高二数学导数的概念及运算PPT优秀课件
合集下载
3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
5.2.1基本初等函数的导数-高二数学课件
l
因为
∆
∆
’
=
所以 =
(+∆)−() l
=
∆
∆
∆→0 ∆
=
+∆−
∆
1
∆→0 +∆+
=
=
( +∆− )( +∆+ )
∆( +∆+ )
1
2
=
1
，
+∆+
.
前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数.一般地，有下面的基
复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.
∆
∆
根据导数的定义，求函数 = ()的导数，就是求出当∆ → 0时， 无限趋
近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.
新知探索
1.函数 = () = 的导数
l
因为
∆
∆
=
(+∆)−()
−
l=
∆
∆
∆
∆→0 ∆
= 0， 所以 ’ =
练习
题型一：利用导数公式求函数的导数
例1.求下列函数的导数：
−5 ；(2)
(1) =
=
4 ；(3)
= 3 ；(4) =
解(1)： ’ = −5 −6 .
(2)： ’ = 4 4.
’
(3)： =
1
.
3
2
(4)：∵ = ( + ) = ，∴ ’ = − .
5，一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中我们学过
l
基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、
l
因为
∆
∆
’
=
所以 =
(+∆)−() l
=
∆
∆
∆→0 ∆
=
+∆−
∆
1
∆→0 +∆+
=
=
( +∆− )( +∆+ )
∆( +∆+ )
1
2
=
1
，
+∆+
.
前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数.一般地，有下面的基
复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.
∆
∆
根据导数的定义，求函数 = ()的导数，就是求出当∆ → 0时， 无限趋
近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.
新知探索
1.函数 = () = 的导数
l
因为
∆
∆
=
(+∆)−()
−
l=
∆
∆
∆
∆→0 ∆
= 0， 所以 ’ =
练习
题型一：利用导数公式求函数的导数
例1.求下列函数的导数：
−5 ；(2)
(1) =
=
4 ；(3)
= 3 ；(4) =
解(1)： ’ = −5 −6 .
(2)： ’ = 4 4.
’
(3)： =
1
.
3
2
(4)：∵ = ( + ) = ，∴ ’ = − .
5，一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中我们学过
l
基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、
l
22_第1讲导数的概念及运算理ppt课件
Δt＜0，则 9.8 m/s 是(1＋Δt) s～1 s 时段的速率
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
12
考点 2 曲线的几何意义
例 2：如图 4－1－1，函数 y＝f(x)的图像在点 P 处的切线方
程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝
.
图 4－1－1 解题思路：区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切线的不同， 后者的 P 点不一定在曲线上．
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：没有注意点(2,4)为切点以及(2,4)不为切点的情 形． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
1 ；(exx)′＝ ； ex
7
4．运算法则 (1)求导数的四则运算法则：
(u±v)′＝ u′±v ′ ；(uv)′＝
u′v＋；uv ′
y′x＝y′u·u′x
.
中，坐标为整数的点的个数是( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
8
A
3．曲线 y＝x3＋x＋1 在点(1,3)处的切线方程是y＝4x－1.
9
另外定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的 面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型．
4
5
第 1 讲 导数的概念及运算
1．用定义求函数的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy. (2)求平均变化率Δy
Δx.
2．导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线 f(x)在某一点(x0，y0)处的导数是过点(x0， y0)的切线的 斜率 .
6
物理意义：若物体运动方程是 s＝s(t)，在点 P(t0，s(t0))处导 数的意义是 t＝t0处的 瞬时速度 .
导数的概念及基本运算复习ppt课件
【思维总结】 对于未给出切点的题目，要求切线方程，先 设出切点坐标,建立切线方程,再利用过已知点求切点坐标．
跟踪训练
2．对于本题函数 y＝13x3＋43，求曲线在点 P(2,4)的切线方程．
解：∵y′＝x2， ∴在 P(2,4)的切线的斜率为 k＝y′|x＝2＝4， ∴曲线在 P(2,4)的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
() A．0
B．1
C．－2
D．2
答案：C
4．(2012·高考广东卷)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程 为________． 答案：y＝2x＋1 5．若函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)，则f′(2)＝________. 答案：15
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 求函数的导数
函数的导数与函数在某点的导数其意义是不同的，前者是指 导函数，后者是指导函数在某点的具体函数值．
即 y＝x20·x－23x30＋43.
∵P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即 x30－3x20＋4＝0. ∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1 或 x0＝2. 故所求切线方程为 4x－y－4＝0 或 x－y＋2＝0.
