线性控制系统的运动分析

e
At
I At
A 2!
2
t
2
A k!
k
t
k

k 0
Ak k!
tk
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
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2、用拉氏变换法求解：
e At L1[(sI A)1 ]
关键是必须首先求出（sI-A 的逆，再进行拉氏反变换。 3标准型法求解 思路：根据矩阵指数函数性质6： e At PeP 对A进行非奇异线性变换，得到： 联立上两式，得到：e At Pe At P 1
e At
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定义为矩阵指数函数，和A一样也是nn阶
3
方阵
求解过程：仿标量方程求解
ax －－标量齐次状态方程 x
设齐次状态方程的解为 x(t ) b0 b1t b2t 2 bk t k （1） 此处 bi为1 n维列向量
x(0) b0 当 t0 时，由上式可得 k1 ( t ) b1 2b2t kbk t （2） 式(1)左右求导得： x
x( t ) e at x(0) 满足初始状态 x( t ) |t 0 x(0) 的解是： (t ) Ax(t ) 2、齐次状态方程 x x( t ) e At x(0) , t 0 满足初始状态 x( t ) |t 0 x(0) 的解是： 满足初始状态 x( t ) |t t0 x( t0 ) x(t ) e A( t t0 ) x(t0 ) , t t0 的解是： 1 22 1 k k 1 k k At e I At A t A t A t 其中： 2! k! k 0 k!
x ( t ) ( I At
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1 2 2 1 A t Ak t k ) x0 e At x0 （5） 2! k!
4
二、拉氏变换求解：
Ax 初始状态为：x( t ) |t 0 x(0) 齐次状态方程：x
sX ( s) x(0) AX ( s) 两边取拉氏变换得：
dt
e ( A B ) t e At e Bt

6、如果P是非奇异阵，即P 1
存在，则必有
e
P 1 APt
At P 1 APt 1 和 P e P e Pe P 1 At
[证明]：根据定 义证 ( P 1 AP )( P 1 AP ) ( P 1 AP ) P 1 AA A P P 1 Ai P [注意]：
4、待定系数法：将e At
化为A的有限项多项式来求解
（1）凯莱－哈密顿（以下简称C-H 定理： 设nn维矩阵A的特征方程为：
f ( ) | I A | n an1n1 a1 a0 0
则矩阵A满足其自身的特征方程，即：
f ( A) An an1 An1 a1 A a0 I 0
[预备知识]：线性定常系统的运动 1、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u 0时， 由初始状态引起的运动称自由运动。
u0
( A, B)
x
Ax , 齐次状态方程的解 x
x( t ) |t 0 x(0)
2、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫 运动。 x u
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n1
ei t
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2）A的特征值为 1 (n重根）
0 0 a ( t ) 0 a ( t ) 0 0 1 0 0 an 2 ( t ) 0 1 an1 ( t ) 1 1
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2 当A具有n重特征根
i t e A t 1 Qe Q Q 0 0
i：约当标准型
约当矩阵 A的矩阵指数函数
te i t
e At
1 t n1e i t ( n 1)! 1 Q te i t i t 0 e
整理得：X ( s) ( sI A)1 x(0)
拉氏反变换得：
x( t ) L1[(sI A)1 ]x(0)
－－－（6）
e At L1[(sI A)1 ] 与直接求解的结果(5)比较，由解的唯一性得：
e I At t 2 At 1 A A2 仿标量系统得： L e s s2 s3 ( sI A)1
( A, B)
Ax Bu , x( t ) |t t0 x( t0 ) 非齐次状态方程的解： x
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第一节 线性定常齐次 状态方程的解
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2
[线性定常齐次状态方程的求解方法]：直接求解，拉氏变化 求解 一、直接求解：
ax x 1、标量齐次微分方程：
At

