高中数学总结归纳高考中的超几何分布

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新高考数学复习考点知识讲解7---二项分布与超几何分布

,
所以(1-p)4=
,故 p= .
答案
9、某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,
且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的 4 位申请人中恰有 2 人申请 A 片区房
源的概率为
.
解析每位申请人申请房源为一次试验,这是 4 次独立重复试验,设申请 A 片区房源为 A,则
∴D(X)=100×0.2×0.8=16.
D(4X+3)=16D(X)=16×16=256.
答案 B
题型二二项分布实际应用例 2 某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是
2 / 11
否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目
投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．
所以 Y 的分布列为
Y
－1
1
3
P
55 91
33 91
3 91
55 33
31
所以 E(Y)＝(－1)×91＋1×91＋3×91＝－7.
11 / 11
4
1 20
E(X)＝0×27＋5×27＋10×27＋15×27＋20×27＝ 3 .
题型三超几何分布
4 / 11
例 3 某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出 8 名同学组成参赛队，其中初中学部选出的 3 名同学有 2 名女生；高中学部选出的 5 名同学有 3 名女生，竞赛组委会将从这 8 名同学中随机选出 4 人参加比赛．

超几何分布这个概念里，“超几何”是什么意思？高中课本的知识，解释得简单些，谢谢。

超几何分布是已经知道某个事件的发生概率，判断从中取出一个小样本，该事件以某一个机率出现的概率问题。

比如，产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，即不合格率p=M/N.在产品中随机抽n件做检查，发现X件是不合格品，可知X的概率函式为：P(X=k)=C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(M,N),k=0,1,2,...通常称这个随机变数X服从超几何分布。

这种抽样检查方法等于无放回抽样。

数学上不难证明，当M=Np时，n-无穷，limC(k,M)*C(n-k,N-M)/C(M,N)=B(n,p) (二项分布）因此，在实际应用时，只要N>=10n，可用二项分布近似描述不合格品个数。

超几何分布的概念超几何分布是统计学上一种离散概率分布。

它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。

在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n 件时所得次品数X=k则P(X=k)=C(M k)·C(N-M n-k)/C(N n)， C（a b）为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限此时我们称随机变数X服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的引数是M,N,n上述超几何分布记作X~H(n，M，N)。

超几何分布的概念是什么？超几何分布是统计学上一种离散概率分布。

它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。

在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=C（M，k）·C(N-M,n-k)/C(N,n），C（a b）为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限，此时我们称随机变数X服从超几何分布（hypergeometric distribution）（1）超几何分布的模型是不放回抽样（2）超几何分布中的引数是M,N,n上述超几何分布记作X~H(N,n,M）。

高中数学超几何分布知识点总结

高中数学超几何分布知识点总结:
超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若件N产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则
P(X=k)=？，此时我们称随机变量X服从超几何分布。

高中数学二项分布知识点总结:
二项分布：就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。

高中数学离散型随机变量的方差知识点总结:
离散型随机变量的方差：刻画随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度。

高中数学正态分布知识点总结:
正态分布：是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。

高中数学平均数，方差，标准差知识点总结:
平均数，方差，标准差：样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。

高中数学数学期望知识点总结:
数学期望：离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P(=xi)之积的和称为的数学期望。

高考专题复习超几何分布(解析版)

