高等工程数学课后习题答案

第六章

7、设X 1，X 2，…X n 为总体X~N （μ，σ2

）的样本，求E[

2

1

)

(x x n

i i

-∑=]，D[

2

1

)(∑=-n

i i

x x ]。

解：E[2

1

)(x x n

i i -∑=]=（n-1)E[

11

-n 2

1

)

(x x n

i i

-∑=]=(n-1)σ

2

因为

)1(~)(22

1

2

--∑=n X x x

n

i i

σ

所以 D[

2

1

)(∑=-n

i i

x x ]=

])([

2

1

2

σ

∑=-n

i i

x x

D =σ22（n-1)

8、设X 1，X 2，…X 5为总体X~N （0，1）的样本，

（1）试确定常数c 1、d 1，使得)(~)()(2254312211n x x x d x x c χ++++并求出n ；

（2）试确定常数c 2、d 2，使得),(~)()

(2

54322

2212n m F x x x d x x c +++。

解：（1）2

1

2

)(1x x n S n i i -=∑=且总体为X~N （0，1），所以c 1=21，d 1=31

因为2χ分布具有可加性，即若X i ~2

χ（i=1，……k ），且各样本相互独立，则

)(~1

2

1

∑∑==k

i i k

i i

n x

χ，所以n=2。

（2）因为)2,0(~21N x x +，)3,0(~)(543N x x x ++，

)1,0(~2

2

1N x x +， )1,0(~3

5

43N x x x ++且相互独立， 所以221]2[

x x ++2

543]3

[x x x ++)2(~2χ 因为)2(~2

2

221

χx x +，

)1(~3

)(22

543χx x x ++ 所以)1,2(~)

(2)

(32

5432

221F x x x x x +++，所以)1,2(,2322F d c =

10、设X 1，X 2，…X n ，X n+1为总体X~N （μ，σ2）的样本的容量为n+1的样本，

)(1

1

~,1221x x n s x n x i n i i --==∑=试证：

（1）)1(~~1ˆ

1---=+n t s

x

x n n T n （2）)1,

0(~21σn n N x x n +-+ （3）)1,0(~2

1σn

n N x x -- 证明：（1）因为),(~),1(~~)1(),,(~2

12222σμχσ

σμN x n s n n N x n +-- 所以)1,0(~1

),1,

0(~121N n

n x

x n n N x x n n +-+-++σ

σ 所以)1(~)

1(~)1(1221---+-+n t n s

n n n x x n σσ

，即)1(~~1ˆ1---=+n t s x x n n T n （2）因为),(~),,

(~212

σμσμN x n

N x n + 所以)1,

0(~2

1σn

n N x x n +-+ （3）因为∑∑==--=-=-n

i i n i i x n x n n x n x x x 2

1111111，

011)(1)(1)11(22121=--=--=--∑∑∑===n

i n i i n i i n n n x E n x E n n x n x n n E μμ

2

2

2

2221121

)1()11(σσσn

n n

n n x n x n n D n

i n i i -=

+-=--∑∑== 所以)1,0(~2

1σn

n N x x --

15、设X 1，X 2，…X n ，1为总体X 的样本，如果X 具有下列密度函数（其中参数均未知）试分别求这些参数的矩估计量与极大似然估计量。

（1）⎩⎨⎧≤>=-0

,00

,),(2x x e x x λλλϕ 0>λ （2）⎪⎩

⎪⎨⎧≤>--2,02,1),()

2(x x e

x x βββϕ 0>β

解：（1）λ

λλ2

)(0

2=

=

⎰

-dx xe x X E x

x ，所以λ的矩估计量是：x

2

ˆ=λ

似然函数∏∏=-

-=∑==

=n

i x i n

x i

n

i n

i i

i

e

x e

x x L 1

21

21

)()(λλλλ

对数似然函数∑∏==-+=n

i i

n i i x

x n L 1

1

)ln(

ln 2)(ln λλλ

02)(ln 1=-=∑=n

i i x n L d d λλλ，所以λ的极大似然估计是：x

2ˆ=λ

（2）2)()

2(2

+==

--

⎰

ββ

β

dx e

x

X E x x

，所以β的矩估计量是2ˆ-=x β

似然函数：∑

==

=--

---=∏n

i i i x n x n

i i

e

e

x L 1

2

)

2(1

)(β

β

ββ

β

对数似然函数：∑

=--

-=n

i i x n L 1

2

ln )(ln β

ββ

02)(ln 12=-+-=∑=n i i x n L d d β

βββ，所以β的极大似然估计是：2ˆ-=x β 18、设总体X~N （μ，σ2），X 1，X 2，…X n ，为X 的样本

（1）求k ，使得统计量∑=-=n

i i x x k

12

2

1)(ˆˆσ是2σ的无偏估计，

（2）求c ，使得统计量∑-=+-=11

21

2

1)(ˆˆn i i i x x

c

σ是2σ的无偏估计。