《信号分析与处理》概要

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2.3 Laplace变换与Fourier变换的关系
单边/双边
F(s)收敛域含虚轴jw，则F(jw)= F(s)|s=jw
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2.4 Laplace变换与Z变换的关系
S平面与Z平面，z=eST，多对1，jw→单位圆， 左内右外
角频率与离散（数字）频率 反演－－留数定理 零极点分布与时域原函数、系统函数与模态 零极点分布与频率响应、几何方法 X(s)到X(z)
Fn
1 T
t0 T t0
f
t
e jnt dt
(9)
6
1.2 信号的谱表示（正交分解）、线 性定常系统算子谱表示
BIBO稳定线性定常系统L的特征函数
Le jt H j e jt ,
t , (10)
e jt －－线性定常系统特征函数
H j － 线性定常系统L的谱
(10)式也是系统对e jt的稳态响应。
《信号与系统》概要
教师：山秀明教授
shanxm@
清华大学电子工程系
2004-6-9
1. 信号表示与信号通过零状态线 性定常系统
1.1 信号的脉冲分解、卷积
紧支集的阶梯函数在连续函数中稠密 连续信号x(t) 脉冲分解的极限形式
x(t) x( ) (t )d x(t) (t)
(3)和(15)式殊途同归——卷积定理
(13) (14)
(15)
9
2. Fourier变换、Laplace变换、 Z变换
2.1 定义与存在性
定义
f t L1 , ,则F ()存在,即 F () f t 为指数阶信号，即M 0, T 0,
0,使当t T ,成立
f t Me0t (16)
设
n (t)
n
L2
t0 , t0
T
是完备正交集
t0 T
m t,n t @ m tn t dt Kmn (4)
则对 f
t
L1 t0 , t0
t0
T U L2
t0 , t0
T
f t Fnn t
(5)
n
Fn
f t ,n t n t ,n t
(6)
5
1.2 信号的谱表示（正交分解）、线 性定常系统算子谱表示
则F (s)存在,即 F (s) ,收敛域 0
11
2.1 定义与存在性
F(s) （F(w)）与 f(t) 为几乎处处一一对 应映射。
因果序列 x(n)的Z变换X(z)收敛域在某一 圆外，逆因果序列x(n)的Z变换的收敛域 在某一圆内。
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2.2 性质
表现形式相同的性质
代数性质（线性，卷积，相乘） 尺度变换（相似）性质 时移（移位） 微分、积分
8
1.2 信号的谱表示（正交分解）、线 性定常系统算子谱表示
对f t L1 , U L2 , ,则
f t F
1
F
F
e jtdf
F F f t f t e jtdt
f t 通过BIBO稳定系统L
Lf t F L e jt df F H ()e jtdf
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本课强调
问题的提法 概念的理解与演绎－－高数学起点 直觉物理思考 归纳与概括 于不疑处存疑（胡适）
统一性、不变性、差异性、系统性
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“细推物理须行乐，何用浮名绊此身？” －杜甫·曲江二首
“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望断天涯路。” “衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。” “众里寻他千，蓦然回首，那人却在灯火 阑珊处。”
25
由X(k)确定X(ejw)
DFT的分辨力
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3. 线性定常系统分析的输入输出方法
令输入为x(t)（x(n)），输出为y(t)（y(n)）
yzs(t)=h(t)*x(t)（零状态）h(t)－－冲激响应 yzs(n)=h(n)*x(n)（零状态）
yzs(t)=H(p)x(t)（零状态）H(p)－－系统算子 yzs(n)=H(z)x(n)（零状态）
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2.5 DTFT DFT
定义
x(n)单位圆上Z变换即序列的Fourier变换
F﹛x(n)﹜=DTFTx(n)= X(z)|z=ejw=X(ejw) （17）
x(n)单位圆上Z变换的N点等间隔采样即序列 的DFT
DFTx(n)= X(k)= X(z)|z=W-k 0≤ k≤N-1
(18)
由X(k)确定X(z)
BIBO稳定
全通函数 最小相移函数 无失真传输 理想低通滤波器 复包络方法 Hilbert变换
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6. 信息与通信工程和电子科学技术学 科的若干基本知识
物理可实现问题（Paley-Wiener准则） 等效带宽、等效时宽、Heisenberg测不
准原理、Cauchy-Schwartz不等式 匹配滤波器 相关 采样与采样定理
e jnt
是L2
n
t0,t0 T 中完备正交集
t0 T
e jmt , e jnt e e jmt jnt dt Tmn t0
2 T (7)
则对f t L1 t0,t0 T U L2 t0,t0 T ，有f t 的傅里叶级数
f t Fne jnt
2 T
(8)
n
7
1.2 信号的谱表示（正交分解）、线 性定常系统算子谱表示
周期信号f t 通过BIBO稳定线性定常系统
y t Lf t FnL e jnt n
FnH jnt e jnt 2 T t , (11) n
e jt , e jt e jte jtdt 2
(12)
(1)
设线性定常系统算子L，则
ht L t ht L t
(2)
3
1.1 信号的脉冲分解、卷积
零状态响应yzs (t)
线性
yzs (t) Lx(t) x( )L (t )d
定常
x( )h(t )d x(t) h(t)
(3)
4
1.2 信号的谱表示（正交分解）、线 性定常系统算子谱表示
H(s)、H(jw)形式相等
微分方程－普适 黑盒子方法/状态空间方法
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4. 冲激函数
P.A.M. Dirac定义→弱极限→广义函数 （依内积收敛）
性质与应用 冲激偶及性质
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5. 非零状态线性系统
定义 系统响应=零状态响应+零输入响应（由定
义产生的推论）
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6. 信息与通信工程和电子科学技术学 科的若干基本知识
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2.2 性质
特殊性质
f(t) ∈L2 (-∞, ∞)，Fourier变换具有内积不变性、
能量不变性（Parseval定理）、欧氏范数(||·||2) 不变性。 Gibbs现象（第1类间断点，不一致收敛，相对 峰值≈9%的衰减振荡）。 Fourier方法的最小均方收敛性。 实信号傅里叶谱的对称性（模偶相奇）。 Fourier谱的渐近特性（结论） Laplace变换与Z变换的初值定理与终值定理。
Y(s)=H(s)X(s)（零状态、因果） H(s)－－系
统函数
Y(z)=H(z)X(z) （零状态） 18
3. 线性定常系统分析的输入输出方法
Y(w)=H(w)X(w)（零状பைடு நூலகம்、稳定） H(w)
－－系统函数
Y(ejw)=H(ejw)X(ejw) （零状态、稳定） 对因果、零状态、BIBO稳定系统，H(p)、