系争军事 可一解禁止 天不违愿 阳翟令 故汉祖指 麾而六合响应 宗
《里程碑上的数》参考教案
《里程碑上的数》参考教案一、教学目标1. 让学生理解里程表上数字的含义，能够正确读取和理解里程表上的数。
2. 培养学生对数学的实际应用能力，提高学生对数学的兴趣。
3. 培养学生观察、思考、交流和合作的能力。
二、教学内容1. 认识里程表：让学生观察里程表，了解里程表上数字的表示方式和含义。
2. 读取里程表上的数：引导学生学会正确读取里程表上的数，理解前后两个里程数之间的关系。
3. 实践操作：让学生亲自操作里程表，记录行驶过程中的里程数变化，培养学生的实际操作能力。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生能够正确读取里程表上的数，理解里程表上数字的含义。
2. 教学难点：理解前后两个里程数之间的关系，能够通过观察里程表上的数进行推理和计算。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生直观地了解里程表的表示方式和含义。
2. 采用实践操作法，让学生亲自动手操作里程表，提高学生的实际操作能力。
3. 采用问题驱动法，引导学生思考和探索里程表上的数字之间的关系。
五、教学准备1. 准备一辆汽车，让学生观察里程表。
2. 准备一些关于里程表的图片或实物模型，用于辅助教学。
3. 准备一些关于里程表的练习题，用于巩固所学知识。
六、教学过程1. 引入新课：通过一辆汽车的里程表引入新课，让学生观察并描述里程表上的数字表示方式和含义。
2. 讲解与演示：讲解里程表上数字的含义，演示如何正确读取里程表上的数。
3. 实践操作：让学生亲自操作里程表，记录行驶过程中的里程数变化。
4. 小组讨论：引导学生思考和探索前后两个里程数之间的关系。
5. 总结与讲解：总结里程表上数字的含义和读取方法，讲解如何通过观察里程表上的数进行推理和计算。
七、课堂练习1. 设计一些关于里程表的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2. 组织一些小组活动，让学生合作完成一些实际问题，培养学生的合作能力。
八、拓展与延伸1. 引导学生思考里程表在实际生活中的应用，例如计算行驶距离、油耗等。
里程碑上的数字
１００ａ＋ｂ
４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放 在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可
表示为：１０００ａ＋ｂ
点拨
• 1、关键在于正确的用代数式表示一个多位数。 • 2、注意数与数字的区别，即怎样用数字表示数。 • 3、求得的解应该小于10的非负整数。 • 4、最高位上的数字不能为0.
小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行 驶，根据动画中的情境，你能确定他在１２：００ 看到的里程碑上的数吗？
化归的方法不仅数学中使用，其他学科也采用．比如 我们要测量炼钢炉中的高温，用普通玻璃水银柱的温度计 无法测量，所以使用热电阻材料，将温度转变为电流，而 电流是可以测量的，所以利用热电转换公式，高温也可以 测量了．这是将测温问题化归为测电问题．
亲爱的同学们，你能用化归的数学思想来解决实际问题 吗？
学习反思：
１２：００ 是一个两位数，它的两个数字之和为７； １３：００ 十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了； １４：００ 比１２：００时看到的两位数中间多了个０．
看课本上的例题
下面我们接着研究数字问题：
两个两位数的和是68，在较大的两位 数的右边接着写较小的两位数，得到一 个四位数，在较大的两位数的左边写上 较小的两位数，也得到一个四位数，已 知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这个两位数.
第五章 二元一次方程组
3. 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数
１．一个两位数的十位数字是x，个位 数字是y，则这个两位数可表示为：
１０x＋Байду номын сангаасy
２．一个三位数，若百位数字为ａ， 十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这 个三位数为：１００ａ＋１０ｂ＋ｃ
３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为 ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个 三位数，则这个三位数可表示为：
北师大版数学八年级上册《应用二元一次方程组——里程碑上的数》课件
总时间
10 15
方法二：间接设元法
平路：60m/min
解：设状状下坡路所花时间为x min， 上坡路所花时间为y min.
根据题意，可列方程组：
60(10 x) 60(15 y) 80x 40 y
解方程组，得
x y
里程碑
理解如何把多位数用代数式表示？
例：523可以写成代数式 5×100 + 2×10 + 3
百十个
百
十个
多位数表示方法 两位数 十位数字×10 + 个位数字 三位数 百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字 四位数 千位数字×1000 + 百位数字×100 + 十位数字×10 + 个位数字
和为7
的正好互换了.
个0.
