中考数学一轮复习《第4讲：二次根式》精练(含答案)
2024中考数学一轮复习专题精练专题04 二次根式(学生版)
知识点01：二次根式的基本性质与化简【高频考点精讲】1．二次根式有意义的条件（1）二次根式中的被开方数必须是非负数；（2）如果所给式子中含有分母，那么除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。
2．二次根式的基本性质（1）≥0；a≥0（双重非负性）。
（2）（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）。
（3）＝a＝3．二次根式的化简（1）利用二次根式的基本性质进行化简。
（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）知识点02：同类二次根式及分母有理化【高频考点精讲】1．同类二次根式（1）一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。
2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根号化去，分母有理化是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式。
①＝＝；②＝＝．（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式互为有理化因式。
知识点03：二次根式混合运算与化简求值【高频考点精讲】1．二次根式的混合运算顺序：先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。
2．在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。
3．二次根式的运算结果要化为最简二次根式。
四、二次根式的应用【高频考点精讲】二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念，性质和运算方法。
检测时间：90分钟试题满分：100分难度系数：0.61一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•烟台）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2023•西宁）下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．（2分）（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．4．（2分）（2023•巴中）下列运算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．×＝C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．|m|＝m5．（2分）（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣16．（2分）（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠27．（2分）（2023•内蒙古）不等式x﹣1＜的正整数解的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．（2分）（2023•内蒙古）下列运算正确的是（）A．+2＝2B．（﹣a2）3＝a6C．+＝D．÷＝9．（2分）（2021•荆门）下列运算正确的是（）A．（﹣x3）2＝x5B．＝xC．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+110．（2分）（2020•呼伦贝尔）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是（）A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•哈尔滨）计算的结果是．12．（2分）（2022•济宁）若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．（2分）（2021•哈尔滨）计算﹣2的结果是．14．（2分）（2023•绥化模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如果在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为．15．（2分）（2023•池州模拟）要使式子有意义，则x的取值范围为．16．（2分）（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．17．（2分）（2023•潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式（□+〇）2÷里面的“□”与“〇”中，计算该算式的结果是．（只需写出一种结果）18．（2分）（2023•临汾模拟）计算：＝．19．（2分）（2023•锦江区校级模拟）已知实数m＝﹣1，则代数式m2+2m+1的值为．20．（2分）（2023•大同模拟）计算（）（）的结果等于．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•陕西）计算：．22．（6分）（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．23．（8分）（2023•龙岩模拟）（1）计算：；（2）解不等式组：．24．（8分）（2023•晋城模拟）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg 的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）25．（8分）（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．26．（8分）（2023•晋城模拟）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．＝，＝＝＝3+像上述解题过程中，与、﹣与+相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程被称为分母有理化．任务：（1）的有理化因式；﹣2的有理化因式是．（2）写出下列式子分母有理化的结果：①＝；②＝．（3）计算：+……+．27．（8分）（2023•晋城模拟）问题：先化简，再求值：2a+，其中a＝3．小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．小宇的解答过程如下：解：2a+＝2a+……（第一步）＝2a+a﹣5……（第二步）＝3a﹣5．……（第三步）当a＝3时，原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：2a+＝6+＝6+2＝8．由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．28．（8分）（2023•天山区校级模拟）计算：（1）；（2）．。
专题04二次根式的核心知识点精讲(讲义)(原卷版)中考数学一轮复习
专题04 二次根式的核心知识点精讲1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．【题型1：二次根式有意义的条件】【典例1】（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠21．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．22．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．（2023•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【题型2：二次根式的性质】【典例2】（2023•泰州）计算等于（）A．±2B．2C．4D．1．（2021•苏州）计算（）2的结果是（）A．B．3C．2D．92.（2023•青岛）下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．44．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【题型3：二次根式的运算】【典例3】（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．1．（2023•聊城）计算：（﹣3）÷＝．2．（2023•山西）计算：的结果为．3．（2023•兰州）计算：．4．（2023•陕西）计算：．1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是（）A．B．C．D．2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（2022秋•泉州期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3B．x≠3C．x≤3D．x≥3 4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则的结果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a6．（2023春•河东区期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A．B．C．﹣D．﹣7．（2023春•铁岭县期末）计算：的结果是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣8．（2023春•抚顺月考）二次根式的计算结果是（）A．B．C．±D．9．（2023春•西丰县期中）已知a＝+2，b＝﹣2，则a﹣b的值是（）A．2B．4C．2+4D．2﹣410．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与11．（2023春•武昌区校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为．12．（2023春•固镇县月考）计算＝．13．（2023春•高安市期中）化简计算：＝．14．（2023秋•高新区校级期中）计算：（1）×；（2）．15．（2023秋•秦都区校级期中）计算：﹣×．1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定2．（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞43．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且，则xy的值是（）A．0B．4C．2D．不能确定4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．55．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n＝．7．（2023春•中江县月考）已知的值是．8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为．9．（2023春•宿豫区期末）计算的结果为．10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝．那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a3．（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7 4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．36．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．（2023•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为．8．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．9.（2022•武汉）计算的结果是．10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．11．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是．12．（2022•泰安）计算：•﹣3＝．13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．。
中考数学一轮复习第4讲二次根式专题精练及答案.doc
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】第4讲：二次根式一、夯实基础1．使3x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ＞13B ．x ＞－13C ．x ≥13D ．x ≥－132．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( ) A ．－15 B ．15 C ．－152 D ．1523．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( ) A ．18 B ．27 C ．23 D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5 B．43－27＝1 C ．18÷2＝9 D ．24·32＝6 5．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间 二、能力提升6．若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y2 012的值是__________． 7．有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)三、课外拓展8．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y＝__________. 9．当－1＜x ＜3时，化简：x －32＋x 2＋2x ＋1＝__________.10．如果代数式4x －3有意义，则x 的取值范围是________．11、比较大小：⑴3 5 2 6 ⑵11 －10 14 －13 12、若最简根式m 2－3 与5m+3 是同类二次根式，则m= . 13、若 5 的整数部分是a ，小数部分是b ，则a －1b= 。
四、中考链接14．（乳山）计算：(3＋2)(3－2)－|1－2|.15．（福州）计算：(－3)0－27＋|1－2|＋13＋2.参考答案一、夯实基础1．C 由题意得3x －1≥0，所以x ≥13.2．A 由题意得2x －5≥0且5－2x ≥0，解得x ＝52，此时y ＝－3，所以2xy ＝2×52×(－3)＝－15.3．B 18＝32，27＝33，23＝63，32＝62. 4．D 25＝5,43－27＝43－33＝3，18÷2＝9＝3，24·32＝24×32＝36＝6.5．B 因为3＝9，4＝16，9＜11＜16，所以11在3到4之间． 二、能力提升6．1 由题意得x －3＝0，y ＋3＝0，则x ＝3，y ＝－3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2 012＝(－1)2 012＝1. 7．①④⑤ ②4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|，③m 6÷m 2＝m 6－2＝m 4，这两个运算是错误的．三、课外拓展8．1 因为由题意得x ＋1＝0，y －2 012＝0，所以x ＝－1，y ＝2 012，所以x y ＝(－1)2 012＝1.9．4 原式＝(x －3)2＋(x ＋1)2＝|x －3|＋|x ＋1|＝3－x ＋x ＋1＝4. 10．x ＞3 11.> > 12.6 13.－ 5 四、中考链接14．解：原式＝(3)2－(2)2－(2－1)＝3－2－2＋1＝2－ 2. 15．解：原式＝1－33＋2－1＋3－2＝－2 3.中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