第4讲超几何分布一．离散型随机变量的概率分布(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X (3)离散型随机变量的概率分布的性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．二．两点分布如果随机变量X 的概率分布表为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 三．超几何分布1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N(r ＝0,1,2，…，l )．即其中l ＝min(M ，n )，且n 如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X 的概率分布四．离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：（1）称1122()n n E X x p x p x p =++⋅⋅⋅+为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（2）称21()(())nii i D X x E X p ==-∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏X 的标准差． 2．均值与方差的性质若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；D (aX ＋b )＝a 2D (X )考向一分布列性质【例1】（1）设离散型随机变量X 的概率分布为下表，求2X ＋1的概率分布．（2）若（1（3）若（1）中条件不变，求随机变量η＝X2的概率分布．【答案】见解析【解析】（1）由概率分布的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为从而2X＋1的概率分布为（2）由（1）知m＝0.3∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的概率分布为（3）依题意知η的值为列表为从而η＝X 2的概率分布为【举一反三】1．设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为则q ＝________. 【答案】 32－336【解析】 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336.2．设随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝k )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为________．【答案】2738【解析】由概率分布的性质得P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝m ×23＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝38m 27＝1，∴m ＝2738. 考向二超几何分布【例2-1】某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的概率分布．【答案】（1）47. （2）见解析【解析】(1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语，则P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)由题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 34C 37＝435， P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235， P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X 的概率分布为【例2-2】为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下：（1）若甲单位数据的平均数是122，求x ；（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为1ζ， 2ζ，令12=ηζζ+，求η的分布列和期望.【答案】(1)8；(2)答案见解析.【解析】（1）由题意()10510711311511912612013213414112210x ++++++++++=，解得8x =．（2）由题意知，随机变量η的所有可能取值有0,1,2,3,4.()227622101070;45C C p C C η=== ()112736221010911;225C C C p C C η===()222211113674736422101012;3C C C C C C C C p C C η++=== ()211112364734221010223;225C C C C C C p C C η+=== ()223422101024;225C C p C C η===η∴的分布列为：η0 1 2 34P745 91225 13 22225 2225∴()012344522532252255E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【举一反三】1．某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[]60,150），按下列分组[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)120,130，[)130,140，[]140,150作出频率分布直方图，如图1；样本中分数在[)70,90内的所有数据的茎叶图如图2：根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表．【套路总结】超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)；（1）求n 的值及频率分布直方图中的,x y 值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能录取为专科的概率；（3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3名学生中为自招的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）0.014；（2）616625；（3）见解析【解析】（1）由图2知分数在[)70,80的学生有4名，又由图1知，频率为：0.008100.08⨯=，则：4500.08n == 50.015010x ∴==⨯，()10.0420.0820.10.120.160.240.01410y -⨯+⨯++++==（2）能被专科院校录取的人数为：()500.0040.008106⨯+⨯=人抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是：635025= ∴从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为325，记该校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为A则此2人都不能录取为专科的概率：()23616125625P A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为6人成绩能过自招线人数为：()500.0120.0040.0081012⨯++⨯=人，又随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3∴()363182050816204C P C ξ∴====；()2161231818015181668C C P C ξ====； ()1261231839633281668C C P C ξ====；()03612318220553816204C C P C ξ==== ∴随机变量ξ的分布列为：()012322046868204E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= 【套路运用】1．随机变量X 的概率分布如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝________．【答案】 23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据概率分布的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.2．若离散型随机变量X的分布列是则常数c的值为_____.【答案】【解析】由随机变量的分布列知，9c2﹣c≥0，3﹣8c≥0，9c2﹣c+3﹣8c＝1，∴c ＝．故答案为：．3．我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：空气污染指数空气质量空气污染指数空气质量0--50 优201--250 中度污染51--100 良251--300 中度重污染101--150 轻微污染>300 重污染151----200 轻度污染我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天，101--200时称作B类天，大于200时称作C类天.下图是某市2018年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本做的茎叶图：（百位为茎，十、个位为叶）（1）从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；（2）从这18天中任取3天，记X是达到A类或B类天的天数，求X的分布列．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）从这18天中任取3天，取法种数有种，3天中至少有2个A类天的取法种数有种，所以这3天至少有2个A类天的概率；（2）的一切可能的取值是，当时，；当时，；当时，；当时，；的分布列为：X 3 2 1 0P数学期望。

高三数学超几何分布

x P
0
1
2
3
4
5
超几何分布的概率背景
一批产品有 N件，其中有 M 件次品，其余 N-M 件为正品．现从中取出 n 件．令 X：取出 n 件产品中的次品数．则 X 的分布列为
k n k CM CN M PX k n CN
k 0， 1，， minM， n
此时，随机变量 X 服从超几何分布
例2:生产方提供50箱的一批产品, 其中有2箱不合格产品, 采购方接收该批产品的准则是:从该产品中任取5箱产品进行检测,若至多有1箱不合格便接收该批产品,问:该批产品被接收的概率是多少?
4、
5、
这两个问题的求解方法一样吗?
超几何分布：适用于不放回抽取
本小题第二问是二项分布这是我们后面要研究的内容
C
N
例如从全班任取n个人，取到女生的人数；从扑克牌中取n张，取到黑桃的张数；买n张彩票，中奖的张数，等等都可以用超几何分布描述。
例1:一个口袋中装有10个红球,20个白球, 这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出 5个球,摸到4个红球1个白球的就中一等奖求中一等奖的概率.
变题：至少摸出4个红球就中一等奖?
超几何分布
一、复习
1) 随机变量的分布列
设随机变量 X 的所有可能取值为
x1 ， x2 ，， xn ，
并设 P X x n pn 则称上式或
n 1,
x2 p2
2,
xn