12:00
13:00
14:00
xy
yx
x0y
相等关系：①12:00看到的数，两个数字之和是7
②路程差相等
x y 7
100x y 10 y x 10 y x 10x y
推进新课
解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位 数字是y，那么根据以上分析，得方程组：
直接设元、间接设元和设辅助未知数
审题
设元
列方程
解方程
检验作答
明确题目中的数量关系 找出等量关系
写出答案
行程问题
路程 = 速度 × 时间
状状从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平 路平均速度 60 m/min，下坡路平均速度 80 m/min，上坡路平均速度 40 m/min，则他从家里到学校需 10 min，从学校到家里需 15 min.问 状状家离学校多远?
《里程碑上的数》参考教案
《里程碑上的数》参考教案一、教学目标：1. 让学生理解里程碑的概念，认识数字在里程碑上的作用。
2. 培养学生观察、思考和解决问题的能力。
3. 培养学生合作学习的精神，提高学生的团队协作能力。
二、教学内容：1. 里程碑的定义及其作用2. 数字在里程碑上的表示方法3. 里程碑上的数与其他数的关系4. 实际问题中的里程碑应用5. 合作探究：设计一条具有里程碑的道路三、教学重点与难点：重点：里程碑的概念、数字在里程碑上的表示方法及应用。
难点：里程碑上的数与其他数的关系，设计具有里程碑的道路。
四、教学方法：1. 情境教学法：通过设置实际情境，让学生理解里程碑的作用。
2. 观察法：引导学生观察里程碑上的数，发现数的关系。
3. 合作学习法：分组讨论，共同设计具有里程碑的道路。
五、教学准备：1. 课件：里程碑的图片、实例等。
2. 学具：纸、笔、剪刀、胶水等。
3. 课堂任务单：用于记录学生思考过程和答案。
1. 导入新课：通过展示实际道路上的里程碑图片，引导学生思考里程碑的作用。
2. 探究学习：讲解里程碑的定义、数字表示方法，并进行实例分析。
3. 实践操作：让学生分组设计具有里程碑的道路，并分析里程碑上的数与其他数的关系。
七、课后作业：1. 绘制自己熟悉的道路，添加里程碑，并注明里程碑上的数。
2. 思考：里程碑在交通、旅游等领域的应用，对人们生活的影响。
八、教学反思：对本节课的教学效果进行反思，分析学生的掌握情况，针对存在的问题进行改进。
九、评价建议：1. 学生对里程碑概念的理解程度。
2. 学生观察、分析里程碑上数的能力。
3. 学生合作学习、解决问题的能力。
十、拓展活动：组织学生进行实地考察，观察道路上的里程碑，了解里程碑在实际交通中的作用。
六、教学评价1. 学生能够理解里程碑的概念，认识数字在里程碑上的作用。
2. 学生能够观察并理解里程碑上的数与其他数的关系。
3. 学生能够在实际问题中运用里程碑的知识，如计算距离、确定位置等。
北师版初二数学7.5里程碑上的数(数字问题)
小明骑摩托车在公路上高速行驶，12:00时看到 里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7； 13:00时看里程碑上的两位数与12:00时看到的个 位数和十位数颠倒了；14:00时看到里程碑上的 数比12:00时看到的两位数中间多了个零，小明 在12:00时看到里程碑上的数字是多少？
4. 某车间每天能生产甲种零件600个，或者乙 种零300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙 三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内 生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、 丙三种零件各应生产几天？
P 作业：一。 205习题7。6
1。小明和小亮做游戏 ，小明在一个加数的 后面多写了上0，得到的和为242；小亮在另一 个加数后面多写了一个 0 ，得到的和 为341。 原来的两个数分别为多少？
见.柏少卿郁闷极了,“你连人家什么底细都没搞清楚就敢帮人家出头？谁跟你说是那个亭飞推の小蕊？你亲眼看见了？”“很明显啊！当时就她俩在,不是她难道真是小蕊自己滑の？那是防滑地板好不好？”柏少贤一脸鄙夷.那就是猜の啰？柏少卿被他气得浑身无力,“你呀！”不知说 什么好,“走,赶紧去向人道歉！”“我呸！凭什么呀？那女人打我の时候全部人都看见,幸亏小爷命大死不了,看我怎么整死她们...”“整你の大头鬼,”柏大哥对准他后脑勺就是一拳,“你伤在哪儿？你有证据吗？你当场硬说她推人大家也看见了,人家正准备告你诬蔑！蠢货,被人当枪 使还傻b.bの自以为英雄,滚！”一路把他踹出门口,恰好白姨等村民过来探望,发现他生龙活虎の身上没了伤痛,顿时放心了.纷纷夸赞亭飞身手好,医者仁心,对冒犯她の人小惩大诫不伤身体.“大姨,那个亭飞...医术很厉害？”柏少卿
应用二元一次方程组——里程碑上的数课件
——里程碑上的数
知识回顾
储蓄问题
程二
组元
的一
应次
用方
增长率
问题
增（减）量
× 100％
基数
增长（降低）的数量=基数×（1±增
长（降低）率）
增长（降低）率：
利润
× 100％
进价
总利润=总销售额﹣总成本=（售价﹣
进价）×销量
利润率：
销售问题
学习目标
1.能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组解决
设他始终保持平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，
上坡路每分钟走 40 m，则他从家里到学校需 10 min，从
学校到家里需 15 min.小华家离学校多远？
等量关系：
路程=平均速度×时间
走平路的时间+走下坡路的时间=10 min；
走上坡路的时间+走平路的时间= 15 min．
直接设元法：
的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数
字为 c，则这个三位数为 100a+10b+c.