中考数学一轮复习二次根式(讲义及答案)及答案
中考数学一轮复习二次根式(讲义及答案)及答案一、选择题1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A ．9B ．13C ．20D ．7 2．若01x <<，则221144x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ). A ．2xB ．2x -C ．2x -D ．2x 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A ．15 B ．8 C ．13 D ．264．式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．0x <B ．0xC ．2xD ．2x 5．已知()()44220,24,180x y x y x y x y >+=++-=、.则xy=（ ） A ．8 B ．9 C ．10D ．11 6．化简二次根式 22a a a +-的结果是（ ） A ．2a --B ．－2a --C ．2a -D ．－2a - 7．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）. A ．4B ．5C ．6D ．7 8．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ） 12325672310A ．10B 41C ．2D 51 9．如果2a a 2a 1-+，那么a 的取值范围是（ ）A ．a 0=B ．a 1=C ．a 1≤D ．a=0a=1或 10．若式子22(1)m m +-有意义，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2 B ．m ＞﹣2且m ≠1 C ．m ≥﹣2 D ．m ≥﹣2且m ≠111．下列计算正确的是（ ）A ．1233-=B ．235+=C ．43331-=D ．32252+= 12．下列运算一定正确的是( ) A ．2a a = B ．ab a b =⋅ C ．222()a b a b ⋅=⋅ D ．()0n m n a a m=≥ 二、填空题13．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51 4-_______12 14．若m ＝20161-，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____． 15．已知|a ﹣2007|+2008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____．16．若0xy >，则二次根式2y x x -化简的结果为________． 17．已知4a ，化简：2(3)|2|a a +--=_____．18．1262⨯÷＝_____．19．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____．20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记2a b c p ++=，那么三角形的面积()()()S p p a p b p c =---ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题21．1123124231372831-+- 533121【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.【详解】1123124231372831-+-=1)2(3+⨯=121. 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.22．计算： 21)3)(3--【答案】.【解析】【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算.【详解】解：原式22]-322]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.23．计算：（1﹣（2） （3）244x -﹣12x -．【答案】（1）2（3）-12x + 【解析】 分析：（1）根据二次根式的运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据乘法的分配律以及二次根式的性质进行计算即可；（3）根据异分母的分式的加减，先因式分解，再通分，然后按同分母的分式进行加减计算，再约分即可.详解：（1（2）（3）24142x x --- =41(2)(2)2x x x -+-- =42(2)(2)(2)(2)x x x x x +-+-+- =2(2)(2)x x x -+- =12x -+ 点睛：此题主要考查了二次根式的运算和分式的加减运算，熟练应用运算法则和运算律以及二次根式的性质进行计算是解题关键.24．阅读下面的解答过程，然后作答：m 和n ，使m 2+n 2=a 且，则a 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2例如：∵=）2+）2=）2∴请你仿照上例将下列各式化简（12【答案】（1）2-【分析】参照范例中的方法进行解答即可.解：（1）∵22241(1+=+=，1=（2）∵2227-=-=，∴==25．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x -【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案．【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x -∴ 3,4x y ==当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．26．先化简，再求值：(()69x x x x --+，其中1x =.【答案】化简得6x+6，代入得【分析】根据整式的运算公式进行化简即可求解.【详解】(()69x x x x +--+=22369x x x --++=6x+6把1x =代入原式=61）此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.27．观察下列各式：11111122=+-=11111236=+-=111113412=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1=_____________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式：______________；（3【答案】（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1156，过程见解析 【分析】 （1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．【详解】解：（1111114520=+-=； 故答案为：1120；（2111111(1)n n n n =+-=+++；11(1)n n =++；（31156== 【点睛】此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．28．已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算．本题解析：∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.29．02020((1)π-．【答案】【分析】本题根据零次幂，最简二次根式，整数次幂的运算规则求解即可．【详解】原式11=-=【点睛】本题考查幂的运算与二次根式的综合，需牢记非零常数的零次幂为1，二次根式运算时需化为最简二次根式，其次注意计算仔细．30．先阅读下面的解题过程，然后再解答.a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==±>.这里7m =，12n =，由于437+=，4312⨯=，所以22+==，2===..【答案】见解析【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【详解】根据题意，可知13m =，42n =，由于7613+=，7642⨯=，所以2213+=，====【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据直角二次根式满足的两个条件进行判断即可．【详解】被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项A 错误；=被开方数中含分母，不是最简二次根式，故选项B 错误；=被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项C 错误；是最简二次根式，故选项D 正确.故选D ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式是最简二次根式．2．D解析：D【分析】根据二次根式的意义先化简各项，再进行分式的加减运算可得出解.【详解】解：∵0＜x ＜1，∴0＜x ＜1＜1x ， ∴10x x +>，10x x-<．原式=11x x x x +-- =11x x x x++- =2x ．故选D ．点睛：本题考查了二次根式的性质和绝对值化简，也考查了分式的加减.3．D解析：D【分析】根据最简二次根式的特点解答即可.【详解】A ，故该选项不符合题意；B =C 、D 不能化简，即为最简二次根式，故选：D .【点睛】此题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的特点：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能再开方的因式或因数，牢记特点是解题的关键.4．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案；【详解】即：20x -≥ ，解得：2x ，故选：D ；【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键.5．D解析：D【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可.【详解】44180+=配方得22222180⎡⎤+-+⋅=⎣⎦222180⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦222()180x y +-=22162(2)180xy x xy y +-+=22122()180xy x y ++=将2224x y +=代入得：12224180xy +⨯=计算得：11xy =故选：D.【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握. 6．B解析：B【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可【详解】 2202a aa a a +-∴+<∴<-a a ∴==•=-故选B 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．解析：C【解析】【分析】利用分母有理化进行计算即可.【详解】由原式得：所以，因为，,所以.故选：C【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.8．B解析：B【解析】【分析】由图形可知，第n()1 1232n nn+ +++=案．【详解】由图形可知，第n()1 1232n nn+ +++=∴第889362⨯=，则第9行从左至右第536541+=，故选B．【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为()12n n+9．C解析：C【解析】试题解析：∵a2-2+1a a1，2(-1)a a∴1-a≥0，a≤1，故选C．10．D【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【详解】由题意可知：2010mm+≥⎧⎨-≠⎩，∴m≥﹣2且m≠1，故选D．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件.11．A解析：A【分析】A进行化简为B中，被开方数不同的两个二次根式之和不等于和的二次根式，据此可对B进行判断；C中，合并同类二次根式后即可作出判断；D中，无法进行合并运算，据此可对D进行判断．【详解】解：==A符合题意；B不符合题意；C.=C不符合题意；D.3与不能合并，故选项D不符合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，能够判断出二次根式是同类二次根式是解答此题的关键．12．C解析：C【分析】直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．【详解】A|a|，故此选项错误；B．，则a，b均为非负数，故此选项错误；C．a2•b2=（a•b）2，正确；D m n a（a≥0），故此选项错误．故选C．本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．二、填空题13．【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．【详解】(1)(2)∵∴∴故答案为：，．解析：<<【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．【详解】(1)<12=∵3=<<1 2故答案为：<，<．【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．14．4030【分析】利用平方差公式化简m，整理要求的式子，将m的值代入要求的式子计算即可. 【详解】m== m==+1，∴m3-m2-2017m+2015=m2（m ﹣1）﹣2017m+2015解析：4030【分析】利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.【详解】mm ）， ∴m 3-m 2-2017m +2015=m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015= ）22017）+2015=（2017+2015﹣2=4030.故答案为4030.【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.15．2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a ﹣2007|+=a ，∴a≥2008，解析：2008【解析】分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．详解：∵|a ﹣2007=a ，∴a ≥2008，∴a ﹣2007=a ，=2007，两边同平方，得：a ﹣2008=20072，∴a ﹣20072=2008．故答案为：2008．点睛：解决此题的关键是能够得到a 的取值范围，从而化简绝对值并变形．16．