零点与极点计算和分析
搞懂极点和零点
搞懂极点和零点在我的学术⽣涯中，我注意到系统理论是最难教和最难学的课程之⼀。
这些极点和零点概念在课堂上都感觉很有意思，但是⼀旦学⽣想将它们与实验室中的物理电路联系起来，理论和实践之间就会出现鸿沟。
在这篇⽂章中，我将尝试找出关于极点和零点的物理感觉，使⽤运算放⼤器来控制它们在复平⾯中的位置，并利⽤电路的⾃然响应来说明极点/零点位置的影响。
单端⼝电路的⾃然响应我们来看图1中的⽆源线性单端⼝电路，它包括电阻、电容和电感。
精品翡翠源头直供，⼀件也是批发价，⽀持鉴定⼴告图1：（a）⽆源单端⼝电路（b）⾃然（或⽆源）开路响应vn(t)。
如果我们施加⼀个测试电流I(s)，单端⼝电路将产⽣电压V(s)，使得V(s)=Z(s)/(s)，其中I(s)和V(s)是所施加电流和所产⽣电压的拉普拉斯变换，s是以sec-1为单位的复数频率。
阻抗Z(s)是s的有理函数形式，即分⼦多项式N(s)与分母多项式D(s)的⽐值：展开剩余91%公式N(s)=0的根被称为Z(s)的零点，表⽰为z1，z2，……；⽽公式D(s)=0的根被称为Z(s)的极点，表⽰为p1、p2、……。
极点和零点统称为根，也称为临界频率。
例如，阻抗：当s=0时，其值为零；当s=-3±j4时，它具有复共轭极点对。
可以⽤根来表达它，即：如果我们绘制|Z(s)|相对于s的幅度曲线，则可以直观理解零点和极点的含义。
所得到的曲线就好像在s平⾯上竖起的帐篷，在零点处接触s平⾯，⽽在极点处其⾼度变为⽆限。
图2：Z(s)=(10Ω)s/(s2+6s+25)的幅度图。
（通过在虚轴上计算|Z|获得的分布曲线图显⽰出单端⼝电路的交流响应。
）为了找到极点的物理感觉，我们在s接近极点pk时施加电流I(s)，就可以⽤相当⼩的I(s)获得给定的电压V(s)。
s越接近极点pk，获得给定电压V(s)所需的电流I(s)越⼩。
在s→pk的极限状态下，即使电流为零，即开路，单端⼝电路也会获得⼀个⾮零的供电电压（见图1b）！这个电压称为⾃然响应或⽆源响应，因为单端⼝电路可利⽤储存在其电容和电感内部的能量来产⽣电压。
LDO极点零点研究
U2
U1
0, N 0, M 1 RC N M 0
900
1 RC
1
RC
, N
2 RC ,
1
RC
, 45 ,
0
M
,
N
M
1
2
450
N 1, 0 M
例： 求一阶低通滤波器的频率特性
+
+
R C
U1
_
U2 _
1 U2 H (s) Cs 1 U1 R Cs
M1
1 p1 R1C1
M2
1 p2 R2C2
N1
1 1 R1C1 R2C2
高通
M2
p1 1 R1C1
M1
低通
1 p2 R2C2
k N1 H ( j ) e j (1 1 2 ) R1C1 M 1M 2
e(t ) Em sin 0t
幅度该变
r(t ) Em H0 sin(0t 0 )
相位偏移
H ( j0 ) H0e
j0
若 0 换成 变量
H ( j) H ( j) e
系统频率 特性
j ( j )
幅频特性
相位特性
用几何法求系统频率特性
H ( j ) k ( j z j )
j
H (s)
k (s z j )
m
p1
p0
p2
z1
z0
(s pi )
i 1
j 1 n
z2
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
零点与极点的关系PPT课件
零点与极点的相互影响
零点对极点的影响
在函数图像上，零点是函数值为0的 点，而极点是函数值无穷大的点，因 此零点的位置会影响极点的位置。
极点对零点的影响
极点的位置也会影响零点的位置，因 为函数值在极点附近会变得非常大或 非常小，从而影响函数的零点。
零点与极点的性质比较
01
零点的性质
零点是函数值为0的点，是函数图像与x轴的交点。
2023
PART 05
总结与展望
REPORTING
零点与极点的重要性和意义
零点与极点在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决复杂问题的关键。 零点与极点的概念和性质在数学分析、复变函数、信号处理等领域中占有重要地位。
零点和极点的分析有助于深入理解函数的性质、系统的稳定性和信号的传播等。
未来研究方向和展望
02
极点的性质
极点是函数值无穷大的点，是函数图像上凹凸性改变的点。
03
零点和极点的关系
在函数图像上，零点和极点可以重合，也可以不重合。如果重合，则该
点既是函数的零点也是函数的极点；如果不重合，则该点只可能是零点
或只可能是极点。
2023
PART 03
零点与极点的应用
REPORTING
在信号处理中的应用
2023
PART 04
零点与极点的实际案例
REPORTING
信号处理中的零点与极点案例
总结词
信号处理中的零点与极点案例展示了零点与极点在信号处理中的实际应用和影响。
详细描述
在信号处理中，零点和极点是影响信号频域特性的重要因素。零点可以改变信号的相位，而极点则影响信号的幅 度。通过在信号处理过程中合理地设计零点和极点，可以实现信号的滤波、均衡、调制和解调等操作，从而提高 信号的质量和性能。
分析零点,极点,偶极子对系统性能的影响
一． 高阶系统暂态性能分析
1.1.当闭环系统的零极点都位于 s 平面的左半部分时，则闭 环系统是稳定的。但当闭环极点距离虚轴的距离不同时，对系 统的暂态性能影响不同 高阶系统闭环传递函数：
高阶系统单位阶跃响应：
高阶系统单位阶跃响应：