X
x1 p1
，
P
， pn
为随机变量 X 的分布列．
2)随机变量分布列的性质:
⑴ 对任意的自然数 n，有 pn 0;
二、新课：超几何分布

2025年高考数学总复习课件86第十章微专题二项分布与超几何分布模型识别问题

微专题二项分布与超几何分布模型识别问题
思维建模判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布微专题二项分布与超几何分布模型识别问题
微专题二项分布与超几何分布模型识别问题
二项分布与超几何分布是概率中最重要的两种数学模型，也是高考的热点问题．解答此类问题时，必须要弄清题意，分清是哪种分布问题，这样才能有目的的解答．
微专题二项分布与超几何分布模型识别问题
微专题二项分布与超几何分布模型识别问题
类型三二项分布与超几何分布的综合问题
【例3】写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪
些，服从超几何分布的是哪些．
(1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数；解：X1的分布列为
X1
0
1
2
…
n
P
Cn0
1 3
0·23
n
Cn1
类型一超几何分布【例1】(2024·衡水模拟)温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它使人们在任何时间都可以吃到新鲜的蔬菜，深受大众喜爱．温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量与温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量有关，温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示．
土壤各单项或灌溉水各单项或环境空气各单项
微专题二项分布与超几何分布模型识别问题
(1)若从这8个村中随机抽取2个村进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率；解：由题图可知，应对土壤做进一步调研的村共4个．从8个村中随机抽取2个村进行调查，样本点有C82＝28(个)．其中抽取的2个村应对土壤做进一步调研的样本点有C42＝6(个)，所以所求概率p＝268 ＝ 134.