－【分析】首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：∵，且有意义，∴，∴．故答案为．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是 解析：【分析】首先判断出x ，y 的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】解：∵0xy > ∴00x y ＜，＜，∴x ==．故答案为．【点睛】 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩=（a ≥0，b >0）． 17．-5 【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵,∴a+3<0,2-a>0,∴-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此解析：-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵4a ,∴a+3<0,2-a>0,|2|a -=-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.18．6【分析】利用二次根式乘除法法则进行计算即可．【详解】＝＝＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．解析：6【分析】==进行计算即可．【详解】＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．19．﹣2a【分析】首先根据实数a、b在数轴上的位置确定a、b的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a＜0＜b，|a|＜|b|，∴=-a-b+b-a=-解析：﹣2a【分析】首先根据实数a 、b 在数轴上的位置确定a 、b 的正负，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类项即可求解．【详解】依题意得：a ＜0＜b ，|a|＜|b|，．故答案为-2a ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确利用数轴的已知条件化简是解题的关键，同时也注意处理符号问题． 20．【分析】根据a ，b ，c 的值求得p ＝，然后将其代入三角形的面积S ＝求值即可．【详解】解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝＝＝8．所以三角形的面积S ＝＝＝4．故答案为：4．【点睛】本题主解析：【分析】根据a ，b ，c 的值求得p ＝2a b c ++，然后将其代入三角形的面积S ＝【详解】解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝2a b c ++＝4572++＝8．所以三角形的面积S ．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大． 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式(含答案)
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式知识点讲解1、二次根式的定义 一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式的基本性质①2a =(a ≥0)； a = (a ≥0)； a = (a 取全体实数)。
3、二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①ab b a =⋅； ②b a ab ⋅= (a ≥0， b ≥0)。
(2)二次根式的除法：= = (a ≥0， b ＞0)。
4、最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
专题练习一、选择题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√12B ．√8C ．√13D ．√0.22．若二次根式√x +2有意义，则x 的取值范围是（ ）．A ．x >−2B ．x ≥−2C ．x <−2D ．x ≥23．化简√(−3)2的结果是（ ）A ．−3B ．±3C ．3D ．94．估计(√27−√6)÷√3的值应在（ ）A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间5．下列计算错误的是（ ）A ．3√2−√2=3B ．√60÷√5=2√3C ．√25a +√9a =8√aD ．√14×√7=7√26．若 x =√m −√n,y =√m +√n ，则 xy 的值是( ）.A ．2√mB ．m −nC ．m +nD ．2√n 7．计算：√12×√13−√8÷√2的结果是（ ） A ．2 B ．0 C ．-2 D ．−√28．用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形 ABCD (如图)，它的面积是 48， 已知长方形的一边长 AE =3√3， 图中空白部分是一个正方形，则这个小正方形的周长为( )A ．2√3B ．4√3C ．8√3D ．16√3二、填空题9．化简√3= 10．若√a +√3=3√3，则a = ． 11．计算(2√2+1)(2√2−1)的结果等于 ．12．若二次根式√x+3x 有意义，则x 的取值范围为 ．13．当m ＝ 时，二次根式√m −2取到最小值．三、解答题14．计算 （1）√16÷√2−√13×√6； （2）32√4x +2√x 9−x √1x +4√x4．15．已知2x =+2y =（1）试求22x y +的值； （2）试求x y y x-的值． 16．某居民小区有一块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC 为√162m ，宽AB 为√128m （即图中阴影部分），长方形花坛的长为(√13+1)m ，宽为(√13−1)m ，（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？17．已知x=2−√3，y=2+√3．（1）求x2+y2−xy的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．B8．C9．√33 10．1211．712．x ≥−3且x ≠013．214．解：（1）原式=√16÷2−√13×6＝2√2−√2=√2；（2）原式＝3√x +23√x −√x +2√x=143√x ．15．（1）解：∵2x =， 2y =∴x+y=22+，xy=(22+=1 ∴()2222242114x y x y xy +=+-=-⨯= ；（2）解：∵2x =+，2y =-∴x+y=22+，x-y=((2222--=+=xy=(22=1∴()()22x y x yx y x yy x xy xy+---====16．（1）解：长方形ABCD的周长=2(√162+√128)=2(9√2+8√2)=34√2(m)，答：长方形ABCD的周长是34√2m；（2）解：购买地砖需要花费=50[9√2×8√2−(√13+1)(√13−1)]=50(144−13+1)=50×132=6600（元）答：购买地砖需要花费6600元．17．（1）解：∵x=2−√3，y=2+√3，∴xy=(2−√3)(2+√3)=4−3=1，(x−y)2=(2−√3−2−√3)2=(−2√3)2=12，∴x2+y2−xy=(x−y)2+xy=12+1=13；（2）解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴3<2+√3<4，∴2+√3的整数部分是3，∴b=3，∵1<√3<2，∴−2<−√3<−1，∴0<2−√3<1，∴2−√3的整数部分是0，小数部分=2−√3−0=2−√3，∴a=2−√3，∴ax−by=(2−√3)(2−√3)−3(2+√3)=7−4√3+6−3√3=13−7√3，∴ax−by的值为13−7√3．）解：①(30x -2)x -②0020x x -22))(2)x -，又232x -+30x -+代数式当2x =时，代数式。
2019中考数学一轮复习第一单元数与式第4讲二次根式含答案
2019-2020 年中考数学一轮复习第一单元数与式第4讲二次根式(含答案)二次根式的相关观点二次根式一般地，形如a( ① ________) 的式子叫做二次根式.一定同时知足：(1) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2) 被开方数的因数是最简二次根式整数，因式是整式( 分母中不该含有根号).二次根式的性质两个重要的性质积的算术平方根商的算术平方根( a) 2＝ a(a ②________) ．2＝|a| ＝错误 !aab＝a· b(a ≥0， b≥ 0).a ab＝b(a ≥0， b>0).二次根式的运算二次根式的加减先将各根式化为⑤____________ ，而后归并被开方数⑥________的二次根式 .二次根式的乘法a· b＝⑦ ________(a≥0， b≥ 0)二次根式的除法a＝⑧ ________(a≥0， b＞ 0) b二次根式的与实数的运算次序同样，先算乘方，再算⑨________，最后算加减，有括号混淆运算的先算括号里面的( 或先去括号 ).绝对值： |a| ；偶次幂： a2n；非负数的算术平方根： a (a ≥0) 是常有的三种非负数形式．非负数拥有以下两条重要性质： (1) 非负数形式有最小值为零； (2) 几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零．命题点 1二次根式存心义的条件(2015 ·绵阳 ) 要使代数式2－ 3x存心义，则x 的 ()A．最大值是2B．最小值是233 33C．最大值是D．最小值是22此命题点的考察多是在求函数自变量的取值范围中一起考察，此外需注意的是：假如使复合型的式子存心义，一定得使每个式子存心义．1．(2015 ·宜昌 ) 以下式子没存心义的是 ()A.－ 3B.0C.2D.（－1）22．(2014 ·株洲 )x 取以下各数中的哪个数时，二次根式x－ 3存心义()A．－ 2B． 0 C ． 2D． 413．(2015 ·内江 ) 函数 y＝2－ x＋x－1中自变量 x 的取值范围是 ()A． x ≤ 2B． x≤ 2 且 x≠1C． x＜ 2 且 x≠1 D．x≠ 14．(2015 ·乐山 ) 函数 y＝x－ 2的自变量 x 的取值范围是 ________．命题点 2二次根式的运算1(2014 ·广元 ) 计算： 27－－ 12.2－ 3【解答】关于二次根式的混淆运算，其运算次序同实数的运算次序，即是先乘方，再乘除，最后加减．在二次根式的乘法运算中，若能使用整式乘法公式则尽量使用公式可使计算简易．运算结果必定假如最简二次根式．1．(2015 ·安徽 ) 计算 8×2的结果是 ()A. 10B． 4 C. 6D． 22．(2015 ·凉山 ) 以下根式中，不可以与3归并的是 ()112D. 12A. B. C.3333．(2015 ·眉山 ) 计算： 22－ 18＝ ________．4． (2015 ·滨州 ) 计算 (2＋ 3)( 2－3) 的结果为 ________．命题点 3非负数的性质(2015 ·资阳 ) 已知： (a ＋6) 2＋b2－2b－ 3＝ 0，则 2b2－ 4b－ a 的值为 ________．【思路点拨】 第一依据非负数的性质可求出a 的值和b 2－ 2b ＝3，从而可求出 2b 2－ 4b － a的值．此题主要考察非负数的性质， 初中阶段有三种种类的非负数： 绝对值、偶次方、二次根式 ( 算术平方根 ) ．当它们相加和为0 时，一定知足此中的每一项都等于0.1．(2013 ·攀枝花 ) 已知实数 x ， y ，m 知足 x ＋ 2＋ |3x ＋ y ＋ m|＝ 0，且 y 为负数，则 m 的取值范围是 ()A ． m ＞ 6B ． m ＜6C ． m ＞－ 6D ． m ＜－ 62．(2015 ·巴中 ) 若 a 、b 、c 为三角形的三边，且 a 、b 知足 a 2－ 9＋ (b － 2) 2＝ 0，则第三边 c 的取值范围是 ________．3．(2013 ·巴中 ) 若直角三角形的两直角边长为 a 、 b ，且知足a 2－ 6a ＋ 9＋ |b － 4| ＝0，则该直角三角形的斜边长为 ________．1．(2015 ·重庆 A 卷) 化简 12的结果是 () A ．4 3 B ．2 3 C ．3 2 D ．2 6 2．(2015 ·重庆 B 卷) 计算 3 2－ 2的值是 ()A ． 2B ． 3C. 2 D ．2 2113．(2014 ·金华 ) 在式子 x － 2、 x － 3、x － 2、 x － 3中， x 能够取 2 和 3 的是 ()1 1A.x － 2 B.x － 3 C. x － 2 D. x － 34．(2015 ·宁夏 ) 以下计算正确的选项是 () ＋2＝5B. 12÷ 3＝ 2 C ．( 5) －1＝ 5D ．( 3－1) 2＝ 25．(2014 ·济宁 ) 假如 ab ＞ 0， a ＋ b ＜ 0，那么下边各式：①a a ab ＝，②·＝ 1，bbba③ ab ÷a＝－ b ，此中正确的选项是 ()bA ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．(2015 5× 15·南京 ) 计算的结果是 ________．37． ( 原创 ) 若最简二次根式 3a ＋ 24a ＋ 3b 是同类二次根式，则 a ＝ ________， b2a － b ＋ 4与 ＝ ________．8．(2015·临沂 ) 计算： (3＋ 2－ 1)( 3－ 2＋ 1) ．9．已知 a、 b、 c 足| a－18|＋b－ 7＋ (c －32) 2＝ 0.(1)求 a、 b、 c 的；(2) 以 a、 b、c不可以，明原因．可否组成三角形？假如能组成三角形，求出三角形的周；假如110．(2015 ·随州 ) 若代数式x－1＋x存心，数x 的取范是 ()A． x≠ 1B． x≥ 0C． x≠ 0D． x≥ 0 且 x≠111．(2015 ·孝感 ) 已知 x＝ 2－ 3，代数式 (7 ＋ 43)x 2＋ (2 ＋ 3)x ＋3的是 ()A． 0 B. 3C．2＋ 3D．2－ 3a＋ b12． ( 原 ) 于随意不相等的两个数a、 b，定运算※以下： a※b＝a－b，如 3※2 3＋ 2＝3－2＝ 5. 那么 8※4＝ ________．13．察下边的形律：111＝4－3，1＝ 2－1，＝3－2，＝ 5－ 4，⋯2＋ 13＋ 24＋ 35＋ 4解答下边的：(1) 若 n 正整数，你猜想1＝ ________；n＋ 1＋ n(2) 算 (111＋⋯1＋＋4＋ 3)×( 2 016 ＋1)．2＋ 13＋ 22015＋ 2014参照答案考点解考点 1①a≥0 ②≥0 ③a ④－ a考点 2⑤最二次根式⑥同样⑦ ab⑧a⑨乘除b各个破例 1 A1.A2.D3.B4.x ≥2例 2 原式＝33－2＋ 3－2 3＝33－(2＋3) －2 3＝3 3－ 2－ 3－3）（ 2＋（2－3）23＝－ 2.2.C3.－ 24. －1例3 122.1 ＜ c＜ 5整合集基关1．18. 原式＝ [3＋ (2－ 1)][3－ (2－ 1)]＝(3)2－(2－1)2＝3－(2 －2 2＋1)＝2 2.9.(1) 由非数的性求得：a＝ 3 2， b＝ 7， c＝ 4 2.(2)因 a＋ c＝ 3 2＋ 4 2＝ 7 2，因此 a＋ c>b，因 c－ a＝ 42－3 2＝ 2.因此 c－ a<b.因此以 a、b、 c 能组成三角形．三角形的周7 2＋7.能力提高10． D11.C 12.313.(1)n＋ 1－ n(2) 原式＝ [( 2－1) ＋ ( 3－2) ＋(4－ 3) ＋⋯＋ ( 2 016 － 2 015)](2016＋1)＝( 2 016 － 1)( 2 016 ＋1)＝( 2 016) 2－ 12＝2 016 －1＝2 015.。