1.2 设闭环传递函数 原闭环传递函数 1.1 φ s = 5/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)(s + 3) 增加零点传递函数 1.2 φ1 s = 5(s + 1)/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)(s + 3) 增加极点传递函数 1.3 φ2 s = 5/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)（s + 10）(s + 3) 增加偶极子传递函数 1.4 φ3 s = 5(s + 0.95)/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)（s + 1）(s + 3) 1.3 系统单位阶跃响应曲线如图 1-1 所示 实线������(������ ) 虚线 -----------------������1(������ ) 点画线 ������2（s ） 1.4 1.3 1.2����� ������������ 主要取决这些极点所对应的分量。
增加较远的零点图 1-2 1.4.2 增加极点 对比图 1-1 中������(������ ) ，������2(������ ) 对应的响应曲线，发现二者十分接近， 其暂态性能指标 ������������ 2 = 2.85������������ 2 = 3.66������������2 = 4.45 与������1(������ ) 的性能指标几乎相等。增加的极点为 s=-10,离虚轴较远，对系 统的暂态性能较小。 增加极点的距离虚轴的距离不同对系统的动态性 能影响也不同。图 1-3 增加的极点为 s=-1,离虚轴较近，对系统的暂态 性能影响较大。其动态性能指标如下
关于零点和极点的讨论
关于零点和极点的讨论
一、传递函数中的零点和极点的物理意义：
零点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为零时，此输入频率值即为零点。
极点：当系统输入幅度不为零且输入频率使系统输出为无穷大（系统稳定破坏，发生振荡）时，此频率值即为极点。
二、每一个极点之处，增益衰减-3db,并移相-45度。
极点之后每十倍频，增益下降20db.零点与极点相反；每一个零点之处，增益增加3db,并移相45度。
零点之后，每十倍频，增益增加20db。
闭环增益A0：a/1+ab=1/b(当a很大时），其中a为开环增益，b为反馈因子，可以理解为反馈
量和输出量的比值，当开环增益趋近于无穷大时，闭环增益就是反馈因子的倒数。
环路增益：T=a*b
三、对运放来说：闭环增益（1/b)的传递函数的零点是环路增益(ab) 传递函数的极点；闭环增益的传递函数的极点是环路增益传递函数的零点；而我们在反馈的时候，是希望在相位下降到180度之前，环路增益大于一，所以我们需要消除一个环路增益函数的极点（即闭环增益零点），以免发生震荡。
零点极点的计算公式
零点极点的计算公式
计算零点和极点是在控制系统和信号处理中非常重要的任务。
零点和极点是系统的特征，它们对系统的稳定性和动态响应有着重
要的影响。
在控制系统理论中，可以使用传递函数来表示系统的动
态特性。
传递函数通常表示为H(s)，其中s是复变量。
零点和极点
可以从传递函数中直接确定。
对于一个一般的传递函数H(s)，可以表示为H(s) = N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是分子和分母多项式。
零点是使得传递函数为
零的s值，即N(s)=0的解。
极点是使得传递函数的分母为零的s值，即D(s)=0的解。
计算零点和极点的具体公式取决于传递函数的形式。
对于一阶
系统和二阶系统，可以直接从传递函数的表达式中找到零点和极点。
对于高阶系统，通常需要使用数值方法或者计算工具来找到零点和
极点。
总的来说，计算零点和极点的公式可以通过传递函数的分子和
分母多项式来确定，具体的计算方法取决于系统的阶数和形式。
在
实际工程中，通常会使用计算工具来进行零点和极点的计算，以便更准确地分析系统的特性和性能。
第五章S域分析,极点与零点
p1
j ω1
0
h(t)
σ
0
−α
p2
− jω1
−αt
t
ω1 H (s) = 2 2 ( S + α ) + ω1
h(t ) = e sinω1t.u(t )
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面 共轭极点在右半平面 共轭极点在 jω h(t) jω1 p1
（1）一阶系统 ）
s − z1 H ( s) = K s − p1 s H ( s) = K s − p1
♦ 一零点，一在实轴的 一零点，
极点
♦ 一在原点的零点，一 一在原点的零点，
在实轴的极点
♦ 只有无穷远处的零点
k H (s) = s − p1
一在实轴的极点
例：求一高阶系统的频率特性
+ U1 — C R + U2 —
e(t )
τ
e(t)
t
R
C
v0 (t )
T
（1）求e(t)的拉氏变换 ） 的拉氏变换
1 1 (1 − e ) −sτ −snT E (s) = (1 − e )∑ e = −sT s s (1 − e ) n=0
∞
− sτ
（2）求系统函数 ）求系统函数H(s)
H (s) = 1 Cs R+ 1 Cs
激励E(s)的极点影响
♦ 激励 激励E(s)的极点也可能是复数 的极点也可能是复数 ♦ 增幅，在稳定系统的作 增幅，