高中数学第七章-7.4.2-超几何分布

7.4.2 超几何分布学习目标 1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系．知识点超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r . 其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }．如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布． 2．均值：E (X )＝nMN.1．超几何分布是不放回抽样．( √ ) 2．超几何分布的总体是只有两类物品．( √ ) 3．超几何分布与二项分布的均值相同．( √ ) 4．超几何分布与二项分布没有任何联系．( × )一、超几何分布的辨析例1 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X ，求X 的分布列；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的分布列；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的分布列；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X ，求X 的分布列；(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X ，求X 的分布列．解 (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X 表示抽取n 件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X 的分布列，所以不属于超几何分布问题．反思感悟判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点 (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．跟踪训练1 (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有( )A ．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB ．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C ．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD ．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 答案 ABD解析依据超几何分布模型定义可知，ABD 中随机变量X 服从超几何分布．而C 中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X 不服从超几何分布．二、超几何分布的概率例2 某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．解 (1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．代表队中的学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为 1－1100＝99100. (2)根据题意，知X 的所有的可能取值为1,2,3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15.所以X 的分布列为P15 35 15反思感悟求超几何分布的分布列的步骤跟踪训练2 现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为17.(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．解 (1)设甲班的学生人数为M ，则C 2MC 27＝M (M －1)42＝17，即M 2－M －6＝0，解得M ＝3或M ＝－2(舍去)． ∴7名学生中甲班的学生共有3人． (2)由题意可知，ξ服从超几何分布．∴P (ξ ≥1)＝P (ξ＝1)＋p (ξ＝2)＝C 13C 14C 27＋C 23C 04C 27＝47＋17＝57.三、超几何分布与二项分布间的关系例3 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为质量超过505克的产品数量，求X 的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y 为质量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．解 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X 的取值为0,1,2，X 服从超几何分布．P (X ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (X ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (X ＝2)＝C 212C 240＝11130，∴X 的分布列为∴X 的均值为方法一 E (X )＝0×63130＋1×2865＋2×11130＝35.方法二 E (X )＝2×1240＝35.(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y 的可能取值为0,1,2，且Y ～B ⎝⎛⎭⎫2，310， P (Y ＝k )＝C k 2×⎝⎛⎭⎫310k ×⎝⎛⎭⎫1－3102－k ，k ＝0,1,2， ∴P (Y ＝0)＝C 02×⎝⎛⎭⎫7102＝49100， P (Y ＝1)＝C 12×310×710＝2150， P (Y ＝2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫3102＝9100. ∴Y 的分布列为反思感悟二项分布与超几何分布的关系在n 次试验中，某事件A 发生的次数X 可能服从超几何分布或二项分布．回摸球)，X 服从超几何分布联系在不放回n 次试验中，如果总体数量N 很大，而试验次数n 很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)跟踪训练3 (1)100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列； (2)某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．解 (1)任取一件得到次品的概率为10100＝0.1，有放回的取出5件，相当于5重伯努利试验，故ξ～B (5,0.1)，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 5 P0.590 490.328 050.072 90.008 10.000 450.000 01(2)由于商品数量较大，从中只抽取5件，故η的分布列近似地为ξ的分布列．1．(多选)下列随机事件中的随机变量X 不服从超几何分布的是( ) A ．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB ．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC ．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD ．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数答案 ACD解析由超几何分布的定义可知仅B 是超几何分布，故选ACD.2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是( ) A.150 B.125 C.1825 D.14 950 答案 C解析记X 为2张中的中奖数，则P (X ＝2)＝C 24C 096C 2100＝1825.3．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A.C 34C 248C 552B.C 348C 24C 552C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552答案 D解析设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数，则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148C 552. 4．盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E (ξ)＝________. 答案 65解析 E (ξ)＝2×35＝65.5．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则当X 取________时，对应的概率为C 35C 37C 612.答案 3解析由题意可知，X 服从超几何分布，由概率值中的C 35可以看出“从5名三好学生中选取了3名”．1．知识清单：(1)超几何分布的概念及特征． (2)超几何分布的均值．(3)超几何分布与二项分布的区别与联系． 2．方法归纳：类比．3．常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样．1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( ) A.3742 B.1742 C.1021 D.1721 答案 C解析根据题意，得P ＝C 14C 25C 39＝1021.2．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 222C 226的是( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)答案 B解析本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率． 3．有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的均值是( ) A ．n B.(n －1)MNC.nM ND.(n ＋1)M N答案 C解析设抽到的次品数为X ，则有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数X 服从超几何分布，∴抽到的次品数的均值E (X )＝nMN.4．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为( ) A.542 B.435 C.1942 D.821 答案 A解析正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P ＝C 44C 410＝1210，当1个正品3个次品时，P ＝C 16C 34C 410＝24210＝435，所以正品数比次品数少的概率为1210＋435＝542.故选A. 5．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为( )A.2245B.949C.47245 D ．以上都不对答案 A解析设抽到的次品数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝50，M ＝5，n ＝2.于是出现2件次品的概率为P (X ＝2)＝C 25C 2－245C 250＝2245.6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X 为选取的年龄低于30岁的人数，则P (X ＝1)＝________. 答案1538解析易知P (X ＝1)＝C 15C 115C 220＝1538.7．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)＝________，随机变量X 的均值E (X )＝________.答案14150.6 解析 X 表示取得次品的个数，则X 服从超几何分布，所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 03C 27C 210＋C 13C 17C 210＝715＋715＝1415，E (X )＝2×310＝0.6.8．数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________．答案 45解析设X 表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 24C 12C 36＋C 34C 02C 36＝45.9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数． (1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．解 (1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，P (ξ＝0)＝C 02C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 12C 24C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 14C 36＝15.所以，ξ的分布列为(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.10．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A “取出的2件产品都是二等品”的概率P (A )＝0.04.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；(2)若该批产品共10件，从中任意抽取2件，X 表示取出的2件产品中二等品的件数，求X 的分布列．解 (1)设任取一件产品是二等品的概率为p ，依题意有P (A )＝p 2＝0.04，解得p 1＝0.2，p 2＝－0.2(舍去)，故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件，由(1)知其二等品有10×0.2＝2(件)，故X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (X ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (X ＝2)＝C 22C 210＝145.所以X 的分布列为X 0 1 2 P2845164514511．(多选)10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为1645，则a 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 BD解析由题意知，1645＝C 110－a C 1aC 210，整理，得a 2－10a ＋16＝0，解得a ＝2或8.12．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是310的事件为( )A ．恰有1个是坏的B ．4个全是好的C ．恰有2个是好的D ．至多有2个是坏的答案 C解析设“X ＝k ”表示“取出的螺丝钉恰有k 个是好的”，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k 3C 410(k ＝1,2,3,4)．所以P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，故选C.13．一只袋内装有m 个白球，(n －m )个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，则下列概率等于(n －m )A 2mA 3n 的是( )A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)答案 D解析当X ＝2时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有A 2m 种取法，再任意拿出1个黑球即可，有C 1n －m 种取法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即A 3n ，P (X ＝2)＝A 2m C 1n －m A 3n ＝(n －m )A 2mA 3n.故选D. 14．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为________，记甲答对试题的个数为X ，则X 的均值E (X )＝________. 答案11143 解析依题意，甲能通过的概率为P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 12C 36C 48＋C 02C 46C 48＝814＋314＝1114.由于P (X ＝2)＝C 22C 26C 48＝314，方法一故E (X )＝2×314＋3×814＋4×314＝3.方法二 E (X )＝4×68＝3.15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n 至少为________．答案 15解析用X 表示中奖票数，P (X ≥1)＝C 12C n －148C n 50＋C 22C n －248C n 50>0.5，解得n ≥15.16．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求： (1)取出的3件产品中一等品件数为X 的分布列； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C k 3C 3－k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k 7C 310，k ＝0,1,2,3.∴随机变量X 的分布列为(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340， P (A 2)＝P (X ＝2)＝740， P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120. ∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