2020届人教版中考数学一轮复习-第4讲 二次根式(有答案)
第4讲二次根式知识梳理1.二次根式（1 a ≥0）的式子叫做二次根式。
（2）最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能够开方的因数或因式；（3）将二次根式化成最简二次根式的一般步骤：①把根号下的带分数或小数化成假分数或者真分数；②被开方数是多项式的进行因式分解；③使被开方数不含分数；④将被开方数中能开得尽的因数或因式进行开方；⑤化去分母中的根号⑥约分。
（4）同类二次根式将二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
（5）识别同类二次根式的方法：①要在理解的基础上记住最简二次根式的概念，判断时只需要看被开方数；②要注意当被开方数是多项式时，要先分解因式，找一找有没有开得尽方的因式和因数。
（6）二次根式的性质：①把根号下的带分数或小数化成假分数或者真分数；≥；②2(0)=≥；a aa(a≥0),=|a|=-a(a＜0)；a b=≥≥；0,0)=≥>0,0)a b2.二次根式的运算（1）分母有理化：把分母中的根号化去，使分母变成有理数，这个过程就叫做分母有理化。
（2）二次根式的加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式后，再合并同类二次根式。
（3）二次根式的乘法：两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。
乘法法则：(0,0)a b ab a b •=≥≥（4）二次根式的除法：两个二次根式相除，括号里面被开方数相除。
除法法则：(0,0)a a a b b b=≥f （5）二次根式的混合运算法则：先乘方后乘除，最后加减；若有括号，则先算括号里面的。
注意：二次根式运算的结果一定要化成最简二次根式。
【考点解析】考点一：开方运算的应用【例1】（2017内蒙古赤峰）能使式子+成立的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ≤2【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：，解得：1≤x≤2．故选：C．考点二：二次根式的性质【例2】若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+=0，再根据非负数的性质得x2﹣4x+4=0，2x﹣y﹣3=0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后计算它们的和即可．【解答】解：根据题意得|x2﹣4x+4|+=0，所以|x2﹣4x+4|=0， =0，即（x﹣2）2=0，2x﹣y﹣3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了非负数的性质．考点三:二次根式的运算【例题3】（2017山东滨州）下列计算：（1）=2，（2）=2，（3）（﹣2）2=12，（4）（+）（﹣）=﹣1，其中结果正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】79：二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的性质对（1）、（2）、（3）进行判断；根据平方差公式对（4）进行判断．【解答】解：：（1）=2，（2）=2，（3）（﹣2）2=12，（4）（+）（﹣）=2﹣3=﹣1．故选D．【中考热点】下列计算结果正确的是（）A．2+=2B． =2 C．（﹣2a2）3=﹣6a6D．（a+1）2=a2+1【考点】二次根式的乘除法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算．【解答】解：A、2+不是同类二次根式，所以不能合并，所以A错误；B、=2，所以B正确；C、（﹣2a2）3=﹣8a6≠﹣6a6，所以C错误；D、（a+1）2=a2+2a+1≠a2+1，所以D错误．故选B【达标检测】1. 下列运算正确的是（）A．（x﹣y）2=x2﹣y2B．|﹣2|=2﹣C．﹣=D．﹣（﹣a+1）=a+1【分析】根据完全平方公式，二次根式的化简以及去括号的法则进行解答．【解答】解：A、原式=x2﹣2xy+y2，故本选项错误；B、原式=2﹣，故本选项正确；C、原式=2﹣，故本选项错误；D、原式=a﹣1，故本选项错误；故选：B．【点评】本题综合考查了二次根式的加减法，实数的性质，完全平方公式以及去括号，属于基础题，难度不大．2. 下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【考点】74：最简二次根式．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；C、被开方数含分母，故C不符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；故选：A．3. （2016·重庆市B卷·4分）若二次根式有意义，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a≤2C．a＞2 D．a≠2【考点】二次根式有意义的条件．【专题】计算题；实数．【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴a﹣2≥0，即a≥2，则a的范围是a≥2，故选A【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式性质为：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．4. （2016·山东潍坊·3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．故选：A．5. （2016·内蒙古包头·3分）计算：6﹣（+1）2= ﹣4 ．【考点】二次根式的混合运算．【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．【解答】解：原式=6×﹣（3+2+1）=2﹣4﹣2=﹣4．故答案为：﹣4．6. （2016·山东潍坊·3分）计算：（+）= 12 ．【考点】二次根式的混合运算．【分析】先把化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．【解答】解：原式=•（+3）=×4=12．故答案为12．7. （2017内江）计算：﹣12017﹣丨1﹣丨+×（）﹣2+0．【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=﹣1﹣|1﹣×|+2×4+1 =﹣1﹣0+8+1=8．。
专题04二次根式(讲练)-2023年中考一轮复习(原卷版)
2023年中考数学总复习一轮讲练测（）第一单元 数与式专题04二次根式（讲练）1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式a 中被开方数a 为非负数并且a 也是非负数.2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.1．（2021•杭州）下列计算正确的是( )A 2=B 2=-C 2±D 2=±2．（2022有意义，x 的取值范围是( ) A ．5x B ．5x ≠ C ．5x > D ．5x3．（2022有意义，x 的取值范围是( ) A ．5x B ．9x ≠ C ．59x D ．59x <4．（2022秋•上城区校级期中）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简||a b a -+-( )A．b c-+D．2a b ca b c++-C．222--B．c b5．（2022=；2(2)-=．6．（2021x的值可以是．（写出一个即可）7．（2021春•鹿城区校级期中）当3a==．8．（2021秋•鄞州区校级期末）已知3y，则xy的值为．9．（2021秋•诸暨市期末）如图1，以Rt ABC∆各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图2所示依次叠在③上，已知四边形EMNB与四边形MPQN的面积分别为，则Rt ABC∆的斜边长AB=．10．（20201|-．11．（2022春•拱墅区期中）计算（1（2）12．（2022春•柯桥区月考）化简：（1；（2）22)+．13．（2022春•椒江区校级期中）阅读下列材料，并回答问题：把形如a +a a -、b 为有理数且0b >，m 为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．（1）请你举出一对共轭实数： 和 ；（2）-a 、b 的值；（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是，请求出这两个共轭实数．1．二次根式的有关概念：(1)二次根式：式子 叫做二次根式．(2)最简二次根式需满足两个条件：①被开方数 ．②被开方数中 的因数或因式．2．二次根式的性质：（1）(a )2＝ (a ≥0)．（2）a 2＝ ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）. （3）ab ＝ (a ≥0，b ≥0)．（4）ab ＝ (a ≥0，b ＞0)．二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．3．二次根式的运算：(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式． (2)二次根式的乘法：a ·b ＝ (a ≥0，b ≥0)．(3)二次根式的除法：a b＝ (a ≥0，b ＞0)． 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．考点一、 二次根式中字母的取值范围例1．（2021春•长兴县月考）求下列二次根式中字母的取值范围：（1）√2k −1．（2）√1k+1．【变式训练】1．（2022春•安吉县期末）若√x是二次根式，则x的值可以是（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3 2．（2022春•乐清市期末）当a＝5时，二次根式√4+a的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1 3．（2022春•仙居县期中）下列的式子中是二次根式的是（）A．√−1B．√3−πC．√83D．√3 4．（2022春•钱塘区期末）下列二次根式中字母a的取值范围是全体实数的是（）A．√a B．√a−1C．√1a+1D．√(a−1)25．（2022秋•南湖区校级期中）已知y=√x−2+√2−x+4，y x的平方根是（）A．16B．8C．±4D．±2考点二、二次根式的性质例2．（2021春•邗江区月考）计算：（1）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简√a2+|c﹣a|+√(b−c)2；（2）已知x、y满足y=√x2−9+√9−x2+1x−3，求5x+6y的值．【变式训练】1．（2022秋•南湖区校级期中）下列计算正确的是（）A．√(−2)2=±2B．√(−2)2=−2C．√−83=2D．√12=2√32．（2022春•金东区期中）下列计算正确的是（）A．√9=±3B．√22+32=5C．√4=2D．√(−3)2=−33．（2022春•长兴县期中）二次根式√50的化简结果正确的是（）A．5√2B．2√5C．10√5D．5√104．（2022秋•海曙区校级期中）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：√a2−|a+c|−√(c−b)2−|−b|的结果是（）A．2c﹣2b B．﹣2c C．﹣2a﹣2c D．05．（2022•谷城县二模）计算：√(1−√2)2=．6．（2022•钱塘区二模）已知√(3+a)2=−3−a ，则a 的取值范围 ． 考点三 、二次根式的运算例3．（2022春•滨江区校级期中）计算：（1）√12−√43；（2）(√5−√3)2+(√5+√3)(√5−√3)． 【变式训练】1．（2022春•鹿城区校级期中）下列计算正确的是（ ）A ．√3√2=√62B ．√(−2)2=−2C ．(√2)2=4D ．√4916=2342．（2022春•婺城区期末）下列计算正确的是（ ）A ．3+√3=3√3B ．2√3+√3=3√3C ．2√3−√3=2D ．√3+√2=√53．（2022春•长兴县月考）已知a ＝2020×2022﹣2020×2021，b =√20232−4×2022，c =√20212−1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a4．（2022春•长兴县月考）（√6+√5）2021×（√6−√5）2022＝ ．5．（2022•江北区开学）若a +6√3=(m +n √3)2，当a ，m ，n 均为正整数时，则√a 的值为 ．6．（2022春•富阳区期中）计算：（1）√8×√18；（2）(7+4√3)(7−4√3)+(√5−1)2．7．（2022春•南湖区校级期中）计算：（1）12√12−√27−9√13 （2）(√15−4)2021×(√15+4)2022考点四 、二次根式的化简求值及应用例4．（2022春•拱墅区期中）已知a =√7+√6，b =√7−√6，试求：（1）ab ；（2）a 2+b 2﹣5+2ab ．1．（2022•瑞安市校级三模）当a =√3+1时，代数式（a ﹣1）2﹣2a +2的值为 ．2．（2022春•东阳市期末）设a =√7+√6，b =√7−√6，则a 2021b 2022的值是 ．3．（2022春•拱墅区期中）已知a=√7+√6，b=√7−√6，试求：（1）ab；（2）a2+b2﹣5+2ab．4．（2022春•义乌市月考）小芳在解决问题：已知a=2+√3，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a=12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a＝2−√3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1）计算：√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√2022+√2021．（2）若a=1√2−1．①求4a2﹣8a﹣1的值；②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值．5．（2022春•余杭区期中）如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20√2cm．要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5√2cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠）．图1和图2是两种不同裁法的示意图．（1）求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数；（2）分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度；（3）这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？。
2025年中考数学一轮复习：二次根式(附答案解析)
）
B．a＞1
A．x＞﹣2
C．﹣2
）
C．a≥﹣3 且 a≠1
D．a＞﹣3 且 a≠1
）
B． 7 − 3 = 2
C．
1
× 8 =± 2
2
10．观察式子： 4 × 9 = 36 = 6， 4 × 9 =2×3＝6；
49 9
× =
100 4
D．2
1
= 2
2
