晶格振动与晶体的热学性质

只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1,
i1
Q3N )
E (Q1,
Q3N )
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
任意一个简正坐标 能量本征值
1 3N 2V (
2 i, j1 i j
)0 i j
—— 含有坐标的交叉项
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
引入简正坐标 —— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来 假设存在线性变换
系统的哈密顿量
拉格朗日函数 正则动量
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
(ni
i 1
1 2
)
i
3N
系统本征态函数 (Q1, Q2, Q3, Q3N ) ni (Qi )
i 1
ni (Qi )
i
exp(
2
2
)
H
ni
(
)
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
1 [2 2
2 Qi2
i2Qi2 ] (Qi )
i (Qi )
i
(ni
1 2
)
i
—— 谐振子方程
本征态函数
ni (Qi )
i
exp(
2
2
)
H
ni
(
)
— 厄密多项式
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
N个原子组成的晶体 系统薛定谔方程
系统能量本征值
E
3N
i
i 1
3N
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波 —— 简谐近似下，系统哈密顿量是相互独立简谐振动哈密
顿量之和 —— 这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的 —— 用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的
振 动模式 —— 这些谐振子的能量量子，称为声子 —— 晶格振动的总体可看作是声子的系综
摩尔热容量 CV 3Nk 3R —— 与温度无关
—— 杜隆－珀替经验规律
—— 实验表明较低温度下，热容量随着温度的降低而下降 晶格振动 —— 研究固体宏观性质和微观过程的重要基础 晶格振动 —— 晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超
导电性、磁性、结构相变有密切关系
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3.1 简谐近似和简正坐标 简谐近似 —— 只考虑最近邻原子之间的相互作用 研究对象 —— 由N个质量为m的原子组成的晶体
第n个原子的平衡位置
偏离平衡位置的位移矢量
原子的位置
v Rn
'
v Rn
vn (t)
原子位移宗量
3个方向上的分量
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
系统的哈密顿量
正则方程
p&i
H Qi
正则动量
pi
L Qi
Qi
Q&&i i2Qi 0, i 1, 2, 3,L 3N —— 3N个独立无关的方程
简正坐标方程解 Qi Asin(it )
简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
取
平衡位置
—— 不计高阶项
系统的势能函数
V
1 2
3N 2V (
i, j1 i j
)0 i j
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
系统的势能函数
系统的动能函数
系统的哈密顿量
H
1 2
3N i1
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mi i 2