2．导函数
如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点可导，就说f(x)在开区间
(a，b)内可导．对于开区间(a，b)内每一个确定的x0，都对应 着一个确定的导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个 新 的 函 数 ， 我 们 把 这 一 新 函 数 叫 做 f(x) 在 开 区 间 (a ， b) 内 的 _导__函__数___，记作f′(x)或y′.
导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
高二导数ppt课件
指数函数和对数函数导数
指数函数f(x)=ex的导数为f'(x)=ex，对数函数f(x)=lnx的导数为 f'(x)=1/x。
导数四则运算法则
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)，即两个函数的和的导数等于各 自导数之和。
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)，即两个函数的差的导数等于被减 数导数减去减数导数。
导数在图像变换中的应用
02
利用导数的性质，研究函数图像的平移、伸缩、对称等变换规
律。
导数在曲线绘制中的应用
03
通过计算函数的导数，确定曲线的切线斜率，从而绘制出函数
的图像。
04
高阶导数及其应用
高阶导数概念引入
定义与性质
高阶导数表示函数在某一点附近 的变化速率，具有局部性、线性
性和求导法则等基本性质。
微分在近似计算中应用举例
利用微分进行函数值的近似计算
通过计算函数在某一点的导数，可以估算函数在该点附近的函数值。
利用微分求最值问题
通过求解函数的导数，可以确定函数的单调区间和极值点，进而求出函数的最值。
THANKS
感谢观看
乘法法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，即两个函数的积的导数等 于第一个函数导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第 二个函数导数。
除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x)，即两个函数的商 的导数等于分子中第一个函数导数乘以分母减去分子乘以 分母导数再除以分母平方。
指数函数f(x)=ex的导数为f'(x)=ex，对数函数f(x)=lnx的导数为 f'(x)=1/x。
导数四则运算法则
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)，即两个函数的和的导数等于各 自导数之和。
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)，即两个函数的差的导数等于被减 数导数减去减数导数。
导数在图像变换中的应用
02
利用导数的性质，研究函数图像的平移、伸缩、对称等变换规
律。
导数在曲线绘制中的应用
03
通过计算函数的导数，确定曲线的切线斜率，从而绘制出函数
的图像。
04
高阶导数及其应用
高阶导数概念引入
定义与性质
高阶导数表示函数在某一点附近 的变化速率，具有局部性、线性
性和求导法则等基本性质。
微分在近似计算中应用举例
利用微分进行函数值的近似计算
通过计算函数在某一点的导数，可以估算函数在该点附近的函数值。
利用微分求最值问题
通过求解函数的导数，可以确定函数的单调区间和极值点，进而求出函数的最值。
THANKS
感谢观看
乘法法则
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，即两个函数的积的导数等 于第一个函数导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第 二个函数导数。
除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x)，即两个函数的商 的导数等于分子中第一个函数导数乘以分母减去分子乘以 分母导数再除以分母平方。
高二导数ppt课件
幂函数的导数
总结词
掌握幂函数的导数是理解函数单调性和极值的基础。
详细描述
幂函数是一种常见的函数形式，其导数的计算方法可以通过指数法则进行计算。通过对幂函数进行求导，可以分 析函数的单调性和极值，对于解决实际问题非常重要。
03 导数的性质
单调性
总结词
单调性是指函数在某区间内的导数符 号，决定了函数在该区间内的单调趋 势。
高二导数ppt课件
目录
CONTENTS
• 导数的概念 • 导数的计算 • 导数的性质 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 的变化率， 反映了函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切 线斜率，表示函数在该点的变化 率。对于可导函数，其在某一点 的导数值等于该点切线的斜率。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，即函数图像上某一点处的切线 与x轴正方向的夹角正切值。
详细描述
导数的几何意义是将导数与切线斜率联系起来。对于可导函 数，其在某一点的导数值等于该点切线的斜率，即切线与x轴 正方向的夹角正切值。
导数在生活中的应用
总结词
导数在生活中的应用广泛，如速度、加速度、温度变化率等。
曲线的凹凸性
总结词
曲线的凹凸性是指函数图像在某区间内 的弯曲形状，可以通过二阶导数来判断 。
VS
详细描述
如果函数的二阶导数大于0，则函数图像 在对应区间内是凹的；如果二阶导数小于 0，则图像是凸的。
04 导数在实际问题中的应用
最大利润问题
总结词
利用导数求最大利润
详细描述
在最大利润问题中，导数的应用可以帮助我 们找到使利润最大的最优解。通过构建利润 函数，并对其求导，我们可以找到使利润最 大的点，从而实现最大利润。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
导数概念ppt
Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
lim lim f (xo)
注：
Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
1)函数x=x0在处有定义；
2)△x→0， △x可正、可负、但不为0； △y 可能为0。
3)△y 是函数自变量x在△x范围内的 △x
平均变化率;
x
四、求导举例：
例1、求函数f(x)=x2+x,求y’|x=2.