2.利用方程组解决数字问题时，一般不直接设
这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根
万元.
3.有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比
原数小 45，又知原百位数字的 9 倍比由原十位数字和
个位数字组成的两位数(原个位数字仍作为个位数字)小
3，求原三位数.
等量关系：
将最左边的数字移到最右边后得到的数=原数- 45.
9 ×原百位数字=由原十位数字和个位数字组成的两
位数-3.
解：设原百位数字为 x，由原十位数字和个位数字组成
= 45,
2024八年级数学上册第五章二元一次方程组5应用二元一次方程组__里程碑上的数课件新版北师大版
感悟新知
知3－练
例3 [中考·宿迁] [教材P122习题T3] 学校组织学生乘汽车 去自然保护区野营，先以 60 km/h 的速度走平路，后 又以 30 km/h 的速度爬坡，共用了 6.5 h；回来时汽车 以 40 km/h 的速度下坡，又以 50 km/h 的速度走平路， 共用了 6 h，问平路和坡路各有多远？
=6.5， =6，
解得ቊxy==115200，.
答： 平路和坡路分别有 150 km 和 120 km.
感悟新知
知3－练
3-1.从 A 地 到 B 地，先下坡然后走平路，某人骑自行车 以 12 km/h的速度下坡，然后以9 km/h 的速 度通 过 平路，到 达 B 地共用 55min. 回来时以 8 km/h的 速 度通 过平路，以 4km/h 的速度上坡，回到A 地 共 用 1.5 h，从 A地到 B 地有多少千米？
知1－练
1-1. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5， 若这个两位数加上9，所得的两位数的数字顺序与原 来两位数的数字顺序恰好颠倒，求原两位数.
知1－练
解：设原两位数十位上的数字为 x，个位上的数字为 y. 则x1＋0xy＋＝y5＋，9＝10y＋x，解得xy＝＝32.， 则 2×10＋3＝23. 答：原两位数是 23.
知1－讲
特别提醒 ◆在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百
位就是百位上的数字乘100，千位就是千位上的数字 乘1 000. ◆若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序 和前面的数扩大的倍数与后面的数的位数的关系.
知1－练
例1 [母题 教材P121例题]有一个三位数，现将最左边的数 字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位数字 的9 倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3，求原 三位数.
里程碑上的数字[上学期] 北师大版
![里程碑上的数字[上学期] 北师大版](https://img.taocdn.com/s3/m/66e4b6cfcc22bcd126ff0c4b.png)
解速：度设为小（张y-5所）用K时m/间h，为小x 李h，所速用度时为间y为Km(x/h，1则)h小，王速所度用为时（间y-为6）(xKm15/h)h，，
于是由三个人赛程相同，有
4
xy
(x
1 )( 5
y
5)
xy
(x
1 )( 4
y
6)
x 1
y
30
答：他们三人进行自行车比赛的路程为30Km。
答：原来的两位数为52。
§7.5里程碑上的数
自主学习
3、一个三位数，三个数位上的数字之和为17， 百位上的数字与十位上的数字的和比个位数 大3，如果把百位上的数字与个位的数字对调， 所得的新数比原数小198，求原数。
解：设这个三位数百位、十位、个位数字分别为x、y、z， 根据题意得
x y z 17 x y z 3 （ 100x 10y z） (100z 10y x) 198
§7.5里程碑上的数
自主学习
1、一个两位数的十位数字与个位数字的和为 7，如果将十位数与个位数字对调后，所得的 数比原数小27，求原来的两位数。
解：设原来两位数的个位数字为x，十位数字y x
x 5 y 2
.
.
.
.
.
.
.