441 21
49
= ，
×
400 20 100
9
=
4
7 3 21
1
17．计算： 8 × 2 − 2���60° − | 3 − 2| + ( 2 )−2 ．
3
18．计算：( 3)2 − 8 ÷ 2 + 27．
19．高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”
，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力
惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间 t（单位：s）和高
的行人吗？请说明理由．
（注：伤害无防护人体只需要 65J 的动能）
20．阅读与思考
请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
1
2
=
1× 2
2× 2
=
2
2
，
3
3− 2
=
3( 3+ 2)
( 3− 2)( 3+ 2)
=
第 2页（共 13页）
3+ 6
( 3)2 −( 2)2
=3+ − 2与 3 + 2相乘，积不含有二次根式，我们可将这
A． ( − 2)2 =− 2
D．15
D．（a+b）2＝a2+b2
中考数学一轮复习数学二次根式试题含答案
一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．=1212⨯B ．4-3=1C ．63=2÷D ．8=2± 2．下列计算正确的为（ ）．A ．2(5)5-=-B ．257+=C ．64322+=+D ．3622= 3．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A ．9 B ．13 C ．20 D ．74．下列各式成立的是（ ）A ．2(3)3-=B ．633-=C ．222()33-=-D ．2332-=5．当0x =时，二次根式42x -的值是（ ）A ．4B ．2C ．2D ．06．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 7．在函数2x +中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥－2且x≠3B ．x≤2且x≠3C ．x≠3D ．x≤－2 8．化简二次根式 22a a +-） A 2a --B 2a --C 2a -D 2a -9．若3235a =++，2610b =+a b 的值为（ ） A ．12 B ．14 C 23+ D 610+ 10．下列运算中正确的是（ ）A ．27?3767=B ()24423233333===C ．3313939===D ．155315151÷⨯=÷=二、填空题11．已知2216422x x ---=，则22164x x -+-=________．12．设a ﹣b=2+3，b ﹣c=2﹣3，则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____．13．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；⑵根据以上规律写出n a 的表达式．14．已知()2117932x x x y ---+-=-，则2x ﹣18y 2＝_____．15．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________．16．已知m=1+ 2，n=1﹣2，则代数式22m n mn +-的值________．17．将一组数2，2，6，22，10，…，251按图中的方法排列：若2的位置记为（2，3），7的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．18．11122323-=11113-23438⎛⎫= ⎪⎝⎭11114-345415⎛⎫= ⎪⎝⎭据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________．19．化简(32)(322)+-的结果为_________.20．2m 1-1343m --mn ＝________．三、解答题21．计算：10099+【答案】910【解析】 【分析】 先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算【详解】10099++10099+++=991-++-=1100-=1110-=910【点睛】本题看似计算繁杂，但只要找到分母有理化这个突破口，就会化难为易。
2024年中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习 二次根式 (含答案)
专题 二次根式知识点1：二次根式的定义与性质 1.二次根式的定义一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
注意：二次根式从形式上看，应含有二次根号；被开方数的取值范围有限制即被开方数a 必须是非负数。
二次根式无意义的条件是因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。
2.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说a （）是一个非负数，即)0(0≥≥a a 。
注：因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如若0a b +=，则a=0,b=0；若0a b +=，则a=0,b=0；若20a b +=，则a=0,b=0。
（2）2()a a =（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式2()a a =（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则2()a a =，如： 22(2)=（3）知识点2：二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a将上面的公式逆向运用可得：)0,0(≥≥•=b a b a ab 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2.二次根式的除法法则：baba =).0,0(>≥b a 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd =-⨯-≠-⨯-. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)493.分母有理化：（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）关键：把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。
4.最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。
知识点3：二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
2019年宜宾中考总复习精练第1章数与式第4讲二次根式(含答案)
第四讲 二次根式1．(2019潍坊中考)若代数式x －2x －1有意义，则实数x 的取值范围是( B )A ．x ≥1B ．x ≥2C ．x ＞1D ．x ＞22．(2019淮安中考) 下列式子为最简二次根式的是( A ) A. 5 B.12 C.a 2D.1a3．(2019十堰中考)下列运算正确的是( C ) A.2＋3＝ 6 B ．22×32＝6 2 C.8÷2＝2 D ．32－2＝3 4．计算48－913的结果是( B ) A ．－ 3 B. 3 C ．－113 3 D.11335．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( C ) A ．9 B ．±3 C ．3 D. 5 6．若x －1＋(y ＋2)2＝0，则(x ＋y)2 018等于( B )A ．－1B ．1C ．32 018 D ．－32 0187．(2019徐州中考改编)使x －6有意义的x 的最小整数是__6__．8．计算：(1)(2019长春中考)2×3＝；(2)(2019衡阳中考)8－2＝．9．已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，则x 21＋x 22＝__10__．10．已知a(a －3)＜0，则|a －3|＋a 2＝． 11．若20n 是整数，则正整数n 的最小值为__5__．12．将2，3，6按下列方式排列，若规定(m ，n)表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(15，7)表示的两数之积是．13．(2019滨州中考改编)计算： 33＋(3－3)0－|－12|－2－1－cos60°.解：原式＝3＋1－23－12－12＝－ 3.14．设a ＝19－1，且a 在两个相邻的整数之间，则这两个整数是( C )A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和515．若反比例函数y＝a－2 018x的图象与正比例函数y＝(a－2 016)x的图象没有公共点，则化简（a－2 018）2＋（a－2 016）2的结果为( C )A．－2 B．2a－4 034C．2 D．4 03416．将一组数3，6，3，23，15，…，310，按下面的方式进行排列：3，6，3，23，15，32，21，26，33…若23的位置记为(1，4)，26的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( C )A．(5，2) B．(5，5) C．(6，2) D．(6，5)17．已知a，b为有理数，m，n分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn＋bn2＝1，则 2a＋b＝__2.5__．18.若y＝x－4＋4－x2－2，则(x＋y)y＝__14__．19.计算：(2－3)2 017(2＋3)2 018－2|－32|－(－2)0.解：原式＝[(2－3)(2＋3)]2 017(2＋3)－2×32－1＝(2＋3)－3－1＝2＋3－3－1＝1.20．解方程：x＋2x－1＋x－2x－1＝x－1.解：方程两边同时平方，得2x＋2x2－（2x－1）2＝x2－2x＋1，变形，得2x＋2x2－4x＋4＝x2－2x＋1，2x＋2（x－2）2＝x2－2x＋1，2x＋2|x－2|＝x2－2x＋1，∵x－1≥0，即x≥1.∴①当1≤x＜2时，原方程化简为：2x＋2(2－x)＝x2－2x＋1，即x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3(都不符合题意，舍去)，②当x≥2时，原方程化简为：2x＋2(x－2)＝x2－2x＋1，即x2－6x＋5＝0，解得x1＝1，x2＝5(x＝1不符合题意，舍去)，综上，原方程的解为x＝5.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，AB ∥ED ，CD=BF ，若△ABC ≌△EDF ，则还需要补充的条件可以是（ ）A.AC=EFB.BC=DFC.AB=DED.∠B=∠E2．立定跳远是体育中考选考项目之一，体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表：则下列关于这组数据的说法，正确的是（ ） A ．众数是2.3 B ．平均数是2.4 C ．中位数是2.5D ．方差是0.013．如图，OA 在x 轴上，OB 在y 轴上，OA ＝4，OB ＝3，点C 在边OA 上，AC ＝1，⊙P 的圆心P 在线段BC 上，且⊙P 与边AB ，AO 都相切．若反比例函数y ＝kx（k≠0）的图象经过圆心P ，则k 的值是（ ）A.54-B.53-C.52-D.﹣24．在平面直角坐标系中，点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．(3,5)B ．(3,-5)C ．(-3,-5)D ．(-3,5)5．下列计算正确的是（ ） A ．224a a a += B ．()2326a a =C ．()23533a aa -=-gD ．623422a a a ÷=6．国家统计局统计资料显示，2018年第一季度我国国内生产总值为31355.55亿元，用科学记数法表示为( )元．(用四舍五入法保留3个有效数字) A ．831355.510⨯B ．133.1410⨯C ．123.1410⨯D ．123.1310⨯7．为了调查某校同学的体质健康状况，随机抽查了若干名同学的每天锻炼时间如表：则关于这些同学的每天锻炼时间，下列说法错误的是（ ） A ．众数是60B ．平均数是21C ．抽查了10个同学D ．中位数是508．某同学做了四道题：①3m+4n=7mn ；②（﹣2a 2）3=﹣8a 6；③6x 6÷2x 2=3x 3；④y 3•xy 2=xy 5，其中正确的题号是（ ） A ．②④B ．①③C ．①②D ．③④9．如图，平面上有两个全等的正八边形ABCDEFGH 、A′B′C′D′E′F′G′H′，若点B 与点B′重合，点H 与点H′重合，则∠ABA′的度数为（ ）A.15°B.30°C.45°D.60°10．如图，ABCDEF 为⊙O 的内接正六边形，AB ＝m ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．6πm 2B m 2C ．3π⎛- ⎝⎭m 2D ．6π⎛- ⎝⎭m 211．如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＞90°，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上，将△CDE 沿DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 的延长线上的点F 处，连结AD ，则下列结论不一定正确的是（ ）A.AE=EFB.AB=2DEC.△ADF 和△ADE 的面积相等D.△ADE 和△FDE 的面积相等12．下列计算正确的是（ ） A ．（a 2b ）2＝a 2b 2 B ．a 6÷a 2＝a 3C ．（3xy 2）2＝6x 2y 4D ．（﹣m ）7÷（﹣m ）2＝﹣m 5二、填空题13．如图，在3×3的方格中（共有9个小格），每个小方格都是边长为1的正方形，O、B、C是格点，则扇形OBC的面积等于___（结果保留π）14．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是_____度．15．分解因式：ab4－4ab3＋4ab2＝______________。
中考数学第一轮复习(第4讲--数的开方与二次根式)
【例题1】 (2012·浙江宁波)下列计算正确的是( )． A．a6÷a2＝a3 B．(a3)2＝a5
解析 根据同底数幂的除法，幂的乘方，算术平方根，立方根运算
法则逐一计算作出判断：
A．a6÷a2＝a6－2＝a4≠a3，故本选项错误； B．(a3)2＝a3×2＝a6≠a5，故本选项错误；
第三十五 ，共44 。
【预测1】 下列计算：
答案 C
第三十六 ，共44 。
【预测2】 下列运算正确的是
( )．
答案 C
第三十七 ，共44 。
易 错防 范
第三十八 ，共44 。
数的开方、二次根式常见错误
第三十九 ，共44 。
【典型例题】
第四十 ，共44 。
第四十一 ，共44 。
第二十八 ，共44 。
A．a≠0
C．a＞－2或a≠0
B．a＞－2且a≠0 D．a≥－2且a≠0
答案 D
第二十九 ，共44 。
【预测3】 下列二次根式中，最简二次根式是( )．
答案 B
第三十 ，共44 。
答案 C
第三十一 ，共44 。
解析 考查二次根式和绝对值等非负数的性质，由已知得，x＝ －3，y＝2 013，所以x＋y＝－3＋2 013＝2 010.