用下稳下来，或与系统 用下稳下来， 某零点相抵消 ♦ 等幅，稳态 等幅，
♦ 衰减趋势，暂态 衰减趋势，
Re[ pk ] > 0 Re[ pk ] = 0 Re[ pk ] < 0
滤波器设计中的滤波器阻带和通带的零点和极点位置分析
滤波器设计中的滤波器阻带和通带的零点和极点位置分析在滤波器设计中，滤波器的阻带和通带是两个重要的概念。
阻带是指滤波器在频率范围内对信号进行衰减的区域，而通带则是指滤波器在频率范围内对信号进行通过的区域。
为了理解滤波器的性能和工作原理，了解阻带和通带中的零点和极点位置是至关重要的。
一、零点和极点的概念在滤波器设计中，零点和极点是描述滤波器特性的重要参数。
零点（Zero）是指滤波器频率响应函数中使得函数值为零的点，极点（Pole）则是指滤波器频率响应函数中使得函数值趋于无穷大的点。
零点和极点位置的分布直接决定了滤波器的特性。
二、阻带和通带的零点和极点位置分析1. 零点和极点位置对通带的影响通带的设计是为了使得滤波器在该频率范围内对信号进行传输而非衰减。
对于理想的滤波器而言，通带内的频率响应函数值始终为1，因此在通带内不存在零点和极点。
2. 零点和极点位置对阻带的影响阻带的设计是为了使滤波器在该频率范围内对信号进行衰减。
在阻带内，滤波器的频率响应函数逐渐趋近于零。
a. 零点位置对阻带的影响在阻带中，零点的位置对滤波器的衰减特性有着直接的影响。
当零点位置位于阻带范围内时，可以有效地抵消频率响应函数的分母项，使得滤波器的衰减更加明显。
因此，合理选择零点位置可以改善滤波器的衰减性能。
b. 极点位置对阻带的影响极点位置也对滤波器的衰减特性有一定的影响。
当极点位置位于阻带范围内时，会导致频率响应函数的分母项出现零点，从而使得滤波器的衰减性能减弱。
因此，在设计阻带时应尽量避免极点位置位于阻带范围内。
三、总结滤波器的阻带和通带零点和极点位置的分析对于滤波器设计具有重要的指导意义。
合理选择零点和极点的位置可以改善滤波器的性能，使其更好地满足实际需求。
因此，在滤波器设计过程中，需要仔细分析滤波器的阻带和通带，以确定零点和极点的位置，并据此进行优化设计。
通过对滤波器的阻带和通带的零点和极点位置的分析，可以更好地理解滤波器的工作原理，为滤波器设计提供有效的参考依据。
根据函数图像求出极值点与零点
根据函数图像求出极值点与零点在数学中，函数是一种描述数值之间关系的工具。
图像是函数的可视化表示，通过观察函数图像，我们可以推断出函数的一些性质，例如极值点和零点。
本文将探讨如何根据函数图像求出极值点与零点，并介绍一些常见的方法和技巧。
一、极值点的求解极值点是函数图像上的局部极大值或极小值点，也称为极点。
求解极值点的方法有很多种，下面将介绍两种常用的方法：导数法和二次导数法。
1. 导数法导数法是一种基于微积分的方法，通过求函数的导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：首先，我们需要找到函数图像上的所有驻点，即导数为零的点。
这些点可能是极值点，也可能是拐点。
然后，我们计算这些驻点的导数的符号。
如果导数在驻点的左侧为负，右侧为正，则该驻点是一个极小值点；如果导数在驻点的左侧为正，右侧为负，则该驻点是一个极大值点。
最后，我们可以通过进一步的分析和计算，确定极值点的具体数值。
2. 二次导数法二次导数法是导数法的一种扩展，通过计算函数的二次导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：首先，我们计算函数的一阶导数和二阶导数。
然后，我们找到所有使得二阶导数等于零的点。
这些点可能是极值点，也可能是拐点。
接下来，我们计算这些点的一阶导数的符号。
如果一阶导数在该点的左侧为负，右侧为正，则该点是一个极小值点；如果一阶导数在该点的左侧为正，右侧为负，则该点是一个极大值点。
最后，我们通过进一步的分析和计算，确定极值点的具体数值。
二、零点的求解零点是函数图像上的横坐标为零的点，也称为根。
求解零点的方法有很多种，下面将介绍两种常用的方法：图像法和方程法。
1. 图像法图像法是一种直观的方法，通过观察函数图像来估计零点的位置。
具体步骤如下：首先，我们绘制函数的图像。
然后，我们观察函数图像与x轴的交点，即横坐标为零的点。
这些点就是函数的零点。
最后，我们可以通过进一步的计算和逼近，确定零点的具体数值。
2. 方程法方程法是一种基于方程求解的方法，通过将函数转化为方程来求解零点。
电路波特图怎么看？极点、零点是什么
电路波特图怎么看？极点、零点是什么从放大器失调电压、偏置电流、共模抑制比，电源抑制比到开环增益，在直流或者低频率范围内，影响放大器信号调理的参数已经介绍完成。
期间没有单独介绍基础理论，默认诸位工程师已经掌握同相、反相等基础放大电路，“虚短、虚断”等放大器基础特性，以及基尔霍夫、诺顿等电路分析基础。
但是在介绍增益带宽积、相位裕度与增益裕度，输入阻抗特性、输出阻抗特性、容性负载驱动能力等参数之前，笔者考虑再三决定增加本篇内容，回顾分析这些参数的方式——波特图。
以及极点与零点在波特图中的性质。
后续相关参数的解析中将直接使用本篇内容的零点、极点的特性。
交流信号处理电路中，信号的频率范围较宽，从赫兹级到千赫兹，甚至兆赫兹级，信号增益涵盖几十倍到千、万倍。
此时常常使用波特图缩短坐标扩大视野，方便数据分析。
波特图由幅频波特图、相频波特图两部分组成。
幅频波特图表示电压增益随频率的变化情况，其中Y轴为电压增益的对数形式（20lgG）,X轴为频率或者频率的对数形式lgf。