练习：求y=x2在x=1处的导数。
例2、设函数f(x)在xo处可导，
则 lim f(xo -△x)- f(xo ) 的值是 -f(xo ).
△x→0
△x
(A)练习：1）设函数f(x)在x=1处可导，
则 lim f(1+△x)- f(1) 的值是
即：物体运动的瞬时速度是路程增量与时 间增量之比当时间增量趋于零时的极限。
二、导数的概念
函数f(x)在 x=xo 处的瞬时变化率是
lim lim f(xo +Δx)- f(xo )= Δf ,
Δx→0
Δx
Δx→0 Δx
这就是函数y=f(x)在x=xo 处的导数
记作
lim 即
f
(xo )
4）在x=xo处的导数反映的是函数在 x=xo处变化的快慢程度。
三、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的
三个步骤：
1.求增量： y f (x x) f (x)
2.算比值： y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限： y lim y lim f (x x) f (x)
《高中数学导数讲解》课件
积分
导数是积分的基础，通过 求导可以推导出原函数的 表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题 中起到关键作用，如物理 中的动力学问题。
THANKS
感谢观看
பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处 的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼 茨在17世纪分别独立发现 ，为微积分学奠定了基础 。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日 等数学家进一步发展了导 数理论，将其应用于函数 研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在 物理、工程、经济等领域 得到广泛应用，成为解决 实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度 可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩 散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内 速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率 ，即函数在该点的变化率。
高中数学导数的概念课件
优化问题求解
总结词
导数在数学优化中常用于求解最值问题，通过求导可以 找到函数的极值点。
详细描述
在数学优化中，最值问题是最常见的一类问题，导数可 以用来求解这类问题。通过对函数求导，可以找到函数 的极值点，从而确定函数的最值。例如，一个企业要制 定一个营销策略，目标是最大化利润，利润函数为P(x) ，对其求导得到利润函数的导数P'(x)，通过求解P'(x)=0 ，可以找到使利润最大的最优策略。
导数在科学计算中的应用
数值分析
导数可以用于数值分析中，如求 解微分方程、积分方程等，通过 求导数可以得到数值解的近似值
。
图像处理
导数可以用于图像处理中，如边 缘检测、图像滤波等，通过求图 像函数的导数可以得到图像的边
缘信息。
信号处理
导数可以用于信号处理中，如滤 波器设计、信号降噪等，通过求 信号函数的导数可以得到信号的
高中数学导数的概念课件
汇报人：
202X-01-05
CATALOGUE
目 录
• 导数的定义 • 导数的性质 • 导数的应用 • 导数的计算 • 导数在实际问题中的应用案例
01
CATALOGUE
导数的定义
导数的起源
01
导数起源于微积分，最初由牛顿 和莱布尼茨等数学家提出，用于 描述函数在某一点的变化率。
导数与函数极值
总结词
导数等于0的点可能是极值点
详细描述
函数在极值点的一阶导数等于0，但一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一 步判断二阶导数的正负。
导数与函数最值
总结词
导数可以帮助寻找函数最值
详细描述
通过求导数并令其为0，可以找到可能的极值点，再结合一阶或二阶导数的符号变化，判断是极大值还是极小值 ，从而确定函数的最值。
高数导数概念ppt课件
解:
xn an f ( x) f (a) lim lim x a x a x a xa
lim ( x n 1 a x n 2 a 2 x n 3 a n 1 )
x a
9
对一般幂函数 y x ( 为常数)
( x ) x 1
例如， ( x ) ( x ) x
1 2
1 2
（以后将证明）
1 2
2 x 1 1 11 1 ( x ) x 2 x x
3 4 )
1
1 ( ) ( x x x
3 x 4
7 4
10
的导数. 解: 则
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h
处的
法线方程:
( f ( x0 ) 0 )
15
哪一点有铅直切线 ? 哪一点处
的切线与直线 平行 ? 写出其切线方程.
1 2 x 3 y x 0 , 解: 3 故在原点 (0 , 0) 有铅直切线 1 1 1 令 3 2 , 得 x 1 , 对应 y 1 , y 3 x 3 1 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 1 平行的切线方程分别为 O 1 x
即
的导数. 记作: y x x0 ; f ( x0 ) ; d y ; dx x x0 y y x x0 f ( x0 ) lim x 0 x
6
运动质点的位置函数 s f (t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度
O
f (t0 ) t0
f (t ) t
s
f ( t0 )
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三单元 导数及其应用
第一节 导数的概念及运算
基础梳理
1. 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率 (1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为________．
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“________”，或者说，曲线 陡峭程度是平均变化率的“________”．
2. 函数f(x)在x=x0处的导数
(4)y′=[(1+x2)- ]′=1 - (1+x12)- ×(1+x3 2)′
2
2
2
=-x(1+x2)- 3 =-
x.