超几何分布列(高二)

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载超几何分布列(高二)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容离散型随机变量的分布列（一）一．知识点归纳1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母X，Y____,____等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序_______列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量.3. 离散型随机变量的分布列:4. 离散型随机变量分布列的两个性质：①…)；②P1+P2+…=_____。

5．两点分布列：如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从_______________,两点分布又称_________分布，而称p=P(X=1)为________________.6.二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．7.超几何分布：引例：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：取到次品数X的分布列；至少取到1件次品的概率。

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件｛X=k｝发生的概率为：P(X=k)＝——————，k=0,1,2,…..且n≤N, M≤N, n, M, N∈N*. 称下面分布列为超几何分布列。

二．题型讲解例1 某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意连续取出2件，其中次品数的概率分布是例2 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.例3 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.例4 袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用表示分数，求的概率分布。

高中超几何分布公式

高中超几何分布公式
超几何分布是统计学上离散的概率分布，它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回），之所以被称为超几何分布，是因为其形状与“超几何函数”的级数展式的系数有关。

超几何分布中的参数为：N,n,M，几何学是研究空间结构和性质的学科，它是数学中最基本的研究内容之一，几何学的发展历史悠久，内容丰富，与分析、代数等有着极为密切的关系。

几何分布来源于几何数列：
数列也被称为等比数列，意味着一个数列从第二项开始，各个项与前一项的比是恒定的。

就是一个等比数列，就是把随机变量所遵循的这种分布称为几何分布。

超几何数列是第2项至各项与前项的比是关于项数n的有理函数的数列。

高二数学概率与统计中的超几何分布与多项式分布

高二数学概率与统计中的超几何分布与多项式分布数学概率与统计是高中数学中的一门重要课程，其中包括了多种不同的概率分布。

本文将重点介绍高二数学中的超几何分布与多项式分布，探讨它们的定义、性质和应用等方面内容。

一、超几何分布超几何分布是一种描述有限样本的概率分布。

在超几何分布中，我们考虑的是从总体中不放回地抽取样本。

设总体中有N个物件，其中有M个成功物件，我们希望从中抽取n个物件，那么超几何分布描述了在抽取的n个物件中，成功物件的数量的概率分布。

将总体中的成功物件标记为S，不成功的物件标记为F，那么超几何分布的概率质量函数可以表示为：P(X = k) = (M choose k) * ((N-M) choose (n-k)) / (N choose n)其中，(a choose b)表示a个物件中选择b个的组合数。

超几何分布的期望和方差分别为：E(X) = nM/NVar(X) = n(M/N)(1-M/N)(N-n)/(N-1)超几何分布常用于描述有限总体抽样的情况，例如抽取不可放回的扑克牌中的红桃数量，或者从某个地区的人口中随机抽取的男性人数等。

二、多项式分布多项式分布是一种描述多次独立实验结果的概率分布。

在多项式分布中，我们考虑进行n次独立实验，每次实验的结果有k种可能的结果，每种结果发生的概率为p1，p2，...，pk，且满足p1 + p2 +...+ pk = 1。