相频波特图是相位（θ）随频率的变化情况。
Y轴是相位，X 轴为频率。
以直流增益为100dB的单极点系统为例，幅频波特图如图2.89(a)，X轴是Hz为单位的频率，Y轴是以dB为单位的增益。
信号频率小于100Hz时，电路增益为常数100dB,信号频率高于100Hz时，电路增益随信号频率增加而下降，速度为-20dB/十倍频，或者-6dB/倍频。
在100Hz处电压增益出现转折该处称为极点。
极点处的增益下降3dB。
图2.89 100dB增益单极点系统波特图示例如图2.89(b)，相频波特图：X轴是以Hz为单位的频率，Y轴是以度为单位的相位。
初始相位是0°，极点fp处的相位是-45°。
在0.1倍fp至10倍fp范围内，相位从-5.7°变为-84.3°，变化速度为-45°/十倍频。
频率高于10KHz的相位是-90°。
第5章 系统函数与零、极点分析改
解 研究表明，该系统的微分方程为 即 从而得系统函数
由上式可得该系统的模拟框图，如图 (b)所示。
电子与信息工程学院
k b
电子与信息工程学院
§5.2 系统函数的零、极点
5.2.1零、极点的概念
零点： H(s)分子多项式N(s)=0的根，z1，z2， zm 极点： H(s)分母多项式D(s)=0的根，p1，p2， pn
H (s) I2 (s) 转移电流比 I1(s)
H (s) U2 (s) 转移阻抗 I1(s)
H (s) I2 (s) 转移导纳 U1(s)
双口传递函数 （转移函数）
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H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
锁相环是一个相位负反馈控制系统，应用很广。当 输入相位与输出相位的瞬时相位差恒定时，称为系 统锁定。
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例 锁相环及其阶跃响应：
三阶琐相环系统
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该系统函数
显然
a1a2 > a0a3
故系统稳定，且阶跃响应
电子与信息工程学院
复习
一、系统函数的一般概念
即有如下关系：
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H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
H(s)是一个实系数有理分式，它决定了系统 的特征根（固有频率）；
H(s)为系统冲激响应的拉氏变换。
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5闭环系统的极点和零点
∏ ( s + zi ) ∏ (s + p )
j =1 j i =1 n1
m1
H ( s ) = Kg H
m1 i
∏ (s + z
k =1 n2 l =1
m2
k
)
∏ (s + z )
Kg 0
i =1 n1 j =1 j m1
∏ (s + p )
l
G (s) =
G0 ( s ) = 1 + G0 ( s ) H ( s ) 1 + Kg 0 Kg H
R(s) G(s) C(s)
⇒
，H ( s) = ( s + 1)( s + 3) ，求闭环系统的极零点
H0(s)H1(s)
【例 2】设系统 G ( s ) =
Kg s ( s + 1)( s + 2)
方法一：直接使用1/H(s)，变换
GH = Kg ( s + 3) s ( s + 2)
1/ H = ( s + 1)( s + 3)
j =1 l =1 i =1 k =1
n1
n2
m1
m2
∏ (s + p ) ∏ (s + p )
（二） 闭环极点的求解 单位反馈系统： H ( s) = 1
∏ (s + z )
Kg 0 G ( s) = G0 ( s ) = 1 + G0 ( s )
m1
∏ (s + p j )
j =1
i =1 n1
§4-5 闭环系统的零、极点
（一） 前言
由第三章内容可知，系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密 切相关，闭环零、极点分布决定了系统的稳定性、动态性能、 静态性能。因此要使用根轨迹方法全面地分析系统，需要根据 根轨迹求解闭环系统的零、极点。然后根据闭环系统零、极点 分布情况估算出系统的动态性能和静态性能指标。 闭环极点求解：对于一个具体的控制系统，绘制出其根轨迹后， 可以利用幅值条件或通过试探法在根轨迹上求出相应于已知参 数(例如Kg值)下的全部闭环极点。 闭环零点求解：可通过传递函数的分析而求得。
复变函数零点与极点
2。
判断极点
就是看使分母为零的数，
比如sinz/z这道题0就是他的极点
再比如，sinz/z的4次幂0是分母的4阶极点，但是同时也是分子的1阶，所以0是分式的3阶极点~~~
当0是分母的三级零点，不是分子的零点时，0是函数的三级极点。
这是极点的定义。
当0是分母的三级零点，而且是分子的一级零点，那么0是函数的二级极点。
这是结合极点与可去齐点的定义而得到的。
判断零点
f(z)=（z-zo)^mΦ(z)/[(z-zo)^nψ(z)](条件m，n>=1,Φ(z),ψ(z)在zo处解析，那么：
①m>n，zo是f(z)的m-n阶零点
②m=n，zo是f(z)的可去奇点
③m<n，zo是f(z)的阶极点
