交通流问题数学模型

数学模型与数学实验课题设计

交通流量问题

论

文

院系：理学院

班级：信息1103

姓名：陈小宇

学号：

指导老师：党林立

《数学建模与数学实验》

课程设计任务书

一．摘要

本篇用微观分析着眼于交通流运行中每一辆机动车的运动情况。每一辆车被当作一个质点来处理。这种处理方法的前提是已知每一辆车的位置，速度，和加速度。本篇只讨论最简单的模型，即理想化为在一条平直公路上行驶的车辆，车辆之间不允许超车。在t〈=0的时候，所有车辆均以匀速行驶。在t=0+时，领头的车开始偏离u0一段时间，这样就对原来稳定的状态产生了波动，使他们调节自身的速度来协调这种波动。主要有以下两个方面：

1． 1．对于连着的两辆车，在哪种情况下，前一辆车的偏离行为会导致后一辆车的过度补

偿行为即后一辆车的调整是否超过了所需要的调整范围，从而产生了一种类似于钟摆式简谐运动的振动。若这种振动的幅度不随时间衰减，就形成了车流问题的“局部稳定”。

2.对于一列车辆，在哪种条件下，领头车辆引起的小小扰动会随着他的继续行驶而增 大，从而引起这一列中车辆之间的碰撞这是车流问题中的渐进稳定性问题。

为了解决这两个问题，本篇将具体讨论解决时间滞后的不同方程。

二．背景

现代社会的日常活动在极大程度上依赖于安全高效的交通流。在过去的一些建模的例子中都有不同程度的讨论这个问题。它能帮助降低交通阻塞和交通事故，从而实现更好的路况，设计出更好的交通灯体以及行之有效的交通法规。本篇从简单的模型出发，分层逐步细化模型的讨论及求解，以期能对交通流问题作另一种特别的阐述。

三．建模及求解

1． 瞬时速度的控制

取公路为x 轴，车辆运动的方向为x 正向。)(t x n 为T 时刻第n 辆车的位置。

)

()(t x t v n n 且0)(u t v n )0( t 为方便起见，取一个参考系，以0u 的速度为参考速度

0)()(u t v t u n n 这样0)( t u n )0( t 即为初始条件

做第一个近似处理，假设第N 辆车的司机根据它与前一辆车的相对速度来调整自身车速， 则有

212u u u , 323u u u ,…

11 n n n u u u ,n=1,2,3,…N 作为一个简单的模型，假设所有司机反应灵敏程度相同，即 一致，是一个常数，据有关实验，（GENERALMOTORS 所做的实验）， 介于14.0~3.0 s 之间，取137.0 s

一旦领头的车偏离0u 则由初始条件及通式可依次算出),(t u n (n=1,2,3,…N)

对于整个车流问题，我们关心的是它的稳定性，即领头车辆的扰动会不会引起放大，因此我们假设,sin )(1t t u 并展开成傅力叶级数，有

其中u 为振幅，2 为初相，且22/122cos )1(

u 由于 t 时，u u 2由有

)

2sin()2sin()(2223 t e t u t u t

同理, t 23)(u t u ;以此类推,1, k k u u t 由于,1 u 当k 与t 很大,)(t u k 将相当小

因此有结论：任何由领头车辆产生的扰动，都不回随着车辆的运行而被放大，

这个结论从显示意义上来看显然是错误的。 2．考虑滞后时间的速度控制

以上建模失败的原因是：

1司机的反应时间被忽略了，因为司机不可能在前车改变速度的同时就观察到相对速度的变化；

(2)观察到变化的同时作出反应（踩油门或刹车）； (3)作出反应的同时完成所需的动作。 因此，修改（1，2）式

)()()(11T t u T t u t u n n n (t>1)n=1,2,…….N -1 根据实验数据，滞后时间T 在s 2.2~0.1范围内， 另有辅助条件,即初始条件

,0)( t u n T n t )1( n=1,2,3,…N -1

在大多数情况下，领头车辆的运动状态为已知量 定义

kT

k sk x

k st k dt t u e dt t u e s U )()()(10

11

由于0)(1 t u k 对于kT t 有

x

kT

k k st kT st k k st s sU dt t u e s e

t u dt t u e 0

1111)()(|)()( 以及

)1()()(T

k k st k st dt T t u e dt T t u e

T

k k sT k T t s s U e d u e )2()()()(

由于,0)(1 t u e k sk

（）的不定积分存在，在（）两边同乘以st e ，并在

（0, ）上积分，有 )()()(11s U e s U e s sU n sT

n sT n 或sT n n se

s U s U

)

()(1 在t t u sin )(1 的情况下，可得

02

2sin

s tdt e st

且由（）（）得2

212)()(s se se s U s u sT sT

此处)(s U k 是)(t u k 的拉普拉斯变换，不能从手册中找到，并且得到的结果预计也回很复杂，而很难得出有用的结论，因此，考虑用初等的方法解决。

3.对滞后时间的近似处理 对（）（）进行泰勒展开

...)()(!

21

)()()()(2

t u T t u T t u T t u k k k k 若T 不大，可以保留前两项得出近似解

)()()1(11t u T t u u u T n n n n

对于t u sin 1 这个一阶普通微分方程，在n=1时的通解为 t B t A e C t u T t cos sin )(22)1/(22

)

12()1()1(222222222 T T T

T A

对于n>2可类似求得，结构与（）相似 当1. T 时，可由上看出车辆运动情况的振幅将不随 的增加而放大，12 T T 时，也是一样，得出结论：

（）式的第一个近似可以知，若1 T ，车辆的运动状况将局部渐近稳定。

若保留更多项则可以得到更精确的结果，保留T 中的四次项，由（）式有

)()()()1(2

221

1112t u T t u T t u u u T u T n n n n n n

如前所述，影响稳定性的一个因素来自（）式的补充解。用表达补充

解的特征指数是（）的解：

(22

1T )2 +(1- )T =0

的两个根为：

1 （

2 ）=

22

2)(2)1()1(T

T T T （） 显然1 T 将导致失稳。但12 T 是否成立将影响到1 T 。对于

112 T ，车辆运动的形式将逐步衰减（类似于阻尼振动）

。 对于n=1及u 1=sin t 1212)( e C t u t 2

22 e C t

+t A sin + cos 2B t （）

且

222222)1()2

1

1(T T （）

从（）可得，若2

1 T ，领头车辆的扰动将不会被放大

对应于式（）的结果，使T 的取值范围大幅度减小有结论：

由（）近似的模型控制的车流，在T <12 时局部渐进稳定。关于T 的准则可能会因为更高次项的影响而改变。因此我们不寻求一个对高次项的影响的评价，而是由初始模型（）（）直接分析。 4.局部及渐进稳定性

对于T=0，寻求一个辅助解