第三章 误差理论与数据处理 测量误差的传递

第三章 测量误差的传递

在间接测量中，待求量通过间接测量的方程式),,,(21n x x x f y =获得。通过测量获得量n x x x ,,,21 的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量y 的数值。那么测量数据的误差怎样作用于间接量y ，即给定测量数据n x x x ,,,21 的测量误差，怎样求出所得间接量y 的误差值?

对于更一般的情形，测量结果的误差是测量方法各环节的诸误差因素共同作用的结 果。这些误差因素通过一定的关系作用于测量结果。现研究怎样确定这一传递关系，即怎样由诸误差因素分量计算出测量的总误差。

研究测量误差的传递规律有重要意义，它不仅可直接用于已知系统误差的传递计算， 并且是建立不确定度合成规则的依据，因而是精度分析的基础①。

3.1 按定义计算测量误差

现在按测量误差的定义给出测量结果的误差，这是研究误差传递关系的基本出发点。 若对量Y 用某种方法测得结果y ，则按测量误差的定义，该数据的测量误差应为 Y y y -=δ (3-1) 设有如下测量方程 ),,,(21n x x x f y = 式中 y ——间接测量结果；

n x x x ,,,21 ——分别为各直接测得值。 直接量的测量数据n x x x ,,,21 的测量误差分别为 111X x x -=δ, 222X x x -=δ …………… n n n X x x -=δ

式中，X 1，X 2，…，X n 分别为相应量的实际值(真值)。 则间接测量结果的误差可写为

()()n n X X X f x x x f Y y y ,,,,,,2121 -=-=δ

()()n n n X X X f x X x X x X f ,,,,,,212211 -+++=δδδ (3-2)

上式给出了由测量数据的误差计算间接量y 的误差的传递关系式，这一误差关系是 准确无误的。

直接按定义计算测量结果误差的方法在误差传递计算中经常使用，特别是在单独分 析某项误差因素对测量结果的影响时，若这一影响关系不便或不能化成简单的线性关系， 则这一方法更常使用。因此直接按定义作误差传递计算的方法不能完全用下面所述的线

性化的误差传递方法代替。 但在实用上，这种方法较为繁琐，特别是在分析多个误差因素对测量结果的综合影响 时更是如此，并且往往会遇到困难而无法解决。更重要的是这种方法没有给出规则化的、 简明的误差传递关系，因此在讨论与处理不确定度的合成关系时，它也无法给出简明实用 的合成关系，这是这种方法的局限性。

例3-1 设矩形长度为x ，宽度为y ，则矩形面积s=xy 。现通过测量获得x 和y 的测 得值，分别为x '和y '，其测量误差分别为x δ和y δ，如图3-1所示，求由此引起的面积误差s δ。

解 这是间接测量的情形。因测得的x '值和y '值是有误差的，故按函数关系求得的面积s '也有误差，按测量误差的定义，面积误差应为

xy y x s s s -''=-'=δ

()()xy y y x x -++=δδ y x x y y x δδδδ++=

显然，该误差为三项之和，这三项分别相应于图中划有阴影的三块小面积。

例3-2 测量工件平行端面间的距离L ，若工件在测量时，安置歪斜α角，则测量线ac 与被测线ab 方向不一致，分析由此引起的测量误差(图3-2)。 解 由图3-2的三角形abc ，被测量的实际值L

与测得值l 间有如下关系 αcos l L = 按定义，测量误差为

()ααδcos 1cos -=-=-=l l l L l l 将()αcos 1-按级数展开，略去三次以上的高次项可得

22

1αδl l =

此例不能按下面所述的线性化的方法计算。

例3-3 为求得某物体在给定时间间隔内的平均速度，测得时间间隔t 和物体相应 移过的距离s ，若测量误差分别为t δ和s δ，求所给速度的误差表达式。 解 给出的速度应按下式计算 t s v =

而排除测量误差的速度表达式则为 t

t s

s V δδ--=

按误差的定义，所给出速度的误差应为

t t s

s t s V v v δδδ---

=

-= 经整理并略去微小量可得t t

s

s t v δδδ21-≈

例3-4 如图3-3所示电路，设电阻R 1、R 2的误差分别为1R δ、2R δ，分析V 0的误差。 解 由图示关系，得 s V R R R V 1

22

0+=

由1R δ与2R δ引入V 0的误差为

000V V V -'

=δ s s V R R R V R R R R R R 212

221222+-++++=

δδδ

()()

s V R R R R R R R R R R 2121211

221++++-=

δδδδ

由于1R δ《R 1,2R δ《R 2，故上式可简化为 ()

()12212

210R R R R R R V V s

δδδ-+=

由例3-4可见，对于间接测量的函数 ),,,(21n x x x f y =

当测得n x x x ,,,21 值时，若按由误差定义所给出的式(3-2)计算y 的误差，一般来说是较为繁杂的。造成这一困难的根本原因是这一方法给出的误差计算关系是完全准确的关系，其中包括了若干微小因素。这些微小因素产生了非线性的关系，造成误差表达式的复杂性。将这些微小量适当舍弃以后，可使误差表达式大为简化。

3.2 函数误差传递计算的线性化

设有函数

),,,(21n x x x f y =

若n x x x ,,,21 分别含有误差n x x x δδδ,,,21 ，则y 的误差为

()()n n X X X f x x x f y ,,,,,2121-=δ

为获得简单的误差关系式，将函数),,,(21n x x x f y =按泰勒级数展开，并略去二