至于证明，可用零点和极点的定义。
字比较多，符号也不好打，希望你翻书查，我这里就不列举了啊。
上面是自的符号说明：zo表示z零，^n表示n次方，上面的结论是正确的，你可以通过做题去验证，这也是除了定义法和极限法外判定极点的一种有效的方法。
零点z的阶数就是使得前k-1阶导数为0，k阶导数不为0的那个k 比如f(z)=z^2+1, f(i)=0, f'(i)=2i，所以1阶导数非0，k=1。
零点与极点计算和分析
关于放大器极、零点与频率响应的初步实验1．极零点的复杂性与必要性一个简单单级共源差分对就包含四个极点和四个零点，如下图所示：图1 简单单级共源全差分运放极零点及频率、相位响应示意图上图为简单共源全差分运放的极零点以及频率响应的示意图，可以看到，运放共有四个极点，均为负实极点，共有四个零点，其中三个为负实零点，一个为正实零点。
后面将要详细讨论各个极零点对运放的频率响应的影响。
正在设计中的折叠共源共栅运算放大器的整体极零点方针则包括了更多的极零点（有量级上的增长），如下图所示：图2 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-poles details图3 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-zeros details从上述两张图可以看到，面对这样数量的极零点数量（各有46个），精确的计算是不可能的，只能依靠计算机仿真。
但是手算可以估计几个主要极零点的大致位置，从而预期放大器的频率特性。
同时从以上图中也可以看到，详细分析极零点情况也是很有必要的。
可以看到46个极点中基本都为左半平面极点（负极点）而仿真器特别标出有一个正极点（RHP ）。
由于一般放大器的极点均应为LHP ，于是可以预期这个右半平面极点可能是一个设计上的缺陷所在。
（具体原因现在还不明，可能存在问题的方面：1。
推测是主放大器的CMFB 的补偿或者频率响应不合适。
2。
推测是两个辅助放大器的带宽或频率响应或补偿电容值不合适）其次可以从极零点的对应中看到存在众多的极零点对（一般是由电流镜产生），这些极零点对产生极零相消效应，减少了所需要考虑的极零点的个数。
另外可以看到46个零点中45个为负零点，一个为正零点，这个正零点即是需要考虑的对放大器稳定性产生直接影响的零点。
以上只是根据仿真结果进行的一些粗略的分析，进一步的学习和研究还需要进行一系列实验。
网络函数的零点和极点分析
目录
• 引言 • 网络函数的零点分析 • 网络函数的极点分析 • 网络函数的零极点与系统稳定性 • 实际应用案例
01 引言
零点和极点的定义
零点
函数值为零的点，即 $f(z) = 0$ 的 解。
极点
函数在某点的值趋于无穷的点，即函 数在该点附近的导数趋于无穷。
零点和极点在网络分析中的重要性
极点分析在网络路由优化中的应用
极点分析在网络路由优化中具有重要价值，通过分析网络函数的极点，可以确定最 佳的网络路由路径。
极点分析可以用于优化路由算法，提高网络路由的效率和稳定性，降低网络传输延 迟。
极点分析还可以用于故障排查和网络性能评估，通过分析极点的变化，可以快速定 位网络故障和评估网络性能。
05 实际应用案例
零点分析在网络拥塞控制中的应用
零点分析在网络拥塞控制中起到 关键作用，通过分析网络函数的 零点，可以确定网络中数据传输
的稳定性。
零点分析可以预测网络拥塞的情 况，提前采取措施进行预防，提
高网络传输的效率和稳定性。
零点分析还可以用于优化网络拥 塞控制算法，通过调整算法参数，
降低网络拥塞发生的概率。
极点对网络性能的影响
稳定性
极点的位置决定了系统的稳定性。如果极点位于复平面的左半部分， 系统是稳定的；如果极点位于右半置和数量会影响系统的动态响应特性，如系统的超调和调 节时间等。
噪声抑制
极点的位置和数量也会影响系统对外部噪声的抑制能力。
极点分析在网络设计中的应用
数值法
通过迭代或搜索算法在复平面上找到零点，适用于复杂或难以解析 求解的网络。
图形法
通过绘制网络函数的极坐标图或奈奎斯特图来直观地找到零点，适 用于具有直观几何意义的网络。
极点和零点重合-概述说明以及解释
极点和零点重合-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极点和零点是在数学分析中常见的概念，它们分别代表了函数在特定点处的奇点和使函数为零的点。
通常情况下，极点和零点是不会重合的，因为它们代表了函数在不同情况下的性质。
然而，有时候极点和零点会重合在同一个点上，这种情况在数学分析中被称为极点和零点重合。
本文将对极点和零点的定义、特征以及它们之间的关系进行详细的探讨，同时还将分析极点和零点重合的意义和影响。
通过深入研究极点和零点的重合现象，我们可以更好地理解函数的性质和行为，为进一步的数学研究提供有益的参考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍极点和零点的定义和特征，包括它们在数学和物理领域的重要性以及相互之间的区别。
然后，我们将讨论极点和零点之间的关系，探讨它们在数学和物理问题中的应用。
最后，我们将深入探讨极点和零点重合的意义，探讨这种现象在实践中的重要性和可能的应用领域。
通过对极点和零点的研究和分析，我们希望读者能够更深入地理解这两个概念，并从中获得一些启发和新的见解。
1.3 目的本文的目的在于探讨极点和零点在数学和物理学中的重要性和作用，并深入研究极点和零点在数学领域的定义、特征以及它们之间的关系。