；特斯拉电池 特斯拉电池
x 9
y
1
z 7
答：这个三位数为917。
§7.5里程碑上的数
自主学习
4、小张、小王和小李三人进行自行车比赛， 小张比小王早12min到达终点，小王比小李早 3min到达终点，他们算了一下，小张比小王每 小时要快5Km，小王比小李每小时要快1Km， 他们三人进行自行车比赛的路程有多长？
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5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
1．数字问题
(1)多位数字表示问题
两位数＝十位数字×10＋个位数字．
三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字．
如：一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，所以这个两位数是b 个10和a 个1的和，那么这个数可表示为10b ＋a ；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为10a ＋b .
(2)数位变换后多位数的表示
两位数x 放在两位数y 的左边，组成一个四位数，这时，x 的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x 个100，而两位数y 在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y 个1.因此用x ，y 表示这个四位数为100x ＋y .同理，如果将x 放在y 的右边，得到一个新的四位数为100y ＋x .
一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果在它们之间添上零，十位上的n 便成了百位上的数．因此这个三位数是由n 个100,0个10，m 个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n ＋m .
【例1】 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数．
分析： 十位数字 个位数字 两位数
原两位数 x y 10x ＋y
新两位数 y x 10y ＋x
相等关系：(1)
解：设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝7，10x ＋y ＋45＝10y ＋x .解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝6. 所以原两位数是16.
析规律 数字与数位的关系
解决此类问题，关键是从实际问题中确定相等关系，根据相等关系的个数确定列方程还是列方程组，当问题中涉及两个相等关系时，列方程组解决问题比较简单．
2．行程问题
(1)行程问题：路程＝速度×时间
①追击问题：一般特征：同地、同向、不同时，抓路程之间的关系建立等量关系． ②相遇问题：一般特征：同时、相向、不同地，常用的关系：路程和＝全程． ③航行问题：
顺水航行的速度＝船在静水中的速度＋水速；
逆水航行的速度＝船在静水中的速度－水速．
(2)行程问题的应用：借助图示解答
【例2】 已知某一铁路桥长1 000 m ，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1 min ，整列火车完全在桥上的时间为40 s ，求火车的长度和速度． 分析：解此类问题的关键是分析好火车“开始上桥到完全过桥”与“整列火车完全在桥上”的含义，可根据“路程”与“速度”找等式．
解：设火车的长度为x m ，火车的速度为y m/s ，则根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧ 1 000＋x ＝60y ，1 000－x ＝40y .解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝200，y ＝20.
所以火车的长度为200 m ，火车的速度为20 m/s.
3．怎么解答图形信息题
在近几年的中考试题中，出现了一类有趣的图形信息题，即根据日常生活和生产中的实际应用问题绘出图形，让同学们看图分析，捕捉图中提供的数学信息，然后求解．这类问题，大多可用列二元一次方程组的方法求解．图形信息题作为一种新型的中考试题，越来越受到命题者青睐，一类和二元一次方程组有关的图形信息题，不仅考查了同学们从图形中获取信息的能力，而且还考查了根据所得信息列出方程组的能力．
图形信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实际问题的一类题．解答信息题时，首先要仔细阅读题目所提供的材料，从中捕捉有关信息(如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等)，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题顺利获解．
【例3】 根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是( )．
A ．51元
B ．35元
C ．8元
D ．7.5元
解析：本题以实物图形给出信息，从图中可以知道，一个水壶和一个杯子共43元，两个水壶和三个杯子共94元，因此可设杯子的单价为x 元，水壶的单价为y 元，根据图形信
息，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝43，3x ＋2y ＝94.解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝8，y ＝35. 所以一个杯子的价格是8元，选C.
答案：C
谈重点 审清题意列方程组
列二元一次方程组解实际问题，重点在于正确找出实际问题中的两个等量关系，并把它们表示成两个方程．难点是一些难度较大的题目，有迷惑人的因素存在，等量关系隐蔽，往往不易找到或容易找错．解题时必须弄懂题中奥妙，突破解题瓶颈，理清数量之间的内在联系．
4．用方程组解决与图形有关的问题
用二元一次方程组解图形中的问题，是一种重要的解题方法，这种解题思想就是重要的数形结合思想．利用数形结合思想解决问题，需要认真观察，分析图形性质中隐含的相等关系．
列二元一次方程组解决图形问题，需要从图形中找出数量关系，设出恰当的未知数，列出方程．
这类问题的相等关系一般隐含在图形中，掌握图形的特征，从隐含条件中发现相等关系是解决问题的关键．
【例4】 用8块相同的矩形地砖拼成一块大的矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽．
分析：列二元一次方程组解决图形问题，需要从图形中找出数量关系，设出恰当的未
知数，列出方程．
解：设每块地砖的长为x cm ，宽为y cm ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝60，2x ＝x ＋3y . 解得⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝45，y ＝15. 所以每块地砖的长为45 cm ，宽为15 cm.。