(3)混合运算：与实数的混合运算顺序相同．
状元笔记 (1)加减运算：需先化简，再合并；
(2)乘除运算：可先乘除，后化简．
第十四 ，共44 。
对 接中 考
第十五 ，共44 。
对接点一：平方根、立方根及算数平方根
常考角度
1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
中考数学一轮复习二次根式知识点及练习题含答案
一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A ．()222a b a b -=-B ．()322x x 8x ÷=+C ．1a a a a ÷⋅=D 4=-2．对于所有实数a ，b ，下列等式总能成立的是（ ）A ．2a b =+B 22a b =+C a b =+D a b =+ 3．下列各式中，正确的是（ ）A 2=±B =C 3=-D 2=4．有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x≠2 B ．x >-2 C ．x <-2 D ．x≠-25．下列各式中正确的是（ ）A 6B 2=-C 4D ．2(＝76．下列式子中，为最简二次根式的是（ ）A B C D7．已知m 、n m ，n ）为（ ）A ．（2，5）B ．（8，20）C ．（2，5），（8，20）D ．以上都不是8．若a，b ＝，则a b 的值为（ ） A ．12 B ．14 C ．321+ D9．设0a >，0b >=的值是（ ）A ．2B ．14C ．12D ．3158 10．下列属于最简二次根式的是( )A ．8B ．5C ．4D ．13 二、填空题 11．已知实数,x y 满足()()22200820082008x x y y ----=，则2232332007x y x y -+--的值为______.12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()22b a b +-﹣|a +b |的结果是_____．13．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．14．若()()22223310x y x y +++-+=，则222516x y +=______. 15．222a a ++-1的最小值是______．16．若613-的整数部分为x ，小数部分为y ，则(213)x y +的值是___.17．已知|a ﹣2007|+2008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____．18．已知a ，b 是正整数，若有序数对（a ，b ）使得112()a b+的值也是整数，则称（a ，b ）是112()a b +的一个“理想数对”，如（1，4）使得112()a b+=3，所以（1，4）是112()a b +的一个“理想数对”．请写出112()a b+其他所有的“理想数对”： __________． 19．计算：11882--=_____________． 20．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____．三、解答题21．小明在解决问题：已知a 23+2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的： 因为a 23+()()32323+-＝23，所以a －2所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3.所以a 2－4a ＝－1.所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)计算：= － . (2)… (3)若a，求4a 2－8a ＋1的值．【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5【分析】（11==；（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；（3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2413a --代入求解即可.【详解】(1)计算：1=； (2)原式)1...11019=++++==-=；(3)1a ===， 则原式()()224213413a a a =-+-=--，当1a =时，原式2435=⨯-=.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.22．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.请模仿小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有mn 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；（2）填空：13-( - 2；（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46.【解析】试题分析：（1）把等式)2a n +=+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案； （2）由（1）中结论可得：2231324a m nb mn ⎧=+=⎨==⎩，结合a b m n 、、、都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：213(1-=-；（3）将()2a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.试题解析：（1）∵2a n =+)，∴223a m n +=++，∴2232a m n b mn =+=，；（2）由（1）中结论可得：2231324a m nb mn ⎧=+=⎨==⎩ ， ∵a b m n 、、、都为正整数，∴12m n =⎧⎨=⎩ 或21m n =⎧⎨=⎩ ， ∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1，∴(2131--；（3）∵222()52a m m n +=+=++∴225a m n =+，62mn = ，又∵a m n 、、为正整数，∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =，即a 的值为：46或14.23．-10【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．24．计算(2)2；(4)【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）【分析】 （1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．【详解】解：==(2)2=22-=63-=9-=1；(4)===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．25．观察下列各式：11111122=+-=11111236=+-=111113412=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1=_____________ （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n （n 为正整数）表示的等式：______________；（3【答案】（1）1120；（211(1)n n =++；（3）1156，过程见解析 【分析】 （1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．【详解】解：（1111114520=+-=； 故答案为：1120；（2111111(1)n n n n =+-=+++；11(1)n n =++；（31156== 【点睛】此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．26．已知x y ==求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2).y x x y+ 【答案】(1) 72;(2)8. 【分析】计算出xy=12， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；（2）把原式变形为2()2x y xy xy+-，然后利用整体代入的方法计算. 【详解】∵x =，y ==32∴xy=12, (1)22x xy y -+=（x+y ）2-3xy,=2132-⨯=72; (2)y x x y +=2212()22812x y xy xy -⨯+-==.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．27．计算（1）)(12112-⨯--⎝⎭（2）已知：11,22x y ==，求22x xy y ++的值． 【答案】（1）28-；（2）17．【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算二次根式的乘法、负指数幂运算，再计算二次根式的加减法即可得；（2）先求出x y +和xy 的值，再利用完全平方公式进行化简求值即可得．【详解】（1）原式()((221312⎡⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦，(()1475452=⨯+---230=+28=-；（2）(1119,22x y ==，1122x y∴+=+=， ()11119112224xy =⨯=⨯-=， 则()222x xy y x y xy ++=+-， 22=-，192=-，17=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．28．（1|5-+；（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．【答案】（1）5；（2）4【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可；（2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可．【详解】解：（15-+5)=+5=+5=（2）由题意可知：5050b b -≥⎧⎨-≥⎩, 解得5b =由此可化简原式得，30a +=30a ∴+=，20c -=3a ∴=-，2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据完全平方公式，整式的除法，分式的乘除法，二次根式的性质和化简运算法则逐一计算作出判断．【详解】解： A ．()222a b a 2ab b -=-+，选项错误；B ．()3322x x 8x x 8x ÷=÷=，选项正确；C ．111a a 1a a a ÷⋅=⋅=，选项错误；D 44=-=，选项错误．故选：B ．2．B解析：B【详解】解：A 、错误，∵2=+a bB 、正确，因为a 2+b 2≥0a 2+b 2；CD =|a +b |，其结果a+b 的符号不能确定．故选B ．3．B解析：B【分析】本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A 、B 、C 选项；利用立方根性质判断D 选项．【详解】A ，故该选项错误；B ==C 3=，故该选项错误；D 11223334=(2)2==，故该选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．4．B解析：B【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，可得答案．【详解】有意义，得：20x+>，解得：2x>-．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．5．D解析：D【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：A，故A错误；B12=，故B错误；C=C错误；D、2(=7，故D正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．6．B解析：B【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】2=，故A不是最简二次根式；是最简二次根式，故B正确；，故C不是最简二次根式；=D不是最简二次根式；故选：B．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．7．