通过对极点和零点的探讨，我们希望能够更深入地理解它们在数学和物理学中的应用，以及它们在解决问题和预测某些现象中起到的重要作用。
同时，本文还将探讨极点和零点重合的意义，从而帮助读者更好地理解这一现象对于数学和物理学的意义和影响。
最终，通过本文的研究，我们将能够更全面地认识极点和零点的重要性，以及它们在数学和物理学领域的作用。
2.正文2.1 极点的定义和特征在复数域上，一个函数在某点处的极点是指在该点处函数取无穷大值或无穷小值的点。
具体来说，如果一个函数在某点处取无穷大值，我们称这个点为函数的极点。
极点是一种特殊的奇点，它在函数的定义域内是孤立的点。
极点具有以下特征：1. 极点是函数在某点处的奇点，也就是说这个点不能满足函数的定义。
零点极点法
零点极点法一、引言零点极点法是一种在控制系统设计中经常使用的方法。
它是通过分析系统的传递函数，找出系统的零点和极点，从而得到系统的稳定性、频率响应等信息，进而进行控制器设计和调节。
本文将详细介绍零点极点法的原理、应用和实现方法。
二、零点和极点的概念1. 零点在控制系统中，零点是指传递函数中使得分子为0的根。
也就是说，在这些根处，系统的输出为0。
在频率响应中，零点可以理解为使得幅度响应曲线下降或者上升的位置。
通常情况下，零点越多，则幅度响应曲线下降或上升越快。
2. 极点在控制系统中，极点是指传递函数中使得分母为0的根。
也就是说，在这些根处，系统会失去稳定性或者产生振荡。
在频率响应中，极点可以理解为使得幅度响应曲线发生折线或者相位角发生跳变的位置。
三、如何求取零点和极点1. 传递函数法对于一个给定的控制系统，可以通过传递函数来求取零点和极点。
传递函数是指输入和输出之间的关系，可以表示为：G(s) = Y(s) / U(s)其中，s是复变量，Y(s)和U(s)分别表示输出和输入的拉氏变换。
通过对传递函数进行因式分解，可以得到系统的零点和极点。
2. 系统方程法对于一些复杂的控制系统，可能无法直接得到传递函数。
此时可以采用系统方程法来求取零点和极点。
系统方程是指将控制系统抽象成一个由多个微分方程组成的数学模型。
通过对这些微分方程进行求解，可以得到系统的状态变量和输出变量之间的关系。
进而可以求取系统的零点和极点。
四、零点极点法在控制器设计中的应用1. 稳定性分析通过求取系统的极点，可以判断系统是否稳定。
如果所有的极点都位于左半平面，则说明系统是稳定的；如果有一个或多个极点位于右半平面，则说明系统是不稳定的。
2. 频率响应设计通过求取系统的零点和极点，可以得到频率响应曲线，并进一步设计控制器以实现所需的频率响应。
例如，可以通过增加零点的数量来提高系统的带宽；通过移动极点的位置来改变系统的稳定性和响应速度。
3. 控制器参数调节在控制器设计中，通常需要对控制器参数进行调节以实现所需的控制效果。
零点和极点详解
零点和极点详解一、引言零点和极点是复变函数中非常重要的概念，它们在数学中的应用非常广泛，包括电路分析、信号处理、控制系统等领域。
本文将详细介绍零点和极点的定义、性质以及在实际应用中的意义。
二、零点的定义与性质1. 零点的定义设f(z)是一个复变函数，z0是复平面上的一个复数，如果f(z0)=0，则称z0为f(z)的一个零点。
2. 零点的性质（1）零点是函数图像与x轴交点处。
（2）如果f(z)在z0处有一个k阶零点，则f(z)在z0处可以表示为：f(z)=(z-z0)^k g(z)其中g(z)是在z=z0处不为0且解析的函数。
（3）如果f(z)有无穷多个不同的零点，那么f(z)必须恒等于0。
三、极点的定义与性质1. 极点的定义设f(z)是一个复变函数，z0是复平面上的一个复数，如果满足以下条件：（1）存在某个正整数k使得g(z)=(z-z0)^kf(z)在z=z0处解析；（2）当z趋近于z0时，|f(z)|趋近于无穷大；则称z0为f(z)的一个k阶极点。
2. 极点的性质（1）极点是函数图像在z0处的奇异点，也就是说，函数在z0处没有定义。
（2）如果f(z)在z0处有一个k阶极点，则可以表示为：f(z)=h(z)/(z-z0)^k其中h(z)是在z=z0处不为0且解析的函数。
（3）如果f(z)有无穷多个不同的极点，那么f(z)必须恒等于无穷大或者恒等于零。
四、零点与极点之间的关系1. 零点与极点之间的关系如果f(z)在z0处既有零点又有极点，那么它们之间存在以下关系：（1）当k>0时，称z0为可去奇异点。
此时，当我们把这个可去奇异点消去后，就得到了一个新的解析函数g(z)，它在原来的可去奇异点处具有一个正常的值g(z0)=lim_(z→z_0)f(z)，并且g(z)和f(z)在其他地方完全相同。
（2）当k<0时，称z0为本性奇异点。
此时，它是一个真正意义上的奇异点。
如果f(z)在z0的某个邻域内解析，那么称z0为孤立奇异点。
5闭环系统的极点和零点
−7 / 3
2
综合上述分析，满足阻尼条件的闭环系统极点为：− s1,2,3 = −0.333 ± 0.577 j, −2.333
= 7 > 5 ，因此系统具有主 此时Kg=1.037。由于-s3与-s1,2的实部之比为 −1/ 3 导极点-s1,2，可将系统近似为二阶系统估算系统的性能指标。
（二） 闭环极点的求解
GK (s) = 2K Kg = s(s +1)(s + 2) s(s +1)(s + 2)
其中： Kg = 2K
由前节绘制根轨迹草图的规则： 1. 系统的开环极点：-p1,-p2,-p3为0, -1,-2；无开环零点。系统有三条趋 向于无穷远的根轨迹。 2. 实轴上的根轨迹：[-1,0]，(-∞,-2] 3. 渐近线：−σ