A2 2!
e At L1 ( sI A)1 [本节小结]：
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第二节 矩阵指数函数的 性质和计算方法
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6
一、矩阵指数函数的性质： 1、设A为nn阶矩阵，t1为t2两个独立自变量，则有：
e A( t1 t2 ) e At1 e At2
At
At 1
At
(e At )1 e At
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4、对于nn阶方阵A和B
( A B ) t At Bt e e e 如果A和B可交换 即AB= BA
则 5、对 e At BA 则 如果 A和B不可交换 即AB d At At At (e ) Ae e A 有：
a0 ( t ), a1 ( t ),, an1 ( t ) 其中：
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为t的
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1 , 2 ,, n 1）A的特征值 注意求逆 两两相异时， 1 2 n 1 a0 ( t ) 1 1 1 1 e t t a (t ) 2 n 1 1 1 2 2 2 e
0 0 1 2
其中 e Ai t 块 Ai
是对应 的矩阵指
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1 0 [例如]： A 0 0
0 1 2 0
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二、矩阵指数函数的计算
§ 直接求解法：根据定义 § 拉氏变换求解：
§ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型－非奇异变 换
§ 待定系数法： 凯莱－哈密顿（简称C-H 定理 1根据矩阵指数函数的定义求解：
其中： Q为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。
约当标准型法求矩阵指数函数的步骤： 此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和 变换阵Q。 说明：对于所有重特征值 i
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，构造约当块，并和非重特征
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值一起构成约当矩阵。根据矩阵指数函数的性质8和9，求 e At 得 。
1 1 1 i 注意： P 1 A i P P 1 AA A P ( P AP )( P AP ) ( P AP ) A i个 i个
推导时可看到： a0 (t ) a1 (t )i an1 (t )i
tm 并令 j ( t ) m! mj m 0
即可得到如下
（2）将 e
At
化为A的有限项多项式来求解
e At 根据C-H定理，可将 形式： n1
j 0
化为A的有限项表达式，即封闭
e At a j ( t ) A j a0 ( t ) I a1 ( t ) A an1 ( t ) An1
说明：在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程 的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。
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由定理知：A所有高于(n-1)次幂都可由A的0～(n-1)次 即：
A mj A j
m j 0 n1
将此式代入 e At 义中： m t At

的定

m n1 m n1 t t e Am mj A j A j mj m0 m! m0 m! j 0 j 0 m0 m!
(1)(2)代入状态 b1 方程得： 2b2t 1 kbk t k1 A(b0 b1t b2t 2 bk t k ) （3）
1 k bk A b0 （4） 式(3)左右两边t的同次幂的系数两两相等得： k!
将式(4)代入式(1)，即可得到通解为：
为两两相
其中： P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。 对角线标准型法求矩阵指数函数的步骤：
i 1） 先求得பைடு நூலகம்阵的特征值
i 2） 求对应于 得到P阵及P的逆阵。
。
，并
vi 的特征向量
3） 代入上式即可得到矩阵指数函数的值。 即：A det(I A) 0 i (i I A)vi 0 vi P
[证明]：根据定义证明
2、e
A( t t )
e A0 I
[证明]：矩阵指数函数定义中，令t 0即可得证
e (e ) e 3、 总是非奇异的，必有逆存在， 且： At A A( t ) [证明] ： e e e ，令 t，有e At e At e A0 I
A 有二种标准形式：
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1
APt
P 1
AP
A P
1
对角线矩阵、约当矩阵
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1 , 2 ,, n （1）当A的特征值 异时：对角线标准型 e 1t 0 1 e At Pe A t P 1 P P n t 0 e
e Ai t
证明：略。根据定义证
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9、当A是约当矩阵时
A1 A 0 A2 0 An
其中 Ai 当块
是约
则有：e At
e A1t 0
0 2 0 0
e A2t
0 An t e
e 2t
0 n t e
[证明]：根据定 义证
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8、如果Ai
是mm阶的约当块
i Ai 0 1
i
0 1 i mm
则有：
1 i t m 1 1 t t e ( m 1)! i t e 0 0 t 1 0 0 0 te i t 1 t m1e i t ( m 1)! te i t i t 0 e
1 2
a ( t ) n 1
1 n

2 n
nt n 1 n e
推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。
e At P 1e At P P 1 (a0 (t ) I a1 (t ) A an1 (t ) An1 ) P
i个 i个
[用途]：此性质经常用于计算 e At
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7、如果A是nn阶对角阵，则 e 对角阵
At
也是nn阶
2
0 n
1 如果： A diag[1 , 2 , , n ] 0
则有：e
At
e 1t diag[e 1t , e 2t , , e nt ] 0