2
1x2 1x2
变式2-1
求下列函数的导数：
(1)y=x3+ 1
x
3
；(2)y=-sin
2. 若f′(x0)=2，则当k无限趋近于0时，
fx0k=_f__x0_____. 2k
3. 函数y=x3+cos x的导数为________．
4.
(选修2-2P26第4题改编)曲线y=
1 x-cosx在x=
2
处的切线与直
6
线ax+y-1=0垂直，则a的值为________．
5. (选修2-2P26第6题改编)曲线y=x2+3x-8在与直线y=2的交点
为7和-7.所以切线方程为y-2=7(x-2)和y-2=-7(x+5)，
化简可得切线方程为7x-y-12=0和7x+y+33=0.
经典例题
题型一 导数的定义
【例1】 设函数f(x)存在导数，当t无限趋近于0时，化
简 fa4tf=a ___5 _t____.
t
解：fa4tfa5t
t
fa4tfafafa5t t
处的切线方程为______________________．
答案：1. 2解析：一次函数的平均变化率即为该函数对应直线的
斜率．
fx0kfx0 1
2. -1 解析： 2k=- × 2
fx0kfx0
1
=- fk′(x0)=-1. 2
3. 3x2-sin x 解析：y′=(x3+cos x)′=(x3)′+(cos x)′=3x2-sin x.
6. 复合函数的导数
一般地，若y=f(u)，u=ax+b，则y′x=y′u×u′x, 即 y′x=y′u×a.
答2. 案(1：) 1.f(x10) xx ff′fx(x2xx200)xf(12x1)数量化
视觉化
Hale Waihona Puke (2)(x0，f(x0)) 切线的斜率 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)
3. 变化 变化 f′(x)
5. 导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=________________；
(2)[Cf(x)]′=________________(C为常数)；
(3)[f(x)×g(x)]′=________________；
(4)
f g
xx′= ________________[g(x)¹0]．
(1)定义
设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Dx无限 趋近于0时，比值 y =_________无限趋近于一个常数A，则称f(x) 在x=x0处可导，并 称x 该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作
________．
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点
fa4tfa4fa5tfa5,
4t
5t
当t无限趋近0时，
原式=4f′(a)-5f′(a)=-f′(a)．
题型二 导数的运算
【例2】 求下列函数的导数．
(1)y=x2×sin x；(2)y= e x； 1
ex 1
(3)y=(3x3-4x)(2x+1)；(4)y= 1. 1 x2
解：(1)y′=(x2)′sin x+x2×(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
________处的____________________．相应地，切线方程为 ________________
3. 函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也 随着自变量x的________而________，因而也是自变量x的函数，该 函数称为f(x)的导函数，记作________．
4. 1
解析：y′=
+sin x，故k=y′|x=
1
=
+sin
1
=1，由于切线
与直线ax+y-1=0垂直2 ，故-a=-1，即a=1. 6 2
6
5. 7x-y-12=0和7x+y+33=0 解析：当y=2时，x2+3x-10=0，
解得x=2或-5，
即切点分别为(2,2)和(-5,2)．又y′=2x+3，则两切线的斜率分别
原函数
f(x)=
x
f(x)=xa(a为常数)
f(x)=ax(a＞0且a¹1)
f(x)=logax(a＞0且a¹1) f(x)=ex
f(x)=ln x
f(x)=sin x
f(x)=cos x
导函数
f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________
4. k 0 1 2x 3x2 - 1
x -sin x
x2
1 axa-1 axln a
2x
e1 x cos
xln a
5. (1)f′(x)±g′(x) (2)Cf′(x)(C为常数)
(3)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
(4) f'xgxfxg'x
[gx]2
基础达标
1. 函数f(x)=2x+b在区间[m，n]上的平均变化率为________．
( 2 ) y ' e x 1 ' e x e 1 x 1 e 2 x 1 e x 1 ' e x e x e 1 x 1 e x 2 e x 1 e x 2 e x 1 2 .
(3)∵y=(3x3-4x)×(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x，∴y′=24x3+9x2-16x-4.