那么多项式分布描述了在n次实验中，各种结果发生的次数的概率分布。

多项式分布的概率质量函数可以表示为：P(X1 = x1, X2 = x2, ..., Xk = xk) = n!/(x1!x2!...xk!) * p1^(x1) * p2^(x2) *... * pk^(xk)其中，Xi表示第i种结果发生的次数，xi表示第i种结果发生的次数，pi表示第i种结果发生的概率，n是实验次数。

多项式分布的期望和方差分别为：E(Xi) = np_iVar(Xi) = np_i(1-p_i)多项式分布常用于描述多种可能结果的实验，例如掷骰子时各种点数出现的次数，或者抽取有放回的扑克牌时各种花色出现的次数等。

高中数学知识点精讲精析超几何分布

2.2超几何分布
超几何分布
重复进行独立试验，每次试验只有成功、失败两种可能，如果每次试验成功的概率为p ，重复试验直到出现一次成功为止，则需要的试验次数是一个随机变量，用ξ表示，因此事件{ξ＝n}表示“第n 次试验成功且前n －1次试验均失败”。

所以()()1n p 1p n P --⨯==ξ，其分布列为：
1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
【解析】
由题意可见此问题归结为超几何分布模型。

其中N = 30. M = 10. n = 5.
P(一等奖) = P(X=4 or 5) = P(X=4) + P(X=5)
由公式P(X=k)=C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0,1,2,...得：
P(X=4) = C(4,10)*C(1,20)/C(5,30)
P(X=5) = C(5,10)*C(0,20)/C(5,30)
P(一等奖) = 106/3393。

7.4.2超几何分布高二数学知识点总结与题型专练

X
0
1
P
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.记作
判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有 N 个)内含有两种不同的事物个)、个)，任取个，其中恰有 X 个符合该条件的即可断定是超几何分布。如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布.
(3)超几何分布的均值若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率
知识点2：二项布与超几何布的区别和联系
(1)区别由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道 “成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.
A.取出的最小号码服从超几何分布B.取出的白球个数服从超几何分布C.取出2个黑球的概率为 D.若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则总得分最小的概率为
【分析】根据超几何分布的概念判断A，B；利用超几何分布的概率计算求解可判断
√
√
【详解】对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故A错误；对于B，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故B正确；对于C，取出2个黑球的概率为，故C正确；对于D，若取出一个黑球记1分，取出一个白球记分，则取出三个白球的总得分最小，总得分最大的概率为，故D不正确. 故选：BC.

高中数学总复习：二项分布、超几何分布与正态分布

运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙
协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参
加比赛.
目录
高中总复习·数学（提升版）
（1）设 A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手
来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；
22 32 ＋32 32

−
（ X ）＝ ·（1－）· .

−1
3. 对于正态分布 X ～ N （μ，σ2）， E （ X ）＝μ， D （ x ）＝σ2.
目录
高中总复习·数学（提升版）
1. 已知一盒子中有棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子.任意取出2粒，
若 X 表示取得白子的个数，则 X 的均值 E （ X ）＝
64
3
得 p ＝，则事件 A 恰好发生一次的概率为 31
4
×
3
3
9
2
×（1－）＝ .
4
4
64
目录
高中总复习·数学（提升版）
4. 某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何
区别），现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1
件是次品的概率为
15
28
.
⁠
解析：设取出的3件产品中次品的件数为 X ，3件产品中恰好有一件
1
位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .
2
5
则质点 P 移动五次后位于点（2，3）的概率是 16 .
⁠
解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移
动五次后位于点（2，3），所以质点 P 必须向右移动两次，向上移