28 Kg = = 1.037 s = −σ + jw 27 ⇒ σ = 1/ 3 = 0.333 w = 3σ 3 s + 3s 2 + 2s + Kg = 8σ 3 − 6σ 2 − 2σ + Kg + (6 3σ 2 − 2 3σ ) j = 0 w = 3 / 3 = 0.577
以下通过实例说明求取闭环系统零、极点的方法。
（二） 闭环极点的求解
【例 1】单位反馈系统 GK ( s ) =
K s ( s + 1)(0.5s + 1)
，应用根轨迹法求取具有阻尼比
ξ = 0.5的共扼闭环主导极点和其它的闭环极点，估算此时系统的性能指标。
解：第一步，绘制系统的根轨迹。首先应求开环传递函数的零极点形式：
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关于放大器极、零点与频率响应的初步实验1．极零点的复杂性与必要性一个简单单级共源差分对就包含四个极点和四个零点，如下图所示：图1 简单单级共源全差分运放极零点及频率、相位响应示意图上图为简单共源全差分运放的极零点以及频率响应的示意图，可以看到，运放共有四个极点，均为负实极点，共有四个零点，其中三个为负实零点，一个为正实零点。
后面将要详细讨论各个极零点对运放的频率响应的影响。
正在设计中的折叠共源共栅运算放大器的整体极零点方针则包括了更多的极零点（有量级上的增长），如下图所示：图2 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-poles details图3 folded-cascode with gain-boosting and bandgap all-zeros details从上述两张图可以看到，面对这样数量的极零点数量（各有46个），精确的计算是不可能的，只能依靠计算机仿真。
但是手算可以估计几个主要极零点的大致位置，从而预期放大器的频率特性。
同时从以上图中也可以看到，详细分析极零点情况也是很有必要的。
可以看到46个极点中基本都为左半平面极点（负极点）而仿真器特别标出有一个正极点（RHP ）。
由于一般放大器的极点均应为LHP ，于是可以预期这个右半平面极点可能是一个设计上的缺陷所在。
（具体原因现在还不明，可能存在问题的方面：1。
推测是主放大器的CMFB 的补偿或者频率响应不合适。
2。
推测是两个辅助放大器的带宽或频率响应或补偿电容值不合适）其次可以从极零点的对应中看到存在众多的极零点对（一般是由电流镜产生），这些极零点对产生极零相消效应，减少了所需要考虑的极零点的个数。
另外可以看到46个零点中45个为负零点，一个为正零点，这个正零点即是需要考虑的对放大器稳定性产生直接影响的零点。
以上只是根据仿真结果进行的一些粗略的分析，进一步的学习和研究还需要进行一系列实验。
1． 单极点传输函数——RC 低通电路首先看一个最简单的单极点系统——RC 低通电路，其中阻值为1k ，电容为1p ，传输函数为：sRCs H +=11)( 则预计极点p0=1/（2πRC ）=1.592e8 Hz ，仿真得到结果与此相同。
而从输出点的频率响应图中可以得到以下几个结论：图4 一阶RC 积分电路1）-3dB 带宽点（截止频率）就是传输函数极点，此极点对应相位约为-45°。
2）相位响应从0°移向高频时的90°，即单极点产生+90°相移。
3）在高于极点频率时，幅度响应呈现-20dB/十倍频程的特性。
图5 一阶RC 电路极点与频率响应（R=1k C=1p ）2． 单极点单零点系统——CR 高通电路简单的一阶CR 电路，阻值/容值不变，传输函数为sRCsRC s H +=1)( 预计系统存在单极点p0=1/2πRC ，单零点z0=0，仿真得到单极点 1.592e8 Hz ，单零点8.835e-6 Hz ，极点位置同RC 电路，零点位置可以理解为一个无限趋近于零的值。
从频率响应曲线中同样有以下结论：图6 一阶CR 电路图7 一阶CR 电路幅频、相频响应 （C=1p R=1k ）1）频率为0Hz （零点）时幅度为0（换算为dB 时为负无穷大，故零点只能用一个ε小数表示），-3dB 带宽（下截频）即为极点所在，对应相位45°。
2）相位响应从90°移向高频时的0°，即单极单零系统产生-90°相移。
（可以这样理解，零点使系统已经从极低频的180°相移并稳定到90°，然后单极点最终产生-90°相移，使相位最终稳定在0°）3）零点频率之上，极点频率之下，幅度响应为+20dB/十倍频，极点频率之上为0dB 。
结合单极点系统-20dB/十倍频的幅度响应特性可知，零点产生+20dB/十倍频的特性，并且极零点对幅度响应的影响可以叠加。
（证明：1lg(*20||sRCsRC dB Av += 极低频时，极点不起作用，即1>>sRC从而)lg(*20)1lg(*20)lg(*20||sRC dB sRC dB sRC dB Av ≈+−=于是|Av|=20dB*lg(s) +C （即低频时为+20dB/十倍频）高频时，sRC>>1，从而11≈+sRCsRC ，于是|Av|=0。
） 3． 两阶RC 系统以上看到的一阶RC/CR 电路均为最简单的非线性系统。
R 和C 的任意组合将可能产生极为复杂的系统，分析其传输函数将是一个求解高阶线性方程组的过程，使得精确的手算分析基本不可能。
但是对于实际应用的单极或多极放大器来说，其RC 拓扑结构有其特殊性，一般都是π形电容结构，如下图：这相当于一个两级放大器的电容电阻负载图。