C解析：C【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案．【详解】解：∵m、n是正整数，∴m=2，n=5或m=8，n=20，当m=2，n=5时，原式=2是整数；当m=8，n=20时，原式=1是整数；即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．8．B解析：B【解析】【分析】将a可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出ab的值．【详解】a=b44=．∴14ab=．故选：B．【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．9．C解析：C【分析】=变形后可分解为：）＝0，从而根据a＞0，b＞0可得出a和b的关系，代入即可得出答案．【详解】由题意得：a＝＋15b，∴＋）＝0，＝，a＝25b，12．故选C．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，有一定难度，根据题意得出a和b的关系是关键．10．B解析：B【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【详解】解：A，不符合题意；BC=2，不符合题意；D3，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．二、填空题11．1【分析】设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b∴x=y，a+b=0，∴，∴x2=y2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系.12．3b【分析】先判断a，b的取值范围，并分别判断a-b，a+b的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b＞0，a﹣b＜0，a+b＜0，∴原式＝|解析：3b【分析】先判断a，b的取值范围，并分别判断a-b，a+b的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b＞0，a﹣b＜0，a+b＜0，∴原式＝|b|+|a﹣b|﹣|a+b|＝b ﹣（a ﹣b ）+（a +b ）＝b ﹣a +b +a +b＝3b ，故答案为：3b【点睛】a =和绝对值的性质是解题的关键．13．-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，∴∴﹣|a ﹣c|+﹣|﹣b|＝解析：-2a【分析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．【详解】由图可知，0c a b ＜＜＜∴00.a c c b ＞，＜|a ﹣c ﹣|﹣b |＝||()||a ac c b b =()aa cbc b =aa cbc b =-2a .【点睛】本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a ,都有||a =；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号.14．【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】移项得，两边平方得，整理得，两边平方得，所以，两边除以400得，1.故答案为1.【点睛】解析：【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】10=-两边平方得，()()22223=1003x y x y ++--+整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=两边除以400得，222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.15．0【解析】【分析】先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解。
第4讲 二次根式(含答案点拨)
第4讲 二次根式的加减乘除运算以及混合运算.考查形知识梳理 一、二次根式 1．概念形如________的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件要使二次根式a 有意义，则a ≥0. 二、二次根式的性质 1．(a )2＝a (______)．2．a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧(a ≥0)， (a <0).3．ab ＝______(a ≥0，b ≥0)．4．a b＝______(a ≥0，b ＞0)．三、最简二次根式、同类二次根式 1．概念我们把满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的______或______的二次根式，叫做最简二次根式．2．同类二次根式的概念几个二次根式化成________________以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式．四、二次根式的运算 1．二次根式的加减法合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．2．二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法：a ·b ＝____(a ≥0，b ≥0)．(2)二次根式的除法：ab＝____(a ≥0，b ＞0)．自主测试1．使3x －1有意义的x 的取值范围是( )A ．x ＞13B ．x ＞－13C ．x ≥13D ．x ≥－132．已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( )A ．－15B ．15C ．－152D ．1523．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是( )A ．18B ．27C ．23D ．324．下列运算正确的是( )A ．25＝±5B ．43－27＝1C ．18÷2＝9D ．24·32＝65．估计11的值( )A ．在2到3之间B ．在3到4之间C ．在4到5之间D ．在5到6之间6．化简：27－12＋43.考点一、二次根式有意义的条件【例1】若使x ＋12－x有意义，则x 的取值范围是________．解析：x ＋1与2－x 都是二次根式的被开方数，都要大于等于零．又因2－x 不能为零，可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x >0，解得－1≤x ＜2.答案：－1≤x ＜2方法总结 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围时，首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，如分母不等于零，最后解不等式(组)．触类旁通1 要使式子a ＋2a有意义，则a 的取值范围为__________．考点二、二次根式的性质【例2】把二次根式a －1a化简后，结果正确的是( )A ．－aB ．－－aC ．－aD ．a解析：要使a －1a 有意义，必须－1a＞0，即a ＜0.所以a －1a ＝a －a a 2＝a －a－a＝－－a .答案：B方法总结 如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．触类旁通2 如果(2a －1)2＝1－2a ，则( )A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ＞12D ．a ≥12考点三、最简二次根式与同类二次根式【例3】(1)下列二次根式中，最简二次根式是( )A ．2x 2B ．b 2＋1C ．4aD ．1x(2)在下列二次根式中，与a 是同类二次根式的是( ) A ．2a B ．3a 2 C ．a 3 D ．a 4解析：(1)A 选项中的被开方数中含开得尽方的因式，C 选项中的被开方数中含开得尽方的因数，D 选项中的被开方数中含有分母，故B 选项正确；(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后，可得出3a 2＝3|a |，a 3＝a a ，a 4＝a 2，结合同类二次根式的概念，可得出a 3与a 是同类二次根式．答案：(1)B (2)C方法总结 1．最简二次根式的判断方法： 最简二次根式必须同时满足如下条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号)；(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 2．判断同类二次根式的步骤：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．触类旁通3 若最简二次根式a ＋b3a 与a ＋2b 是同类二次根式，则ab ＝__________. 考点四、二次根式的运算【例4】计算：(50－8)÷ 2.解：原式＝(52－22)÷2＝32÷2＝3.方法总结 1．二次根式加减法运算的步骤：(1)将每个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式；(3)合并同类二次根式．2．二次根式乘除法运算的步骤：先利用法则将被开方数化为积(或商)的二次根式，再化简；最后结果要化为最简二次根式或整式或分式．1．(2012湖南株洲)要使二次根式2x －4有意义，那么x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≥2 D ．x ≤22．(2012浙江义乌)一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( ) A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间3．(2012浙江杭州)已知m ＝⎝⎛⎭⎫－33×(－221)，则有( )A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－54．(2012广东)若x ，y 为实数，且满足|x －3|＋y ＋3＝0，则⎝⎛⎭⎫x y 2 012的值是__________． 5．(2012四川德阳)有下列计算：①(m 2)3＝m 6，②4a 2－4a ＋1＝2a －1，③m 6÷m 2＝m 3，④27×50÷6＝15，⑤212－23＋348＝143，其中正确的运算有__________．(填序号)1．下列各式计算正确的是( )A ．2＋3＝ 5B ．2＋2＝2 2C ．32－2＝2 2D ．12－102＝6－ 52．估计8×12＋3的运算结果在( )A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间3．若a ＜1，化简(a －1)2－1等于( ) A ．a －2 B ．2－a C ．a D ．－a4．已知实数a 满足|2 011－a |＋a －2 012＝a ，则a －2 0112的值是( )A ．2 011B ．2 010C ．2 012D ．2 0095．计算212－613＋8的结果是( )A ．32－2 3B ．5－ 2C ．5－ 3D ．2 26．若x ＋1＋(y －2 012)2＝0，则x y ＝__________.7．当－1＜x ＜3时，化简：(x －3)2＋x 2＋2x ＋1＝__________.8．如果代数式4x －3有意义，则x 的取值范围是________．9．计算：(－3)0＋12×3＝__________.10．计算：⎝⎛⎭⎫13－1－23－(π－2)0＋|－1|.11．计算：(3＋2)(3－2)－|1－2|.12．计算：(－3)0－27＋|1－2|＋13＋2.参考答案导学必备知识 自主测试1．C 由题意得3x －1≥0，所以x ≥13.2．A 由题意得2x －5≥0且5－2x ≥0，解得x ＝52，此时y ＝－3，所以2xy ＝2×52×(－3)＝－15.3．B 18＝32，27＝33，23＝63，32＝62.4．D 25＝5,43－27＝43－33＝3，18÷2＝9＝3，24·32＝24×32＝36＝6.5．B 因为3＝9，4＝16，9＜11＜16，所以11在3到4之间．6．解：原式＝33－23＋233＝⎝⎛⎭⎫3－2＋233＝533. 探究考点方法触类旁通1．a ≥－2且a ≠0 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≥0，a ≠0，解得a ≥－2且a ≠0.