超几何分布-高中数学知识点讲解

超几何分布1．超几何分布【知识点的知识】一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则M N n X称超几何分布列．（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是，，上述超几何分布记作．N M n X～H（N，M，n）【典型例题分析】典例 1：有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是（）푀푀푀A．n B．(푛―1)푁C．푛푁D．(푛+1)푁分析：先由超几何分布的意义，确定本题中抽到次品数服从超几何分布，再由超几何分布的性质：若随机变量푛푀X～H（n，M，N），则其数学期望为，计算抽到的次品数的数学期望值即可푁解答：设抽到的次品数为，X则有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的次品数服从超几何分布N M n X即，X～H（n，M，N）∴抽到的次品数的数学期望值EX =푛푀푁故选C．1/ 3题型一：抽样次品数的分布规律问题典例 1：某批产品共件，已知从该批产品中任取件，则取到的是次品的概率为．若从该批产品中任意10 1 P＝0.2抽取件，3（1）求取出的件产品中恰好有一件次品的概率；3（2）求取出的件产品中次品的件数的概率分布列与期望．3 X푥解：设该批产品中次品有件，由已知x10=0.2，∴x＝2…（2 分）（1）设取出的 3 件产品中次品的件数为X ，3 件产品中恰好有一件次品的概率为푃(푋=1)=퐶21퐶28퐶310=715⋯（4 分）（2）∵X 可能为0 ，1 ，2∴푃(푋=0)=퐶38퐶310=715푃(푋=1)=715푃(푋=2)=퐶2퐶81퐶310=115⋯（10 分）∴的分布为：XX 0 1 277 1P151515则퐸푋=0×715+1×715+2×115=35⋯（13 分）题型二：不放回摸球游戏问题典例 2：甲有一个箱子，里面放有个红球，个白球（，且）；乙有一个箱子，里面放有x y x，y 0 x y＝42 1 1 2 1 3个红球，个白球，个黄球．现在甲从箱子任取个球，乙从箱子里在取个球，若取出的个球颜色全不相同，则甲获胜．（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？（2）在（1）的条件下，求取出的个球中红球个数的数学期望．3解：（1）由题意，푃=퐶푥1퐶푦1퐶1퐶42퐶14=푥푦24；2/ 3푥푦∴24≤(푥+푦2242)=16，当且仅当时“＝”成立x＝y＝2所以当红球与白球各个时甲获胜的概率最大2（2）取出的个球中红球个数3 ＝0，1，2，3푃(휉=0)=퐶2퐶12퐶14퐶24=112；푃(휉=1)=퐶12퐶21퐶21+퐶2퐶21퐶41퐶24=512푃(휉=2)=퐶2퐶12+퐶12퐶12퐶21퐶14퐶24=5，푃(휉=3)=12퐶2퐶21퐶41퐶24=112所以퐸휉=0×112+1×512+2×512+3×112=32【解题方法点拨】超几何分布的求解步骤：（1）辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否有冥想的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．（2）算概率：可以直接借助公式，也可利用排列、组合及概率知识求解．（3）列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．3/ 3。

高二数学人选择性必修件超几何分布

统计推断方法
在实际应用中，往往需要根据观测数据对总体参数进行估计或假设检验。因此，掌握统计推断方法如参数估计、假设检验等对于应用超几何分布和负二项分布具有重要意义。
06
总结回顾与课堂互动环节
重点知识点总结回顾
超几何分布的定义
超几何分布是一种离散型概率分布，描述了在不放回抽样的条件下，成功抽取指定数量样本的概率分布。
在生物学、医学等领域中，经常需要研究某种罕见事件发生的概率，这时可以利用泊松分布进行建模和分析。
其他相关拓展知识点
组合数学基础
超几如排列数、组合数、二项式定理等。因此，掌握组合数学基础知识对于深入理解这些概率分布具有重要意义。
概率论基础
在学习超几何分布和负二项分布之前，需要掌握概率论中的基本概念和公式，如概率空间、随机变量、概率质量函数、期望、方差等。这些基础知识对于理解和应用这些概率分布具有重要作用。
适用范围及条件
• 适用范围：超几何分布适用于从有限总体中不放回地抽取样本，并计算成功抽取指定数量样本的概率。例如，在质量检测、彩票抽奖、基因测序等领域都有广泛应用。
适用范围及条件
适用条件：使用超几何分布需要满足以下条件
2. 抽取的样本量 n 小于等于总体容量 N ；
1. 总体容量 N 是有限的；
04
超几何分布与二项分布比较
两者联系与区别
联系
超几何分布和二项分布都是描述随机试验中成功次数概率分布的模型，其中二项分布是超几何分布在总体容量趋于无穷大时的极限情况。
区别
超几何分布描述的是不放回抽样，而二项分布描述的是放回抽样；超几何分布中每次试验成功的概率不同，而二项分布中每次试验成功的概率相同。
与二项分布关系