其中两纵向电容为两级放大器的容性负载，横向电容为包括Cgd 结电容和补偿电容在内的密勒电容。
而且一般来说横向电容的值远大于两纵向电容。
这将可能使两个极点的位置相隔较远，从而可能可以采用某种近似来估算。
因此研究这样一个系统有实际意义。
（注意一个单纯这样的网络只图8 π形RC 网络 是一个微分器高通网络，适合放大器的两级π模型还应该加上一个压控电流源。
首先考察没有横向电容，仅有两个纵向电容的情况。
原理图如下：图9 两阶RC 网络这个原理图同上述π网络稍有不同。
注意到如果R2不是横向连接的话系统将为单极点系统（两个C 并联为一个电容）。
为了使实验结果更加清晰，对这两个电容做了量级上的处理，即两纵向电容值分别为1u 和1p ，电阻值均为1k 。
这样做的理由是使两个极点分离得比较远。
仿真得到系统包含两个极点1.592e2 Hz 以及1.592e8 Hz ，正好分别是和。
对于这个系统尚可用手算精确求得极点所在。
运用KVL 和KCL ，最后求解极点方程：111)2(−C R π122)2(−C R π01)1(221111212212=++++C R C R C R C C R C C s s 在C1>>C2的假设下，这个方程的解可以近似得到为1/R1C1和1/R2C2，与仿真结果相同。
但是应该看到，在两级时间常数相近的情况下，无法运用以上近似。
该传输函数的频率响应图如下：图10 两阶RC 系统幅频、相频响应图从上图中可以得到以下结论：1）低频时幅度为0，相位也为0°；-3dB 带宽为159Hz ，即为第一极点所在（称为主极点），主极点对应相位为-45°；主极点之后的一段幅度响应呈现-20dB/十倍频特性。
这些结论同前面得到的结论类似。
2）由于经过设计，使两个极点分离较远，因此在频率f 满足p0<<f<<p1时，相位响应为-90°的平台，这是由于主极点的相位移动作用产生。
3）幅度响应曲线存在明显的拐点。
第二极点处（次极点）对应相位为-135°，即在-90°平台的基础上再次移动-45°，在幅度响应对应次极点处向上移动3dB，可以看到近似为幅度响应曲线的拐点所在。
该拐点对应的相位点无明显特征。
4）次极点之后的幅度响应呈现-40dB/十倍频的特征，可以证明为两个极点对幅度响应的效果的叠加。
对相位响应，在经过一定的相移之后相位响应稳定于-180°可以预期每个极点将使相位响应最终相移-90°。
根据上述得到的幅频、相频响应曲线可以进行一些推测和思考。
1）由于极点对幅度响应的影响表现为-20dB/dec，因此对一个实际的放大器来说，如果知道了低频增益Av和主极点，如果在主极点和第二极点之间不存在其他极零点的影响（关键是主极点和次极点之间不存在一个正零点），那么知道了Av和主极点，就可以对放大器的单位增益带宽做一个预期，如采用-20dB/dec或-6dB/octave估算。
但从根本上这样估算的理由是放大器的带宽增益积是一个常数。
2）值得注意的是放大器的单位增益带宽点不是也不应该是次极点，与相位的对应（关系到相位裕度）也没有直接的关系。
相关实验将在后面说明。
3）回想相位裕度的定义是放大器在单位增益带宽处对应的相位值同-180°（-180°还是0°需要看低频相位）的差。
因此，如果放大器的单位增益带宽恰好就是次极点的所在，那么相位裕度为45°，正好够了闭环稳定性的下限。
考虑到实际中45°的取值是绝对不够的，应该提供更大的相位裕度如65°，则单位增益带宽点应该在次极点之内。
——这也是单位增益带宽不应该是次极点的理由。
同时可以推论，次极点实际决定了放大器的最大带宽。
因此，如果AC仿真的带宽范围是从低频到单位增益带宽处，应该看到-20dB/dec才是理想情况（实际中可能包含极零点对，这样的响应很难得到）。
4）进一步推论：由于单极点系统相位最终将停留在90°，故单极点系统总是闭环稳定的，即相位裕度至少为90°。
4．单级共源、电阻负载、有输入阻抗的单管放大器频率响应左图是一个单级共源放大器，为了将问题简单化，没有采用实际中使用的有源负载或者二极管负载。
这样可以减少负载管结电容的影响。
Rs为信号源内阻，在计算放大器频率响应时，一般会用到密勒定理，即对于连接输入和输出的电容（相当于反馈电容，本例中为Cgd）Cf来说，当考虑输入端时间常数时，等效为输入端并联一个电容为Cm=（1+|Av|）Cf的电容，同时可以取消反馈电容；而考虑输出端时间常数时，等效为在输出端并联一个电容为f M C Av C )||11(−=的电容。
这样可以化为两个简单的一阶RC 系统进行估算，将问题简化。
不过应该注意的是两个等效（输入端和输出端）不能同时使用，即当估算输入端时间常数时，输出端仅应并联实际的负载电容，不应再考虑Cm=（1-1/Av ）Cf 电容的影响。
而且应注意密勒定理仅能用来快速估算输入、输出时间常数，而将会漏掉一个零点，即密勒定理只考虑了极点情况而没有考虑零点情况。
但在实际应用中，密勒定理仍有实际价值，因为对放大器的频率响应常常更关心极点的情况。
首先采用密勒定理估算放大器的极点情况。
采用analogLib n33模型仿真。
输入nmos 管为8u/0.4u ，Rs=100k ，负载电阻RL=5k 。
低频增益|Av|=6.2，mos 管跨导gm=1.33485m 。
其中由仿真得到输入电容Cgs=11.3661f ，Cdb=1.09277a ，Cgd=3.0496f ，Cgb=1.04188f 。
仿真得到两个极点，分别为：p0=4.61588e7 Hz ，p1=1.15656e10 Hz ，得到一个零点为z0=6.82626e10 Hz 。