触类旁通2．B 因为二次根式具有非负性，所以1－2a ≥0，解得a ≤12，故选B.触类旁通3．1 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，3a ＝a ＋2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴ab ＝1.品鉴经典考题1．C 因为二次根式有意义，则2x －4≥0，所以x ≥2.2．B 因为面积是15，则边长为15，则边长大小在3与4之间．3．A m ＝⎝⎛⎭⎫－33×(－221)＝233×21＝23×37＝27＝28，∵25＜28＜36，∴5＜28＜6，即5＜m ＜6，故选A.4．1 由题意得x －3＝0，y ＋3＝0，则x ＝3，y ＝－3，所以⎝⎛⎭⎫x y 2 012＝(－1)2 012＝1. 5．①④⑤ ②4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|，③m 6÷m 2＝m 6－2＝m 4，这两个运算是错误的．研习预测试题 1．C A 项中2与3不是同类二次根式，B 项中2与2不是同类二次根式，C 项中32－2＝(3－1)2＝22，D 项中原式＝124－104＝3－52＝3－102.2．C 原式＝2＋3，1＜3＜2，所以3＜2＋3＜4. 3．D (a －1)2－1＝|a －1|－1＝1－a －1＝－a .4．C 由算术平方根的意义知，a ≥2 012，则2 011－a ＜0， ∴a －2 011＋a －2 012＝a .∴a －2 012＝2 011. ∴a －2 012＝2 0112， ∴a －2 0112＝2 012.5．A 原式＝2×22－6×33＋22＝2－23＋22＝32－2 3.6．1 因为由题意得x ＋1＝0，y －2 012＝0，所以x ＝－1，y ＝2 012，所以x y ＝(－1)2 012＝1.7．4 原式＝(x －3)2＋(x ＋1)2＝|x －3|＋|x ＋1|＝3－x ＋x ＋1＝4. 8．x ＞39．解：原式＝1＋23×3＝1＋6＝7. 10．解：原式＝3－23－1＋1＝－ 3.11．解：原式＝(3)2－(2)2－(2－1)＝3－2－2＋1＝2－ 2. 12．解：原式＝1－33＋2－1＋3－2＝－2 3.。
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第4讲二次根式A组基础题组一、选择题1.(肥城模拟)下列计算:(1)(√2)2=2;(2)√(-2)2=2;(3)(-2√3)2=12;(4)(√2+√3)×(√2-√3)=-1.其中计算结果正确的个数为( )A.1B.2C.3D.42.计算3√5-2√5的结果是( )A.√5B.2√5C.3√5D.63.下列计算正确的是( )A.√2+√3=√B.5√√2=3√3C.2√3×3√3=6√3D.√2÷√3=√634.下列等式一定成立的是( )A.a2×a5=a10B.√a+b=√a+√bC.(-a3)4=a12D.2有意义,则x的取值范围是( )5.要使式子√x-12A.x>1B.x>-1C.x≥1D.x≥-1二、填空题6.(2017河南)计算:23-√4= .7.(2017德州)计算:√8-√2= .8.化简:√3×(√√3)-√√6-3|= .三、解答题+√27)×√3.9.计算:(√1310.计算:(√3+√2-1)(√3-√2+1).B组提升题组一、选择题有意义,则实数x的取值范围是( ) 1.(2017潍坊)若代数式√x-2√x-1A.x≥1B.x≥2C.x>1D.x>22.(2018淄博)与√37最接近的整数是( )A.5B.6C.7D.8二、解答题3.(2017广东深圳)计算:|√2cos 45°+(-1)-2+8.√18+(π+1)0-sin 45°+|√2-2|.4.(2017新泰二模)计算:12二次根式培优训练一、选择题1.下列各式:√15,√3a,2,2+b2,2+20,√-144中,二次根式的个数是( )A.4B.3C.2D.12.若√x-3在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )A.x>0B.x>3C.x≥3D.x≤33.对任意实数a,下列等式一定成立的是( )A.(√a)2=aB.√a2=-aC.√a 2=±aD.√a 2=|a|4.下列各式:①√,②√3,③√8,④√1x (x>0)中,最简二次根式有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.要使式子√m+1m -1有意义,则m 的取值范围是( )A.m>-1B.m≥-1C.m>-1且m≠1D.m≥-1且m≠16.下列计算正确的是( )A.(m-n)2=m 2-n 2B.(2ab 3)2=2a 2b 6C.2xy+3xy=5xyD.√a 34=2a √a 7.下列二次根式中,最简二次根式是( ) A.√15B.√C.√D.√8.设√√3=b,用含a,b 的式子表示√,下列表示正确的是( )A.0.3abB.3abC.0.1ab 2D.0.1a 2b9.若a=√5,b=√55,则( ) A.a 、b 互为相反数 B.a 、b 互为倒数C.ab=5D.a=b 10.小明的作业本上有以下四题:①√16a 4=4a 2;②√5a ·√10a =5√2a;③a √1a =√a 2·1a=√a ;④√8a ÷√2a =4.做错的题是( )A.①B.②C.③D.④11.若最简二次根式√2x+1和√4x-3能合并,则x的值可能为( )A.-12B.34C.2D.512.已知等腰三角形的两边长为2√3和5√2,则此等腰三角形的周长为( )A.4√3+5√2B.2√3+10√2C.4√3+10√2D.4√3+5√2或2√3+10√2二、填空题13.把√500化成最简二次根式为.14.使√12n是整数的最小正整数n= .15.对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下:a※b=√a+ba-b,如3※2=√3+23-2=√5,那么6※3=.16.直角三角形的两条边长分别为3、4,则它的另一条边长为.17.化简:√27+√12+√43= .18.计算(√2+1)2 015(√2-1)2 014= .三、解答题19.化简:(1)√12; (2)√(-16)×(-2);(3)√-3-25; (4)√5.20.设a,b 为实数,且满足(a-3)2+(b-1)2=0,求√ba 的值.21.已知x=1-√2,y=1+√2,求x 2+y 2-xy-2x+2y 的值.22.按要求解决下列问题:(1)化简下列各式:√1= ,√2= , √3= ,√5= ;(2)通过观察、归纳,写出能反映这个规律的一般结论,并证明.23.观察下列各式及其验算过程:√2+23=2√23,验证:√2+23=√2×3+23=√233=2√23; √3+38=3√38,验证:√3+38=√3×8+38=√338=3√38. (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想√4+415的变形结果并进行验证; (2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n 为大于1的整数)表示的等式并给予验证.第4讲 二次根式A 组 基础题组一、选择题1.D (1)根据“(√a )2=a”可知(√2)2=2,正确;(2)根据“√a 2=|a|”可知√(-2)2=2,正确;(3)根据“(ab)2=a 2b 2”可知,计算(-2√3)2,可将-2和√3分别平方后,再相乘,正确;(4)根据“(a+b)(a -b)=a 2-b 2”,可知(√2+√3)×(√2-√3)=(√2)2-(√3)2=2-3=-1,正确.2.A 原式=(3-2)×√5=√5,故选A.3.D 选项A,√2和√3不是同类二次根式,不能合并,所以选项A 错误;选项B,5√和2√2不是同类二次根式,不能合并,所以选项B 错误;选项C,2√3×3√3=2×3×√3×3=6×3=18,所以选项C 错误;选项D,√2÷√3=√2√3=√63,所以选项D 正确,故选D. 4.C A.a 2×a 5=a 7≠a 10,所以选项A 错误,B.√a +b 不能化简,所以选项B 错误,C.(-a 3)4=a 12,所以选项C 正确,D.√a 2=|a|,所以选项D 错误,故选C.5.C 要使式子√x -12有意义,则x-1≥0,解得x≥1.故选C.二、填空题6.答案 6 解析 23-√4=8-2=6.7.答案 √2解析 原式=2√2-√2=√2.8.答案 -6解析 原式=√6-3-2√6-(3-√6)=√6-3-2√6-3+√6=-6.三、解答题9.解析 原式=√13×√3+√27×√3=1+9=10. 10.解析 原式=[√3+(√2-1)][√3-(√2-1)]=3-(√2-1)2=3-(2-2√2+1)=2√2.B 组 提升题组一、选择题1.B {x -2≥0,x -1>0,解得x≥2. 2.B ∵36<37<49,∴√36<√37<√49,即6<√37<7.∵37与36最接近,∴与√37最接近的整数是6.故选B.二、解答题3.解析 原式=2-√2-2×√22+1+8=11-2√2. 4.解析 原式=12×3√2+1-√22+2-√2=3. 二次根式培优训练一、选择题1.A √15,√62-1,√a 2+b 2,√m 2+20是二次根式,故选A.2.C ∵√x -3在实数范围内有意义,∴x -3≥0,解得x≥3.故选C.3.D A.a 为负数时,没有意义,故本选项错误;B.a 为正数时不成立,故本选项错误;C.2,D 选项正确,故选D.4.A ①√2是最简二次根式,②√3=√33,③√8=2√2,④√1x (x>0)=√xx , 故其中的最简二次根式为①,共一个.故选A.5.D 根据题意得{m +1≥0,m -1≠0,解得m≥-1且m≠1.故选D.6.C A.(m-n)2=m 2-2mn+n 2,故本选项计算错误;B.(2ab 3)2=4a 2b 6,故本选项计算错误;C.2xy+3xy=5xy,故本选项计算正确;D.√a 34=a 2√a ,故本选项计算错误. 故选C. 7.C A.√15=√55,被开方数含分母,不是最简二次根式,故A 选项错误; B.√=√22,被开方数为小数,不是最简二次根式,故B 选项错误; C.√,故C 选项正确;D.√=5√被开方数含能开得尽方的因数,故D 选项错误.故选C.8.A ∵√0.54=√0.09×2×3=0.3×√2×√3,√2=a,√3=b, ∴√0.54=0.3ab.故选A.9.D ∵a=√5=√55,b=√55,∴a=b.故选D.10.D ①√16a4=4a2,正确;②√5a·√10a=5√2a,正确;③a√1a =√a2·1a=√a,正确;④√8a÷√2a=√4=2,错误.故选D.11.C ∵最简二次根式√2x+1和√4x-3能合并,∴2x+1=4x-3,解得x=2.故选C.12.B ∵2×2√3<5√2,∴腰长为5√2,∴等腰三角形的周长=2×5√2+2√3=10√2+2√3.故选B.二、填空题13.答案10√5解析√500=√100×5=√100×√5=10√5.14.答案 3解析√12n=2√3n,由于√12n是整数,所以n的最小正整数值是3.15.答案 1解析6※3=√6+36-3=1.16.答案5或√7解析当4是直角边长时,第三边长=√32+42=5;当4是斜边长时,第三边长=22√7.则第三边长是5或√7.17.答案 17√33解析 原式=3√3+2√3+2√33=17√33. 18.答案 √2+1解析 原式=[(√2+1)·(√2-1)]2 014·(√2+1) =(2-1)2 014·(√2+1)=√2+1.三、解答题19.解析 (1)√12=2×3=2√3.(2)√(-16)×(-2)=2×2=4√2.(3)√-3-25=√325=√35. (4)√5=√5√5×√5=4√55. 20.解析 ∵(a -3)2+(b-1)2=0,∴a -3=0,b-1=0,解得a=3,b=1, ∴√b a =√13=√33. 21.解析 ∵x=1-√2,y=1+√2,∴x -y=(1-√2)-(1+√2)=-2√2,xy=(1-√√∴x 2+y 2-xy-2x+2y=(x-y)2-2(x-y)+xy =(-2√2)2-2×(-2√2)+(-1)=7+4√2.22.解析 (1)√1=2,√2=√2√2×√2=4√2,√3=√3√3×√3=6√3,√5=√5√5×√5=10√5. (2)由(1)中各式化简情况可得2√n =2n √n (n>0). 证明如下:2√n =2√n √n ·√n =2n √n .23.解析 (1)∵√2+23=2√23,√3+38=3√38,∴√4+415=4√415, 验证:√4+415=√4×15+415=√4315=4√415,正确. (2)由(1)中的规律可知3=22-1,8=32-1,15=42-1, ∴√n +n n -1=n √n n -1, 验证:√n +n n -1=√n 3n -1=n √nn -1,正确.。