高中数学-超几何分布

则 2 本都是语文书的概率为C2nCC2707－n＝27，由组合数公式得 n2－n－12＝0，解得 n＝4. 答案：C
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[例2] 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得的次品数X的分布列．
[思路点拨] 在取出的3件产品中，次品数X服从超几何分布，其可能取值为0,1,2，对应的正品数应是3,2,1.
返回
[精解详析] 由题意知 X 服从超几何分布，其中 N＝15，
M＝2，n＝3.
它的可能的取值为 0,1,2，相应的概率依次为 P(X＝0)＝CC02C135313＝2325， P(X＝1)＝CC12C135213＝1325， P(X＝2)＝CC22C135113＝315. 所以 X 的分布列为
X0 1 2
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1．超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械的记忆公式，应在理解的前提下记忆．
2．凡类似“在含有次品的产品中取部分产品，求所取出的产品中次品件数的概率”的问题，都属于超几何分布的模型。
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[例1] 生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有一箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
的概率等于
()
2
3
A.7
B.8
3 C.7 解析：C23·C15C＋83 C33C05＝27.
答案：A
9 D.28
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2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，
从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文
课本共有

2022新高考数学高频考点题型归纳50二项分布与超几何分布(学生版)

专题50二项分布与超几何分布一、关键能力了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n 次独立重复试验的模型及二项分布,理解两点分布及超几何分布，并能解决一些简单的实际问题.二、教学建议（1）考查两点分布、n 次独立重复试验的模型及其应用.（2）离散型随机变量的分布列及其概率分布是高考命题的热点，与离散型随机变量的数字特征结合命题是主要命题方式．三、必备知识1．条件概率及其性质(1)条件概率的定义对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率．(2)条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率公式，即P (B |A )＝P (AB )P (A ). 2．相互独立事件(1)对于事件A ，B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A ，B 相互独立．(2)若A 与B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A ，B 相互独立．3．二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．4．二项分布的均值、方差(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，V (X )＝p (1－p )．(2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．5.两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列为0 1其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．X 01p <<X p ()1p P X ==6．超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝r )＝C r M C n －r N －M C n N (r ＝0,1,2，…，l )．即X0 1 … lP … 其中l ＝min(M ，n )，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．四、高频考点+重点题型考点一.条件概率例1．（1）(2019·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件A 为“三个点数都不同”，B 为“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )＝__________，P (B |A )＝________. （2）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________.对点练1. 将外形相同的球分做装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率．对点练2. 一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（）A ．13B ．23C ．34D ．14对点练3. 一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )A.23B.512C.59D.79对点练4. 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．考点二.相互独立事件的概率（1）该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.（2）该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.（3）该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.对点练1. 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．对点练2.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14. (1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.考点三.独立重复实验考点四.二项分布及应用例4-1.九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列.例4-2. 某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是16.” (1)求抽奖者获奖的概率；(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X 表示获奖的人数，求X 的概率分布和均值．例4-3.（2019·天津高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. 23（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.例4-4.（2020·浙江）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？例4-5.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？考点五. 超几何分布的应用例5-1.某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，在8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X ，求X 的概率分布及均值．(2)例5-3.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和均值．X X M M例5-4.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.巩固训练一. 单选题1．(2019·石家庄模拟)袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为( )A.13B.23C.12D.1523. 在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )A.14B.89C.116D.5324. 箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45B.⎝⎛⎭⎫593×49C.35×14 D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×495.“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小明和小华两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是( )A.127B.227C.881D.1781612，且是相互独立的，则灯亮的概率为( ) A.316B.34C.1316D.14二.多选题7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )A ．P (B )＝25B ．P (B |A 1)＝511C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件8.已知X ＋Y ＝8，若X ～BA ．E (Y )＝2B ．E (Y )＝6C ．D (YD ．D (Y9.下列命题中，正确的命题的是( )A ．已知随机变量服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝23B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ≤0)＝12－p D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，X ～BX ＝8时概率最大10.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为P 1n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目MM ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，且这n 个人研究项目M 的结果相互独立．设这个n 人团队解决项目M 的概率为P 2，若P 2≥P 1，则n 的可能取值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 三.填空题11.(2020·江苏模拟)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则E (X )＝________.12.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为________(结果用数值表示)．13.一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望为________；方差为________． 14.投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．15.设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (2<X ≤4)＝________. 1617．一个口袋内有n (n >3)个大小相同的球，其中3个红球和(n －3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p,6p ∈N ，若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827，则n ＝________. 18．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的最小值为________．19．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别各不相同的概率是________．四.解答题20.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12，a ，a (0＜a ＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.(1)求ξ的概率分布列及数学期望；(2)在概率P (ξ＝i )(i ＝0,1,2,3)中，若P (ξ＝1)的值最大，求实数a 的取值范围．21.(2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．∈用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列；∈设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．22.某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．。