4. 基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)=kx+b(k，b为常数)
f(x)=C
f(x)=x
f(x)=x2
f(x)=x3
f(x)=
1 x
导函数
f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________
第一节 导数的概念及运算
基础梳理
1. 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率 (1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为________．
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“________”，或者说，曲线 陡峭程度是平均变化率的“________”．
2. 函数f(x)在x=x0处的导数
(4)y′=[(1+x2)- ]′=1 - (1+x12)- ×(1+x3 2)′
2
2
2
=-x(1+x2)- 3 =-
x.
2
1x2 1x2
变式2-1
求下列函数的导数：
(1)y=x3+ 1
x
3
；(2)y=-sin
2. 若f′(x0)=2，则当k无限趋近于0时，
fx0k=_f__x0_____. 2k
3. 函数y=x3+cos x的导数为________．
4.
(选修2-2P26第4题改编)曲线y=
1 x-cosx在x=
2
处的切线与直
6
线ax+y-1=0垂直，则a的值为________．
5. (选修2-2P26第6题改编)曲线y=x2+3x-8在与直线y=2的交点
为7和-7.所以切线方程为y-2=7(x-2)和y-2=-7(x+5)，
化简可得切线方程为7x-y-12=0和7x+y+33=0.
经典例题
题型一 导数的定义
【例1】 设函数f(x)存在导数，当t无限趋近于0时，化
简 fa4tf=a ___5 _t____.
t
解：fa4tfa5t
t
fa4tfafafa5t t
处的切线方程为______________________．
答案：1. 2解析：一次函数的平均变化率即为该函数对应直线的
斜率．
fx0kfx0 1
2. -1 解析： 2k=- × 2
fx0kfx0
1
=- fk′(x0)=-1. 2
3. 3x2-sin x 解析：y′=(x3+cos x)′=(x3)′+(cos x)′=3x2-sin x.
6. 复合函数的导数
一般地，若y=f(u)，u=ax+b，则y′x=y′u×u′x, 即 y′x=y′u×a.
答2. 案(1：) 1.f(x10) xx ff′fx(x2xx200)xf(12x1)数量化
视觉化
Hale Waihona Puke (2)(x0，f(x0)) 切线的斜率 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)
3. 变化 变化 f′(x)
5. 导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=________________；
(2)[Cf(x)]′=________________(C为常数)；
(3)[f(x)×g(x)]′=________________；
(4)
f g
xx′= ________________[g(x)¹0]．
(1)定义
设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Dx无限 趋近于0时，比值 y =_________无限趋近于一个常数A，则称f(x) 在x=x0处可导，并 称x 该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作
________．
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点
fa4tfa4fa5tfa5,
4t
5t
当t无限趋近0时，
原式=4f′(a)-5f′(a)=-f′(a)．
题型二 导数的运算
【例2】 求下列函数的导数．
(1)y=x2×sin x；(2)y= e x； 1
ex 1
(3)y=(3x3-4x)(2x+1)；(4)y= 1. 1 x2
解：(1)y′=(x2)′sin x+x2×(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
________处的____________________．相应地，切线方程为 ________________
3. 函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也 随着自变量x的________而________，因而也是自变量x的函数，该 函数称为f(x)的导函数，记作________．
4. 1
解析：y′=
+sin x，故k=y′|x=
1
=
+sin
1
=1，由于切线
与直线ax+y-1=0垂直2 ，故-a=-1，即a=1. 6 2
6
5. 7x-y-12=0和7x+y+33=0 解析：当y=2时，x2+3x-10=0，
解得x=2或-5，
即切点分别为(2,2)和(-5,2)．又y′=2x+3，则两切线的斜率分别
原函数
f(x)=
x
f(x)=xa(a为常数)
f(x)=ax(a＞0且a¹1)
f(x)=logax(a＞0且a¹1) f(x)=ex
f(x)=ln x
f(x)=sin x
f(x)=cos x
导函数
f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________
4. k 0 1 2x 3x2 - 1
x -sin x
x2
1 axa-1 axln a
2x
e1 x cos
xln a
5. (1)f′(x)±g′(x) (2)Cf′(x)(C为常数)
(3)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
(4) f'xgxfxg'x
[gx]2
基础达标
1. 函数f(x)=2x+b在区间[m，n]上的平均变化率为________．
( 2 ) y ' e x 1 ' e x e 1 x 1 e 2 x 1 e x 1 ' e x e x e 1 x 1 e x 2 e x 1 e x 2 e x 1 2 .
(3)∵y=(3x3-4x)×(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x，∴y′=24x3+9x2-16x-4.
4. 基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)=kx+b(k，b为常数)
f(x)=C
f(x)=x
f(x)=x2
f(x)=x3
f(x)=
1 x
导函数
f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________